C 11 = σ(1)=1. a 2 σ(2) a n σ(n) det P σ.

Transcript

1 ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 43 Συμπαράγοντες και αναπτύγματα της ορίζουας Χρήτος Κουρουνιώτης Πανεπιτήμιο Κρήτης Δεκ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

2 Ανάπτυγμα της ορίζουας ως προς την πρώτη γραμμή Θέλουμε να ομαδοποιήουμε με έναν χρήιμο τρόπο τους n! όρους του τύπου για την ορίζουα. Θεωρούμε τις μεταθέεις για τις οποίες (1) = 1. Οι αντίτοιχοι όροι τον τύπο για την ορίζουα περιέχουν τον παράγοντα a 11. Βγάζουμε το a 11 ως κοινό παράγοντα αυτών των όρων, και υμβολίζουμε C 11 το νέο άθροιμα: (1)=1 a 11 a 2 (2)... a n (n) det P = a 11 a 2 (2)... a n (n) det P (1)=1 = a 11 C 11. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

3 Οι μεταθέεις του {1, 2,..., n} για τις οποίες (1) = 1, αντιτοιχούν ε μεταθέεις του {2, 3,..., n}. Άρα το άθροιμα C 11 είναι ακριβώς η ορίζουα του πίνακα A 11 που προκύπτει από τον A εάν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή και την πρώτη τήλη: C 11 = = μετάθεη του {1,..., n} (1)=1 μετάθεη του {2,..., n} a 2 (2) a n (n) det P a 2 (2) a n (n) det P. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

4 Τώρα θεωρούμε τις μεταθέεις για τις οποίες (1) = 2. Οι αντίτοιχοι όροι τον τύπο για την ορίζουα περιέχουν τον παράγοντα a 12. Βγάζουμε το a 12 ως κοινό παράγοντα αυτών των όρων, και υμβολίζουμε C 12 το νέο άθροιμα: (1)=2 a 12 a 2 (2) a n (n) det P = a 12 (1)=2 = a 12 C 12. a 2 (2) a n (n) det P Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

5 Κάθε μετάθεη του {1, 2,..., n} για την οποία (1) = 2, αντιτοιχεί ε μία αμφιμονοήμαντη απεικόνιη απο το {2, 3, 4,..., n} το {1, 3, 4,..., n}. Το άθροιμα C 12 διαφέρει μόνο ως προς το πρόημο απο την ορίζουα του πίνακα A 12 που προκύπτει απο τον A εάν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή και τη δεύτερη τήλη. C 12 = μετάθεη του {1,..., n} (1)=2 = det A 12. a 2 (2) a n (n) det P Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

6 Γενικότερα θεωρούμε τους όρους τον τύπο για την ορίζουα που αντιτοιχούν ε μεταθέεις για τις οποίες (1) = j: (1) = j a 1 j a 2 (2) a n (n) det P = a 1j = a 1 j C 1 j (1) = j a 2 (2) a n (n) det P Το άθροιμα C 1 j διαφέρει μόνο ως προς το πρόημο απο την ορίζουα του πίνακα A 1j που προκύπτει απο τον A εάν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή και τη j τήλη: C 1j = ( 1) 1+j det(a 1 j ). Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

7 Θεωρούμε τώρα όλες τις μεταθέεις του {1,..., n}, ομαδοποιημένες ανάλογα με την τιμή του (1). det A = = n j = 1 n j = 1 a 1 j (1) = j a 1 j a 2 (2) a n (n) det P (1) = j a 2 (2) a n (n) det P, δηλαδή det A = a 11 C 11 + a 12 C a 1 n C 1 n. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

8 Ελάων πίνακας και υμπαράγοντας Οριμός. Εάν A = (a i j ) είναι ένας n n πίνακας, ο (n 1) (n 1) πίνακας ο οποίος προκύπτει απο το A εάν διαγράψουμε την i γραμμή και τη j τήλη, ονομάζεται ελάων πίνακας του τοιχείου a i j του A και υμβολίζεται A i j. a 11 a 1 (j 1) a 1 (j+1) a 1 n..... a (i 1) 1 a (i 1) (j 1) a (i 1) (j+1) a (i 1) n A i j =. a (i+1) 1 a (i+1) (j 1) a (i+1) (j+1) a (i+1) n..... a n 1 a n (j 1) a n (j+1) a n n Ο αριθμός C i j = ( 1) i+j det A i j ονομάζεται αλγεβρικό υμπλήρωμα ή υμπαράγοντας του τοιχείου a i j. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9

9 Ανάπτυγμα ορίζουας ως προς γραμμή ή τήλη Πρόταη 1 Για κάθε i = 1,..., n ιχύει det A = n a i j C i j j=1 Η παραπάνω έκφραη είναι το ανάπτυγμα της ορίζουας det A ως προς την i-γραμμή. 2 Για κάθε j = 1,..., n ιχύει det A = n a i j C i j i=1 Η παραπάνω έκφραη είναι το ανάπτυγμα της ορίζουας det A ως προς τη j-τήλη. Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ Δεκ / 9