Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Transcript

1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή ( ω ω Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν µια τυχαία µεταβλητή (random variable. Συνεχείς - ιακριτές τυχαίες µεταβλητές

2 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής (cumulative distribution unction (CDF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως F ( ω Ω : ( ( P ω F ( F ( F ( N P ( u ( -

3 F Ιδιότητες της Αθροιτικής Συνάρτηης Κατανοµής ( ( F Η F (είναιµηφθίνουα df ( df P [ d ] ( < + + d lim ( F και lim ( + F F ( F ( αν < P ( < F F ( ( -3

4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ F ( df ( ( d F ( Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας (probability density unction (PDF µίας τυχαίαςµεταβλητής ορίζεταιωςηπαράγωγοςτης F ( δηλαδή ( ( N ( P ( δ ( -4

5 Για διακριτές τυχαίες µεταβλητές υνηθίζεται να ορίζουµε τη υνάρτηη πιθανότητας µάζας (probability mass unction (PMF η οποία ορίζεται ως { p i }. όπου p P.. i ( i Προφανώςγιακάθε iιχύει p i και i pi -5

6 Ιδιότητες της Συνάρτηης Πυκνότητας Πιθανότητας F ( ( γιακάθε F df ( ( P + d ( ( P( df ( d ( d dp( [ < ] F F ( ( + F P ( ( d (ξ dξ ( < df ( ( d ( d [ < + d] P dp( + d dp( ( d Συνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας -6

7 Συναρτήεις Τυχαίων Μεταβλητών Μία υνάρτηη µίας τυχαίας µεταβλητής έτω Yg( είναι επίης µία τυχαία µεταβλητή. Για την οποία η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής είναι F Y Y g ( ( ( y ( ω Ω : g ( ( y ( y P ω Y Y Στην ειδική περίπτωη για την οποία για κάθε y η εξίωη g( y έχει αριθµήιµο ύνολο λύεων { i } και για όλες αυτές τις λύεις υπάρχει η παράγωγος. g και είναι µη µηδενική τότε ( i Y ( y i g ( ( i i -7

8 Παράµετροι κατανοµής τυχαίας µεταβλητής Η κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής όπως έχουµε ήδη αναφέρει δύναται να εκφρατεί είτε από την αθροιτική υνάρτηη κατανοµής είτε από τη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. Στη υνέχεια θα περιγραφούν οι βαικές παράµετροι της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Οι βαικές αυτές παράµετροι της κατανοµής δίδουν µία περιληπτική περιγραφή της πιθανο-θεωρητικής υµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής. -8

9 Στατιτικοί Μέοι Όροι Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέη τιµή µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως P( E [ ] i i i όπου p i P( i είναι η υνάρτηη πιθανότητα µάζας της διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Ηµέητιµήυνήθωςδηλώνεταιµε m ή. Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέη τιµή µιας υνεχούς τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E[ ] ( d όπου ( είναι η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. Η µέη τιµή υνήθως δηλώνεταιµε m ή. -9

10 Μέη τιµή υνάρτηης τυχαίας µεταβλητής Ας θεωρήουµε τη τυχαία µεταβλητή Y οι τιµές της οποίας ορίζονται από την πραγµατικήυνάρτηη y g( όπου είναιοιτιµέςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Η µέη τιµή της διακριτής τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη E( Y E [ ] g( g( P( Η µέη τιµή της υνεχούς τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη [ g( ] E( Y E g( ( d -

11 ιαπορά και Τυπική Απόκλιη Ηύπαρξηκατανοµώνοιοποίεςέχουντηνίδιαµέητιµήκαιτωνοποίωνοιτιµέςείναι περιότερο ή λιγότερο διαπαρµένες και αποµακρυµένες από αυτήν καθιτά αναγκαία την ειαγωγή της διακύµανης η οποία είναι ένα µέτρο του βαθµού υγκέντρωης ή του βαθµού µεταβολής της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Η διακύµανη (variance ή η διαπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι η µέη τιµή τουτετραγώνουτηςαπόκλιης g( ( m τηςτυχαίαςµεταβλητής απότηµέη τηςτιµής m E(. Η διακύµανη ή η διαπορά της υµβολίζεται µε VAR( ή ορίζεται από τη χέη ή απλά και E ( m Η θετική τετραγωνική ρίζα της διαποράς καλείται τυπική απόκλιη (standard deviation της τυχαίας µεταβλητής. -

