lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )"

Εἰρήνη Ζάρκος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση fx) αν f nx) = fx) N, x) : n > N, x) f n x) fx) < Παράδειγµα : f n x) = x n, x < τότε f n x) = = fx) Παρατηρούµε ότι: x n < < x n ln ) ) < n ln x N, x) = ln ) ) < n ln x Οπότε N, x) = ln ) ) : n > N, x) f n x) fx) < ln x Σηµείωση: sup N, x) = x I ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει οµοιόµορφα uniform congergence) στην συνάρτηση fx) αν f nx) = fx), οµοιόµορφα x I N ) : n > N ) f n x) fx) < x Παράδειγµα : f n x) = + n x, x τότε f nx) = = fx)

2 Παρατηρούµε ότι: f nx) = n x + n x ) f n ) ) = mx f n x) = f n = n x I n n N, x) = N ) = N ) = : n > N, x) f nx) fx) < Από τον παραπάνω ορισµό έπεται ότι Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµαιακά αλλά δεν συγκλίνει οµοιόµορφα στην συνάρτηση fx) x n I : n f n x n ) fx n ) Αν η συνάρτηση fx) είναι συνεχής και x n x τότε αν f n x n ) δεν συγκλίνει η ακολουθία {f n x)} n N δεν συγκλίνει οµοιόµορφα Παράδειγµα 3: Οι συναρτήσεις f n x) = nx x) n ενώ συγκλίνουν σηµειακά στο µηδέν για x [, ]. Για κάθε x, ) έχουµε f n+ x) = n + x) = + ) x) f n x) n n Για µεγάλα n ϑα έχουµε: + ) x) < x ) n οπότε f n+ x) f n x) < x ) < άρα f n x) = = fx) σε κάθε σηµείο x. Αλλά η ακολουθία f n x) n δεν συγκλίνει οµοιόµορφα επειδή για x n = /n και για µεγάλα n ) f n = n ) n n) e f n > ) ) n e f n f > n n e

3 3 Πρόταση Αποδ: f nx) = fx), οµοιόµορφα M n = sup x I x I N ) f n x) fx) f nx) = fx), οµοιόµορφα : n > N ) M n = sup f n x) fx) x I Το αντίστροφο αποδεικνύεται ως εξής: M n = sup f n x) fx) x I f n x) fx) < < n M n = N ) : n > N ) M n < f n x) fx) < f n x) = fx), οµοιόµορφα Παράδειγµα 4: Για κάθε x f n x) = sin nx + x) n f n x) n = M n f n x) =, οµοιόµορφα Πρόταση Κριτήριο Cuchy): f nx) = fx), οµοιόµορφα x I N ) : n > m > N ) f n x) f m x) <

4 4 Αποδ: f n x) = fx), οµοιόµορφα f n x) ικανοποιεί το Κριτή ϱιο Cuchy Εστω f n x) = fx), οµοιόµορφα, αυτό σηµαίνει ότι x I N ) ) : n > N f n x) fx) < και m > N f m x) fx) < ) οπότε εποµένως f n x) f m x) = f n x) fx)) + fx) f m x)) f n x) fx) + fx) f m x) < x I N ) : n > m > N ) f n x) f m x) < Εποµένως αποδείξαµε οµοιόµορφη σύγκλιση Κριτήριο Cuchy. Για το αντίστροφο έστω ότι ισχύει το παραπάνω, αυτό σηµαίνει ότι για κάθε x σταθερό η ακολουθία f n x) είναι µια ακολουθία Cuchy άρα συγκλίνει σε κάθε σηµείο σε µια συνάρτηση fx), δηλαδή x I N ) άρα f m+kx) = fx) k : m > N και k f m x) f m+k x) < ) k f mx) f m+k x) = f m x) fx) < και η ακολουθία f n x) συγκλίνει οµοιόµορφα. Πρόταση 3: f nx) = fx), οµοιόµορφα f n x) είναι οµοιόµορφα) συνεχείς στο ανοικτό διάστηµα, b) fx) είναι οµοιόµορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστηµα, b) Αποδ. f n x) = fx), οµοιόµορφα > h n : f n x) fx) < 3 και f n x+h) fx+h) < 3 f n x) είναι οµοιόµορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστηµα, b) δ) > : h < δ) f n x + h) f n x) < 3

5 Οπότε > δ) > : h < δ) fx + h) fx) fx+h) f n x+h) + f n x + h) f n x) + f n x) fx) < Αρα η συνάρτηση fx) είναι συνεχής στο, b) Αυτή η πρόταση σηµαίνει ότι τα σύµβολα και εναλλάσσονται x x για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν οµοιόµορφα: ) f nx) x x Πρόταση 4: Αποδ. F n x) = = x x fx) = fx ) = f n x ) = f nx) = fx), οµοιόµορφα και f n x) συνεχείς συναρτήσεις για x [, b] f n t)dt Fx) = ft) dt οµοιόµορφα f nx) = fx), οµοιόµορφα ) > t I N : ) b ) n > N f n t) ft) < b ) b ) F n x) Fx) = f n t) ft))dt f n t) ft) dt x ) < b ) 5 f n x) x x Αρα η ακολουθία F n x) συγκλίνει οµοιόµορφα σε κάποια συνάρτηση Fx) Η Πρόταση 4 σηµαίνει ότι τα σύµβολα και εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν οµοιόµορφα: b f n t)dt = b f nt) ) dt )

6 6 Παράδειγµα 5: Για κάθε x [, ] η ακολουθία f n x) = nxe nx συγκλίνει σηµειακά στο αλλά δεν συγκλίνει οµοιόµορφα. Για µεγάλα n και x, ) f n+ x) f n x) Αλλά = + ) e x < e x / e x = e x / < f n x) =, σηµειακά n ) n f n = n e η ακολουθία δεν συγκλίνει οµοιόµορφα. Παρατηρούµε ότι: f n x)dx = nxe nx dx = e n Αλλά ) f nx) dx = f n x)dx = Παράδειγµα 6: Αν f n x) = n + sin x 3n + cos, να αποδειχθεί ότι x f n x)dx = Αποδ. Η ακολουθία f n x) συγκλίνει οµοιόµορφα στο διότι Πρόταση 3 ): n + sin x 3n + cos x 3 = 3 sin x cos x 9n + 3 cos x 4 9n εποµένως από την πρόταση 4 έχουµε: f n x)dx =

7 Πρόταση 5 f n x) παραγωγίσιµες συναρτήσεις µε συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα, b) f n x) συγκλίνουν οµοιόµορφα στην συνάρτηση fx) f nx) συγκλίνουν οµοιόµορφα df n x) dx = f x) = ) d f nx) Αποδ.: f nx) συγκλίνει οµοιόµορφα υπάρχει συνάρτηση φx) τέτοια ώστε: f nx) = φx) Από την Πρόταση 4, έχουµε ότι: δηλαδή f n x) f n x ) = x f nt)dt x I N ) : n > N ) x dx φt)dt οµοιόµορφα f nx) f n x ) x 7 φt)dt < Επειδή η ακολουθία f n x) συγκλίνει οµοιόµορφα στην συνάρτηση fx) N ) : n > N ) f n x) fx) < 4 και f n x ) fx ) < 4 Οπότε γιά ένα n > mx {N ), N )} έχουµε: fx) fx ) φt)dt x = = fx) f nx) fx ) f n x )) + f n x) f n x ) φt)dt x fx) f n x) + fx ) f n x ) + f nx) f n x ) φt)dt x < δηλαδή > fx) fx ) x φt)dt < fx) = fx )+ x φt)dt

8 8 f x) = φx) d ) dx f nx) = ) dfn x) Το παραπάνω συµπέρασµα σηµαίνει ότι τα σύµβολα και dx d dx εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν οµοιόµορφα.

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό