Γραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα 49 Ασκήσεις5: Ελάχιστο Πολυώνυμο 6 Ασκήσεις6: Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόμενο Ασκήσεις7: Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 74 8 Εκδοχή 6/05/08

2 Συνήθεις Συμβολισμοί το σύνολο των πραγματικών αριθμών ή των μιγαδικών αριθμών [ x] το σύνολο των πολυωνύμων με συντελεστές από το [ x ] το σύνολο των πολυωνύμων με συντελεστές από το βαθμού το πολύ το σύνολο των πινάκων με στοιχεία από το I ο ταυτοτικός πίνακας diag(,, ) ο διαγώνιος πίνακας με i στη θέση ( i, i), i,, V ένας -διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης V η ταυτοτική απεικόνιση στο V ê η συνήθης διατεταγμένη βάση του (ή του Ê είναι η συνήθης διατεταγμένη βάση του ΓΑΙ το μάθημα Γραμμική Άλγεβρα Ι adj( ) προσαρτημένος πίνακας του det( ) ορίζουσα του ra( ) τάξη του Tr( ) ίχνος του : V V γραμμική απεικόνιση ( x), ( x) χαρακτηριστικό πολυώνυμο m ( x), m ( x ) ελάχιστο πολυώνυμο V ( ), V ( ) ιδιόχωρος, κλπ) (ή του, κλπ) er και Im ο πυρήνας και η εικόνα αντίστοιχα γραμμικής απεικόνισης ( : ˆ, ˆ ) πίνακας της γραμμικής απεικόνισης : V V ως προς τη διατεταγμένη βάση ˆ του V V U τομή υποχώρων V U άθροισμα υποχώρων u, v τιμή του συνήθους εσωτερικού γινομένου στα u, v u μήκος διανύσματος u V ορθογώνιο συμπλήρωμα του υπόχωρου V t ανάστροφος του πίνακα ( i) i στήλη του πίνακα z συζυγής του μιγαδικού αριθμού z z μέτρο του μιγαδικού αριθμού z πίνακας με στοιχεία τα συζυγή των στοιχείων του πίνακα * αναστροφοσυζυγής του πίνακα eclass του μαθήματος: Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, ISBN: , 0 Ο ακέραιος (m) στην αρχή της διατύπωσης μιας άσκησης, όπου m=,,, υποδηλώνει τη δυσκολία της κατά την υποκειμενική κρίση μου Μεγαλύτερος αριθμός σημαίνει μεγαλύτερη δυσκολία

3 σκήσεις0 Ασκήσεις0 Όμοιοι Πίνακες Βασικά σημεία Υπενθυμίσεις από Γραμμική Άλγεβρα Ι (πίνακας γραμμικής απεικόνισης, αλλαγή βάσης, ανάκτηση γραμμικής απεικόνισης από πίνακά της) Όμοιοι πίνακες (ορισμός και ιδιότητες) Θεώρημα Έστω : V V γραμμική απεικόνιση, ˆ διατεταγμένη βάση του V, ( : ˆ, ˆ ) και B Τότε οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν υπάρχει διατεταγμένη βάση ˆ του V με B ( : ˆ, ˆ ) Συνιστώμενες ασκήσεις:,,5-8 () Έστω και Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον I, τότε I () Έστω, B a Αν οι πίνακες I, B I είναι όμοιοι για κάποιο, δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι b Αληθεύει ότι αν οι, B είναι όμοιοι, τότε οι, B είναι όμοιοι; () Έστω, B όμοιοι πίνακες Δείξτε τις εξής ισότητες a det det B b ra rab c Tr TrB 4 () Δείξτε ότι για κάθε a, a a οι πίνακες, 4 a δεν είναι όμοιοι a a b οι πίνακες, a a είναι όμοιοι 5 () Δίνεται η γραμμική απεικόνιση :, ( x, y) ( x y, x y) Υπολογίστε τους πίνακες ( : eˆ, e ˆ) και ( : ˆ, ˆ ), όπου ˆ είναι η διατεταγμένη βάση (, ), (, ), (,) Επίσης βρείτε αντιστρέψιμο P με ( : ˆ, ˆ ) P ( : eˆ, eˆ ) P και αντιστρέψιμο Q με ( : eˆ, eˆ ) Q ( : ˆ, ˆ ) Q 6 () Δίνεται η γραμμική απεικόνιση x y z x y z x y z x y z :, (,, ) (, 4, 6 ) a Δείξτε ότι το σύνολο {(,,),(,,0),(,0,0)} είναι βάση του b Υπολογίστε τον πίνακα ( : ˆ, ˆ ), όπου ˆ {(,,),(,,0),(,0,0)} και αντιστρέψιμο P με ( : ˆ, ˆ ) P ( : eˆ, eˆ ) P c Αληθεύει ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση ˆ του τέτοια ώστε 0 ( : ˆ, ˆ ) ; 7 () Έστω 0 και :, ( X ) X X a Δείξτε ότι η απεικόνιση είναι γραμμική b Αφού υπολογίστε τον πίνακα ( : Eˆ, Eˆ ), όπου Eˆ ( E, E, E, E) η συνήθης διατεταγμένη βάση του, δείξτε ότι dim er dim Im και 0 c Αληθεύει ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση ˆ του τέτοια ώστε ( : ˆ, ˆ ) diag(,,0,0) ; 8 Επαναληπτική Άσκηση Κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα Έστω, B όμοιοι πίνακες a Αν I, τότε B I

4 σκήσεις0 b Αν B, τότε οι και B δεν είναι αντιστρέψιμοι B c Οι πίνακες, B είναι όμοιοι B ( ) ( ) d Οι πίνακες, C C είναι όμοιοι για κάθε C

5 σκήσεις0 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις0 Λύση: Αν P ( I ) P για κάποιο αντιστρέψιμο P, τότε P I P P I P P P I ( ) 0 b Δεν αληθεύει Ένα παράδειγμα είναι 0 0, B 0 Έχουμε B I, οπότε οι, B είναι όμοιοι, αλλά οι, B δεν είναι όμοιοι σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση bυπόδειξη: Από τη ΓΑΙ ξέρουμε ότι αν, P με P αντιστρέψιμο, τότε ra( P) ra( P) ra c Υπόδειξη: Από ΓΑΙ ξέρουμε ότι Tr( CD) Tr( DC) για κάθε C, D 4 a Υπόδειξη: Δείξτε ότι έχουν διαφορετικές ορίζουσες (βλ προηγούμενη άσκηση) a 0 a 0 b Λύση: Παρατηρήστε ότι a 0 a 0 5 Λύση: Έχουμε ( : ˆ, ˆ ) ( : eˆ, ˆ )( : eˆ, eˆ )( : ˆ, eˆ ) ( : ˆ, eˆ ) ( : eˆ, eˆ )( : ˆ, eˆ ) ( ά ) 0 0 Μία επιλογή για τον P είναι P ( : ˆ, eˆ ) Από τη σχέση ( : ˆ, ˆ ) P ( : eˆ, eˆ ) P παίρνουμε P( : ˆ, ˆ ) P ( : eˆ, eˆ ), δηλαδή ( P ) ( : ˆ, ˆ ) P ( : eˆ, eˆ ) οπότε μια επιλογή για το Q είναι Q P 6 aλύση: Tο σύνολο {(,,),(,,0),(,0,0)} είναι βάση του bλύση: Έχουμε επειδή det

6 σκήσεις0 4 ( : ˆ, ˆ ) ( : eˆ, ˆ )( : eˆ, eˆ )( : ˆ, eˆ ) ( : ˆ, eˆ ) ( : eˆ, eˆ )( : ˆ, eˆ ) ( ά ) Μία επιλογή για το P είναι ( : ˆ, ˆ P e) c Λύση: Αν υπήρχε τέτοια διατεταγμένη βάση ˆ, τότε οι πίνακες ( : eˆ, e ˆ) και ( : ˆ, ˆ ) θα ήταν όμοιοι Άρα θα είχαν το ίδιο ra (βλ άσκηση ) Όμως ( : ˆ, ˆ ra e e) ra ra( : ˆ, ˆ ) ra Πράγματι με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών ( : ˆ, ˆ ) ra( : ˆ, ˆ ) και ο τελευταίος πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή με δύο μη μηδενικές γραμμές Άρα Όμοια επαληθεύεται ότι ra( : eˆ, eˆ ) Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοια βάση ˆ b Απάντηση: Mε απευθείας υπολογισμό επαληθεύεται ότι c Υπόδειξη: Δείξτε ότι από τη σχέση 0 έπεται ότι κάθε πίνακας B που είναι όμοιος με το ικανοποιεί B 0 Όμως ο πίνακας ( : ˆ, ˆ ) diag(,,0,0) δεν ικανοποιεί τη σχέση αυτή Άρα δεν υπάρχει τέτοια βάση ˆ 8 a Σωστή b Σωστή Πράγματι, det B det( ) ( ) det det Έχουμε επίσης det B det επειδή οι, B είναι όμοιοι Άρα det B det 0

7 σκήσεις0 5 B P c Σωστή Δείξτε ότι από B P P έπεται ότι Q Q, όπου Q B P B P d Σωστή Δείξτε ότι από B P P έπεται ότι Q Q, C C όπου Q I

8 σκήσεις 6 Ασκήσεις Πολυώνυμα Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες διαιρετότητας σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ x] και [ x] Ρίζες πραγματικών πολυωνύμων o Αν a είναι ρίζα ( x) [ x], τότε ο συζυγής του a είναι ρίζα του ( x ) o Κάθε ( x) [ x] περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα Ανάλυση πολυωνύμου σε γινόμενο αναγώγων, υπολογισμός μκδ και εκπ Απλή και πολλαπλή ρίζα πολυωνύμου, σχετικό κριτήριο με την παράγωγο Πολυώνυμα και πίνακες, πολυώνυμα και γραμμικές απεικονίσεις Συνιστώμενες ασκήσεις: -, 5, 7 () Έστω ( x), p( x) [ x] όπου p( x ) μονικό και ανάγωγο Δείξτε ότι ( ( x), p( x)) ή ( ( x), p( x)) p( x) () Βρείτε το ( x, x ) και το ( x, x ) () a Έστω ( x) [ x] και a, b με a b Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x ) με το ( x a)( x b) b Βρείτε όλες οι τιμές των c, d τέτοιες ώστε c Βρείτε όλες οι τιμές των c, d τέτοιες ώστε 00 5 ( x )( x ) x cx dx 00 5 ( x ) x cx dx 4 () Δίνονται τα πολυώνυμα ( x) x x 6x 5 και g( x) x ax x, όπου a a Βρείτε τις ρίζες στο του ( x ) b Για ποιες τιμές του a τα ( x), g( x ) έχουν κοινή πραγματική ρίζα; c Βρείτε την ανάλυση του g( x ) σε γινόμενο μονικών αναγώγων στο [ x] αν μια ρίζα του στο είναι το i () Έστω ( x), g( x) [ x], όπου ( x) x x x x, g( x) x x 6 Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους 6 () Έστω ( x), g( x) [ x], όπου ( x) x x x, g( x) x x Να βρεθούν οι πίνακες τέτοιοι ώστε ( ) g( ) 0 7 () Έστω ( x), g( x) [ x] με ( ( x), g( x)) a Δείξτε ότι δεν υπάρχει με ( ) g( ) 0 b Αληθεύει ότι για κάθε h( x) [ x] υπάρχουν a( x), b( x) [ x] τέτοια ώστε h( x) a( x) ( x) b( x) g( x) ; 8 () Δείξτε ότι κάθε ρίζα στο του ( x ) είναι απλή στις περιπτώσεις a ( x) x, b ( x) x x 9 () Έστω : η γραμμική απεικόνιση με 0 ( : ˆ, ˆ ) 0, 0 όπου ˆ είναι μια διατεταγμένη βάση του, και ( x) x x [ x] Να βρεθεί ο πίνακας ( ( ) : ˆ, ˆ ) 0 () Έστω και ( x) [ x] Δείξτε τα εξής a Αν ο είναι διαγώνιος, diag( a,, a ), τότε ( ) diag( ( a),, ( a ))

9 σκήσεις 7 b Αν ο είναι της μορφής i i, όπου i και ( μπλοκ ( ) διαγώνιος ), τότε ( ) (Σημείωση Εννοούμε ότι τα αόρατα στοιχεία είναι 0) ( ) a * ( a ) * c Αν ο είναι άνω τριγωνικός,, τότε ( ) a ( a ) (Σημείωση Με * σημειώνουμε το τμήμα του πίνακα που δεν μας ενδιαφέρει Εδώ τα δύο * δεν είναι γενικά ίδια) * i i d Αν ο είναι της μορφής, όπου i και ( μπλοκ άνω ( ) * τριγωνικός ), τότε ( ) ( ) () Έστω a Έστω ( x) [ x] με μη μηδενικό σταθερό όρο και ( ) 0 Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος 5 4 b Έστω ότι 0 Δείξτε ότι o πίνακας ( ) είναι αντιστρέψιμος, όπου ( x) x x x x () Το συμπέρασμα στο ερώτημα b ονομάζεται το Θεώρημα Παρεμβολής του Lagrage Για, λέει ότι από διαφορετικά σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική πολυωνυμική καμπύλη βαθμού το πολύ, κατ αναλογία με το γεγονός ότι από δύο διακεκριμένα σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική ευθεία Έστω,, διακεκριμένα Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο [ x] όλων των πολυωνύμων βαθμού το πολύ και την απεικόνιση : [ x], ( ( x)) ( ( ),, ( )) a Δείξτε ότι η είναι γραμμική, - και επί b Δείξτε ότι για κάθε a,, a υπάρχει μοναδικό ( x) [ x] τέτοιο ώστε ( ) a,, ( ) a c Βρείτε ένα πολυώνυμο ( x) τέτοιο ώστε (), (), ( ) d Δείξτε ότι το ( x) του υποερωτήματος b δίνεται από ( x) a j j ( x) j x, όπου j ( x) j j I () Έστω και B 0 ( ) ( ) a Δείξτε ότι ( B) για κάθε ( x) [ x], όπου ( x) είναι η παράγωγος του ( x ) 0 ( ) b Δείξτε ότι αν( I ) ( I ) 0, τότε( B I ) ( B I ) 0 4 () Δείξτε ότι για κάθε υπάρχει μη μηδενικό ( x) [ x] βαθμού το πολύ τέτοιο ώστε ( ) 0 5 () Έστω, B, P τέτοιοι ώστε B P P Δείξτε ότι ( B) P ( ) P για κάθε ( x) [ x] 6 () Έστω a,, a Θέτουμε e a a a, i,, i t t ti t ti Για παράδειγμα, αν, τότε e a a a, e a a a a a a, e a a a Δείξτε ότι αν ei 0 για κάθε i,,, τότε ai 0 για κάθε i,,

10 σκήσεις 8 7 Επαναληπτική Άσκηση Κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα Έστω ( x), g( x), h( x) [ x] a Αν ( x) g( x) h( x ), τότε ( x) g( x ) ή ( x) h( x ) b Έστω ( x ) ανάγωγο Αν ( x) g( x) h( x ), τότε ( x) g( x ) ή ( x) h( x ) c Αν ( x) h( x ) και g( x) h( x ), τότε ( x) g( x) h( x ) d Αν ( x) h( x ), g( x) h( x) και ( ( x), g( x)), τότε ( x) g( x) h( x ) e Έστω Αν ( ) g( ) 0, τότε τα ( x), g( x ) δεν είναι σχετικά πρώτα

11 σκήσεις 9 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση: Αν d( x) ( ( x), p( x)), τότε d( x) p( x ) Επειδή το p( x ) είναι ανάγωγο, οι μόνοι διαιρέτες του είναι τα σταθερά πολυώνυμα και τα πολυώνυμα της μορφής cp( x ), c {0} Άρα το d ( x ) είναι σταθερό πολυώνυμο ή πολυώνυμο της μορφής cp( x ), c Επειδή τα d( x), p( x ) είναι μονικά, παίρνουμε d( x) ή d( x) p( x) Λύση: Παρατηρούμε ότι x x γιατί x ( x ) ( x )(( x ) ( x ) ( x ) ) Σημείωση: Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα πολυωνύμων 4 a( x) ( a( x) )( a( x) a( x) a( x) a( x) a( x) ), όπου a( x) [ x] και θετικός περιττός ακέραιος 08 Άρα ( x, x ) x Έχουμε ( x, x ) ( x,( x ) ) Είδαμε πριν ότι Από αυτό έπεται ότι Πράγματι, έστω Άρα x x d( x) ( x,( x ) ) Τότε οπότε d( x ) και επομένως d( x) 08 ( x,( x ) ) d x x d x x 08 ( ) και ( ) ( ) d( x) x και d( x) ( x ), a Υπόδειξη: πό την Ευκλείδεια διαίρεση (βλ Θεώρημα ) υπάρχουν q( x), r( x) [ x] τέτοια ώστε r( x) r x r0 και ( x) q( x)( x a)( x b) r( x) Θέστε στην τελευταία σχέση x a και στη συνέχεια x b για να προσδιορίστε τα r 0, r ( a) ( b) a ( b) b ( a) Απάντηση: r( x) x a b a b 00 5 b Λύση: Έστω ( x) x cx dx Έχουμε ( x )( x ) ( x) x ( x) x ( x) 00 5 () 0 () 0 c d c d c, d 0 0 Η κατεύθυνση της πρώτης από τις παραπάνω ισοδυναμίες αληθεύει επειδή ( x, x ) 00 5 c Λύση: Έστω ( x) x cx dx Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της παραγώγου έχουμε ( x ) ( x) () () 0 a b 00 5a b 0 a 49, b 45 4 a Λύση: Παρατηρούμε ότι μια ρίζα είναι το Με την Ευκλείδεια διαίρεση στα βρίσκουμε x x 6x 5 ( x )( x x 5) x x 6x 5, x i 9 i 9 οπότε οι ζητούμενες ρίζες είναι,, 4 4 b Λύση: Από το a έπεται ότι τα ( x), g( x ) έχουν κοινή πραγματική ρίζα αν και μόνο αν g() 0,

12 σκήσεις 0 δηλαδή c Λύση: 0 g( i) i ai i i a i a Επειδή το i είναι ρίζα του g( x ) και g( x) [ x], το i (συζυγής του i ) είναι ρίζα του g( x ) Άρα στο [ x] έχουμε Επειδή ( x i, x i) βρίσκουμε x i g( x) και x i g( x), έχουμε x i x i g( x), δηλαδή x g( x) Με Ευκλείδεια διαίρεση g( x) ( x )( x ) που είναι η ζητούμενη ανάλυση καθώς τα πολυώνυμα x, x είναι ανάγωγα στο [ x], μονικά και διακεκριμένα 5 Λύση: Παρατηρούμε ότι ( x) x x x x x( x x x ) x x x x x x x ( )( ) ( ) ( ), g( x) x x 6 ( x )( x ), δηλαδή έχουμε τις αναλύσεις των ( x), g( x ) σε γινόμενα ανάγωγων πολυωνύμων στο [ x] Από αυτές παίρνουμε (βλ Πρόταση και Ορισμός ) ( ( x), g( x)), ( ( x), g( x)) ( x) g( x) 6 Λύση: Έστω ότι ( ) g( ) 0 Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ότι ( ( x), g( x)) x Από το Θεώρημα 6 έπεται ότι υπάρχουν ( x), ( x) [ x] με x a( x) ( x) b( x) g( x) I a( ) ( ) b( ) g( ) 0 I 7 Σύμφωνα με το Θεώρημα 6 υπάρχουν a( x), b( x) [ x] με a( x) ( x) b( x) g( x) a Λύση: Έστω ότι υπάρχει τέτοιος ώστε ( ) g( ) 0 Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι I a( ) ( ) b( ) g( ) 0, άτοπο b Αληθεύει αφού από την πιο πάνω σχέση παίρνουμε h( x) ( h( x) a( x)) ( x) ( h( x) b( x)) g( x) 8 b Υπόδειξη: Αν a είναι πολλαπλή ρίζα του g( x) x x, τότε g( a) g( a) 0, δηλαδή a a a 0 Δείξτε ότι ( ) a 0 και άρα a Αυτό είναι αδύνατο λόγω της a 0 9 Λύση: Σύμφωνα με την Πρόταση 4 έχουμε 4 ( ( ) : ˆ, ˆ ) ( ) I (πράξεις) a Λύση: Αν ( x) x 0, 0 0, τότε από ( ) 0 έχουμε I 0 0 ( ( I )) ( ( I )) I 0 0 και συνεπώς ο είναι αντιστρέψιμος b Λύση: Από την ισότητα πολυωνύμων x ( x )( x x x x ) ( x x x x )( x ) και την υπόθεση παίρνουμε 4 4 I ( I )( I ) ( I )( I ) και άρα ο 4 I είναι αντιστρέψιμος Υπόδειξη: Για το - βλ Πρόταση Για το επί υπενθυμίζουμε ότι dim [ x] dim

13 σκήσεις a Υπόδειξη: Δείξτε με επαγωγή στο ότι B για κάθε ακέραιο b Λύση: Έστω g( x) ( x ) ( x ) και ( x) ( x ) ( x ) Τότε το g( x ) διαιρεί το ( x ) και, επειδή από την υπόθεση ( ) 0, παίρνουμε ( ) 0 Έχουμε ( ) 04( ) ( ) 05( ) ( ) x x x x x Επειδή το g( x ) διαιρεί το ( x ) ( x ) και το ( x ) ( x ), έπεται ότι το g( x ) διαιρεί το ( ) ( ) ( x) Άρα ( ) 0 Από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε ( B) 0 0 ( ) 4 Υπόδειξη: Τα στοιχεία I,,,, πλήθος τους είναι μεγαλύτερο του dim του διανυσματικού χώρου είναι γραμμικά εξαρτημένα γιατί το 5 Λύση: Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι B P P για κάθε θετικό ακέραιο Πράγματι, το αποδεικτέο είναι σαφές για Υποθέτοντας ότι B P P έχουμε B B B ( P P)( P P) P PP P P P P P Τώρα έστω ( x) a x a x a0 [ x] Έχουμε δηλαδή ( B) P ( ) P 6 Λύση: Έχουμε την ισότητα πολυωνύμων ( B) a B a B a I 0 a P P a P P a I 0 P ( a a a0i ) P P ( ) P, ( x a )( x a )( x a ) x e x e x e Αν κάποιο i ήταν αρνητικό, τότε το ai θα ήταν θετική ρίζα του πολυωνύμου στο δεξί μέλος, πράγμα άτοπο αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου αυτού είναι θετικοί 7 Λύση a Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι x x x b Σωστή Πράγματι, έστω ότι ( x) g( x) h( x ) και το ( x ) δεν διαιρεί το g( x ) Επειδή το ( x ) είναι ανάγωγο και δεν διαιρεί το g( x) έχουμε ( ( x), g( x)) Από την Πρόταση 9 έχουμε ( x) h( x ) c Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι ( x) g( x) h( x) x d Σωστή Βλ Πρόταση 0 e Σωστή a