12 Για τη διακύµανη έχουµε ( E E E ( E E + E ( E Γιακάθεταθερά cέχουµετιςακόλουθεςχέειςγιατηµέητιµή. E c c E. E c c 3. E + c E + c και τις ακόλουθες χέεις για τη διακύµανη. VAR( c c VAR(. VAR ( c 3. VAR( + c VAR( -

13 Χαρακτηριτική υνάρτηη τυχαίας µεταβλητής Ηχαρακτηριτικήυνάρτηηµίαςτυχαίαςµεταβλητής δηλώνεταιωςψ (ν και ορίζεται ως Ψ ορι. ( ν ( e Η χαρακτηριτική υνάρτηη τυχαίας µεταβλητής υνδέεται µε το µεταχηµατιµό Fourier (διαφέρει το πρόηµο τον εκθετικό όρο της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητάς της. Η χαρακτηριτική υνάρτηη τυχαίας µεταβλητής παρέχει ένα εύκολο τρόπο υπολογοµού των ροπών της τυχαίας µεταβλητής. Για να προδιορίουµε την n-τη ροπή της τυχαίας µεταβλητής χρηιµοποιούµε τη χέη m ( n ορι. jν d n d j d ν n ( d Ψ ( ν n ν n Η χαρακτηριτική υνάρτηη τυχαίας µεταβλητής είναι φραγµένη από την τιµή της το µηδέν Ψ ( Ψ ( ν -3

14 Πολλαπλές Έτω και Y δύο τυχαίες µεταβλητές που ορίζονται τον ίδιο δειγµατοχώρο. Για τις δύο αυτές τυχαίες µεταβλητές ορίζουµε τη υνδυαµένη αθροιτική υνάρτηηκατανοµής (joint (CDF ήπιοαπλά F Y ( y P ( ω Ω : ( ω Y ( ω y F Y ( y P ( Y y και τη υνδυαµένη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας (joint (PDF Y ( y ϑ F Y ( y ϑϑ y -4

15 Βαικές ιδιότητες των υνδυαµένων και περιθώριων (marginal CDF και PDF F F Y ( F ( Y ( y F ( y Y ( y Y ( dy Y ( y y Y ( d Y ( y d dy F Y ( y y ( u υ du dυ Y -5

16 εµευµένη ή υπουνθήκη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας Η δεµευµένη ή υπουνθήκη PDF της τυχαίας µεταβλητής υπό την προϋπόθεη ότιητιµήτηςτυχαίαςµεταβλητής Yείναιίηµε yορίζεταιως Y y Y ( y ( Y ( y Y ( y αλλιως & Ηυνάρτηη Y ( y µπορείναθεωρηθείωςυνάρτηητηςµεταβλητής µετη µεταβλητή y αυθαίρετη αλλά ταθερή υνεπώς ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας Y ( y Y ( y d F P ( y Y ( < y ( ξ y dξ Y ( ξ y dξ -6

17 Αν υµβαίνει η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας µετά την γνωτοποίηη της Y να είναι η ίδια µε τη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας πριν τη γνωτοποίηη της Y τότε οι τυχαίες µεταβλητές ονοµάζονται τατιτικά ανεξάρτητες (statistical independent καιιχύει Y ( y ( Y ( y Αν οι τυχαίες διαδικαίες και Y είναι τατιτικά ανεξάρτητες τότε η έκβαη της Yδενεπηρεάζειτηνκατανοµήτης. Ηυπουνθήκηπιθανότητα Y ( y απλοποιείται την περιθώρια υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας Y ( y ( -7

18 Μία υνάρτηη δύο τυχαίων µεταβλητών και Y g(y είναι επίης τυχαία µεταβλητή. Η αναµενόµενη τιµή της g( Y δίνεται από την [ g ( Y ] E g ( y Y ( y d dy Στην ειδική περίπτωη όπου g( Y Y λαµβάνουµε την E[ Y] που ονοµάζεται υχέτιη (correlation των και Yκαιυµβολίζεταιµε R Y R Y E[ Y] y y Y ( d dy Ανηυχέτιηγράφεταιως R Y E[] E[Y] τότεοιτυχαίεςµεταβλητέςλέγονται αυχέτιτες (uncorrelated. Αν οι τυχαίες µεταβλητές και Y είναι τατιτικά ανεξάρτητες τότε είναι και αυχέτιτες. Το αντίθετο δεν ιχύει γενικά. Ανηυχέτιηγράφεταιείναιίηµεµηδέν R Y τότεοιτυχαίεςµεταβλητές λέγονται ορθογώνιες (orthogonal. -8

19 Στην περίπτωη κατά την οποία g(y ( m (Y m Υ λαµβάνουµε την E[( m (Y m Y ] ηοποίακαλείταιυµµεταβολή (covariance - COV των και Y ηοποίαυµβολίζεταιµε C Y ήµε COV(Y καιείναι C Y E [( m ( Y m ] ( m ( y m Y Y Y ( y d dy αποδεικνύεταιότι C Y R Y - E[] E[Y] Ανοι και Yείναιανεξάρτητεςήαυχέτιτες (R Y E[] E[Y] τότεηυµµεταβολήτουςείναιίηµεµηδέν C Y. Ανοι και Yείναιορθογώνιες (R Y τότεηυµµεταβολήτουςείναι C Y - E[] E[Y]. Αν επιπλέον µία τουλάχιτον από τις και Y έχει µέη τιµή ίη µε µηδέντότεηυµµεταβολήτουςείναιίηµεµηδέν C Y. -9

20 Η κανονικοποηµένη µορφή της υµµεταβολής καλείται υντελετής υχέτιης (correlation coeicient υµβολίζεταιµερ Y καιορίζεταιως ρ Y CY Y m E Y m Y Y αποδεικνύεταιότι ρ Y -

21 Σηµαντικές Οι υχνότερα χρηιµοποιούµενες τυχαίες µεταβλητές είναι Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή Η Gaussian τυχαία µεταβλητή ιωνυµική (Binomial Τυχαία µεταβλητή Bernoulliτυχαίαµεταβλητή Poissonτυχαίαµεταβλητή Εκθετική τυχαία µεταβλητή Rayleighτυχαίαµεταβλητή -

22 Οµοιόµορφη Τυχαία Μεταβλητή Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή είναι µία υνεχής τυχαία µεταβλητή που λαµβάνει τιµέςµεταξύ aκαι bµείεςπιθανότητεςεδιατήµατατιµώνπουέχουνίαµήκη. Η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας F a ba b ( a a < b a < b ( a< < b a b αλλιώς F ( ( ba a b a b -

23 Η Gaussian Τυχαία Μεταβλητή Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας είναι ( m ( e π όπου mείναιηµέητιµήκαιητυπικήαπόκλιη ( π 67 π m m m+ Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της Gaussian τυχαίας µεταβλητής -3

24 Η υνάρτηη κατανοµής είναι F ( π e ( ξm dξ F ( m m m+ Η υνάρτηη κατανοµής της Gaussian τυχαίας µεταβλητής -4

25 Ηυνάρτηη κατανοµής της Gaussian τυχαίας µεταβλητής για m και δηλώνεται µε Φ( και δίνεται από τη χέη π ξ Φ( P Η υνάρτηη Q του Marcum ορίζεται ως ( e dξ Q( y P π ( > y e d y ( e π Εµβαδ& οq( y y -5

26 ιάφορες παρουιάεις του ολοκληρώµατος αυτού δίνονται ε µορφή εύχρητων πινάκων ή διαγραµµάτων. y Q ( y y Q ( y y Q ( y 5e e e-7 467e e e-7 474e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-9 56e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e- 75e e e- 7864e e e- 393e- 46 4e e- 3 74e e-6-6

27 Παρατηρούµε ότι Q ( Φ ( και m P ( > Q -7

28 BernoulliΤυχαίαΜεταβλητή Αυτή είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή που παίρνει δύο τιµές το ένα και το µηδέν µεπιθανότητες p και - p. Ητυχαίαµεταβλητή Bernoulliείναιένακαλό µοντέλογιαµιαγεννήτριαδυαδικώνδεδοµένων. Όταν δυαδικά δεδοµένα µεταβιβάζονται µέω ενός καναλιού επικοινωνίας και µερικά bits λαµβάνονται εφαλµένα µπορούµε να µοντελοποιήουµε ένα φάλµα µεµίαπρόθεη modulo- του το bitειόδου µεταβάλλονταςέτιτο ε καιτο ε. Η τυχαία µεταβλητή Bernoulli φαλµάτων καναλιού. χρηιµοποιείται για τη µοντελοποίηη των -8

29 Bernoulli trials Σύνολο έχει n τοιχείων. Ο ολικός αριθµός των υπουνόλων µε τοιχεία είναι n n( n L( n + n!!( n! Παράδειγµα.Τατοιχείαενόςυνόλουείναι a b cκαι d. Ποιοςοαριθµόςτων υπουνόλων µε δύο τοιχεία; Έχουµε n 4 και εποµένως το πλήθος των υπουνόλων µε τοιχεία είναι Πράγµατιέχουµεταύνολα ab ac ad bc bdκαι cd Το παραπάνω υµπέραµα χρηιµοποιείται για να βρεθεί η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός φορές ε n ανεξάρτητες πραγµατοποιήεις ενός πειράµατος τύχης. Το πρόβληµα αυτό είναι βαικά το ίδιο µε το πρόβληµα να έχουµε φορές κεφάλι ε n τριψίµατα ενός νοµίµατος. -9

30 Παράδειγµα. Αντρίψουµεένανόµιµαηπιθανότηταναέχουµεκεφάλιείναι P(K p. Σχηµατίζεται µία ακολουθία από N τριψίµατα του νοµίµατος. Η πιθανότητα την ακολουθία να έχουµε φορές κεφάλι και N φορές γράµµατα θα είναι λόγω της ανεξαρτηίας P( K P( K P( K P( Γ P( Γ P( Γ p ( p εδοµένου ότι οι πιθανές ακολουθίες µήκους N τις οποίες παρουιάζονται κεφάλια ανεξαρτήτου θέης είναι έχουµε τη πιθανότητα P N N!!( N! N ( K να υµβεί ακριβώς φορές p ( p N N -3

31 όπου < p < και n. Αυτή είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή που δίνει το πλήθος των ε µία ακολουθία από n ανεξάρτητα πειράµατα Bernoulli. Η PMF δίνεται από ιωνυµική (Binomial Τυχαία Μεταβλητή αλλιώς ( ( n p p n P n και η αθροιτική διωνυµική υνάρτηη κατανοµής n n u p p n F ( ( ( Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί για παράδειγµα τον ολικό αριθµό των bits τα οποία λαµβάνονται εφαλµένα όταν µια ακολουθία από n bits µεταβιβάζεται µέα από ένα κανάλι µε πιθανότητα φάλµατος-bit ίη µε p. n n p p n ( ( ( δ Η διωνυµική υνάρτηη πυκνότητα πιθανότητας είναι -3

32 Αυτή είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή της οποίας η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας είναι b ( e δ (! όπου b > πραγµατικήταθερά. Η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής PoissonΤυχαίαΜεταβλητή F ( e b b Αυτή η τυχαία µεταβλητή εφαρµόζεται ε πολλές εφαρµογές υνεχούς χρόνου. Μοντελοποιεί για παράδειγµα τον αριθµό των τηλεφωνικών κλήεων που πραγµατοποιούνται ε ένα τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια µιας χρονικής περιόδου. Αν το χρονικό διάτηµα ενδιαφέροντος έχει διάρκεια T και τα γεγονότα τα οποία καταµετρώνται πραγµατοποιούνται µε µέο ρυθµό λ και ακολουθούν κατανοµή Poisson τότε b λt εποµένως ( ( T T e λ λ δ (! b u(! -3

