Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Transcript

1 Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της πιθνότητς β. της πργώγου συνάρτησης f (x). γ. της σττιστικής ομλότητς (3 μονάδες νά ερώτημ) A 3. Τι εκφράζουν τ μέτρ θέσης μις κτνομής κι ποι είνι τ κυριότερ πό υτά; ( μονάδες) A. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Το εμβδόν που περικλείετι πό το πολύγωνο συχνοτήτων μις συνεχούς μετβλητής με κλάσεις ίσου πλάτους κι τον x x, ισούτι με ν. β. Η πργμτοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγετι την πργμτοποίηση του ενδεχομένου Β. Άρ Α Β = Β. γ. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι προυσιάζει Σ Λ Σ Λ κρόττο στο σημείο x o =, τότε ισχύει πάντ ότι f () = 0. Σ Λ f(h) f(0) δ. lim f (0). h0 h Σ Λ ( μονάδες νά ερώτημ)

2 Θέμ Β Δίνετι η συνάρτηση f(x)=x +(κ+3)x, με κ. Β. Ν βρείτε τον κ ν η συνάρτηση g(x) lnf(x) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α=(, 3) (, + ). (5 μονάδες) Β. Γι την τιμή του κ που βρήκτε στο προηγούμενο ερώτημ, η f(x) εκφράζει το ημερήσιο κόστος πργωγής x μονάδων ενός προϊόντος μις βιομηχνίς. Η είσπρξη πό την πώληση κάθε μονάδς προϊόντος είνι ( ++6) χιλιάδες ευρώ,.. Ν βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει το κέρδος της βιομηχνίς πό την πώληση x μονάδων προϊόντος. (3 μονάδες) β. Ν δείξετε ότι ότν πρχθούν ( έχουμε το μέγιστο κέρδος. ) μονάδες προϊόντος ημερησίως (7 μονάδες) γ. Ν βρεθεί ο ελάχιστος ριθμός μονάδων προϊόντος που πρέπει ν πρχθούν ώστε η βιομηχνί ν επιτύχει το μέγιστο κέρδος. Ποι η τιμή πώλησης του προϊόντος σε υτή την περίπτωση; (0 μονάδες) Θέμ Γ f i % 0 Α Δ Β Γ x i Τ βάρη σε εκτοντάδες γρμμάρι των νεογέννητων μις μέρς σε έν μιευτήριο έχουν ομδοποιηθεί σε 6 κλάσεις ίσου πλάτους. Το 6% των βρεφών έχουν βάρος κάτω πό 300gr. Στο ιστόγρμμ σχετικών συχνοτήτων f i %, ο πρώτος ο δεύτερος κι τρίτος ιστός είνι ισοεμβδικοί, ενώ το εμβδόν του τρπεζίου ΑΒΓΔ είνι 3τ.μ. Αν η συνάρτηση f(x)= x ln x προυσιάζει στο σημείο Α(,f()) ολικό ελάχιστο κι f 6 %=, τότε:

3 Γ. Ν συμπληρώσετε τ κενά στον ντίστοιχο πίνκ συχνοτήτων. ( μονάδες) [,β) x i f i % F i % 6 Σύνολο Γ. Ν υπολογίσετε τον συντελεστή μετβολής (CV) γι τ βάρη των βρεφών. (5 μονάδες) Γ 3. Το βάρος των βρεφών πρόωρων βρεφών συνήθως δεν ξεπερνά τ 3000gr. ενώ έν βρέφος λέμε ότι έχει φυσιολογικό βάρος, ν το βάρος του είνι τουλάχιστον 00gr λλά κάτω πό 3600gr. Επιλέγουμε τυχί έν βρέφος πό τ 5 που υπάρχουν στο μιευτήριο. Ποι η πιθνότητ ν είνι πρόωρο ή ν έχει φυσιολογικό βάρος; ( μονάδες) κ x κ i νi i (Δίνετι ότι s xi ν i ν κι 9, 5, 3 ) ν i (Οι πράξεις γι τη συμπλήρωση του πίνκ ν φίνοντι στο γρπτό σς) Θέμ Δ x Δίνοντι οι συνρτήσεις f(x) xln(x) x P(A) P(B) e (s P(A)), x > κι g(x) (x x) 3 i i, όπου Ρ(Α), Ρ(Β) οι πιθνότητες των ενδεχομένων Α, Β ενός δειγμτικού χώρου Ω κι s η τυπική πόκλιση των τιμών x i της συνάρτησης g(x). Η f(x) στο σημείο της Μ(0, f(0)) δέχετι εφπτομένη κάθετη στην ευθεί ε: 3y + x = 6 κι η g(x) προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι x o = 0.

4 Δ. Ν εκφράσετε την τυπική πόκλιση s, ως συνάρτηση του Ρ(Α). Δ. Αν το δείγμ των τιμών της μετβλητής x i έχει συντελεστή μετβολής, CV = 0% ν ποδείξετε ότι: Ρ(Α) =. (5 μονάδες) (7 μονάδες) Δ 3. Αν Ρ(Β) =λ, με λ, ν ποδείξετε ότι:. Τ ενδεχόμεν Α κι Β δεν είνι συμβίβστ. ( μονάδες) β. λ P(A B). ( μονάδες) Δ. Αν η πιθνότητ ν πργμτοποιηθεί το πολύ έν πό τ ενδεχόμεν Α ή Β είνι 5 6 κι η πιθνότητ ν πργμτοποιηθεί το μόνο έν πό τ ενδεχόμεν Α ή Β είνι 9 ν βρεθεί η πιθνότητ ν πργμτοποιηθεί το ενδεχόμενο Β. (7μονάδες) Κλή Επιτυχί στις Εξετάσεις!!!

5 Απντήσεις Διγωνίσμτος Θέμ Α Α. Σχολικό σελίδες 9 Α.. Σχολικό σελίδ 9 β. Σχολικό σελίδ 7 γ. Σχολικό σελίδ Α 3. Σχολικό σελίδ Α. Σ, β Λ ( AB AB A, γ Λ (πρέπει εκτέρωθεν του x ο ν λλάζει κι πρόσημο), δ Σ Θέμ Β Β. Πεδίο ορισμού της ln[f(x)] : πρέπει f(x) > 0. Δηλδή το τριώνυμο x +(κ+3)x ν είνι θετικό γι κάθε x(, 3) (, + ). Άρ πρέπει τ 3 κι ν είνι οι ρίζες του τριωνύμου, (εκτός των ριζών το τριώνυμο είνι ομόσημο του =, άρ θετικό). Από τύπους Vietta x +x = β κ 3 3 κ 3 κ 5. Πρτηρούμε ότι η σχέση x x = γ ληθεύει. Β.. Γι κ = 5 f(x) =x x η συνάρτηση κόστους. Αν Π(x) η συνάρτηση τιμής πώλησης x μονάδων προϊόντος, τότε Π(x)= x( ++6) Το κέρδος θ δίνετι πό τη συνάρτηση Κ(x)= Π(x) f(x) Κ(x)= xx6xx xx x xx β. Κ (x) x Κ (x) 0 x 0 x x 0 x + f(x) + 0 f(x) T.M. H συνάρτηση Κ(x) γι x= προυσιάζει τοπικό μέγιστο.

6 Το κέρδος μεγιστοποιείτι ότν πρχθούν μονάδες προϊόντος. γ. Έστω Η() = η συνάρτηση που μς δίνει τον ριθμό μονάδων προϊόντος που πράγοντι γι ν έχουμε το μέγιστο κέρδος, ως συνάρτηση του. H() H() Η () 0 + Η() T.Ε. Γι = ο ελάχιστος ριθμός μονάδων προϊόντος που πρέπει ν πρχθούν ώστε η βιομηχνί ν ( ) επιτύχει το μέγιστο κέρδος είνι x = Η() = μονάδ ημερησίως. Η τιμή της θ είνι ( ) 6 χιλιάδες ευρώ. Θέμ Γ Γ. x x x f (x) ln x f (x) ln ln 0 x x + f (x) 0 + f(x) Γι x= η f(x) προυσιάζει ολικό ελάχιστο το f()= ln O.E. Άρ = κι f 6 %= f i % 0 Α f% f% (ΑΒΓΔ)= 5 3 f % f 5 % 6 Δ Β Γ x i

