Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α

Transcript

1 ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΔΠΣΔΜΒΡΙΟ 21 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ, ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ & ΔΠΙΥΔΙΡΗΙΑΚΗ ΔΡΔΤΝΑ Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α ΘΔΜΑ 1 ο Μηα βηνκεραληθή επηρείξεζε ρξεζηκνπνηεί έλα εξγνζηάζην (Δ) γηα ηελ παξαγσγή ησλ πξντόλησλ ηεο. Σα παξαγόκελα πξντόληα ζηε ζπλέρεηα απνζεθεύνληαη ζε δύν ηδηόθηεηνπο απνζεθεπηηθνύο ρώξνπο (Α1, θαη Α2 αληίζηνηρα). Καηόπηλ, ε δήηεζε ηεο αγνξάο θαιύπηεηαη κέζσ ηεζζάξσλ ζπλεξγαδόκελσλ εκπόξσλ ρνλδξηθήο πνπ απνηεινύλ ηα θέληξα δηαλνκήο ησλ πξντόλησλ ηεο (Γ1, Γ2, Γ3, θαη Γ αληίζηνηρα). Η επηρείξεζε ρξεζηκνπνηεί ηδηόθηεην ζηόιν νρεκάησλ γηα ηε κεηαθνξά ησλ πξντόλησλ ηεο από ην εξγνζηάζην ζηνπο απνζεθεπηηθνύο ρώξνπο, θαη ζηε ζπλέρεηα γηα ηε κεηαθνξά ηνπο από ηηο απνζήθεο ζηα θέληξα δηαλνκήο. ηνπο παξαθάησ πίλαθεο, θαηαγξάθνληαη ε κέγηζηε πνζόηεηα πνπ κπνξεί λα κεηαθεξζεί κεληαία από ην εξγνζηάζην ζηηο απνζήθεο, θαη ε κέγηζηε πνζόηεηα πνπ κπνξεί λα κεηαθεξζεί κεληαία από ηηο απνζήθεο ζηα θέληξα δηαλνκήο. Οη ηηκέο αθνξνύλ πιήξε θνξηία (ην πιήξεο θνξηίν απνηειεί ηε κνλάδα κέηξεζεο) ησλ δηαζέζηκσλ κεηαθνξηθώλ κέζσλ ηεο επηρείξεζεο. Ο κέγηζηνο ζπλνιηθόο αξηζκόο κεληαίσλ θνξηίσλ πνπ είλαη δπλαηό λα απνζηαινύλ από ην εξγνζηάζην ζηα θέληξα δηαλνκήο, όπσο θαίλεηαη θαη ζηνλ πίλαθα, αλέξρεηαη ζε θνξηία. Οη δπλακηθόηεηεο ξνήο από ηα θέληξα δηαλνκήο πξνο ηελ αγνξά πξνθύπηνπλ από ην άζξνηζκα ησλ εηζξνώλ από ηηο απνζήθεο πξνο θάζε θέληξν δηαλνκήο. Αποθήκη Δργοζηάζιο Α1 Α2 Δ Αποθήκη Κένηρο Γιανομής Γ1 Γ2 Γ3 Γ Α1 Α2 7 Υξεζηκνπνηείζηε θαηάιιειε ηερληθή ηεο δηθηπσηήο αλάιπζεο πξνθεηκέλνπ λα βνεζήζεηε ηε δηνίθεζε ηεο επηρείξεζεο λα θαηαξηίζεη ην κεληαίν πξόγξακκα δηαλνκήο ησλ πξντόλησλ ηεο, γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ κέγηζηνπ αξηζκνύ θνξηίσλ πνπ είλαη δπλαηό λα κεηαθεξζνύλ από ηνπο ρώξνπο παξαγσγήο δηα κέζσ ησλ απνζεθεπηηθώλ ρώξσλ ζηα θέληξα δηαλνκήο, κε ζθνπό ηελ πξνώζεζή ηνπο ζηελ αγνξά. ΘΔΜΑ 2 ο Μεηαθνξηθή εηαηξεία έρεη ππνγξάςεη ζπκβόιαην πνπ πξνβιέπεη ηελ θαζεκεξηλή κεηαθνξά ελόο αλαςπθηηθνύ (ζε ζπζθεπαζίεο ησλ 2 ηεκαρίσλ) από ηηο απνζήθεο Α θαη Β ηεο εηαηξείαο εκθηαιώζεώο ηνπ ζηα θαηαζηήκαηα J, K, L, M θαη N. ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί tableau ηνπ αληίζηνηρνπ πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο, θαηαγξάθνληαη νη εκεξήζηεο πνζόηεηεο/ζπζθεπαζίεο πξνο κεηαθνξά από ηελ θάζε απνζήθε, ε εκεξήζηα δήηεζε εθάζηνπ θαηαζηήκαηνο, θαζώο επίζεο θαη ην θόζηνο κεηαθνξάο (ζε ) κηαο ζπζθεπαζίαο από ηελ θάζε απνζήθε πξνο ην θάζε θαηάζηεκα: Α Β J K L M N 13 1, Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη ε απόζηαζε ηνπ θαηαζηήκαηνο Ν από ηελ απνζήθε Α είλαη ηέηνηα ώζηε κόλνλ έλα δξνκνιόγην, θη απηό ρσξεηηθόηεηαο ην πνιύ 1 ζπζθεπαζηώλ κπνξεί λα πξαγκαηνπνηεζεί εκεξήζηα, βξείηε ην βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο. ΘΔΜΑ 3 ο Η RTT, γλσζηή θαηαζθεπαζηηθή εηαηξεία, εμεηάδεη ην ελδερόκελν λα πξνρσξήζεη ζε πξνζθνξά γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ λένπ νδηθνύ άμνλα Δ2. Βαζηθό θξηηήξην γηα ηελ αλάδεημε ηεο αλαδόρνπ εηαηξείαο, εθηόο θπζηθά από ην θόζηνο, είλαη θαη ν ρξόλνο πινπνίεζεο ηνπ έξγνπ: ε εηαηξεία πνπ ζα θεξδίζεη ην ζπκβόιαην είλαη ππνρξεσκέλε λα νινθιεξώζεη ην έξγν ζύκθσλα κε ην ρξόλν πνπ έρεη δώζεη ζηελ πξνζθνξά, δηαθνξεηηθά επηβαξύλεηαη κε βαξύηαην πξόζηηκν. Η RTT πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζεη ην ρξόλν πνπ ζα θαηαγξάςεη ζηελ πξνζθνξά ηεο, πξνρώξεζε ζηελ παξαθάησ αλάιπζε ηνπ έξγνπ ζε επηκέξνπο δξαζηεξηόηεηεο (ν ρξόλνο είλαη ζε εβδνκάδεο).

2 ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΑΜΔΩ ΠΡΟΗΓ. ΑΙΙΟΓΟΞΟ ΠΙΘΑΝΟΣΔΡΟ ΑΠΑΙΙΟΓΟΞΟ ΑΝΑΜΔΝΟΜΔΝΗ ΣΤΠΙΚΗ ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΥΡΟΝΟ ΥΡΟΝΟ ΥΡΟΝΟ ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΑΠΟΚΛΙΗ A B Α 2 1 C Α D Α E Β F Β G C H C Ι D J D K F, G L H, I M E N J O N Δάλ ε RTT ζέιεη λα είλαη % βέβαηε όηη ην έξγν ζα νινθιεξσζεί ρσξίο λα ππνρξεσζεί ζηελ θαηαβνιή πξνζηίκνπ, πνην ρξόλν πξέπεη λα πξνζδηνξίζεη γηα ηελ πινπνίεζή ηνπ ζηελ πξνζθνξά ηεο; Γίλεηαη: P( Z 1.2) =.1, P( Z 2.2) =.7, P( Z 1.) =., P( Z.1) =.31. ΘΔΜΑ ο Σα επηηειεία δύν πνιηηηθώλ, Α θαη Β, νη νπνίνη είλαη νη βαζηθνί δηεθδηθεηέο ηεο ζέζεο ηνπ αηξεηνύ πεξηθεξεηάξρε ζηηο επηθείκελεο εθινγέο, ζπζθέπηνληαη πξνθεηκέλνπ λα απνθαζίζνπλ ηε ζηξαηεγηθή ησλ δύν ηειεπηαίσλ εκεξώλ. Δπεηδή πξόζθαηεο δεκνζθνπήζεηο έδεημαλ όηη ε κάρε ζα είλαη ηδηαίηεξα ακθίξξνπε, νη δύν ππνςήθηνη επηζπκνύλ λα πεξάζνπλ ηηο δύν ηειεπηαίεο εκέξεο ηεο εθζηξαηείαο ηνπο ζηηο δύν κεγάιεο πόιεηο ηεο πεξηθέξεηαο πνπ είλαη ε Μαθξπρώξα θαη ε Μεγαιόπνιε. Πξνθεηκέλνπ λα εμνηθνλνκήζνπλ όζν ην δπλαηόλ πεξηζζόηεξν ρξόλν γηα λα ηνλ πεξάζνπλ κε ηνπο ςεθνθόξνπο, νη ζηξαηεγηθέο πνπ πξνηείλνληαη είλαη λα ηαμηδεύνπλ ηε λύρηα θαη λα έρνπλ κηα πιήξε εκέξα ζηε δηάζεζή ηνπο ζε θάζε κία εθ ησλ δύν πόιεσλ, ή λα επηιέμνπλ κία εμ απηώλ γηα παξακνλή δύν εκεξώλ. Οη επηηειείο ηνπ πνιηηηθνύ Α θαηέιεμαλ ζηνλ αθόινπζν πίλαθα, ν νπνίνο δίλεη ην πιήζνο ησλ ςήθσλ πνπ εθηηκάηαη όηη ζα θεξδεζνύλ ή ζα απνιεζζνύλ αλάινγα κε ηνλ πηζαλό ζπλδπαζκό ζηξαηεγηθώλ ηνπ ηδίνπ θαη ηνπ αληηπάινπ ηνπ. Πλήθος υήθφν ποσ κερδίζει ο Πολιηικός Α (κεηξεκέλεο ζε κνλάδεο ησλ 1. ςήθσλ) Β ηραηηγική 1 εκέξα ζε θάζε πόιε 2 εκέξεο ζηε Μαθξπρώξα 2 εκέξεο ζηε Μεγαιόπνιε 1 εκέξα ζε θάζε πόιε -2 2 Α 2 εκέξεο ζηε Μαθξπρώξα εκέξεο ζηε Μεγαιόπνιε Υσξίο λα δηαγξάςεηε ηηο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο, εθαξκόζηε ην θξηηήξην minimax ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ, γηα λα δηαπηζηώζεηε ηελ ύπαξμε ή όρη ζεκείνπ ηζνξξνπίαο. 2. Να εθαξκόζεηε ηελ θαηάιιειε κεζνδνινγία πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζεηε ηελ άξηζηε ζηξαηεγηθή γηα θάζε πνιηηηθό. Να δηαηππώζεηε ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ζαθήλεηα, απνδίδνληαο θαη ην θαηάιιειν θπζηθό λόεκα.

