Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες"

Transcript

1 Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες 1 Εξάρτηση του φάσματος από την άλγεβρα Έστω A άλγεβρα Banach με μονάδα 1 και B Ď A κλειστή υπάλγεβρα που περιέχει την μονάδα της A. Αν ένα b P B έχει αντίστροφο στην B, αν δηλαδή b P G B, τότε βεβαίως b P G A. Δηλαδή Έπεται ότι G B Ď G A X B. b P B ñ σ A (b) Ď σ B (b). Γιατί αν b P B και λ P Czσ B (b), το στοιχείο λ1 b της B είναι αντιστρέψιμο στην B, άρα και στην A, δηλαδή λ R σ A (b). Ισότητα όμως σ αυτές τις σχέσεις εν γένει δεν ισχύει: Παράδειγμα 1. A := C(T) = tf : BD Ñ C : f συνεχήςu B = tf P A : ˆf( k) = P Nu. ż 2π (Εδώ ˆf(n) = 1 f(e it )e int dt). Αν ζ P A είναι η συνάρτηση ζ(e it ) = e it, 2π 0 τότε ζ P B και η ζ έχει αντίστροφο, την ζ(e it ) = e it, αλλά η ζ δεν ανήκει στην B. ¹ Θα δείξουμε ότι όταν η A και η B είναι C* άλγεβρες, έχουμε G B = G A XB, και επομένως το φάσμα ενός στοιχείου της A μπορεί να υπολογισθεί σε οποιαδήποτε C* υπάλγεβρα της A που το περιέχει. ¹ Η B δεν είναι άλλη από την άλγεβρα του δίσκου A(D), εδώ με άλλα ρούχα - αποτελείται από εκείνες τις συνεχείς συναρτήσεις f : BD Ñ C που δέχονται επέκταση σε f : D Ñ C που είναι ολόμορφη στον ανοικτό δίσκο. Η απεικόνιση f Ñ f είναι γραμμική και ισομετρική αλλαγή ρούχων B Ñ A(D). Αλλά αυτό δεν είναι στα άμεσα ενδιαφέροντά μας. 1

2 2 Inverse-closed subalgebras Σε ορισμένες περιπτώσεις η μελέτη σου φάσματος ενός στοιχείου μιάς άλγεβρας ανάγεται σε μεταθετικές υπάλγεβρες. Μια τέτοια υπάλγεβρα είναι ο λεγόμενος δεύτερος μεταθέτης (bicommutant) του στοιχείου: Έστω A μια άλγεβρα με μονάδα 1 και S Ď A. O μεταθέτης S 1 του S είναι το σύνολο S 1 := ta P A : as = P Su. Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι πάντα το S 1 είναι υπάλγεβρα της A που περιέχει την 1. Επίσης, αν η A είναι άλγεβρα με νόρμα, από την συνέχεια του πολλαπλασιασμού έπεται ότι η S 1 είναι κλειστή υπάλγεβρα της A. Επίσης, η άλγεβρα S 1 είναι inverse-closed, δηλαδή, αν b P S 1 X G A τότε b 1 P S 1. Πράγματι, από τη σχέση bs = P S συμπεραίνουμε ότι sb 1 = b 1 (bs)b 1 = b 1 (sb)b 1 = b 1 P S και άρα b 1 P S 1. Συμπέρασμα: Παρατήρηση 2. Αν B = S 1 για κάποιο υποσύνολο S Ď A, τότε G B = G A XB. Παρατήρηση 3. Αν το S είναι μεταθετικό σύνολο (δηλ. s 1 s 2 = s 2 s 1 για κάθε s 1, s 2 P S), τότε ο δεύτερος μεταθέτης S 2 είναι μεταθετική άλγεβρα. Παράδειγμα 4. Ο μεταθέτης ενός μεταθετικού συνόλου δεν είναι εν γένει μεταθετική άλγεβρα. Για παράδειγμα, αν A = M 2 (C) και S = t1u, τότε S 1 = A. Απόδειξη της Παρατήρησης 3. Αφού το S είναι μεταθετικό, ισχύει ότι S Ď S 1 (κάθε s P S μετατίθεται με το S). Επομένως, (S 1 ) 1 Ď S 1 (αν ένα b P A μετατίθεται με την S 1 τότε μετατίθεται και με οτιδήποτε περιέχεται στην S 1, άρα και με το S). Επαναλαμβάνοντας το ίδιο στη σχέση S 2 Ď S 1 συμπεραίνουμε ότι (S 1 ) 1 Ď S 3, δηλαδή S 2 Ď (S 2 ) 1 που σημαίνει ότι η άλγεβρα S 2 περιέχεται στον μεταθέτη της, δηλαδή είναι μεταθετική. l Συνοψίζοντας, έχουμε Πρόταση 5. Αν A είναι [νορμαρισμένη] άλγεβρα με μονάδα και S Ď A μεταθετικό σύνολο, τότε η B := S 2 είναι [κλειστή] μεταθετική υπάλγεβρα που περιέχει την μονάδα της A και ικανοποιεί G B = G A X B και b P B ñ σ A (b) = σ B (b). 2

