ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

Transcript

1 ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr, l=thessaloniki, o=ristotle University of Thessaloniki, ou=school of Civil Engineering, ou=class - rivate Key created and stored in hardware CS, cn=euripides apamichos, =epapamic@civil.auth.gr Date: :55:00 +0'00' ΝΙΚΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΑΚΗΣ Καθηγητής charalam@civil.auth.gr Αριτοτέλειο Πανεπιτήμιο Θεαλονίκης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών 5466 Θεαλονίκη C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

2 - - C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

3 - -. Αξονική φόρτιη Παραμορφώεις ανομοιόμορφων ράβδων. Να λυθεί το Πρόβλημα. για T= Tx L. Λύη Η παραμόρφωη την περίπτωη υνεχώς μεταβαλόμενης θερμοκραίας δίνεται από τη χέη N NL x δ = + = + = L L L dl a T ( x) dx a T dx 0 (a) L και είναι ίη με μηδέν λόγω της πάκτωης. Επίης η εωτερική δύναμη Ν είναι ανεξάρτητη της θέης x όπως προκύπτει εύκολα κάνοντας μία τομή ε τυχαία θέη και εφαρμόζοντας την ιορροπία των δυνάμεων του ελευθέρου ώματος που προκύπτει. Εκτελώντας την ολοκλήρωη και θέτοντας = N προκύπτει L a T L a T L L a TL δ = + 0 E L = + = + = () E L E L 4 x dx Λύνοντας ως προς τη ζητούμενη προκύπτει a TE 4 = (c) ια αύξηη της θερμοκραίας, δηλαδή για T > 0, < 0 δηλαδή η τάη είναι θλιπτική. Η μετατόπιη u, λόγω της πάκτωης το Α, ταυτίζεται με τη παραμόρφωη δα του τμήματος Α, που δίνεται ως δ Α L L L N L a T dx a T ( x) dx x dx E L = + = + = ( L ) L a T L a TL = + = + E L 4 E 64 4 (d) Αντικαθιτώντας την τάη την παραπάνω εξίωη δίνει L a TL a TL a TL 7a TL δ Α E = + = + = (e) ια αύξηη της θερμοκραίας, δηλαδή για T > 0, η παραμόρφωη δα < 0, δηλαδή το αριτερό τμήμα βραχύνεται και επομένως το ημείο μετατοπίζεται προς τα αριτερά κατά u = 7a TL 64. C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

4 - 4 - Υπερτατικές κατακευές.0 Άκαμπτη δοκός ΑΒΔ τηρίζεται το ημείο B με άρθρωη και το ημείο Α με τη ράβδο αλουμινίου () μήκους L = m, διατομής Α = cm και μέτρου ελατικότητας Ε = 80 Ga. Η δοκός φορτίζεται με φορτίο το ημείο Δ. Όταν η κατακευή είναι ελεύθερη φορτίου, η απόταη το ημείο μεταξύ του κάτω μέρους της δοκού και του τύλου από κυρόδεμα (), μήκους L, διατομής Α = 0 cm μέτρου ελατικότητας Ε = 0 Ga και τάης διαρροής ε μονοαξονική φόρτιη = 0 Ma είναι d = mm. Ζητείται (α) η τιμή του φορτίου για την οποία διαρρέει ο τύλος (), και (β) η αντίτοιχη μετατόπιη uδ του ημείου Δ. Λύη Η εξίωη ιορροπίας των ροπών περί το ημείο Β μετά την επαφή το ημείο είναι Σ M = 0: + = 0 + = (a) B Το πρόβλημα είναι υπερτατικό. Η εξίωη υμβιβατού προκύπτει από τη νέα θέη της άκαμπτης δοκού που περιτρέφεται περί το ημείο Β, όπως φαίνεται το χήμα (α). Από όμοια τρίγωνα προκύπτει ΑΑ δ u ( ) = = = d + δ = δ = u = d δ () όπου ύμφωνα με το χήμα, η ράβδος () επιμηκύνεται και άρα η παραμόρφωη δ > 0, ενώ η ράβδος () βραχύνεται και άρα η παραμόρφωη δ < 0. Οι χέεις δυνάμεων-παραμορφώεων για τις δύο ράβδους γράφονται (α) N L L N L L δ = = δ = = (c) Στην (c), η εωτερική δύναμη Ν είναι εφελκυτική άρα N =, ενώ η εωτερική δύναμη Ν είναι θλιπτική και άρα N = -. H Ν τη διαρροή υπολογίζεται από τα δεδομένα ως N = = = 0 kn (d) Η υπολογίζεται με αντικατάταη των (c) και (d) την () L L d ( ) E δ = d δ = d+ = + = 48 kn L (e) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

5 - 5 - Αντικατάταη των (d) και (e) την (a) δίνει την = + = 58 kn (f) Η μετατόπιη uδ του ημείου Δ δίνεται με αντικατάταη των (c) και (e) την () u L = δ = 6 mm = (). Άκαμπτη δοκός ΑΒΔ τηρίζεται το ημείο με άρθρωη και τα ημεία Α και B Δ Β με τις χαλύβδινες ράβδους () και () E μήκους L = m, διατομής Α = 5 cm και d μέτρου ελατικότητας Ε = 00 Ga. Η δοκός () L () L () φορτίζεται με φορτίο το ημείο Ε. Όταν η κατακευή είναι ελεύθερη φορτίου, η απόταη το ημείο Δ μεταξύ του κάτω μέρους της δοκού και της κολώνας από κυρόδεμα (), μήκους L = m, διατομής Α = 0 cm, μέτρου ελατικότητας Ε = 0 Ga και τάης διαρροής ε μονοαξονική φόρτιη = 0 Ma, είναι d = 0. mm. Ζητείται (α) η τιμή του φορτίου για την οποία διαρρέει η κολώνα () και (β) η αντίτοιχη μετατόπιη ue του ημείου Ε. Λύη Η εξίωη ιορροπίας των ροπών περί το ημείο μετά την επαφή το ημείο Δ είναι Σ M = 0: + + = = (a) Το πρόβλημα είναι διπλά υπερτατικό. Οι εξιώεις υμβιβατού προκύπτουν από τη νέα θέη της άκαμπτης δοκού που περιτρέφεται περί το ημείο, όπως φαίνεται το χήμα (α). Από όμοια τρίγωνα προκύπτει ΑΑ ΒΒ ΕΕ δ uε = = = = δ = d + δ = δ = u = δ = δ ( d ) Ε () όπου ύμφωνα με το χήμα, η ράβδος () και () επιμηκύνονται και άρα οι παραμορφώεις δ > 0 και δ > 0, ενώ η ράβδος () βραχύνεται και άρα η παραμόρφωη δ < 0. Οι χέεις δυνάμεων-παραμορφώεων για τις δύο ράβδους γράφονται (α) N L L N L L δ δ δ = = = = = = (c) E E N L L C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

6 - 6 - Στην (c), η εωτερική δύναμη Ν και Ν είναι εφελκυτικές άρα N = και N =, ενώ η εωτερική δύναμη Ν είναι θλιπτική και άρα N = -. H Ν τη διαρροή υπολογίζεται από τα δεδομένα ως N = = = 60 kn (d) Η υπολογίζεται με αντικατάταη των (c) και (d) την () L L d L δ = d δ = d + = + = 60 kn (e) L L Η υπολογίζεται με αντικατάταη των (c) και (e) την () προκύπτει L L δ = δ = = = 0 kn (f) Αντικατάταη των (d), (e) και (f) την (a) δίνει την = + + = 80 kn (g) Η μετατόπιη ue του ημείου E δίνεται με αντικατάταη των (c) και (f) την () u E L = δ = =.4 mm (h) Σημειώνεται ότι το φορτίο που απαιτείται για να ακουμπήει η δοκός το Δ είναι = 5 kn. (). Άκαμπτη δοκός ΑΒ με a = 60 cm και = 40 cm τηρίζεται το ημείο με άρθρωη, το a ημείο Α με τη ράβδο αλουμινίου () μήκους L = m και μέτρου ελατικότητας Ε = 80 Ga και B το ημείο Β με τη χαλύβδινη ράβδο () μήκους L = 0.4 m και μέτρου ελατικότητας Ε = 00 L () Ga. Οι ράβδοι έχουν κυκλική διατομή με διάμετρο d = cm και d = cm αντίτοιχα. Με αρχική θερμοκραία 5 C, η χαλύβδινη ράβδος () με υντελετή θερμικής διατολής α = 0-6 / C θερμαίνεται τους 65 C, ενώ η L ράβδος αλουμινίου () παραμένει τους 5 C. Να υπολογιθούν: (α) οι τάεις και που αναπτύονται τις ράβδους () και () κατά τη θερμοκραιακή μεταβολή, και (β) η αντίτοιχη μετατόπιη uα του ημείου Α. Λύη Η εξίωη ιορροπίας των ροπών περί το ημείο είναι Σ M = 0 : a + = 0 = = 0.4 a + ( ) (a) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\6\06.0.7

7 - 7 - Το πρόβλημα είναι υπερτατικό. Η εξίωη υμβιβατού προκύπτει από τη νέα θέη της άκαμπτης δοκού που περιτρέφεται περί το ημείο, όπως φαίνεται το χήμα (α). Από όμοια τρίγωνα προκύπτει ΑΑ ΒΒ δ δ a+ a+ a+ = = δ = δ = 0.4δ () όπου ύμφωνα με το χήμα, οι ράβδοι () και () επιμηκύνονται και άρα οι παραμορφώεις δ > 0 και δ > 0. Οι χέεις δυνάμεων-παραμορφώεων για τις δύο ράβδους γράφονται (α) N L L N L L δ = = δ = + α TL = + α TL (c) Στη (c), η εωτερική δύναμη Ν είναι εφελκυτική άρα N =, ενώ η εωτερική δύναμη Ν είναι θλιπτική και άρα N = -. Η υπολογίζεται με αντικατάταη των (a) και (c) τη () L L L δ = δ + α TL = = a+ a+ a+ α TL = = 6.0 kn L L + a + (d) Αντικατάταη της (d) την (a) δίνει την = =.4 kn a + (e) Οι τάεις και υπολογίζονται ως N = = = = 0.7 Ma 4 π d N = = = = 9. Ma 4 π d (f) Η μετατόπιη uα του ημείου Α προς τα πάνω είναι ίη με την παραμόρφωη δ. Με αντικατάταη των (c) και (d) την () u L = δ = Α 0.84 mm = (g) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\7\06.0.7