3 ΘΔΜΑ 1 ο Σν δίθηπν δηαλνκήο θνξηίσλ απεηθνλίδεηαη ζην ζρήκα 1. Όπνπ δελ αλαθέξνληαη ξνέο ζεσξείηαη όηη είλαη κεδεληθέο. Καζώο ν αληηθεηκεληθόο ζηόρνο αθνξά ηε κεγηζηνπνίεζε ηεο ξνήο θνξηίσλ κε αθεηεξία έλαλ θόκβν πεγή (εξγνζηάζην - Δ) θαη πξννξηζκό έλαλ θόκβν δέθηε (αγνξά - θαηαλαισηέο), πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηεο κέγηζηεο ξνήο. Σρήκα 1- Αξρηθό δίθηπν Ξεθηλάκε επηιέγνληαο απζαίξεηα έλα κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Έλα ηέηνην κνλνπάηη είλαη γηα παξάδεηγκα ην κνλνπάηη Δ-Α1-Γ2-ΑΓΟΡΑ. Η κέγηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο όπσο θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή κε ηελ κηθξόηεξε δπλακηθόηεηα ξνήο, δειαδή ηελ αθκή Α1-Γ2 (min{31,, 1} = ). Έηζη, ζηέιλνπκε κνλάδεο κέζσ ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε θαηάιιεια ηηο ξνέο ησλ αληίζηνηρσλ αθκώλ πνπ ζπκκεηέρνπλ. ην ζρήκα 2 απεηθνλίδεηαη ε πξώηε επαλάιεςε. Μεηά ηνλ θόκβν Δ ζεκεηώλνπκε κνλνπάηη θαη ξνή. πλνιηθή ξνή: κνλάδεο. Σρήκα 2 1 ε επαλάιεςε

4 πλερίδνπκε (απζαίξεηα) κε ην κνλνπάηη Δ Α2 Γ3 ΑΓΟΡΑ, πνπ έρεη ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο (min{23,, 1} = ). Έηζη, ζηέιλνπκε κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 3 απεηθνλίδεηαη ε δεύηεξε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη θαη ηελ πξώηε επαλάιεςε ρσξίο ηα βέιε αιιά κε έληνλεο αθκέο κόλν. πλνιηθή ξνή: + = 1 κνλάδεο. Σρήκα 3 2 ε επαλάιεςε ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη Δ Α1 Γ3 ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Α1 Γ3 ή ηελ αθκή Γ3 ΑΓΟΡΑ πνπ έρνπλ ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη. Έηζη, απνζηέιινληαη κνλάδεο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα απεηθνλίδεηαη ε ηξίηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: + + = 2. τήμα 3 η επανάληυη

5 πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ην κνλνπάηη Δ Α1 Γ1 ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Α1 Γ1 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα απεηθνλίδεηαη ε ηέηαξηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: = 2. Σρήκα ε επαλάιεςε ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη Δ Α1 Γ ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Α1 Γ πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα απεηθνλίδεηαη ε πέκπηε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: = 33. Σρήκα ε επαλάιεςε E A1 Δ2 - ΑΓΟΡΑ E A2 Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A1 Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A1 Δ1 - ΑΓΟΡΑ Δ1 Ε E A1 Δ - ΑΓΟΡΑ Α Α2 Δ2 7 Δ3 ΑΓΟΡΑ 1 Δ

6 πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ην κνλνπάηη Δ Α2 Γ1 ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηηο αθκέο Α2 Γ1 θαη Γ1 ΑΓΟΡΑ πνπ έρνπλ ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 7 απεηθνλίδεηαη ε έθηε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: = 1. Σρήκα 7 ε επαλάιεςε E A1 Δ2 - ΑΓΟΡΑ E A2 Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A1 Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A1 Δ1 - ΑΓΟΡΑ Δ1 E A1 Δ - ΑΓΟΡΑ E A2 Δ1 - ΑΓΟΡΑ Ε Α1 7 Α2 Δ2 7 Δ3 13 ΑΓΟΡΑ 1 Δ

7 πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ην κνλνπάηη Δ Α2 Γ2 ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Δ Α2 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα απεηθνλίδεηαη ε έβδνκε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: = 7. Σρήκα 7 ε επαλάιεςε

8 ην ζρήκα, παξαηεξνύκε όηη ελώ ππάξρεη ζεηηθή δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή, ίζε κε 7 κνλάδεο ζηελ αθκή Δ Α1, ε ξνή απηή δελ κπνξεί λα δηνρεηεπζεί πξνο ην δέθηε αθνύ δελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην νπνίν λα κπνξεί λα πεξάζεη κέρξη ηέινπο. Οινθιεξώλνληαο, δηαπηζηώλνπκε ινηπόλ όηη δελ ππάξρεη άιιν κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, νπόηε είλαη θαλεξό όηη ε κέγηζηε ξνή είλαη ίζε κε 7 πιήξε θνξηία αλά κήλα. ην ζρήκα παξνπζηάδεηαη ε άξηζηε ιύζε, δηαηεξώληαο ηηο ξνέο πνπ είλαη απαξαίηεηεο πάλσ ζε θάζε αθκή πνπ ελεξγνπνηείηαη. τήμα άριζηη λύζη E A1 Δ2 - ΑΓΟΡΑ E A2 Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A1 Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A1 Δ1 - ΑΓΟΡΑ Ε Α1 Δ1 Δ2 Δ3 E A1 Δ - ΑΓΟΡΑ E A2 Δ1 - ΑΓΟΡΑ E A2 Δ2 - ΑΓΟΡΑ ΑΓΟΡΑ Μέγιστη ροή = 7 Α2 Δ Σεκείσζε Από ηε θύζε ηνπ αιγνξίζκνπ ηεο κέγηζηεο ξνήο, είλαη πνιύ πηζαλόλ λα κελ ππάξρεη κόλν κία ζπγθεθξηκέλε θαη κνλαδηθή ζεηξά ζηε ξνή ησλ επαλαιήςεσλ θαη ζηε ζπιινγή ησλ κνλνπαηηώλ, αθνύ ζε θάζε επαλάιεςε, ην κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, πξνζδηνξίδεηαη απζαίξεηα. Μάιηζηα, ππάξρνπλ ελαιιαθηηθά κνλνπάηηα ηα νπνία επίζεο επηηπγράλνπλ ηε κέγηζηε ξνή θαη απηό ζπκβαίλεη ζρεδόλ πάληα ζηα πξνβιήκαηα απηνύ ηνπ ηύπνπ. Γηα παξάδεηγκα, κεηά ηελ ε επαλάιεςε (ζρήκα 7), ζα κπνξνύζακε λα επηιέμνπκε δηαδνρηθά ηα κνλνπάηηα Ε Α2 Δ ΑΓΟΡΑ κε ξνή κνλάδεο, θαη Ε Α2 Δ2 ΑΓΟΡΑ κε ξνή 1 κνλάδα, από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε αληίζηνηρα, κε απνηέιεζκα λα νδεγεζνύκε ζε ελαιιαθηηθή άξηζηε ιύζε κε ηελ ίδηα κέγηζηε ξνή. Σε θάζε πεξίπησζε, ζηελ άξηζηε ιύζε ε κέγηζηε ξνή πξέπεη λα είλαη ίζε κε 7 κνλάδεο (πιήξε θνξηία) θαη απηή πξέπεη λα εληνπηζηεί, ηαπηόρξνλα κε ηηο θαηάιιειεο ξνέο επάλσ ζηηο αθκέο.

9 ΘΔΜΑ 2 ο Αξρηθά, ζα πξέπεη λα δηακνξθώζνπκε ην tableau πνπ δόζεθε ζε ηξόπν ώζηε λα ελζσκαησζεί ν πεξηνξηζκόο ηεο κεηαθνξάο ην πνιύ 1 ζπζθεπαζηώλ από ηελ απνζήθε Α ζην θαηάζηεκα Ν. Γηα ην ζθνπό απηό, ρσξίδνπκε ζηα δύν ηε ζηήιε πνπ αληηζηνηρεί ζην θαηάζηεκα Ν: κία ζηήιε πνπ εμαθνινπζεί λα επηγξάθεηαη Ν θαη κία δεύηεξε ζηήιε κε ηελ επηγξαθή (έζησ) Ν2. H δήηεζε ηεο θαηλνύξηαο ζηήιεο είλαη 1. Οπνηαδήπνηε κεηαθνξά από ηελ απνζήθε Α ζην θαηάζηεκα Ν ζα εκθαλίδεηαη ζ απηή ηε ζηήιε Ν2. Δμαθνινπζώληαο λα επηηξέπνπκε κεηαθνξά θαη από ηηο ππόινηπεο απνζήθεο (εδώ ππάξρεη κόλνλ κία αθόκε, ε Β), θάζε πνζόηεηα πνπ εκθαλίδεηαη ζ απηή ηε ζηήιε πξννξίδεηαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα γηα ην θαηάζηεκα Ν. Φπζηθά, ε αξρηθή δήηεζε ηεο ζηήιεο Ν έρεη ειαηησζεί θαηά 1 κνλάδεο, νπόηε ε ζπλνιηθή δήηεζε ησλ Ν θαη Ν2 λα αζξνίδεη ζηελ αξρηθή. ηε ζπλέρεηα, πξνθεηκέλνπ λα εμαζθαιίζνπκε όηη ην θαηάζηεκα Ν ζα πάξεη ην πνιύ 1 ζπζθεπαζίεο από ηελ απνζήθε Α, απαγνξεύνπκε ηελ απνζηνιή πξντόλησλ ζην θειί ΑΝ. Έηζη, ζέηνπκε ην ζπγθεθξηκέλν θόζηνο κεηαθνξάο ίζν κε Μ (Μ ). Η ππόινηπε δήηεζε ηνπ θαηαζηήκαηνο Ν ζα πξέπεη λα ηθαλνπνηεζεί από ηελ απνζήθε Β. Α Β J K L M N N2 Μ 13 1, Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ: Ζήτηση Μ- 7 Προσυορά Μ 13 1, 1, 1, 1, 3 * Σν θειί (1, 3) αλ θαη κε κεδεληθή εθρώξεζε, είλαη έλα βαζηθό θειί. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά u i, v j θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δ ij = u i + v j - c ij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο δηαπηζηώλνπκε όηη ε ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δ ij i, j) θαη ζπλεπάγεηαη ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο ηεο ηάμεο ησλ,2.

10 u - v 1 1 -M Μ * , Οπόηε, επαλαθέξνληαο ζην tableau ηε δνζείζα πξαγκαηηθή κνξθή έρνπκε σο βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο ην: Α Β J K L M N , κε ζπλνιηθό θόζηνο.

11 ΘΔΜΑ 3 ο ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΑΜΔΩ ΠΡΟΗΓ. ΑΝΑΜΔΝΟΜΔΝΗ ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΔΝΩΡΙΣΔΡΟ ΥΡΟΝΟ ΒΡΑΓΤΣΔΡΟ ΥΡΟΝΟ ΥΡΟΝΙΚΟ ΠΔΡΙΘΩΡΙΟ ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΔΝΑΡΞΗ ΛΗΞΗ ΔΝΑΡΞΗ ΛΗΞΗ A B Α C Α D Α E Β F Β G C H C I D J D K F, G L H, I M E N J O N Αναμενόμενη Κρίζιμη διαδρομή: A D J N Αναμενόμενος τρόνος ολοκλήρωζης ηοσ έργοσ: εβδομάδες Η η.μ. Υ = Υρόνος Ολοκλήρωζης ηοσ Έργοσ ακολοσθεί ηην κανονική καηανομή με μέζη ηιμή μ = μ A + μ D + μ J + μ N + μ O = = και διακύμανζη ζ 2 = ζ 2 A + ζ 2 D + ζ 2 J + ζ 2 N + ζ 2 O = = =.1 2. X- a- a- Prob X a. Prob. 1.2 a = εβδομάδες

12 ΘΔΜΑ ο Δρώηημα 1 Πξόθεηηαη γηα έλα παίγλην δύν παηθηώλ μηδενικού αθροίζμαηος. Όπσο βιέπνπκε ζηoλ παξαθάησ πίλαθα, ε εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minimax απεπζείαο ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ ηνπ παίθηε Α ρσξίο δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ, αδπλαηεί λα καο δώζεη ακηγείο ζηξαηεγηθέο θαη ππνδεηθλύεη ηελ αλππαξμία ζεκείνπ ηζνξξνπίαο. Πξάγκαηη, ε Maximin ηηκή ηνπ παίθηε - πνιηηηθνύ Α είλαη ίζε κε -2 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α1 θαη Β2) θαη ε Minimax ηηκή ηνπ παίθηε -πνιηηηθνύ Β είλαη ίζε κε 2 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α1 θαη Β3). Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α Α Α Col Max 3 2 Minimax Δρώηημα 2 Αθνύ δελ ππάξρεη θνηλό ζεκείν ηζνξξνπίαο (δειαδή δελ ππάξρνπλ αληίζηνηρεο ακηγείο ζηξαηεγηθέο πνπ ζα κπνξνύζαλ λα ηζνξξνπήζνπλ νη δύν παίθηεο) ζα πξνρσξήζνπκε ζηνλ εληνπηζκό κεηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. πλερίδνπκε κε ηε δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ. Η ζηξαηεγηθή Α3 δηαγξάθεηαη σο ππνδεέζηεξε ηεο Α2, νπόηε ν πίλαθαο πιεξσκώλ κεηώλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 2 3, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο. Β1 y1 Β2 y2 Β3 y3 Α1 x -2 2 Α2 1-x 3-3 ηε ζπλέρεηα, εθαξκόδνπκε ηε γξαθηθή κέζνδν επίιπζεο. Ολνκάδνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή ηνπ Α1, νπόηε (1-x) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηελ Α2. Γηα ηνλ παίθηε Β νλνκάδνπκε y1 ηελ πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή ηνπ Β1, y2 λα εθαξκόζεη ηελ Β2 θαη y3 λα εθαξκόζεη ηελ Β3. Πξνθαλώο y1+y2+y3 =1. Γηα ηνλ παίθηε κε δύν ζηξαηεγηθέο (δειαδή ηνλ Α) έρνπκε ηηο αθόινπζεο ζρέζεηο: V(A, B1) = x +3(1-x) = 3 3x, V(A, B2) = -2x+(1-x) = x θαη V(A, B3) = 2x - 3(1-x) = -3 + x. ύξνπκε δύν παξάιιεινπο θαηαθόξπθνπο άμνλεο κε ίδηα θιίκαθα κέηξεζεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο κία κνλάδα θαη νη νπνίνη αληηπξνζσπεύνπλ ηελ αμία γηα ηνλ παίθηε Α. Ο νξηδόληηνο άμνλαο παξηζηάλεη ηηο ηηκέο ηεο πηζαλόηεηαο x. Μεηά θέξνπκε ηα επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ παξηζηάλνπλ ηηο πιεξσκέο ζηνλ παίθηε Α (δειαδή ηα V(A, Bi), i=1,2,3)) αλάινγα κε ηε ζηξαηεγηθή πνπ εθαξκόδεη ν Β θαη ηελ πηζαλόηεηα εθαξκνγήο από ηνλ παίθηε Α είηε ηεο Α1 είηε ηεο Α2. Γηα λα ραξάμνπκε ηα ηξία απηά επζύγξακκα ηκήκαηα αξθεί λα ζπλδέζνπκε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ησλ δύν αμόλσλ από ηνλ πίλαθα πιεξσκώλ δειαδή γηα λα ραξάμνπκε ηελ επζεία πνπ αληηζηνηρεί ζην V(A, B1) ζπλδένπκε ην 3 κε ην, γηα ην V(A, B2) ζπλδένπκε ην κε ην -2 θαη γηα ηελ επζεία V(A, B3) ζπλδένπκε ην -3 κε ην 2.

13 Δπεηδή ν παίθηεο Α επηιέγεη maximin ζηξαηεγηθή, απηό ζπλεπάγεηαη όηη επηιέγεη ην κέγηζην από ηα ειάρηζηα. Γειαδή ζα αθνινπζήζεη ηελ ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζηελ θαηώηεξε πεξηνρή ηνπ ζρήκαηνο θαη ε νπνία παξνπζηάδεηαη κε έληνλεο θόθθηλεο γξακκέο. Δπάλσ ζ απηήλ, ζα επηιέμεη ην πςειόηεξν ζεκείν Κ. Ωο εθ ηνύηνπ, ε ζηξαηεγηθή Β1 από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε Β απνξξίπηεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ maximin ζεκείνπ Κ θαη ην πξόβιεκα γίλεηαη πξόβιεκα δηάζηαζεο 2 2 κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα πιεξσκώλ ζηνλ νπνίν αληηθαηαζηήζακε ηηο πηζαλόηεηεο y2 θαη y3 κε y θαη 1-y αληίζηνηρα: Β2 y Β3 1-y Α1 x -2 2 Α2 1-x -3 ην ζρήκα, κε ηα πξάζηλα βέιε ζεκεηώλεηαη ην ζεκείν ζην νπνίν βξίζθεηαη ε βέιηηζηε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο x 1 πνπ είλαη πεξίπνπ, θαη ε αληίζηνηρε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ζηνλ θαηαθόξπθν άμνλα (V,1). Γηα λα εληνπίζνπκε όκσο κε αθξίβεηα ηηο ηηκέο ζπλερίδνπκε αιγεβξηθά. Δπηιύνπκε ινηπόλ ην παίγλην σο πξόβιεκα δηάζηαζεο 2 2: εμηζώλνπκε ηηο V(A, B2) θαη V(A, B3) θαη έρνπκε x = -3 + x πνπ δίλεη 11x = 7. Άξα x = 7/11 (,) θαη 1-x = /11 (ζην ζρήκα ππνδεηθλύεηαη κε βέινο ην ζεκείν ζην νπνίν ε πηζαλόηεηα x,). Η ηηκή ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ησλ πηζαλνηήησλ ζε νπνηνδήπνηε από ηα V(A, B2) ή V(A, B3) δειαδή είλαη V = (7/11) = 2/11 (,1) (πξάγκαηη ζην ζρήκα θαηαδεηθλύεηαη κε βέινο ε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ε νπνία είλαη ζην,1 πεξίπνπ). Γηα ηνλ παίθηε B έρνπκε όηη V(B, A1) = V(B, A2) δειαδή -2y + 2(1-y) = y - 3(1-y) πνπ δίλεη y = /11 θαη 1-y = /11. Αλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο πηζαλόηεηεο απηέο είηε ζην V(B, A1) είηε ζην V(B, A2) ζα πξέπεη λα πάξνπκε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ίζε κε V =2/11 πνπ βξήθακε πξηλ θαη πξάγκαηη έηζη είλαη. πλνςίδνληαο, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο: Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Α: (7/11, /11, ) Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Β: (, /11, /11) Σηκή ηνπ παηγλίνπ V = 2/11 Σν θπζηθό λόεκα ηεο ηηκήο ηνπ παηγλίνπ είλαη όηη, εθόζνλ επαλαιεθζεί πνιιέο θνξέο ε αλακέηξεζε κε ηνπο ίδηνπο όξνπο, ην αλακελόκελν θέξδνο ηνπ πνιηηηθνύ Α ζε βάξνο ηνπ Β αλέξρεηαη ζηηο 11 ςήθνπο πεξίπνπ (1. ςήθνη x 2/11 πνπ είλαη ε ηηκή ηνπ παηγλίνπ).