14 σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ, τότε φ(α)χ=φ(λ)χ Σχέση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων γραμμικής απεικόνισης και πίνακα αναπαράστασης της Ορισμός και πρώτες ιδιότητες χαρακτηριστικού πολυωνύμου Σχέση ιδιοτιμών με ίχνος και ορίζουσα Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Συνιστώμενες ασκήσεις: -6, 8-4, 7-, -5, -5, 7 () a Έστω και X 5 5 Είναι το X ιδιοδιάνυσμα του ; Είναι το 6 ιδιοτιμή του ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του () Έστω και ( x) [ x] a Δείξτε ότι αν το είναι ιδιοτιμή του με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα X, τότε το ( ) είναι ιδιοτιμή του ( ) με αντίστοιχο διάνυσμα το X 0 b Έστω Βρείτε (χωρίς να γίνουν πράξεις) μια ιδιοτιμή και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του B I c () Έστω ότι Δείξτε ότι για κάθε ιδιοτιμή του ( ) υπάρχει ιδιοτιμή i του τέτοια ώστε ( i ) 5 () Έστω και X 0 a Αληθεύει ότι το X είναι ιδιοδιάνυσμα του ; Αν ναι, να βρεθούν δύο διαφορετικές βάσεις του ιδιόχωρου V ( ), όπου η ιδιοτιμή στην οποία αντιστοιχεί το παραπάνω ιδιοδιάνυσμα 8 b Αληθεύει ότι το X είναι ιδιοδιάνυσμα του I ; c Βρείτε πίνακα B με X V B () 4 () Βρείτε τα ιδιοδιανύσματα του στις περιπτώσεις a F και b F 5 () Να βρεθεί μια βάση για κάθε ιδιόχωρο των πινάκων

15 σκήσεις a b B () Υπολογίστε για τις διάφορες τιμές του a τις διαστάσεις των ιδιόχωρων του 7 Έστω ( a ij ) τέτοιος ώστε για κάθε j,,, ισχύει a Υπάρχει μη μηδενικό b () Αν ο είναι αντιστρέψιμος και X τέτοιο ώστε X X b ij i a ij a 4 0 Δείξτε τα εξής ( ), τότε για κάθε j,,, ισχύει 8 () Έστω δυο ιδιοτιμές πίνακα με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u, v Τότε a τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και b για κάθε a, b {0}, το au bv δεν είναι ιδιοδιάνυσμα του 9 () a Αληθεύει ότι το είναι ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης 4 4 :, ( x, y, z, w) ( x w, y z, z w, x w) ; Αληθεύει ότι το (, 0,, ) είναι ιδιοδιάνυσμα της ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης :, ( x, y, z) ( x y, x y z, x y z) 0 0 bij c Έστω : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από ( e ) e, ( e ) e, όπου e { e, e} είναι η συνήθης βάση του Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της όταν i) και ii) Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος στο i ) 0 () a Να βρεθούν οι πιθανές ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V σε καθεμία από τις επόμενες περιπτώσεις i, V ii b Στη συνέχεια δείξτε την εξής πρόταση Αν ( ) 0 για κάποιο ( x) [ x], τότε κάθε ιδιοτιμή της - γραμμικής απεικόνισης : V V είναι ρίζα του ( x) c Δείξτε την εξής πρόταση Αν ( ) 0 για κάποιο ( x) [ x] και, τότε κάθε ιδιοτιμή του είναι ρίζα του ( x) () a Για ποια a το (,) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης :, ( x, y) ( x ay, x y) ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων :, ( x, y, z) (4 x, y 5 z, y z), g :, ( x, y, z) (4 x, y 5 z, y z) () Δίνεται η γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x], με i

16 σκήσεις 4 ( x x) x x, ( x ) x, () x a Βρείτε τα ιδιοδιανύσματα της και μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της b Αληθεύει ότι η είναι ισομορφισμός; 4 c Αληθεύει ότι η 6 4 V είναι ισομορφισμός; 4 d Βρείτε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της 6 4 V () Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων g : [ x] [ x], g( ( x)) () x a b h : [ x] [ x], h( ( x)) ( x), όπου ( x) είναι η παράγωγος του ( x) 4 () Έστω με ( x ) x x x a Είναι ο αντιστρέψιμος; b Είναι ο ( I)( 4 I) αντιστρέψιμος; c Υπολογίστε την ορίζουσα του 5I d Αληθεύει ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση ˆ ώστε για τη γραμμική απεικόνιση :, ( x, y, z) ( x y z, y z, z), να ισχύει ( : ˆ, ˆ ) ; e Να βρεθεί το ( x) () Αληθεύει ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B B για κάποιο θετικό ακέραιο ; t t g Αληθεύει ότι υπάρχει ακέραιος με, όπου είναι ο ανάστροφος του ; 5 () Έστω, B, όπου ο είναι αντιστρέψιμος Δείξτε ότι ( x) ( x) (Σημείωση: Ισχύει το συμπέρασμα και χωρίς την υπόθεση ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση 7) 6 () Έστω αντιστρέψιμος και ( x ) ( ) x a x a x a 0, οπότε 0 0 Δείξτε ότι a a ( ) ( x) ( ) ( x x x ) a0 a0 a0 7 () Έστω a a 0 0 a 0 0 a a Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι το ( ) ( x a x a0 ) b Δείξτε ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε το t είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του 8 () Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του () Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του B B

17 σκήσεις C () Έστω αντιστρέψιμος a Δείξτε ότι το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του b Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον και περιττός Δείξτε ότι το ή το είναι ιδιοτιμή του 44 () Έστω τέτοιο ώστε ( x ) [ x ], det, Tr ( ) 4 και μια ιδιοτιμή του είναι το i Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του () Έστω αντιστρέψιμος Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον, τότε το είναι άρτιος,, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι της μορφής ( x )( x ), j t () Βρείτε τους ιδιόχωρους της γραμμικής απεικόνισης :,, όπου 4 () Θεωρούμε δυο διαγώνιους πίνακες a b, B a b Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Οι, B είναι όμοιοι b Υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε bi a ( i) για κάθε i,, c ( x) B ( x) 5 () Έστω a, b Βρείτε το χαρακτηριστικό πoλυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του a b b b b a b b b b a b b b b a 6 () Έστω a, b με a b Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του 0 a a a b 0 a a b b 0 a b b b 0 ( ) είναι το a( x b) b( x a) a b 7 () Έστω και B Δείξτε ότι ( ) x ( x) ( ) x ( x) (Συνεπώς αν, τότε B ( x) ( x) ) B 8 () Έστω a,, a, b,, b και C aib j βρείτε το C ( x ) και τις ιδιοτιμές του C 9 () Έστω και B B Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση ή αλλιώς

18 σκήσεις Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Βρείτε τη διάσταση κάθε ιδιόχωρου του B B 0 () Έστω, B, C και D Τότε B B a ( x) ( x) ( x) C B B b ( x) ( x) ( x) D ib ib c Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, τότε οι ιδιοτιμές του () Έστω a, b Δίνεται ότι οι πίνακες Να βρεθούν οι a, b είναι οι,,, 0,,0, B είναι όμοιοι, όπου a a b, B 0 0 b 0 0 () Να βρεθεί τo χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης :, ( x, y, z) (0, x, y) () Δίνεται διατεταγμένη βάση uˆ ( u, u, u ) του 0 πίνακα ( : uˆ, uˆ ) 0 0 a Βρείτε το ( x) και το ( x) και η γραμμική απεικόνιση, όπου b Αληθεύει ότι το u u u είναι ιδιοδιάνυσμα της ; Ίδιο ερώτημα για το u c Bρείτε μια βάση κάθε ιδιόχωρου του d Bρείτε μια βάση κάθε ιδιόχωρου της e Ξέρουμε ότι ισχύει V (0) V (0) Αληθεύει ότι έχουμε ισότητα; Αληθεύει ότι υπάρχει γραμμική απεικόνιση g : έτσι ώστε ( g( v)) : με αντίστοιχο v για κάθε v ; 4 () Έστω 0 και :, ( X ) X X Αφού δείξετε ότι η είναι γραμμική, βρείτε μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της 5 () Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο F (, ) των συναρτήσεων και τον υπόχωρο V που παράγεται από τις συναρτήσεις si x, cos x Βρείτε μια βάση κάθε ιδιόχωρου των γραμμικών απεικονίσεων: a : V V, ( ( x)) ( x) (παράγωγος), b g : V V, g( ( x)) ( x) (δεύτερη παράγωγος) 6 () Δείξτε ότι για κάθε a, ( x ) x Tr ( ) x det( ), b, ( x) x Tr( ) x Tr( adj( )) x det( ) 7 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα

19 σκήσεις 7 a Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B b Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B c Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή d Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή e Αν το είναι ιδιοτιμή του, όπου, τότε το είναι ιδιοτιμή του Αν ( x) ( x), όπου, B, τότε οι, B είναι όμοιοι B g Έστω ότι οι Α, Β είναι όμοιοι Τότε οι ( ), ( B) είναι όμοιοι για κάθε ( x) [ x] h Υπάρχει με ιδιοτιμές τις 0,,, i Αν v είναι ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης : V V και v er, τότε το 0 είναι ιδιοτιμή της j Έστω με ( x ) ( x )( x 5) Τότε υπάρχει γραμμική απεικόνιση : και διατεταγμένη βάση ˆ του με (,0,0) (,0,0) και ( : ˆ, ˆ ) Έστω Αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε υπάρχει μη μηδενικό X με X X

20 σκήσεις 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση: a Έχουμε Επειδή, το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Έχουμε det( 6 I4) det 0, γιατί στον τελευταίο πίνακα δυο γραμμές είναι ίσες Άρα το 6 είναι μια ιδιοτιμή του Α b Έχουμε x ( x) det( xi) det 0 x 4 0 x x 4 ( x) det ( x ) ( x ) x και άρα οι ιδιοτιμές είναι, Ιδιoδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : Έχουμε x 0 x x 0 ( I) X x 0 4x 4x 0 0 x 0 x x 0 και το τελευταίο σύστημα ισοδυναμεί με το x x 0 που έχει λύσεις τις x 0 x x 0 x, x, x x 0 x 0 Άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα x x 0 x, x, x, όπου τουλάχιστον ένα από τα x 0 x, x δεν είναι 0 Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x 0 x x x 0 x x x 0 ( I) X x 0 x 4x 0 x x 0 0 x 0 x 4x 0 Οι λύσεις του τελευταίου συστήματος είναι

21 σκήσεις 9 x x x, x x x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα x x, x {0} x a Βλ Παράδειγμα 0 b Λύση: Λόγω της δεύτερης στήλης του Α (που είναι της μορφής E ), μια ιδιοτιμή αυτού είναι το και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 X E 0 8 Από το a έπεται ότι μια ιδιοτιμή του B είναι το ( ) και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το X c Λύση: Είναι σαφές ότι ισχύει το ζητούμενο αν το ( x) c είναι σταθερό πολυώνυμο, γιατί τότε ( ) ci και κάθε ιδιοτιμή του ci είναι ίση με το c Ξέρουμε ότι ο έχει τουλάχιστον μια ιδιοτιμή Αν i είναι οποιαδήποτε ιδιοτιμή του, τότε ( i ) Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι deg ( x) Έστω μια ιδιοτιμή του ( ) με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα X Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας (βλ Θεώρημα 5) υπάρχουν c,,,, c 0, τέτοια ώστε ( x) c( x )( x ) Άρα έχουμε ( ) I c( I )( I ) και από ( ( ) I ) X 0 παίρνουμε c( I )( I ) X 0 Επειδή X 0 και c 0, συμπεραίνουμε ότι κάποιος πίνακας i I έχει ορίζουσα ίση με 0 Άρα το i είναι ιδιοτιμή του Έχουμε ( i ) Σημείωση: Βλ Θεώρημα 6 για ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα Λύση: a Επειδή και 0, το είναι ιδιοδιάνυσμα του Λύνοντας κατά τα γνωστά το σύστημα ( I) X 0, βρίσκουμε x x 0 0 V() { y x y z 0} { y x, y } { x 0 y x, y } 0, z x y 0 Δηλαδή τα στοιχεία 0,, παράγουν τον ιδιόχωρο V () Αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα καθώς αν a 0 b 0, τότε προκύπτει a b 0 Άρα μια βάση του V () είναι το σύνολο { 0, } Μια άλλη βάση είναι το σύνολο { 0, } { 0, } Πράγματι, επειδή το πλήθος είναι dim V (),

22 σκήσεις αρκεί να δείξουμε ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα, πράγμα άμεσο καθώς αν a 0 b 0, 0 τότε a b 0 b Eπειδή το X είναι ιδιοδιάνυσμα του, ξέρουμε ότι είναι ιδιοδιάνυσμα του ( ) για κάθε ( x) [ x] Άρα το X είναι ιδιοδιάνυσμα του 8 I c Από X X έπεται ότι ( I) X X και επομένως μια επιλογή είναι B I Εναλλακτικά, αν αναζητήσουμε διαγώνιο πίνακα, μια επιλογή είναι B για κάθε a Ειδικά θα a μπορούσαμε να θέσουμε B I Στη λύση B I θα μπορούσαμε να φτάσουμε άμεσα με την παρατήρηση ότι V I () Διαφορετικός τρόπος και πιο πεζός: Θα μπορούσαμε να αναζητήσουμε λύση ως προς b ij του γραμμικού συστήματος που προκύπτει από B, B ( b ij ) Απάντηση a Επειδή det( I ) 0 για κάθε, δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα b Οι ιδιοτιμές είναι i, αντίστοιχα i με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x, x {0} και i x, x {0}, i a Επειδή det( I) det ( ) οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του είναι οι 0, 0 0 Έχουμε x V(0) { X X 0} { y x y z 0} z x 0 0 { y x, y } { x 0 y x, y } 0, x y 0 Δηλαδή τα στοιχεία 0,, παράγουν τον ιδιόχωρο V (0) Αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα καθώς αν a 0 b 0, τότε προκύπτει a b 0 Άρα μια βάση του V (0) είναι το σύνολο { 0, } Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι V () και μια βάση του V () είναι το σύνολο { } 0 0

23 σκήσεις b Απάντηση: Μια βάση τουv B () :{ 0 } Μια βάση του V () :{ B } 0 a 4 6 Λύση: Καθώς det( I) det 0 0 ( ) ( ), οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του είναι 0 οι και Για τις διαστάσεις των ιδιόχωρων έχουμε 0 a 4, a 4 dim V() ra( I) ra 0 0 0, 4, 0 a a 4 dim V() ra( I) ra 0 0 a Λύση: Αρκεί να δειχτεί ότι το είναι ιδιοτιμή του Ένας τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι το είναι t ιδιοτιμή του καθότι από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε a i i t a i i Από την Πρόταση έπεται ότι το είναι ιδιοτιμή του Άλλος τρόπος είναι δείξουμε (πχ με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών) ότι det( ) 0 b Υπόδειξη: Δείξτε ότι 8 Λύση: a Έστω ότι όπου a, b Έχουμε au bv 0, () 0 0 ( au bv) au bv au bv δηλαδή, au bv 0 () Από την () παίρνουμε au bv 0 οπότε αφαιρώντας τη () παίρνουμε b( ) v 0 Επειδή v 0 (το v είναι ιδιοδιάνυσμα), έχουμε b( ) 0 και επειδή παίρνουμε b 0 Τότε από την () έχουμε au 0, οπότε a 0 αφού u 0 b: Έστω ότι υπάρχουν a, b, με ( au bv) ( au bv) Έχουμε ( au bv) a( u) b( v) au bv και άρα au bv au bv Από το προηγούμενο ερώτημα τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως παίρνουμε a a, b b Αν ήταν a 0 και b 0, τότε θα είχαμε, άτοπο από την υπόθεση Δείξαμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο της μορφής au bv, όπου a, b {0}, που είναι ιδιοδιάνυσμα του 9 Λύση a Σύμφωνα με τον ορισμό της ιδιοτιμής, το είναι ιδιοτιμή της αν και μόνο αν υπάρχει μη μηδενικό (,,, ) 4 x y z w με ( x, y, z, w) ( x, y, z, w) Παρατηρούμε ότι I

24 σκήσεις ( x, y, z, w) ( x, y, z, w) ( x w, y z, z w, x w) ( x, y, z, w) x w x x w 0 y z y z 0 x z w 0, y z w z z w 0 x w w x w 0 4 Άρα το είναι ιδιοτιμή της (και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (0, y,0,0), όπου y 0 ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε (, 0,, ) (,,,) Από τη σχέση αυτή είναι σαφές ότι δεν υπάρχει με (, 0,, ) (, 0,, ) Άρα το (,0,,) δεν είναι ιδιοδιάνυσμα της b Έστω και (,, ) z y z Έχουμε ( ) x y 0 ( x, y, z) ( x, y, z) x ( ) y z 0 x y ( ) z 0 Το σύστημα () έχει μη τετριμμένη λύση ως προς x, y, z αν και μόνο αν 0 det 0 ( ) det ( ) det 0 ( )(( )( ) ) ( ) 0 ( )(( )( ) ) 0 ( )( )( ) 0,, Άρα οι ιδιοτιμές είναι,, Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : y 0 y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις του x z 0 x y z 0 τελευταίου είναι x(, 0, ), x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη είναι τα x(,0, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις αυτού x y z 0 x y 0 είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις αυτού είναι x z 0 x y z 0 x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} ()

25 σκήσεις c Για ( x, y) έχουμε ( x, y) x ( e ) y ( e ) xe ye ( y, x) Έστω Τότε x y 0 ( x, y) ( x, y) Ζητάμε μη μηδενικές λύσεις του συστήματος ως προς x, y Έχουμε x y 0 det ( ) i) Έστω Τότε ( ) 0 για κάθε και άρα το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση Άρα δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα της ii) Έστω Τότε το σύστημα έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν ( ) 0, δηλαδή αν και μόνο x y 0 αν i, i Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι i, i Λύνοντας το σύστημα για τις τιμές αυτές x y 0 βρίσκουμε αντίστοιχα τα ιδιοδιανύσματα x( i,), x {0} και x( i,), x {0} Γεωμετρική ερμηνεία του i) Η παριστάνει στροφή κατά 90 ο στη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού Άρα δεν υπάρχει ευθεία δεν έχει ιδιοδιάνυσμα U που διέρχεται από το (0,0) τέτοια ώστε ( U ) U Συνεπώς η U (U) Η ευθεία U δεν απεικονίζεται στον εαυτό της 0 a Λύση: Έστω ότι υπάρχει μια ιδιοτιμή λ της με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα v Τότε ( v) v, v 0 Επομένως v v v v v ( ) ( ( )) ( ) ( ) Οι πιθανές ιδιοτιμές έχουν ως εξής ( v) v v v Αφού v 0, έχουμε V v v v v v, οπότε ( ) ( ) Αφού v 0, έχουμε, οπότε 0, b Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι αν ( v) v, όπου, v V, τότε ( ) v ( ) v για κάθε ( x) [ x] c Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι αν X X, όπου, X, τότε ( ) X ( ) X για κάθε ( x) [ x] a a Λύση: Έστω Έχουμε (,) (,) Παρατηρούμε ότι το τελευταίο σύστημα έχει λύση ως προς αν και μόνο αν a bαπάντηση: Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή 4 και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων είναι {( x,0,0) x 0} Οι ιδιοτιμές είναι 4, i, i με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { x(,0,0) x 0},{ x(0, i,) x 0}, { x(0, i,) x 0} Λύση a Εύκολα επαληθεύεται ότι τα σύνολο { v, v, v } είναι βάση του [ x] (πώς ;) όπου v x x, v x, v Επειδή ( v ) x x v 0v 0 v, ( v ) x ( x ) 0v v v, ( v) x ( x ) 0v v v, ο πίνακας της ως προς την προηγούμενη διατεταγμένη βάση είναι

26 σκήσεις To χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι x 0 0 det 0 x ( x)(( x) ) ( x)( x)( x) 0 x και επομένως οι ιδιοτιμές της είναι οι,, Ενδεικτικά υπολογίζουμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή ος τρόπος (με την απεικόνιση) Είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω βάση για παραστάσεις πολυωνύμων Έστω λοιπόν ( x) av bv cv [ x] με ( ( x)) ( x) Έχουμε ( ( x)) ( av bv cv ) a ( v ) b ( v ) c ( v ) a( v ) b( v v ) c( v v ) ( a) v ( b c) v ( b c) v Άρα από την ισότητα ( ( x)) ( x) παίρνουμε a a b c b b c c και επομένως a 0, b c υτό σημαίνει ότι τα ιδιοδιανύσματα της που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα bv bv b( x ) b bx b, b {0} και μια βάση του ιδιόχωρου V () είναι το { v v} 0 ος τρόπος (με τον πίνακα) Βρίσκουμε κατά τα γνωστά τον ιδιόχωρο V () του πίνακα, V () Άρα V () v v Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχουν στην ιδιοτιμή είναι τα av, a {0}, και μια βάση του ιδιόχωρου V () είναι το { v }, και τα ιδιοδιανύματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα bv, {0}, bv b και μια βάση του ιδιόχωρου V () είναι το { v v} b Επειδή το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της, η είναι ισομορφισμός c Επειδή οι,, είναι ιδιοτιμες της, καθεμιά από τις (), (), () είναι ιδιοτιμή της ( ) Για ( x) x 6x 4, το () 0 είναι ιδιοτιμή της 6 4 V Άρα η 6 4 V δεν είναι ισομορφισμός Ξέρουμε ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα της είναι ιδιοδιάνυσμα της ( ), για κάθε ( x) [ x] Συνεπώς κάθε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της παραμένουν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της V Μια επιλογή τέτοιων είναι, για παράδειγμα, τα v v, v όπως είδαμε στο υποερώτημα a Ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα έπεται από το ότι αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές της Φυσικά και με άμεσο υπολογισμό επαληθεύεται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα Απάντηση: a Οι ιδιοτιμές είναι 0, με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { ax bx c [ x] a b c 0, ( a, b, c) (0,0,0)}, { bx [ x] b 0}

27 σκήσεις 5 b Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0, και το σύνολο των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων είναι { ax bx c [ x] a b 0, c 0} 4 Λύση: a Όχι, γιατί ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του είναι 0 (βλ Πρόταση 5) b Έχουμε ( x ) x ( x )( x ) και άρα οι ιδιοτιμές του είναι 0,, Αφού το δεν είναι ιδιοτιμή του, έχουμε det( I) 0 Όμοια det( 4 I) 0 Άρα det(( I )( 4 I )) det( I )det( 4 I )) 0 και ο ( I)( 4 I) είναι αντιστρέψιμος c Έχουμε det( 5 I ) det(( 5 I )( I )) det( 5 I ) det( I ) (5) ( ) 600 d Δεν αληθεύει Καθώς ( : eˆ, eˆ ) 0 τριγωνικός το είναι ιδιοτιμή της Αν υπήρχε διατεταγμένη 0 0 βάση ˆ ώστε ( : ˆ, ˆ ), τότε το θα ήταν ιδιοτιμή του, πράγμα αδύνατο ( καθώς είδαμε πριν ότι οι ιδιοτιμές του Α είναι οι 0,,) e Επειδή 0,, είναι ιδιοτιμές του, οι 0,, είναι ιδιοτιμές του και επειδή ο είναι πίνακας αυτές είναι όλες οι ιδιοτιμές του Άρα ( x) x( x )( x 4) Υπόδειξη: Θεωρήστε ίχνη στη σχέση B B για να λάβετε 0 0, που είναι άτοπο g Όπως στο d βλέπουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι 0,, και επομένως το δεν είναι ιδιοτιμή του Όμως το είναι ιδιοτιμή του t 5 Λύση: Από τη σχέση ( B) B έπεται ότι οι B, B είναι όμοιοι και άρα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (βλ Πρόταση 8) 6 Λύση: Ξέρουμε ότι a0 det (Πρόταση 5) Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε det 0 Εργαζόμενοι με ρητές συναρτήσεις και χρησιμοποιώντας ιδιότητες οριζουσών έχουμε ( x) det xi det xi det I x det ( ) det x I det ( ) x det I a0 ( ) a0 x ( ) x x ( ) a0 x ( ) a a a 0 x x x a a ( ) ( ) a0 a0 a0 x x x 7 Υπόδειξη: a Χρησιμοποιείστε επαγωγή και το ανάπτυγμα ορίζουσας του det( xi ) b a a 0 a a 0 0 B 8 Υπόδειξη : Ο D είναι της μορφής D 0 C, όπου, B, ( x) ( x) ( x) (βλ Πρόταση 4) Με πράξεις βρίσκουμε D C ( x) x x 4, C ( x) ( x )( x 5 x) C και ξέρουμε ότι

28 σκήσεις 6 9 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ο σταθερός όρος του ( x ) είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του (Πρόταση 5 και Πρόταση 6) 0 Υπόδειξη για το b: Στη λύση της άσκησης 6 είδαμε ότι ( x) ( ) (det ) x ( ) x Δείξτε ότι από την προηγούμενη σχέση έπεται ότι αν ( x ) ( x )( x ), i, τότε ( x) ( x)( x) Άρα αν,, είναι οι ιδιοτιμές του, τότε,, είναι πάλι οι ιδιοτιμές του (με ενδεχομένως άλλη σειρά) Χρησιμοποιήστε την εξής παρατήρηση: Αν X είναι ένα πεπερασμένο σύνολο με περιττό πλήθος στοιχείων και : X X μια απεικόνιση τέτοια ώστε X, τότε υπάρχει x X με ( x) x Βλ Παράδειγμα μετά το Πόρισμα 7 Λύση: Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε det det( ) Αλλά det( ) ( ) det, οπότε det ( ) det Επειδή det 0, έχουμε ( ), δηλαδή ο είναι άρτιος, Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε ( x) ( x) σύμφωνα με την Πρόταση 8, δηλαδή ( x ) det( xi ) Αλλά det( xi ) det( ( xi )) ( ) det( xi ) det( xi ) ( x) Άρα ( x) ( x) Από την τελευταία σχέση έπεται ότι αν ( x ) x a x a x a 0, τότε ai 0 για κάθε περιττό i Άρα υπάρχει μονικό πολυώνυμο ( x) [ x] βαθμού, τέτοιο ώστε ( x ) ( x ) Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας υπάρχουν,,, τέτοια ώστε ( x) ( x )( x ) Άρα ( x ) ( x ) ( x )( x ) Σημείωση: Μια άλλη λύση θα δούμε στις Ασκήσεις4 Απάντηση: Οι ιδιόχωροι είναι οι () t t V, V ( ), δηλαδή το σύνολο των συμμετρικών πινάκων και το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα 4 Υπόδειξη: Οι συνεπαγωγές a b, b c είναι άμεσες Για τη c a, έστω ότι ( x) B ( x), B έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Οι ιδιοτιμές του είναι οι a, a,, και οι ιδιοτιμές του B είναι οι b, b,, γιατί οι, B είναι διαγώνιοι πίνακες Άρα υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε b για κάθε i,, i a b a ( i) O πίνακας είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης : ( e ) a e, i,,, i i i όπου { e, e,, e } είναι μια διατεταγμένη βάση του Έχουμε ( e ) a e b e ( i) ( i) ( i) i ( i) Άρα ο πίνακας B είναι ο πίνακας της ίδιας γραμμικής απεικόνισης : βάση { e, e, e } () (), ( ) που ορίζεται από Τότε οι ως προς τη διατεταγμένη

29 σκήσεις 7 του Συνεπώς οι, B είναι όμοιοι 5 Υπόδειξη: Το ( x ) μπορεί να υπολογιστεί με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών και στηλών του πίνακα xi (Για παράδειγμα, ξεκινήστε προσθέτοντας στην πρώτη στήλη του xi κάθε άλλη στήλη Στη συνέχεια μετατρέψτε τον πίνακα σε άνω τριγωνικό αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή) Απάντηση για b 0 : Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι ( x ) ( ) ( x a ( ) b )( x a b ), οι ιδιοτιμές είναι a ( ) b (με πολλαπλότητα ) και a b (με πολλαπλότητα ), και οι ιδιόχωροι είναι V ( ) E E και V ( ) E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του Απάντηση για b 0 : Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι ( x ) ( ) ( x a ), οι ιδιοτιμές είναι a (με πολλαπλότητα ) και ο ιδιόχωρος είναι V( ) 6 Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόστε στον xi την ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών,,, και δείξτε αναπτύσσοντας την ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα ότι det( xi ) ( x a)det( xi ) ( ) a( x b), Στη συνέχεια, εργαζόμενοι με στήλες δείξτε ότι det( xi ) ( x b) det( xi ) ( ) b( x a), Από τις δυο σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο Σημείωση: Η δεύτερη σχέση προκύπτει άμεσα εφαρμόζοντας την πρώτη σχέση στον ανάστροφο του 7 Υπόδειξη: Δείξτε την εξής ισότητα ( ) ( ) πινάκων B xi I 0 I 0 xi 0 xi B I B I 0 B xi xi 8 Λύση a ος τρόπος Έστω και B b b a Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας ( Tr( C)) ( a b a b ) Από την προηγούμενη άσκηση παίρνουμε δηλαδή Άρα: x ( ) ( ) x ( x) B B B ( ) ( ) x B( x) ( ) x ( x Tr( C)) ( ) x ( x Tr( C)), ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C ))

30 σκήσεις 8 Αν Tr( C) 0, τότε υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0 (με πολλαπλότητα ) Αν Tr( C) 0, τότε οι ιδιοτιμές είναι 0 (με πολλαπλότητα ) και Tr( C) ab a b (με πολλαπλότητα ) a ος τρόπος Έστω και B b b a Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας ( Tr( C)) ( ab a b ) Επίσης C ( B) B ( TrC) C Θεωρούμε ότι C Από C ( TrC) C έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του C, τότε 0 ή TrC Επειδή το άθροισμα των ιδιοτιμών του C είναι ίσο με TrC (Πρόταση 7), συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του C είναι οι 0,,0,TrC Άρα ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) προκύπτει με βάση την άσκηση 6 ii) του βιβλίου 9 Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του x x 0 xi 0 x x ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 x det( xi ) x det ( ) det x 0 0 x 0 0 x 0 0 Αναπτύσσουμε τις δυο ορίζουσες στο δεξιό μέλος ως προς την τελευταία γραμμή και έχουμε det( xi ) x det( xi ) det( xi ) ( ) ( ) ( ) ( ) Με βάση την προηγούμενη σχέση, μια εύκολη επαγωγή στο δίνει det( xi ) ( x ) ( x ) για κάθε, δηλαδή ( x) ( x) ( x ) Άρα οι ιδιοτιμές είναι, και η καθεμιά έχει πολλαπλότητα Λύνοντας το σύστημα ( I ) X 0 για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το σύνολο E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του Όμοια, για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το E E, E E,, E E τότε Αν a ( E E ) a( E E ) a ( E E ) 0, ai, a E a E a E a E a E a E 0 και επειδή τα E,, E είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε a a a 0 Δηλαδή το E E, E E,, E E είναι γραμμικά ανεξάρτητο Επομένως είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στο

31 σκήσεις 9 Όμοια, το σύνολο E E, E E,, E E είναι μια βάση του ιδόχωρου που αντιστοιχεί στο Άρα καθένας από τους ιδιόχωρους έχει διάσταση Σημείωση: Μπορεί να δοθεί άλλη λύση που βασίζεται στην παρατήρηση ότι I (άσκηση) 0 a Λύση: Με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών στον πίνακα C xi (αφαιρούμε τις γραμμές,,,v από τις γραμμές v, v,, v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B det( C xi ) det det B xi B ( xi ) xi B xi B det B xi B xi Με στοιχειώδεις πράξεις στηλών στον τελευταίο πίνακα (προσθέτουμε στις στήλες,,,v τις στήλες v, v,, v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B B det det B xi B xi B xi ( B xi ) B xi B xi B det det( B xi ) det( B xi ) 0 B xi ( x) ( x) B B b Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του a c Προκύπτει άμεσα από το a για B Υπόδειξη: Από την Πρόταση 8 έχουμε ( x) ( x) Απάντηση: a b Λύση: ( : ˆ, ˆ) ( : ˆ, ˆ e e e e) ( x) x Απαντήσεις: a ( x) ( x) x ( x) b To πρώτο είναι, το δεύτερο δεν είναι c V (0) :{ }, V() :{ } 0 V (0) :{ u u }, V () :{ u u u } d e Δεν αληθεύει καθώς dim V (0) ra(( : uˆ, uˆ )) ra(( : uˆ, uˆ ) ) ra( ) ( ) dim V (0) B Δεν αληθεύει αφού η δεν είναι επί (καθώς dim Im dim u u, u u ) Άλλη δικαιολόγηση ότι η δεν είναι επί: 0 ιδιοτιμή της όχι - όχι επί

32 σκήσεις Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( : Eˆ, Eˆ ) και ( x) x ( x )( x ) Απάντηση: V (0) :{, }, V ( ) :{ }, V () :{ } Απάντηση: a Δεν υπάρχουν ιδιοδιανύσματα b Μια βάση του Vg ( ) : {si x, cos x } 6 7 Απάντηση: 0 a Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του 0 0, το είναι ιδιοτιμή του 0 0, αλλά το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του b Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του 0 0, το είναι ιδιοτιμή του 0 0, αλλά το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του c Λ Παράδειγμα: Ο δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) αφού το χαρακτηριστικό πολυώνυμό 0 του είναι το x d Σ Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 8 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα 0 e Λ Παράδειγμα: 0 0 Λ Παράδειγμα: I 0 και B 0 Τότε ( x) B ( x) ( x ), αλλά οι, B δεν είναι όμοιοι γιατί αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με B P P, τότε B P I P I, άτοπο g Σ Απόδειξη: Από την υπόθεση υπάρχει αντιστρέψιμος P με B P P Με μια άμεση επαγωγή αποδεικνύεται ότι B P P για κάθε θετικό ακέραιο (πως;) Έστω ότι ( x) a x ax a0 Τότε ( B) a B a B a I a P P a P P a P P P ( a a a I ) P P ( ) P, δηλαδή ( B) P ( ) P και άρα οι ( ), ( B) είναι όμοιοι h Λ Πράγματι, το πολυώνυμο ( x ) έχει βαθμό και άρα δεν μπορεί να έχει περισσότερες από ρίζες στο i Σ Πράγματι, έχουμε v 0 και ( v) 0 0v j Λ Έστω ότι υπάρχουν και ˆ με τις δοσμένες ιδιότητες Από (,0,0) (,0,0) έχουμε ότι το είναι μια ιδιοτιμή της και άρα είναι μια ιδιοτιμή του ( : ˆ, ˆ ) σύμφωνα με την Πρόταση 6 Αλλά το δεν είναι ρίζα του ( x ) ( x )( x 5) Σ Αφού το είναι ιδιοτιμή του, το ( ) είναι ιδιοτιμή του X με X X Άρα υπάρχει μη μηδενικό

33 σκήσεις Όταν ιδιοτιμές γκρεμίζουν γέφυρες

34 Ασκήσεις Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H i -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η i -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην i i ιδιοτιμή i o Μικρό Κριτήριο Διαγωνισιμότητας: O είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν υπάρχει βάση του από ιδιοδιανύσματα του o Αν { X,, X } είναι βάση του από ιδιοδιανύσματα του με αντίστοιχες ιδιοτιμές,,, τότε ο πίνακας P ( X,, X ) είναι αντιστρέψιμος και P P diag (,, ) Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, κάποιες από τις διακεκριμένες ιδιοτιμές του Ισχύουν τα εξής o Αν v v 0, όπου vi V ( i ), τότε v v 0 o ( V ( ) V ( )) V ( ) {0} o dim( V ( ) V ( )) dim V ( ) dim V ( )) o Αν για κάθε i, B i είναι βάση του V ( i ), τότε Bi είναι βάση του V ( ) V( ) i o dim V ( i ) m( i ) για κάθε i, όπου m( i ) είναι η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής i Μεγάλο Κριτήριο Διαγωνισιμότητας: Έστω,, οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o είναι διαγωνίσιμος o υπάρχει βάση του από ιδιοδιανύσματα του o V ( ) V ( ) o V V dim ( ) dim ( )) m ( x) ( ) ( x ) ( x ) και για κάθε i,,, dim V ( ) m m o Αν ο έχει ν διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε είναι διαγωνίσιμος Αντίστοιχα όλων των παραπάνω για γραμμικές απεικονίσεις Εφαρμογές (δυνάμεις πινάκων, ρίζες πινάκων, αναδρομικές ακολουθίες ) Συνιστώμενες ασκήσεις: -,, 8, 0, 4-5, 7 i i () Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι διαγωνίσιμοι Αν κάποιος πίνακας i είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί μία βάση του που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του i, ένας αντιστρέψιμος P i με P P i i i διαγώνιο και ο πίνακας P P i i i a, b, c d () Έστω διαγωνίσιμος πίνακας a Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο είναι διαγωνίσιμος και γενικά για κάθε ( x) [ x] ο ( ) είναι διαγωνίσιμος b Δείξτε ότι αν 0 για κάποιο θετικό ακέραιο, τότε 0 c Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] 0 d Αν ( x ) ( x ) να βρεθεί ο

35 Ασκήσεις e Έστω X με X 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Δείξτε ότι X 0 Έστω ότι ο είναι αντιστρέψιμος και Είναι δυνατό ο να είναι όμοιος με τον diag (,,,,) ; () Έστω a Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του, μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του b Να εξεταστεί αν ο είναι διαγωνίσιμος και στην περίπτωση που είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο P P να είναι διαγώνιος 4 a 4 () Έστω a Αποδείξτε ότι ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a b Έστω a Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες P, Q ώστε οι P P και Q Q να είναι διακεκριμένοι διαγώνιοι πίνακες 5 () a Έστω ένας διαγωνίσιμος πίνακας του οποίου οι ιδιοτιμές είναι μη αρνητικές Δείξτε ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B 0 b Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος και ότι δεν υπάρχει B τέτοιος ώστε B () Έστω, P, τέτοιοι ώστε P P και είναι διαγώνιος, diag(,, ) ( ) ( ) ( ) a Δείξτε ότι για κάθε,, έχουμε P P, όπου P είναι η -στήλη του P b Έστω,, Βρείτε έναν με ιδιοτιμές τις,, και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα,, Είναι ο μοναδικός; * 0 * 0 * * () Έστω με det Tr 0 Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος * 0 * 0 * 0 * 4 8 () Έστω ένας άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής *, 0 δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου είναι ίσο με Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν είναι διαγώνιος 9 () Εξετάστε αν ο

36 Ασκήσεις είναι διαγωνίσιμος 0 () Να βρεθούν οι τιμές των a, b, c ώστε ο 0 0 a 0 b c να είναι διαγωνίσιμος () Να βρεθούν οι τιμές του a ώστε η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του 0 0 a 0 a 0 0 να είναι ίση με () Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Αποδείξτε ότι αν ο Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε ο Β είναι διαγωνίσιμος () Έστω, B δυο διαγωνίσιμοι πίνακες Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν ( x) ( x) 4 () Να βρεθούν όλα τα a τέτοια ώστε η γραμμική απεικόνιση : να είναι διαγωνίσιμη στις ακόλουθες περιπτώσεις a ( x, y, z) ( x az, y, ay z), b ( x, y, z) ( ax y z, x ay z, x y az) 5 () Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω γραμμικές απεικονίσεις είναι διαγωνίσιμες :, ( x, y, z) ( x y, y z, y 4 z), g :, ( x, y, z) ( x y, y z, y 4 z), h : [ x] [ x], g( ( x)) () x 6 () Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, για κάθε ιδιοτιμή της Δείξτε ότι V 7 () Έστω : V V ένας ισομορφισμός Δείξτε τα εξής a Αν το είναι μια ιδιοτιμή της, τότε 0 b Το είναι ιδιοτιμή της το c Για κάθε {0}, V ( ) V ( ) d διαγωνίσιμη 8 () Έστω με : διαγωνίσιμη είναι ιδιοτιμή της μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε υπάρχει διατεταγμένη βάση a Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη b Αληθεύει ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 0 ( : ˆ, ˆ ) c Έστω ότι, 0 Δείξε ότι το v v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της ˆ ( v, v, v ) του B

37 Ασκήσεις 5 m 9 () Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση Δείξτε ότι er er και Im Im m για κάθε θετικό ακέραιο m, όπου 0 () Για κάθε θετικό ακέραιο υπολογίστε τον () Έστω a Υπολογίστε τη δύναμη, b Να βρεθεί ένας πίνακας B τέτοιος ώστε B c Πόσους πίνακες B μπορείτε να βρείτε τέτοιους ώστε B ; () Θεωρούμε την ακολουθία ( a),,,, η οποία ορίζεται από τους όρους a, a 4 και τον αναδρομικό τύπο a a a,, 4, Να βρεθεί ο γενικός όρος a συναρτήσει των a, a και () a Έστω διαγωνίσιμος τέτοιος ώστε για κάθε ιδιοτιμή του Δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε B B b Δείξτε ότι δεν υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε B B I 4 () Έστω ότι a Δείξτε ότι U V, όπου { t t U }, V { } Επίσης, δείξτε ότι v( v ) v( v ) dim U, dim V t b Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα, αποδείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση :,, είναι διαγωνίσιμη και βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμό της 5 () Έστω, g : V V δυο γραμμικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε η είναι διαγωνίσιμη και κάθε ιδιοδιάνυσμα της είναι ιδιοδιάνυσμα της g Δείξτε ότι g g 6 () Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε ο πίνακας ab ab ab ab είναι μη μηδενικός a Δείξτε ότι ra b Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν Tr( ) 0 7 () Δείξτε ότι ο πίνακας a b b b b a b b b b a b b b b a είναι διαγωνίσιμος 8 () Έστω a και ( v, v, v) μια διατεταγμένη βάση του : που ορίζεται από Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση

38 Ασκήσεις 6 ( v ) v, ( v) v av v, ( v) a v av a Δείξτε ότι η δεν είναι διαγωνίσιμη b Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε 9 () Έστω Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε όχι όλα είναι ίσα με 0 και aibi 0 Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα a a a b b b 0 και δείξτε ότι αυτός δεν είναι διαγωνίσιμος 0 () Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Δικαιολογήστε την απάντησή σας 4 4 a Υπάρχει διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση : τέτοια ώστε ( x) x ( x ) και dim(im ) b Για κάθε a, b, οι πίνακες 4 a 0 5, 5 0 b 4 είναι όμοιοι c Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση Αν είναι δυο ιδιοτιμές της, τότε η γραμμική απεικόνιση g : V ( ) V ( ) V ( ) V ( ), g( u v) ( u v), είναι διαγωνίσιμη () Έστω με ra r Αποδείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι της μορφής r ( ) x a x a x () Έστω και, r οι ιδιοτιμές του Δείξτε ότι αν, τότε κάθε θετικό ακέραιο, ( I) ( I) () Έστω με ra και Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a Ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 0 a 0 0 a 0 0 a b Tr( ) 0 ο Α είναι διαγωνίσιμος 4 () Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x] που ορίζεται από x ( ) x, ( x ) x () x 8 Θέτουμε g V, V [ x] a Να βρεθεί μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της και κάθε ιδιόχωρο της g b Να εξεταστεί αν οι, g είναι διαγωνίσιμες c Να εξεταστεί αν οι, g είναι ισομορφισμοί 5 () Έστω 0 και :, ( X ) X X Εξετάστε αν η είναι διαγωνίσιμη 44 6 () Αν,,, 4 είναι οι ιδιοτιμές αντιστρέψιμου, τότε οι ιδιοτιμές του adj( ) είναι οι, 4, 4, 4 i

39 Ασκήσεις 7 7 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα a Κάθε πίνακας που είναι όμοιος με διαγωνίσιμο πίνακα, είναι διαγωνίσιμος 44 b Αν με ( x ) x ( x )( x ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 c Αν με ( x ) x ( x )( x ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 d Έστω με ( x ) x ( x )( x ) Τότε ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν dim V(0) e Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος g Κάθε αντιστρέψιμος πίνακας είναι διαγωνίσιμος * 0 * 0 * * 0 h Η διάσταση του υπόχωρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του είναι τουλάχιστον * 0 * 0 * 0 * 4

40 Ασκήσεις 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Απάντηση a O δεν είναι διαγωνίσιμος αφού δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) b O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V ( i), V ( ) i Μια ζητούμενη βάση είναι i i η, i i Για P i i έχουμε P P diag( i, i) σύμφωνα με τη θεωρία c O δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0, καιdim V (0) d O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0), 0, V () 0 Μια ζητούμενη βάση του είναι η, 0, 0 Για P 0 0 έχουμε P P diag(0, 0,) σύμφωνα με τη θεωρία Λύση: Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας diag(,, ) με P P Οι ιδιοτιμές του είναι οι,, a Επειδή ο είναι διαγώνιος, ξέρουμε ότι ο ( ) είναι διαγώνιος για κάθε πολυώνυμο ( x) [ x] (Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( ) diag( ( ),, ( )) P P για κάθε θετικό ακέραιο Με επαγωγή στο αποδεικνύεται ότι P P P P Πράγματι, η σχέση αυτή είναι προφανής αν Αν P P P P για κάποιο, τότε Έχουμε P P P P P P P P P P ( ) ( ) P PP P P I P P P P P Τώρα αν ( x) a x ax a0 [ x], έχουμε P ( ) P P a a a a I P 0 a P P a P P a P P a P I P 0 a ( P P) a ( P P) a ( P P) a I 0 a a a a I ( ) 0 και ο ( ) είναι διαγώνιος Άρα ο P ( ) P είναι διαγωνίσιμος b Από P P έχουμε P P Είδαμε πριν ότι 0 για κάποιο ακέραιο Τότε 0 Άρα P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω ότι

41 Ασκήσεις 9 diag(,, ) PP 0 c Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε i 0 για κάθε i,, οπότε ο είναι αντιστρέψιμος και diag(,, ) Από P P παίρνουμε P P P ( P ) P P, δηλαδή P P diag(,, ) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος και το ζητούμενο έπεται από το ερώτημα a 0 d Από ( x ) ( x ) έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με Επειδή ο είναι διαγωνίσιμος, παίρνουμε ότι ο είναι όμοιος με τον πίνακα diag(,,,) I0, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος P 00 με P P I 0 Τότε e Έστω X 0, όπου X Άρα P P X 0, οπότε P( I ) P ( PI P ) I Έχουμε P P ( P X ) 0 P P P P y Έστω P X Από ( P X ) 0, δηλαδή y y 0, y 0 παίρνουμε y 0 0 ή y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 y 0 y 0 y Δηλαδή έχουμε ( P X ) και άρα X P( P X ) 0 0 Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας diag(,, ) με P P Έχουμε P P και επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε (όπως στο c) P P Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον diag (,,,,) Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, παίρνουμε ότι το είναι ιδιοτιμή του Έχουμε PP P P P( ) P Pdiag(,, ) P Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Συνεπώς έχουμε i i για κάποιο i, δηλαδή i i 0 Όμως το τριώνυμο x δεν έχει πραγματική ρίζα, άτοπο x Απάντηση: Έχουμε ( x ) ( x ) ( x 8) οπότε οι ιδιοτιμές είναι - (με πολλαπλότητα ) και 8 (με πολλαπλότητα ) Οι ιδιόχωροι του είναι

42 Ασκήσεις 40 V ( ) { x 0 y x, y }, V (8) { x x } 0 και αντίστοιχες βάσεις είναι τα σύνολα { 0, }, { } 0 Η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του είναι ίση με dim V ( ) dim V (8) Ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Μεγάλο Κριτήριο και ένας P είναι ο P a Λύση: Έχουμε ( x ) x 7 x a Έστω 7 4( a) a ) Έστω a Τότε 0 και το ( ) x έχει δυο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 ) Έστω a Τότε 0 και το ( ) x δεν έχει πραγματική ρίζα Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος 7 ) Έστω a Τότε 0 και ( ) x x Για 7 έχουμε: dim V ( ) ισούται με τη διάσταση 7 0 του διανυσματικού χώρου των λύσεων του x I, που είναι (πράξεις) Άρα ο Α δεν είναι y 0 διαγωνίσμος σύμφωνα με το Θεώρημα b Απάντηση: Με πράξεις βρίσκουμεv (), V (6) Άρα, αν P, έχουμε 0 P P 0 6 και αν Q, έχουμε 6 0 Q Q 0 5 a Υπόδειξη: Αν P P diag(,, ), δείξτε ότι B, όπου Pdiag(,, ) P 6 b Απάντηση: Από το a έπεται ότι ο είναι μοναδικός και ( ά) Δείξτε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι,4,-7,0 Επειδή ο διαγωνίσιμος 44 έχει 4 διακεκριμένες ιδιοτιμές, είναι 8 Λύση: Έστω ότι ο είναι διαγωνίσιμος Επειδή ο έχει μοναδική ιδιοτιμή το (με πολλαπλότητα ν), είναι όμοιος με το I Όμως ο μόνος πίνακας όμοιος με το I είναι ο I Άρα I που είναι διαγώνιος Το αντίστροφο είναι άμεσο

43 Ασκήσεις 4 9 Λύση: Είδαμε στην άσκηση 8, ότι ( ) ( ) ( ) Χρησιμοποιώντας παραγώγους παρατηρούμε ότι x x ( ( x), ( x)) (( ) x,( ) ( x )) Άρα το πολυώνυμο ( x) ( ) ( x ) έχει διακεκριμένες ρίζες στο σύμφωνα με την Πρόταση 0 και συνεπώς ο πίνακας διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 είναι 0 Υπόδειξη: Ξέρουμε από το Μεγάλο Κριτήριο ότι διαγωνίσιμος dim V () dim V ( ) Απάντηση: a 0 (και b, c τυχαία) Απάντηση: a 0 Υπόδειξη: Αν τα X,, X είναι μια βάση του X, X είναι ιδιοδιανύσματα του B και κάθε X i είναι ιδιοδιάνυσμα του, δείξτε ότι τα Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ( x) ( x), τότε οι, B είναι όμοιοι με τον ίδιο διαγώνιο πίνακα 4 aλύση: Αν είναι ο πίνακας της ως προς τη συνήθη βάση του B, τότε 0 a a Έχουμε ( x) ( x) ( x )( x ) και οι ιδιοτιμές της είναι,, Ξέρουμε ότι dim V () m(), dim V () m() σύμφωνα με το Θεώρημα Από το Θεώρημα 0 συμπεραίνουμε ότι διαγωνίσιμη dim V () dim V () dim V () Άρα dim V () ra( I) ra( I) Επειδή 0 a I 0 0 0, 0 a 0 βλέπουμε ότι ra( I) a 0 b Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό του a Εδώ έχουμε ( x ) ( x a ) ( xa ) Απάντηση: Είναι διαγωνίσιμη για κάθε a 5 Απάντηση: Η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την Πρόταση 9 γιατί έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τις,, Για τη g μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 0 iii) Η g δεν είναι διαγωνίσιμη, γιατί οι ιδιοτιμές είναι οι,, και για τους αντίστοιχους ιδιόχωρους έχουμε dim V () dim V () H h είναι διαγωνίσιμη, γιατί από την απάντηση της άσκησης a έχουμε V (0) { ax bx c [ x] a b c 0} καιv () { bx [ x] b 0}, οπότε dim V (0) dim V () dim [ x] 6 Λύση: Από την υπόθεση υπάρχει μια βάση u,, u του V και,,, (Πρόταση ) Άρα i i i i i i i i i με ( u ) u, i,, i i i ( u ) ( ( u )) ( u ) ( u ) u u, για κάθε i,, Άρα u,, u er( V ) και επειδή τα u,, u παράγουν το V έχουμε er( V ) V, δηλαδή V άσκηση = άσκηση από τις Ασκήσεις στην eclass

44 Ασκήσεις a Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι ο πίνακας ( : ˆ, ˆ) είναι διαγώνιος b Απάντηση: Όχι αναγκαστικά Ένα αντιπαράδειγμα προκύπτει όταν 0 και 0 Πράγματι, αν ο ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα γιατί κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 Αλλά τότε θα ήταν ίσος με το μηδενικό πίνακα 9 Λύση: Από την Πρόταση υπάρχουν βάση B v v,, του V και,, τέτοια ώστε m m ( v ) v, i,, Έστω m ένας θετικός ακέραιος Τότε για κάθε i,, έχουμε ( v ) v i i i Είναι σαφές ότι er i i i m er Για την άλλη σχέση, έστω v xv x v er m, x Τότε i m m m m m m 0 ( v) ( xv xv ) x ( v ) x ( v) x v x v και επειδή το,, m m v v είναι βάση, παίρνουμε x x 0 και άρα x x 0 Συνεπώς m ( v) 0 Άρα er er m Σημείωση Η σχέση er er έπεται από την άσκηση b Μάλιστα οι δύο λύσεις είναι ίδιες, μια γραμμένη για πίνακες, ή άλλη για γραμμικές απεικονίσεις Για την εικόνα Im m m m παρατηρούμε ότι αυτή παράγεται από τα ( v ) v, i,, Άρα παράγεται από m εκείνα τα v j για τα οποία j 0 (γιατί;) Άρα Im Im i i i 0 Λύση: Έχουμε ( x) ( x )( x ) 0, οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι και (διπλή ρίζα) Για, οι λύσεις του συστήματος που είναι οι x 0 ( ) X x 0, 0 6 x 0 x x x, x, x αποτελούν τον ιδιόχωρο V ( ) της Επιλέγουμε το ιδιοδιάνυσμα p Για, οι λύσεις του συστήματος Είναι οι 0 x 0 ( ) X x 0 0 x 0 x 0 x x 0 x, x, x x 0

45 Ασκήσεις 4 0 Επομένως για ο ιδιόχωρος V () παράγεται από τα p 0, p 0 0 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επειδή det 0 0, άρα αποτελούν βάση του 0 διαγωνοποιείται Θέτοντας 0 P 0 0 βρίσκουμε με πράξεις ότι 0 P 0 Ξέρουμε ότι ισχύει 0 0 P P Από την τελευταία σχέση έχουμε : 0 ( ) P P ( πράξεις) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Τα ιδιοδιανύσματα p, p, p Άρα ο Α Απάντηση: Οι ιδιοτιμές είναι,, Βάσεις των ιδιόχωρων V ( ), V (), V () είναι αντίστοιχα τα διανύσματα 0, 0, 0 0 Έχουμε P P 0 0, όπου P a Άρα 0 0 P 0 0 P 0 0 Με πράξεις βρίσκουμε 0 ( ) 0 0 ( ) b Ως B μπορούμε να θέσουμε

46 Ασκήσεις B P 0 0 P (πράξεις) c Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι κάθε εξίσωση της μορφής x a, όπου a {0}, έχει τρεις διακεκριμένες λύσεις στο, βλέπουμε ότι καθεμία από τις ιδιοτιμές,, έχει τρεις διακεκριμένες κυβικές ρίζες στο Επιπλέον αυτές οι 9 κυβικές ρίζες είναι ανά δύο διάφορες Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 7 ανά δύο διάφοροι πίνακες B τέτοιοι ώστε B Λύση: Έχουμε το σύστημα a a a a a a a a 0 a Θέτουμε 0 και παίρνουμε a a () a a Διαδοχικά έχουμε a a a a a a a4 a Από την τελευταία σχέση αρκεί να υπολογίσουμε τον Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι ( x) ( x )( x ), οι ιδιοτιμές του Α είναι και, οπότε ο πίνακας διαγωνοποιείται Στην ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα p και στην αντιστοιχεί το p Θέτουμε P οπότε P 4 Άρα ( ) 0 ( ) ( ) P P, 0 4 ( ) ( ) οπότε από την () προκύπτει ( ) ( ) a a a 4 Με αντικατάσταση των όρων a και a 4, έχουμε ( ) 5 a, 4 b Λύση: Από B B I παίρνουμε B B I 0 και άρα κάθε ιδιοτιμή του B στο ικανοποιεί 0 Άρα ο B δεν έχει πραγματική ιδιοτιμή Όμως το πολυώνυμο B ( x ) έχει πραγματικούς συντελεστές και περιττό βαθμό, οπότε έχει πραγματική ρίζα (Πρόταση 8), άτοπο t t 4 Υπόδειξη: a Αν, τότε U V Άρα U V Επίσης t t t U V 0 0 Άρα το άθροισμα είναι ευθύ Αποδεικνύεται (άσκηση) ότι μία βάση του U είναι η { E i,, } { E E i j } και μια βάση του V είναι η όπου Eij ii ij ji { E E i j }, ij είναι ο πίνακας που έχει παντού 0 εκτός από τη θέση ( i, j ) όπου έχει Άρα ji

47 Ασκήσεις 45 v( v ) v( v ) v( v ) dim U v, dim V b Επειδή βλέπουμε ότι οι πιθανές ιδιοτιμές είναι, Για τους ιδιόχωρους έχουμε V () U και V ( ) V Άρα V () V ( ) (από το προηγούμενο ερώτημα) και συνεπώς η είναι διαγωνίσιμη Για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχουμε ( x) ( ) ( x ) ( x ), Επειδή η είναι διαγωνίσιμη, το Θεώρημα 0 ii) δίνει ( ) ( ) dim V (), dim V ( ), ( ) ( ) ( x) ( ) ( x ) ( x ) 5 Λύση: Επειδή η είναι διαγωνίσιμη, υπάρχει βάση{ v,, v } του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( vi ) ivi, i,, (Πρόταση ) Από την υπόθεση υπάρχουν,, με g( vi ) ivi, i,, Άρα g g ( v ) ( g( v )) g( ( v )) ( v ) g( v ) i i i i i i i ( v ) g( v ) v v 0, i i i i i l i i i i δηλαδή g g ( v i ) 0 για κάθε i,, Επειδή η απεικόνιση g g είναι γραμμική και το σύνολο { v,, v } παράγει το V, έπεται ότι ( g g )( v) 0 για κάθε v V Άρα g g 0 6 Υπόδειξη: a Δείξτε ότι κάθε δυο στήλες του είναι γραμμικά εξαρτημένες Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι a b b a και χρησιμοποιήστε το ότι ra( BC) mi{ rab, rac} b Για τις ιδιοτιμές του Α, βλέπε άσκηση 8 Χρησιμοποιήστε τη σχέση dim V (0) ra και το Θεώρημα 7 Υπόδειξη: Στην άσκηση 5 υπολογίσαμε τους ιδιόχωρους Εφαρμόστε το Μεγάλο Κριτήριο Εναλλακτικά, δείξτε ότι ο πίνακας για a b είναι διαγωνίσιμος (βλ προηγούμενη άσκηση) και παρατηρήστε ότι ο αρχικός πίνακας είναι πολυωνυμική παράσταση αυτού 8 Λύση: a Ο πίνακας της ως προς τη δοσμένη βάση είναι ο 0 0 a a, 0 a οπότε εύκολα βρίσκουμε ότι ( x) ( x) x ( x ) και οι ιδιοτιμές της είναι οι 0,0, Παρατηρούμε ότι ra (αφού det 0 και ο έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες Άλλος τρόπος είναι να υπολογίσουμε μια κλιμακωτή μορφή του και να διαπιστώσουμε ότι το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών σε αυτή είναι ) Ξέρουμε ότι dim V (0) ra Επειδή dim V (0) m(0), η δεν είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με το Μεγάλο Κριτήριο b Με εύκολη επαγωγή αποδεικνύεται ότι για κάθε, ο είναι της μορφής * * και άρα ra Άρα έχουμε dim V (0), dim V () και dim V (0) dim V () που σημαίνει ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε σύμφωνα με το Θεώρημα 0

48 Ασκήσεις 46 9 Λύση: Θα δείξουμε επαγωγικά στο ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου πίνακα είναι το ( ) x aib i x (*) i Για v το αποδεικτέο επαληθεύεται με άμεσο υπολογισμό Έστω ότι και ότι το αποτέλεσμα ισχύει για ν- στη θέση του Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα ορίζουσας ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 a x 0 a 0 x 0 0 x 0 a det x det ( ) a det ( 0 x a 0 0 x ) 0 0 x a b b x b b b b b b x Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε, x 0 a det ( ) x aib i x () 0 x a i b b x Με ανάπτυγμα ως προς την πρώτη στήλη έχουμε 0 x 0 x 0 det ( ) b det ( ) b ( x) () 0 0 x 0 x b b b Αντικαθιστώντας τις (), () στην () προκύπτει το ζητούμενο Τώρα από την υπόθεση aibi 0 και τη (*) έπεται ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δοσμένου πίνακα i είναι ( ) x που σημαίνει ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με 0 Αν ήταν διαγωνίσιμος, θα ήταν ίσος με το μηδενικό, άτοπο από την υπόθεση ότι τουλάχιστον ένα από τα a,, a, b,, b είναι διάφορο του 0 0 Λύση: a Λάθος, γιατί διαφορετικά dim(im ) dim V (0) dim(er ) 4dim(Im ) m(0) b Σωστό Καθένας από τους δύο δοσμένους πίνακες έχει ιδιοτιμές τις 4,5 και άρα είναι διαγωνίσιμος (είναι και έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, βλ Πόρισμα 9) Άρα καθένας από αυτούς είναι όμοιος με τον και επομένως μεταξύ τους είναι όμοιοι c Σωστό Άμεσα επαληθεύεται ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο από καθέναν από του υπόχωρους V ( ), V ( ) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της g Αν B, B είναι βάσεις αντίστοιχα των V ( ), V ( ), ξέρουμε ότι η ένωση B B είναι μια βάση του V ( ) V ( ) (Πόρισμα 6) Άρα ο χώρος V ( ) V ( ) έχει μια βάση από ιδιοδιανύσματα της g Συνεπώς η g είναι διαγωνίσιμη (Πρόταση ) Λύση: Έχουμε dim V (0) m(0) σύμφωνα με το Θεώρημα Ξέρουμε ότι dim V (0) r και άρα m(0) Λύση: Έστω r r Συνεπώς x ( x) X από τον ορισμό του m (0), X ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές, αντίστοιχα Το σύνολο { X, X } είναι μια βάση του γιατί X, X είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού Συνεπώς για να δείξουμε το ζητούμενο αρκεί να δειχτεί ότι

49 Ασκήσεις 47 X i ( I) ( I) X i, i, Για i το αριστερό σκέλος είναι X X και το δεξιό ( I) ( I) X ( X X) ( X X) ( X X) ( X X) X Άρα ισχύει η ισότητα για i Με ανάλογο υπολογισμό επαληθεύεται η ισότητα και για i Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος λύσης είναι ο ακόλουθος Επειδή, υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με P P 0 0 Συνεπώς αρκεί να δειχτεί ότι I I ( ) ( ) Αυτό επαληθεύεται με πράξεις πινάκων Λύση: a Επειδή ra, ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή το 0 είναι μια ιδιοτιμή του Α Έχουμε dim V(0) ra Έστω u,, u μια βάση του V (0) Επειδή ra, υπάρχει u με u u u και 0 u Ισχυριζόμαστε ότι τα u,, u, u αποτελούν μια βάση του Πράγματι, αρκεί να δειχτεί ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα Αν u u u 0, όπου i, τότε πολλαπλασιάζοντας με στα αριστερά έχουμε u u u u 0 0 Άρα u u 0 και επομένως 0 αφού τα,, υπάρχουν a,, a με u au a u Τότε ο πίνακας 0 0 a 0 0 a B 0 0 a είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης L :, L ( u) u u u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα ως προς τη διατεταγμένη βάση { u,, u, u } του Άρα ο είναι όμοιος με τον B b Από το προηγούμενο ερώτημα, ο Α είναι όμοιος με τον B Άρα Tr TrB a και ( x) B ( x) ( ) x ( x a ) ( ) x ( x Tr) Έστω ότι Tr 0 Τότε dim V(0) ra m(0) και dim V( Tr) m( Tr), οπότε ο Α είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 0 Έστω ότι Tr 0 Αν ο Α ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα, άτοπο αφού ra 0 4 Λύση a Θεωρούμε τη διατεταγμένη βάση { v, v, v } του [ x], όπου v x, v x, v (δικαιολογήστε γιατί είναι βάση) Εργαζόμενοι όπως ακριβώς στη λύση της άσκησης, βρίσκουμε V (0) v v, v v, V () v, οπότε αντίστοιχες βάσεις είναι { v v, v v},{ v} (δικαιολογήστε γιατί είναι βάση)

50 Ασκήσεις 48 Επειδή η g είναι πολυώνυμο g ( ) της, ξέρουμε ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα της που αντιστοιχεί στην 8 ιδιοτιμή λ, είναι ιδιοδιάνυσμα της g ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ( ) Εδώ ( x) x, οπότε V (0 ) V (), V ( ) V () g g Άρα dim V () dim V (0 ), dim V () dim V (), οπότε dim V () dim V () Άρα g g dim V () dim V () και οι προηγούμενες ανισότητες είναι ισότητες, οπότε g g V () V (0 ), V () V () g g Συνεπώς έχουμε για τους ιδιόχωρους της g τις ίδιες βάσεις με τους ιδιόχωρους της που βρήκαμε πριν b H είναι διαγωνίσιμη αφού dim V (0) dim V () H g είναι διαγωνίσιμη αφού dim V () dim V () g g c Η δεν είναι ισομορφισμός, αφού το 0 είναι ιδιοτιμή της H g είναι ισομορφισμός αφού το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g Πράγματι, ξέρουμε ότι η διάσταση του υπόχωρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα της g είναι το άθροισμα των διαστάσεων των ιδιόχωρων της g Επειδή dim V () dim V (), η g δεν έχει άλλo ιδιόχωρο Άρα το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της Σημείωση: g g Ότι το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της g προκύπτει άμεσα από το θεώρημα φασματικής απεικόνισης που θα δούμε σε παρακάτω ενότητα 5 Απάντηση: Είναι διαγωνίσιμη, βλ απάντηση άσκησης Απάντηση a Σ Αν B Q Q και P b Λ Οι ιδιοτιμές του P, τότε 44 είναι οι 0, B ( P Q) P Q g Έχουμε dim V (0) m(0) (Θεώρημα ) Άρα dim V(0) Όμοια dim V( ) Άρα dim V(0) dim V( ) 4 Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα iii) 44 c Σ Ο έχει 4 διακεκριμένες ιδιοτιμές d Σ Έχουμε dim V (0) m(0), dim V () m() και dim V () m() σύμφωνα με το Θεώρημα Άρα dim V() m() και dim V() m() Από το Επομένως, από το Θεώρημα iii), διαγωνίσιμος dim V (0) dim V () dim V () 4 dim V (0) e Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι 0 0, B 0 0 Παρατηρούμε ότι ο είναι τριγωνικός με και 0 0 στη διαγώνιο Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι, 0 Επειδή ο είναι πίνακας και έχει δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές, είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Όμοια ο B είναι διαγωνίσιμος Αλλά ο B δεν είναι διαγωνίσιμος (γιατί;) 0 Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι 0 0, B 0 0 Είδαμε πριν ότι οι, B είναι διαγωνίσιμοι Εδώ 0 B 0 που δεν είναι διαγωνίσιμος (γιατί;) 0 0 g Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι ο 0 (γιατί;) h Σ Τα E, E 4 είναι ιδιοδιανύσματα του g

51 Ασκήσεις4 49 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ] Εύρεση για τριγωνίσιμο πίνακα Α, αντιστρέψιμου πίνακα P με P Εφαρμογή: Θεώρημα φασματικής απεικόνισης Θεώρημα των Cayley-Hamilto Συνιστώμενες ασκήσεις: -5, 7-9,,, 4, -5, 8, -6 P τριγωνικό () Αποδείξτε ότι αν ο έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή, τότε ο είναι τριγωνίσιμος () a Έστω 4 Αφού δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο U με U U τριγωνικό 4 5 b Έστω 0 Αφού δείξτε ότι ο είναι τριγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο U 0 4 με U U τριγωνικό 0 c Έστω 5 Αφού δείξτε ότι ο είναι τριγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο U 5 με U U τριγωνικό () Να βρεθούν οι τιμές του a για τις οποίες ο πίνακας 4 a είναι τριγωνίσιμος αλλά όχι διαγωνίσιμος 4 () Έστω 0 a Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις διαστάσεις των ιδιόχωρων του b Αληθεύει ότι ο είναι διαγωνίσιμος; c Αληθεύει ότι ο είναι τριγωνίσμος; Αν ναι, να βρεθεί αντιστρέψιμος U με U U τριγωνικό 5 () Έστω { v, v, v } μια βάση του, a και : η γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε ( v ) v, ( v ) v v v, ( v) av v Δείξτε ότι η είναι τριγωνίσιμη αν και μόνο αν a 0 6 () Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι το πλήθος πίνακες 7 () Έστω με ( x ) x x a ο είναι διαγωνίσιμος, και b και τέτοιοι ώστε Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο I 5 6 0

52 Ασκήσεις () a Έστω με ιδιοτιμές,, Τότε για κάθε, ισχύει Tr( ) b Έστω ένας τριγωνίσμος πίνακας τέτοιος ώστε Tr( ) 0 Δείξτε ότι 0 c () Έστω τέτοιος ώστε Tr Tr( ) Tr( ) 0 Δείξτε ότι αν Tr( ) 0, τότε ο είναι διαγωνίσιμος και αντιστρέψιμος 9 () Έστω Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα a Κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με 0 b 0 για κάποιο θετικό ακέραιο c 0 d () Tr( ) Tr( ) Tr( ) 0 0 () Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Αποδείξτε ότι 0 () Έστω αντιστρέψιμος Δείξε ότι αν ( x ) ( x )( x ), i, τότε ( x) ( x)( x) () Έστω dimv και : V V γραμμική απεικόνιση a Δείξτε ότι η είναι τριγωνίσιμη αν και μόνο αν για κάθε i,, υπάρχει υπόχωρος Wi dimw i i, W W W και ( W i ) W i b Αληθεύει ότι η είναι τριγωνίσιμη αν για κάθε i,, υπάρχει υπόχωρος Wi ( W ) W ; i i V με V με dimw i () Έστω a Δείξτε ότι αν ο δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει ( x) [ x] βαθμού τέτοιο ώστε ( ) 0 b Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει ( x) [ x] βαθμού τέτοιο ώστε 4 () Έστω 0 0 a Να παρασταθεί ο ως γραμμικός συνδυασμός των I,, b Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο 5 4 c Να βρεθεί ένα πολυώνυμο ( x) [ x] βαθμού το πολύ έτσι ώστε I ( ) 5 () Έστω τέτοιος ώστε ( x ) ( ) ( x x x ), όπου 0 Δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε ο να είναι τριγωνίσιμος 6 () Έστω μη διαγωνίσιμος πίνακας Τότε ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 7 () Έστω, B τέτοιοι ώστε B B 0 Δείξτε ότι ( B) ( B) (det ) I 8 () Αν ( a ij ), θέτουμε h( ) aija ji a Δείξτε ότι αν οι, B είναι όμοιοι, τότε h( ) h( B) i, j i και b Έστω Δείξτε ότι h( ), όπου,, είναι οι ιδιοτιμές του 9 () Δείξτε ότι κάθε άνω τριγωνικός πίνακας είναι όμοιος με κάτω τριγωνικό πίνακα Στη συνέχεια δείξτε ότι κάθε πίνακας B είναι όμοιος με κάτω τριγωνικό πίνακα ( )

53 Ασκήσεις4 5 0 () Έστω τέτοιος ώστε I Δείξτε ότι Tr () Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε g g Δείξτε τα εξής a Αν είναι μια ιδιοτιμή της, τότε g( V ( )) V ( ) b Οι, g έχουν κοινό ιδιοδιάνυσμα c () Υπάρχει διατεταγμένη βάση του V τέτοια ώστε οι αντίστοιχοι πίνακες των, g είναι άνω τριγωνικοί (Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του Θεωρήματος ) d Για κάθε ιδιοτιμή της g υπάρχει ιδιοτιμή της και ιδιοτιμή g της g τέτοιες ώστε () Έστω, B g Θεωρούμε τις γραμμικές απεικονίσεις L :, L ( X ) X R :, R ( X ) XB B B a Δείξτε ότι L RB RB L b Δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση L έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πίνακα και ότι η γραμμική απεικόνιση R B έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πίνακα B c Έστω ότι οι, B δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή Δείξτε ότι για κάθε C υπάρχει μοναδικός D τέτοιος ώστε DDB C () Έστω και W ο υπόχωρος του που παράγεται από τα I,,, Δείξτε ότι για κάθε 0, I,,,, και άρα dimw 4 () Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας 44 a Έστω με ( x ) ( x )( x ) Τότε ο πίνακας είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ο είναι άρτιος b Για κάθε υπάρχει πολυώνυμο ( x) [ x] θετικού βαθμού τέτοιο ώστε ( ) 5 () Έστω με ra Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a Tr( ) b 0 Tr( ) 0 c Ο είναι τριγωνίσιμος d Tr( ) 0 ο Α είναι διαγωνίσιμος (βλ άσκηση 6) i i 6 () Έστω, B, C, D τέτοιοι ώστε C B D για κάθε i Αποδείξτε ότι αν οι, B είναι αντιστρέψιμοι, τότε C D 7 () Έστω και : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από ( B) B B Δείξτε ότι αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0, τότε κάθε ιδιοτιμή της είναι ίση με 0 8 () Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος διάστασης, ˆ { v, v, v} μια διατεταγμένη βάση του V και c Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : V V που ορίζεται από τις σχέσεις ( v ) v, ( v ) v v, ( v ) cv v v a Βρείτε όλες τις τιμές του c για τις οποίες η είναι τριγωνίσιμη b Βρείτε όλες τις τιμές του c για τις οποίες η είναι διαγωνίσιμη c Για c 0 βρείτε μια βάση κάθε ιδιόχωρου της και μια βάση του υπόχωρου του V που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα της I

54 Ασκήσεις () Αν είναι τριγωνίσιμος και Tr( ) Tr( ) Tr( ) c, τότε c 0 και Tr( ) c για κάθε θετικό ακέραιο 0 () Έστω και, B που δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή Δείξτε ότι δεν υπάρχει μη μηδενικό X με X XB 0 m () Έστω 0 0 Δείξτε ότι για κάθε m δεν υπάρχει B με B () Έστω : η γραμμική απεικόνιση με ( x, y, z) ( x, y,0) Αφού δείξετε ότι ο υπόχωρος W του που παράγεται από τα (,0,0),(0,,0) είναι -αναλλοίωτος, βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο του περιορισμού W : W W της στο W () Έστω, B με ( B) 0, Τότε ( B) 0 4 () Αν ο έχει το πολύ μία μη μηδενική ιδιοτιμή, τότε det( I ) Tr( ) 5 () Έστω, B Δείξτε ότι ο πίνακας B ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν οι, B δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή 6 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Έστω Α ένας αντιστρέψιμος πίνακας Τότε ο Α είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ο είναι τριγωνίσιμος b Αν ο είναι τριγωνίσιμος, τότε ο ( ) είναι τριγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] c Έστω Αν ο είναι τριγωνίσιμος, τότε ο είναι τριγωνίσιμος d Αν τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U = άνω τριγωνικός e Αν τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με * * U U 0 * * 0 * * Αν της μορφής * 0 * * 5 * * 0 * τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με 5 * * U U 0 * * 0 * * 44 g Έστω με ( x ) ( x ) ( x )( x ) Τότε ο είναι τριγωνίσιμος και όχι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν dim V () h Έστω : V V μια τριγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση και U V ένας υπόχωρος τέτοιος ώστε ( U ) U Τότε ό περιορισμός της στο U είναι τριγωνίσιμη απεικόνιση

55 Ασκήσεις4 5 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις 4 Λύση: Έστω, οι ιδιοτιμές του όταν αυτός θεωρηθεί ως στοιχείο του και έστω ότι Από την Πρόταση 7 ξέρουμε ότι Tr και άρα Το ζητούμενο έπεται από το Θεώρημα 4 a Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή και ισχύει dim V (0) Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 0 Ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 είναι (πράξεις) το Σύμφωνα με την απόδειξη του Θεωρήματος, ως U μπορούμε να πάρουμε a 0 οποιονδήποτε πίνακα της μορφής b με b a 0, πχ το 0 0 b Λύση: Λαμβάνοντας υπόψη το προηγούμενο υποερώτημα, μια επιλογή είναιu c Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ( x ) ( x 4) και επομένως ο Α είναι τριγωνίσιμος Επίσης βρίσκουμε ότι μια βάση του V (4) αποτελεί το 0 που περιέχει το στοιχείο αυτό είναι η Μια βάση του 0 0,, (γιατί;) Θέτοντας 0 0 P 0, 0 0 έχουμε ότι ο P είναι αντιστρέψιμος και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε 4 * * P P Τώρα θα φέρουμε το B 5 σε τριγωνική μορφή, πράγμα δυνατό καθώς ( x ) ( x B 4) Υπολογίζοντας κατά τα γνωστά, βρίσκουμε ότι μια βάση του V B (4) αποτελεί το Μια βάση του 0 περιέχει το στοιχείο αυτό είναι η, 0 (γιατί;) Θέτοντας P, έχουμε ότι ο P είναι αντιστρέψιμος και ξέρουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος (χωρίς να υπάρχει ανάγκη να κάνουμε 4 * πράξεις), ότι P BP 0 4 Τώρα θέτοντας που

56 Ασκήσεις U P 0 P , ο U είναι αντιστρέψιμος (ως γινόμενο αντιστρέψιμων) και ξέρουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος, ότι 4 * * U U 0 4 * Απάντηση: a (Βλ άσκηση 4) 4 Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι 0 ( x) ( x) ( x), V (), V (), dim V (), dim V () Άρα ο είναι τριγωνίσιμος (βλ Θεώρημα 4) και όχι διαγωνίσιμος (βλ Θεώρημα ) Από την απόδειξη του Θεωρήματος έπεται ότι ως U μπορούμε να θέσουμε οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα της μορφής 0 * * * 5 Υπόδειξη: Υπολογίστε το ( x) και δείξτε ότι είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] αν και μόνο αν a 0 6 Λύση: a Κάθε πίνακας της μορφής a 0, όπου a, έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο το x 5x 6 a Από το Θεώρημα των Cayley-Hamilto έπεται ότι κάθε πίνακας 0 ικανοποιεί 5 6I 0 Το πλήθος των είναι άπειρο b Έστω ( x) [ x] και ( x) ( x) ( x) Τότε ισχύει ( ) ( ) ( ) 0 από το Θεώρημα των Cayley-Hamilto 7 Υπόδειξη: a Ο είναι διαγωνίσιμος γιατί έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές (Πόρισμα 9) b Χρησιμοποιήστε επαγωγή και το Θεώρημα των Cayley-Hamilto 8 Λύση a Ξέρουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο, ο είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής * 0 Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ίχνος, συμπεραίνουμε ότι * Tr( ) Tr 0

57 Ασκήσεις4 55 b Επειδή ο είναι τριγωνίσμος, ξέρουμε ότι οι ιδιοτιμές του,, στο είναι όλες πραγματικές Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε Tr( ) Άρα ( ) 0 0 Tr Συνεπώς ( x ) ( ) x Το ζητούμενο έπεται από το Θεώρημα 4 c Θα δείξουμε ότι ο είναι διαγωνίσιμος Από την υπόθεση και το υποερώτημα a έχουμε Θα δείξουμε ότι τα,,, είναι διακεκριμένα οπότε ο θα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Έστω, για άτοπο, ότι τα,,, δεν είναι διακεκριμένα Έστω,,, τα διακεκριμένα από τα,,, Τότε Από τη σχέση 0 έπεται ότι i 0 για κάποιο i 0 0 Για κάθε i,, έστω a i το πλήθος των j από τα,,, που είναι ίσα με το i Τότε έχουμε τις σχέσεις a a a 0 a a a 0 a a a 0 Ισχύει ai 0 0 i σύμφωνα με τους ορισμούς Συνεπώς ως προς τους αγνώστους a 0 i i, το προηγούμενο ομογενές τετραγωνικό γραμμικό σύστημα έχει μη τετριμμένη λύση Άρα η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών του συστήματος είναι ίση με μηδέν Αλλά ξέρουμε ότι αυτή (ορίζουσα Vadermode) ισούται με ( j i ) Άρα i j για κάποια i j, άτοπο από τον ορισμό των,,, i j Θα δείξουμε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος Έστω ότι ( x ) ( ) x a x a x a 0 Από το Θεώρημα Cayley-Hamilto έχουμε ( ) a a a0i 0 οπότε λαμβάνοντας ίχνη παίρνουμε ( ) Tr( ) a Tr( ) a Tr( ) a Tr( I) 0 0 Λόγω της υπόθεσης, η παραπάνω σχέση δίνει a0 0 Αυτό σημαίνει ότι το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του (Πόρισμα 6) 9 Λύση a b: Από την υπόθεση έπεται ότι ( x ) ( ) x και άρα 0 από το Θεώρημα Cayley-Hamilto

58 Ασκήσεις4 56 b c : πό 0 έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με 0 Άρα ( x ) ( ) x και 0 όπως πριν c d : πό 0 έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με 0 To ζητούμενο έπεται από την άσκηση 48a d a : ος τρόπος Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε ένα επιχείρημα με γραμμικά συστήματα και την ορίζουσα Vadermode για να δείξετε ότι κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με 0 (βλ λύση της άσκησης 48c) ος τρόπος (Για ποικιλία ας δούμε αναλυτικά μια άλλη λύση) Με επαγωγή στο θα δείξουμε ότι κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με 0 Η περίπτωση είναι άμεση Έστω ότι ( x ) ( ) x a x a x a 0 Από το Θεώρημα Cayley-Hamilto έχουμε ( ) a a a0i 0 οπότε λαμβάνοντας ίχνη παίρνουμε ( ) Tr( ) a Tr( ) a Tr( ) a Tr( I) 0 0 Λόγω της υπόθεσης, η παραπάνω σχέση δίνει a0 0 Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι ιδιοτιμή του (Πόρισμα 6) Τότε, από το Θεώρημα συμπεραίνουμε ότι ο είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής 0 * B 0 Άρα για κάθε θετικό ακέραιο, ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 * 0 Συνεπώς Tr( ) Tr( C ), ( ) ( ) όπου C είναι ο πίνακας που προκύπτει από το B κατόπιν διαγραφής της πρώτης γραμμής και πρώτης στήλης Τώρα η υπόθεση Tr( ) Tr( ) Tr( ) 0 δίνει Tr( C) Tr( C ) Tr( C ) 0 Από την επαγωγική υπόθεση παίρνουμε ότι κάθε ιδιοτιμή του C στο ισούται με 0 Άρα κάθε ιδιοτιμή του B στο ισούται με 0, δηλαδή κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με 0 ος τρόπος (έχει κοινά σημεία με τον προηγούμενο τρόπο) Από την άσκηση 48a αρκεί να δείξουμε ότι αν,, ικανοποιούν 0 για κάθε,, () τότε 0 Χρησιμοποιούμε επαγωγή Η περίπτωση είναι σαφής Έστω Από την () έπεται ότι για κάθε ( x) [ x] με (0) 0 και deg ( x) έχουμε ( ) ( ) 0 Έστω ( x) ( x )( x )( x ) ( )

59 Ασκήσεις4 57 Από ( ) ( ) 0 παίρνουμε ( ) 0 και άρα κάποιο i 0 Έστω 0 Τότε από τη () έχουμε 0 για κάθε,, Από την επαγωγική υπόθεση παίρνουμε 0 m m m m 0 Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( B ) ( B ) για κάθε θετικό ακέραιο m Άρα Tr( ) 0 και το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη άσκηση Υπόδειξη: Αν ο * είναι άνω τριγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας, τότε ο αντίστροφός του είναι άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής # a Υπόδειξη: Αν ( : ˆ, ˆ ) είναι άνω τριγωνικός, όπου ˆ (,, ), θεωρείστε W,, i i Αντίστροφα, αν W W W και dimw i i, εφαρμόστε το θεώρημα επέκτασης βάσης από ΓΑΙ για να συμπεράνετε ότι υπάρχει βάση (,, ) του V τέτοια ώστε για κάθε i τα,, i αποτελούν βάση του W i 0 0 b Δεν αληθεύει Ένα αντιπαράδειγμα είναι η γραμμική : με ( : ˆ, ˆ e e) 0 0, 0 0 W e, W e, e, W e, e, e H δεν είναι τριγωνίσιμη καθώς ( x ) x ( x ) Υπόδειξη: Θεώρημα των Cayley-Hamilto 4 Υπόδειξη: a Έχουμε ( x ) ( x )( x ) x x x και άρα από το Θεώρημα των Cayley- Hamilto I 0 Πολλαπλασιάζοντας με παίρνουμε I 0 και επομένως I b Επαγωγή στο c Διαιρώντας το πολυώνυμο 5 4 ( x) x x x με το ( x ), βρίσκουμε (μετά από λίγες πράξεις) a( x) ( x ) ( x) x Άρα a( ) ( ) ( ) I I γιατί ( ) 0 από το Θεώρημα των Cayley-Hamilto Άρα ως ( x) μπορούμε να θέσουμε το ( x) x 5 Υπόδειξη: Επειδή ( x ) ( ) ( x )( x ), κάθε ιδιοτιμή του στο ικανοποιεί ή ( ) Άρα Θεωρείστε ( ) και εφαρμόστε το Θεώρημα 4

60 Ασκήσεις Υπόδειξη: Από το Πόρισμα 9 έπεται ότι οι δύο ιδιοτιμές του είναι ίσες Από το Θεώρημα έπεται z z ότι ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 Ισχύει z 0 Δείξτε ότι οι 0 και 0 είναι z όμοιοι υπολογίζοντας έναν αντιστρέψιμο P τέτοιον ώστε P P Υπόδειξη: Παρατηρήστε με πράξεις πινάκων ότι h ( ) Tr( ) 9 Υπόδειξη: Αν είναι άνω τριγωνικός, τότε ο είναι κάτω τριγωνικός Ισοδύναμα, αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση με άνω τριγωνικό πίνακα ως προς τη διατεταγμένη βάση ( u, u, u ), τότε ο πίνακας της ως προς τη διατεταγμένη βάση ( u,, u, u) είναι κάτω τριγωνικός 0 Υπόδειξη: Θεωρείστε τριγωνική ανισότητα Λύση a Αν v V ( ), τότε Οι ιδιοτιμές του είναι στές ρίζες της μονάδας Εφαρμόστε την ( v) v g( ( v)) g( v) g( v) ( g( v)) g( v) g( v) V ( ) b Έστω μια ιδιοτιμή της (υπάρχει ιδιοτιμή αφού εδώ ) Η απεικόνιση της υπόδειξης είναι γραμμική, ο χώρος V ( ) είναι μη τετριμμένος και πεπερασμένης διάστασης και Άρα η απεικόνιση της υπόδειξης έχει ένα ιδιοδιάνυσμα u V ( ) Είναι σαφές ότι το u είναι ένα ιδιοδιάνυσμα και της g και της c Θα αποδείξουμε την εξής ισοδύναμη πρόταση Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U τέτοιος ώστε οι U U και U BU είναι άνω τριγωνικοί (Σημείωση: H μετάβαση αυτή στους πίνακες θα μπορούσε να αποφευχθεί αν είχαμε στη διάθεσή μας την έννοια του χώρου πηλίκου, που δεν είναι στην διδακτέα ύλη) Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο Η περίπτωση είναι άμεση Έστω ότι Από το προηγούμενο ερώτημα υπάρχει X που είναι ιδιοδιάνυσμα και του και του B Αφού X 0 υπάρχει διατεταγμένη βάση του της μορφής { X, X,, X } όπου X X Επειδή το X είναι ιδιοδιάνυσμα του και του B οι πίνακες U U, U BU είναι της μορφής * * * * B 0 U U 0 C και U BU C, B 0 0 όπου είναι μια ιδιοτιμή του, B είναι μια ιδιοτιμή του B και προκύπτει ότι ( U U )( U BU ) ( U BU )( U U ), δηλαδή C, C ( ) ( ) B Από B B

61 Ασκήσεις4 59 * * * * B * * B * * , C C B C B C οπότε με πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε * * B B * * 0 0 CC B CBC 0 0 Άρα C C C C B B Από την υπόθεση της επαγωγής υπάρχει αντιστρέψιμος U C U B 0 είναι άνω τριγωνικοί Θέτοντας U U 0 U 0 0 U U U U 0 U 0 U ( ) ( ) U τέτοιος ώστε οι U C U και, ο U είναι αντιστρέψιμος και έχουμε * * * * U C 0 U U CU 0 0 που είναι άνω τριγωνικός Όμοια και ο U BU είναι άνω τριγωνικός d Θα δείξουμε την εξής ισοδύναμη πρόταση Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Τότε για κάθε ιδιοτιμή του B υπάρχει ιδιοτιμή του και ιδιοτιμή B του B τέτοιες ώστε B Χρησιμοποιώντας τον πίνακα U του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε U ( B) U U U U BU Καθένας από τους U U, U BU και U ( B ) U είναι άνω τριγωνικός και επομένως οι ιδιοτιμές του (αντίστοιχα του B, του B ) είναι τα διαγώνια στοιχεία του U U (αντίστοιχα του U BU, του U ( B) U ) Άρα κάθε διαγώνιο στοιχείο του U ( B ) U είναι της μορφής Συνεπώς κάθε B ιδιοτιμή του B είναι της μορφής B Υπόδειξη: c Εφαρμόστε το τελευταίο ερώτημα της προηγούμενης άσκησης για να δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση L R : είναι ένας ισομορφισμός B Λύση: Θα δείξουμε με επαγωγή στο ότι για κάθε 0, I v 0,,,, Έστω ότι ( x) ( ) x a x a Έστω 0 Τότε, από το θεώρημα των Cayley-Hamilto, ( ) a a I 0 Άρα v 0 Έστω ότι ( ) ( a a I ) I,,,, v 0 I,,,, για κάποιο 0 b0,, bv Έχουμε Τότε b b I για κάποια v 0

62 Ασκήσεις4 60 αφού γιατί ο ( b b I ) b b b I,,,,, v 0 v 0 I,,,, I,,,, Δείξαμε ότι για κάθε 0, Επειδή ισχύει και dimw dim I,,,, Συνεπώς έχουμε b b b I,,,,, είναι υπόχωρος του I,,,, W I,,,, v 0 Συνεπώς,,,, Άρα I,,,, I W, έχουμε την ισότητα W I,,,, γιατί ο χώρος I,,,, Άρα παράγεται από στοιχεία Σημείωση Το πρώτο βήμα της απόδειξης θα μπορούσε να γίνει ως εξής Από την Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων υπάρχουν q( x), r( x) [ x] με Από το θεώρημα των Cayley-Hamilto, 4 Λύση a Σωστή Θεωρώντας ότι x q( x) ( x) r( x), deg r( x) q r r I ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 44, οι ιδιοτιμές του είναι οι i, i,,, οπότε οι ιδιοτιμές του είναι οι i,( i),( ),( ) σύμφωνα με το θεώρημα φασματικής απεικόνισης Επειδή i,( i) για άρτιο και i,( i) για περιττό, από το Θεώρημα 4 έπεται ότι η απάντηση είναι οι άρτιοι b Σωστή To πολυώνυμο ( x) ( x) έχει τις ζητούμενες ιδιότητες από το θεώρημα των Cayley- Hamilto 5 Υπόδειξη a Από την υπόθεση ra έπεται ότι κάθε δύο γραμμές του είναι γραμμικά εξαρτημένες (ως στοιχεία v του ) Άρα υπάρχουν b,, b, c,, c με bc bc bc bc bc bc b c b c b c b b Δηλαδή έχουμε BC, όπου B, C c c c Παρατηρούμε ότι CB ( Tr( )) και άρα b B( CB) C Tr( ) BC Tr( ) b Από το a παίρνουμε ( Tr( )),, με επαγωγή στο c Από το a έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι μία από τις 0, Tr( ) που είναι πραγματικοί αριθμοί Άρα το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ] και ο είναι τριγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 4 d Αν Tr( ) 0, δείξτε ότι dim V(0) v και dim V( Tr( )) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα iii) Αντίστροφα, έστω Tr( ) 0 Τότε από το a έχουμε 0 Αν ο ήταν διαγωνίσιμος, από 0 θα είχαμε 0 Αυτό είναι άτοπο αφού ra Σημείωση: Μία άλλη λύση θα μπορούσε να δοθεί ως εξής Το a έπεται από την άσκηση 6 Το b έπεται από το Θεώρημα των Cayley-Hamilto και την άσκηση

63 Ασκήσεις4 6 6 Υπόδειξη: Για κάθε πολυώνυμο ( x ) με (0) 0 έχουμε ( ) C ( B) D Θέτουμε ( x) ( x) ( x) det( B) B 7 Υπόδειξη: Παρατηρούμε ότι ( B) L ( B) R ( B), όπου L :, L ( B) B R :, R( B) B και εφαρμόζουμε τις 4d και 4b Σημείωση: Μία άλλη λύση μπορεί να δοθεί ως εξής ν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0, τότε m 0 από το Θεώρημα των Cayley-Hamilto Δείξτε με υπολογισμό ότι 0 για κατάλληλο m 8 a Είναι τριγωνίσιμη για κάθε c καθώς ( x) ( x) ( x) b Είναι διαγωνίσιμη αν και μόνο αν c V () :{ v v }, V () :{ v } c 9 Υπόδειξη: για κάθε i 4 0 Tr( ) Tr( ) Tr( ) i ( i ) i {0,} i 0 Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) X X( B) για κάθε ( x) [ x] Θεωρείστε ( x) ( x) και δείξτε ότι ο ( B) είναι αντιστρέψιμος m Λύση: Αν υπήρχε B με B, τότε κάθε ιδιοτιμή του B θα ήταν ίση με 0 και άρα m Θεώρημα Cayley-Hamilto Καθώς m έχουμε B 0, άτοπο B 0 από το Λύση: Παρατηρούμε ότι (,0,0) (,0,0) W και (0,,0) (0,,0) W και άρα ο W είναι αναλλοίωτος και επίσης (η ταυτοτική απεικόνιση στο W ) Έχουμε dimw Άρα το W W χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο της είναι αντίστοιχα W ( x ) και x Λύση: Από ( B) 0,, έπεται ότι ( ) B B( B) 0 Άρα κάθε ιδιοτιμή του B είναι ίση με 0, οπότε το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα των Cayley-Hamilto Άλλος τρόπος Από την υπόθεση έπεται ότι ( x B ) ( ) x Από την άσκηση 7 παίρνουμε ( x B ) ( ) x, οπότε το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα των Cayley-Hamilto 4 Υπόδειξη: Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι 0,,0,, τότε οι ιδιοτιμές του I είναι οι,,, 5 Υπόδειξη: Από το θεώρημα φασματικής απεικόνισης, οι ιδιοτιμές του B ( ) είναι οι B ( ), όπου λ διατρέχει τις ιδιοτιμές του 6 Απάντηση: a Σ Έχουμε τριγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U T, όπου T άνω τριγωνικός Αλλά ( U U ) U U, δηλαδή U U T Ξέρουμε ότι ο αντίστροφος ενός αντιστρέψιμου άνω τριγωνικού πίνακα είναι άνω τριγωνικός, δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός Άρα τριγωνίσιμος Η αντίστροφη συνεπαγωγή είναι παρόμοια b Σ Ξέρουμε ότι αν T είναι άνω τριγωνικός, τότε ο ( T ) είναι άνω τριγωνικός για κάθε ( x) [ x] T (βλ Παρατήρηση 4 ) Έχουμε τριγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U T, όπου T άνω τριγωνικός ( U U ) ( T) U ( ) U ( T ) που είναι άνω τριγωνικός Άρα ο ( ) είναι τριγωνίσιμος

64 Ασκήσεις4 6 0 c Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι Έχουμε ( ) 0 x x και άρα ο δεν είναι τριγωνίσιμος από το Θεώρημα 4, αλλά I που είναι τριγωνίσιμος d Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι ο 0 0 Έχουμε ( x ) x ( x ) και άρα ο δεν είναι 0 0 τριγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 4 e Σ Το ( x ) είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 8 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Άρα το είναι ιδιοτιμή του Α Έστω ιδιοδιάνυσμα Επειδή u 0, ξέρουμε από τη ΓΑΙ ότι υπάρχει βάση του u ένα αντίστιχο της μορφής { u, u, u } ( i) Θεωρούμε τον πίνακα U με U u i, i,, Επειδή το σύνολο { u, u, u } είναι βάση του, ξέρουμε από τη ΓΑΙ ότι ο U είναι αντιστρέψιμος Από την απόδειξη του Θεωρήματος 4 ξέρουμε ότι η πρώτη στήλη του U U είναι η Σ Το είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -5 Ως U μπορούμε να πάρουμε 0 0 οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα με πρώτη στήλη τη 0 g Σ Από το Θεώρημα 4, ο Α είναι τριγωνίσιμος Έχουμε dim V (), dim V (), dim V () (Θεώρημα ) Από το Θεώρημα 0 iii), ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος dim V () dim V () dim V () 4 dim V () h Σ Έστω g ο περιορισμός της στο U Από την Πρόταση 4 έπεται ότι το πολυώνυμο ( x ) διαιρεί το ( x) (γιατί;) Από το Θεώρημα 4, το ( x) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] Άρα το ίδιο ισχύει για το ( x ), οπότε η g είναι τριγωνίσιμη σύμφωνα με το Θεώρημα 4 g g Ο ίδιος ο Cayley στην εργασία Memoir o the Theory o Matrices (858), γράφει τα εξής για το θεώρημα που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα των Cayley και Hamilto I obtai the remarable theorem that ay matrix whatever satisies a algebraical equatio o its ow order, the coeiciet o the highest power beig uity, ad those o the other powers uctios o the terms o the matrix, the last coeiciet beig i act the determiat;

65 Ασκήσεις5 6 Ασκήσεις5 Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν m ( x) γινόμενο διακεκριμένων μανικών πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] Αντίστοιχα των παραπάνω για το ελάχιστο πολυώνυμο γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα (Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση) Έστω, B Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα o Υπάρχει αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε οι P P και P BP είναι διαγώνιοι o Οι Α,Β είναι διαγωνίσιμοι και ισχύει B B Συνιστώμενες ασκήσεις: -8, -, 5-9, -6, -7, 4 () Έστω a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του b Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος c Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος και βρείτε ( x) [ x] βαθμού το πολύ με d Bρείτε ( x) [ x] βαθμού το πολύ με 4 ( ) () Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των , B και εξετάστε αν οι, B είναι όμοιοι () Έστω vˆ ( v, v, v ) μια διατεταγμένη βάση του και :, ( xv yv zv ) ( x y) v ( y z) v ( x y z) v Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της και εξετάστε αν υπάρχει διατεταγμένη βάση û του ( : uˆ, uˆ ), όπου Α είναι ο πίνακας της προηγούμενης άσκησης 4 () Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x], ( ( x)) ( x) ( x) a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της και εξετάστε αν η είναι διαγωνίσιμη b Βρείτε τη διάσταση κάθε ιδιόχωρου της ( ) τέτοια ώστε 5 () Έστω τέτοιος ώστε ( I )( 4 I )( 7 I ) 0 Εξετάστε αν ο είναι a διαγωνίσιμος, b αντιστρέψιμος 6 () Να καθοριστούν όλοι οι τέτοιοι ώστε 0 και Tr 6 7 () Να βρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο του Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος t 8 () Έστω Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης :, ( ), και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη

66 Ασκήσεις () Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, τότε κάθε στοιχείο v V γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως v v v0 v, όπου v er( V ),,0, 0 () Δείξτε ότι m ( x) m ( x) για κάθε t () Έστω και W ο υπόχωρος του dimw deg m ( x) που παράγεται από τα στοιχεία B () Έστω, B, C και D 0 C a Δείξτε ότι αν ο D είναι διαγωνίσιμος, τότε οι και C είναι διαγωνίσμοι b Ισχύει το αντίστροφο του a; () Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του 4 () Δείξτε τα εξής a Αν deg m ( x) deg ( x), τότε m ( x) ( ) ( x) b Έχουμε m( x) x και mb ( x) ( x ), όπου , B () Έστω a b d 0 c e Αποδείξτε ότι ο Α είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a 0 6 () Έστω a Βρείτε τις τιμές του ώστε deg m( x) b Για την τιμή του που βρήκατε πριν, υπολογίστε τον με χρήση του m ( x ) I,,, Δείξτε ότι m c () Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος για κάθε θετικό ακέραιο m () Να βρεθούν οι τιμές του c τέτοιες ώστε το πολυώνυμο ( x) ( x 5 x c) να μηδενίζεται από τον πίνακα

67 Ασκήσεις () Έστω : γραμμική απεικόνιση με m ( x) x( x ) Βρείτε όλα τα a, b, c με 8 a b c 0 9 () Έστω a 0 a a Για καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις βρείτε όλες τις τιμές του a (αν υπάρχουν) τέτοιες ώστε να αληθεύει η αναγραφόμενη ιδιότητα a Υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με ο P P άνω τριγωνικό b Υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P με P P είναι διαγώνιο c Ο πίνακας Α μηδενίζει το πολυώνυμο ( x)( x)( x 00) 0 () Έστω τέτοιος ώστε () Έστω, B με I, B I, I 0, B B B I 0 a Να δειχθεί ότι οι Α, Β έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο b Αληθεύει ότι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο; c Εξετάστε αν οι, B είναι τριγωνίσιμοι () Έστω () Έστω m για κάποιο θετικό ακέραιο m και Tr Αποδείξτε ότι I I με I 4I ή 5I i, i,,5, με i 9i 0I 0 Δείξτε ότι δύο από τους i Δείξτε ότι ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω περιπτώσεις ή όμοιος με τον diag (4, 4,5) ή όμοιος με τον diag (4,5, 5) είναι όμοιοι 4 () Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε ( m ( x), m ( x)) a Δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση mg ( ) : V V είναι ισομορφισμός b Δείξτε ότι αν er {0 V }, τότε er g {0 V } 5 () Έστω a0 0 0 a 0 0 a 0 0 a Στην άσκηση 7, είδαμε ότι ( x ) ( ) ( x a x a 0) Δείξτε ότι m( x) ( ) ( x) 6 () Έστω και ( x) [ x] Ο ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ( ( x), m ( x)) 7 () Έστω ένας αντιστρέψιμος, τριγωνίσιμος πίνακας τέτοιος ώστε m ( x) m ( x) Δείξτε ότι ( I ) 0 8 () a Έστω, B τέτοιοι ώστε m( x) mb ( x) Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι b Έστω C, D Δείξτε ότι ( x) ( x) και m ( x) m ( x), αλλά οι πίνακες C, D δεν είναι όμοιοι C D C D 9 () Έστω Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση R :, R ( B) B Δείξτε τα εξής g

68 Ασκήσεις5 66 a Αν ( x) [ x], τότε ( R )( B) B ( ) για κάθε B, και b m ( x) m ( x) R Αληθεύει ότι ( x) ( x) ; R 0 () Έστω, B Ξέρουμε ότι B ( x) B( x) (βλ άσκηση 7) Αληθεύει ότι mb ( x) mb( x) ; (Βλ άσκηση 540 για τη σχέση των δύο ελαχίστων πολυωνύμων) () Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα 44 a Υπάρχει με ( x ) ( x )( x ) και m ( x) ( x) ( x ) 5 b Έστω τέτοιος ώστε 5 I 0 Τότε ο είναι διαγωνίσιμος * 0 * c Υπάρχει με m( x) ( x )( x ) και όμοιο με πίνακα της μορφής * * ; * 0 * () Αν : V V είναι διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση και U είναι -αναλλοίωτος υπόχωρος του V, τότε ο περιορισμός της στο U είναι διαγωνίσιμη () Έστω με det 0 Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός B με B B 0 4 () Έστω, B τέτοιοι ώστε και B B Δείξτε τα εξής a Ο είναι διαγωνίσιμος και ra Tr( ) b Οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν ra rab 5 () Έστω, B με B B 0 Δείξτε τα εξής: a Αν Tr( ) Tr( B), τότε οι, B είναι όμοιοι b Αν B B, τότε ο ( B) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] () Έστω με ( x ) x ( x )( x ) Δείξτε ότι αν X Y 0, όπου X και Y, τότε () Έστω, B με m( x) ( x )( x ) και ( x B ) ( x ) ( x 4) Δείξτε ότι αν V() VB () και V () V (4), τότε B B B () Έστω, B τέτοιοι ώστε B B, B I Τότε ο B I είναι διαγωνίσιμος και αντιστρέψιμος 9 () Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν υπάρχουν ai και Pi με a P a P P P PP P P για κάθε i, j, i i, i j j i 40 () Έστω, B Δείξτε ότι mb ( x) mb( x), ή mb ( x) xmb( x), ή mb( x) xmb ( x) 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα Έστω m a 0 για κάποιο θετικό ακέραιο m 0 b αντιστρέψιμος (0) 0 m c Αν 4, τότε ο είναι διαγωνίσιμος 0 d Αν B, B 0 Τότε mb ( x) m( x) e Αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε m ( x) m ( x) για κάθε B B B

69 Ασκήσεις5 67 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις5 Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι (μετά από λίγες πράξεις) x ( x) det x ( x ) ( x 5) x Ξέρουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και έχει τις ίδιες ρίζες με αυτό (βλ Πόρισμα 4 και Θεώρημα 6) Άρα m ( x) ( x )( x 5) ή m ( x) ( x ) ( x 5) Ελέγχουμε αν ο ( I)( 5 I) είναι ίσος με 0 Έχουμε ( )( 5 ) Συνεπώς m( x) ( x )( x 5), που είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβαθμίων μονικών παραγόντων Άρα ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Ο είναι αντιστρέψιμος αφού (0) 5 0 Από m ( x) ( x )( x 5) x 6x 5 παίρνουμε I I ( 6 ) ( 6 I) Ένα ζητούμενο ( x) είναι το ( x) ( x 6 I) Με Ευκλείδεια διαίρεση βρίσουμε x ( x 6x ) m ( x) 56x 55 και επομένως I Ένα ζητούμενο ( x) είναι το ( x) 56x 55 I Υπόδειξη: Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ( x) ( x) ( x ), m ( x) ( x ), m ( x) ( x ) B B Οι, B δεν είναι όμοιοι, γιατί όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο (Πρόταση 8) 0 Απάντηση: Έχουμε ( : ˆ, ˆ v v) 0 και m ( x) m( : vˆ, vˆ )( x) ( x ) Δεν υπάρχει πίνακας με τη δοσμένη ιδιότητα καθώς m ( x) ( x) ( x) m ( x) 4 Απάντηση: Θεωρώντας τη διατεταγμένη βάση (, x, x ), εύκολα βρίσκουμε ότι ο αντίστοιχος πίνακας της είναι ο Έχουμε m ( x) ( x ), η δεν είναι διαγωνίσιμη και υπάρχει μοναδικός ιδιόχωρος και η ζητούμενη διάσταση είναι dim V ( ) 5 Έστω ( x) ( x )( x 4)( x 7) [ x] Έχουμε ( ) 0 και άρα m ( x) ( x )

70 Ασκήσεις5 68 a Από την τελευταία σχέση και το γεγονός ότι το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων στο [ x], έπεται ότι το m( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων στο [ x] Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα b ος τρόπος Από m( x) ( x ) και το Θεώρημα 6 έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε, 4, 7 Άρα το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του και επομένως ο είναι αντιστρέψιμος ος τρόπος Υπόδειξη Ο μηδενίζει ένα πολυώνυμο που έχει μη μηδενικό σταθερό όρο Άρα είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση a (Σημείωση Αυτός ο τρόπος δεν χρησιμοποιεί ιδιοτιμές ή ελάχιστο πολυώνυμο αλλά μόνο τον ορισμό αντιστρέψιμου πίνακα) 6 Επειδή, έχουμε m ( x) x( x )( x ) Επειδή το x( x )( x ) είναι 0 ( I)( I) γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβάθμιων μονικών παραγόντων στο [ x], το ίδιο ισχύει και για το m( x ) και επομένως ο Α είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Επίσης, κάθε ιδιοτιμή του είναι ένας από τους αριθμούς 0,, Το άθροισμα των ιδιοτιμών του είναι 6 Επειδή ο είναι, συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές είναι,, Συνεπώς ο είναι όμοιος με τον I Άρα I 7 Παρατηρούμε ότι B 0 C, 0 D 5 4 όπου B, C, D (7) 0 5 Έχουμε ( x) ( x ) Άρα Από B ( x) ( x )( x 7) C ( x) ( x 7) D B C D ( x B ) ( x ) συμπεραίνουμε ότι mb ( x) x mb ( x) ( x ) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x ) ( x 7) σύμφωνα με την Πρόταση 4 γιατί το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Επειδή B I 0, έχουμε m ( ) ( ) B x x Από ( x C ) ( x )( x 7) έπεται άμεσα ότι mc ( x) ( x )( x 7) Έχουμε md ( x) x 7 Σύμφωνα με το Πόρισμα 0 m ( x) ( m ( x), m ( x), m ( x)) ( x ) ( x 7) B C D Ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος αφού το m ( x) διαιρείται με το ( x ) (Πόρισμα ) 8 Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι Θεώρημα Απάντηση: m x x ( ) Είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με το 9 Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας το ελάχιστο πολυώνυμο, δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη t t 0 Υπόδειξη: Αν ( x) [ x], τότε ( ) ( ) και άρα ( ) 0 ( t ) 0 Υπόδειξη: Δείξτε ότι τα στοιχεία I,,,,, όπου deg m( x), είναι μια βάση του W ( ) * a Λύση: Αν ( x) [ x], τότε ( D) 0 ( C) Για ( x) md ( x) παίρνουμε

71 Ασκήσεις5 69 md ( ) * 0 md( ) md( C) 0 0 md ( C) m ( x) m ( x), m ( x) m ( x) D C D Επειδή ο D είναι διαγωνίσιμος, το m ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων D στο [ x] και άρα το ίδιο ισχύει για καθένα από τα m ( x ), m ( x ) Άρα οι, C είναι διαγωνίσιμοι b Απάντηση: Δεν ισχύει Ένα παράδειγμα είναι B C (), D 0 Ο D δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς m ( ) ( ) D x x Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι C και άρα m ( x) x( x ) Δείξτε ότι m ( x) x( x ) 4 5 aλύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το ( x ) ( x ) Από το Πόρισμα 4 και το Θεώρημα 6 έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του είναι ένα από τα ( x )( x ), ( x ) ( x ), ( x )( x ), ( x ) ( x ) Από το Πόρισμα, ο Α διαγωνοποιείται αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το ( x )( x ) Είναι σαφές ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το ( x )( x ) αν και μόνο αν ( I )( I ) 0 Υπολογίζοντας βρίσκουμε a ( I)( I ) ad ae b d 0 Επομένως ( I)( I ) 0 a 0 (και b, c, d, e τυχαία) b Απάντηση: a 0 (και b, c τυχαία) 6 Απάντηση: a Έχουμε 7 Το b Λύση: deg m( x) ( I) 0 0 ( ) ( ) 0 m x x x x I Στην περίπτωση αυτή m x x ( ) ( ) I I m c Λύση: Οι ιδιοτιμές του είναι,, Αν ο είναι διαγωνίσιμος για κάποιο m, τότε θα είναι όμοιος με m m m τον I και άρα ίσος με αυτόν, I Δηλαδή ο μηδενίζει το πολυώνυμο x Άρα m ( x) x Από το a έπεται ότι ( x ) m ( x) και επομένως m ( x) x m Πρόταση 0 προκύπτει ότι όλες οι ρίζες του x στο είναι απλές 8 8 ( x ) ( x 5 x c) μηδενίζεται από τον πίνακα αν και μόνο αν Αυτό είναι άτοπο καθώς εφαρμόζοντας την m x x x x c ( ) ( ) 8 ( 8 5 ) Όπως στην άσκηση 5, βρίσκουμε ότι m( x) ( x)( x ) Επειδή τα πολυώνυμα x, x είναι σχετικά πρώτα, έχουμε σύμφωνα με την Πρόταση m ( x) ( x ) ( x 5 x c) x x 5x c Από την Πρόταση έχουμε 8 8 x x 5x c 5c 0 c 4 8 Υπόδειξη:

72 Ασκήσεις x x ax bx c a b c 0 x( x ) x ax bx c 8 ( x ) x ax bx c c 0 c 0 8 x x ax bx c a b c 0 a 80, b 89, c 0 80 x 8x ax b 8 a b 0 Στην τρίτη ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το κριτήριο πολλαπλής ρίζας με την παράγωγο 9 Έχουμε ( x ) det( xi ) ( x a )( x )( x ) και οι ιδιοτιμές του Α είναι a,, a Επειδή για κάθε a το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ], ο Α είναι τριγωνίσιμος για κάθε a (Θεώρημα 4) b Αν a,, τότε ο Α έχει τρεις διακεκριμένες ιδιοτιμές και άρα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Αν a, τότε dim V () ra( I ) 0 0 ra που είναι διάφορο της πολλαπλότητας m() της ιδιοτιμής του Α Συνεπώς για a, ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 0 Όμοια αποδεικνύεται ότι για a, dim V ( ) m( ) και άρα ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος Από τα παραπάνω έπεται ότι, δεδομένου του a, υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P αν a, τέτοιος ώστε ο P P είναι διαγώνιος αν και μόνο c Αν ο Α μηδενίζει το ( x)( x )( x 00), τότε ισχύει m ( x) ( x )( x)( x 00) Επειδή το είναι ιδιοτιμή του έχουμε x m ( x) σύμφωνα με το Θεώρημα 6, οπότε x ( x)( x)( x 00) που είναι άτοπο Άρα δεν υπάρχει a τέτοιο ώστε ο Α να μηδενίζει το ( x)( x )( x 00) 0 Από την υπόθεση m I συνάγουμε ότι m Ο Α διαγωνοποιείται Πράγματι, το ελάχιστο πολυώνυμο m( x ) του Α διαιρεί το x και επειδή το m x έχει διακεκριμένες ρίζες στο (όπως προκύπτει εφαρμόζοντας την Πρόταση 0), το ίδιο συμβαίνει για το m( x ) Άρα ο διαγωνοποιείται σύμφωνα με το Πόρισμα m Κάθε ιδιοτιμή του Α ικανοποιεί τη σχέση Έστω,, (όχι αναγκαστικά διακεκριμένες) οι ιδιοτιμές του Α Ξέρουμε ότι Tr (Πόρισμα 7) Από την τριγωνική ανισότητα για μέτρα μιγαδικών παίρνουμε Tr Άρα η ανισότητα είναι ισότητα Συνεπώς οι μιγαδικοί αριθμοί,, έχουν το ίδιο πρωτεύον όρισμα Κάθε m i έχει μέτρο αφού i Άρα Από τη σχέση Tr παίρνουμε Άρα η διαγώνια μορφή του Α είναι ο πίνακας I, οπότε PI P για κάποιον αντιστρέψιμο P Επομένως I a Ο Α μηδενίζει το x x x ( x )( x ) και άρα m x x x Επειδή τα πολυώνυμα x και x είναι ανάγωγα στο [ x] x x x x,, ( )( ) ( ) ( )( ) παίρνουμε ότι το m ( x ) είναι ένα από τα

73 Ασκήσεις5 7 Από την υπόθεση I και το γεγονός ότι deg m( x) (ο πίνακας είναι ), παίρνουμε ( ) m x x Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι m ( ) B x x b Έχουμε m ( x) ( x) (Πόρισμα 4), deg ( x) deg m ( x) (από το a), και τα ( x), m ( x) έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο συντελεστή Άρα ( x) m( x) c Δεν είναι τριγωνίσιμοι σύμφωνα με το Θεώρημα 4 γιατί το χαρακτηριστικό τους πολυώνυμο είναι το x που δεν είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο [ x] Από τη σχέση έπεται ότι m x x x x x Άρα έχουμε τρεις I ( ) 9 0 ( 4)( 5) περιπτώσεις ) m ( ) 4 4 x x I ) m ( ) 5 5 x x I ) m( x) ( x4)( x 5) διαγωνίσιμος (βλ Πόρισμα 9 ή Πόρισμα ) Στην περίπτωση αυτή, οι ιδιοτιμές του είναι οι 4, 4,5 ή οι 4,5,5 σύμφωνα με το Θεώρημα 6 Άρα στην περίπτωση αυτή, ο είναι όμοιος με τον diag (4, 4,5) ή diag (4,5, 5) Οι τέσσερις πίνακες 4 I, 5 I, diag (4, 4,5), diag (4,5, 5) είναι ανά δύο μη όμοιοι (πχ έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά πολυώνυμα) και άρα ισχύει ακριβώς μια από τις ανωτέρω περιπτώσεις Απάντηση: Έπεται άμεσα από την προηγούμενη άσκηση καθώς έχουμε 5 πίνακες και 4 κλάσεις ομοιότητας Άρα υπάρχουν δύο πίνακες που ανήκουν στην ίδια κλάση ομοιότητας 4 a Από το Θεώρημα 6 υπάρχουν a( x), b( x) [ x] τέτοια ώστε m ( x) a( x) m ( x) b( x) Άρα m ( g) a( g) m ( g) b( g) m ( g) a( g) V g Από m ( g) a( g) έπεται ότι η γραμμική απεικόνιση m ( g) : V V είναι επί Επειδή ο V είναι V πεπερασμένη διάστασης, η m ( g) : V V είναι ισομορφισμός b Έστω ότι και ο er και ο er g είναι μη τετριμμένοι Τότε το 0 είναι ιδιοτιμή και της και της g Από το Θεώρημα 6 έπεται ότι το x διαιρεί και το m ( x ) και το mg ( x ), άτοπο αφού ( m ( x), m ( x)) 5 Υπόδειξη: Παρατηρήστε αρχικά ότι ότι τα στοιχεία g I E E, E E, E E,, E E Δείξτε ότι από αυτό έπεται I,,,, m x x συνέχεια δείξτε ότι ( ) ( ) ( ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως deg m ( x) deg ( x) Στη 6 ος τρόπος Έστω ότι ( ( x), m ( x)) Τότε από το Θεώρημα 6 έχουμε ( x) a( x) m ( x) b( x) για κάποια a( x), b( x) [ x] Άρα ( ) a( ) και ο ( ) είναι αντιστρέψιμος I Αντίστροφα, έστω ότι ο ( ) είναι αντιστρέψιμος Έστω p( x ) ένας κοινός παράγοντας των ( x), m( x) με deg p( x) Τότε ( x) p( x) c( x), m( x) p( x) d( x) για κάποια c( x), d ( c) [ x] Από την πρώτη σχέση παίρνουμε ( ) p( ) c( ), οπότε det ( ) det p( ) det c( ) και άρα det p( ) 0, δηλαδή ο p( ) είναι αντιστρέψιμος Από τη δεύτερη g

74 Ασκήσεις5 7 σχέση παίρνουμε 0 m ( ) p( ) d( ) και επειδή ο p( ) είναι αντιστρέψιμος έχουμε d( ) 0 Άρα m ( ) ( ) x d x και deg m( x) deg d( x), άτοπο αφού m( x) p( x) d( x) και deg p( x) ος τρόπος Εδώ χρησιμοποιούμε το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας θεωρώντας ότι και ( x), m ( x) [ x] Έχουμε ( ( x), m( x)) τα ( x), m( x) δεν έχουν κοινή ρίζα στο κάθε ιδιοτιμή του δεν είναι ρίζα του ( x) το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του ( ) αντιστρέψιμος Στην προ-τελευταία ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης που λέει ότι κάθε ιδιοτιμή του ( ) είναι της μορφής ( ), ιδιοτιμή του 7 Υπόδειξη: Αν το είναι μια ιδιοτιμή του, τότε καθένα από τα,,,, είναι μια ιδιοτιμή του Επειδή, προκύπτει ότι,0, Συμπεράνετε ότι ( x ) ( ) ( x ) 8 Υπόδειξη: a Διακρίνετε περιπτώσεις αν το ελάχιστο πολυώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες ή πολλαπλή ρίζα Στην ειδική περίπτωση που m( x) mb ( x) ( x ), χρησιμοποιώντας τριγωνοποίηση έπεται ότι αρκεί να a b δειχτεί ότι οι, 0 0, είναι όμοιοι Δείξτε ότι οι πίνακες αυτοί είναι όμοιοι υπολογίζοντας έναν a b αντιστρέψιμο P με P P 0 0 b Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ra 9 Υπόδειξη: a Αποδείξτε ότι R ( B) B για κάθε θετικό ακέραιο b Αρκεί να δειχτεί ότι για κάθε ( x) [ x] ισχύει ( R ) 0 ( ) 0 Η ισοδυναμία αυτή έπεται από το a Γενικά δεν αληθεύει ότι ( x) ( x) καθώς έχουν βαθμούς αντίστοιχα v, v 0 Απάντηση: Δεν αληθεύει Ένα αντιπαράδειγμα είναι m ( ) B x x , B 0 0 Έχουμε mb ( x) x και a Λάθος γιατί το m( x ) δεν διαιρεί το ( x ) (βλ Πόρισμα 4) 5 b Σωστό Έχουμε ότι ( ) 5 5 m x x x Αρκεί να δείξουμε ότι το x 5x δεν έχει διπλή ρίζα στο, γιατί τότε θα συμβαίνει το ίδιο για το m ( x ) και άρα ο θα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 5 Έστω ότι το ( x) x 5x έχει διπλή ρίζα στο, οπότε θα έχει κοινή ρίζα με την παράγωγό του ( x) 5x 5 σύμφωνα με την Πρόταση 0 Αν 5a 5 0, τότε a a, οπότε 5 ( a) 0 a 5a 0 a 5a 0 a 4 4 Αλλά το a 4 δεν είναι ρίζα του ( x) 5x 5, άτοπο * 0 * c Λάθος καθώς το είναι ιδιοτιμή του * * αλλά όχι του * 0 * Υπόδειξη: Δείξτε ότι m ( x) m ( x ) U Υπόδειξη: Αν m ( x) x ( x), τότε μια επιλογή είναι B ( ) Δικαιολογείστε γιατί B 0

75 Ασκήσεις5 7 4 aυπόδειξη: Ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής diag(0,,0,,,,,, ), όπου a, b, c 0, a b c και ra b c Τότε ο είναι όμοιος με το 5 Υπόδειξη: a Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι με πίνακες της μορφής a b c diag(0,,0,,,) a bc diag (,,,0,,0), a diag(,,,0,,0), αντίστοιχα, όπου Tr( ) a και Tr( B) b Τώρα αν Tr( ) Tr( B), έχουμε a b οπότε οι, B είναι όμοιοι με τον ίδιο πίνακα diag (,,,0,,0) και άρα όμοιοι b Χρησιμοποιείστε το θεώρημα ταυτόχρονης διαγωνοποίησης για να δείξετε ότι ο B είναι διαγωνίσιμος 6 Υπόδειξη: Θεωρώντας διαστάσεις ιδιόχωρων δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος Άρα m ( x) x( x )( x ) (γιατί;) και επομένως ( I)( I) Λύση: Έχουμε V () V () επειδή ο είναι διαγωνίσιμος Από αυτό και την υπόθεση 6 V() VB (), V() VB (4) προκύπτει ότι υπάρχει βάση { X,, X 6} του, όπου κάθε X i είναι ιδιοδιάνυσμα και του και του B Το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα ταυτόχρονης διαγωνοποίησης 8 Yπόδειξη: Επειδή κάθε ρίζα στο του x είναι απλή, οι, B είναι διαγωνίσιμοι Επειδή ισχύει B B, είναι ταυτόχρονα διαγωνίσμοι Δείξτε ότι από αυτό έπεται ότι ο B I είναι διαγωνίσιμος (Παρόμοιο επιχείρημα υπάρχει στη λύση της άσκησης 55b) Άρα κάθε ιδιοτιμή του B I είναι της μορφής 8 80, όπου Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών, δείξτε ότι B 0 B B 9 Υπόδειξη: Έστω ότι ο Α είναι όμοιος με το diag(,, ) Παρατηρήστε ότι diag(,, ) E E, E E και E E 0 για κάθε i j, όπου E diag(0,,,,0) και το βρίσκεται στη θέση ( i, i ) ii Για την άλλη κατεύθυνση, δείξτε ότι τα P i της εκφώνησης διαγωνοποιούνται ταυτόχρονα ii 40 Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( B) ( B) για κάθε ( x) [ x] Για ( x) m ( x) προκύπτει ότι m ( x) xm ( x ) και για ( x) m ( x) προκύπτει ότι m ( x) xm ( x ) B 4 Απάντηση: a Σ b Σ c Σ d Σ e Σ The Matrix B B ii ii jj B b B B

76 Ασκήσεις6 74 Ασκήσεις6 Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόμενο Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου του ή (ορισμοί και ιδιότητες) Ιδιότητες Ερμιτιανών πινάκων: o πραγματικές ιδιοτιμές, o καθετότητα ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές Ιδιότητες μοναδιαίων πινάκων: o κάθε ιδιοτιμή έχει μέτρο, o χαρακτηρισμός μοναδιαίων με τη διατήρηση του εσωτερικού γινομένου, o χαρακτηρισμός μοναδιαίων με ορθοκανονικότητα γραμμών ή στηλών Συνιστώμενες ασκήσεις: -4, 6-0 () Έστω u, v () a Αν u, v 0, τότε u v u v Όταν, η ισότητα αυτή εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα b Αν u v, τότε τα u v, u v είναι κάθετα Όταν, η ισότητα αυτή λέει ότι οι διαγώνιοι c ρόμβου τέμνοντα κάθετα u v u v u v Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης αυτής όταν a Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του b Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του που περιέχει το διάνυσμα u (,0,) που περιέχει τα διανύσματα u u και V o υπόχωρος που παράγεται από τα,,, () Έστω { u,, u } ορθοκανονική βάση του Δείξτε ότι μια ορθοκανονική βάση του V είναι το σύνολο { u,, u } 4 () Έστω V ο υπόχωρος του 5 (,0, ), (0,,0) u u όπου 4 που παράγεται από τα διανύσματα v (,,, ), v (,,, ), v (4, 7,8, 4) Αφού βρείτε τη διάσταση του V, βρείτε μια ορθοκανονική βάση του V και μια ορθοκανονική βάση του V 5 () Δίνονται οι υπόχωροι του και W ( x, y, z) x y z 0 V ( x, y, z) x y z 0 Βρείτε μια ορθοκανονική βάση για καθένα από τους υπόχωρους V, V, V W, ( V W ) 6 () Έστω W, W Δείξτε ότι ( W W ) W W και ( W W ) W W 7 () Έστω, B a t t b * det( ) det( ) det * c * d e ( ) Δείξτε τις ακόλουθες σχέσεις για κάθε * * ( B) B * * * ( B) B * * * * g Αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε * 8 () Έστω Αν ( x) [ x], ( x) ax a x a0, με ( x) συμβολίζουμε το πολυώνυμο ( x) a x a x a Δείξτε τις ακόλουθες προτάσεις 0

77 Ασκήσεις6 75 a * ( x) ( x) b m * ( x) m ( x) * c Το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του * 9 () Έστω με Δείξτε ότι ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής diag(0,,0,,, ) και ότι ra ra( I ) 0 () Έστω, B μοναδιαίοι πίνακες Δείξτε τις ακόλουθες προτάσεις a Οι, t, είναι μοναδιαίοι b Αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε και το είναι ιδιοτιμή του * c det d Οι B και B είναι μοναδιαίοι () Να βρεθεί μοναδιαίος πίνακας με πρώτη γραμμή τη () Έστω U μοναδιαίος πίνακας τέτοιος ώστε det( U ) 0 Τότε ο H που ορίζεται από ih ( U I )( U I ) είναι Ερμιτιανός () Έστω Δείξτε ότι αν ισχύουν οποιεσδήποτε δύο από τις επόμενες προτάσεις, τότε ισχύει και η τρίτη a Ο είναι Ερμιτιανός b Ο είναι μοναδιαίος c I 4 () Έστω ένας μοναδιαίος πίνακας Δείξτε τα εξής a Αν det και περιττός, τότε το είναι ιδιοτιμή του b Αν det και άρτιος, τότε το είναι ιδιοτιμή του c Αν det, τότε το είναι ιδιοτιμή του 5 () Έστω, B μοναδιαίοι πίνακες τέτοιοι ώστε det det B Τότε det( B) 0 * 6 () Έστω τέτοιος ώστε Δείξτε τα εξής a Κάθε ιδιοτιμή του είναι της μορφής iμ, μ b Ο πίνακας I είναι αντιστρέψιμος και det( I ) c Ο πίνακας ( I )( I ) είναι μοναδιαίος 7 () Έστω Δείξτε ότι αν X X για κάθε X 8 () Έστω τέτοιος ώστε X, X 0 για κάθε X συμπέρασμα αν και X, X 0 για κάθε X I, τότε ο είναι μοναδιαίος Δείξτε ότι 0 ; Αληθεύει το προηγούμενο 9 () Αποδείξτε την άσκηση 67 χρησιμοποιώντας την άσκηση 68 0 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Αν οι, B είναι Ερμιτιανοί, τότε ο B είναι Ερμιτιανός b Αν οι, B είναι Ερμιτιανοί, τότε ο B είναι Ερμιτιανός c Αν οι, B είναι Ερμιτιανοί και B B, τότε ο B είναι Ερμιτιανός cos si 0 0 si cos 0 0 d Ο πίνακας είναι μοναδιαίος 0 0 cos si 0 0 si cos e Αν, B είναι μοναδιαίοι, τότε κάθε ιδιοτιμή του B έχει μέτρο Δεν υπάρχει μοναδιαίος τέτοιος ώστε ( I )( I )( 4 I ) 0

78 Ασκήσεις6 76

79 Ασκήσεις6 77 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις6 b u v, u v u, u u, v v, u v, v u u, v u, v v 0 u, u u, v v, u v, v u, u u, v v, u v, v c u v u v u v, u v u v, u v u, u v, v u v Γεωμετρική ερμηνεία: το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θεωρήσουμε μια βάση του που περιέχει το u, για παράδειγμα τη u, u, u, όπου u (,0,0), u (0,,0), και να εφαρμόσουμε σε αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι κάθε διάνυσμα κάθετο στο u είναι της μορφής ( x, y, x), x, y Επιλέγουμε v (0,,0) και w (,0, ) Τα u, v, w αποτελούν ορθοκανονική βάση του Λύση: Έχουμε,, u u V αφού καθένα από τα u,, u είναι κάθετο με καθένα από τα u,, u Ξέρουμε ότι dimv dim V Έχουμε dim u,, u επειδή τα u,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα dimv dim u,, u Επειδή,, u, u V παίρνουμε,, u u V 4 Απάντηση για V : dimv Εφαρμόζοντας τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt στη βάση u u v, v του V βρίσκουμε την ορθοκανονική βάση {, }, όπου u (,,, ), u 4,7,, u u Υπόδειξη για V : ος τρόπος Έχουμε V x y z w x y z w x y z w 4 {(,,, ) 7 0} Λύνοντας το σύστημα, βρείτε μια βάση του V και στη συνέχεια εφαρμόστε σε αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt ος u u τρόπος: Επαυξήστε την ορθοκανονική βάση {, } του V που βρήκατε πριν, σε ορθοκανονική βάση u u u u {,, u, u4} u u του 4 Τότε 4 { u, u } είναι ορθοκανονική βάση του V σύμφωνα με την άσκηση 6, 5 Υπόδειξη: Επειδή ( x, y, z) V x y z 0 ( x, y, z) ( y z, y, z) y(,,0) z(,0,), όπου y, z, και τα (,,0),(,0) είναι γραμμικά ανεξάρτητα (γιατί;), μια βάση του V είναι η {(,,0),(,0,)} Εφαρμόστε στη βάση αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt για να βρείτε ορθοκανονική βάση του V V ( x, y, z) x y z 0 U, όπου U u, u (,) Άρα Παρατηρούμε ότι V U U και μια ορθοκανονική βάση του V είναι το σύνολο { u} { 6(,,)} u Λύνοντας το σύστημα x y z x y z 0, βρίσκουμε V W (,0, ) οπότε μια ορθοκανονική βάση του V W είναι το σύνολο { (,0, )} Επειδή V W (,0, ), έχουμε ( V W ) {( x, y, z) x z 0} Δείξτε ότι μια βάση του ( V W ) είναι το σύνολο {(0,,0),(,0,)} Επειδή τα (0,,0),(,0,) είναι κάθετα, μια ορθοκανονική βάση του ( V W ) είναι το σύνολο {(0,,0), (,0,)} 6 Λύση: Για την πρώτη ισότητα έχουμε

80 Ασκήσεις6 78 v ( W W ) v, w 0 w W W v, w v, w 0 w W, w W v W, v W v W W Η δεύτερη προκύπτει από την πρώτη θέτοντας W i στη θέση του W i, οπότε ( W W ) ( W ) ( W ) W W W W ( W W ) 7 * 8 b Υπόδειξη: Αν ( x) [ x], τότε ( ) 0 ( ) 0 Θεωρήστε ( x) m ( x) και ( x) m * ( x) 9 Υπόδειξη: Δείξτε ότι * και άρα ( I ) 0 Στη συνέχεια θεωρώντας το m ( x ) δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος και είναι όμοιος με πίνακα της μορφής diag(0,,0,,, ), a ra Δείξτε ότι ο I είναι όμοιος με το diag (,,,0,,0) 0 Λύση: ος τρόπος Μια βάση του v (0,, 0) και (0,0,) a που περιέχει το v ( 0,0, 0) είναι η v, v, v v Πράγματι, το σύνολο,, a, όπου v v v είναι γραμμικά ανεξάρτητο (για παράδειγμα, det ) και επειδή έχει στοιχεία και dim, το σύνολο αυτό είναι μια βάση του 0 0 Εφαρμόζουμε την ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt στην προηγούμενη βάση Έχουμε u v (,0, ), 0 0 v, u u v u u u u 0,,0, v, u v, u u v u u (,0, ), 0 0 και συνεπώς μια ορθοκανονική βάση του είναι η u 0 u 0 0, u 0,,0 u, u 0 u 0 0 Από την Πρόταση 47 έπεται ότι ο πίνακας (*) είναι μοναδιαίος ος τρόπος Υπόδειξη Παρατηρούμε ότι κάθε διάνυσμα του κάθετο στο v ( 0,0, 0) είναι της μορφής ( z, y, z), y, z (γιατί;) Επιλέγουμε v (0,,0), v (,0,) Το σύνολο { v, v, v } είναι ορθογώνιο και άρα γραμμικά ανεξάρτητο (Λήμμα 40) Συνεπώς είναι βάση του Το σύνολο v v v {,, } είναι μια ορθοκανονική βάση του Ο πίνακας με γραμμές τα στοιχεία,, v v v v v v v είναι ο (*) και είναι μοναδιαίος σύμφωνα με την Πρόταση 47 Υπόδειξη: Πράξεις και άσκηση 69 Πράγματι,

81 Ασκήσεις6 79 ( U * * * I )( U I ) ( U I ) U I ( U * * * * * * I ) U I U I U I U I U I Δείξτε ότι ( U I ) ( U I ) ( U I )( U I ), ισοδύναμα, Άρα * H H Υπόδειξη: Και οι τρεις συνεπαγωγές έπονται από τους ορισμούς 4 a Υπόδειξη: Οι ιδιοτιμές στο του είναι της μορφής,,,,,,,,,, m ( U I )( U I ) ( U I )( U I ) όπου i και m περιττός (Πρόταση 7 και Πρόταση 46) Το γινόμενο των ιδιοτιμών ισούται με (Πόρισμα 6) B 5 Λύση: Ο είναι μοναδιαίος (άσκηση 69d) Επειδή είναι πραγματικός, οι ιδιοτιμές του στο είναι της μορφής,,,,,,,,,, όπου i και 0 (Πρόταση 7 και Πρόταση 46) Από την υπόθεση έπεται ότι det( B I ) 0 det( B ) 0 Συνεπώς από το Πόρισμα 6 έπεται ότι 0 και επομένως πολλαπλασιάζοντας με det B παίρνουμε det( B ) 0 6 a Λύση: Για κάθε X έχουμε * X, X X, X X, X Άρα, οπότε αν το X είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή παίρνουμε X, X X, X και άρα ( X 0 ) Άρα i, b Λύση: Από το a έπεται ότι το δεν είναι ιδιοτιμή του και συνεπώς det( ) 0 7 Υπόδειξη: Αντικαταστήστε το X με το X Y για να λάβετε X, Y Y, X X, Y Y, X και στη σχέση αυτή αντικαταστήσετε το Y με το iy για να λάβετε i X, Y i Y, X i X, Y i Y, X Από τις δυο σχέσεις έχουμε X, Y X, Y για κάθε με την Πρόταση 44 X, Y I και άρα ο είναι μοναδιαίος σύμφωνα 8 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την τεχνική της προηγούμενης άσκησης Η απάντηση στο δεύτερο σκέλος της 0 άσκησης είναι όχι και ένα σχετικό αντιπαράδειγμα είναι 0 * 9 Υπόδειξη: Από X X για κάθε X προκύπτει ( I) X, X 0 για κάθε X Άρα * I 0 0 Απάντηση: a Σ 0 b Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι, B 0 0 c Σ 4 d Σ Οι στήλες αποτελούν ορθοκανονική βάση του e Σ Ο B είναι μοναδιαίος

82 Ασκήσεις6 80 Σ Αν λ είναι ιδιοτιμή του, τότε {,, 4} οπότε δεν έχει μέτρο Gram-Schmidt για ν=

83 Ασκήσεις7 8 Ασκήσεις7 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Βασικά σημεία Λήμμα του Schur (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Φασματικό θεώρημα (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Ορισμός και ιδιότητες κανονικών πινάκων Θεώρημα διαγωνοποίησης κανονικών πινάκων: Έστω Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o Α κανονικός o o Υπάρχει μοναδιαίος U με Υπάρχει ορθοκανονική βάση του U U διαγώνιο αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o Α κανονικός o X o V V * * X για κάθε X ( ) ( ) για κάθε Συνιστώμενες ασκήσεις: -0,-8 () Εξετάστε αν υπάρχει πραγματικός μοναδιαίος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P P να είναι άνω τριγωνικός, 0 όπου Αν υπάρχει, να βρεθεί ένας τέτοιος P () Έστω Να βρεθεί μοναδιαίος P με P P διαγώνιο 4 0 () Έστω 0 με ιδιοτιμές τις,, 0 0 a Να βρεθεί μοναδιαίος U με U U διαγώνιο b Έστω : μια γραμμική απεικόνιση με ( :, ), όπου είναι μια διατεταγμένη βάση του Δείξτε ότι ( * H ) * 4 () Έστω, και S ( ) * a Δείξτε ότι ο πίνακας H είναι Ερμιτιανός και S S b Δείξτε ότι αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H είναι ιδιοδιάνυσμα του S, τότε ο πίνακας είναι κανονικός i 5 () Αποδείξτε ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του a αν και μόνο αν a 6 () Δείξτε ότι αν ο είναι κανονικός, τότε η i γραμμή του έχει το ίδιο μήκος με τη i στήλη του για κάθε i m 7 () Να βρεθούν όλοι οι κανονικοί πίνακες τέτοιοι ώστε 0 για κάποιο m 8 () Έστω κανονικός πίνακας Δείτε τα εξής a Ερμιτιανός κάθε ιδιοτιμή του είναι πραγματικός αριθμός b μοναδιαίος κάθε ιδιοτιμή του έχει μέτρο 9 () a Αν είναι συμμετρικός τέτοιος ώστε I, τότε I b Να βρεθούν όλοι οι συμμετρικοί με c Αν είναι Ερμιτιανός και μοναδιαίος τέτοιος ώστε Tr 0, τότε ο v είναι άρτιος d Αν είναι Ερμιτιανός και μοναδιαίος και έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές, να βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυμο του 8 I

84 Ασκήσεις7 8 0 () * a Για κάθε, ο ii είναι αντιστρέψιμος b Αν, B είναι συμμετρικοί και ισχύει B B, τότε ο B ii είναι αντιστρέψιμος c Έστω * i Κάθε ιδιοτιμή του είναι πραγματικός αριθμός και μη αρνητικός * ii det( ) είναι πραγματικός αριθμός και θετικός () Αν είναι κανονικός, τότε I * ( ) για κάποιο ( x) [ x] * * () Έστω και B Δείξτε ότι αν B B, τότε ο είναι κανονικός () Να βρεθεί συμμετρικός με ιδιοτιμές τις,, τέτοιος ώστε ο ιδιόχωρος V () να παράγεται από τα, Είναι ο μοναδικός; 4 () 44 a Έστω τέτοιος ώστε dim V () dim V () και u, v 0 για κάθε u V (), v V () Δείξτε ότι ο είναι συμμετρικός νv t t b Έστω τέτοιος ώστε και το χ ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων στο [ x ] Δείξτε ότι ο είναι συμμετρικός 5 () Έστω ένας συμμετρικός πίνακας που δεν είναι της μορφής ci, c Nα βρεθεί το m( x ) αν 4 ( I ) ( I ) 0 6 () Αν κανονικός και, οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του, τότε V( ) V( ) 44 7 () Έστω, B κανονικοί πίνακες με ( x ) ( x ) ( x ) και ( x ) ( x B ) ( x 4) Αν V () V (), δείξτε ότι B B B 8 () Έστω Δείξτε ότι ο είναι Ερμιτιανός αν και μόνο αν X, X για κάθε X 9 () Δώστε παράδειγμα έτσι ώστε υπάρχει βάση του από ιδιοδιανύσματα του αλλά δεν υπάρχει ορθοκανονική βάση του από ιδιοδιανύσματα του νν 4 0 () Έστω B με ( B I ) ( B ii ) 0 a Δείξτε ότι αν ο B είναι Ερμιτιανός, τότε B Iν b Δείξτε ότι αν ο B είναι μοναδιαίος, τότε B iiν () Έστω u ν με u Θέτουμε ν ν S I uu t νν ν ν a Δείξτε ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του S ν b Δείξτε ότι Su 0 και Sv v για κάθε v τέτοιο ώστε v, u 0 Στη συνέχεια βρείτε τη διάσταση κάθε ιδιόχωρου του S c Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία του S όταν, 0 a () Έστω a και a Αληθεύει ότι για κάθε a υπάρχει μοναδιαίος U με U U άνω τριγωνικό; b Αληθεύει ότι για a υπάρχει μοναδιαίος Q με Q Q άνω τριγωνικό; c Να βρεθούν όλες οι τιμές του a τέτοιες ώστε υπάρχει ορθοκανονική βάση του του d Έστω a 0 Να βρεθεί μοναδιαίος U με U U diag(,,) () Έστω από ιδιοδιανύσματα

85 Ασκήσεις7 8 a Βρείτε μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος 7 5 b Βρείτε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του B 8 5 4I c Να εξεταστεί αν υπάρχει διατεταγμένη βάση aˆ ( a, a, a ) του τέτοια ώστε ( : aˆ, aˆ ), όπου : είναι η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από τις σχέσεις ( a ) a 6 a, ( a ) a 8a 6 a, ( a ) 5 a d Να βρεθεί (εφόσον υπάρχει) αντιστρέψιμος P με P P άνω τριγωνικό e Να βρεθεί (εφόσον υπάρχει) μοναδιαίος U με U U άνω τριγωνικό () Έστω 0 4 a Να βρεθεί, αν υπάρχει, μοναδιαίος P με P P άνω τριγωνικό 8 b Έστω B I Να βρεθεί αντιστρέψιμος Q με Q Q άνω τριγωνικό c Αν : γραμμική απεικόνιση με ˆ ˆ ( : e, e), να εξετασθεί αν η 8 είναι ισομορφισμός 5 () Έστω ένας συμμετρικός πίνακας Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση L :, L ( X ) X er L Im L Δείξτε ότι * 6 () Έστω τέτοιος ώστε 4 a Δείξτε ότι ο είναι Ερμιτιανός b Εξετάστε αν υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του c Δείξτε ότι αν ra, τότε υπάρχει μοναδιαίος U τέτοιος ώστε U U d Εξετάστε αν ισχύει X, Y X, Y για κάθε X, Y t 7 () Αν T είναι άνω τριγωνικός τέτοιος ώστε κάθε ιδιοδιάνυσμά του είναι ιδιοδιάνυσμα του T, τότε ο T είναι διαγώνιος 8 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα Έστω Ερμιτιανός a Αν ο είναι μοναδιαίος και κάθε ιδιοτιμή του είναι θετική, τότε I b Ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] m c Αν 0 για κάποιο m, τότε 0 d Αν κάθε ιδιοτιμή του είναι μη αρνητική, τότε υπάρχει Ερμιτιανός B με B

86 Ασκήσεις7 84 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις7 Λύση: Υπάρχει, σύμφωνα με το Λήμμα του Schur (Λήμμα 44) Ένα ιδιοδιάνυσμα μήκους του είναι το Επεκτείνοντας αυτό σε ορθοκανονική βάση του βρίσκουμε, για παράδειγμα, τη βάση, Ένας ζητούμενος P είναι ο πίνακας με στήλες τα προηγούμενα διανύσματα Λύση: Οι ιδιοτιμές του είναι οι 4, Βρίσκουμε βάσεις των ιδιόχωρων V (4), V () όπως ξέρουμε από την Ενότητα του μαθήματος 0 Βάση του V (4) :, Βάση του V () :, 0 Επειδή ο είναι συμμετρικός, ξέρουμε ότι κάθε στοιχείο του V (4) είναι κάθετο με κάθε στοιχείο του V () (πράγμα που βέβαια επαληθεύεται από τις βάσεις που βρήκαμε) Στη συνέχεια βρίσκουμε μια ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του Α εφαρμόζοντας τη διαδικασία Gram-Schmidt σε κάθε ιδιόχωρο ξεχωριστά: Bρίσκουμε την ορθοκανονική βάση 6,, Ένας ζητούμενος P είναι ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα της προηγούμενης βάσης Υπόδειξη: aεδώ ο είναι συμμετρικός πραγματικός και κάθε ιδιόχωρος είναι μονοδιάστατος (αφού υπάρχουν διακεκριμένες ιδιοτιμές) Bρίσκουμε ένα ιδιοδιάνυσμα για κάθε ιδιοτιμή του και διαιρούμε καθένα με το μέτρο του Ο πίνακας U με στήλες αυτά είναι μοναδιαίος (αφού σε διακεκριμένες ιδιοτιμές συμμετρικού πίνακα αντιστοιχούν κάθετα ιδιοδιανύσματα) και γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι ο U U είναι διαγώνιος b Μια ιδιοτιμή της 5 είναι η 5 που είναι μη μηδενική Άρα b ος τρόπος Από το προηγούμενο ερώτημα και το Θεώρημα 4 έπεται ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του H Από την υπόθεση έχουμε ότι αυτά είναι ιδιοδιανύσματα του S Επειδή H S προκύπτει εύκολα (ελέγξτε το) ότι αυτά είναι ιδιοδιανύσματα του Δηλαδή ο έχει ιδιοδιανύσματα που αποτελούν ορθοκανονική βάση του Άρα ο είναι κανονικός ος τρόπος (μικρή παραλλαγή του ου τρόπου) Από το προηγούμενο ερώτημα και το Θεώρημα 4 έπεται ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του H Από την υπόθεση έχουμε * * ότι αυτά είναι ιδιοδιανύσματα του S Άρα HS SH (γιατί;) Συνεπώς, δηλαδή ο είναι κανονικός

87 Ασκήσεις7 85 * * 5 Υπόδειξη: Δείξτε με πράξεις ότι αν και μόνο αν a, όπου ο δοσμένος πίνακας Το ζητούμενο έπεται από το Πόρισμα 49 6 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ισχύει X * X για κάθε X Θέστε X E i 7 Υπόδειξη: Ο είναι διαγωνίσιμος (Θεώρημα 47) και κάθε ιδιοτιμή του ισούται με 0 Άρα 0 8 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι και στα δυο υποερωτήματα ισχύει το ευθύ (η υπόθεση κανονικός πλεονάζει) Για τις αντίστροφες συνεπαγωγές χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι κάθε κανονικός πίνακας διαγωνοποιείται από μοναδιαίο πίνακα (Θεώρημα 47) 9 a Υπόδειξη: Από τις υποθέσεις έπεται ότι ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής D diag(,,,,, ) Άρα ο είναι όμοιος με τον D Συνεπώς c Απάντηση: m x x ( ) 0 a Λύση: O * είναι Ερμιτιανός αφού ( ) I * * * Άρα κάθε ιδιοτιμή του I * είναι * * πραγματικός αριθμός Επομένως det( ii ) 0, δηλαδή ο ii είναι αντιστρέψιμος b Υπόδειξη: Ο B είναι συμμετρικός * * * c Υπόδειξη για το i) Αν X X, X, δείξτε ότι X, X X, X και συμπεράνετε από αυτό ότι 0 Λύση: Έστω,, οι ιδιοτιμές του Υπάρχει πολυώνυμο ( x ) τέτοιο ώστε ( i ) i, i,, (από παρεμβολή Lagrage, βλ άσκηση ) Επειδή ο είναι κανονικός, υπάρχει μοναδιαίος U τέτοιος ώστε U U diag(,, ) Τότε * * * * * * ( U U ) U U U U, και ( ) ( U U ) U ( ) U U U U U * * Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε,, ισχύει * * B ( B ) ( B ) και άρα Tr( B ) 0 για κάθε,, Συνεπώς B 0 σύμφωνα με την άσκηση 49 Επειδή ο B είναι Ερμιτιανός, είναι διαγωνίσιμος και άρα B 0 Υπόδειξη: Ο V ( ) είναι κάθετος στον V () (Πρόταση 49) και άρα παράγεται από το Επιλέξτε τρία 0 ιδιοδιανύσματα που να αποτελούν ορθοκανονική βάση του και εφαρμόστε το συλλογισμό της άσκησης 6b 4 a Υπόδειξη: Από την ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt σε κάθε ιδιόχωρο, έπεται ότι υπάρχει πραγματικός t t μοναδιαίος U με Udiag(,,,,) U Άρα b Υπόδειξη: Από την άσκηση 77a ο είναι Eρμιτιανός 5 Απάντηση: m ( x) ( x )( x ) 6 Λύση: Επειδή ο είναι κανονικός και, διακεκριμένες ιδιοτιμές του, ξέρουμε ότι V( ) V( ) Επίσης ξέρουμε ότι dim V( ) dim V( ), αφού ο είναι διαγωνίσιμος, και επομένως dim V ( ) dim V ( ) dim V ( ) Επειδή οι διαστάσεις είναι πεπερασμένες παίρνουμε V ( ) V ( )

88 Ασκήσεις Λύση: Από την προηγούμενη άσκηση έπεται ότι V () V (8) Επειδή V () V (), υπάρχει βάση του κάθε στοιχείο της οποίας είναι ιδιοδιάνυσμα και του και του B Άρα B B σύμφωνα με το θεώρημα ταυτόχρονης διαγωνοποίησης * 8 Λύση: Αν, τότε για κάθε X έστω X, X για κάθε X X, Τότε και από την άσκηση 68 έχουμε B X, X X, X X, X X, X Αντίστροφα, * X, X X, X X, X * 0 * ( ) X, X 0 για κάθε 9 Λύση: Ισοδύναμα, θέλουμε διαγωνίσιμο πίνακα που δεν είναι κανονικός Ένα παράδειγμα είναι Έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, οπότε είναι διαγωνίσιμος Η πρώτη γραμμή και η πρώτη 0 0 στήλη έχουν διαφορετικά μήκη, οπότε δεν είναι κανονικός σύμφωνα με την άσκηση 76 0 a Λύση: Αν ο B είναι Ερμιτιανός, τότε κάθε ιδιοτιμή του είναι πραγματική και επομένως ο αντιστρέψιμος Τότε από τη δοθείσα ισότητα παίρνουμε B Iν 0, αφού ο B Iν ( B Iν ) 0 είναι διαγωνίσμος (πχ ως Ερμιτιανός) και από αυτή έπεται ότι ( B ) 4 ii ν είναι a Παρατηρήστε ότι ο S είναι συμμετρικός οπότε το ζητούμενο έπεται από την πραγματική εκδοχή του Φασματικού Θεωρήματος b dim V (0), dim V () S S c Για ν=, ο πίνακας S αναπαριστά την προβολή επί της ευθείας που είναι κάθετη στο u και διέρχεται από το (0,0) Για ν=, ο πίνακας S αναπαριστά την προβολή, X Y, επί του επιπέδου που είναι κάθετο στο u και διέρχεται από το (0,0,0), βλ σχήμα u X Y a Ναι, από τη μιγαδική εκδοχή του Λήμματος του Schur b Ναι, από τη πραγματική εκδοχή του Λήμματος του Schur, που εφαρμόζει εδώ καθώς ( x ) ( x ) ( x ) * * c Με πράξεις προκύπτει ότι a 0 d Όπως η λύση της άσκησης 7 Απαντήσεις για τα a-d και συνοπτική λύση για το e: a V() :{ 0 }, V() :{ } 0 b Τα προηγούμενα δύο ιδιοδιανύσματα c Δεν υπάρχει αφού το 5 είναι ιδιοτιμή της αλλά όχι του

89 Ασκήσεις7 87 () () d Ως P μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε αντιστρέψιμο με P 0, P, για παράδειγμα 0 0 * * P 0 0 Ξέρουμε ότι P P 0 * για κάθε τέτοιο P * * e Λύση: Ακολουθώντας την απόδειξη του Λήμματος του Schur έχουμε 0 4 Για το B 4 0 έχουμε ( x ) B ( x )( x ) και ένα ιδιοδιάνυσμα (που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ) είναι το Μια ορθοκανονική βάση του με πρώτο διάνυσμα παράλληλο με το είναι:, Άρα ο * U B είναι μοναδιαίος και ξέρουμε ότι U B BU B 0 Θέτοντας 0 0 * * 0 U 0 0 U, ξέρουμε ότι ο U είναι μοναδιαίος και U U B 0 * Σημείωση Φυσικά η λύση του e αποτελεί λύση και του d (αλλά όχι αντίστροφα) 4 a Ακολουθώντας την απόδειξη του Λήμματος του Schur, έχουμε: Επειδή η δεύτερη στήλη του είναι πολλαπλάσιο του E, το E είναι ιδιοδιάνυσμα του Ένας μοναδιαίος πίνακας με πρώτη στήλη το E είναι 0 0 * * t ο U 0 0 Έχουμε U U U U UU (πράξεις) Θέτοντας B 4 βρίσκουμε ( x B ) ( x )( x ) και ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι το Ένας μοναδιαίος πίνακας με πρώτη στήλη πολλαπλάσιο της είναι ο * U B και ξέρουμε ότι U B BU B 0 Θέτοντας 0 0 U U (πράξεις) 0 0, 0 U ξέρουμε ότι ο U είναι μοναδιαίος και B 0 * * U U 0 * 0 0 b Φυσικά μια επιλογή είναι Q U c Δεν είναι ισομορφισμός καθώς μια ιδιοτιμή της 8 είναι η Λύση: Για κάθε X er L και Y έχουμε

90 Ασκήσεις7 88 t X, L ( Y ) X, Y X, Y X, Y 0, Y 0 και επομένως er L Im L Επειδή dim Im L έπεται ότι er L Im L dim Im L dim dim Im L dim er L * * * * * * * * * 6 Λύση: a ( ) ( ) (4 ) και b Υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του γιατί ο είναι Ερμιτιανός * * c Έχουμε 4 και Άρα ( 4 I4) 0 Συνεπώς αν είναι ιδιοτιμή του, τότε 0 ή 4 Από το b έπεται ότι υπάρχει μοναδιαίος U τέτοιος ώστε U U diag(4,, 4,0,,0) Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ra, συμπεραίνουμε ότι ra ra( diag(4,, 4,0,,0)) a Άρα U U diag(4, 0, 0) d Δεν αληθεύει, γιατί διαφορετικά ο θα ήταν μοναδιαίος, οπότε * 4 I 4 I, που δεν 4 είναι μοναδιαίος, άτοπο (Το ότι ο Α δεν είναι μοναδιαίος έπεται και από το γεγονός ότι έχει ιδιοτιμή με ) a a 7 8 a Σ Επειδή ο μόνος μιγαδικός αριθμός που έχει μέτρο και είναι θετικός πραγματικός αριθμός είναι το, συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι,, Ξέρουμε από το Φασματικό Θεώρημα ότι ο είναι διαγωνίσιμος, οπότε είναι όμοιος με το I Άρα είναι ίσος με το I b Σ Επειδή είναι διαγωνίσιμος, ξέρουμε ότι ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] c Σ Επειδή είναι διαγωνίσιμος και κάθε ιδιοτιμή του ισούται με 0, ο Α είναι όμοιος με το μηδενικό πίνακα, και άρα ίσος με αυτόν d Σ Από το Φασματικό Θεώρημα, Udiag(,, ) U, 0, U μοναδιαίος Θέτοντας B Udiag(,, ) U, έχουμε B και B Ερμιτιανός (γιατί;) i Σε αυτόν οφείλεται η πρώτη απόδειξη του φασματικού θεωρήματος