ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: ΕΡΩΤΟΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ ΑΝΕΣΤΗΣ ΝΕΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝΑ

2 ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: ΕΡΩΤΟΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: Α.Μ: 4310 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: Βεβαιώνεται η ολοκλήρωση της παραπάνω πτυχιακής εργασίας Ο καθηγητής 2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σήμερα η Αντοχή των Υλικών, Βοηθούμενη από τη Θεωρία της Ελαστικότητας για σύντομη ανάλυση και περιγραφή των διαφόρων φαινομένων, έχει αναπτύξει σχετικά απλές αναλυτικές μεθόδους, οι οποίες βοηθούν το Μηχανικό να επιλύσει με ικανοποιητική ακρίβεια μία σειρά από τεχνικά προβλήματα που συναντώνται στην πράξη. Η Αντοχή των Υλικών από πρακτική άποψη, έχει σαν αντικείμενο: i. Να προσδιορίσει τα επικίνδυνα όρια φόρτισης των διαφόρων υλικών σε όλα τα είδη των καταπονήσεων και στη συνέχεια, να καθορίσει τα επιτρεπτά όρια φόρτισης για κάθε ένα είδος φόρτισης ξεχωριστά. ii. Να καθορίσει το πλέον κατάλληλο σχήμα των φορέων και στη συνέχεια να υπολογίσει τις διαστάσεις τους, έτσι ώστε αυτοί να έιναι σε θέση να παραλάβουν με ασφάλεια και συγχρόνως κατά τον οικονομικότερο δυνατό τρόπο τη φόρτιση, η οποία είναι δυνατόν να προέρχεται: a) Από εξωτερικές δυνάμεις. b) Από καταπονήσεις που προέρχονται από θερμοκρασιακές μεταβολές. c) Από το ίδιο βάρος του φορέα ή της κατασκευής. iii. Να υπολογίσει το μέγιστο δυνατό φορτίο το οποίο μπορεί με ασφάλεια να αναλάβει ένας φορέας ή μία κατασκευή και να ελέγξει, κατά πόσο αυτός είναι ασφαλής έναντι δεδομένης φόρτισης, ή τέλος να ελέγξει κατά πόσο οι προκληθείσες παραμορφώσεις βρίσκονται εντός των παραδεκτών ορίων. Για αρχή θα δούμε τα περιεχόμενα, έπειτα υπάρχουν 7(εφτά) κεφάλαια, τα οποία χωρίζονται σε υποκεφάλαια και εμπεριέχουν αρκετό θεωρητικό υλικό και ερωτοαπαντήσεις της Αντοχής Υλικών, ακολουθεί στη συνέχεια η βιβλιογραφία. 3

4 ABSTRACT Today, Strength of Materials, supported by the Theory of Elasticity for short analysis and description of various phenomena, has developed relatively simple analytic methods that help Engineers to solve with satisfactory precision a number of related technical problems that are met into practice. Strength of Materials from practical opinion, aims to: i. Determine the stress and strain acting on a structure and the permissible limits of stress that can be sustained by various materials that form the structure in all types of loading conditions. ii. Determine the most suitable shape and geometric characteristics of the structure and calculate their dimensions, so that the structure can be in a position to receive with safety all the loading and also to be an designed as a light and economic structure to emanate : a) From exterior forces. b) From strain that emanate from internal strains due to temperature changes. c) From its own weight of the structure. iii. Calculate the biggest possible loads that can with safety undertaken by the structure and check the permissible limits. This study work, consists of seven chapters, which are separated into sections and subsections (shown in the table of contents), includes enough theoretical material to provide a thorough understanding of the subject of Strength of Materials and a questionnaire with explanations and answers, followed by a bibliography. 4

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το ερωτηματολόγιο αυτό γράφτηκε για να καλύψει τις ανάγκες των όλων ενδιαφερόντων αλλά είναι κατάλληλο και χρήσιμο και για τους σπουδαστές των σχολών ΑΕΝ/Μηχανικών που θέλουν να κατανοήσουν εύκολα και γρήγορα τα βασικά στοιχεία της Αντοχής Υλικών και των εφαρμογών τους. Σε όλο το εγχειρίδιο έγινε μεγάλη προσπάθεια για την απλοποίησή του και την αποφυγή εξειδικευμένων λεπτομεριών, έτσι ώστε να αποτελέσει βοήθημα για όλους. Για την βοήθεια πραγμάτωσης της πτυχιακής μου εργασίας με θέμα "ΕΡΩΤΟΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ" θέλω θερμά να ευχαριστήσω πρώτα από όλα τον Διευθυντή της σχολής Μηχανικών και την Διοίκηση της Α.Ε.Ν. Μακεδονίας, για την ευκαιρία που μου δόθηκε να εκπονήσω την πτυχιακή μου στην σχολή. Ευχαριστώ τον καθηγητή Κο Τσορπατζίδη Ανέστη, για την αμέριστη βοήθεια και κατεύθυνση που μου παρείχε όλο το διάστημα της υλοποίησης της πτυχιακής. 5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ABSTRACT... 4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 6 Κεφάλαιο 1 ο - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Εισαγωγή Βασικές ένοιες - Αντοχής Υλικών Στοιχεία μηχανών - Αντοχής Υλικών Τυπολόγιο - Αντοχής Υλικών Κεφάλαιο 2 ο - ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 2.1 Εισαγωγή Εφελκυσμός και πειράματα εφελκυσμού Τάσεις εφελκυσμόυ Επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού Συντελεστής ασφαλείας για τον εφελκυσμό Σχέση εφελκυσμού Εφαρμογές της σχέσεως εφελκυσμού Παραμορφώσεις εφελκυσμού Κεφάλαιο 3 ο - ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΘΛΙΨΕΩΣ 3.1 Εισαγωγή Θλίψη και πειράματα θλίψεως Τάσεις στη θλίψη Επιτρεπόμενη τάση θλίψεως Συντελεστής ασφαλείας για τη θλίψη Σχέση θλίψεως Εφαρμογές της σχέσεως θλίψεως Παραμορφώσεις στη θλίψη Κεφάλαιο 4 ο - ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΔΙΑΤΜΗΣΗΣ 4.1 Εισαγωγή

7 4.2 Τμήση και διάτμηση Τάσεις στη διάτμηση Επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως Συντελεστής ασφαλείας για τη διάτμηση Σχέση διατμήσεως Εφαρμογές της σχέσης διατμήσεως Παραμορφώσεις στη διάτμηση Κεφάλαιο 5 ο - ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΚΑΜΨΗΣ 5.1 Εισαγωγή Τάσεις που προκύπτουν από καθαρή κάμψη Παραμορφώσεις λόγω κάμψης Ελαστική γραμμή Βέλος κάμψης Μέθοδος Mohr Γωνία κλίσης της δοκού Κεφάλαιο 6 ο - ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΣΤΡΕΨΗΣ 6.1 Εισαγωγή Γενικά Στρέψη ράβδου με δακτυλιοειδή διατομή Στρέψη περιστρεφόμενου άξονα (ΑΤΡΑΚΤΟΥ) Διαστασιολόγηση Κεφάλαιο 7 ο - ΕΡΩΤΟΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ 7.1 Ερωτήσεις με θέμα Αντοχής των Υλικών και των Εφαρμογών Απαντήσεις με θέμα Αντοχής των Υλικών και των Εφαρμογών Ερωτοαπαντήσεις πολλαπλής επιλογής με θέμα Αντοχής των Υλικών και των Εφαρμογών ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Εισαγωγή Η αντοχή των υλικών ασχολείται με στερεά σώματα τα οποία παραμορφώνονται όταν δεχθούν εξωτερικές δυνάμεις με συνέπεια τη μεταβολή των διαστάσεών τους. Παραμόρφωση δε, καλούμε κάθε μεταβολή της γραμμικής ή γωνιακής διάστασης που έχει σαν συνέπεια την αλλαγή του σχήματος του στερεού σώματος το οποίο θεωρούμε ότι βρίσκεται πάντα σε στατική ισορροπία. Η δράση των εξωτερικών δυνάμεων που αναφέρθηκαν παραπάνω είναι αυτή που έχει σαν συνέπεια την ανάπτυξη στο στερεό σώμα εσωτερικών δυνάμεων και την πρόκληση παραμορφώσεων. Σκοπός: Σκοπός της αντοχής υλικών είναι η βαθιά γνώση μεταξύ των αιτίων (φορτίων) και των αποτελεσμάτων (παραμορφώσεων) ώστε να εξασφαλίζεται η ασφάλεια, η οικονομία και η αποδοτικότητα μιας κατασκευής. Ειδικά: Με την αντοχή των υλικών μπορούμε να προσδιορίσουμε τα εξής: a) Τις εξωτερικές δυνάμεις Ρεξ που ασκούνται στο υλικό και τον τρόπο που κατανέμονται σε αυτό. b) Τις παραμορφώσεις που δημιουργούνται από τις Ρεξ. c) Τις διαστάσεις του υλικού ώστε να αναλαμβάνει με ασφάλεια δεδομένα φορτία καθώς επίσης και το μέγεθος των φορτίων που αναλαμβάνει με ασφάλεια το υλικό με δεδομένες διαστάσεις. d) Να βρούμε τις εναλλακτικές λύσεις μιας κατασκευής και να επιλέξουμε την άριστη. 8

9 1.2 Βασικές ένοιες - Αντοχής Υλικών Αντοχή των Υλικών λέγεται εκείνο το κεφάλαιο της Μηχανικής, που ασχολείται με την επίπτωση που έχουν τα φορτία στα υλικά σώματα. Η Αντοχή των Υλικών θεωρεί τα σώματα σαν παραμορφώσιμα, σε αντίθεση με τη Στατική. Είναι γνωστό ότι, δύο δομικά στοιχεία από διαφορετικά υλικά π.χ από χάλυβα το ένα και από ξύλο το άλλο, με ίδια γεωμετρική κατασκευή, όταν τους επιβληθούν ίσες εξωτερικές δυνάμεις, αυτά παρουσιάζουν γενικά διαφορετική συμπεριφορά. Το ένα υλικό για παράδειγμα μπορεί να αντέξει, ενώ το άλλο να σπάσει, ή το ένα στοιχείο να παραμορφωθεί πολύ περισσότερο από το άλλο. Γίνεται έτσι αντιληπτό ότι, τα διάφορα στερεά σώματα που χρησιμοποιούμε στις κατασκευές (μέταλλα, ξύλα κ.λ.π.), είναι πρακτικά χρήσιμα και εξυπηρετούν τον προορισμό τους, όταν αφ' ενός δεν θραύονται με την επενέργεια των εξωτερικών φορτίων αλλά ανθίστανται τόσο, ώστε αφετέρου, οι αναπόφεύκτες παραμορφώσεις τους να μην υπερβαίνουν κάποια όρια, τα οποία προκύπτουν είτε από κατασκευαστικούς λόγους είτε από λόγους αισθητικής. Για τους παραπάνω λόγους είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε μέχρι ποιου ορίου μας επιτρέπεται να φορτίζουμε τα διάφορα υλικά, έναντι των δύο κινδύνων που προαναφέραμε, δηλαδή έναντι του κινδύνου της θραύσης και έναντι της υπερβολικής παραμόρφωσης. Πολλοί από μας, έχοντας δει τους κάβους των δεμένων πλοίων, μπορεί να έχομε αναρωτηθεί πώς αυτοί έχουν σχεδιαστεί, ώστε να αντέχουν και να μην σπάνε. Από την εμπειρία μας, οι κάβοι μάς θυμίζουν τα συρματόσχοινα. Ξέρομε ότι εάν τραβήξομε τη μία άκρη ενός συρματόσχοινου, του οποίου η άλλη άκρη είναι γερά στερεωμένη, τότε δημιουργείται στο σημείο στερεώσεως μία άλλη δύναμη, η οποία τραβάει το συρματόσχοινο αντίθετα. Σύμφωνα με το αξίωμα της δράσεωςαντιδράσεως της Φυσικής, η δύναμη που δημιουργείται στο σημείο στερεώσεως είναι η αντίδραση της δυνάμεως που ασκούμε στο άλλο άκρο και έχει ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά μ αυτήν. Η δύναμη που ασκούμε και η αντίδρασή της ισορροπούν μέσω του συρματόσχοινου. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η ύλη του συρματόσχοινου αποτελείται από μόρια1. Μεταξύ των μορίων ασκούνται ελκτικές δυνάμεις, οι οποίες τα συγκρατούν. Όταν τραβάμε το συρματόσχοινο από τη μία άκρη, η δύναμη που ασκούμε προσπαθεί να απομακρύνει τα μόρια μεταξύ τους. Μεταξύ των μορίων ασκούνται πρόσθετες ελκτικές δυνάμεις, οι οποίες προσπαθούν να τα επαναφέρουν στην αρχική τους θέση. Όταν σταματήσομε να τραβάμε το συρματόσχοινο, η αντίδραση, καθώς επίσης 9

10 και οι πρόσθετες ελκτικές δυνάμεις, μηδενίζονται. Στο εργαστήριο, με τη χρήση ειδικών μηχανών έλξεως, διαπιστώνομε ότι η άσκηση δυνάμεως στο άκρο του συρματόσχοινου επιφέρει αύξηση του μήκους του. Αν σταματήσει να ασκείται η δύναμη, το συρματόσχοινο επανέρχεται στο αρχικό του μήκος. Η ιδιότητα αυτή οφείλεται στην εσωτερική έλξη μεταξύ των μορίων του συρματόσχοινου που αυξομειώνεται ανάλογα με τις εξωτερικές δυνάμεις που δρουν σ αυτό. Εάν συνεχίσομε τα πειράματα έλξεως του συρματόσχοινου παρατηρούμε ότι υπάρχει ένα όριο στην ασκούμενη δύναμη, πέρα από το οποίο παραμένει μια μόνιμη αύξηση του μήκους, η οποία καλείται μόνιμη παραμόρφωση. Αν συνεχίσομε να αυξάνομε και άλλο την ασκούμενη δύναμη, παρατηρούμε ότι το συρματόσχοινο σπάει. 1.3 Στοιχεία μηχανών - Αντοχής Υλικών Όλες οι μηχανολογικές κατασκευές αποτελούνται από πολλά επί μέρους στοιχεία, τα στοιχεία μηχανών. Τα στοιχεία μηχανών είναι τεμάχια που χρησιμοποιούνται κατ' επανάληψη, στην ίδια ή παραπλήσια μορφή, για τη συγκρότηση μηχανών, συσκευών και οργάνων. Κατηγορίες στοιχείων μηχανών: Τα στοιχεία μηχανών μπορούν να διαχωριστούν σε: (Α) βάσει του ρόλου τους: Σύνδεσης: ήλοι, κοχλίες, σφήνες, πείροι, κολλήσεις. Έδρασης και μετάδοσης κίνησης: έδρανα, άξονες, άτρακτοι, συμπλέκτες, οδοντωτοί τροχοί, ιμάντες, αλυσίδες και μειωτήρες στροφών. Στοιχεία για τη μεταφορά υγρών και αερίων: σωληνώσεις και εξαρτήματα αυτών (βαλβίδες, κρουνοί, κλπ.) (Β) βάσει του προορισμού τους: Γενικού προορισμού (εκτελούν τον ίδιο πάντα σκοπό σε οποιαδήποτε μηχανή): Μόνιμα και λυόμενα μέσα σύνδεσης, τροχοί τριβής, οδοντοκινήσεις, άξονες και άτρακτοι, λυόμενοι και σταθεροί σύνδεσμοι, έδρανα, ελατήρια και πλαίσια μηχανών. Ειδικού προορισμού (χρησιμοποιούνται σε συγκεκριμένους τύπους μηχανών): έμβολα, βαλβίδες, διωστήρες. 10

11 1.4 Τυπολόγιο - Αντοχής Υλικών 11

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε τις καταπονήσεις του εφελκυσμού. Συγκεκριμένα, παραθέτομε τους ορισμούς της καταπόνησης αυτής, παρουσιάζομε παραδείγματα εφαρμογής της και επεξηγούμε της αναπτυσσόμενες τάσεις και παραμορφώσεις. Επίσης, αναλύομε την έννοια της επιτρεπόμενης τάσεως και του συντελεστή ασφαλείας για την καταπόνηση αυτήν και επεξηγούμε τις σχέσεις εφελκυσμού. 12

13 2.2 Εφελκυσμός και πειράματα εφελκυσμού Εφελκυσμός: Ένα σώμα καταπονείται σε εφελκυσμό, όταν επενεργούν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις οι οποίες τείνουν να το διασπάσουν. Ας θεωρήσομε το στερεό σώμα του σχήματος 1.3α, πάνω στον άξονα του οποίου ασκούνται δύο δυνάμεις ίσες και αντίθετες, οι οποίες τείνουν να αυξήσουν το μήκος του. Το σώμα του σχήματος 1.3α λέμε ότι υφίσταται εφελκυσμό ή αλλιώς ότι εφελκύεται. Το σώμα είναι στερεωμένο στο ένα άκρο του και δύναμη F ασκείται στο άλλο άκρο του. Η δεύτερη δύναμη FA είναι η αντίδραση. Για τους υπολογισμούς μας λαμβάνομε μόνο τη μία από τις δύο δυνάμεις. Η μελέτη του εφελκυσμού γίνεται με το πείραμα του εφελκυσμού, με το οποίο προσδιορίζομε την αντοχή ενός υλικού όταν καταπονείται σε εφελκυσμό. Το πείραμα του εφελκυσμού λαμβάνει χώρα σε ειδική μηχανή που καλείται μηχανή εφελκυσμού και θεωρείται το πλέον ακριβές από τα πειράματα που γίνονται για τον προσδιορισμό της αντοχής των υλικών. Στο πείραμα του εφελκυσμού χρησιμοποιούνται ράβδοι προκαθορισμένης μορφής και μεγέθους που καλούνται δοκίμια, τα οποία συγκρατούνται στη μηχανή εφελκυσμού με δύο σιαγόνες. Συνήθως, τα δοκίμια έχουν κυλινδρική μορφή και το μήκος τους είναι πενταπλάσιο της διαμέτρου τους. Με τη βοήθεια υδραυλικής πιέσεως τα δοκίμια καταπονούνται σε εφελκυσμό υφίστανται δηλαδή αύξηση του μήκους τους, παραμόρφωση που καλείται επιμήκυνση και ελάττωση της διατομής τους. Η μηχανή εφελκυσμού διαθέτει όργανα για να μετρήσει κατά τη διάρκεια των πειραμάτων εφελκυσμού την εφελκυστική δύναμη και την επιμήκυνση που προκαλεί η δύναμη αυτή. Η εφελκυστική δύναμη που εφαρμόζεται στα δοκίμια μεταβάλλεται σταδιακά από μηδέν μέχρι την τιμή στην οποία θραύεται το δοκίμιο. Ταυτόχρονα, καταγράφεται διάγραμμα αναπτυσσομένων τάσεων ή δυνάμεων και επιμηκύνσεων ή ανηγμένων επιμηκύνσεων, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα εφελκυσμού. Σημειώνεται ότι έχει επικρατήσει η δημιουργία του διαγράμματος τάσεων-ανηγμένων επιμηκύνσεων, γιατί τα συμπεράσματα που προκύπτουν από αυτό ισχύουν για κάθε δοκίμιο, από το ίδιο υλικό και όχι για το συγκεκριμένο δοκίμιο για το οποίο έγινε το πείραμα. 13

14 Το διάγραμμα εφελκυσμού απεικονίζει τα αποτελέσματα του πειράματος εφελκυσμού και δίνει σημαντικές πληροφορίες για την αντοχή του υλικού, για το οποίο έγινε το πείραμα. Από το διάγραμμα εφελκυσμού μπορούμε να λάβομε τα μηχανικά χαρακτηριστικά του υλικού που είναι απαραίτητα για τον υπολογισμό της αντοχής των κατασκευών. Η διαδικασία του πειράματος εφελκυσμού και ο τρόπος επεξεργασίας των μετρήσεων περιγράφονται με κάθε λεπτομέρεια στο Γερμανικό Βιομηχανικό Πρότυπο DIN50145 και στα αντίστοιχα πρότυπα του Διεθνούς Οργανισμού Τυποποιήσεων (ISO). Για να είναι δυνατή η σύγκριση των αποτελεσμάτων των πειραμάτων εφελκυσμού που πραγματοποιούνται σε διαφορετικά εργαστήρια, το Γερμανικό Βιομηχανικό Πρότυπο DIN50125 καθορίζει επακριβώς τις συνθήκες του πειράμα-τος. Οι «συνθήκες πειράματος» περιλαμβάνουν κυρίως τον αυστηρό καθορισμό της μορφής, του μεγέθους διατομής, του μήκους και της ποιότητας επιφάνειας των δοκιμίων, καθώς και τη θερμοκρασία στην οποία λαμβάνει χώρα το πείραμα εφελκυσμού. Οι τάσεις στον εφελκυσμό παρέχονται από τη σχέση (1.1) και οι ειδικές επιμηκύνσεις από τη σχέση (1.4). Έτσι, η τάση στον εφελκυσμό ισούται με το πηλίκον της δυνάμεως εφελκυσμού F προς το εμβαδόν της διατομής Α του δοκιμίου. 2.3 Τάσεις εφελκυσμόυ Η εφαρμογή της εξωτερικής δυνάμεως F στο συρματόσχοινο προκαλεί την εμφάνιση εσωτερικών δυνάμεων σ αυτό, άρα την εμφάνιση τάσεων στο υλικό του. Οι τάσεις αυτές που εμφανίζονται στα σώματα που καταπονούνται σε εφελκυσμό ονομάζονται τάσεις εφελκυσμού. Αποδεικνύεται ότι στον εφελκυσμό, η εσωτερική δύναμη σε κάθε διατομή του σώματος είναι ίση με την εξωτερική F, άρα κάθετη στη διατομή του σώματος. Συνεπώς, οι τάσεις εφελκυσμού είναι ορθές τάσεις. Οι παραπάνω ιδιότητες των τάσεων εφελκυσμού μάς οδηγούν στη διατύπωση του ακόλουθου ορισμού για την τάση εφελκυσμού. Ως τάση εφελκυσμού σεφ ορίζομε το πηλίκον της δυνάμεως F που ενεργεί κατά τον άξονα στερεού σώματος και το καταπονεί σε εφελκυσμό προς το εμβαδόν A της διατομής του σώματος. Δηλαδή, έχομε: 14

15 (2.1) Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι στον υπολογισμό της τάσεως εφελκυσμού λαμβάνομε υπόψη μόνο τη μία από τις δύο συγγραμμικές και αντίρροπες δυνάμεις που καταπονούν το στερεό σώμα σε εφελκυσμό. Από τη σχέση (2.1) διαπιστώνομε ότι για την τάση εφελκυσμού ισχύουν τα εξής: α) Η τάση εφελκυσμού είναι ανάλογη της εφελκύουσας δυνάμεως. Στην ίδια διατομή, εάν εφαρμοστεί κάθετα διπλάσια εφελκύουσα δύναμη, η αναπτυσσόμενη τάση εφελκυσμού είναι διπλάσια, εάν εφαρμοστεί κάθετα τριπλάσια εφελκύουσα δύναμη, η αναπτυσσόμενη τάση εφελκυσμού είναι τριπλάσια κ.ο.κ.. Δηλαδή, η σχέση μεταξύ τάσεως εφελκυσμού και εφελκύουσας δυνάμεως για την ίδια διατομή είναι γραμμική [σχ. 2.2β(α)]. β) Η τάση εφελκυσμού είναι αντιστρόφως ανάλογη της διατομής του σώματος που εφελκύεται. Η ίδια εφελκύουσα δύναμη, εάν εφαρμοστεί κάθετα σε διατομή με διπλάσια επιφάνεια, η αναπτυσσόμενη τάση εφελκυσμού είναι η μισή, εάν εφαρμοστεί κάθετα σε διατομή με τριπλάσια επιφάνεια η αναπτυσσόμενη τάση εφελκυσμού είναι ίση με το ένα τρίτο κ.ο.κ.. Η σχέση μεταξύ τάσεως εφελκυσμού και εμβαδού διατομής απεικονίζεται στο σχήμα 2.2β(β). Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι η σχέση (2.1) δεν ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές δυνάμεως και εμβαδού, αλλά μέχρι ορισμένες τιμές που αντιστοιχούν στο όριο θραύσεως του υλικού (βλ. παράγρ. 1.3). Επίσης σημειώνομε ότι το σχήμα 2.2β απεικονίζει τις τάσεις εφελκυσμού μέχρι την επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού σεπ, εφ. 15

16 2.4 Επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού Όταν σ ένα εφελκυόμενο σώμα εφαρμόζεται μεγάλη εξωτερική δύναμη, μεγαλύτερη από αυτή που μπορεί να αντέξει, τότε το σώμα θραύεται. Για να αποφεύγεται η θραύση των σωμάτων κατά την καταπόνησή τους σε εφελκυσμό πρέπει οι τάσεις εφελκυσμού που αναπτύσσονται να είναι πολύ μικρότερες απ την τάση στην οποία το υλικό θραύεται. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να οριστεί ένα όριο, πολύ μικρότερο απ την τάση στην οποία το υλικό θραύεται, πάνω από το οποίο απαγορεύεται να λάβουν τιμές οι τάσεις εφελκυσμού. Δηλαδή, οι τάσεις που αναπτύσσονται κατά τον εφελκυσμό πρέπει να είναι μικρότερες ή το πολύ ίσες με το όριο αυτό. Η τάση αυτή ονομάζεται επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού. Δηλαδή: Επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού μιας κατασκευής ονομάζεται η μέγιστη τάση που επιτρέπεται να αναπτυχθεί στην κατασκευή όταν καταπονείται σε εφελκυσμό, ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος καταστροφής της. Η επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού συμβολίζεται με σεπ, εφ και προσδιορίζεται συνήθως με τη βοήθεια του συντελεστή ασφαλείας. Το φορτίο Fεπ που αντιστοιχεί στην επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού ονομάζεται επιτρεπόμενο φορτίο εφελκυσμού. 2.5 Συντελεστής ασφαλείας για τον εφελκυσμό Συντελεστής ασφαλείας ν για τον εφελκυσμό ονομάζεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές μικρότερη είναι η επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού σεπ, εφ σε μία κατασκευή απ την τάση σθρ, εφ, στην οποία το υλικό θραύεται όταν εφελκύεται. Δηλαδή, ο συντελεστής ασφαλείας δίνεται από τη σχέση: (2.2) Λύνοντας τη σχέση (2.2) ως προς την επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού, έχομε: (2.3) Ο καθορισμός του συντελεστή ασφαλείας μιας κατασκευής είναι πολύ σημαντικό στοιχείο για την κατασκευή και δεν αποτελεί εύκολη υπόθεση. Ο καθορισμός αυτός προϋποθέτει τόσο την καλή 16

17 γνώση της αντοχής υλικών και των παραγόντων που επιδρούν στην κατασκευή, όσο και την εμπειρία στα θέματα αυτά. 2.6 Σχέση εφελκυσμού Η τάση εφελκυσμού σεφ πρέπει να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού σεπ, εφ, δηλαδή: (2.4) Η σχέση (2.4) είναι γνωστή ως σχέση εφελκυσμού και εφαρμόζεται μόνον εφόσον ισχύουν όλες οι ακόλουθες προϋποθέσεις: α) Το εφελκυόμενο σώμα είναι ευθύγραμμο. Αν δεν ισχύει η προϋπόθεση αυτή, τότε έχομε την εμφάνιση σύνθετης καταπονήσεως. β) Ο εφελκυσμός είναι αξονικός. Δηλαδή, η δύναμη που εφελκύει το σώμα ενεργεί στον κεντρικό άξονά του. γ) Το υλικό του εφελκυόμενου σώματος είναι ομοιογενές. Δηλαδή, το υλικό έχει σε όλη την έκταση της μάζας του τις ίδιες ιδιότητες, με αποτέλεσμα οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται κατά την καταπόνηση σε εφελκυσμό να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. 2.7 Εφαρμογές της σχέσεως εφελκυσμού Η σχέση εφελκυσμού εφαρμόζεται στα προβλήματα σωμάτων που καταπονούνται ή αναμένεται να καταπονηθούν σε εφελκυσμό. Τα προβλήματα αυτά διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες, ανάλογα με το ποια δεδομένα απ αυτά που εμφανίζονται στη σχέση εφελκυσμού είναι γνωστά και ποιο είναι το ζητούμενο. Οι κατηγορίες αυτές είναι οι ακόλουθες: 1) Κατηγορία Ι Προβλήματα στα οποία ζητείται να υπολογιστεί η τάση λειτουργίας της κατασκευής. Στα προβλήματα αυτά μας είναι γνωστά η εφελκύουσα δύναμη (το φορτίο), το εμβαδόν της διατομής και η επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού και μας ζητούν να προσδιορίσομε την τάση 17

18 εφελκυσμού που αναπτύσσεται στην κατασκευή και να ελέγξομε εάν η εν λόγω τάση είναι μικρότερη απ την επιτρεπόμενη (πίν ). Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι τα εξής: α) Προσδιορίζομε την τάση εφελκυσμού από τη σχέση εφ F σ = A. β) Συγκρίνομε την τάση εφελκυσμού με την επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού: σεπ, εφ? σεφ. 2) Κατηγορία ΙΙ Προβλήματα διαστασιολογήσεως (ή υπολογισμού απαιτούμενης διατομής). Στα προβλήματα αυτά μας είναι γνωστά η εφελκύουσα δύναμη (το φορτίο) και η επιτρεπόμε-νη τάση εφελκυσμού και μας ζητούν να προσδιορίσομε το εμβαδόν της απαιτούμενης διατομής του εφελκυόμενου σώματος (πίν ). Τα προβλήματα διαστασιολογήσεως είναι ιδιαίτερα σημαντικά για την Αντοχή των Υλικών, καθώς αποτελούν τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι κατασκευαστές κατά το σχεδιασμό των κατασκευών. Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι τα εξής: α) Προσδιορίζομε το εμβαδόν της απαιτούμενης διατομής, λύνοντας τη σχέση εφελκυσμού ως προς αυτό. Έτσι λαμβάνομε: επ,εφ F A σ. β) Επειδή δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει πάντοτε διαθέσιμη διατομή με το μέγεθος επιφάνειας που προσδιορίσαμε στο βήμα (α), επιλέγομε ανάμεσα στις διαθέσιμες διατομές τη μικρότερη από αυτές που ικανοποιούν το αποτέλεσμα του βήματος (α). γ) Επιβεβαιώνομε ότι για τη διατομή που επιλέγομε στο βήμα (β), η τάση εφελκυσμού που αναπτύσσεται είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού. 18

19 3) Κατηγορία ΙΙΙ Προβλήματα υπολογισμού του φορτίου που αντέχει ένα εφελκυόμενο σώμα (ικανότητα φορτίσεως). Στα προβλήματα αυτά μας είναι γνωστά η επιφάνεια της διατομής του σώματος και η επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού και μας ζητούν να προσδιορίσομε το φορτίο που επιτρέπεται να ενεργεί στο σώμα όταν καταπονείται σε εφελκυσμό (πίν ). Για την επίλυση των προβλημάτων αυτών προσδιορίζομε το φορτίο που μπορεί να αντέξει το σώμα, λύνοντας τη σχέση εφελκυσμού ως προς την εφελκύουσα δύναμη. Έτσι λαμβάνομε: F σεπ, εφ Α. 2.8 Παραμορφώσεις εφελκυσμού Οι παραμορφώσεις απ την καταπόνηση σε εφελκυσμό που προκαλούνται σ ένα σώμα είναι οι ακόλουθες: α) Αύξηση του μήκους του στερεού σώματος, η οποία αφορά στην αύξηση του αρχικού μήκους l κατά Δl κατά τη διεύθυνση εφαρμογής της εξωτερικής δυνάμεως F. β) Ελάττωση της διατομής του στερεού σώματος, που αφορά στη διατομή η οποία είναι κάθετη στη διεύθυνση εφαρμογής της δυνάμεως F. Εάν b είναι η αρχική διάσταση της διατομής πριν την εφαρμογή της δυνάμεως, τότε κατά τον εφελκυσμό, η διάσταση αυτή ελαττώνεται κατά Δb = b b και γίνεται ίση με b < b. Οι παραμορφώσεις της αυξήσεως του μήκους και της ελαττώσεως της διατομής παρουσιάζονται στο σχήμα 2.2γ. Οι παραμορφώσεις αυτές δεν συμβαίνουν ανεξάρτητα η μία της άλλης, αλλά εμφανίζονται μαζί. Δηλαδή, η αύξηση του μήκους συνοδεύεται με ελάττωση της διατομής του στερεού σώματος. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι συνήθως η αύξηση του μήκους είναι πολύ μικρή σε σχέση με το αρχικό μήκος. Ομοίως, η ελάττωση της διατομής είναι πολύ μικρή σε σχέση με το μέγεθος της αρχικής διατομής. Αυτό έχει ως συνέπεια πολλές φορές να μην γίνονται άμεσα αντιληπτές οι παραμορφώσεις αυτές, ωστόσο, συμβαίνουν πάντοτε κατά την 19

20 καταπόνηση σε εφελκυσμό ενός σώματος. Σημειώνομε ότι το σχήμα 2.2γ(β) δεν παρουσιάζει τη ρεαλιστική εικόνα που έχει το καταπονούμενο σε εφελκυσμό σώμα, αλλά δείχνει μόνο την έννοια των δύο παραμορφώσεων που αναφέρομε. Στην πραγματικότητα το σώμα παρουσιάζει στένωση. Οι παραμορφώσεις αυτές στην αναλογική περιοχή υπολογίζονται με τη βοήθεια των ακολούθων σχέσεων: α) Του νόμου του Hooke (βλ. παράγρ. 1.2): (2.5) β) Της σχέσεως ορισμού της ανηγμένης επιμηκύνσεως (βλ. υποπαράγρ ): (2.6) γ) Της σχέσεως ορισμού της εγκάρσιας ανηγμένης παραμορφώσεως (βλ. υποπαράγρ. 1.5): (2.7) δ) Του λόγου Poisson (βλ. παράγρ. 1.5): (2.8) Η αύξηση του μήκους υπολογίζεται από τη σχέση (2.5). Η ελάττωση της διαστάσεως της διατομής υπολογίζεται συνδυάζοντας τις ανωτέρω σχέσεις. Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2.5), (2.6) και (2.7) στη σχέση (2.8) λαμβάνομε: Το αρνητικό πρόσημο της μεταβολής Δb = b b δηλώνει ότι έχομε ελάττωση της διατομής. (2.9) 20

21 ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΘΛΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε τις καταπονήσεις της θλίψης. Συγκεκριμένα, παραθέτομε τους ορισμούς της καταπόνησης αυτής, παρουσιάζομε παραδείγματα εφαρμογής της και επεξηγούμε της αναπτυσσόμενες τάσεις και παραμορφώσεις. Επίσης, αναλύομε την έννοια της επιτρεπόμενης τάσεως και του συντελεστή ασφαλείας για την καταπόνηση αυτήν και επεξηγούμε τις σχέσεις θλίψης. 21

22 3.2 Θλίψη και πειράματα θλίψεως Θλίψη: Ένα σώμα καταπονείται σε θλίψη, όταν επάνω του επενεργούν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις οι οποίες τείνουν να το συνθλίψουν. Ας θεωρήσομε το στερεό σώμα του σχήματος 1.4α, πάνω στον άξονα του οποίου, ασκούνται δύο δυνάμεις ίσες και αντίθετες, οι οποίες τείνουν να ελαττώσουν το μήκος του. Λέμε τότε ότι το σώμα υφίσταται θλίψη ή θλίβεται. Η μελέτη της θλίψεως γίνεται με το πείραμα της θλίψεως, με το οποίο προσδιορίζομε την αντοχή ενός υλικού όταν καταπονείται σε θλίψη. Το πείραμα της θλίψεως λαμβάνει χώρα με τη χρήση δοκιμίων στην ίδια ειδική μηχανή που λαμβάνει χώρα και το πείραμα εφελκυσμού. Η διαφορά με τον εφελκυσμό είναι ότι οι δυνάμεις στη θλίψη δεν επιμηκύνουν το δοκίμιο, αλλά ελαττώνουν το μήκος του (επιβράχυνση). Στη θλίψη (όπως και στον εφελκυσμό) εμφανίζεται τάση που οφείλεται στη μοριακή δύναμη αντιστάσεως ανά μονάδα της διατομής. Η καταπόνηση σε θλίψη φανερώνεται με μία μικρή ελάττωση του μήκους και αύξηση της διατομής, αντίθετα δηλαδή από ό,τι συμβαίνει στον εφελκυσμό. Κατά αναλογία με τα διαγράμματα εφελκυσμού λαμβάνομε τα διαγράμματα θλίψεως. Και στην περίπτωση των διαγραμμάτων θλίψεως έχει επικρατήσει η δημιουργία του διαγράμματος τάσεων ανηγμένων επιβραχύνσεων, γιατί τα συμπεράσματα που προκύπτουν απ αυτό ισχύουν για κάθε δοκίμιο από το ίδιο υλικό και όχι για το συγκεκριμένο δοκίμιο, για το οποίο έγινε το πείραμα. Για τους υπολογισμούς στη θλίψη χρησιμοποιούμε τους ίδιους τύπους, όπως και στον εφελκυσμό, με τη διαφορά ότι αφορούν στη θλίψη και όχι στον εφελκυσμό και άρα μιλάμε για επιβράχυνση και όχι για επιμήκυνση, καθώς και για ανηγμένη επιβράχυνση και όχι για ανηγμένη επιμήκυνση. Έτσι, οι τάσεις στη θλίψη παρέχονται από τη σχέση (1.1), δηλαδή η τάση θλίψεως ισούται με το πηλίκον της δυνάμεως θλίψεως F προς το εμβαδόν της διατομής A του δοκιμίου: (1.7) Επίσης, η ανηγμένη επιβράχυνση στη θλίψη δίνεται από τη σχέση: (1.8) 22

23 Η ανηγμένη επιβράχυνση είναι αδιάστατο μέγεθος (καθαρός αριθμός). Επειδή Δl < 0, η ανηγμένη επιβράχυνση είναι αρνητική. Τέλος, στη θλίψη ισχύει ο νόμος του Hooke, όπως και στον εφελκυσμό. Έτσι, η επιβράχυνση στην αναλογική περιοχή δίνεται από τη σχέση: (1.9) Το αρνητικό πρόσημο της σχέσεως (1.9) δηλώνει ότι έχομε επιβράχυνση (Δl < 0). Επίσης, η ανηγμένη επιβράχυνση (κατ αντιστοιχία της ανηγμένης επιμηκύνσεως) σε μία θλιβόμενη ράβδο είναι ανάλογη με την τάση που ενεργεί σ αυτήν: (1.10) Το αρνητικό πρόσημο της σχέσεως (1.10) δηλώνει ότι έχομε επιβράχυνση (ε < 0). Το μέτρο ελαστικότητας Ε είναι το ίδιο στη θλίψη και στον εφελκυσμό. Πρέπει να σημειώσομε ότι ο νόμος του Hooke ισχύει και στην περίπτωση της θλίψεως μέχρι κάποιο όριο. Επομένως, πριν την εφαρμογή του νόμου θα πρέπει να ελέγχομε εάν ο νόμος εφαρμόζεται. Τα όρια εφαρμογής του νόμου του Hooke στη θλίψη αναπτύσσονται στην παράγραφο Το Κεφάλαιο 3 περιγράφει αναλυτικά τις τάσεις και τις παραμορφώσεις στη θλίψη. 3.3 Τάσεις στη θλίψη Οι τάσεις που εμφανίζονται στα σώματα που καταπονούνται σε θλίψη ονομάζονται τάσεις θλίψεως. Αποδεινύεται ότι στη θλίψη, η εσωτερική δύναμη σε κάθε διατομή του σώματος είναι ίση με την εξωτερική F και άρα κάθετη στη διατομή του σώματος. Συνεπώς, οι τάσεις θλίψεως είναι ορθές τάσεις και υπολογίζονται κατ ανάλογο τρόπο με τις τάσεις εφελκυσμού. Έτσι: Ως τάση θλίψεως σθλ ορίζομε το πηλίκον της δυνάμεως F που ενεργεί κατά τον άξονα στερεού σώματος και το καταπονεί σε θλίψη προς το εμβαδόν A της διατομής του σώματος. Δηλαδή, έχομε: (2.10) 23

24 Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι, όπως και στην αντίστοιχη περίπτωση του εφελκυσμού, στον υπολογισμό της τάσεως θλίψεως λαμβάνομε υπόψη μόνο τη μία από τις δύο συγγραμμικές και αντίρροπες δυνάμεις που καταπονούν το στερεό σώμα σε θλίψη. Από τη σχέση (2.10) προκύπτει ότι για την τάση θλίψεως ισχύουν τα εξής: α) Η τάση θλίψεως είναι ανάλογη της θλίβουσας δυνάμεως. Η σχέση μεταξύ τάσεως θλίψεως και θλίβουσας δυνάμεως για την ίδια διατομή είναι γραμμική [σχ. 2.3β(α)]. β) Η τάση θλίψεως είναι αντιστρόφως ανάλογη της διατομής του σώματος που θλίβεται. Η σχέση μεταξύ τάσεως θλίψεως και εμβαδού διατομής απεικονίζεται στο σχήμα 2.3β(β). Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι η σχέση (2.10) δεν ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές δυνάμεως και εμβαδού, αλλά μέχρι ορισμένες τιμές που αντιστοιχούν στο όριο θραύσεως του υλικού όπως αυτό ορίζεται για τη θλίψη (βλ. παράγρ. 1.4). Επίσης, σημειώνομε ότι το σχήμα 2.3β απεικονίζει τις τάσεις θλίψεως μέχρι την επιτρεπόμενη τάση θλίψεως σεπ, θλ, την οποία αναπτύσσομε στην υποπαράγραφο Επιτρεπόμενη τάση θλίψεως Όταν σε ένα θλιβόμενο σώμα εφαρμόζεται μεγάλη εξωτερική δύναμη, μεγαλύτερη απ αυτή που μπορεί να αντέξει, τότε το σώμα αστοχεί/θραύεται. Για να αποφεύγεται η αστοχία/θραύση των σωμάτων κατά την καταπόνησή τους σε θλίψη πρέπει οι τάσεις θλίψεως που αναπτύσσονται να είναι πολύ μικρότερες από την τάση στην οποία το υλικό αστοχεί/θραύεται. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να οριστεί ένα όριο, πολύ μικρότερο απ την τάση, στην οποία το υλικό αστοχεί/θραύεται, πάνω από το οποίο απαγορεύεται να λάβουν τιμές οι τάσεις θλίψεως. Δηλαδή, οι τάσεις που 24

25 αναπτύσσονται κατά τη θλίψη πρέπει να είναι μικρότερες ή το πολύ ίσες με το όριο αυτό. Η τάση αυτή ονομάζεται επιτρεπόμενη τάση θλίψεως. Δηλαδή: Επιτρεπόμενη τάση θλίψεως μίας κατασκευής ονομάζεται η μέγιστη τάση που επιτρέπεται να αναπτυχθεί στην κατασκευή όταν καταπονείται σε θλίψη, ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος καταστροφής της. Η επιτρεπόμενη τάση θλίψεως συμβολίζεται με σεπ, θλ και προσδιορίζεται συνήθως με τη βοήθεια του συντελεστή ασφαλείας για τη θλίψη. Το φορτίο Fεπ, που αντιστοιχεί στην επιτρεπόμενη τάση θλίψεως ονομάζεται επιτρεπόμενο φορτίο θλίψεως. 3.5 Συντελεστής ασφαλείας για τη θλίψη Συντελεστής ασφαλείας ν για τη θλίψη ονομάζεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές μικρότερη είναι η επιτρεπόμενη τάση θλίψεως σεπ, θλ σε μια κατασκευή από την τάση σθρ, θλ στην οποία το υλικό αστοχεί/θραύεται όταν θλίβεται. Δηλαδή, ο συντελεστής ασφαλείας δίνεται από τη σχέση: (2.11) Λύνοντας τη σχέση (2.11) ως προς την επιτρεπόμενη τάση θλίψεως, έχομε: (2.12) ο καθορισμός του συντελεστή ασφαλείας μιας κατασκευής είναι πολύ σημαντικό στοιχείο για την κατασκευή και δεν αποτελεί εύκολη υπόθεση. Ο καθορισμός αυτός προϋποθέτει τόσο την καλή γνώση της αντοχής υλικών και των παραγόντων που επιδρούν στην κατασκευή, όσο και την εμπειρία στα θέματα αυτά. 3.6 Σχέση θλίψεως Κατ αναλογία της περιπτώσεως του εφελκυσμού, η τάση θλίψεως σθλ πρέπει να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση θλίψεως σεπ, θλ, δηλαδή: 25

26 (2.13) Η σχέση (2.13) είναι γνωστή ως σχέση θλίψεως. Κατ αναλογία με τη σχέση εφελκυσμού, η σχέση θλίψεως εφαρμόζεται μόνον εφόσον ισχύουν όλες οι ακόλουθες προϋποθέσεις: α) Το θλιβόμενο σώμα είναι ευθύγραμμο. Αν δεν ισχύει η προϋπόθεση αυτή τότε έχομε την εμφάνιση σύνθετης καταπονήσεως. β) Η θλίψη είναι αξονική. Δηλαδή, η δύναμη που θλίβει το σώμα ενεργεί στον κεντρικό άξονά του. γ) Το υλικό του θλιβόμενου σώματος είναι ομοιογενές. Δηλαδή, το υλικό έχει σε όλη την έκταση της μάζας του τις ίδιες ιδιότητες, με αποτέλεσμα οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται κατά την καταπόνηση σε θλίψη να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. 3.7 Εφαρμογές της σχέσεως θλίψεως Η σχέση θλίψεως εφαρμόζεται στα προβλήματα σωμάτων που καταπονούνται ή αναμένεται να καταπονηθούν σε θλίψη. Όπως και στην περίπτωση του εφελκυσμού, τα προβλήματα της θλίψεως διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες ανάλογα με το ποια δεδομένα από αυτά που εμφανίζονται στη σχέση θλίψεως είναι γνωστά και ποιο είναι το ζητούμενο. Οι κατηγορίες αυτές είναι οι ακόλουθες: 1) Κατηγορία Ι Προβλήματα στα οποία ζητείται να υπολογιστεί η τάση λειτουργίας της κατασκευής. Στα προβλήματα αυτά μας είναι γνωστά η θλίβουσα δύναμη (το φορτίο), το εμβαδόν της διατομής και η επιτρεπόμενη τάση θλίψεως και μας ζητούν να προσδιορίσομε την τάση θλίψεως που αναπτύσσεται στην κατασκευή και να ελέγξομε εάν η εν λόγω τάση είναι μικρότερη απ την επιτρεπόμενη (πίν ). 26

27 Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι τα εξής: α) Προσδιορίζομε την τάση θλίψεως από τη σχέση: θλ F σ = A. β) Συγκρίνομε την τάση θλίψεως με την επιτρεπόμενη τάση θλίψεως: σεπ, θλ? σθλ 2) Κατηγορία ΙΙ Προβλήματα διαστασιολογήσεως (ή υπολογισμού απαιτούμενης διατομής). Στα προβλήματα αυτά μας είναι γνωστά η θλίβουσα δύναμη (το φορτίο) και η επιτρεπόμενη τάση θλίψεως και μας ζητούν να προσδιορίσομε το εμβαδόν της απαιτούμενης διατομής του θλιβόμενου σώματος (πίν ). Όπως έχομε ήδη αναφέρει, τα προβλήματα διαστασιολογήσεως είναι ιδιαίτερα σημαντικά για την Αντοχή των Υλικών, καθώς αποτελούν τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι κατασκευαστές κατά το σχεδιασμό των κατασκευών. Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι τα εξής: α) Προσδιορίζομε το εμβαδόν της απαιτούμενης διατομής, λύνοντας τη σχέση θλίψεως ως προς αυτό. Έτσι λαμβάνομε: β) Επειδή δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει πάντοτε διαθέσιμη διατομή με το μέγεθος επιφάνειας που προσδιορίσαμε στο βήμα (α), επιλέγομε ανάμεσα στις διαθέσιμες διατομές τη μικρότερη απ αυτές που ικανοποιούν το αποτέλεσμα του βήματος (α). γ) Επιβεβαιώνομε ότι για τη διατομή που επιλέγομε στο βήμα (β), η τάση θλίψεως που αναπτύσσεται είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση θλίψεως. 3) Κατηγορία ΙΙΙ Προβλήματα υπολογισμού του φορτίου που αντέχει ένα θλιβόμενο σώμα (ικανότητα φορτίσεως). 27

28 Στα προβλήματα αυτά μας είναι γνωστά η επιφάνεια της διατομής του σώματος και η επιτρεπόμενη τάση θλίψεως και μας ζητούν να προσδιορίσομε το φορτίο που επιτρέπεται να ενεργεί στο σώμα όταν καταπονείται σε θλίψη (πίν ). Για την επίλυση των προβλημάτων αυτών προσδιορίζομε το φορτίο που μπορεί να αντέξει το σώμα, λύνοντας τη σχέση θλίψεως ως προς τη θλίβουσα δύναμη. Έτσι λαμβάνομε: 3.8 Παραμορφώσεις στη θλίψη Οι παραμορφώσεις από την καταπόνηση σε θλίψη που προκαλούνται σ ένα σώμα είναι οι ακόλουθες: α) Ελάττωση του μήκους του στερεού σώματος που αφορά στην ελάττωση του αρχικού μήκους l κατά Δl κατά τη διεύθυνση εφαρμογής της εξωτερικής δυνάμεως F. Επειδή μιλούμε για ελάττωση, ισχύει Δl < 0. β) Αύξηση της διατομής του στερεού σώματος. Η αύξηση αυτή αφορά στη διατομή που είναι κάθετη στη διεύθυνση εφαρμογής της δυνάμεως F. Εάν b είναι η αρχική διάσταση της διατομής πριν την εφαρμογή της δυνάμεως, τότε κατά τη θλίψη η διάσταση αυτή αυξάνει κατά Δb = b b και γίνεται ίση με b >b. Οι παραμορφώσεις της ελαττώσεως του μήκους και της αυξήσεως της διατομής παρουσιάζονται στο σχήμα 2.3δ. Οι παραμορφώσεις αυτές δεν συμβαίνουν ανεξάρτητα η μία της άλλης, αλλά εμφανίζονται μαζί. Δηλαδή, η ελάττωση του μήκους συνοδεύεται με αύξηση της διατομής του στερεού σώματος. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι συνήθως η ελάττωση του μήκους είναι πολύ μικρή σε σχέση με το αρχικό μήκος. Ομοίως, η αύξηση της διατομής είναι πολύ μικρή σε σχέση με το μέγεθος της αρχικής διατομής. Αυτό έχει ως συνέπεια πολλές φορές να μην γίνονται άμεσα αντιληπτές οι παραμορφώσεις αυτές. Ωστόσο, συμβαίνουν πάντοτε κατά την καταπόνηση σε θλίψη ενός σώματος. Σημειώνομε ότι το σχήμα 2.3δ(β) δεν παρουσιάζει τη 28

29 ρεαλιστική εικόνα που έχει το καταπονούμενο σε θλίψη σώμα, αλλά δείχνει μόνο την έννοια των δύο παραμορφώσεων που αναφέρομε. Στην πραγματικότητα το σώμα παίρνει τη μορφή βαρελιού. Οι παραμορφώσεις αυτές στην αναλογική περιοχή υπολογίζονται με τη βοήθεια των ακολούθων σχέσεων: α) Του νόμου του Hooke (βλ. παράγρ. 1.2): (2.14) όπου το αρνητικό πρόσημο δηλώνει την ελάττωση του μήκους (Δl<0). β) Της σχέσεως ορισμού της ανηγμένης επιβραχύνσεως (βλ. υποπαράγρ ): (2.15) γ) Της σχέσεως ορισμού της εγκάρσιας ανηγμένης παραμορφώσεως (βλ. παράγρ. 1.5): (2.16) δ) Του λόγου Poisson (βλ. παράγρ. 1.5): (2.17) Η ελάττωση του μήκους υπολογίζεται από τη σχέση (2.14). Η αύξηση της διαστάσεως της διατομής υπολογίζεται συνδυάζοντας τις ανωτέρω σχέσεις. Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2.14), (2.15) και (2.16) στη σχέση (2.17) λαμβάνομε: (2.18) Το θετικό πρόσημο της μεταβολής Δb = b b δηλώνει ότι έχομε αύξηση της διατομής. 29

30 ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΔΙΑΤΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε τις καταπονήσεις της διάτμησης. Συγκεκριμένα, παραθέτομε τους ορισμούς της καταπόνησης αυτής, παρουσιάζομε παραδείγματα εφαρμογής της και επεξηγούμε της αναπτυσσόμενες τάσεις και παραμορφώσεις. Επίσης, αναλύομε την έννοια της επιτρεπόμενης τάσεως και του συντελεστή ασφαλείας για την καταπόνηση αυτήν και επεξηγούμε τις σχέσεις διάτμησης. 30

31 4.2 Τμήση και διάτμηση Διάτμηση: Ένα σώμα καταπονείται σε διάτμηση, όταν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις επενεργούν κάθετα στον άξονά του. Στην ειδική περίπτωση που η απόσταση μεταξύ των δύο ίσων και παραλλήλων δυνάμεων μέτρου F αλλά αντίθετης φοράς, οι οποίες καταπονούν ένα σώμα σε διάτμηση (σχ. 2.8β), είναι μικρή, τότε λέμε ότι έχομε καταπόνηση σε τμήση ή καθαρή διάτμηση ή ψαλιδισμό. Στην καταπόνηση της τμήσεως δεν αναπτύσσεται ροπή κάμψεως, άρα δεν υπάρχει κάμψη. Αντίθετα, στην καταπόνηση της διατμήσεως, λόγω της αποστάσεως μεταξύ των δυνάμεων αναπτύσσεται ροπή κάμψεως. Ωστόσο, στην πλειοψηφία των περιπτώσεων είναι πολύ μικρή. Επίσης, στην πράξη δεν έχομε τμήση, αλλά μόνο διάτμηση, καθώς στην πραγματικότητα υπάρχει, έστω και πολύ μικρή απόσταση μεταξύ των δύο ίσων και παραλλήλων αλλά αντίθετης φοράς δυνάμεων που καταπονούν ένα σώμα. Έτσι, πρακτικά οι όροι τμήση και διάτμηση έχουν την ίδια έννοια και θεωρούμε για τους υπολογισμούς μας ότι είναι ταυτόσημοι. Η καταπόνηση της διατμήσεως παρατηρείται σε πάρα πολλές περιπτώσεις στην καθημερινή μας ζωή. Χαρακτηριστικά παραδείγματα στερεών σωμάτων που καταπονούνται σε διάτμηση είναι οι ήλοι (καρφιά) και οι κοχλίες (μπουλόνια) που συνδέουν ελάσματα, οι άξονες που κόβονται από ψαλίδι κ.λπ Τάσεις στη διάτμηση Η εφαρμογή των εξωτερικών δυνάμεων μέτρου F που καταπονούν ένα σώμα σε διάτμηση προκαλεί την εμφάνιση εσωτερικών δυνάμεων στο σώμα και άρα την εμφάνιση τάσεων στο 31

32 υλικό του. Οι τάσεις αυτές που εμφανίζονται στα σώματα που καταπονούνται σε διάτμηση ονομάζονται διατμητικές τάσεις. Αποδεινύεται ότι στη διάτμηση, η εσωτερική δύναμη σε κάθε διατομή του σώματος είναι ίση με την εξωτερική δύναμη F και άρα εφαπτομενική στη διατομή του σώματος. Οι ανωτέρω ιδιότητες των διατμητικών τάσεων μας οδηγούν στη διατύπωση του ακόλουθου ορισμού για τη διατμητική τάση. Ως διατμητική τάση τδι ορίζομε το πηλίκον της δυνάμεως F που ενεργεί εφαπτομενικά στη διατομή στερεού σώματος και το καταπονεί σε διάτμηση προς το εμβαδόν A της διατομής του σώματος. Δηλαδή, έχομε: (2.44) Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι η σχέση (2.44) ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι οι διατμητικές τάσεις δεν συνδέονται με καμπτικές παραμορφώσεις. Επίσης σημειώνομε ότι στον υπολογισμό της διατμητικής τάσεως λαμβάνομε υπόψη μόνο τη μία από τις δύο συγγραμμικές και αντίρροπες δυνάμεις που καταπονούν το στερεό σώμα σε διάτμηση. Από τη σχέση (2.44) βλέπομε ότι για τη διατμητική τάση ισχύουν τα εξής: α) Η διατμητική τάση είναι ανάλογη της διατμητικής δυνάμεως [σχ. 2.8γ(α)]. β) Η διατμητική τάση είναι αντιστρόφως ανάλογη της διατομής του σώματος που καταπονείται σε διάτμηση [σχ. 2.8γ(β)]. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι η σχέση (2.44) δεν ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές δυνάμεως και εμβαδού, αλλά μέχρι ορισμένες τιμές που αντιστοιχούν στο όριο θραύσεως του υλικού για την καταπόνησή του σε διάτμηση. Επίσης, σημειώνομε ότι το σχήμα 2.8γ απεικονίζει τις τάσεις διατμήσεως μέχρι την επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως τεπ, δι (βλ. υποπαράγρ ). 32

33 4.4 Επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως Κατ αναλογία των περιπτώσεων του εφελκυσμού και της θλίψεως, όταν σε ένα σώμα που καταπονείται σε διάτμηση εφαρμόζεται μεγάλη εξωτερική διατμητική δύναμη, μεγαλύτερη απ αυτήν που μπορεί να αντέξει, τότε το σώμα θραύεται. Για να αποφεύγεται η θραύση των σωμάτων κατά την καταπόνησή τους σε διάτμηση πρέπει οι διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται να είναι πολύ μικρότερες απ την τάση, στην οποία το υλικό θραύεται. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να οριστεί ένα όριο, πολύ μικρότερο απ την τάση στην οποία το υλικό θραύεται, πάνω από το οποίο απαγορεύεται να λάβουν τιμές οι διατμητικές τάσεις. Δηλαδή, οι τάσεις που αναπτύσσονται κατά τη διάτμηση πρέπει να είναι μικρότερες ή το πολύ ίσες με το όριο αυτό. Η τάση αυτή ονομάζεται επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως. Δηλαδή: Επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως μίας κατασκευής ονομάζεται η μέγιστη τάση που επιτρέπεται να αναπτυχθεί στην κατασκευή όταν καταπονείται σε διάτμηση, ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος καταστροφής της. Η επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως συμβολίζεται με τεπ, δι και προσδιορίζεται συνήθως με τη βοήθεια του συντελεστή ασφαλείας ή της επιτρεπόμενης τάσεως εφελκυσμού. Η έννοια του συντελεστή ασφαλείας είναι ίδια με την αντίστοιχη για τις καταπονήσεις του εφελκυσμού και της θλίψεως. Πολλές φορές, η επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως υπολογίζεται ως ένα ποσοστό της επιτρεπόμενης τάσεως εφελκυσμού. Συνήθως, λαμβάνομε ως επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως το 60% της επιτρεπόμενης τάσεως εφελκυσμού, δηλαδή: (2.45) Το φορτίο Fεπ που αντιστοιχεί στην επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως ονομάζεται επιτρεπόμενο φορτίο διατμήσεως. 4.5 Συντελεστής ασφαλείας για τη διάτμηση 33

34 Συντελεστής ασφαλείας ν για τη διάτμηση ονομάζεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές μικρότερη είναι η επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως τεπ, δι σε μία κατασκευή από την τάση τθρ, δι στην οποία το υλικό θραύεται όταν καταπονείται σε διάτμηση. Δηλαδή, ο συντελεστής ασφαλείας δίνεται από τη σχέση: (2.46) Λύνοντας τη σχέση (2.46) ως προς την επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως, έχομε: (2.47) Ο καθορισμός του συντελεστή ασφαλείας μίας κατασκευής είναι πολύ σημαντικό στοιχείο για την κατασκευή και δεν αποτελεί εύκολη υπόθεση. Ο καθορισμός αυτός προϋποθέτει τόσο την καλή γνώση της αντοχής υλικών και των παραγόντων που επιδρούν στην κατασκευή, όσο και την εμπειρία στα θέματα αυτά. 4.6 Σχέση διατμήσεως Όπως προαναφέραμε, η τάση διατμήσεως τδι πρέπει να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως τεπ, δι, δηλαδή: (2.48) Η σχέση (2.48) είναι γνωστή ως σχέση διατμήσεως. Η σχέση διατμήσεως εφαρμόζεται υπό την προϋπόθεση ότι το υλικό του καταπονούμενου σώματος είναι ομογενές. Δηλαδή, το υλικό έχει σε όλη την έκταση της μάζας του τις ίδιες ιδιότητες, με αποτέλεσμα οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται κατά την καταπόνηση σε διάτμηση να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. 4.7 Εφαρμογές της σχέσης διατμήσεως 34

35 Κατ αναλογία των καταπονήσεων του εφελκυσμού και της θλίψεως, η σχέση διατμήσεως εφαρμόζεται στα προβλήματα σωμάτων που καταπονούνται ή αναμένεται να καταπονηθούν σε διάτμηση. Τα προβλήματα αυτά διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες, ανάλογα με το ποια δεδομένα από αυτά που εμφανίζονται στη σχέση διατμήσεως είναι γνωστά και ποιο είναι το ζητούμενο. Οι κατηγορίες αυτές είναι οι εξής: 1) Κατηγορία Ι Προβλήματα στα οποία ζητείται να υπολογιστεί η τάση λειτουργίας της κατασκευής. Όπως και στις αντίστοιχες περιπτώσεις του εφελκυσμού και της θλίψεως, τα δεδομένα και ζητούμενα στοιχεία των προβλημάτων της κατηγορίας αυτής για τη διάτμηση παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι τα εξής: α) Προσδιορίζομε την τάση διατμήσεως από τη σχέση: δι F τ = A. β) Συγκρίνομε την τάση διατμήσεως με την επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως: τεπ, δι? τδι. 2) Κατηγορία ΙΙ Προβλήματα διαστασιολογήσεως (ή υπολογισμού απαιτούμενης διατομής). Όπως και στις αντίστοιχες περιπτώσεις του εφελκυσμού και της θλίψεως, τα δεδομένα και ζητούμενα στοιχεία των προβλημάτων της κατηγορίας αυτής για τη διάτμηση παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι τα εξής: α) Προσδιορίζομε το εμβαδόν της απαιτούμενης διατομής, λύνοντας τη σχέση διατμήσεως ως προς αυτό. Έτσι λαμβάνομε: 35

36 β) Επειδή δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει πάντοτε διαθέσιμη διατομή με το μέγεθος επιφάνειας που προσδιορίσαμε στο βήμα (α), επιλέγομε ανάμεσα στις διαθέσιμες διατομές τη μικρότερη απ αυτές που ικανοποιούν το αποτέλεσμα του βήματος (α). γ) Επιβεβαιώνομε ότι για τη διατομή που επιλέγομε στο βήμα (β), η διατμητική τάση που αναπτύσσεται είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση διατμήσεως. 3) Κατηγορία ΙΙΙ Προβλήματα υπολογισμού του φορτίου που αντέχει ένα σώμα καταπονούμενο σε διάτμηση (ικανότητα φορτίσεως). Όπως και στις αντίστοιχες περιπτώσεις του εφελκυσμού και της θλίψεως, τα δεδομένα και ζητούμενα στοιχεία των προβλημάτων της κατηγορίας αυτής για τη διάτμηση παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα Για την επίλυση των προβλημάτων αυτών προσδιορίζομε το φορτίο που μπορεί να αντέξει το σώμα, λύνοντας τη σχέση διατμήσεως ως προς τη διατμητική δύναμη. Έτσι λαμβάνομε: F τεπ,δι Α. 4.8 Παραμορφώσεις στη διάτμηση Προκειμένου να μελετήσομε τις παραμορφώσεις στη διάτμηση ας δούμε με λεπτομέρεια τις διατομές μιας περιοχής της ράβδου του σχήματος 2.8στ που καταπονείται σε διάτμηση. Η περιοχή αυτή οριοθετείται από τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Ας υποθέσομε, για λόγους απλότητας, ότι κρατούμε σταθερή τη διατομή ΑΒ. Λόγω της εφαρμογής των δύο δυνάμεων F, οι διατομές της ράβδου από τη διατομή ΑΒ μέχρι τη διατομή ΓΔ ολισθαίνουν η μία πάνω στην άλλη, χωρίς να αλλάζουν οι διαστάσεις τους, με αποτέλεσμα το σώμα να παραμορφώνεται κατά γωνία γ. Συνεπώς, στην καταπόνηση της διατμήσεως έχομε ολίσθηση του σώματος κατά γωνία γ. Η γωνία ολισθήσεως γ μετρείται σε ακτίνια (rad) ή μοίρες (ο ). Iσχύει ότι πrad = 180o. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσομε ότι συνήθως η ολίσθηση είναι πολύ μικρή. Αυτό έχει ως συνέπεια πολλές 36

37 φορές να μην γίνεται άμεσα αντιληπτή η παραμόρφωση αυτή. Ωστόσο, η παραμόρφωση αυτή συμβαίνει πάντοτε κατά την καταπόνηση σε διάτμηση ενός σώματος. Η παραμόρφωση της ολισθήσεως υπολογίζεται από την τάση διατμήσεως τδι με τη βοήθεια του ακόλουθου νόμου του Hooke που ισχύει για τη γωνία ολισθήσεως στην αναλογική περιοχή: (2.49) όπου η γωνία ολισθήσεως γ μετρείται σε ακτίνια (rad). Από τη σχέση (2.49) προκύπτει ότι η γωνία ολισθήσεως είναι ανάλογη της τάσεως διατμήσεως και εξαρτάται από το υλικό. Η σταθερά G ονομάζεται μέτρο ολισθήσεως του υλικού, εκφράζει τη σχέση υλικού και ολισθήσεως και είναι χαρακτηριστική σταθερά για κάθε υλικό. Το μέτρο ολισθήσεως του υλικού είναι το αντίστοιχο του μέτρου ελαστικότητας που συναντήσαμε στο νόμο του Hooke για τον εφελκυσμό και τη θλίψη και για το λόγο αυτό ονομάζεται και μέτρο ελαστικότητας σε διάτμηση. Οι μονάδες μετρήσεως του μέτρου ολισθήσεως ενός υλικού είναι ίδιες με τις μονάδες μετρήσεως του μέτρου ελαστικότητάς του. Το μέτρο ελαστικότητας E και το μέτρο ολισθήσεως G συνδέονται με το λόγο Poisson μ, μέσω της ακόλουθης σχέσεως: (2.50) Σημειώνομε ότι γενικά για τη γωνία ολισθήσεως ισχύουν αντίστοιχα όσα ισχύουν για την ανηγμένη παραμόρφωση (επιμήκυνση/επιβράχυνση) στον εφελκυσμό και τη θλίψη (αναλογική περιοχή, ελαστική περιοχή, πλαστική περιοχή, όριο θραύσεως κ.λπ.). 37

38 ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙ ΚΑΜΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε τις καταπονήσεις της κάμψης. Συγκεκριμένα, παραθέτομε τους ορισμούς της καταπόνησης αυτής, παρουσιάζομε παραδείγματα εφαρμογής της και επεξηγούμε της αναπτυσσόμενες τάσεις και παραμορφώσεις. 38

39 5.1 Τάσεις που προκύπτουν από καθαρή κάμψη Όπως έχουμε αναφέρει κάμψη δημιουργείται όταν ενεργούν δυνάμεις κάθετα στον άξονα της δοκού με αποτέλεσμα να προκαλούν καμπτικές ροπές. Έστω κομμάτι δοκού πριν και μετά την κάμψη. Αναλυτικότερα: Ας υποθέσουμε ότι η δοκός αποτελείται από ίνες παράλληλες προς τον άξονά της. Όταν η δοκός φορτιστεί ο ευθύγραμμος άξονάς της θα καμπυλώσει. Οι ίνες που βρίσκονται κάτω από τον άξονα επιμηκύνονται, ενώ οι ίνες που βρίσκονται πάνω από τον άξονα βραχύνονται. Η επιμήκυνση στις κάτω ίνες οφείλεται στις εφελκυτικές τάσεις που αναπτύσσονται στο κάτω μέρος της δοκού ενώ η βράχυνση στις πάνω ίνες οφείλεται στις θλιπτικές τάσεις που αναπτύσσονται στο πάνω μέρος της δοκού. Μεταξύ των δύο περιοχών υπάρχει μία στρώση ινών, η οποία ούτε εφελκύεται ούτε θλίβεται και ακριβώς επειδή δε μετέχει στην παραμόρφωση καλείται ουδέτερος άξονας. Η ουδέτερη γραμμή είναι ευθεία και διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής. 39

40 Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η κατανομή των ορθών τάσεων σε μια διατομή δοκού που κάμπτεται. Βλέπουμε ότι οι ορθές τάσεις δεν κατανέμονται ομοιόμορφα στην επιφάνεια της διατομής, όπως συμβαίνει με τον εφελκυσμό και με τη θλίψη, αλλά μεταβάλλονται γραμμικά από το μηδέν(στη θέση της ουδέτερης γραμμής), έως μια μέγιστη θετική τιμή, στην ακραία ίνα, που εφελκύεται και μια ελάχιστη αρνητική τιμή, στην ακραία ίνα που θλίβεται. 5.2 Παραμορφώσεις λόγω κάμψης Γενικά, για να κατασκευάσουμε μία δοκό, δεν είναι πάντοτε αρκετό να ελέγχουμε τις τάσεις και να τις περιορίζουμε στα επιτρεπόμενα όρια. Σε πολλές περιπτώσεις, είναι ανάγκη να γνωρίζουμε τις παραμορφώσεις που γίνονται στη δοκό από την κάμψη και να ελέγχουμε μήπως είναι υπερβολικά μεγάλες και μπορούν να προκαλέσουν ζημιές στις κατασκευές που στηρίζονται επάνω στη δοκό. Είναι επομένως απαραίτητο να γνωρίζουμε τους νόμους παραμορφώσεως των δοκών. Για αυτό στα παρακάτω κεφάλαια ορίσουμε την ελαστική γραμμή, το βέλος κάμψης και θα περιγράψουμε τη μέθοδο Mohr που υπολογίζει πρακτικά την ελαστική γραμμή καθώς και το μέγιστο βέλος κάμψης. Επίσης θα αναφερθούμε στη γωνία κλίσης στις στηρίξεις. 5.3 Ελαστική γραμμή Ελαστική γραμμή μίας δοκού που κάμπτεται ονομάζουμε την καμπύλη γραμμή στη οποία παραμορφώνεται ο αρχικά ευθύγραμμος άξονάς της. 40