ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

Transcript

1 Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου χρειάζεται (6 µον) ίνεται ο πίνακας A 4 (α) ( µον) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α (β) ( µον) Είναι δυνατή η διαγωνοποίηση του πίνακα Α; Γιατί; Εάν ο πίνακας διαγωνοποιείται, να βρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος (γ) ( µον) Να υπολογιστει ο Α όπου φυσικός αριθµός Λύση (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι: λ λ λ δa( λ) λi A λ 4 λ λ λ λ λ λ ( λ 6) λ Εποµένως, ιδιοτιµές του Α είναι οι: λ λ, λ 6 Υπολογίζουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα: Για την διπλή ιδιοτιµή λ το σύστηµα είναι:!!" " ( I A) u 4 R R + Αρα µια βαση ιδιοδιανυσµατων του ιδιοχωρου για την ιδιοτιµή λ είναι :!"!!" u, u u!!" Παρόµοια για την ιδιοτιµή λ 6: (β) Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται αφού είναι συµµετρικός (η αφου εχει µια βαση από ιδιοδιανυσµατα) Η διαγωνοποίηση αυτή πραγµατοποιείται αν κανείς χρησιµοποιήσει τον πίνακα που έχει ως στήλες τα τρία (γραµµικώς ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσµατα του Α που υπολογίσαµε στο υποερώτηµα (α): P

2 Page of 6 Βρίσκουµε ότι P 5 -, οπότε 6 P A P D 6 (γ) A P D P - ( µον) ίνεται το σύστηµα µ + µ + Να βρεθούν οι τιµές του µ για τις οποίες το παραπάνω σύστηµα έχει: (i) µοναδική λύση, (ii) άπειρες λύσεις, (iii) καµία λύση και να βρεθούν οι λύσεις όποτε υπάρχουν Λύση Θεωρούµε τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος στον οποίο εφαρµόζουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών : Εποµένως, το σύστηµα έχει : Γ Γ Γ Γ Γ ( µ ) Γ µ Γ Γ Γ µ + µ µ 4 µ + µ + µ + µ + 6 µ ( + µ )( µ ) µ Μοναδική λύση όταν µ και µ την /( µ ) + /( + µ ) 5 Άπειρες λύσεις όταν µ τις 4 +, R Καµία λύση όταν µ ( µον) ίνεται η παρακάτω απεικόνιση : f [ ] T [ +,, + f: R R, ( ) α) Να δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι γραµµική και να βρεθεί ο πίνακάς της ως προς τις συνήθεις βάσεις των χώρων R,R β) Να βρεθεί ο πυρήνας της παραπάνω απεικόνισης και η διάσταση του Είναι η συνάρτηση f ένα προς ένα ; γ) Να βρεθεί η διάσταση και µία βάση της εικόνας f (R ) Λύση (α) Είναι f(x)ax όπου Α και εύκολα αποδεικνύεται η γραµµικότητα Ο Α είναι και ο ζητούµενος πίνακας ως προς τις συνήθεις βασεις ] T

3 Page of 6 (β) Ο πυρήνας είναι ο τετριµµενος υπόχωρος {[,] Τ } διάστασης, καθώς η µοναδική λυση του οµογενους συστηµατος ΑΧ είναι η [,] Τ Αρα η f είναι ένα προς ένα (γ) Είναι γνωστό οτι: dim R dim( f( R )) + dim( Kerf) Εποµένως dim( f( R )) + ηλαδή dim( f( R )) Μια βαση της εικόνας είναι το συνολο, των δυο στηλών του Α 4 ( µον) (α) (6 µον)εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις κάτωθι σειρές αιτιολογώντας την απάντησή σας: i) (δηλαδη να βρεθει το διαστηµα συγκλισης για το ) ii) iii) + 7 (β) (6 µον) Να βρεθούν τα παρακάτω όρια : i) lim + l ii) lim iii) e lim ( 4 ) + Λύση (α) Είναι γεωµετρική σειρά µε λόγο / Συγκλίνει µόνο εφ οσον -</<, δηλαδη -<< ii) Επειτα από συγκριση µε την p-σειρά / που συγκλινει, η σειρά συγκλίνει iii) Εφαρµοζοντας κριτηριο λόγου (ή το κριτήριο ρίζας) προκύπτει η σύγκλιση της σειράς (β) l / i) lim + l lim + lim + lim ( ) ' + σε µορφη / L Hopital / απλοποιηση / παρόµοια, ( ) ( ) ii) lim e lim lim lim lim lim + + e + ( e ) + e + ( e ) + e iii) πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε την συζυγή παράσταση: ( 4 + ) ( ) (4 + 4 ) lim ( 4 ) lim lim ( ) ( ) lim + ( + + )

4 Page 4 of 6 5 ( 4 µον) ίνεται η συνάρτηση f ( ) e + + a > Για ποιά τιµή του a,είναι η f συνεχής στο ; Είναι για αυτή την τιµή του α και παραγωγίσιµη στο ; Εξηγείστε την απάντησή σας Λύση Θα πρέπει: a a lim f( ) lim f( ) f() lim ( e ) lim ( a) + + Εξετάζουµε την ισότητα των πλευρικών παραγώγων της f στο : f( ) f() f( ) f() e ( + + ) lim lim lim lim + + e + lim lim lim ( + ), που ισχύει Αρα η f είναι και παραγωγίσιµη στο ( µον) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: Λύση π i) cos( ) d, ii) b d, b >, iii) ( ) d + π π π π π (i) cos d (si ) d si si d + cos (ii) Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό y dy d, έχουµε: d ( ) + y dy y dy + c + c y + y ( ) οποτε το ορισµενο ολοκληρωµα ισουται προς ( ) ( b) (iii) Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό b y y ydy d + +, έχουµε: d ( y )ydy y 4 ( y ) dy [ y] + y 7 (6 µον) Γράψετε αν οι κάτωθι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Α) Για κάθε λ πραγµατικό και κάθε Α τετραγωνο πίνακα, det( λa) λdet( A) Β) Το σύνολο E,, : + και + είναι διανυσµατικός υπόχωρος του R {( ) }

5 Page 5 of 6 Γ) Υπάρχει φ γραµµικη απεικόνιση φ : R R 4 µε Im ( φ ) R 4 ) Υπάρχει τετραγωνικός πίνακας Α µη µηδενικός µε Α Λύση (Α) Λάθος: det( λa) λ det( A) (Β) Λάθος αφού το σύνολο Ε δεν περιέχει το µηδενικό στοιχείο του R : (Γ) Λάθος:ισχύει ότι dim + ( ) dim( φ R ) dim R dim( Kerφ) dim R < 4 άρα ( ) ( ) ( ) R dim( Kerφ) + dim( φ( R )) ( ) Σωστό: Για παράδειγµα, αν A, τότε Α και Α 8 (6 µον) Για τις κάτωθι προτάσεις πολλαπλής επιλογής, γράψετε ποια απάντηση είναι σωστή: Αν f ( ) π cos τότε το lim f ( ) είναι ίσο µε π Γ 4 Α Β Αν λ lim +, τότε Α λ Β λ e Γ λ το λ δεν ορίζεται ( ) Αν f l( + ), τότε οι ρίζες της f '( ) είναι : Α Β Γ - δεν υπαρχει ρίζα 4 4 Η συνάρτηση f( ), έχει: Α Τοπικό ελάχιστο στo - και τοπικό µέγιστο στο Β Τοπικό ελάχιστο στo και τοπικό µέγιστο στο Γ Τοπικό ελάχιστο στo και τοπικό µέγιστο στο - Τοπικό ελάχιστο στo - και τοπικό µέγιστο στο Λύση () Σωστή απάντηση είναι η Α: () Σωστή απάντηση είναι η Β: () Σωστή απάντηση είναι η Β: Πράγµατι, f ( ), η οποία έχει µοναδική ρίζα το + (4) Σωστή απάντηση είναι η γιατί : f + 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) f () 4>, f ( ) 4<, f ( ) Συνεπώς, µόνο η αληθεύει Εποµένως, η πρώτη παράγωγος έχει ρίζες στα σηµεία, - και για τα οποία παρατηρούµε ότι:

6 Page 6 of 6