ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ"

Ωρίων Δελή
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH

2 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ημερομηνία : 18-Μαΐου-16 Επιμέλεια: Ask4math ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () στο (, o ) και f () στο ( o, ), τότε να αποδείξετε ότι το f( o ) είναι τοπικό μέγιστο της f. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες. Σελ. 1 από 14 Μονάδες 7 Μονάδες 4 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

3 α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [, ] R, αν G είναι μία παράγουσα της f στο [, ], τότε το f()d G( ) G( ) β) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο o και ισχύει f() g() κοντά στο o, τότε lim f() lim g() o o γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f () για κάθε (, ) (, ) o o είναι σταθερή στο o o (, ) (, ). δ) Μια συνάρτηση f είναι 1 1 αν και μόνον αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y f() έχει ακριβώς μία λύση ως προς. ε) Αν η f είναι συνεχής στο [, ], τότε η f παίρνει στο [, ] μία μέγιστη M και μία ελάχιστη τιμή m. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() 1, R. Β1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. Μονάδες 6 Β. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η f είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Β. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασηs της f. Μονάδες 9 Σελ. από 14

4 Μονάδες 7 Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β1,Β,Β να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Η γραφική παράσταση α σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Γ1. Να λύσετε την εξίσωση e 1, R. Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R R που ικανοποιούν την σχέση f () e 1 απάντηση σας. για κάθε R και να αιτιολογήσετε την Μονάδες 8 Γ. Αν f() e 1, R, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 4 Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση f f f f όταν [, ). Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Σελ. από 14

5 Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: f() f () d f() f(r) R και lim 1 f ( ) e f(f()) e για κάθε R. Δ1. Να δείξετε ότι f( ) (μονάδες 4) και f () 1 (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ. α) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο R (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. (μονάδες 4) Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε το lim f() Μονάδες 6 Δ4. Να δείξετε ότι e f(ln ) d 1 Μονάδες 6 Σελ. 4 από 14

6 ΛΥΣΕΙΣ Θέμα Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 (i) α. Σχολικό βιβλίο σελ. 141 α. Σχολικό βιβλίο σελ Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ Σελ. 5 από 14

7 Θέμα Β Β1. H f() είναι παραγωγίσιμη στο ως ρητή, με παράγωγο ( 1) () f () ( 1) ( 1) ( 1) f '() Άρα f () f() min f() f '() στο (,), άρα f() γνησίως φθίνουσα στο [,] f '() στο (, ), άρα f() γνησίως φθίνουσα στο [, ] Οπότε η f() παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f(). Β. Έχουμε ' ()'[( 1) ] [( 1) ]' 4 f ''() ( ) ( 1) ( 1) 4 [( 1) ] [( 1)( 1)'] ( 1) 8 ( 1) 4 4 ( 1) ( 1) Σελ. 6 από 14

8 4 ( 1) f ''() 6 4 Θέτω άρα -6ω -4ω+= Οπότε 1 1 ή ω=.άρα 1 1 αδύνατη ή. 1 f( ) f( ) 4 f () f() ΣΚ ΣΚ Η f()είναι κοίλη στο Η f()είναι κυρτή στο Η f()είναι κοίλη στο (, ] [, ] [, ) Β. Επειδή η f() ορίζεται στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Αναζητούμε οριζόντια στο. lim f() lim lim 1 1. Άρα y=1 οριζόντια ασύμπτωτη στο Ομοίως στο y 1 οριζόντια ασύμπτωτη. Επειδή η συνάρτηση έχει στο ± οριζόντια ασύμπτωτη, δεν έχει πλάγια. Σελ. 7 από 14

9 Β4. f () f () f() min f() Θέμα Γ Σελ. 8 από 14

10 Γ1. Θεωρούμε h() e 1, Παρατηρούμε ότι η για είναι προφανής λύση, αφού h() e 1 h () (e 1) (e 1) h () (e 1) ή e 1 e 1, που ισχύει h () h() min h() Άρα μοναδική λύση. Γ. Έστω f : συνεχής και e 1 οπότε: f () (e 1) f () (e 1) Άρα δυνατές συνεχείς συναρτήσεις που να πληρούν τις προϋποθέσεις είναι: 1, f () e 1 f () e 1 e 1,, f (), e 1, Σελ. 9 από 14

11 e 1, f 4(), e 1, Κάθε κλαδωτή συνάρτηση με αλλαγή τύπου στο,, δεν θα είναι συνεχής, αφού μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το. Γ. f '() e (e 1). Για κάθε, e e =1 e -1 Α ΤΡΟΠΟΣ f ''() [(e 1)]' (e 1) (e ) (e 1) 4 e Αφού e 1 e 1. Άρα η f είναι κυρτή. Β ΤΡΟΠΟΣ Αρκεί να δείξουμε ότι e e 1, για κάθε. e e 1 e 1 1, που ισχύει για κάθε Ή αντίστοιχα, άρα f ''() για κάθε, άρα η f είναι κυρτή στο. Γ4. f( ημχ +)-f( ημ )=f(+)-f(), Θέτω g() f( ) f() g '() f '( ) f '() και f κυρτή άρα f γνησίως αύξουσα Έχω χ άρα χ+>χ f '( ) f '() f '( ) f '() g '() Άρα g() γνησίως αύξουσα, άρα g 1-1. Σελ. 1 από 14

12 Oπότε g( ημχ )=g(χ), τo = ισχύει όταν χ=, άρα χ= Θέμα Δ Δ1. Δίνεται ότι (f() f ''()) οπότε έχουμε f() d f () d f()( )'d (f ()) d f() f() 1 f ( ) f() f () d f '() f () d f( ) f() (1) f() Όμως αφού lim 1, θεωρούμε συνάρτηση f() g() f() g() Άρα lim f() lim g() g(), αφού g() συνεχής ως πηλίκο συνέχων συναρτήσεων και f() συνεχής ως παραγωγίσιμη θα είναι f() Οπότε η (1) γίνεται: f( ) f( ). Επιπλέον, Α ΤΡΟΠΟΣ f() f() lim f() f() f() 1 f () lim lim lim 1 lim ύ lim lim 1 lim Σελ. 11 από 14

13 Β ΤΡΟΠΟΣ f() f() f() f () lim lim f() Όμως είναι lim 1, οπότε: Δ. α) Α ΤΡΟΠΟΣ Οι συναρτήσεις f() f() lim f '() lim 1 1 f '() 1 lim 1 e f και f(f()) Σελ. 1 από 14 e είναι παραγωγίσιμες ως αθροίσματα παραγωγίσιμων συναρτήσεων, οπότε παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της σχέσης έχουμε: f e f '() f '(f())f '() e f f '() e f ' f() e 1 Οπότε, αν υπάρχει α που μηδενίζει την f '() θα έχουμε: Άτοπο αφού f '() 1. f f '( ) e f ' f( ) e 1 e 1 Οπότε δεν υπάρχει τιμή που να μηδενίζει την παράγωγο. Επιπλέον είναι συνεχής, ως παραγωγίσιμη στο R, επομένως δεν υπάρχουν ακρότατα της f. Β ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο. Τότε από Θ.Fermat θα είναι f '( ). Όμως: f ( ) f () e f f() e e f f() e. () e f f() G() e είναι f ( ) Οι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, οπότε: f ( ) f '() e f ' f() e 1 () f ( ) f ( ) e f f() ' e ' e f '() f ' f() f '() e 1

14 Για η () γίνεται: f ( ) f '( ) e f ' f( ) e 1 e 1 e 1 Δηλαδή, f '(). Άτοπο, διότι όπως δείξαμε είναι f '() 1. Άρα η f δεν παρουσιάζει ακρότατα. β) Από ερώτημα Δ α) Έχουμε ότι f '() για κάθε και επειδή f ' ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής διατηρεί το πρόσημο της δηλ. : ή f '() για κάθε ή f '() για κάθε. Όμως f '() 1 άρα f '() για κάθε και επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Ισχύει ότι Η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι f() f( ). Τότε: f() f() f() Όμως έχουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, οπότε θα είναι f(a) lim f(), lim f(). Όμως είναι f(a) (, ), οπότε από την ισότητα των συνόλων προκύπτει ότι lim f() Άρα είναι lim lim f() f() Επομένως από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι lim f() 1 Δ4. Θέτουμε ln u d du και u1 ln1, u ln e, οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται: e f(ln ) d 1 f(u)du Σελ. 1 από 14

15 Όμως f u f() f(u) f( ) f()du f(u)du f( )du άρα τελικά f(u)du. Όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε: u f() f(u) f( ) f(u) Επειδή f(u) f(u)du (1) και f(u) f(u) f(u) du du f(u)du f(u)du du f(u)du ( ) f(u)du () Από (1) και () είναι 1 e f(ln ) f(u)du d Καλά αποτελέσματα Σελ. 14 από 14

Σχετικά έγγραφα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων