ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Στοιχεία Κβαντομηχανικής. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σηοιτεία Κβανηομητανικής Σην θεθάιαην απηό ζα ζπλνςίζνπκε ηα θπξηόηεξα ζηνηρεία-εξγαιεία ηεο Κβαληνκεραληθήο θαη ηεο Μεραληθήο γεληθόηεξα πνπ ζα ρξεηαζηνύκε. 1.1 Γενικές Αρτές H θαηάζηαζε ελόο θπζηθνύ ζπζηήκαηνο ην δεδνκέλν ρξόλν t πεξηγξάθεηαη από ηελ κσμαηοζσνάρηηζή ηνπ Ψ(r, t). Η ζηαηηζηηθή εξκελεία ηεο, όπσο απηή δόζεθε από ηνλ Born ην 1926 είλαη ε εμήο: Η πηζαλόηεηα λα βξεζεί έλα ζσκάηην ζε όγθν dr = dxdydz γύξσ από έλα ζεκείν r ηελ ζηηγκή t είλαη P(r, t)dr = Ψ(r, t) 2 dr (1.1) Η θπκαηνζπλάξηεζε ελόο θπζηθνύ ζπζηήκαηνο ππαθνύεη ηελ εμίζσζε Schrödinger. iħ ħ2 Ψ(r, t) = [ t 2m 2 + V(r, t)]ψ(r, t) (1.2) Σεκείσζε: Η εμίζσζε Schrödinger είλαη γξακκηθή σο πξνο ηελ Ψ(r, t), επνκέλσο ηθαλνπνηεί ηελ αξρή ηεο επαιιειίαο. Γειαδή θάζε γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ ιύζεσλ ηεο εμίζσζεο Schrödinger είλαη επίζεο ιύζε ηεο. Τα θπζηθά κεγέζε αλαπαξίζηαληαη από ηελεζηές (operators). Παξάδεηγκα: Η ελέξγεηα θαη ε νξκή αλαπαξίζηαληαη από ηνπο εμήο ηειεζηέο Ε iħ t, p iħ (1.3) Οη ηειεζηέο πνπ αλαπαξηζηνύλ θπζηθά κεηξήζηκα κεγέζε (π.ρ. ελέξγεηα, ζέζε, νξκή, θηι.) νλνκάδνληαη θσζικοί ηελεζηές (observables). Τν κόλν πηζαλό απνηέιεζκα ηεο κέηξεζεο ελόο θπζηθνύ κεγέζνπο είλαη κηα εθ ησλ ηδηνηηκώλ ηνπ αληίζηνηρνπ θπζηθνύ ηειεζηή. Δάλ δπν ηειεζηέο Α θαη Β κεηαηίζεληαη (δει. Α, Β = AB BA = 0) ηόηε ππάξρεη έλα ζύλνιν ηδηνζπλαξηήζεσλ πνπ είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο θαη ησλ δπν ηειεζηώλ ηαπηόρξνλα. Ο κεγαιύηεξνο αξηζκόο κεηαηηζέκελσλ θπζηθώλ ηειεζηώλ πνπ κπνξεί λα βξεζεί γηα έλα δεδνκέλν ζύζηεκα απνηειεί έλα πλήρες ζύνολο μεηαηιθέμενων ηελεζηών. Βαζηθέο ζρέζεηο άιγεβξαο κεηαζεηώλ o Α, Β = Β, Α o Α, Β + C = Α, Β + A, C (1.4) o Α, ΒC = Α, Β C + B A, C 5

4 1.2 Σηροθορμή Σηελ θιαζζηθή κεραληθή ε ηξνρηαθή ζηξνθνξκή νξίδεηαη σο L = r p. Σηελ θβαληνκεραληθή, αληηθαζηζηώληαο ηνπο θαηάιιεινπο ηειεζηέο (p iħ ) αλαπαξίζηαηαη σο L = iħr. Οη θαξηεζηαλέο ηεο ζπληζηώζεο γξάθνληαη L x = yp z zp y = iħ y z z y L y = zp x xp z = iħ z x x z (1.5) L z = xp y yp x = iħ x y y x Xξεζηκνπνηώληαο ηηο κεηαζεηηθέο ζρέζεηο [x, p x ] = [y, p y ] = [z, p z ] = iħ (1.6) θαη ηελ άιγεβξα κεηαζεηώλ ησλ ζρέζεσλ 1.4, απνδεηθλύεηαη όηη νη ηξεηο ηειεζηέο L x, L y θαη L z δελ κεηαηίζεληαη. Δίλαη δε [L x, L y ] = iħl z, [L y, L z ] = iħl x, [L z, L x ] = iħl y (1.7) Δπνκέλσο είλαη αδύλαην λα ππάξρεη έλα πιήξεο ζύλνιν ηδηνζπλαξηήζεσλ πνπ είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο θαη ησλ ηξηώλ ηειεζηώλ ηαπηόρξνλα. Με άιια ιόγηα δελ κπνξνύκε λα γλσξίδνπκε κε αθξίβεηα θαη ηηο ηξεηο ζπληζηώζεο ηεο ζηξνθνξκήο. Ωζηόζν κπνξνύκε λα αλαδεηήζνπκε άιινπο ηειεζηέο ζηξνθνξκήο πνπ λα κεηαηίζεληαη. Απνδεηθλύεηαη όηη έλα ηέηνην δεύγνο ηειεζηώλ είλαη ην ηεηξάγσλν ηεο ζηξνθνξκήο L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 θαη κηα εθ ησλ ζπληζησζώλ ηεο (επηιέγνπκε θαηά ζύκβαζε ηελ L z ). Γη απηό ην ζύλνιν ησλ ακνηβαία κεηαηηζέκελσλ ηειεζηώλ {L 2, L z } κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε έλα θνηλό ζύλνιν ηδηνθαηαζηάζεσλ. Δίλαη βνιηθό λα εθθξάζνπκε ηνπο ηειεζηέο ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο (r,ζ,θ). Χξεζηκνπνηώληαο ηηο ζρέζεηο θαξηεζηαλώλ θαη ζθαηξηθώλ ζπληεηαγκέλσλ 6

5 απνδεηθλύεηαη όηη νη ηειεζηέο γξάθνληαη: L z = iħ φ (1.8) L 2 = ħ 2 1 sinθ θ (sinθ θ ) sin 2 θ φ 2 (1.9) Τν θνηλό ζύλνιν ηδηνθαηαζηάζεσλ ησλ ηειεζηώλ {L 2, L z } νλνκάδνληαη ζθαιρικές αρμονικές Y lm (θ, φ) θαη ηθαλνπνηνύλ ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο ηδηνηηκώλ L 2 Y lm (θ, φ) = l(l + 1)ħ 2 Y lm (θ, φ) (1.10) L z Y lm (θ, φ) = mħy lm (θ, φ) (1.11) όπνπ νη ηδηνηηκέο ησλ L 2 θαη L z γξάθηεθαλ σο l(l + 1)ħ 2 θαη mħ. Οη ηδηνθαηαζηάζεηο Φ(φ) ηνπ L z ηθαλνπνηνύλ ηεο εμίζσζε ηδηνηηκώλ L z Φ(φ) = mħφ(φ) (1.12) Οη θαλνληθνπνηεκέλεο ιύζεηο ηεο είλαη νη Φ m (φ) = 1 2π eimφ (1.13) Οη ηδηνηηκέο ηεο θαζνξίδνληαη από ην γεγνλόο όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε πξέπεη λα είλαη κνλόηηκε, δει. Φ m (φ) = Φ m (φ + 2π). Δπνκέλσο ν m, πνπ θαιείηαη καγλεηηθόο θβαληηθόο αξηζκόο, πξέπεη λα είλαη αθέξαηνο (m = 0, ±1, ±2, ±3, ). Γηα ηηο ζθαηξηθέο αξκνληθέο κπνξνύκε λα γξάςνπκε Y lm (θ, φ) = Θ lm (θ)φ m (φ) (1.14) Αληηθαζηζηώληαο ηελ 1.14 ζηελ εμίζσζε ηδηνηηκώλ 1.9 θαη κε ηε ρξήζε ηεο 1.8 βξίζθνπκε όηη ε Θ lm (θ) ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε 1 sinθ θ (sinθ θ ) + m2 sin 2 θ Θ lm (θ) = l(l + 1)Θ lm (θ) (1.15) Οη θπζηθά απνδεθηέο ιύζεηο ηεο παξαπάλσ δηαθνξηθήο εμίζσζεο ππάξρνπλ κόλνλ όηαλ l = 0, 1, 2, 3, θαη m = -l, -l+1,, +l. (1.16) Οη ιύζεηο Θ lm (θ) ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο κπνξνύλ λα εθθξαζηνύλ ζε ζρέζε κε ηα ζπλαθή πνιπώλπκα Legendre P l m (cosθ) σο (2l + 1)(l m)! m Θ lm (θ) = ( 1) 2(l + m)! 1/2 P l m (cosθ), m 0 Θ lm (θ) = ( 1) m Θ l m (θ) m < 0 (1.17) Δπνκέλσο νη ζθαηξηθέο αξκνληθέο (πνπ είλαη θαη νη ηδηνθαηαζηάζεηο ησλ ακνηβαία κεηαηηζέκελσλ ηειεζηώλ {L 2, L z } ) γξάθνληαη 7

6 1/2 (2l + 1)(l m)! m Y lm (θ, φ) = ( 1) P m 4π(l + m)! l (cosθ) e imφ, m 0 Y l, m (θ, φ) = ( 1) m Y lm (θ, φ) (1.18) Πίνακας 1.1. Οη πξώηεο ζθαηξηθέο αξκνληθέο 8

7 Στήμα 1.1. Πνιηθά γξαθήκαηα ηεο θαηαλνκήο πηζαλόηεηαο Y l,m (θ, φ) 2 Σε θάπνηεο πεξηπηώζεηο είλαη βνιηθόηεξν λα ρξεζηκνπνηεζεί έλα ελαιιαθηηθό ζύλνιν ηδηνζπλαξηήζεσλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ζθαηξηθέο αξκνληθέο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο, δει. ηεο κνξθήο Y l,cos (θ, φ) = NΘ l m (θ)cos m φ Y l,sin (θ, φ) = NΘ l m (θ)sin m φ (1.19) όπνπ Ν ε ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο. Γηα m = 0 ε Y l,cos (θ, φ) ηαπηίδεηαη κε ηε ζθαηξηθή αξκνληθή Y l,0 (θ, φ). Γηα m 0 νη ζθαηξηθέο αξκνληθέο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο πξνθύπηνπλ σο γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ησλ κηγαδηθώλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ σο εμήο: Y l,cos = 1 2 Y l m + Y l m Y l,sin = i 2 Y l m Y l m (1.20) Οη ζθαηξηθέο αξκνληθέο πξαγκαηηθήο κνξθήο είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ησλ ηειεζηώλ {L 2, L z 2 } αιιά όρη ησλ ηειεζηώλ {L 2, L z }. Σπκπεξηθέξνληαη όπσο νη απιέο ζπλαξηήζεηο ησλ 9

8 θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ θαη γη απηόλ ην ιόγν ρξεζηκεύνπλ ζην λα πεξηγξάθνπλ ηηο θαηεπζπληηθέο ηδηόηεηεο ησλ ρεκηθώλ δεζκώλ. Πίνακας 1.2. Οη πξώηεο ζθαηξηθέο αξκνληθέο πξαγκαηηθήο κνξθήο 10

9 Στήμα 1.2. Πνιηθά γξαθήκαηα ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ πξαγκαηηθήο κνξθήο 1.3 Κενηρικά δσναμικά Έλα δπλακηθό U(r) είλαη θεληξηθό όηαλ εμαξηάηαη κόλν από ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο r = r. Τα θεληξηθά δπλακηθά έρνπλ ζθαηξηθή ζπκκεηξία. Καηά ζπλέπεηα ε πεξηγξαθή ελόο ζπζηήκαηνο είλαη θπζηθό λα γίλεηαη ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο. Έηζη ε Χακηιηνληαλή ελόο θβαληνκεραληθνύ ζπζηήκαηνο γξάθεηαη σο 1 Η = ħ2 2m 2 + V r = ħ2 2m 1 r 2 r (r2 r ) + 1 r 2 sinθ θ (sinθ θ ) r 2 sin 2 + V(r) θ φ2 (1.21) 1 Η δυναμική ενζργεια είναι V r = eu(r) 11

10 Αλαθαιώληαο ηε ζρέζε 1.7 γηα ηελ L 2 ε 1.19 γξάθεηαη Η = ħ2 2m 1 r 2 r r2 r L2 ħ 2 + V(r) (1.22) r2 Δπεηδή [L 2, L z ] = 0, εύθνια απνδεηθλύεηαη όηη ην ζύλνιν ησλ ηειεζηώλ {Η, L 2, L z } απνηεινύλ ακνηβαία κεηαηηζέκελνπο ηειεζηέο, δει. [L 2, L z ] = [Η, L 2 ] = [Η, L z ] = 0. Δπνκέλσο κπνξνύκε λα ςάμνπκε γηα ιύζεηο ηεο εμίζσζεο Schrödinger πνπ είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο θαη ησλ ηξηώλ ηειεζηώλ ηαπηόρξνλα. Κη επεηδή νη ζθαηξηθέο αξκνληθέο Y lm (θ, φ) είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ησλ ηειεζηώλ {L 2, L z } κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηε γεληθή ιύζε σο (ρσξηζκόο κεηαβιεηώλ) Ψ E,l,m (r, θ, φ) = R E,l (r)y lm (θ, φ) (1.23) Αληηθαζηζηώληαο ηελ ζηελ ρξνληθά αλεμάξηεηε εμίζσζε Schrödinger πξνθύπηεη ħ2 2m ħ2 2m 2 + V(r) Ψ(r) = ΕΨ(r) (1.24) 1 l(l + 1) r 2 r (r2 ) r r 2 + V(r) R E,l (r) = ER E,l (r) (1.25) Η αθηηληθή εμίζσζε κπνξεί λα απινπνηεζεί αθόκε πεξεηαίξσ εηζάγνληαο ηελ αθηηληθή ζπλάξηεζε u E,l (r) = rr E,l (r) (1.26) Τόηε ε λέα αθηηληθή εμίζσζε γξάθεηαη ħ2 d 2 l(l + 1)ħ2 + 2m dr2 2mr 2 + V(r) u E,l (r) = Eu E,l (r) (1.27) Η εμίζσζε απηή είλαη παξόκνηα κε ηελ κνλνδηάζηαηε εμίζσζε Schrödinger ζεσξώληαο σο δπλακηθή ελέξγεηα ηελ V eff (r) = V(r) + πνπ πεξηέρεη ηνλ απσζηηθό όξν ηεο ζηξνθνξκήο. l(l + 1)ħ2 2mr 2 (1.28) 1.4 Ομοηιμία (Parity) Ο ηειεζηήο ηεο νκνηηκίαο νξίδεηαη από ηε ζρέζε Pf(r) = f( r) (1.29) όπνπ f(r) απζαίξεηε ζπλάξηεζε. Δπνκέλσο ε δξάζε ηνπ ηειεζηή ηεο νκνηηκίαο πάλσ ζε κία ζπλάξηεζε επηθέξεη ηελ αλαζηξνθή ηεο ζπληεηαγκέλεο ζέζεο r σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Η εμίζσζε ηδηνηηκώλ ηνπ ηειεζηή γξάθεηαη PΨ α (r) = αψ α (r) (1.30) 12

11 Δπεηδή όκσο είλαη P 2 Ψ α (r) = αpψ α (r) = α 2 Ψ α (r) θαη P 2 Ψ α (r) = PΨ α ( r) = Ψ α (r), πξνθύπηεη όηη α 2 =1 θη άξα νη ηδηνηηκέο ηνπ ηειεζηή είλαη νη α = ±1. Οη αληίζηνηρεο ηδηνζπλαξηήζεηο είλαη νη ψ + θαη ψ - γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη Pψ + (r) = ψ + (r), Pψ (r) = ψ (r) (1.31) Δπνκέλσο ε ψ + (r) είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηνπ r ελώ ε ψ (r) πεξηηηή. Λέκε ηόηε όηη ε ψ + (r) έρεη άξηηα νκνηηκία ελώ ε ψ (r) πεξηηηή νκνηηκία. Δθαξκόδνπκε ηα παξαπάλσ ζην πξόβιεκα ησλ θεληξηθώλ δπλακηθώλ. Η δξάζε ηνπ ηειεζηή ηεο νκνηηκίαο r r ζηηο ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο (r, θ, θ) επηθέξεη ηηο αιιαγέο (r, π-θ, θ+π). Η Χακηιηνληαλή ηνπ θεληξηθνύ δπλακηθνύ δελ αιιάδεη θάησ από απηέο ηηο αιιαγέο κεηαβιεηώλ, επνκέλσο ν ηειεζηήο ηεο Οκνηηκίαο κεηαηίζεηαη κε απηόλ ηεο Χακηιηνληαλήο [P, Η] = 0 (1.32) θαη ζα έρεη ην ίδην ζύλνιν ηδηνθαηαζηάζεσλ Ψ E,l,m (r, θ, φ). Γξώληαο κε ηνλ ηειεζηή ηεο νκνηηκίαο ζε απηέο πξνθύπηεη PΨ E,l,m (r, θ, φ) = P R E,l (r)y lm (θ, φ) = R E,l (r)y lm (π θ, φ + π) (1.33) Γηα ηηο ζθαηξηθέο αξκνληθέο απνδεηθλύεηαη όηη Άξα Y lm (π θ, φ + π) = ( 1) l Y lm (θ, φ) (1.34) PΨ E,l,m (r, θ, φ) = ( 1) l Ψ E,l,m (r, θ, φ) (1.35) Σπλεπώο ε θπκαηνζπλάξηεζε Ψ E,l,m (r, θ, φ) έρεη ηελ νκνηηκία ηνπ l. 1.5 Σσζηήμαηα δσο ζωμάηων Ιδηαίηεξν ελδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ην ζύζηεκα δπν ζσκάησλ καδώλ m 1 θαη m 2 πνπ αιιειεπηδξνύλ κε έλα ρξνληθά αλεμάξηεην (θεληξηθό πξνθαλώο) δπλακηθό U(r 1 r 2 ) πνπ εμαξηάηαη από ηελ ζρεηηθή ηνπο απόζηαζε r 1 r 2. Η θιαζζηθή Χακηιηνληαλή ηνπ ζπζηήκαηνο γξάθεηαη σο Η = p p V(r 2m 1 2m 1 r 2 ) (1.36) 2 Δηζάγνληαο ηηο κεηαβιεηέο ηεο ζρεηηθήο ζέζεο r θαη ηεο ζέζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο R r = r 1 r 2 Απνδεηθλύεηαη όηη όπνπ R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 (1.37) Η = P2 2Μ + p2 + V(r) (1.38) 2μ 13

12 ε νιηθή κάδα ηνπ ζπζηήκαηνο Μ = m 1 + m 2 (1.39) P = p 1 + p 2 (1.40) ε νιηθή νξκή ε ζρεηηθή νξκή θαη p = m 2p 1 m 1 p 2 m 1 + m 2 (1.41) μ = m 1m 2 m 1 + m 2 (1.42) ε αλεγκέλε κάδα ηνπ ζπζηήκαηνο. Κάλνληαο ηελ αληηθαηάζηαζε ησλ θβαληνκεραληθώλ ηειεζηώλ P iħ R θαη p iħ r ζηελ αξρηθή Χακηιηνληαλή θαηαιήγνπκε γηα ηελ εμίζσζε Schrödinger iħ ħ2 Ψ(R, r, t) = [ t 2Μ R 2 ħ2 2μ r 2 + V(r)]Ψ(R, r, t) (1.43) Γεδνκέλνπ όηη ην δπλακηθό είλαη ρξνληθά αλεμάξηεην θη ε θίλεζε ησλ δπν ζσκάησλ ρσξηζκέλε ζε απηήλ ηνπ θέληξνπ κάδαο θαη ηελ ζρεηηθή ηνπο κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηελ νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε σο γηλόκελν ηξηώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ σο όπνπ νη Φ(R) θαη ψ(r) ηθαλνπνηνύλ ηηο θαη Ψ(R, r, t) = Φ(R)ψ(r)e i(e CM +E)t/ħ (1.44) ħ2 2Μ R 2 Φ(R) = Ε CM Φ(R) (1.45) [ ħ2 2μ r 2 + V(r)]ψ(r) = Εψ(r) (1.46) Με ηνλ ηξόπν απηό αλαγάγακε ην πξόβιεκα ησλ δπν ζσκάησλ ζε δπν απινύζηεξα πξνβιήκαηα ελόο ζώκαηνο. Απηό ελόο ειεπζέξνπ ζσκαηίνπ (ηνπ θέληξνπ κάδαο) θη απηό ηνπ ζσκαηίνπ (αλεγκέλεο) κάδαο κ πνπ θηλείηαη ζε δπλακηθό U(r). 1.6 Σσμβολιζμός Dirac Η πεξηγξαθή ησλ θβαληνκεραληθώλ θαηαζηάζεσλ κέζσ ηνπ ζπκβνιηζκνύ Dirac (ή braket) πέξα από ηε καζεκαηηθή ρξεζηκόηεηά ηεο απνδεηθλύεηαη έλα εμαηξεηηθά ρξήζηκν εξγαιείν ζε πνιύπινθνπο θβαληνκεραληθνύο ππνινγηζκνύο. Χσξίο λα εηζέιζνπκε ζην απζηεξό καζεκαηηθό ηνπ ππόβαζξν ζα αλαθέξνπκε ηα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά θαη ηδηόηεηεο πνπ ζα καο ρξεζηκεύζνπλ ζηα επόκελα καζήκαηα. Σε θάζε θπκαηνζπλάξηεζε ψ αληηζηνηρεί έλα ket ψ. Σηελ αληίζηνηρε ζπδπγή θπκαηνζπλάξηεζε ψ αληηζηνηρεί έλα bra ψ. 14