3 3 C* subalgebras are inverse-closed Λήμμα 6. Έστω C μεταθετική C* άλγεβρα με μονάδα. (α) Αν a = a P A, τότε σ(a) Ď R. (β) Αν u P A με u u = 1, τότε σ(u) Ď T. Απόδειξη. Έχουμε δείξει ότι ϕ(b) = ϕ(b ) για κάθε b P C και ϕ P M(C), άρα ϕ(a) P R και ϕ(u) 2 = ϕ(u)ϕ(u) = ϕ(u )ϕ(u) = ϕ(u u) = 1 για κάθε ϕ P M(C)) και συνεπώς σ(a) = tϕ(a) : ϕ P M(C))u Ď R και σ(u) = tϕ(u) : ϕ P M(C))u Ď T. Πρόταση 7. Αν A είναι C* άλγεβρα με μονάδα και B κλειστή αυτοσυζυγής υπάλγεβρα που περιέχει την μονάδα της A, τότε G B = G A X B και b P B ñ σ A (b) = σ B (b). Απόδειξη. Έστω b P G A X B. Πρέπει να δείξουμε ότι b P G B. Η μέθοδος της προηγουμένης παραγράφου δεν μπορεί να εφαρμοσθεί, καθώς δεν ισχύει εν γένει ότι ο δεύτερος μεταθέτης του t1, bu περιέχεται στην B. ² Υποθέτουμε πρώτα ότι b = b. Ονομάζουμε C = C (1, b) την μικρότερη C υπάλγεβρα της A που περιέχει το b και την 1 (είναι η κλειστή θήκη του συνόλου των πολυωνύμων του b). Είναι φανερό ότι C Ď B, και ότι η C είναι μεταθετική C άλγεβρα. Θα δείξω ότι το b είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της C. Από το Λήμμα έχουμε σ C (b) Ď R. Συνεπώς, για κάθε n P N, το στοιχείο b n := b i n 1 είναι αντιστρέψιμο στην C, άρα και στην A. Επειδή lim n b n = b και η πράξη y Ñ y 1 είναι συνεχής στο σύνολο G A, η ακολουθία ((b ) 1 n ) n είναι βασική (αφού συγκλίνει) και αποτελείται από στοιχεία της C. Επομένως, αφού η C είναι κλειστή στην A, και το όριό της b 1 θα ανήκει στην C και άρα στην B. Για την γενική περίπτωση θέτω a = b b και παρατηρώ ότι, αφού το b είναι αντιστρέψιμο στην A, το ίδιο ισχύει για το a (γιατί b P G A, b P G A άρα a = b b P G A ). Από την προηγούμενη παράγραφο, το a 1 ανήκει στην B. Επειδή 1 = a 1 (b b) = (a 1 b )b και 1 = b 1 b, η μοναδικότητα του αντιστρόφου δείχνει τώρα ότι b 1 = a 1 b, που ανήκει στην B. Η δεύτερη ισότητα είναι τώρα άμεση: Αν b P B και λ P Czσ A (b), το στοιχείο λ1 b της B είναι αντιστρέψιμο στην A, οπότε είναι αντιστρέψιμο και στην B ² Για παράδειγμα, αν A = C b (R) και B = C 0 (R) C1, τότε, αφού η A είναι μεταθετική, ο δεύτερος μεταθέτης οποιουδήποτε στοιχείου της B είναι ολόκληρη η A. 3

4 (όπως μόλις δείξαμε), δηλαδή λ R σ B (b). Δείξαμε ότι Czσ A (b) Ď Czσ B (b), και επειδή πάντα ισχύει η σ A (b) Ď σ B (b) έχουμε ισότητα. l Παρατήρηση 8. Η ύπαρξη ενέλιξης είναι ασφαλώς κρίσιμη στην προηγούμενη Πρόταση. Δεν αρκεί όμως από μόνη της: το συμπέρασμα της Πρότασης δεν ισχύει εν γένει σε άλγεβρες Banach με ισομετρική ενέλιξη, ούτε σε ενελικτικές άλγεβρες με νόρμα που ικανοποιεί την ιδιότητα C*, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα: Παράδειγμα 9. Θεωρούμε την (μεταθετική) C* άλγεβρα A = C([0, 1]) και την *-υπάλγεβρα της B που αποτελείται από όλες τις πολυωνυμικές συναρτήσεις. Η συνάρτηση p P B όπου p(t) = t δεν μηδενίζεται πουθενά στο [0, 1], επομένως αντιστρέφεται στην A. Αλλά βεβαίως η αντίστροφή της 1 p (t) = 1 t 2 +1 δεν είναι πολυώνυμο - δεν ανήκει στην B. Παράδειγμα 10. Θεωρούμε την (μεταθετική) άλγεβρα Banach A = C(T) εφοδιασμένη με την ενέλιξη f Ñ f # όπου f # (z) = f( z) και την αυτοσυζυγή υπάλγεβρα της B Ď A όπως στο Παράδειγμα 1.³ Έχουμε ήδη παρατηρήσει ότι η συνάρτηση ζ P B όπου ζ(z) = z αντιστρέφεται στην A, αλλά η αντίστροφή της δεν ανήκει στην B. 4 Ο συναρτησιακός λογισμός για συνεχείς συναρτήσεις Πόρισμα 11. Αν A είναι C* άλγεβρα και a P A τότε (α) Αν το a είναι φυσιολογικό στοιχείο (δηλ. aa = a a), τότε }a} = supt λ : λ P σ(a)u. (β) Αν a = a P A, τότε σ(a) Ď R. (γ) Αν το a είναι unitary, δηλ. a a = aa = 1, τότε σ(a) Ď T. Απόδειξη. Αν η A δεν έχει μονάδα, τότε θεωρούμε το a ως στοιχείο της μοναδοποίησης (υπενθυμίζουμε ότι έτσι ορίζεται το σ(a)). Μπορούμε λοιπόν να υποθέτουμε ότι η A έχει μονάδα. Ονομάζουμε C = C(t1, au) την C* υπάλγεβρα της A που παράγει το t1, au. Πρόκειται για την κλειστή γραμμική θήκη του συνόλου των λέξεων x 1 x 2... x n όπου x k P t1, a, a u. Όμως, αφού το a ικανοποιεί aa = a a, κάθε τέτοια λέξη γράφεται a m a n όπου m, n P Z +. Δηλαδή, η C είναι η κλειστή θήκη των πολυωνύμων ως προς a και a (με μιγαδικούς συντελεστές). Είναι μεταθετική C* άλγεβρα με μονάδα. ³ Ότι η f # ανήκει στην B για κάθε f P B αφήνεται ως άσκηση. 4