8 Άκαμπτο τοιχείο ΑΒ μάζας m = 000 kg κρέμεται από τρία ιοαπέχοντα κάθετα καλώδια. Τα εξωτερικά καλώδια () έχουν μέτρο ελατικότητας Ε = 0 Ga και διάμετρο d = cm. Τo μεαίο καλώδιο () έχει μέτρο ελατικότητας Ε = 70 Ga και διάμετρο d = cm. Τα καλώδια φέρουν επίης φορτίο που ακείται το μέο του τοιχείου. Ζητείται η τιμή του φορτίου που μπορεί να παραληφθεί άν η επιτρεπτή τάη του καλωδίου () είναι επ = 0 Ma και του καλωδίου () είναι επ = 80 Ma. Λύη Η εξίωη ιορροπίας των δυνάμεων είναι Σ = 0: + = + W (a) y όπου W = mg = 9.6 kn. Το πρόβλημα είναι υπερτατικό. Η εξίωη υμβιβατού προκύπτει από τo γεγονός ότι λόγω υμμετρίας η άκαμπτη δοκός κινείται προς τα κάτω αλλά παραμένει πάντα οριζόντια. Επομένως δ = δ δ = δ () όπου οι ράβδοι () και () επιμηκύνονται και άρα οι παραμορφώεις δ > 0 και δ > 0. Οι χέεις δυνάμεων-παραμορφώεων για τις δύο ράβδους γράφονται (α) N L L N L L δ = = δ = = (c) Στη (c), οι εωτερικές δυνάμεις Ν και Ν είναι εφελκυτικές άρα N = και N =. Οι χέεις, και υπολογίζoνται με αντικατάταη των (a) και (c) τη () L L δ = δ = = =. = = = + W = + W = + W C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\8\06.0.7

9 - 9 - W = + W = + (d) Στη υνέχεια πρέπει να γίνει διερεύνηη για το ποιό καλώδιο φθάνει πρώτο την επιτρεπτή τάη. Άν η τάη το καλώδιο () φθάει την επιτρεπτή, τότε = = = π = (e) επ επ επ d kn και με αντικατάταη της (e) την (d) έχουμε την επιτρεπτή επ ε αυτήν την περίπτωη E επ = + W = + επ W = 7.98 kn E (f) Άν αντίτοιχα η τάη το καλώδιο () φθάει την επιτρεπτή, τότε επ επ επ d 4 5. kn = = = π = (g) και με αντικατάταη της (g) την (d) έχουμε την επιτρεπτή επ ε αυτήν την περίπτωη E επ = + W = + επ W = 4. kn E (h) Συγκρίη των τιμών τις (f) και (h) δείχνει ότι τα καλώδια () είναι πιο κρίιμα και η ελάχιτη επ = 7.98 kn..7 Ένας υμπαγής χαλύβδινος κύλινδρος () με μέτρο ελατικότητας E, επιφάνεια διατομής Α, και υντελετή θερμικής διατολής α =. 0-5 / C, τοποθετείται μέα ε ένα ορειχάλκινο ωλήνα () ιδίου μήκους L με μέτρο ελατικότητας E = 00 Ga, επιφάνεια διατομής Α = 0 cm και υντελετή θερμικής διατολής α = / C. Στη υνέχεια ο κύλινδρος () και ο ωλήνας () υποβάλλονται ε μία αύξηη θερμοκραίας ΔΤ και ταυτόχρονα υμπιέζονται μεταξύ απαραμόρφωτων πλακών από ένα φορτίο = 00 kn. Να υπολογιθεί η ελάχιτη ΔΤ που θα προκαλέει όλο το φορτίο να παραληφθεί από τον ορειχάλκινο ωλήνα (). () () () L () () C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\9\06.0.7

10 - 0 - Λύη Η εξίωη ιορροπίας των δυνάμεων τον κύλινδρο () και το ωλήνα () είναι = + = (a) Η εξίωη υμβιβατού προκύπτει από το γεγονός ότι ο κύλινδρος () και ο ωλήνας () παραμορφώνονται το ίδιο δ = δ = δ () Οι χέεις δυνάμεων-παραμορφώεων για τα δύο υλικά γράφονται N L L δ = + α TL = + α TL N L L δ = + α TL = + α TL (c) Στη (c), οι εωτερικές δυνάμεις Ν και Ν είναι θλιπτικές άρα N = - και N = -. Οι χέεις, και υπολογίζoνται με αντικατάταη των (a) και (c) τη () που δίνει L L δ = δ + α TL = + α TL ( α α ) T = = = + + T = ( α α ) ( α α ) (d) ια να παραληφθεί όλο το φορτίο από τον ορειχάλκινο ωλήνα (), τότε = 0. ια = 0 η (d) δίνει T = 5 C = (e) ( α α ).9 Κατακευή αποτελείται από τρία ανομοιόμορφα κυλινδρικά τοιχεία (), () και () με μήκη L = m, L = m και L = m και διαμέτρους d = cm, d = 6 cm και d = 0 cm, αντίτοιχα. Τα τοιχεία () και () είναι υνδεδεμένα μεταξύ τους, ενώ μεταξύ των τοιχείων () και () υπάρχει, πριν την επιβολή φορτίων, ένα διάκενο a = 5 mm. Τα τοιχεία () και () είναι κατακευαμένα απο το ίδιο υλικό d Β L B d d L a L Δ C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\0\06.0.7

11 - - με μέτρο ελατικότητας Ε = Ε = 50 Ga και το τοιχείο () από υλικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 0 Ga. Η κατακευή είναι πακτωμένη τα ημεία Α και Δ και φορτίζεται τα ημεία Β και με φορτία B = 500 kn και = 00 kn, αντίτοιχα. Να υπολογιθούν οι τάεις, και τα τρία τοιχεία. Λύη ια την επαφή των τοιχείων το, πρέπει δ+ δ + δ a (a) Πριν την επαφή N N N NL L = δ = = Β = 0 δ = 0 Β NL L = δ = = () Αντικατάταη της () την (a) δίνει ότι για να υπάρχει επαφή το a L L δ δ δ Β + + = = 5.75 mm (c) πράγμα το οποίο ιχύει. Όταν υπάρχει επαφή το, η εξίωη ιορροπίας των δυνάμεων είναι Β + = RΑ + RΒ (d) Η εξίωη υμβιβατού προκύπτει από το γεγονός ότι η υνολική παραμόρφωη των τοιχείων (), () και () είναι δ+ δ + δ = a (e) Οι εωτερικές δυνάμεις Ν, Ν και Ν και οι χέεις δυνάμεων-παραμορφώεων δίνονται ως N NL R L = R δ = = Α N R Α NL ( ) R L Α Β = Α Β δ = = N R NL ( ) R L Α Β = Α Β δ = = (f) Η άγνωτη αντίδραη RΑ βρίκεται με αντικατάταη των (f) τη (e) και λύη ως προς RΑ C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

12 - - ( ) ( ) RL Α R L R L Α Β Α Β + + = a L ( + ) L Β Β + + RΑ = = L L L + + a 84.6 kn (g) Οι εωτερικές δυνάμεις Ν, Ν και Ν υπολογίζονται με αντικατάταη της (g) την (f) και από τον οριμό της ορθής τάης οι τάεις, και N = RΑ = 84.6 kn = = 6. Ma N R = Α Β = 5.4 kn = =.5 Ma N R = Α Β = 55 kn = =.44 Ma N N N (h) Όπου οι διατομές των τοιχείων είναι = π d 4 = cm, = π d 4 = 8.7 cm, = π d 4 = cm (i).0 Ένας πακτωμένος τύλος από οπλιμένο κυρόδεμα () μήκους L =. m έχει τετραγωνική διατομή = 0 cm και οπλιμό () από τέερεις ράβδους χάλυβα διαμέτρου d =.9 cm. Το μέτρο ελατικότητας του οπλιμού () είναι Ε = 00 Ga και του κυροδέματος () Ε = 5 Ga. Να υπολογιθούν οι ορθές τάεις που αναπτύονται τον οπλιμό και το κυρόδεμα και η παραμόρφωη δ του τύλου όταν εφαρμοθεί το τύλο μία κεντρική δύναμη = 700 kn. Λύη Η εξίωη ιορροπίας των δυνάμεων είναι + = = (a) Το πρόβλημα για την εύρεη των και είναι υπερτατικό. Η εξίωη υμβιβατού προκύπτει από το γεγονός ότι ο οπλιμός και το κυρόδεμα βραχύνονται το ίδιο κατά την επιβολή της δ = δ = δ () Αντικατάταη της χέης δυνάμεων-παραμορφώεων τη () και χρήη της (a) δίνει C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

13 - - NL NL = = = = = + = = +.5 kn kn (c) πό τον οριμό της ορθής τάης οι τάεις και υπολογίζονται ως N E = = = = + N E = = = = Ma 4.6 Ma (d) Όπου οι διατομές των τοιχείων είναι = 4π d 4 =.4 cm, = = 88.7 cm (e) Η παραμόρφωη δ δίνεται από τη (c) δ N L L L + = = = = mm (f) Ελατοπλατική ανάλυη.4 Δικτύωμα αποτελείται από τις B κεκλιμένες κατά γωνία θ = 45 ράβδους () και () μήκους L και διατομής = 00 cm και την κάθετη ράβδο () διατομής = Α. Οι ράβδοι είναι ελατοπλατικές με L θ μέτρο ελατικότητας Ε και τάη διαρροής = 00 Ma. Το δικτύωμα υπόκειται ε y ένα φορτίο. Να υπολογιθεί (α) το φορτίο διαρροής, (β) το φορτίο x κατάρρευης, (γ) ο λόγος του φορτίου κατάρρευης και (δ) η γωνία θ για να μεγιτοποιηθεί ο λόγος και ο λόγος που αντιτοιχεί. B Δ () () () () () () Σ θ Λύη Εξιώεις ιορροπίας και υμβιβατού. Σύμφωνα με τις (a) και (c) του Πραδείγματος.8 = cosθ + = (a) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

14 - 4 - δ = δ = δcosθ () όπου, και οι δυνάμεις και δ, δ και δ οι επιμηκύνεις τις ράβδους (), () και (), αντίτοιχα. Από τη γεωμετρία του προβλήματος, η βύθιη w του ημείου Σ είναι ίη με την επιμήκυνη δ. Αυτές οι χέεις είναι ανεξάρτητες του υλικού και επομένως ιχύουν και την ελατική και την πλατική περιοχή της φόρτιης. Μετά την πλατικοποίηη μιας ράβδου, η τάη ε αυτήν είναι ίη με την τάη διαρροής, ανεξάρτητα από την παραμόρφωη. Έτι η δύναμη που παραλαμβάνει μία ράβδος μετά την πλατικοποίηή της παραμένει ταθερή και ίη με, δηλαδή δεν μπορεί πλέον να παραλάβει τμήμα της αύξηης του φορτίου. Ελατική περιοχή. Mέχρι τη διαρροή, δηλαδή για όπου εμφανίζεται η πρώτη διαρροή ε κάποια ράβδο, το δικτύωμα υμπεριφέρεται ελατικά. Αντικατάταη των χέεων δυνάμεων-παραμορφώεων τη () δίνει L L Lcosθ cos θ = cosθ = cosθ = = 0.5 (c) Αντικατάταη την (a) δίνει cos θ = = 0.788, = = cos θ + cos θ (d) Οι τάεις τις ράβδους (), () και () δίνονται ως N cos θ = = = = + cos θ > N = = = + cos θ (e) Επομένως, διαρρέει πάντα πρώτη η ράβδος (). Αυτό προκύπτει και από τις τροπές που είναι ανεξάρτητες της διατομής, δηλαδή ε ε δ = ε = L ε ε δ δ cosθ δ > = = = L Lcosθ Lcos θ (f) Στη διαρροή της () cos θ = = = (g), cos θ Αντικατάταη την (α) δίνει το φορτίο διαρροής C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

15 - 5 - ( cos ) cos = θ θ + = + cos θ = 8. MN (h) Στην καταάρρευη, δηλαδή τη διαρροή και των ράβδων () και () =, = (i) Αντικατάταη την (α) δίνει το φορτίο κατάρρευης = ( ) cosθ + = + cosθ = 0.4 MN (j) Από τις (h) και (j) προκύπτει ότι + cosθ + cosθ = = =.6 + cos θ + cos θ (k) Η γωνία θ για να μεγιτοποιηθεί ο λόγος υπολογίζεται ως θ ( + ) + ( + ) ( ) ( cos θ cos θ ) sinθ 0 sin cos cos cos sin d + cos θ θ θ θ θ = = 0 dθ + cos θ + cos θ + = (l) Η (k) έχει τεερεις λύεις που βρίκονται με την επιλύη της τριτοβάθμιας εξίωης την παρένθεη και της sinθ =0 που δίνουν θ = 60, θ = 80, θ = 0 (m), 4 Η λυεις θ,,4 αντιτοιχούν ε ελαχιτοποίηη του λόγου ε =, ενώ η λύη θ = ε μεγιτοποίηη του λόγου ε ( ) max. 60 =..8 Άκαμπτη δοκός ΑΒ με βάρος W = 00 kn και μήκος τηρίζεται με άρθρωη το ημείο Α και με δύο όμοιες ελατοπλατικές ράβδους () και () τα ημεία Β και, αντίτοιχα. Οι ράβδοι έχουν μήκος L = 4 m, διάμετρο d = cm, μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga και τάη διαρροής ε εφελκυμό = 00 Ma. Η δοκός ΑΒ φέρει ένα κατακόρυφο φορτίο το ημείο. Να () () L B W C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

16 - 6 - υπολογιθεί (α) η τιμή του φορτίου τη διαρροή της κατακευής και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου, και (β) η τιμή του φορτίου τη πλατικοποίηη της κατακευής και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξιώεις ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) και την ιορροπία των ροπών περί το ημείο Α έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα Σ M = 0 + W = 0 + = + W (a) Α B W (α) B B' δ δ ' Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου περιτρέφεται περί το ημείο Α και επομένως η μετατόπιη προς τα κάτω κάθε ημείου της δοκού είναι ανάλογη της απόταης από το ημείο Α. Επομένως ΒΒ δ = δ = δ = δ () καθότι οι μετατοπίεις ΒΒ και ιούνται με τις απόλυτες τιμές των παραμόρφωεων δ και δ των ράβδων () και (). Επίης οι δ και δ είναι θετικές καθότι οι ράβδοι επιμηκύνονται. Φορτίο και μετατόπιη διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και οι δύο ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή και τις δύο ράβδους έχουμε εφελκυμό οι εωτερικές δυνάμεις είναι N = και N =. Επομένως L L δ = δ = (c) Συνδυάζοντας τις () και (c) έχουμε C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\6\06.0.7

17 - 7 - L L = = (d) και αντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας (a) + W 4 + W + 4 = + W =, = (e) 5 5 Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N + W = = = 5 > N 4 + W = = = 5 (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (f) έχουμε W = = = 8.54 kn (g) 4 4 όπου = π d 4 =.4 cm. Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται από το γεγονός ότι η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής 6 L u = δ = εl= = = 0.8 cm 9 E 00 0 (h) Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Όταν φθάουμε το φορτίο πλατικότητας τότε και οι δύο ράβδοι διαρρέουν και επομένως έχουμε = =. Από την (a) προκύπτει + = + W 6 4 W = = = 44.5 kn (i) Σε αυτό το φορτίο, η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής. Άρα η μετατόπιη είναι L u = δ = εl= = u =.6 cm (j) E.9 Άκαμπτη δοκός ΑΒ με μήκος τηρίζεται με άρθρωη το ημείο Α και με δύο ράβδους () και () μήκους L = m τα ημεία Β και, αντίτοιχα. Οι ράβδοι έχουν διατομή Α = 0 cm και Α = 0 cm, αντίτοιχα, και είναι κατακευαμένες από ελατοπλατικό υλικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 80 Ga και τάη διαρροής ε C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\7\06.0.7

18 - 8 - εφελκυμό = 00 Ma. Η δοκός ΑΒ φέρει ένα κατακόρυφο φορτίο το ημείο. Να υπολογιθούν οι δυνάμεις και () () των ράβδων () και (), αντίτοιχα, και οι L μετατοπίεις u του ημείου για φορτία (α) = 0 kn και (β) = 80 kn, και (γ) οι B παραμένουες δυνάμεις π και π τις ράβδους και η παραμένουα μετατόπιη u π του ημείου μετά την αποφόρτιη της κατακευής από το φορτίο = 80 kn. Υπόδειξη: Οι παραμένουες μπορούν να υπολογιθούν με υπολογιμό των μεγεθών κατά τη φόρτιη και αποφόρτιη και υπέρθεη των αποτελεμάτων. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Θα εξεταθεί πρώτα αν για τα φορτία που δίνονται έχει επέλθει διαρροή ή κατάρρευη της κατακευής. Εξιώεις ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) και την ιορροπία των ροπών περί το ημείο Α έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα Σ M = 0 + = 0 + = (a) Α B (α) B B' δ δ ' Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου περιτρέφεται περί το ημείο Α και επομένως η μετατόπιη προς τα κάτω κάθε ημείου της δοκού είναι ανάλογη της απόταης από το ημείο Α. Επομένως ΒΒ δ = δ = δ = δ () καθότι οι μετατοπίεις ΒΒ και ιούνται με τις απόλυτες τιμές των παραμόρφωεων δ και δ των ράβδων () και (). Επίης οι δ και δ είναι θετικές καθότι οι ράβδοι επιμηκύνονται. C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\8\06.0.7

19 - 9 - Φορτίο και μετατόπιη διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και οι δύο ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή και τις δύο ράβδους έχουμε εφελκυμό οι εωτερικές δυνάμεις είναι N = και N =. Επομένως L L δ = δ = (c) Συνδυάζοντας τις () και (c) έχουμε L L = = = (d) και αντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας (a) = = =, = = (e) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N = = = 4 N = = = 4 > (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (f) έχουμε 4 = + = 50 kn (g) Επομένως για φορτίο = 0 kn τα φορτία τις ράβδους υπολογίζονται από τις ελατικές χέεις (e) = = = 80 kn = = = 80 kn + 4 (h) Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται από την ελατική παραμόρφωη της ράβδου () u δ L mm = = = (i) Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Στο φορτίο πλατικότητας και οι δύο ράβδοι διαρρέουν και επομένως έχουμε = = 00 kn και C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\9\06.0.7

20 - 0 - = = 00 kn. Από την (a) προκύπτει ( ) + = = + = 00 kn (j) Άρα για φορτίο = 80 kn μόνο η ράβδος () έχει διαρρεύει και επομένως το φορτίο της είναι = = 00 kn. Αντικαθιτώντας την (a) προκύπτει το φορτίο τη ράβδο () = = 60 kn (k) ια αυτό το φορτίο, η μετατόπιη το υπολογίζεται από τη παραμόρφωη της () που παραμένει ελατική. Άρα η μετατόπιη είναι L u = = = (l) δ 4 mm Η αποφόρτιη ιοδυναμεί με την επιβολή ενός φορτίου ' = -. Στην αποφόρτιη ιχύουν οι ελατικές χέεις (h) για τις δυνάμεις και (i) για την παραμόρφωη = = = 0 kn = = = 0 kn + 4 u δ L = = = mm (m) Οι παραμένουες δυνάμεις και παραμόρφωη υπολογίζονται με άθροιη των αποτελεμάτων κατά τη φόρτιη και την αποφόρτιη = + = 60 0 = 40 kn π = + = 00 0 = 0 kn π π u = u + u = 4 = mm (n).0 Άκαμπτη δοκός ΑΒ με μήκος τηρίζεται με άρθρωη το ημείο Α και με δύο ράβδους () και () διατομής Α = 0 cm τα ημεία Β και, αντίτοιχα. Οι ράβδοι έχουν μήκος L = m και L = 4 m, αντίτοιχα, και είναι κατακευαμένες από ελατοπλατικό υλικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 80 Ga και τάη διαρροής ε εφελκυμό = 00 Ma. Η δοκός ΑΒ φέρει ένα κατακόρυφο φορτίο το ημείο. Να υπολογιθούν οι δυνάμεις και L () L () B C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\0\06.0.7

21 - - των ράβδων () και (), αντίτοιχα, και οι μετατοπίεις u του ημείου για φορτία (α) = 80 kn και (β) = 0 kn, και (γ) οι παραμένουες δυνάμεις π και π τις ράβδους και η παραμένουα μετατόπιη u π του ημείου μετά την αποφόρτιη της κατακευής από το φορτίο = 0 kn. Υπόδειξη: Οι παραμένουες μπορούν να υπολογιθούν με υπολογιμό των μεγεθών κατά τη φόρτιη και αποφόρτιη και υπέρθεη των αποτελεμάτων. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Θα εξεταθεί πρώτα αν για τα φορτία που δίνονται έχει επέλθει διαρροή ή κατάρρευη της κατακευής. Εξιώεις ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) και την ιορροπία των ροπών περί το ημείο Α έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα Σ M = 0 + = 0 + = (a) Α B (α) B B' δ δ ' Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου περιτρέφεται περί το ημείο Α και επομένως η μετατόπιη προς τα κάτω κάθε ημείου της δοκού είναι ανάλογη της απόταης από το ημείο Α. Επομένως ΒΒ δ = δ = δ = δ () καθότι οι μετατοπίεις ΒΒ και ιούνται με τις απόλυτες τιμές των παραμόρφωεων δ και δ των ράβδων () και (). Επίης οι δ και δ είναι θετικές καθότι οι ράβδοι επιμηκύνονται. Φορτίο και μετατόπιη διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και οι δύο ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή και τις δύο ράβδους έχουμε εφελκυμό οι εωτερικές δυνάμεις είναι N = και N =. Επομένως L L δ = δ = (c) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

22 - - Συνδυάζοντας τις () και (c) έχουμε L L L = = = 0.5 (d) L και αντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας (a) 4L L 4L + = = =, = = 4 4 L L+ L L+ L (e) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N L + N 4L L + L = = = 4L L = = = 4 > (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας την πρώτη από τις (f) έχουμε 4L + L 00 kn = = (g) L Επομένως για φορτίο = 80 kn τα φορτία τις ράβδους υπολογίζονται από τις ελατικές χέεις (e) L = = = 80 kn 4L+ L 4L = = = 40 kn 4L+ L (h) Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται από την ελατική παραμόρφωη της ράβδου () L u = δ = mm = (i) Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Στο φορτίο πλατικότητας και οι δύο ράβδοι διαρρέουν και επομένως έχουμε = = = 00 kn και = = 00 kn. Από την (a) προκύπτει + = =.5 = 50 kn (j) Άρα το φορτίο = 0 kn μόνο η ράβδος () έχει διαρρεύει και επομένως το φορτίο της είναι = = 00 kn. Αντικαθιτώντας την (a) προκύπτει το φορτίο τη ράβδο () C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

23 - - = = = 0 50 = 80 kn (k) ια αυτό το φορτίο, η μετατόπιη το υπολογίζεται από τη παραμόρφωη της () που παραμένει ελατική. Άρα η μετατόπιη είναι L u = δ = 4 mm = (l) Η αποφόρτιη ιοδυναμεί με την επιβολή ενός φορτίου ' = -. Στην αποφόρτιη ιχύουν οι ελατικές χέεις (h) για τις δυνάμεις και (i) για την παραμόρφωη L = = = 0 kn 4L+ L 4L = = = 65 kn 4L+ L u δ L = = =.5 mm (m) Οι παραμένουες δυνάμεις και παραμόρφωη υπολογίζονται με άθροιη των αποτελεμάτων κατά τη φόρτιη και την αποφόρτιη = + = 00 0 = 0 kn π = + = = 5 kn π π u = u + u = 4.5 = 0.75 mm (n). Άκαμπτη δοκός ΑΔ τηρίζεται με άρθρωη το ημείο Α και με δύο ράβδους () και () τα ημεία Β και. Οι ράβδοι () και () έχουν μήκος L = m, L = m και εμβαδό διατομής = cm, Α = cm, αντίτοιχα, και είναι κατακευαμένες από ελατοπλατικό υλικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 70 Ga και τάη διαρροής ε μονοαξονική φόρτιη = 0 Ma. Η δοκός φέρει ένα κατακόρυφο φορτίο το ημείο Δ. Ζητείται: (α) η τιμή του φορτίου τη διαρροή της κατακευής, και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου Δ, και (β) η τιμή του φορτίου τη πλατικοποίηη (φορτίο κατάρρευης) της κατακευής και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου Δ. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία., L B () () L, Δ C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

24 - 4 - Εξιώεις ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) και την ιορροπία των ροπών περί το ημείο Α έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα Σ M = 0 + = 0 + = (a) Α B Δ (α) B δ B' ' δ Δ u Δ Δ' Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου περιτρέφεται περί το ημείο Α και επομένως η μετατόπιη προς τα κάτω κάθε ημείου της δοκού είναι ανάλογη της απόταης από το ημείο Α. Επομένως ΒΒ δ u = = δ = = δ = δ = u () καθότι οι μετατοπίεις ΒΒ και ιούνται με τις απόλυτες τιμές των παραμόρφωεων δ και δ των ράβδων () και (). Επίης οι δ και δ είναι θετικές καθότι οι ράβδοι επιμηκύνονται. Φορτίο και μετατόπιη διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και οι δύο ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή και τις δύο ράβδους έχουμε εφελκυμό οι εωτερικές δυνάμεις είναι N = και N =. Επομένως L L δ =, δ = (c) Συνδυάζοντας τις () και (c) έχουμε L L L = = (d) L και αντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας (a) L = = L, = L L 4L + L 4L + L (e) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

25 - 5 - N L = = = 4L + L > για L > L N 6L = = = 4L + L (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας την πρώτη από τις (f) έχουμε 4L + L = = 5.67 kn (g) L Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται από το γεγονός ότι η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής 6 L 0 0 u = δ = εl = = = 9 mm 9 E 70 0 (h) Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Όταν φθάουμε το φορτίο πλατικότητας τότε και οι δύο ράβδοι διαρρέουν και επομένως έχουμε = και =. Από την (a) προκύπτει 4 ( + ) = = = 0 0 = 5 kn (i) Σε αυτό το φορτίο, η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής. Άρα η μετατόπιη είναι L u = = = = = E δ εl 9.5 mm (j). Φορτίο φέρεται από οριζόντια δοκό ΑΒΔ μήκους () () που τηρίζεται από μία ΔT L ΔT L άρθρωη το Α και δύο ράβδους () και () με μήκος L = m και διάμετρο d =.5 cm. B Δ Οι ράβδοι είναι κατακευαμένες από ελατοπλατικό υλικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 70 Ga, τάη διαρροής = 0 Μa και υντελετή θερμικής διατολής α = 0-5 / C, και υπόκεινται ε μία θερμοκραιακή μεταβολή ΔΤ = 75 C. Να υπολογιθεί: (α) το φορτίο διαρροής, δηλαδή το ελάχιτο φορτίο για το οποίο μία από τις δύο ράβδους διαρρέει, (β) η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου τη C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

26 - 6 - διαρροή, (γ) το φορτίο πλατικότητας (κατάρρευης), δηλαδή το φορτίο για το οποίο και οι δύο ράβδοι διαρρέουν, και (δ) η αντίτοιχη μετατόπιη u τη πλατικότητα. του ημείου Λύη Εξιώεις ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) και την ιορροπία των ροπών περί το ημείο Α έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα Σ M = 0 + = 0 + = (a) Α Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. B Δ B Δ δ B' δ u Δ (α) ' Δ' Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου περιτρέφεται περί το ημείο Α και επομένως η μετατόπιη προς τα κάτω κάθε ημείου της δοκού είναι ανάλογη της απόταης από το ημείο Α, όπως φαίνεται το χήμα (α). Επομένως από όμοια τρίγωνα προκύπτει ΒΒ u δ δ u = = δ = = δ = = () καθότι οι μετατοπίεις ΒΒ', ΔΔ' και ' ιούνται με τις απόλυτες τιμές των παραμόρφωεων δ και δ των ράβδων () και () και με την μετατόπιη u του ημείου που θεωρείται θετική προς τα κάτω. Οι παραμόρφωεις δ και δ είναι θετικές καθότι οι ράβδοι επιμηκύνονται. Φορτίο και μετατόπιη διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής κι οι δύο ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή οι ράβδοι εφελκύονται, οι εωτερικές δυνάμεις είναι N = και N =. Επομένως δ L L = + TL, TL α δ = + α (c) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\6\06.0.7

27 - 7 - Συνδυάζοντας τις () και (c) έχουμε L L + α TL = + α TL = + α T (d) και αντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας (a) α T = = α T, = + α T (e) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N = = = αe T 5 5 > N αe T = = = (f) για ΔΤ > 0. Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (f) έχουμε 5 = + αe T = α T = = = kn (g) όπου η διατομή των ράβδων 4 = πd 4 = π =.767 cm. Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την () και λαμβάνοντας υπ όψη ότι η ράβδος () είναι το όριο διαρροής L L = = + = + = E u δ α TL α TL = + = mm (h) Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Όταν φθάουμε το φορτίο πλατικότητας τότε και οι δύο ράβδοι διαρρέουν και επομένως έχουμε = =. Από την (a) προκύπτει + = = = = (i) kn Σε αυτό το φορτίο, η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής. Άρα, χρηιμοποιώντας την (), η μετατόπιη είναι C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\7\06.0.7

28 - 8 - L L = = + = + = E u δ α TL α TL = + = mm 9 (j).7 Άκαμπτη δοκός ΑB τηρίζεται από τρεις ράβδους διαμέτρου d = cm () τα ημεία Α, και Β. Οι ράβδοι () και () τα Α και έχουν μήκος L = L m ενώ η ράβδος () το Β έχει μήκος L () L () = L. Οι ράβδοι είναι κατακευαμένες από ελατοπλατικό υλικό με μέτρο Δ B ελατικότητας Ε = 00 Ga και τάη διαρροής ε εφελκυμό = 0 Μa. Η δοκός φέρει κατακόρυφο φορτίο το ημείο Δ. Ζητείται (α) η τιμή του φορτίου τη διαρροή της κατακευής (δηλαδή όταν μία από τις τρεις ράβδους αρχίει να διαρρέει), (β) οι αντίτοιχες B μετατόπιεις u και u των ημείων Α και Β, αντίτοιχα, και (γ) η τιμή του φορτίου την κατάρρευη της κατακευής (δηλαδή όταν δύο ράβδοι διαρρέουν) και οι αντίτοιχες μετατόπιεις u και u των ημείων Α και Β, αντίτοιχα. B Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξιώεις ιορροπίας. Στο διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α), η ιορροπία των δυνάμεων την κάθετη διεύθυνη και η ιορροπία των ροπών περί το ημείο δίνουν τις ακόλουθες εξίωεις, οι οποίες ιχύουν πάντα, δηλαδή και πριν και μετά τη διαρροή Σ = = y Σ M = = 0 = 4 Α (a) Συνδυαμός των ανωτέρω δίνει = () Εξίωη υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου μετατοπίζεται ανάλογα με τις παραμορφώεις των ράβδων ε μία νέα θέη Α''Δ'B', όπως φαίνεται το χήμα (β). Από τα χηματιζόμενα τραπέζια ιχύει C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\8\06.0.7

29 - 9 - ΑΑ + ΒΒ δ + δ = = δ + δ δ + ΑΑ + δ + δ = δ = = 4 4δ = δ + δ (c) Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής οι ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή έχει θεωρηθεί ότι και οι τρεις ράβδους εφελκύονται, οι εωτερικές δυνάμεις είναι N =, N = και N =. Επομένως Δ B (α) Δ B (β) δ ' δ ' Δ' δ B' L L L δ δ δ =, =, = (d) Συνδυαμός των (c) και (d) δίνει L L L ( a) 8 = + = + = (e) ντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας () 8 6 = = 7 (f) ντικαθιτώντας την (f) τις (e) και (a), αντίτοιχα 8 6 = 6 = = 4 = 7 7 (g) Οι τάεις που αναπτύονται τις ράβδους είναι C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\9\06.0.7

30 - 0 - N 6 = = = 7 N 0 = = = > > 7 N = = = 7 (h) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας την τρίτη από τις (h) έχουμε = = = = 6.9 kn (i) 7 όπου η διατομή των ράβδων μετατόπιεις u και 4 = πd 4 = π 0 4 =.4 cm. Oι αντίτοιχες B u των ημείων Α και Β, αντίτοιχα, υπολογίζονται από την παραμόρφωη δ της () και δ της (), τις χέεις (g) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι η = Υ τη διαρροή Α L 6 L 6 7 L 6 L u = δ = = = = = 7 7 E u Β mm = = L L L = δ = = = = = 4. mm E 00 0 (j) Φορτίο και μετατοπίεις πλατικότητας (κατάρρευης). Όταν φθάουμε το φορτίο πλατικότητας τότε και η ράβδος () διαρρέει και επομένως έχουμε N = = και N = =. Από την (a) προκύπτει + 4 = + 4 = kn = = = (k) Σε αυτό το φορτίο, η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής. Άρα, χρηιμοποιώντας την (d), η δ είναι 6 L L L 0 0 δ = = = = =. mm 9 E 00 0 (l) Η παραμόρφωη δ υπoλογίζεται από τη ελατική χέη (d) και τη χέη ιορροπίας () για τον υπολογιμό της, που δίνει C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\0\06.0.7

31 - - 5 = = = Α L L L u = δ = = = = = E mm (m) H B u = δ υπολογίζεται από την (c) χρηιμοποιώντας τις (l) και (m) δ = 4δ δ = = 5.5 mm (n).8 Άκαμπτη δοκός ΑΔ τηρίζεται τα ημεία Α, Β και Δ () L από τρεις όμοιες ράβδους (), () () L () και (), αντίτοιχα, με μήκος L = B Δ m και διάμετρο d = cm Οι ράβδοι είναι ελατοπλατικές με μέτρο ελατικότητας Ε = 0 Ga και τάη διαρροής ε εφελκυμό = 00 Μa. Στο ημείο, το μέο της δοκού, εφαρμόζεται μία ταθερά αυξανόμενη δύναμη μέχρι να διαρρεύει μία από τις ράβδους. Τότε η τιμή της δύναμης είναι και η κάθετη μετατόπιη u του ημείου είναι u. Στη υνέχεια, η δύναμη υνεχίζει να αυξάνει μέχρι να διαρρεύει και μία δεύτερη ράβδος για τιμή της ίη με και τιμή της u ίη με u. Στη υνέχεια, η δύναμη διατηρείται ταθερή μέχρι να αποκτήει το ημείο μετατόπιη u = 4 mm. Μετά η μειώνεται μέχρι να μηδενιτεί. Ζητείται: (α) η και η, (β) οι θέεις της δοκού για = και =, (γ) οι παραμένουες δυνάμεις τις ράβδους και (δ) η τελική θέη της δοκού μετά την αποφόρτιη. Υποδείξεις: ια <, το πρόβλημα είναι υπερτατικό με δύο εξιώεις ιορροπίας για τις τρεις άγνωτες δυνάμεις, και τις ράβδους (), () και (), αντίτοιχα. ια = διαρρέει η () (να δειχθεί). ια < το πρόβλημα γίνεται ιοτατικό γιατί τότε η είναι γνωτή. Άρα από τις δύο εξιώεις ιορροπίας υπολογίζονται η και η υναρτήει της. Οι εξιώεις αυτές δείχνουν ότι η αυξάνει ενώ η ελαττώνεται όο αυξάνει η. Επομένως η δεύτερη ράβδος που διαρρέει για = είναι η (). Μετά οι δυνάμεις τις ράβδους παραμένουν ταθερές μέχρι να αρχίει η αποφόρτιη. Η αποφόρτιη είναι ελατική και επομένως ιχύουν οι ίδιες εξιώεις όπως την αρχή πριν τη διαρροή, όπου τώρα αντί της δύναμης έχουμε την δύναμη της αποφόρτιης = -. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξιώεις ιορροπίας. Στο διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α), η ιορροπία των δυνάμεων την κάθετη διεύθυνη και η ιορροπία των ροπών περί το ημείο δίνουν τις ακόλουθες εξίωεις, οι οποίες ιχύουν πάντα, δηλαδή και C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

32 - - πριν και μετά τη διαρροή Σ = = y Σ M = = 0 = 4 Α (a) Συνδυαμός των ανωτέρω δίνει = () Εξίωη υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου μετατοπίζεται ανάλογα με τις παραμορφώεις των ράβδων ε μία νέα θέη Α''Δ'B', όπως φαίνεται το χήμα (α). Από τα χηματιζόμενα τραπέζια ιχύει ΑΑ + ΒΒ δ + δ = = δ + δ δ + ΑΑ + δ + δ = δ = = 4 4δ = δ + δ (c) B Δ B Δ (α) δ ' δ B' ' δ Δ' Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής οι ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή έχει θεωρηθεί ότι και οι τρεις ράβδους εφελκύονται, οι εωτερικές δυνάμεις είναι N =, N = και N =. Επομένως L L L δ δ δ =, =, = (d) Συνδυαμός των (c) και (d) δίνει L L L ( a) 8 7 = + = + = (e) 4 4 C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

33 - - ντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας () 8 7 = = = (f) ντικαθιτώντας την (f) τις (e) και (a), αντίτοιχα = = = = 4 = = (g) Οι τάεις που αναπτύονται τις ράβδους είναι N 7 = = = 6 N 8 = = = > > 6 N = = = 6 (h) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Αντικαθιτώντας την τρίτη από τις (h) έχουμε = = = = 48.5 kn (i) 6 4 όπου η διατομή των ράβδων = πd 4 = π 0 4 =.4 cm. Oι αντίτοιχες παραμορφώεις δ, δ και δ των ράβδων (), () και (), αντίτοιχα, υπολογίζονται από τις (d) και (g) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι η = Υ τη διαρροή Α L 7 L 7 6 L 7 L u = δ = = = = = 6 6 E u u Β = = 9. mm 0 0 L 8 L = δ = = = = = 6 E 0 0 L L L = δ = = = = = E L mm mm (j) Οι τιμές αυτές επαληθεύουν την εξίωη υμβιβατού (c). Φορτίο και μετατοπίεις πλατικότητας (κατάρρευης). Αφού γίνει η διαρροή της () το πρόβλημα παύει να είναι υπερτατικό γιατί N = = και επομένως ύμφωνα με τις (a) και () C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\\06.0.7

34 - 4 - = = 4 (k) Οι (k) δείχνουν ότι την ελατοπλατική περιοχή καθώς αυξάνει η, η μικραίνει ενώ η μεγαλώνει. Επειδή το ίδιο υμβαίνει και τις δ και δ, αντίτοιχα, το ημείο Α μετακινείται τώρα προς τα πάνω το ημείο Α'' ενώ το ημείο εξακολουθεί να κινείται προς τα κάτω το ημείο ''. Στην πλατικοποίηη η δοκός παίρνει επομένως τη θεη Α''Β''''Δ'', όπως φαίνεται το χημα (β). Όταν φθάουμε το φορτίο πλατικότητας τότε και η ράβδος () διαρρέει και επομένως έχουμε N = = N = = = 6.8 kn. Από την (a) προκύπτει + 4 = + 4 = kn = = = (l) B Δ '', ''' B' ' ' B'' B''' '' Δ' ''' Δ'' (β) Δ''' Σε αυτό το φορτίο, η ράβδος () είναι το όριο της διαρροής. Άρα, χρηιμοποιώντας την (d), η δ είναι Β L L L u = δ = = = = = E mm (m) Η παραμόρφωη δ υπoλογίζεται από την ελατική χέη (d) και τη χέη ιορροπίας () για τον υπολογιμό της, που δίνει 5 = = = 6 Α L L L 00 0 u = δ = = = = = mm 9 E 0 0 (n) H Δ u = δ υπολογίζεται από την (c) χρηιμοποιώντας τις (m) και (n) u = δ = 4δ δ = = 4.76 mm (o) Δ C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

35 - 5 - Στην πλατικοποίηη η μετατόπιη τραπεζίου ΑΔΔ''Α'' το χήμα (β) u του ημείου δίνεται από τη γεωμετρία του ΑΑ + δ+ δ = = = = =.857 mm (p) u ια να αποκτήει το ημείο μετατόπιη u = 4 mm, η δοκός περιτρέφεται περί το ημείο Α'' μέχρι τη θέη Α'''Δ''' όπου ''' = 4 mm. Σημειώνεται ότι η θέη Α'' και ''' υμπίπτουν καθότι μεταβολή του μήκους της () απαιτεί μεταβολή του επειδή η () βρίκεται την ελατική περιοχή. Η νέα θέη ΔΔ''' βρίκεται από τη γεωμετρία του τραπεζίου ΑΔΔ'''Α''' το χήμα (β) Δ u = = ΑΑ = = mm (q) Η αποφόρτιη είναι ελατική. Άρα οι ελατικές χέεις (f) και (g) ιχύουν για τις δυνάμεις κατά την αποφόρτιη η οποία ως υνήθως υπολογίζεται με την επιβολή ενός φορτίου = - = kn = = = = 4.9 kn = = = = 48. kn = = = = kn (r) Αντίτοιχα, οι παραμορφώεις κατά την αποφόρτιη είναι L L δ = =.8 mm, δ = =.465 mm L δ = =.05 mm (s) Τελικά οι παραμένουες δυνάμεις και μετακινήεις βρίκονται με υπέρθεη των αποτελεμάτων κατά τη φόρτιη και αποφόρτιη π 5 9 = + = = = 0.87 kn 5 5 π 40 = + = = = 4.5 kn 5 5 π 55 = + = = =.65 kn 5 5 (t) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

36 - 6 - π 5 L δ = δ+ δ = = = 0.97 mm 5 E π 40 L δ = δ + δ = = =.0 mm 5 E π 55 L δ = δ + δ = = = 5.0 mm 5 E (u) Στο χήμα (γ) χεδιάζονται οι θέεις της δοκού τη διαρροή, τη πλατικοποίηη, για u = 4 mm και η τελική θέη μετά την αποφόρτιη. Στο χήμα (δ) χεδιάζονται η δύναμη και οι δυνάμεις τις ράβδους αν υνάρτηη της μετατόπιης των ημείων όπου κάθε μία απο αυτές εφαρμόζεται. Φαίνεται ότι οι ράβδοι () και () διαρρέουν ενώ η ράβδος () παραμένει την ελατική περιοχή και επομένως αποφορτίζεται ελατικά. Οι ράβδοι διαρρέουν όταν η δύναμη ε αυτές γίνει ίη με = 6.8 kn. (γ) (δ) ().9 Φορτίο φέρεται από την οριζόντια δοκό ΑΒ μήκους = 5 m () L L C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\6\ x B

