Λφσεις των θεμάτων ΣΕΣΑΡΣΘ 18 MAΪΟΤ 2016 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ)

Transcript

1 ΑΠΟΛΤΣΗΡΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ) ΣΕΣΑΡΣΘ 8 MAΪΟΤ 6 Λφσεις των θεμάτων Ζκδοση η (8/5/6, 3:)

2 Οι ααντιςεισ και οι λφςεισ είναι αοτζλεςμα ςυλλογικισ δουλειάσ των Ειμελθτών των φακζλων του Λυκείου του Δικτυακοφ Σόου mathmaticagr με βάςθ υλικό ου αναρτικθκε ςτο mathmatica υνεργάστηκαν οι: Ανδρζασ Βαρβεράκθσ, φροσ Βαςιλόουλοσ, Βαςίλθσ Κακαβάσ, Γιώργθσ Καλακάκθσ, Φωτεινι Καλδι, φροσ Καρδαμίτςθσ, Νίκοσ Κατςίθσ, Χριςτοσ Κυριαηισ, τάκθσ Κοφτρασ, Γρθγόρθσ Κωςτάκοσ, Θάνοσ Μάγκοσ, Βαγγζλθσ Μουροφκοσ, Ροδόλφοσ Μόρθσ Μίλτοσ Πααγρθγοράκθσ, Λευτζρθσ Πρωτοαάσ, Γιώργοσ Ρίηοσ, Γιώργοσ Ροδόουλοσ, Μάμθσ τεργίου, ωτιρθσ τόγιασ, Αλζξανδροσ υγκελάκθσ, Κώςτασ Σθλζγραφοσ, Χριςτοσ Σςιφάκθσ Σο Δελτίο διατίκεται ελεφκερα αό το δικτυακό τόο mathmaticagr

3 ΠΑΝΕΛΛΘΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΘ ΘΜΕΡΘΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΣΕΣΑΡΣΘ 8 MAΪΟΤ 6 ΕΞΕΣΑΗΟΜΕΝΟ ΜΑΘΘΜΑ: ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ) ΘΕΜΑ Α Α Ζςτω μία ςυνάρτθςθ f αραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα (α, β), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο του, ςτο οοίο όμωσ θ f είναι ςυνεχισ Αν f () ςτο (α, ) και f () ςτο (, β), τότε να αοδείξετε ότι το f( ) είναι τοικό μζγιςτο τθσ f Μονάδες 7 Α Πότε δφο ςυναρτιςεισ f, g λζγονται ίςεσ Μονάδες 4 Α3 Να διατυώςετε το κεώρθμα μζςθσ τιμισ του διαφορικοφ λογιςμοφ και να το ερμθνεφςετε γεωμετρικά Μονάδες 4 Α4 Να χαρακτθρίςετε τισ ροτάςεισ ου ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, δίλα ςτο γράμμα ου αντιςτοιχεί ςε κάκε ρόταςθ, τθ λζξθ ωστό, αν θ ρόταςθ είναι ςωςτι, ι Λάθος, αν θ ρόταςθ είναι λανκαςμζνθ α) Για κάκε ςυνεχι ςυνάρτθςθ f :[α, β+ IR, αν G είναι μία αράγουςα τθσ f ςτο [α,β+, τότε το β f()d G(α) G(β) α β) Αν οι ςυναρτιςεισ f,g ζχουν όριο ςτο και ιςχφει f() g() κοντά ςτο, τότε lim f() lim g() o o γ) Κάκε ςυνάρτθςθ f, για τθν οοία ιςχφει f () για κάκε (α, ) (,β) είναι ςτακερι ςτο (α, ) (,β) δ) Μια ςυνάρτθςθ f είναι αν και μόνον αν, για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμών τθσ, θ εξίςωςθ y f() ζχει ακριβώσ μία λφςθ ωσ ροσ ε) Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο *α, β+, τότε θ f αίρνει ςτο [α,β+ μία μζγιςτθ M και μία ελάχιςτθ τιμι m Μονάδες ΑΠΑΝΣΘΕΙ Α χολικό Βιβλίο ςελ 6, (ερίτωςθ i) Α χολικό Βιβλίο ςελ 4 Α3 χολικό βιβλίο ςελ 46 3