33 Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο δηµιουργείται ουρά όταν φτάνουν τηλεφωνικές κλήεις ενώ όλες οι γραµµές είναι απαχοληµένες. Παράδειγµα: Υποθέτοντας ότι οι τηλεφωνικές κλήεις ε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθούνκατανοµή Poisson καιπραγµατοποιούνταιµεµέορυθµό 5 κλήεις/h. Το τηλεφωνικό κέντρο έχει τη δυνατότητα να εξυπηρετήει µόνο ένα υνδροµητή και κάθε τηλεφωνική κλήη διαρκεί ένα λεπτό. Ποια είναι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής το τηλεφωνικό κέντρο; Η ουρά αναµονής θα πραγµατοποιηθεί αν δύο ή περιότερη υνδροµητές εκδηλώουν επιθυµία να πραγµατοποιήουν κλήη ε χρονικό διάτηµα ενός λεπτού. Η πιθανότητα πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής το τηλεφωνικό κέντρο είναι ένα µείον την πιθανότητα να έχουµε περιότερες από µία τηλεφωνικές κλήεις. Έχουµε λ 5/6 τηλεφωνικέςκλήεις / minκαιτ minέτι b 5/6. Έχουµελοιπόν P( πραγµατοποιηθεί ουρά F 5 e 6 3 ( 5 ( + Αναµένεταιλοιπόνναυπάρχειουράτοτηλεφωνικόκέντροπερίπουκατάτο 3% του χρόνου. 6-33

34 Εκθετική τυχαία µεταβλητή για πραγµατικούς αριθµούς a και b για του οποίους ιχύει < a < και b >. ( F a b a e ( b a b a e b Γιαα καιλ /bέχουµε < > ( e F λ < > ( e λ λ < > a a e F b a ( Η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής < > a a e b b a ( Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας -34

35 Αποδεικνύεται ότι E[ ] Var[ ] λ λ Η εκθετική υνάρτηη είναι η µοναδική υνάρτηη µε έλλειψη µνήµης δηλαδή ικανοποιεί τη ( s+ t > t P( s P > > γιακάθε sκαι t > Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί για παράδειγµα τους χρόνου εξυπηρέτηης ε ένατηλεφωνικόκέντρο. Αν τυχαία µεταβλητή παριτάνει το χρόνο µεταξύ δύο διαδοχικών τηλεφωνικών κλήεων ακολουθεί εκθετική κατανοµή και θεωρήουµε ότι µία κλήη έφταε τη χρονική τιγµή t τότε η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου µέχρι την επόµενη κλήη θα είναι ( t λ e Επίης η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί τη διακύµανη της ιχύος του ήµατος που λαµβάνει το radar για τους διάφορους τύπους αεροκαφών. λ t -35

36 Παράδειγµα: Η ιχύς που ανακλάται από αεροκάφος ύνθετης µορφής και η οποία λαµβάνεται από διάταξη radar µοντελοποιείται από εκθετική τυχαία µεταβλητή P. Η υνάρτηη πυκνότηταςπιθανότηταςείναι P ( p P όπου P είναιηµέητιµήτηςλαµβανοµένηςιχύος. e p P p> p< Σεκάποιαδεδοµένηχρονικήτιγµή Pέχειτιµήδιάφορηαπότηµέητηςτιµή. Ποια είναι η πιθανότητα η λαµβανόµενη ιχύς να είναι µεγαλύτερη από τη ιχύ που λαµβάνει κατά µέο όρο; P( P > P P( P P FP ( P 368 P ( / P e Αναµένεταιλοιπόνηµέηιχύςναείναιµεγαλύτερητηςµέηςτιµήςκατάτο 368% του χρόνου. -36

37 F ( ( e Rayleighτυχαίαµεταβλητή Η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας a b a < a ( ( a e b ( a a < a για πραγµατικούς αριθµούς a και b για του οποίους ιχύει < a < και b >. b F ( 393 e ( a b 67 ( b e b a b a a+ b Αυτή η τυχαία µεταβλητή έχει πολλές εφαρµογές τα κανάλια επικοινωνίας τα οποία παρουιάζουν διαλείψεις. Επίης περιγράφει την περιβάλλουα του θορύβου όταν αυτός διέρχεται από bandpass φίλτρα. Επίης βρίκει εφαρµογή την ανάλυη των λαθών τα υτήµατα µέτρηης a a+ b -37

38 PoissonΤυχαία ιαδικαία P ( λ t e! λ t ( ( t... ( ( λ t e! δ ( όπου λ ονοµάζεται ρυθµός της διαδικαίας (rate o the process. H αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας διαδικαίας είναι F ( ( λ t e! λ t λ t u( Η µέη τιµή και η διαπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι [ ( t ] Var[ ( t] ( d t E λ και η µέη τιµή του τετραγώνου της τυχαίας διαδικαίας είναι [ ( t ] ( dλ t( + t E λ -38

39 Η χρονική τιγµή που πραγµατοποιείται ένα γεγονός αντιτοιχεί ε ένα ηµείο τον άξονα των χρόνων. Έχουµε λοιπόν τη γραφική παράταη Αριθµός εξυπηρετού- µενων υνδροµητών t t t 3 t 4 t 5 t6 t 7 t 8 t 9 t Μέγιτος αριθµός εξυπηρετούµενων υνδροµητών t Οι τυχαίες χρονικές τιγµές κατά τις οποίες πραγµατοποιούνται και διακόπτονται τηλεφωνικές κλήεις οι οποίες δηµιουργούν την τυχαία διαδικαία t t t 3 t 4 t 5 t6 t 7 t 8 t 9 t t Ένα δείγµα υνάρτηης της διακριτής τυχαίας διαδικαίας Poisson - Παρατηρούµε ότι η υνάρτηη (t που παριτάνει τον αριθµό των εξυπηρετούµενων υνδροµητών αυξάνεται κατά ένα για κάθε νέα τηλεφωνική κλήη και ελαττώνεται επίης κατά ένα όταν µία κλήη τελειώνει. Η ένταη της κίνηης για χρονικό διάτηµα T είναι T a λ ( t dt λ s µέος ρυθµός άφιξης µέος χρόνος κατάληψης T µ -39

40 Πολλαπλές Συναρτήεις Πολλαπλών Τυχαίων Μεταβλητών ( ( Y h W Y g Z να είναι µη µηδενική i i i i i Y ZW y y w z ( det ( ( J και τα ηµεία αυτά η ορίζουα του Jacobian πίνακα w y h z y g ( ( y w w y z z y ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ J ( η υνδυαµένη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας είναι όπου είναι ένα αριθµήιµο πλήθος λύεων του υτήµατος } { i i y -4

41 Οι υνδυαµένες Gaussian ή δικανονικές τυχαίες µεταβλητές και Y ορίζονται από τη υνδυαµένη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας ( ( ( ( + ( ep π ( ρ ρ ρ m y m y m m y Y ( ( ( t n n n m m C C ep det( ( π K K n m n m m M m Συνδυαµένεc Gaussian ΤυχαίεςΜεταβλητές Ο οριµός των δύο υνδυαµένων Gaussian τυχαίων µεταβλητών µπορεί να επεκταθεί ε n τυχαίες µεταβλητές n K 3 όπου είναι τα διανύµατα m m και n M n M ] [ ] [ ] [ n E E E M m -4

42 ρ ρ C ( ρ ρ ρ C ( ρ C nn n n n n C C C C C C C C C K M O M M K K C ( ( [ ] j i j i E C j i i j j i i ij ρ m m και είναι ο πίνακας υµµεταβολής C µε τοιχεία Για την περίπτωη την οποία n είναι και ο αντίτροφος πίνακας είναι τελικά -4