37 - 7 - που τηρίζεται ε δύο ράβδους () και () με μήκη L = m και L = m και διαμέτρους d =.5 cm και d = cm, αντίτοιχα. Οι δύο ράβδοι είναι κατακευαμένες από ελατοπλατικό υλικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 70 Ga και τάη διαρροής = 0 Μa. Να υπολογιθεί: (α) η θέη x του φορτίου έτι ώτε η δοκός να παραμένει οριζόντια και μετά την επιβολή του φορτίου, (β) το φορτίο διαρροής, δηλαδή το ελάχιτο φορτίο για το οποίο μία από τις δύο ράβδους διαρρέει, και (γ) η αντίτοιχη παραμόρφωη δ των ράβδων τη διαρροή. Λύη Εξιώεις ιορροπίας. Στο διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α), η ιορροπία των δυνάμεων την κάθετη διεύθυνη και η ιορροπία των ροπών περί το ημείο B δίνουν τις ακόλουθες εξίωεις Σ = 0 + = y x (a) Σ M Β = 0 ( x) x = 0 = x x B (α) ια να παραμένει η δοκός οριζόντια πρέπει δ = δ. Χρηιμοποιώντας τις ελατικές χέεις για ράβδους ε εφελκυμό έχουμε δ L L L = δ = = = = L.767 () όπου οι διατομές των ράβδων είναι πd 4 π cm 4 = πd 4 = π 0 4 = cm. Αντικατάταη της (a) τη () δίνει 4 = = = και L x L = = x= = 5 =. m L x L + L (c) Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής οι ράβδοι είναι ελατικές. Από την () προκύπτει ότι L L = L = = = (d) L Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής και >, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη = και επομένως = = 7. kn. Αντικαθιτώντας την (d) έχουμε C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\7\06.0.7

38 - 8 - L L = L = = = 74. kn (e) L Αντικατάταη την πρώτη της (a) δίνει το τη διαρροή L = + = + = =. kn L (f) Η παραμόρφωη δ τη διαρροή δίνεται L L δ = δ = δ = = = = mm E 70 0 (g).40 Φορτίο = 8 kn φέρεται B Δ από οριζόντια άκαμπτη δοκό ΑΒΔ μήκους που τηρίζεται από άρθρωη το Α και δύο ράβδους αλουμινίου () και () με μήκος L = m και επιφάνεια διατομής Α =.5 cm. Οι ράβδοι αλουμινίου είναι ελατοπλατικές με μέτρο ελατικότητας Ε = 70 () a L L () Ga και τάη διαρροής = 0 Μa. Όταν η δοκός είναι αφόρτιτη, η ράβδος () έχει μία απόταη a = mm από τη δοκό με αποτέλεμα να μην φορτίζεται εξαρχής. Να υπολογιθoύν (α) οι τάεις και τις ράβους () και (), αντίτοιχα, (β) η μετατόπιη uδ του ημείου Δ. Λύη Θα εξεταθεί πρώτα αν για τo φορτίο που δίνεται έχει επέλθει επαφή, διαρροή ή κατάρρευη της κατακευής. Μετά την επαφή η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η δοκός λόγω του φορτίου περιτρέφεται περί το ημείο Α και επομένως η μετατόπιη προς τα κάτω κάθε ημείου της δοκού είναι ανάλογη της απόταης από το ημείο Α (χήμα (α)). Επομένως ΒΒ = = ΒΒ = = (a) ια επαφή το Β ΒΒ = a = δ = a δ = a () καθότι η μετατόπιη ' ιούται με την απόλυτη τιμή της παραμόρφωης δ της ράβδου () και η μετατόπιη ΒΒ' ιούται με την απόταη a. Επίης η δ είναι C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\8\06.0.7

39 - 9 - αρνητική καθότι η ράβδος βραχύνεται. Εξιώεις ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) και την ιορροπία των ροπών περί το ημείο Α έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα Σ M = 0 + = 0 + = (c) Α Μέχρι και την επαφή το Β, = 0 και επομένως = (d) B Δ B Δ δ +a B' δ u Δ (α) ' Δ' Τη τιγμή της επαφής, η () δίνει NL L a a = δ = = = (e) L Αντικατάταη τη (d) δίνει τη δύναμη τη τιγμή της επαφή το Β που ορίζεται ως c c 4a 4 0 = = = L kn (f) Επειδή = 8 kn > c έχουμε επαφή το Β. Η χέη (e) ιχύει όταν η () την επαφή είναι ελατική. ια να είναι ελατική πρέπει 6 a L 0 0 = a = =.5 mm 9 L E 70 0 (g) το οποίο ιχύει. Μετά την επαφή, η εξίωη υμβιβατού (a) δίνει δ u δ + a = = δ = δ+ a = u (h) καθότι η μετατόπιη ' ιούται με την απόλυτη τιμή της παραμόρφωης δ της C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\9\06.0.7

40 ράβδου () και η μετατόπιη ΒΒ' ιούται με την απόλυτη τιμή της παραμόρφωης δ της ράβδου () υν την απόταη a. Επίης οι δ και δ είναι αρνητικές καθότι οι ράβδοι βραχύνονται. Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και οι δύο ράβδοι είναι ελατικές. Επειδή και τις δύο ράβδους έχουμε θλίψη οι εωτερικές δυνάμεις είναι N = και N =. Επομένως L L δ =, δ = (i) Συνδυάζοντας τις (h) και (i) έχουμε L L a = + a = + (j) L και αντικαθιτώντας την εξίωη ιορροπίας (c) a 4a 6 a + + = =, = + L 5 5L 5 5L (k) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N 4a 5 5L N 6 a E 5 5L = = = E = = = + > (l) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, η ράβδος () διαρρέει πρώτη για τάη =. Το αρνητικό πρόημο προκύπτει επειδή η ράβδος είναι ε θλίψη. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (l) έχουμε 6 a 5 a = + E = = 5 5L 6 L = =.75 kn 6 (m) Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου Δ υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (h) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι η ράβδος () είναι το όριο διαρροής 6 L 0 0 u = ( δ ) = = = 4.5 mm 9 E 70 0 (n) Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Στο φορτίο πλατικότητας και οι δύο ράβδοι διαρρέουν και επομένως έχουμε N = N = = = =.5 kn. Από την (c) προκύπτει + = = =.5 kn (o) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\40\06.0.7

41 - 4 - Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου Δ υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (h) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι η ράβδος () είναι το όριο διαρροής u 6 L 0 0 ( δ a) a 0 mm 9 = + = + = + = E 70 0 (p) Άρα για φορτίο = 8 kn μόνο η ράβδος () έχει διαρρεύει και επομένως το φορτίο της είναι N = = = 00 kn. Αντικαθιτώντας την (c) προκύπτει το φορτίο τη ράβδο () = = + = 8.5 = kn (q) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N 0 = = = = 40 Ma = = 0 Ma (r) ια αυτό το φορτίο, η μετατόπιη το Δ υπολογίζεται από τη παραμόρφωη της () που παραμένει ελατική. Χρήη της (h) και της (q) δίνει u L = + = + = + = ( δ a ) a 0 9 mm 9 4 (s) Το χήμα (β) δίνει τη επιβαλλόμενη δύναμη και τις δυνάμεις και τις ράβδους () και (), αντίτοιχα, αν υνάρτηη της μετατόπιης uδ. Η είναι αρχικά μηδέν λογω της απόταης a. Μετά την επαφή για uδ = mm αρχίζει να αυξάνει. Η ράβδος () παραμένει ελατική κι η δύναμη υνεχώς αυξάνει. Η ράβδος () διαρρέει για u = 4.5 mm όπου =.5 kn και τη υνέχεια η δύναμη παραμένει ταθερή. (β) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

42 Ανομοιόμορφη ράβδος ΑΒ τοποθετείται μεταξύ αμετακίνητων τηριγμάτων Α και Β και φορτίζεται με μία αξονική δύναμη το ημείο. B Oι διάμετροι και τα μήκη των δύο τμημάτων Α και d Β της ράβδου είναι d = cm, L = m και d = d.5 cm, L = m, αντίτοιχα. Το υλικό της ράβδου είναι ελατοπλατικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga και τάη διαρροής = 75 Μa. Να L L υπολογιθεί (α) το φορτίο διαρροής και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου, και (β) το φορτίο κατάρρευης και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξίωη υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η υνολική παραμόρφωη είναι μηδέν. Επομένως δ = δ+ δ = 0 (a) Εξίωη ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα R + R = () Α Β Τομές και ιορροπία των δυνάμεων δίνει τις εωτερικές δυνάμεις N = R Α και N = R. Αντικατάταη την () δίνει Α N = N = N N (c) R B R B (α) Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και τα δύο τμήματα της ράβδου είναι ελατικά. Επομένως δ NL NL ( N ) L =, δ = = (d) Συνδυάζοντας τις (a) και (d) έχουμε C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

43 - 4 - ( N ) NL L L + = 0 N = L L + = = L N N L + L (e) Οι τάεις που αναπτύονται τα δύο τμήματα είναι N L = = L + L L = = > N L L = = L + L (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, πρώτο διαρρέει το κοντύτερο τμήμα () για τάη =. Αν τα δύο τμήματα έχουν το ίδιο μήκος τότε διαρρέουν ταυτόχρονα και η δύναμη διαρροής και πλατικοποίηης ταυτίζονται, δηλαδή για L = L τότε. Αντικαθιτώντας την πρώτη από τις (f) έχουμε L = L + L L 4 6 = + = = 5.9 kn L (g) όπου οι διατομές των δύο τμημάτων είναι cm 4 = πd 4 = π = cm. Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (d) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι το τμήμα () είναι το όριο διαρροής 4 = πd = π = και δ L E = ε L = = = 9.75 mm (h) Επομένως u =.75 mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα () επιμηκύνεται (δ > 0) και το Α είναι πακτωμένο. Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Στο φορτίο πλατικότητας και τα δύο τμήματα της ράβδου διαρρέουν και επομένως έχουμε N = = 86.9 kn και N = = -5 kn, όπου το αρνητικό πρόημο την N προκύπτει επειδή το τμήμα () θλίβεται. Από την (c) προκύπτει ( ) ( ) ( ) = = + = + = (i) kn Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (d) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι το τμήμα () είναι το όριο διαρροής 6 L 75 0 δ = ε L = = =.75 mm 9 E 00 0 (j) C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\4\06.0.7

44 Επομένως u =.75 mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα () βραχύνεται (δ < 0) και το Β είναι πακτωμένο. Το διάγραμμα δύναμης-μετατόπιης (προς τα δεξιά) του ημείου δίνεται το χήμα (β). Στο διάγραμμα ημειώνονται τα ημεία διαρροής (Υ) ε u =.75 mm και πλατικοποίηης () ε u =.75 mm. (β).4 Κυλινδρική ράβδος ΑΒ τοποθετείται μεταξύ αμετακίνητων τηριγμάτων Α και Β B και φορτίζεται με μία αξονική δύναμη = 00 kn το ημείο. Η διάμετρος της ράβδου και τα μήκη των δύο τμημάτων Α d και Β είναι, αντίτοιχα, d = cm, L = m και L = m. Το υλικό της ράβδου είναι L L ελατοπλατικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga και τάη διαρροής = 00 Μa. Να υπολογιθoύν (α) οι τάεις και τα τμήματα Α και Β της ράβδου, αντίτοιχα, καθώς και η μετατόπιη u του ημείου, και (β) οι παραμένουες τάεις π π και τα τμήματα Α και Β μετά την απομάκρυνη του καθώς και η παραμένουα μετατόπιη u π του ημείου. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Θα εξεταθεί πρώτα αν για τo φορτίο που δίνεται έχει επέλθει διαρροή ή κατάρρευη της κατακευής. Εξίωη υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η υνολική παραμόρφωη είναι μηδέν. Επομένως δ = δ+ δ = 0 (a) Εξίωη ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\44\06.0.7

45 R + R = () Α Β Τομές και ιορροπία των δυνάμεων δίνει τις εωτερικές δυνάμεις N = R Α και N = R. Αντικατάταη δίνει Α N = N = N N (c) R B R B (α) Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και τα δύο τμήματα της ράβδου είναι ελατικά. Επομένως δ ( N ) NL NL L =, δ = = (d) Συνδυάζοντας τις (a) και (d) έχουμε ( N ) NL L L L + = 0 N = N = N = L L L L + + (e) Οι τάεις που αναπτύονται τα δύο τμήματα είναι N L = = L+ L L = = > N L L = = L+ L (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, πρώτο διαρρέει το κοντύτερο τμήμα () για τάη =. Το αρνητικό πρόημο προκύπτει επειδή το τμήμα () είναι ε θλίψη. Αν τα δύο τμήματα έχουν το ίδιο μήκος τότε διαρρέουν ταυτόχρονα και η δύναμη διαρροής και πλατικοποίηης ταυτίζονται, δηλαδή για L = L τότε. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (f) έχουμε L L L = + L = + = + = kn L (g) 4 όπου η διατομή είναι = πd 4 = π 0 4 =.4 cm. Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Στο φορτίο πλατικότητας και τα δύο τμήματα της ράβδου διαρρέουν και επομένως έχουμε N = = 6.8 C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\45\06.0.7

46 kn και N = = -6.6 kn. Από την (c) προκύπτει 6 4 ( ) = = = = = 5.7 kn (h) Άρα για φορτίο = 00 kn μόνο το τμήμα () έχει διαρρεύει και επομένως το φορτίο του είναι N = = -6.8 kn. Αντικαθιτώντας την (c) προκύπτει το φορτίο το τμήμα () N = N + = + = = 7.7 kn (i) Οι τάεις που αναπτύονται τις δύο ράβδους είναι N = = = 8. Ma = = 00 Ma (j) ια αυτό το φορτίο, η μετατόπιη το υπολογίζεται από τη παραμόρφωη του () που παραμένει ελατικό. Χρήη της (d) και (i) δίνει u ( ) L NL = δ = = = =.775 mm (k) Η αποφόρτιη είναι ελατική. Άρα οι ελατικές χέεις (d) και (f) ιχύουν για τις δυνάμεις κατά την αποφόρτιη η οποία ως υνήθως υπολογίζεται με την επιβολή ενός φορτίου = - = -00 kn L L N N = = = 00 = 5 kn = = Ma L+ L L+ L + L L N N = = = 00 = 75 kn = = 8.7 Ma L+ L L+ L + (l) Αντίτοιχα, οι παραμορφώεις κατά την αποφόρτιη είναι N L L L δ = = = =.94 mm ( L+ L) ( + ) (m) Τελικά οι παραμένουες δυνάμεις και μετακινήεις βρίκονται με υπέρθεη των αποτελεμάτων κατά τη φόρτιη και αποφόρτιη L = + = = = 8.7 kn π ( L+ L) L = + = = = 8.7 kn π ( L+ L) (n) = δ π = δ+ δ = = 0.58 mm (o) u π C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\46\06.0.7

47 Χαλύβδινη κυλινδρική ράβδος ΑΒ B μήκους L = m και διαμέτρου d =.5 cm ΔT τοποθετείται μεταξύ αμετακίνητων d τηριγμάτων Α και Β και υποβάλλεται ε μία μεταβολή θερμοκραίας ΔΤ = 00 C. Ταυτόχρονα φορτίζεται με μία αξονική δύναμη L L το ημείο το μέο της ράβδου. Το υλικό της ράβδου είναι ελατοπλατικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga, τάη διαρροής ε μονοαξονική φόρτιη = 50 Μa και υντελετή θερμικής διατολής α = 0-5 /ºC. Να υπολογιθούν: (α) η τιμή του φορτίου τη διαρροή της κατακευής, (β) η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου, (γ) η τιμή του φορτίου τη πλατικοποίηη (κατάρρευη) της κατακευής, και (δ) η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξιώεις υμβιβατού. Από τη γεωμετρία της κατακευής, η υνολική παραμόρφωη είναι μηδέν. Επομένως δ = δ+ δ = 0 (a) Εξίωη ιορροπίας. Από το διάγραμμα ελευθέρου ώματος της δοκού το χήμα (α) έχουμε την ακόλουθη εξίωη, η οποία ιχύει πάντα R + R = () Α Β Τομές και ιορροπία των δυνάμεων δίνει τις εωτερικές δυνάμεις N = R Α και N = R. Αντικατάταη την () δίνει Α N = N = N N (c) (α) R R Β Φορτίο διαρροής. Μέχρι το φορτίο διαρροής της κατακευής και τα δύο τμήματα της ράβδου είναι ελατικά. Επομένως ( N ) NL NL L δ = + α TL, δ = + α TL = + α TL (d) Συνδυάζοντας τις (a) και (d) έχουμε C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\47\06.0.7

48 ( ) NL N L + α + + α = = α N = N = α T TL TL 0 N T (e) Οι τάεις που αναπτύονται τα δύο τμήματα είναι N N α α = = E T = = E T > (f) Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, πρώτο διαρρέει το τμήμα () για τάη =. Το αριτερό πρόημο προκύπτει επειδή το τμήμα () είναι ε θλίψη. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (f) έχουμε = αe T = ( αe T) ( ) kn = = (g) 4 όπου η διατομή της ράβδου είναι = πd 4 = π =.767 cm. Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (d) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι το τμήμα () είναι το όριο διαρροής NL L δ α α E = + TL = + TL = + 00 = 0.5 mm (h) Επομένως u = 0.5 mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα () βραχύνεται (δ < 0) και το Β είναι πακτωμένο. Φορτίο και μετατόπιη πλατικότητας (κατάρρευης). Στο φορτίο πλατικότητας και τα δύο τμήματα της ράβδου διαρρέουν και επομένως έχουμε N = = 44.8 kn και N = = kn, όπου το αρνητικό πρόημο τη N προκύπτει επειδή το τμήμα () θλίβεται. Από την (c) προκύπτει 6 4 ( ) = = = = 88.6 kn (i) Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (d) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι το τμήμα () είναι το όριο διαρροής NL L δ α α E = + TL = + TL = + 00 =.5 mm 00 0 (j) Επομένως u =.5 mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα () επιμηκύνεται (δ > 0) και το Α είναι πακτωμένο. C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\48\06.0.7

49 Κυλινδρική ράβδος αλουμινίου ΑΒ B μήκους L = m και διαμέτρου d =.5 cm ΔT τοποθετείται μεταξύ αμετακίνητων τηριγμάτων Α και Β και φορτίζεται με d αξονική δύναμη = 50 kn το ημείο το μέο της ράβδου. Στη υνέχεια υποβάλλεται ε μία μεταβολή θερμοκραίας ΔΤ. Το υλικό L L της ράβδου είναι ελατοπλατικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 80 Ga, τάη διαρροής ε μονοαξονική φόρτιη = 00 Μa και υντελετή θερμικής διατολής α = 0-5 / C. Να υπολογιθούν οι τάεις και τα τμήματα Α και Β, αντίτοιχα, και η μετατόπιη u του ημείου για (α) ΔΤ = 50 C και (β) ΔΤ = 00 C. Λύη Η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχουμε περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Θα εξεταθεί πρώτα αν για το φορτίο και τις θερμοκραιακές μεταβολές που δίνονται έχει επέλθει διαρροή της κατακευής. Θα υπολογιθεί δηλαδή η θερμοκραιακή μεταβολή διαρροής ΔT. Οι εξιώεις (a) (f) του Προβλήματος.45 ιχύουν και το πρόβλημα αυτό. Επειδή οι ράβδοι έχουν την ίδια τάη διαρροής, πρώτο διαρρέει το τμήμα () για τάη =. Αντικαθιτώντας τη δεύτερη από τις (f) του Προβλήματος.45 έχουμε = αe T T = α E T = C = (a) 4 όπου η διατομή της ράβδου είναι = πd 4 = π =.767 cm. Άρα για ΔT = 50 C < ΔΤΥ, οι τάεις υπολογίζονται από τις ελατικές χέεις (f) του Προβλήματος = αe T = = = αe T = = Ma Ma () Η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου υπολογίζεται χρηιμοποιώντας τις (d) και (e) του Προβλήματος.45 NL L L = + TL = E T + TL = = E δ α α α 50 0 = =.768 mm (c) Επομένως, u =.768 mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα () επιμηκύνεται (δ > 0) και το Α είναι πακτωμένο. C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\49\06.0.7

50 Αντίθετα για ΔT = 00 C > ΔΤΥ, το τμήμα () έχει διαρρεύει και επομένως η εωτερική του δύναμή είναι N = = -5.4 kn. Αντικαθιτώντας την (a) του Προβλήματος.45 προκύπτει η εωτερική δύναμη το τμήμα () N = + N = = = 4.66 kn (d) Οι τάεις τα δύο τμήματα είναι N 50 0 = = = = = = 00 Ma Ma (e) ια περαιτέρω αύξηη της θερμοκραίας, το τμήμα () διαρρέει περαιτέρω και επομένως οι τάεις τα δύο τμήματα δεν μεταβάλλονται. Η μετατόπιη το υπολογίζεται από τη παραμόρφωη του () που παραμένει ελατικό. Άρα η μετατόπιη υπολογίζεται χρηιμοποιώντας την (d) του Προβλήματος.45 και την (d) ( ) NL L = + = + TL = = + = δ α TL α mm (f) Επομένως, u =.07 mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα () επιμηκύνεται (δ > 0) και το Α είναι πακτωμένο..49 Στη ράβδο του Προβλήματος.48 να υπολογιθούν (α) οι τάεις και τα τμήματα ΑΒ και Β, αντίτοιχα, για = 000 kn και (β) η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου. Λύη ια το φορτίο ιχύει = < = 000 < = 78 kn. Άρα βρίκεται την ελατοπλατική περιοχή και μόνο το τμήμα () έχει διαρρεύει και επομένως το φορτίο του είναι N = = 589 kn. Αντικαθιτώντας την (c) του Προβλήματος.48 προκύπτει το φορτίο το τμήμα () N = N = = = 4 kn (a) Οι τάεις που αναπτύονται τα δύο τμήματα είναι = = 00 Ma N 4 0 = = = = 09. Ma () H μετατόπιη το υπολογίζεται από τη παραμόρφωη του () που παραμένει ελατικό. Χρήη της (e) του Προβλήματος.48 και (a) δίνει C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\50\06.0.7

51 - 5 - ( ) L NL 4 0 δ = = = =.5 mm (c) Λόγω της παραμόρφωης δ, το ημείο μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά.5 mm επειδή το τμήμα Β βραχύνεται. Σε αυτήν τη μετατόπιη πρέπει να προτεθεί και η μετατόπιη του ημείου Β προς τα δεξιά κατά δ. Επομένως, η υνολική μετατόπιη u =.5 + = 4.5 mm προς τα δεξιά..50 νομοιόμορφη ράβδος ΑΒ τοποθετείται μεταξύ αμετακίνητων τηριγμάτων και φορτίζεται με αξονική δύναμη το ημείο. B Το αριτερό άκρο Α είναι πακτωμένο, ενώ το δεξιό άκρο Β απέχει αρχικά μία απόταη δ = d d.8 mm από την αμετακίνητη επιφάνεια. Τα μήκη και οι διάμετροι των δύο τμημάτων της L L ράβδου είναι L = m, d = 4 cm και L = m, δ d = cm, αντίτοιχα. Το υλικό της ράβδου είναι ελατοπλατικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga και τάη διαρροής = 0 Μa. Να υπολογιθεί (α) το φορτίο διαρροής και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου, και (β) το φορτίο κατάρρευης και η αντίτοιχη μετατόπιη u του ημείου. Λύη Μέχρι την επαφή μόνο το τμήμα Α φορτίζεται. ια να διαρρεύει το τμήμα αυτό πρέπει να επιμηκυνθεί κατά δ = ε L= L E = = (a) mm Άρα τό τμήμα Α διαρρέει μετά την επαφή το Β. Τότε η κατακευή είναι υπερτατική γιατί έχει περιότερες τηρίξεις από όες χρειάζονται για την ιορροπία. Εξιώεις ιορροπίας. Oι εωτερικές δυνάμεις N και N τα τμήματα Α και Β είναι αντίτοιχα (χήμα (α)) N = R N = R () Α Β όπου R Α και R Β είναι οι αντιδράεις τα ημεία Α και Β, αντίτοιχα. Από το ελεύθερο ώμα για τη ράβδο ΑΒ έχουμε R + R = N N = (c) Α Β Εξιώεις υμβιβατού. Η υνολική παραμόρφωη δ είναι ίη με την απόταη δ. Άρα δ = δ+ δ = δ (d) Φορτίο και μετατόπιη διαρροής. Μέχρι το όριο διαρροής οι δύο ράβδοι είναι ελατικές και επομένως C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

52 - 5 - NL NL δ =, δ = (e) όπου = π d 4 = π 4 4 =.57 cm είναι η διατομή του τμήματος () και = π d 4 = π 4 =.4 cm είναι η διατομή του τμήματος () ης ράβδου. (α) Συνδυάζοντας τις (d) και (e) έχουμε NL NL N N δ δ L L + = δ + = E N = N+ (f) Αντικαθιτώντας την (c) δ δ N + N = N = + L + L δ N = + L + (g) Άρα οι τάεις τα δύο τμήματα είναι N + δ L = = + + δ L = > N + δ L δ L = = + (h) Επομένως, διαρρέει πρώτα το τμήμα () ε εφελκυμό όταν =. Αντικατάταη την πρώτη της (h) δίνει + δ L δ = = + = ( ) ( ) + L kn = + = (i) Η μετατόπιη u του ημείου τη διαρροή της κατακευής υπολογίζεται από την C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

53 - 5 - παραμόρφωη δ του τμήματος. Στη διαρροή η παραμόρφωη αυτή δίνεται από την (a) ως δ =. mm. Επομένως, η μετατόπιη u =. mm προς τα δεξιά, επειδή το τμήμα Α επιμηκύνεται και το ημείο Α είναι αμετακίνητο. Στην κατάρρευη διαρρέει ε θλίψη και το τμήμα (). Επομένως N = = 6.9 kn και N = = kn. Αντικατάταη τη (c) δίνει ( ) ( ) ( ) = = + = + = (j) 6 4 p kn Η μετατόπιη u του ημείου τη διαρροή της κατακευής υπολογίζεται από την παραμόρφωη δ του τμήματος () που βρίκεται το όριο της διαρροής. Από την (e) και λαμβάνοντας υπόψη ότι το τμήμα () βρίκεται το όριο της διαρροής προκύπτει δ N L L = = = L = 9 =. mm E 00 0 (k) Λόγω της παραμόρφωης δ, το ημείο μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά. mm επειδή το τμήμα () βραχύνεται. Σε αυτήν τη μετατόπιη πρέπει να προτεθεί και η μετατόπιη του ημείου Β προς τα δεξιά κατά δ. Επομένως, η υνολική μετατόπιη u =. +.8 =.9 mm προς τα δεξιά..5 Ράβδος ΑΒΔ πακτώνεται τα άκρα της Α και Δ και φορτίζεται πρώτα με αξονική δύναμη = 80 kn το ημείο (χήμα (a)) και τη υνέχεια με αξονική δύναμη = 45 kn το ημείο Β (χήμα ()) χωρίς αποφόρτιη της. Το μήκος κάθε τμήματος της ράβδου = m και η διατομή Α = 5 cm. Το υλικό της ράβδου είναι ελατοπλατικό με μέτρο ελατικότητας Ε = 80 Ga και τάη διαρροής = 00 Μa. Να υπολογιθούν οι τάεις B, B και Δ τα τμήματα ΑΒ, Β και Δ, αντίτοιχα, και οι μετακινήεις ub και u των ημείων Β και, αντίτοιχα, μετά την επιβολή (α) του φορτίου και B Δ (β) και του φορτίου. Υπόδειξη: Η τελική φόρτιη μπορεί να (a) υπολογιθεί με υπολογιμό των τάεων και μετατοπίεων των επιμέρους φορτίων και B Δ χωριτά και υπέρθεη των αποτελεμάτων. ' () Απάντηη (α) B = 60 Ma, B = 60 Ma, Δ = -00 Ma, ub = 0.75 mm, u =.5 mm, (β) B = 0 Ma, B = 90 Ma, Δ = -70 Ma, ub = 0 mm, u =.5 mm. C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\5\06.0.7

54 Ένας κοίλος κυκλικός ωλήνας () d μήκους L = 40 cm και μία ομόκεντρος d υμπαγής κυκλική ράβδος () μέα το ωλήνα, υμπιέζονται από μία δύναμη () () () μέω μίας άκαμπτης πλάκας. Όταν δεν εξακείται φορτίο υπάρχει μία απόταη L () c = 0. mm μεταξύ της ράβδου () και της άκαμπτης πλάκας. Ο ωλήνας και η ράβδος είναι ελατοπλατικές με μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga και τάη διαρροής = 50 Μa, και έχουν εμβαδό εγκάριας διατομής = cm και = cm, αντίτοιχα. (α) Να c κατακευαθεί το διάγραμμα φορτίουπαραμόρφωης με τεταγμένη το φορτίο και τετμημένη την παραμόρφωη δ του ωλήνα, (β) να υπολογιθεί το φορτίο () () () L διαρροής και η αντίτοιχη παραμόρφωη δ του ωλήνα, και (γ) να υπολογιθεί το φορτίο πλατικότητας (κατάρρευης) και η αντίτοιχη παραμόρφωη δ του ωλήνα. Σημειώνεται ότι το διάγραμμα φορτίου-παραμόρφωης δεν είναι μία ευθεία γραμμή την περιοχή. 0 Απάντηη (β) = 95. kn, δ = 0.5 mm, (γ) = 575 kn, δ = mm. c.5 Ένας κοίλος κυκλικός ωλήνας () και μία ομόκεντρος () () () L d d d a C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\54\06.0.7

55 υμπαγής κυκλική ράβδος () μέα το ωλήνα με μήκος L = 50 cm υμπιέζονται από μία δύναμη μέω μίας άκαμπτης πλάκας. Όταν δεν ακείται φορτίο υπάρχει μία απόταη c = 0. mm μεταξύ του ωλήνα () και της άκαμπτης πλάκας. Ο ωλήνας και η ράβδος είναι ελατοπλατικές με μέτρο ελατικότητας Ε = 00 Ga και Ε = 00 Ga, αντίτοιχα, τάη διαρροής = 00 Μa και = 70 Μa και έχουν εγκάριες διατομές με τις διατάεις που δίνονται το χήμα, όπου da = 0 cm, d = 8 cm και d = 6 cm. Να υπολογιθεί το φορτίο διαρροής της κατακευής, δηλ. το μέγιτο φορτίο που μπορεί να εφαρμοθεί χωρίς να διαρρεύει κανένα από τα δύο τοιχεία. Απάντηη = kn..54 Άκαμπτη δοκός ΑΒ τηρίζεται με 80 ελατοπλατικές ράβδους και το αριτερό της άκρο Α με μία άρθρωη. Στο δεξιό της άκρο Β φέρει φορτίο. Το μήκος κάθε L L L... L 79 L 80 ράβδου i είναι Li, η διάμετρος di, το μέτρο B ελατικότητας Εi, η τάη διαρροής i, και η απόταη από το άκρο Α 79 είναι i. Ζητείται: (α) Το 80 x φορτίο διαρροής, δηλαδή το ελάχιτο φορτίο για το οποίο μία από τις ράβδους διαρρέει και η αντίτοιχη μετατόπιη uβ του ημείου Β τη διαρροή, (β) να δοθούν ε διαγράμματα ως προς τον αύξοντα αριθμό i του τοιχείου, η δύναμη i, η παραμόρφωη δi κάθε ράβδου τη διαρροή, όπως επίης και η τάη εκφραμένη αν ποοτό της τάης διαρροής i i, και (γ) το φορτίο πλατικότητας (κατάρρευης), δηλαδή το φορτίο για το οποίο όλες οι ράβδοι διαρρέουν. Δίνονται: E = 0 Ga, = 70 Ma, L = 7 m, d = 5 cm, = m. Απάντηη (α) = 0.9 kn, uβ = 5.45 mm, (γ) = 86 kn. Παράδειγμα λογιτικού φύλλου που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για τους υπολογιμούς και τα διαγράμματα. C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\55\06.0.7

56 C:\Users\epa\Documents\Courses\Mechanics of Materials\Books\apamichos E +Charalamakis N_NEW Edition\Solutions manual\ xial loading - Solutions manual docx\Ea\56\06.0.7