ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Transcript

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζετι διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά; Μονάδες 6 Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο x 0. (Μονάδες ) ) Το εύρος ως πράμετρος δισποράς εξρτάτι μόνο πό τις κρίες τιμές της μετλητής. (Μονάδες ) γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [,]. Τότε ισχύει η κόλουθη ιδιότητ γι το ορισμένο ολοκλήρωμ: γ f (x)dx + f (x)dx = γ f (x)dx, με <γ<. (Μονάδες ) δ) Ισχύει ότι: (x ) =x -1, *, x>0 (Μονάδες ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g: [, ] με συνεχείς πργώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: f '(x)g(x)dx = [f (x)g(x)] f (x)g'(x)dx (Μονάδες ) Α. Ν μετφέρετε κι ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω ισότητες: 1 ) dx =... με >>0 (Μονάδες ) x ) Έστω συνρτήσεις f: Α κι g: Β με f(a) B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε x Α κι η g πργωγίσιμη σε κάθε f(x) B, τότε η σύνθεσή τους gof: Α είνι πργωγίσιμη στο Α κι ισχύει ότι: (gof) (x)=... (Μονάδες ) γ) =... με c στθερά κι cdx, (Μονάδες ) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B Στον πρκάτω πίνκ δίνοντι οι ημερήσιες ώρες διάσμτος 5 μθητών μις τάξης ενός ΕΠΑ.Λ. Ημερήσιες ώρες διάσμτος x i Μθητές ν i Αθροιστική Συχνότητ N i Σχετική συχνότητ (%) f i % κ 5 κ+1 Σύνολ ν=5 100 x i ν i ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Ν υπολογίσετε τον ριθμό κ Μονάδες 4 Β. Γι κ= ν μετφέρετε κι ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τον πρπάνω πίνκ. Μονάδες 8 Β. Γι κ= ν υπολογίσετε τη μέση τιμή x κι ν ρείτε τη διάμεσο δ των πρτηρήσεων. Β4. Γι κ= ν υπολογίσετε το ποσοστό των μθητών που διάζουν τουλάχιστον ώρες ημερησίως. ΘΕΜΑ Γ ίνετι η συνάρτηση f: με τύπο: Μονάδες f (x) = x -1, x + - x + x, ν ν x > 1 x 1 Γ1. Ν υπολογίσετε το lim f(x) x Γ. Ν υπολογίσετε το lim f(x) 1 - x 1 +, ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 5 Γ. Ν υπολογίσετε τ κι, ώστε η f ν είνι συνεχής στο x 0 =1 κι η γρφική πράστση της f ν διέρχετι πό το σημείο Α(-1,). ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = x -x-1

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 1. Ν ρείτε την πράγουσ F της f, ν F(0)=1. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 5. Αν F(x)=x -x -x+1, x ν μελετήσετε τη μονοτονί κι ν ρείτε τ τοπικά κρόττ της F. Μονάδες 8. Ν συγκρίνετε τις τιμές F(011) κι F(01) κι ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Μονάδες 5 4. Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον x x κι τις ευθείες με εξισώσεις x=0 κι x=1. Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνον τ προκτρκτικά (ημερομηνί, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο.. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων μέσως μόλις σς πρδοθούν. εν επιτρέπετι ν γράψετε κμιά άλλη σημείωση. Κτά την ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ.. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνον με μπλε ή μόνον με μύρο στυλό νεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε πάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είνι ποδεκτή. 6. Ν μη χρησιμοποιήσετε το χρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκει εξέτσης: τρεις () ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 8. Χρόνος δυντής ποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

5 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕΜΑ A A1. Θεωρί σχολικού ιλίου σελίδ 81 A.. Σωστό,. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Α... γ. 1 dx = nx = n - n, με > > 0 x gof (x) = g (f (x)) f (x) c dx = c( - ), με c στθερά κι, IR ΘΕΜΑ Β B1. v 1 + v + v + v 4 + v 5 = v κ + 16 = 5 κ = 9 κ = B. Γι κ = x i v i Ν i f i % x. i v i ΣΥΝΟΛΑ B. x v 75 i i x = = = ώρες v 5 Το πλήθος των πρτηρήσεων είνι 5. Αν γρφούν με ύξουσ σειρά η μεσί πρτήρηση στη 1 η θέση είνι, άρ η διάμεσος είνι. B4. f % + f 4 % + f 5 % = 16% + 1% + 8% = 56% άρ το 56% των μθητών διάζουν τουλάχιστον ώρες.

6 ΘΕΜΑ Γ Γ1. im f (x) = im x + x = x1 x1 - x1 x - 1 Γ. im f (x) = im = im x1 x1 x + - x1 x + - x + + = im (x - 1) (x - 1) x + + x + + im 4 - x - 1 x1 = x + + =. Γ. (1) Α (-1, ) C f f (-1) = (-1) + (-1) = - = = + (1) Γι ν είνι η f συνεχής στο x = 1 πρέπει im - + x1 = 1 f (x) = im f (x) = f (1) x1 (1) + = = 4 = = 0 = 1 ΘΕΜΑ Δ Δ1. f (x) = x - x - 1 x x F (0) = 1 c = 1, άρ F (x) = - - x + c = x - x - x + c F (x) = x - x - x + 1 Δ. F (x) = f (x) = x - x - 1 F (x) = 0 x - x - 1 = 0 x = - 1 ή x = x 1 + f (x) f (x)

7 H f είνι γνησίως ύξουσ στ 1 -, - κι [1, +) ενώ είνι γνησίως φθίνουσ στο 1 -, 1. Η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο γι x = - 1 την τιμή f - = = = Η f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο γι x = 1 την τιμή f (1) = = 0 Δ. H F είνι γνησίως ύξουσ στο [1, + ), άρ 011 < 01 F (011) < F (01) Δ4. f (x) = x - x - 1 = F (x) Το πρόσημο της F το έχουμε ρεί στο Δ ερώτημ Εινι f (x) 0, στο [0, 1] άρ Ε = - f (x) dx = - F (x) = - F (1) - F (0) = F (0) - F (1) 0 = 1 τ.μ.