ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιο σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση την λέξη Σωστό ν η πρότση εινι σωστή ή την λέξη Λάθος εν πρότση είνι λνθσμένη. ʹ Η επικρτούσ τιμή μις μετβλητής είνι μονδική ( Μονάδες) βʹ Εστω συνεχής συνάρτηση f : A R κι x 0 έν στάσιμο σημείο της f (δηλδή f (x) = 0). Aν η f είνι δυο φορές πργωγίσημη στο x 0, τότε προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο x 0 ότν f (x 0 ) < 0. γʹ Eστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β]. Τότε ισχύει: f(x)dx = a, όπου R ( Μονάδες) ( Μονάδες) δʹ Αν οι συνρτήσεις f, g : A R είνι πργωγίσημες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε κι η f g είνι πργωγίσημη στο Α κι ισχύει: (f g) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) ( Μονάδες) εʹ Η σχετική συχνότητ τιμής x i μις μετβλητής συμβολίζετι με f i κι ισχύει f i = ν i ( Μονάδες) ν 3. Ν μετφέρετε στο τετράδιο σς τις πρκάτω ισότητες κι ν τις συμπληρώσετε: β ʹ. dx =..., με β > > 0 x βʹ. (c) =..., ν c στθερά (3 Μονάδες) (3 Μονάδες) γʹ. Αν η μετβλητή x πίρνει τις τιμές x, x,..., x κ με ντίστοιχες συχνότητες ν, ν,..., ν κ τότε η μέση τιμή της μετβλητής είνι x =... (3 Μονάδες) ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης ΘΕΜΑ B Οι χρόνοι (σε λεπτά) 50 μθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑΛ γι ν γράψουν έν διγώνισμ, δινοντι στον πρκάτω πίνκ κτνομής:

2 Χρόνος Κέντρο Αθροιστική (σε λεπτά) κλάσης Συχνότητ Συχνότητ κ i ν i N i κ i ν i [5, 5) 0 [5, 5) 34 [5, 35) [35, 45) ΣΥΝΟΛΑ ν = 50 ʹ. Ν μετφέρετε στο τετράδιο σς τον προηγούμενο πίνκ κι ν τον συμπληρώσετε σωστά. (7 Μονάδες) βʹ. Ν υπολογίσετε την μέση τιμή x του χρόνου, που χρειάστηκν οι μθητές γι ν γράψουν το διγώνισμ. (5 Μονάδες) γʹ. Ν υπολογίσετε την δικύμνση s (Μονάδες 7) κι την τυπική πόκλιση s της μετβλητής (Μονάδες ) δίδετι ότι 96 = 0 δʹ. Ν υπολογίσετε τον συντελεστή μετβλητότητς CV % ΘΕΜΑ Γ Δινετι η συνάρτηση f : R R με τύπο: λx λ f(x) =,ν x > 4x + 4e x,ν x (9 Μονάδες) (4 Μονάδες). Ν βρειτε το lim x (4 Μονάδες). Ν βρειτε το lim x + (8 Μονάδες) 3. Ν βρείτε γι ποιές τιμές του λ η συνάρτηση εινι συνεχής στο x 0 = (6 Μονάδες) 4. Γι λ = ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης ΘΕΜΑ Δ f(x)dx (7 Μονάδες) Μι ομάδ περιβλλοντολόγων εκτιμά ότι το βάρος B ( B σε τόνους) ενός πγόβουνου μετβάλλετι με τον χρόνο t ( t σε έτη ) σύμφων με την συνάρτηση:

3 B(t) = t3 3 + t + t + 5, 0 t 0. Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής του βάρους του πγόβουνου. (5 Μονάδες). Ποιά χρονική στιγμή το βάρος του πγόβουνου γίνετι μέγιστο; (8 Μονάδες) 3. Ν ποδείξετε ότι, ν t [6, 9], τότε ισχύει: B(9) B(t) B(6) (5 Μονάδες) 4. Ποιά χρονική στιγμή ο ρυθμός μετβολής του βάρους του πγόβουνου γίνετι μέγιστος; (7 Μονάδες) ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης 3

4 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου, στην σελίδ. Πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων είνι: ʹ Τ σημεί όπου υπάρχει η πράγωγος κι είνι ίση με 0. βʹ Τ άκρ των διστημάτων που ποτελούν το πεδίο ορισμού (όποιο εινι κλειστό) γʹ T εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στο οποίο δεν υπάρχει η πράγωγος f (γωνικά σημεί).. ʹ. ΛΑΘΟΣ. Η επικρτούσ τιμή, εν υπάρχει, είνι μι, λλά μπορεί κι ν μην υπάρχει επικρτούσ τιμή, είνι εν στο σύνολο όλων των δυντών τιμών, όλες εινι ίδιες. βʹ. ΣΩΣΤΟ. Απο το θεώρημ της ης πργώγου. γʹ. ΛΑΘΟΣ. Ο τύπος λέει f(x)dx = 0 δʹ. ΛΑΘΟΣ. O τύπος λέει (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x). Οχι πλην, λλά συν. β εʹ. ΣΩΣΤΟ. ʹ. x dx = [ ln(x) ] β = ln(β) ln() βʹ. (c) = 0 γʹ. x = ν κ x κ ν x + ν x ν κ ν + ν ΘΕΜΑ B. Υπολογίζουμε το κέντρο κλάσης ως το μέσο του διστήμτος της ντίστοιχης κλάσης. Το βρίσκουμε προσθέτοντς τ άκρ του διστήμτος κι διιρώντς δι δυο. Γι την συχνότητ, φού ξέρουμε ότι θροιστική N = 34 λλά N = ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης ν + ν 34 = ν + 0 ν = 34 0 = 4 Kι φού ξέρουμε ότι ο πληθυσμός εινι συνολικά 50, θ έχουμε ν + ν + ν 3 + ν 4 = ν ν 4 = 50 ν 4 = ν 4 = 4 H τελευτί στήλη προκύπτει πο πλό πολλπλσισμό των ντίστοιχων στηλών. 4

5 Χρόνος Κέντρο Αθροιστική (σε λεπτά) κλάσης Συχνότητ Συχνότητ κ i ν i N i κ i ν i [5, 5) [5, 5) [5, 35) [35, 45) ΣΥΝΟΛΑ ν = i=. Γι τον υπολογισμό της μέσης τιμής έχουμε x = κ i ν i = 000 ν 50 = 0 3. Γι την δικύμνση, φού ξέρουμε το x πρέπει ν υπολογίσουμε, όπως μάθμε σε επιπλέον στήλες (κολουθεί ο πίνκς μόνο με τις στήλες που χρειζόμστε, βήμ-βήμ) Χρόνος Κέντρο (σε λεπτά) κλάσης Συχνότητ κ i ν i (κ i x) ν i (κ i x) [5, 5) 0 0 (0 0) = ( 0) = [5, 5) 0 4 (0 0) = 0 = 0 0 [5, 35) 30 (30 0) = 0 = [35, 45) 40 4 (40 0) = 0 = ΣΥΝΟΛΑ ν = Ξέρουμε ότι s = ν i(κ i x) s = 4800 ν 50 = 96 Aφού s = 96 s = 96 s 0 (όπως δίδετι πο την εκφώνηση). 4. Γι ν υπολογίσουμε τον συντελεστή μετβλητότητς επι τοις εκτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο CV % = CV 00 = 00 = 0 s x 0 00 = 00 = 0, 5 00 = 50% ΘΕΜΑ Γ ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης λx λ f(x) =,ν x > 4x + 4e x,ν x ʹ. Γι το lim f(x) πίρνουμε την ΚΑΤΩ συνάρτηση. Αρ έχουμε x 5

6 lim f(x) = 4 + 4e = 8 + 4e 0 = = = x βʹ. Γι το lim f(x) πίρνουμε την ΠΑΝΩ συνάρτηση. Αρ έχουμε x + Γι το lim f(x) = 3 8 x + λ λ = 0 Αρ προσδιόριστη μορφή 0 Οπότε πρέπει ν εξλλείψουμε την προσδιόριστη μορφή... lim f(x) = lim x x λx λ βγάζουμε κοινό πράγοντ το λάμδ στον πρνομστή, κι έτσι γίνετι lim Πρέπει λοιπόν (εφόσον δεν θυμόμστε τυτότητες, ν θυμόμστε x λ(x ) ντικθιστούμε κτευθείν το ). Χρησιμοποιούμε σχήμ Χορνερ = x 3 + 0x + x 8 x 3 +0x +0x x +x +4 Αρ το = (x + x + 4)(x ). Aντικθιστούμε πάνω στο όριο κι έχουμε: lim x λ(x ) = lim (x + x + 4)(x ) x + x + 4 = lim = x λ(x ) x λ = = λ λ γʹ. Γι ν είνι συνεχής στο σημείο λλγής τύπου της συνάρτησης ξέρουμε ότι πρέπει: lim f(x) = lim f(x) = f() Οπότε έχουμε: + x x ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης = = = = λ λ = λ λ λ = δʹ. Αφού βάλουμε στην θέση του λ το, η συνάρτηση μς γίνετι ως εξής: f(x) =,ν x > x 4x + 4e x,ν x 6

7 Αφού εμείς θέλουμε στο διάστημ πο έως, τότε ισχύει η ΚΑΤΩ συνάρτηση. Αρ έχουμε = 4 f(x)dx = xdx + 4 4x + 4e x dx = 4 [ x e x dx = 4 ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης ] x + e x dx = [ ] + 4 e x = [ ] ] 4 +4 [e e = 4 ( 4 ] )+4 [e 0 e = ( e ) = e = 0 4 e ΘΕΜΑ Δ Οποτε μιλάμε γι ρυθμό μετβολής υποννοούμε ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ʹ. Αρ πρέπει ν βρούμε την πράγωγο της συνάρτησης B(t). Εχουμε: B (t) = ( t3 3 + t + t + 5) = 3 t 3 + t + = t + 4t + βʹ. Οτν μς ζητάει το μέγιστο, ξέρουμε ότι μς ζητάει το τοπικό κρόττο όπου η συνάρτηση έχει την μέγιστη τιμή. Αλλά υτό εινι εύκολο, βρίσκουμε τ σημεί όπου η πράγωγος γίνετι μηδέν (θεώρημ Φερμ)κι βρίσκουμε ποιό πο υτά είνι μέγιστο. B (t) = 0 t + 4t + = 0 Λύνουμε την δευτεροβάθμι εξίσωση. = β 4γ = 4 4 ( ) = = 64 Η δικρίνουσ εινι θετική, άρ έχουμε δύο λύσεις. x, = β ± = 4 ± 64 ( ) = 4 ± 8 x = = 4 = κι x = 4 8 = = 6 7

8 Αφού βρήκμε τις ρίζες, κνουμε πινκάκι t t + 4t B(t) Τις τιμές κάτω πο το 0, δεν τις υπολογίζουμε γιτί δεν είνι στο πεδίο τιμών, πλά τις δείχνουμε στο πινκάκι γι ευκολί στην επίλυση της δευτεροβάθμις, όπως κάνμε στην τάξη.αρ ουσιστικά έχουμε πίρνουμε πο το πινκάκι μόνο πο το 0 ως το 0, δηλδή γίνετι έν πινκάκι όπως πρκάτω. t t + 4t B(t) Aρ το τοπικό μέγιστο θ βρίσκετι στο σημείο t = 6. Δηλδή στ 6 έτη έχουμε το μεγλύτερο βάρος το πγόβουνου. γʹ. Aφού με το πινκάκι που κάνμε πρπάνω φίνετι ότι η συνάρτηση B(t) είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ πο 6 ώς 0, τότε κι οι τιμές ισχύει ο τύπος. δʹ. Aφού θέλουμε το μέγιστο του ρυθμού μετβολής, είνι σν ν λέμε ότι θέλουμε ν βρούμε πότε γίνετι μέγιστο (έχει μέγιστο) η πράγωγος B (t). Αρ πίρνουμε την πράγωγο της πργώγου, κι προσπθούμε ν βρούμε που έχει κρόττο. B (t) = (B (t)) = ( t + 4t + ) = t + 4 Η συνάρτηση υτή έχει ρίζες t + 4 = 0 t = 4 t = 4 = Eχουμε λοιπόν μι ρίζ. t 0 0 t B (t) ⁰ ΕΠΑΛ Πολίχνης Aρ η B (t) (που εινι ο ρυθμός μετβολής) προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο 0 = με τιμη B () = = = 6. Αρ ότν t = έχουμε την τχύτερη μετβολή του βάρους, δηλδη στ έτη. ⁰Σάββς Πυλίδης, 05. Δημιουργημένο με L A TEX 8