7 f %... f 6% 00 3f % f % f 5% f 6% 0 3f % 6 00 f % F %=F 3 %+f %6=+ f % f %=0 κι προφνώς f 5 %= Γ. [,β) x i f i % F i % x i f i % x i x i f i % [6 0) 3 59 [0 ) [ 6) [ 3) [3 36) [36 0) Σύνολο i i i i i i ν i i 00 i 00 x x ν xf xf% 30 6 x 6 iνi 6 6 i 99 s xi ν i xi νi x xi f i% x 30 9, ν i ν v i 00 i 00 Άρ s s 5,3 s 9, 5,3 κι CV 0, % x 30 To δείγμ δεν είνι ομοιογενές. Γ 3. ν=5, άρ ν i = f% i ν κι κολούθως συμπληρώνουμε τον πίνκ. 00 [,β) ν i [6 0) [0 ) [ 6) [ 3) 0 [3 36) 6 [36 0) 3 Σύνολο ν = 5 Έστω Π το ενδεχόμενο «το βρέφος θεωρείτι πρόωρο» κι Φ το ενδεχόμενο «το βρέφος έχει φυσιολογικό βάρος». ν Ν(Π) = ν + ν + ν 3 +. Άρ Ρ(Π) = 5 Ν(Φ) = ν + ν 5 = 6 Άρ Ρ(Φ) = 6 5 ν Ν( Π Φ) = 5, Άρ 5 Ρ(ΠΦ) 5

8 φού τ πρόωρ έχουν βάρος πό 600gr ως 3000gr κι τ φυσιολογικά πό 00gr ν λλά κάτω πό 3600gr, η τομή τους θ είνι το διάστημ [ ] = [ 30] = 5. (Υποθέτοντς πάντ ότι οι τιμές είνι ομοιόμορφ κτνεμημένες στις κλάσεις). Η ζητούμενη πιθνότητ είνι η 6 5 P(ΠΦ) Ρ(Π) Ρ(Φ) Ρ(ΠΦ) Θέμ Δ x κι ε: y = x + x 3 Άρ λ ε =. Αφού ε ε [όπου ε η εφπτομένη στο (0,f(0)) ] λελε λε f(0) ln() sp(a) sp(a). Δ. f (x) ln(x ) x P(A) P(B) e x s P(A) Δ. Γνωρίζουμε πό εφρμογή του σχολικού ότι η συνάρτηση προυσιάζει την ελάχιστη τιμή της γι x ο = x. Άρ x 0. s CV 0, 0, s 0,x s. () x Όμως () s P(A) s P(A) P(A) P(A). Δ 3.. Έστω ότι τ ενδεχόμεν Α κι Β είνι συμβίβστ. Με P(A) κι Ρ(Β) = λ πό πλό προσθετικό νόμο έχουμε: P(A B) P(A) P(B) λ άτοπο! Άρ τ Α κι Β δεν είνι συμβιβστ. 3 g(x) (x x) β. A B A P(A B) P(A) P(A B) () P(A B) P(A) P(B) P(A B) λ P(A B) P(A B) λ (3) Από () κι (3) έχουμε ότι λ P(A B). i i

9 Δ.. Η πιθνότητ ν πργμτοποιηθεί το πολύ έν πό τ ενδεχόμεν Α ή Β είνι 5 6. Άρ 5 P(A B) P(A B). 6 6 Η πιθνότητ ν πργμτοποιηθεί το μόνο έν πό τ ενδεχόμεν Α ή Β είνι Άρ P (A B) (BA) P(A B) P(A B) P(A B) 6 7 P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(B) 6