5 Από την Πρόταση 7 γνωρίζουμε ότι σ A (a) = σ C (a) και γι αυτό γράφουμε απλώς σ(a). Το πόρισμα είναι τώρα άμεση συνέπεια της θεωρίας Gelfand για μεταθετικές C* άλγεβρες: Τα (β) και (γ) έπονται από το Λήμμα 6. Tο (α) έπεται από το γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Gelfand C Q x Ñ ˆx P C(M(C)) είναι ισομετρία: }a} = }â} = suptϕ(a) : ϕ P M(C)u = supt λ : λ P σ(a)u. Παρατήρηση 12. Σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες, δεν αρκεί η σχέση a a = 1 για να συμπεράνουμε ότι σ(a) Ď T. Για παράδειγμα αν a P B(l 2 (N)) ικανοποιεί a(e n ) = e n+1, τότε a a(e n ) = e n για κάθε n, άρα a a = 1 αλλά αποδεικνύεται (δες την Ασκ. ΙΙ.3) ότι σ(a) = D. Πόρισμα 13. Κάθε C* άλγεβρα είναι ημιαπλή. Απόδειξη. Αν q P Rad(A), τότε σ(aq) = t0u για κάθε a P A. ⁴ Ειδικότερα, σ(q q) = t0u. Από το Πόρισμα 11 έπεται ότι }q q} = 0 και συνεπώς }q} 2 = }q q} = 0. l Παρατήρηση 14. Σε μια μη μεταθετική C* άλγεβρα, η σχέση }a} = suptλ : λ P σ(a)u δεν ισχύει για αυθαίρετα στοιχεία της A. Μπορεί για παράδειγμα να ισχύει a 2 = 0 και a 0. Παράδειγμα: a = [ ] P M 2(C). Παρόλα αυτά, Παρατήρηση 15. Η νόρμα σε μια C* άλγεβρα καθορίζεται από την αλγεβρική της δομή: για κάθε x P A έχουμε }x} 2 = }x x} = supt λ : λ P σ(x x)u, ⁴ Απόδειξη όταν 1 P A: Από τον ορισμό του, το Rad(A) είναι η τομή όλων των αριστερών μεγιστικών ιδεωδών της A. (α) Ισχυρισμός. Το 1 q έχει αριστερό αντίστροφο. Πράγματι, αν δεν είχε, το σύνολο A(1 q) θα ήταν γνήσιο υποσύνολο της A και αφού είναι προφανώς αρ. ιδεώδες, περιέχεται (Zorn) σ ένα μεγιστικό αριστερό (γνήσιο) ιδεώδες, έστω M, άρα 1 q = 1(1 q) P M. Αλλά και το q ανήκει στο M αφού ανήκει στην τομή όλων των αριστερών μεγιστικών ιδεωδών. Οπότε θα έχουμε 1 = 1 q + q P M, άτοπο. (β) Ισχυρισμός. Το 1 q έχει αντίστροφο. Πράγματι, από το (α), υπάρχει b P A ώστε b(1 q) = 1. Δηλαδή το b έχει δεξί αντίστροφο και b = 1 ( bq). Αλλά αφού q P Rad(A) που είναι αριστερό ιδεώδες, έχουμε bq P Rad(A). Εφαρμόζοντας το (α) στο bq, συμπεραίνουμε ότι το 1 ( bq) έχει αριστερό αντίστροφο, δηλ. το b έχει αριστερό αντίστροφο. Άρα το b έχει αντίστροφο, οπότε η σχέση b(1 q) = 1 = bb 1 δείχνει (μοναδικότητα αντιστρόφου) ότι 1 q = b 1 που είναι αντιστρέψιμο. Τελικώς για κάθε λ P Czt0u και κάθε a P A έχω aq/λ P Rad(A) οπότε από το (β) το 1 aq/λ είναι αντιστρέψιμο, άρα το λ1 aq είναι αντιστρέψιμο, δηλαδή λ R σ(aq), οπότε σ(aq) = t0u. 5

6 όπου χρησιμοποιήσαμε το Πόρισμα 11(α) για το φυσιολογικό στοιχείο a = x x. Πρόταση 16 (Αυτόματη συνέχεια μορφισμών). Αν A, B είναι C άλγεβρες με μονάδα⁵ και ϕ : A Ñ B είναι *-μορφισμός, τότε ο ϕ είναι συνεχής και μάλιστα }ϕ} ď 1. Αν ο ϕ είναι *-ισομορφισμός (δηλ. 1-1 και επί), τότε είναι ισομετρία. Απόδειξη. Παρατηρώ ότι το ϕ(1) είναι μονάδα της *-άλγεβρας ϕ(a), άρα και της κλειστής της θήκης, έστω C. Επομένως, περιοριζόμενος εν ανάγκη στην C άλγεβρα C, μπορώ να υποθέσω ότι ϕ(1) = 1. Παρατήρησε ότι σ(ϕ(y)) Ď σ(y) (αν λ1 y P G A, τότε λ1 ϕ(y) = ϕ(λ1 y) P G C ) για κάθε y P A. Επομένως για κάθε x P A έχουμε r(ϕ(x x)) ď r(x x), (r : η φασματική ακτίνα) άρα }ϕ(x)} 2 =}ϕ(x) ϕ(x)}=r(ϕ(x) ϕ(x))=r(ϕ(x x))ďr(x x)=}x x}=}x} 2, δηλαδή }ϕ(x)} ď }x}. Αν ο ϕ είναι *-ισομορφισμός, τότε εφαρμόζοντας τα προηγούμενα στον ϕ και στον ϕ 1, βρίσκουμε άρα }ϕ(x)} = }x}. }ϕ(x)} ď }x} = }ϕ 1 (ϕ(x))} ď }ϕ(x)} Παρατήρηση 17. Στην πραγματικότητα, αν ο ϕ είναι *-μορφισμός και 1-1, τότε είναι αυτομάτως ισομετρία. ⁶ Το γεγονός αυτό δεν προκύπτει άμεσα από τα προηούμενα, καθώς δεν είναι εκ των προτέρων γνωστό ότι η εικόνα ϕ(a) είναι C άλγεβρα, δηλ. ότι είναι κλειστή στην B. Πρόταση 18 (Μοναδικότητα της νόρμας). Αν A είναι μία άλγεβρα με ενέλιξη, τότε ορίζεται το πολύ μία νόρμα στην A ως προς την οποία είναι C άλγεβρα. Πρόταση 19. Έστω a φυσιολογικό στοιχείο μιας C*-άλγεβρας με μονάδα. Γράφουμε K := M(C (1, a)). Έστω G : C (1, a) Ñ C(K) η αναπαράσταση Gelfand της C (1, a). Η απεικόνιση â := G(a) : K Ñ C απεικονίζει ομοιομορφικά το K επί του σ(a). Απόδειξη. Γράφουμε C := C (1, a). Επειδή σ(a) = σ C (a) = tϕ(a) : ϕ P M(C)u, η απεικόνιση â : M(C) Ñ σ(a) : ϕ Ñ ϕ(a) είναι επί, και είναι βεβαίως συνεχής (από τον ορισμό της τοπολογίας του χώρου M(C). ⁵το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και για C άλγεβρες χωρίς μονάδα ⁶ Μια απόδειξη υπάρχει στο αρχείο 6

7 Αρκεί λοιπόν (αφού ο M(C) είναι συμπαγής χώρος) να δειχθεί ότι είναι 1-1. Έστω â(ϕ) = â(ψ) όπου ϕ, ψ P K, δηλαδή ϕ(a) = ψ(a). Τότε ϕ(a n ) = ψ(a n ) για κάθε n P N. Αλλά έχουμε δείξει (!) ότι ϕ(a ) = ϕ(a) και ψ(a) = ψ(a ), οπότε ϕ(a ) = ψ(a ). Επομένως ϕ(a m ) = ψ(a m ) για κάθε m P N και άρα ϕ(a n a m ) = ϕ(a n )ϕ(a m ) = ψ(a n )ψ(a m ) = ψ(a n a m ) για κάθε n, m P N. Όμως η C (1, a) είναι η κλειστή γραμμική θήκη του συνόλου ta n a m : n, m = 0, 1, 2,...u και οι ϕ και ψ είναι συνεχείς. Έπεται λοιπόν ότι ϕ = ψ. Θεώρημα 20 (Συναρτησιακός Λογισμός). Έστω A μια C* άλγεβρα με μονάδα, a P A φυσιολογικό στοιχείο και S = σ(a) Ď C. Τότε υπάρχει μοναδικός *- μορφισμός Φ : C(S) Ñ A με Φ(1) = 1 και Φ(ι) = a όπου ι : S Ñ S η ταυτοτική απεικόνιση ι(t) = t. Ο Φ είναι ισομετρία, και η εικόνα του Φ(C(S)) είναι η C* άλγεβρα C(1, a) που παράγεται από το a (άρα αποτελείται από φυσιολογικά στοιχεία). Αν f P C(σ(a)) το στοιχείο Φ(f) P C (1, a) γράφεται συνήθως f(a). Απόδειξη. (α) Η συνθήκη a a = aa είναι αναγκαία για την ύπαρξη του Φ. Πράγματι, a a = Φ(ι) Φ(ι) = Φ(ι ι) = Φ(ιι ) = Φ(ι)Φ(ι) = aa. (β) Υποθέτουμε τώρα ότι η συνθήκη a a = aa ικανοποιείται. Από το Λήμμα, η απεικόνιση â : M(C) Ñ σ(a) είναι ομοιομορφισμός. Είναι εύκολο να ελέγξεις ότι η απεικόνιση Ψ : C(σ(a)) Ñ C(M(C)) : f Ñ f â είναι ισομετρικός *-ισομορφισμός. Αλλά από το Θεώρημα Gelfand - Naimark η απεικόνιση G 1 : C(M(C)) Ñ C : ŷ Ñ y είναι ισομετρικός *-ισομορφισμός. Ορίζουμε: Φ = G 1 Ψ : C(S) Ψ ÝÑ C(M(C)) ÝÑ G 1 C Ď A. H Φ είναι ισομετρικός *-ισομορφισμός της C(σ(a)) επί της C Ď A. Μένει να ελεγχθεί ότι Φ(1) = 1 και ότι Φ(ι) = a. Η πρώτη σχέση αληθεύει γιατί Ψ(1) = 1 και G 1 (1) = 1. Η δεύτερη επίσης αληθεύει γιατί Ψ(ι) = â και G 1 (â) = a. 7

8 (γ) (Μοναδικότητα) Έστω Ψ : C(σ(a)) Ñ A *-μορφισμός με Ψ(1) = 1 και Ψ(ι) = a. Τότε Ψ(ι ) = a Εφόσον όμως ο Φ είναι *-μορφισμός, για κάθε n, m = 0, 1,... θα έχουμε Ψ(ι n ι m ) = Ψ(ι) n Ψ(ι) m = a n a m = Φ(ι) n Φ(ι) m = Φ(ι n ι m ). Επομένως οι Φ και Ψ ταυτίζονται στην γραμμική θήκη του συνόλου tι nι m : n, m = 0, 1,...u. Αλλά η γραμμική αυτή θήκη είναι αυτοσυζυγής υπάλγεβρα της C(σ(a)) που περιέχει τις σταθερές συναρτήσεις και χωρίζει τα σημεία του σ(a). Επομένως, από το Θεώρημα Stone - Weierstrass, είναι πυκνή στην C(σ(a)). Επειδή οι C(σ(a)) και A είναι C άλγεβρες με μονάδα, έπεται από την Πρόταση 16 ότι ο Ψ είναι συνεχής.αφού οι Φ και Ψ είναι συνεχείς, έπεται ότι θα ταυτίζονται. l Παρατήρηση Στην ειδική περίπτωση όπου a = a, υπάρχει και μια πιό στοιχειώδης προσέγγιση, που δεν προϋποθέτει την θεωρία Gelfand. Δες π.χ. στο funcalc.pdf. Πρόταση 21 (Θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης). Έστω A μια C* άλγεβρα με μονάδα και a P A φυσιολογικό. Για κάθε f P C(σ(a)) ισχύει σ(f(a)) = f(σ(a)) = tf(λ) : λ P σ(a)u. Απόδειξη. Ονομάζουμε C την (μεταθετική) C* άλγεβρα C (1, a) που παράγεται από το a και την μονάδα. Έχουμε δείξει ότι το φάσμα δεν εξαρτάται από την άλγεβρα, άρα για κάθε f P C(σ(a)) έχουμε σ(f(a)) = σ C (f(a)). Όπως η C είναι ισομορφική με την άλγεβρα C(σ(a)) μέσω του συναρτησιακού λογισμού Φ : f Ñ f(a) που διατηρεί και την μονάδα. Συνεπώς ένα στοιχείο µ1 f(a) P C είναι αντιστρέψιμο στην C αν και μόνον αν η συνάρτηση g := µ f είναι αντιστρέψιμη στην C(σ(a)). Αυτό όμως συμβαίνει αν και μόνον αν η µ f δεν μηδενίζεται πουθενά στο πεδίο ορισμού της σ(a), δηλ. αν και μόνον αν µ R f(σ(a)). Δείξαμε λοιπόν ότι µ P σ(f(a)) = σ C (f(a)) ðñ µ P f(σ(a)). 8

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Μερική Αναθεώρηση, 2017 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A.

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A. Διαστολές Τελεστών 1 Εισαγωγή Αν H είναι 1 κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert K, κάθε B B(K) ορίζει έναν A B(H) ως εξής: A :H B K P H x Bx P Bx όπου P B(K) η ορθή προβολή στον H. Δηλαδή A = P B H ή AP = P

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016

Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβολος 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2014-15 1 telmasu, 11 Ιουνίου 2016 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα, χώροι Hilbert 1 1.1 Χώροι με νόρμα και τελεστές...................

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Αναθεώρηση, 2019 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα, (συνέχεια)

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα, (συνέχεια) Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα, (συνέχεια) Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 1 / 13

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha. Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 2018-19. Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έχουν οι παρακάτω συναρτήσεις μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο διάστημα (0, 1); Στο διάστημα (, + ); Στο διάστημα [0,

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα