5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Transcript

1 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι: η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ μονάδες 7 Α Πότε η ευθεία y λ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ; Α3 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f για κάθε Δ β) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε μπορεί να υπάρχει f χ Δ τέτοιο, ώστε β β β γ) Ισχύει f gd fd gd α α α δ) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h g f, τότε ορίζεται και η h g f και ισχύει h g f h g f ε) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες σ ένα διάστημα Δ, τότε ΘΕΜΑ Β f g f g μονάδες 5 α ημ β, Δίνεται η συνάρτηση f, αημ β, Β Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β για τις οποίες η f είναι παραγωγίσιμη στο με f μονάδες 5 Έστω α β Β Να δείξετε ότι δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Roll στο π, π, όμως υπάρχει σημείο της C στο διάστημα αυτό που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος αυτού f Β3 Να δείξετε ότι υπάρχει π, τέτοιο, ώστε Β4 Να βρείτε διάστημα f μονάδες 3 α,β π, π στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll για την f μονάδες 5 Β5 Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

2 Β6 Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός τέτοιο, ώστε ημ 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται η συνάρτηση f:, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε: f lim f, f ff και f για κάθε Γ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη μονάδες 3 Γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο μονάδες 5 g f, τότε: Αν επιπλέον Γ3 Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να βρείτε το : ημ lim g μονάδες 6 Γ4 Να αποδείξετε ότι fd μονάδες 5 Γ5 Έστω F αρχική της f Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και είναι E Ω 5 τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε FξF ΘΕΜΑ Δ f d και στη συνέχεια να Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι f ln f f Δ Να αποδείξετε ότι για κάθε, f και f μονάδες 6 ln f μονάδες 5 Δ Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δ3 Να βρείτε τους Δ4 Έστω ln α lnβ α,β,,, γ για τους οποίους ισχύει ότι α β γ g ln f, μονάδες 6 α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την εφαπτομένη της C στο και την ευθεία μονάδες 5 g β) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες και μονάδες 5 g Στέλιος Μιχαήλογλου

3 Λύσεις ΘΕΜΑ A Α Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει f ( ) f ( ) Πράγματι Αν, τότε προφανώς f ( ) f ( ) Αν, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος f ( ) f ( ) μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ),οπότε, λόγω της (), είναι f ( ) f ( ) Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f ( ) f ( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f ( ) f ( ) Α Η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αντιστοίχως στο, αν lim[f () ( )], αντιστοίχως lim[f () ( )] Α3 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού f () f ( ) της, αν υπάρχει το lim και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο f () f ( ) f ( ) lim Α4 α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Λ και συμβολίζεται με f Δηλαδή: ΘΕΜΑ Β Β Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής σ αυτό, δηλαδή: lim f lim f f lim lim f f lim lim lim, f f lim lim lim Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο με f, πρέπει f f f f lim lim, f,, f, f εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Roll στο, Επειδή συμπέρασμα του θεωρήματος στο Β Είναι Β3 Επειδή f f και η f είναι συνεχής στο, Επειδή f f f ικανοποιείται το δεν, λόγω του θεωρήματος Bolzano,

4 υπάρχει, τέτοιο, ώστε f Β4 Είναι f f και η f είναι συνεχής στο υπάρχει, τέτοιο, ώστε f Επειδή f f και η f είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Roll στο,, Β5 Για κάθε Επειδή στο, Για κάθε Επειδή στο,, οπότε λόγω του θεωρήματος Bolzano, είναι f f για κάθε, και η f είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα είναι f f για κάθε, και η f είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα lim f lim lim γιατί για είναι Επειδή lim lim lim, από το κριτήριο παρεμβολής είναι και lim Επίσης lim f lim lim γιατί από το κριτήριο παρεμβολής είναι και lim η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει αντίστοιχο Στο διάστημα, σύνολο τιμών: f lim f,f, Στο διάστημα, σύνολο τιμών: f lim f, f, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει αντίστοιχο f A f f, Το σύνολο τιμών της f είναι το f 6 Β6 Επειδή 6 f και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο υπάρχει μοναδικός τέτοιο, ώστε 7 ΘΕΜΑ Γ f Γ Έστω h, με lim h f Τότε f h και lim f lim h Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο, οπότε και στο, άρα f f limf Τότε f lim f Η εφαπτομένη της C f στο είναι η ευθεία ε: y f f y Γ Επειδή f και η f είναι συνεχής (αφού είναι 3 φορές παραγωγίσιμη), διατηρεί σταθερό πρόσημο, οπότε η f είναι γνησίως μονότονη

5 Από το θεώρημα Μέσης Τιμής για την f, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f f f f Είναι f f f f f Επειδή, f f αύξουσα, άρα η f είναι κυρτή Γ3 Η g είναι παραγωγίσιμη στο με f και η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως g f Για κάθε f f f g g, f Για κάθε f f f g g, Η g έχει ελάχιστο το gf lim lim g f γιατί επειδή η f είναι κυρτή βρίσκεται πάνω από για κάθε και κάθε εφαπτομένη της εκτός από το σημείο επαφής, άρα f επειδή f είναι lim Ακόμη είναι lim f για κάθε με το ίσον να ισχύει μόνο για και Γ4 Επειδή f f η f είναι συνεχής, ισχύει ότι: f d f d d f d Γ5 Είναι g f, οπότε E g d f d f d f d Έστω F F,, Επειδή η F είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο,, οπότε η φ είναι συνεχής στο Είναι F F f t dt 4, F F f tdt, δηλαδή, άρα λόγω του θεωρήματος Bolzano υπάρχει, τέτοιο, ώστε ΘΕΜΑ Δ Δ F F f f f ln f f f ln f f f f ln f f ln f f ln f c, c ln Για είναι c, άρα f ln f f f ln ln ln ln ln ln f f f f c f c, c

6 Για είναι c Δ Είναι άρα f ln ln ln f ln Για κάθε f f, και για κάθε είναι είναι Η f έχει ελάχιστο το f f, f ln ln Δ3 Είναι f f για κάθε, άρα f και ln ln ln ln Τότε, άρα μόνο όταν f και f ln Δ4 α) g ln ln ln Είναι g, gln ln και g Η εφαπτομένη της C g στο έχει εξίσωση: f, άρα και f f και αυτό ισχύει y gg y y ln ln Είναι g για κάθε άρα η g είναι κοίλη στο, Επειδή η g είναι κοίλη στο,, βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της στο διάστημα αυτό, εκτός του σημείου επαφής, δηλαδή g για κάθε, Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ln d ln d 4 ln ln 3 E 4 ln d 3 E 5 ln β) Είναι d d ln g για κάθε, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε είναι και - και αντιστρέφεται Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: g d g u g u d g u du Για είναι Θέτουμε για 4 g u 4 u είναι g d u g u du ug u du u u ln u u du 4 u ln u u gu u και du u ln udu