4 Α4 α) Λάθος, χολικό Βιβλίο ςελ 334 β) ωστό, χολικό Βιβλίο ςελ 66 γ) Λάθος, χολικό Βιβλίο ςελ 5 δ) ωστό, χολικό Βιβλίο ςελ 5 ε) ωστό, χολικό Βιβλίο ςελ 95 ΘΕΜΑ B Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f(), IR Β Να βρείτε τα διαςτιματα ςτα οοία θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα, τα διαςτιματα ςτα οοία είναι γνθςίωσ φκίνουςα και τα ακρότατα τθσ f Μονάδες 6 Β Να βρείτε τα διαςτιματα ςτα οοία θ f είναι κυρτι, τα διαςτιματα ςτα οοία θ f είναι κοίλθ και να ροςδιορίςετε τα ςθμεία καμισ τθσ γραφικισ τθσ αράςταςθσ Μονάδες 9 Β3 Να βρεκοφν οι αςφμτωτεσ τθσ γραφικισ αράςταςθσ τθσ f Μονάδες 7 Β4 Με βάςθ τισ ααντιςεισ ςασ ςτα ερωτιματα Β, Β, Β3 να ςχεδιάςετε τθ γραφικι αράςταςθ τθσ f (Η γραφικι αράςταςθ να ςχεδιαςτεί με ςτυλό) Μονάδες 3 ΛΤΘ: Β Η f είναι αραγωγίςιμθ ςτο IR με f () ( ) Είναι f () ( ) Για ζχουμε f () και εειδι θ f είναι ςυνεχισ ςτο =, θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο [, ) Για ζχουμε f () και εειδι θ f είναι ςυνεχισ ςτο =, θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (,] Άρα θ f αρουςιάηει ολικό ελάχιςτο ςτο το f() Β Η f είναι αραγωγίςιμθ ςτο R με Είναι f () ( ) 6 3 f () 6 ι ( ) ( ) f () 6 ( ) ( ) f () 6 ι ( ) ( )

5 Άρα θ f κοίλθ ςτο, 3, κυρτι ςτο 3 3 3, 3 3 και κοίλθ ςτο 3, Η ςυνάρτθςθ ζχει ςθμεία καμισ τα A,f 3 3 και B,f 3 3 δθλαδι ςτα ςθμεία 3 3 A, 3 4 και B, 3 4 Β3 Η γραφικι αράςταςθ τθσ f δεν ζχει κατακόρυφεσ αςφμτωτεσ, αφοφ είναι ςυνεχισ ςτο ΙR Είναι lim f() lim lim και ομοίωσ lim f() Άρα θ γραφικι αράςταςθ τθσ f ζχει οριηόντια αςφμτωτθ τθν ευκεία y και ςτο και ςτο Β4 Η μονοτονία, τα ακρότατα, θ καμυλότθτα και τα ςθμεία καμισ τθσ f φαίνονται ςτον ίνακα: f () + + f () + + f() 4 4 Με βάςθ τα ςυμεράςματα των Β, Β, Β3, ςχεδιάηουμε τθ γραφικι αράςταςθ τθσ f χόλιο: Η αρατιρθςθ ότι θ f είναι άρτια διευκολφνει τθν είλυςθ του κζματοσ 5

6 ΘΕΜΑ Γ Γ Να λφςετε τθν εξίςωςθ, IR Γ Να βρείτε όλεσ τισ ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ f :IR IR ου ικανοοιοφν τθν ςχζςθ f () για κάκε IR και να αιτιολογιςετε τθν αάντθςθ ςασ Γ3 Αν f(), IR, να αοδειχκεί ότι θ f είναι κυρτι Γ4 Αν f είναι θ ςυνάρτθςθ του ερωτιματοσ Γ3, να λυκεί θ εξίςωςθ f θμ 3 f θμ f 3 f όταν [, ) Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 4 Μονάδες 9 ΛΤΘ: Γ Ορίηουμε τθ ςυνάρτθςθ, θ οοία είναι αραγωγίςιμθ ςτο IR με f f Είναι για κάκε IR, οότε f () < <, f () > > και f () = = Αφοφ είναι ςυνεχισ, θ μονοτονία τθσ φαίνεται ςτον ίνακα Εομζνωσ θ f() ζχει ελάχιςτο ςτο = το f() =, οότε με τθν ιςότθτα να ιςχφει μόνο για = f f f, Άρα θ εξίςωςθ, ζχει μοναδικι λφςθ τθν Γ Εειδι, για κάκε IR θ δοςμζνθ ςχζςθ δίνει ιςοδφναμα ότι: Είςθσ, f(), IR f() f () ( ) Άρα, θ f ζχει μοναδικι ρίηα το Η ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο διάςτθμα (, ) και δεν μθδενίηεται ςε αυτό Εομζνωσ θ f διατθρεί ρόςθμο ςτο (, ) 6

7 Ζτςι: αν f() ςτο (, ), τότε ςε αυτό το διάςτθμα είναι αν f() ςτο (, ) Εειδι, f(), κα είναι: f(),, τότε ςε αυτό το διάςτθμα είναι f(), για κάκε [, ) ι f() f(), για κάκε [, ) Είςθσ, θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο διάςτθμα (,) και δεν μθδενίηεται ςε αυτό Εομζνωσ θ f διατθρεί ρόςθμο ςτο (,) Ζτςι: αν f() ςτο (,), τότε ςε αυτό το διάςτθμα είναι f(), αν f() ςτο (,) Εειδι, f(), τότε, τότε ςε αυτό το διάςτθμα είναι f(), για κάκε (,] υνδυάηοντασ τα αραάνω, θ f ζχει ζναν αό τουσ αρακάτω τφουσ: α) γ) ι f() f(), IR ι β) f(), αν ( ), αν Γ3 H f είναι δφο φορζσ αραγωγίςιμθ ςτο IR, με και Εειδι Είςθσ είναι για κάκε ΙR είναι ι δ) f(), για κάκε (,] f() ( ), IR ι f() f () f () 4 4, αν ( ), αν 4 για κάκε IR, οότε f () για κάκε IR και f () αν και μόνο αν Οότε, αφοφ θ f είναι ςυνεχισ ςτο, κα είναι γνθςίωσ αφξουςα και ςυνεώσ θ f κα είναι κυρτι Γ4 Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ h f 3 f οριςμζνθ ςτο, Η h είναι αραγωγίςιμθ ςτο,, ωσ ςφνκεςθ και διαφορά αραγωγίςιμων ςυναρτιςεων με: h f 3 f Εειδι θ f είναι κυρτι ςτο IR, τότε θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο, IR 7

8 Αφοφ για κάκε, ιςχφει 3 και εειδι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε αυτό το διάςτθμα ζχουμε: f 3 f f 3 f h Εομζνωσ θ ςυνάρτθςθ h είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο,, άρα και Η εξίςωςθ f θμ 3 f θμ f 3 f, για, Ιςχφει θμ h θμ h θμ, για IR, με το ίςον να ιςχφει μόνο αν Αν ροκφτει θμ, με το ίςον να ιςχφει μόνο αν Άρα θ αρχικι εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ τθ γράφεται ιςοδφναμα : ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ και δφο φορζσ αραγωγίςιμθ ςτο R, με ςυνεχι δεφτερθ αράγωγο, για τθν οοία ιςχφει ότι: f() f () θμ d f() f(ir) IR και lim θμ για κάκε IR f() f(f()) Δ Να δείξετε ότι f() (μονάδεσ 4) και f () (μονάδεσ 3) Δ α) Να δείξετε ότι θ f δεν αρουςιάηει ακρότατο ςτο IR (μονάδεσ 4) β) Να δείξετε ότι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο IR (μονάδεσ ) θμ ςυν Δ3 Να βρείτε το lim f() Δ4 Να δείξετε ότι ΛΤΘ: f(ln) d Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Δ Ζχουμε διαδοχικά 8

9 Δ Είςθσ, για f() f () θμ d f ςυν d f () θμ d f ςυν f ςυν d f θμ f ςυν d f ςυν f ςυν f θμ f θμ f f, είναι f() limf() lim θμ θμ Αφοφ θ f είναι ςυνεχισ ςτο =, (ωσ αραγωγίςιμθ), κα είναι f(), οότε f() = Είναι Άρα f () f() f() f() θμ lim lim θμ α) Ζςτω ότι θ ςυνάρτθςθ f αρουςιάηει ακρότατο ςτο IR Η f είναι αραγωγίςιμθ ςτο, αρουςιάηει ακρότατο ςτο και το είναι εςωτερικό του εδίου οριςμοφ Άρα αό το κεώρθμα Frmat αίρνουμε ότι f ( ) Οι ςυναρτιςεισ ςτα δφο μζλθ τθσ δοςμζνθσ ςχζςθσ είναι αραγωγίςιμεσ (αφοφ θ f είναι αραγωγίςιμθ ςτο ΙR, οότε θ f() είναι αραγωγίςιμθ ςτο IR (ωσ ςφνκεςθ αραγωγίςιμων), θ f(f()) είναι αραγωγίςιμθ ςτο IR (ωσ ςφνκεςθ αραγωγίςιμων) και θ είναι αραγωγίςιμθ ςτο IR) και ίςεσ ςυναρτιςεισ άρα και οι αράγωγοί τουσ είναι ίςεσ Παραγωγίηοντασ τα δφο μζλθ τθσ δοςμζνθσ ςχζςθσ αίρνουμε : Αυτι για δίνει : f() f () f (f())f () f( ) f ( ) f (f( ))f ( ), ου είναι άτοο, αφοφ f ( ) f () Άρα τελικά θ ςυνάρτθςθ f δεν αρουςιάηει ακρότατο β) Αφοφ θ f για κάκε IR και θ f είναι ςυνεχισ, αό τθν υόκεςθ ροκφτει ότι θ f κα διατθρεί το ρόςθμό τθσ ςτο IR και με και ςυνεώσ θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο IR f f για κάκε IR Δ3 Αφοφ θ f() είναι γνθςίωσ αφξουςα και ςυνεχισ ςτο IR, άρα f(ir) lim f(), lim f() και εφόςον ζχει ςφνολο τιμών το ΙR (δεδομζνο), εομζνωσ, lim f( ) άρα lim f() 9

10 Η ςυνάρτθςθ αίρνει κετικζσ τιμζσ για (α, ), με α >, ςυνεώσ: θμ ςυν θμ ςυν θμ ςυν f() f() f() f() f() f() Είναι όμωσ lim lim f(), οότε αό το κριτιριο αρεμβολισ αίρνουμε ότι: f() θμ ςυν lim f() Δ4 το ολοκλιρωμα Σο ολοκλιρωμα γίνεται: f ln d κζτουμε u ln du d Εομζνωσ: u και u f ln d f u du: Αφοφ θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο IR άρα και ςτο *, + και ιςχφει f() =, f() =, κα είναι u f fu f fu Οότε, ολοκλθρώνοντασ τθν τελευταία ανιςότθτα, αφοφ το ίςον δεν ιςχφει αντοφ (βλζε και τθ χριςιμθ ρόταςθ με τθν αόδειξι τθσ ςτισ εναλλακτικζσ λφςεισ ςτο τζλοσ του Δελτίου), ΑΛΛΕ ΛΤΕΙ: f ln f udu du d Γ Ιςχφει θ ανιςότθτα y y με το ίςον να ιςχφει αν και μόνο αν y =, οότε με ιςότθτα αν και μόνο αν = Άρα θ εξίςωςθ, ζχει μοναδικι λφςθ το Γ Ιςχφει ότι ln για κάκε, με τθν ιςότθτα να ιςχφει μόνο αν Άρα, αν y, y IR ςχφει μόνο αν y Άρα, y y, τότε ln, οότε, για κάκε IR, με τθν ιςότθτα να ιςχφει μόνο αν Οότε, θ εξίςωςθ, ζχει μοναδικι λφςθ το y y, για κάκε y IR, με τθν ιςότθτα να ι-, δθλαδι μόνο αν Γ Η εξίςωςθ γράφεται g( ) όου g() θ οοία ζχει αράγωγο Για είναι g (), για είναι g () και για είναι g () g ()

11 υνεώσ θ g ωσ ςυνεχισ ςτο ΙR είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (,] και γνθςίωσ αφξουςα ςτο [, ) άρα αρουςιάηει ολικό ελάχιςτο ςτο το g() υνεώσ θ μοναδικι λφςθ τθσ εξίςωςθσ g() είναι θ Άρα θ αρχικι εξίςωςθ γίνεται g( ) ΧΟΛΙΟ: Σο ότι θ μοναδικι λφςθ τθσ g() είναι το μορεί να αοδειχκεί μζςω τθσ γνωςτισ ανιςότθτασ με ιςότθτα μόνο ςτο, αφοφ όμωσ ρώτα αοδειχκεί Γ3 Είναι f () ( ) ( ), R Σώρα για () Ακόμθ ιςχφει ότι () και ολλαλαςιάηοντασ τισ (),() ροκφτει ότι ( ) ( ) f ( ) f ( ) ου ςθμαίνει ότι θ f είναι γνιςια αφξουςα ςτο [, ) Παρατθροφμε ότι ιςχφει ( ) f ( ) f (), R εομζνωσ για άρα αό ροθγοφμενο f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ου ςθμαίνει ότι θ f είναι γνιςια αφξουςα ςτο (, ] και εειδι θ f ςυνεχισ ςτο θ f είναι γνιςια αφξουςα ςτο IR άρα θ f κυρτι ςτο ΙR Γ4 Θα δείξουμε ότι θ είναι μοναδικι λφςθ τθσ εξίςωςθσ Τοκζτουμε λοιόν, αντίκετα, ότι υάρει ου να είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ Ιςφει θμ (αό τθ γνωςτι ανιςότθτα θμ με ιςότθτα μόνο για ) κακώσ είςθσ θμ θμ 3 και 3 Διακρίνουμε τισ εριτώςεισ: Αν θμ 3 τότε θμ θμ 3 3 και εειδι ιςφουν οι ροχοκζςεισ του ΘΜΣ ςε κάκε ζνα αό τα διαςτιματα θμ, θμ 3,, 3 άρα υάρουν ξ θμ, θμ 3, ξ, 3 ώςτε θ εξίςωςθ να γράφεται: 3f (ξ ) 3f (ξ ) α όου f(ξ ) f (ξ ) και αφοφ θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα (ωσ κυρτι) άρα είναι και - κι ζτςι αίρνουμε ξ ξ, ράγμα άτοο αφοφ τα ξ,ξ ανικουν ςε διαφορετικά διαςτιματα Αν θμ 3 τότε θμ θμ 3 3 Γράφουμε τθν εξίςωςθ ςτθ μορφι: f( ) f θμ f( 3) f θμ 3 Εειδι ιςφουν οι ροχοκζςεισ του ΘΜΣ ςε κάκε ζνα αό τα διαςτιματα

12 θμ,, θμ 3, 3 άρα υάρουν ξ ( θμ, ), ξ θμ 3, 3 εξίςωςθ να γράφεται: ( θμ )f (ξ ) ( θμ )f (ξ ) ώςτε θ και αφοφ θμ άρα f(ξ ) f (ξ ) και αφοφ θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα (ωσ κυρτι) άρα είναι και - κι ζτςι αίρνουμε ξ ξ, ράγμα άτοο αφοφ τα ξ,ξ ανικουν ςε διαφορετικά διαςτιματα f Δ Ζςτω g, οότε κοντά ςτο ζχουμε θμ limf lim g θμ Αφοφ θ f() είναι ςυνεχισ ςτο =, είναι f() = Οότε f διότι f f f lim f'() lim lim f'() θμ θμ θμ lim f f f lim lim f'() Δ Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ Ιςχφει αό τθν υόκεςθ limg f g,,, IR θμ f Αλλά g f gθμ θμ και αφοφ limg, limθμ άρα limf limg limθμ f 3 f ςυνεχθ ςτo ζχει δειχκεί ροθγουμζνωσ) αίρνουμε f Είναι f f g θμ f lim lim κι ζτςι αό τθν f () f ( ) (ου = f θμ lim g,lim θμ θμ limg limg lim f γνθςιωσ αυξoυςα f f f f γνθςιωσ αυξoυςα Δ3 Για κάκε f f f f ff