13 Δάλ ε θαηάζηαζε ς είλαη γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ δηαλπζκάησλ βάζεο φ i, n δειαδή ψ = i=1 φ i ηόηε ην φ κ ψ είλαη ην πιάηνο πηζαλόηεηαο κεηά από κηα κέηξεζε λα βξνύκε ην ζύζηεκα ζηελ θαηάζηαζε φ κ, όπνπ κ 1.. n. Δπνκέλσο είλαη φ κ ψ φ κ ψdv. Ο ζπκβνιηζκόο φ κ ψ νλνκάδεηαη braket. Η κέζε ηηκή ελόο ηειεζηή Α είλαη ψ Α ψ ψ ΑψdV. Οκνίσο φ Α ψ φ ΑψdV. Βαζηθέο ηδηόηεηεο o φ ψ = ψ φ o φ Α ψ = ψ Α φ o φ ΑΒ ψ = ψ Β Α φ o c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 (1.47) 1.7 Αηομικό ζύζηημα μονάδων Σηελ αηνκηθή θπζηθή είλαη εμαηξεηηθά ρξήζηκν λα εηζάγνπκε ην «θπζηθό» ζύζηεκα κνλάδσλ ηεο πνπ βαζίδεηαη ζηελ βαζηθέο κνλάδεο κήθνπο, ρξόλνπ, ελέξγεηαο, θηι. Τνπ αηόκνπ ηνπ πδξνγόλνπ (ζεσξώληαο άπεηξε ηελ κάδα ηνπ ππξήλα). Γηα παξάδεηγκα ε κνλάδα ελέξγεηαο ηνπ SI, Joule, είλαη ηεξάζηηα γηα ηα αηνκηθά δεδνκέλα (1 Joule = x ev). Τν αηνκηθό ζύζηεκα κνλάδσλ θαζνξίδεηαη από ηελ απαίηεζε ħ = m = e = 1 (1.48) όπνπ m θαη e είλαη ε κάδα θαη ην θνξηίν ηνπ ειεθηξνλίνπ αληίζηνηρα 2. Δπίζεο πνιύ ρξήζηκε πνζόηεηα είλαη ε αδιάζηαηη ζηαζεξά ηεο ιεπηήο πθήο α: e 2 α = 1/137 (1.49) (4πε 0 )ħc Δπεηδή ε ηαρύηεηα ηνπ ειεθηξνλίνπ ζηελ πξώηε αθηίλα Bohr είλαη υ 0 = e 2 = ac (1.50) (4πε 0 )ħ Πξνθύπηεη όηη ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο ζε αηνκηθέο κνλάδεο είλαη c 137. Σηνλ πίλαθα 1.3 δίλνληαη νη βαζηθέο αηνκηθέο κνλάδεο 2 Τν πώο πξνέθπςε απηή ε απαίηεζε κπνξεί θαλείο λα ην δεη ζεσξώληαο ηελ έθθξαζε ηεο πξώηεο αθηίλαο Bohr γηα ην άηνκν ηνπ πδξνγόλνπ. a 0 = (4πε 0)ħ 2 me 2 = 1 a. u. Γηα λα ηζρύζεη ην παξαπάλσ ζα πξέπεη πξνθαλώο λα είλαη ħ = m = e = 1 θαζώο θαη γηα ηελ δηειεθηξηθή ζηαζεξά ηνπ θελνύ ε 0 = 1/4π 15

14 Πίνακας 1.3. Οη βαζηθέο αηνκηθέο κνλάδεο 16

15 17

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Xξεζηκνπνηώληαο κεηαζεηηθή άιγεβξα θαη ηηο κεηαζεηηθέο ζρέζεηο 1.6 δείμηε όηη νη ηξεηο ηειεζηέο ηεο ζηξνθνξκήο L x, L y θαη L z δελ κεηαηίζεληαη ακνηβαία, θαη γηα ηελ αθξίβεηα όηη: (κηα εθ ησλ ηξηώλ αξθεί) [L x, L y ] = iħl z, [L y, L z ] = iħl x, [L z, L x ] = iħl y 2. Θεσξώληαο ηελ θιαζζηθή Χακηιηνληαλή ηνπ ζπζηήκαηνο δύν ζσκάησλ Η = p p V(r 2m 1 2m 1 r 2 ) 2 δείμηε όηη απηή κπνξεί λα γξαθεί σο (ηα ζύκβνια επεμεγνύληαη ζηε ζεσξία). Η = P2 2Μ + p2 2μ + V(r) 18

17 Τέλος Ενότητας

18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

19 Σημειώματα

20 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=1162.

21 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Ατομική Φυσική. Στοιχεία Κβαντομηχανικής». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=1162.

22 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/