13 Για τθ ςυνάρτθςθ M, είναι θ ευκεία t, θ οοία είναι δφο φορζσ αραγωγίςιμθ ςτο με t, άρα κυρτι ςτο, θ εφατόμενθ τθσ γραφικισ τθσ αράςταςθσ ςτο ςθμείο τθσ ε : y και λόγω τθσ κυρτότθτασ είναι, με τθν ιςότθτα να ιςχφει για ενώ για είναι Ζτςι αό τθν () αίρνουμε ιςοδφναμα f ln ln ln f ln Είναι Είςθσ θμ ςυν f θμ ςυν 3 f f f, θμ ςυν θμ ςυν Και αλλά αό τον κανόνα του D L' Hospital είναι Ζτςι και f ln θμ ςυν f f lim lim lim lim lim lim lim lim ln u,u lim lnu u κριτθριo αρεμβoλθσ 8 lim, lim θμ ςυν 4 f f κριτθριo αρεμβoλθσ lim lim ln f θμ ςυν θμ ςυν θμ ςυν θμ ςυν lim και με f f f f αό το κριτιριο αρεμβολισ ροκφτει ότι θμ ςυν θμ ςυν lim lim f f θμ ςυν lim f χόλιο: Με τθν αόδειξθ τθσ ανιςότθτασ () ου ζγινε αραάνω, το δεδομζνο ότι f ( ) αοδεικνφεται εριττό αλλά χριςιμο για να είναι θ άςκθςθ ιο ροςιτι ςτουσ μακθτζσ Άρα καλώς δόκθκε Δ4 Ζςτω F αρχικι τθσ f Η αοδεικτζα ιςοδφναμα γίνεται: 3

14 f (ln ) F(ln ) d d F(ln ) F ln( ) F ln() F F F F Με εφαρμογι του ΘΜΣ για τθν F ςτο F ώςτε F F, αφοφ λθροφνται οι υοκζςεισ, υάρχει,, οότε αό τθν () ιςοδφναμα ζχουμε ότι: F f f f ου είναι αλθκισ αφοφ θ f είναι γνιςια αφξουςα Δ4 Η αριςτερι ανιςότθτα ροφανώσ ιςχφει διότι θ ςυνάρτθςθ f(ln) [, ] αφοφ είναι Για τθ θ: διότι οι ςυναρτιςεισ κάκε είναι ςυνεχισ, μθ αρνθτικι ςτο f f(ln) ln f(ln) f() και δε μθδενίηεται αντοφ ςτο f(ln) d f(ln)(ln) d f(ln) lnd ln f'(ln)d [, ] ln, f (ln) είναι ςυνεχείσ, μθ αρνθτικζσ (ςτο Δ αοδείξαμε ότι f () για με ιςότθτα μόνο ςτο ) και δε μθδενίηεται αντοφ ςτο διάςτθμα [, ] Άρα ln f'(ln)d Δ4 f f(ln) ln f() f(ln) f() ( ) (το ςθμείο αυτό χρθςιμοοιείται ότι οι ςυναρτιςεισ f(ln) f(ln) και δεν μθδενίηονται αντοφ ςτο [, ], χ για και αντίςτοιχα Βλζε τθν ρόταςθ αρακάτω) f(ln) f(ln) f(ln) d d d d *ln+ d (ln ln) f(ln) d 4

15 ( ) Χρθςιμοοιικθκε θ ρόταςθ: Αν οι ςυναρτιςεισ f,g είναι ςυνεχείσ ςτο [α,β+ με f() g() για κάκε [α,β+ και θ ςυνάρτθςθ g f δεν είναι αντοφ μθδζν ςτο [α,β+ τότε ιςχφει ΑΠΟΔΕΙΞΘ: β f()d g()d Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ h οριςμζνθ ςτο [α,β+ με h() g() f() α Σότε θ h είναι ςυνεχισ ςτο [α,β+, αό τα δεδομζνα ιςχφει h() για κάκε [α,β+, και δε μθδενίηεται αντοφ ςτο [α,β+, οότε αό ρόταςθ του ςχολικοφ βιβλίου: β β β β β β h()d g() f() d g()d f()d f()d g( )d α α α α α α β α 5