Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι είνι έν στθερό σηµείο του, τότε η συνάρτηση F() f ()d, είνι µι ρχική της f στο. ηλδή ισχύει F () ( f ()d ). Άµεση συνέπει g() f ()d ( ) f(g()) g () f(). Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού f ()d G() G() [ G() ], όπου G µι πράγουσ της f στο [, ]. Πργοντική ολοκλήρωση f ()g()d [ f ( )g ( )] f ()g()d 5. Ολοκλήρωση µε λλγή µετλητής u f (g())g()d f (u)du όπου g() u, u du g ()d, u g(), u g()

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Επισηµάνσεις i) Η γρφή (το σύµολο) «f ()d», γι συγκεκριµένο, είνι ορισµένο ολοκλήρωµ, άρ πργµτικός ριθµός. ii) Η γρφή (το σύµολο) «F() f ()d», γι µετλητό, είνι συνάρτηση. iii) Στη γρφή «F() f ()d,» υποχρεωτικά το είνι διάστηµ κι η f είνι συνεχής σ υτό είνι στθερό σηµείο του είνι η νεξάρτητη µετλητή της f κι διτρέχει το είνι η νεξάρτητη µετλητή της F κι διτρέχει το iv) Η γρφή (το σύµολο) «F() g() f ()d» είνι σύνθετη συνάρτηση. (είνι F() (hog)(), όπου h() f ()d ) Εποµένως, D { τέτοι ώστε g() } F Dg Αν επί πλέον η g είνι πργωγίσιµη, τότε F () ( g() f ()d ) f(g()) g (). Μέθοδος Γι ν ρούµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F() f ()d : Βρίσκουµε τ διστήµτ στ οποί η f είνι συνεχής κι επιλέγουµε εκείνο στο οποίο νήκει το.. Μέθοδος Γι ν ρούµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F() g() f ()d : Βρίσκουµε τ διστήµτ στ οποί η f είνι συνεχής. Επιλέγουµε εκείνο στο οποίο νήκει το. Υποχρεώνουµε το g() ν νήκει συτό.

3 . Μέθοδος Η εµφάνιση του f ()d µε το στθερό οδηγεί σε πργώγιση. Αν το κάτω άκρο εξρτάτι πό το, δε µπορούµε ν πργωγίσουµε. Τότε, συνήθως, πρεµάλλουµε κάποιο στθερό που νήκει στο. 5. Προσοχή Στη συνάρτηση f ()d, όποιο κοµµάτι της f δεν εξρτάτι πό το (έστω κι ν εξρτάτι πό το ) είνι στθερή ποσότητ κι ν είνι δυντόν το γάζουµε εκτός ολοκληρώµτος. Στη συνέχει µπορούµε ν πργωγίσουµε 6. Κάτι προφνές ( f ()d ) φού το f ()d είνι στθερός ριθµός 7. Τρεις οι µέθοδοι ολοκλήρωσης οκιµάζουµε µε τη σειρά : i) Πράγουσ κι Θ.Θ ολοκληρωτικού λογισµού ii) Πργοντική ολοκλήρωση iii) Ολοκλήρωση µε λλγή µετλητής 8. ύο οι χρήσεις του τύπου λλγής µετλητής i) Από το ο µέλος στο ο : f( g ) g d f g f g εν νφέρουµε κθόλου την λλγή της µετλητής d ii) Από το ο µέλος στο ο : Θέτουµε u g(), άρ du dg() g ()d Με ντικτάστση στην u g() ρίσκουµε τ άκρ, της νές µετλητής. Οπότε u f (u)du f (g())g()d u

4 9. Γι το ολοκλήρωµ κλδικής συνάρτησης Εξσφλίζω ότι η συνάρτηση είνι συνεχής. Γι το f () d : Βρίσκω το πρόσηµο της f, γι ν πλλγώ πό το πόλυτο. η οµάδ σικών ολοκληρωµάτων e d e d e d (e ) d πργοντική (e ) d φορές πργοντική.. φορές πργοντική Οµοίως γι τ ηµ d, συνd, ηµ d, συνd, ηµ d συνd. η οµάδ σικών ολοκληρωµάτων ln d ln d πργοντική ln d ln d πργοντική ln d ln d πργοντική ln d ln d πργοντική ln d (ln ) d ln d πργοντική (ln ) d. πργοντική

5 5. Τ τριγωνοµετρικά ηµ d [ συν ] συνd [ ηµ ] ηµ ( συν ) εϕd d d συν ln συν συν ηµ d συν d ( )d συν ηµ συν d +συν d.. οµοίως ηµ εϕ d d συν d συν d εϕ συν συν ηµ d ηµ ηµ d συν d.. οµοίως [ ] ηµ ( συν )d θέτουµε συν u ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F() d Σχόλιο Έστω f() Πρέπει. Άρ D f [, ] f προφνώς συνεχής. Επειδή το [, ], θ είνι D F [, ]. Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F() d Έστω g() Πρέπει ή. Άρ D g (, ] [, + ). g προφνώς συνεχής Επειδή το [, + ), θ είνι [, + ) D F Σχόλιο

6 6. Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F() Έστω h() Πρέπει, άρ D h (, ) (, + ). h προφνώς συνεχής Επειδή 5 (, ) θ είνι (, ) D F 5 d Σχόλιο. Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() d κι η f. Έστω g() Πρέπει. Άρ g D [, ]. g προφνώς συνεχής. Πρτηρούµε ότι [, ] Πρέπει : κι Σχόλιο [, ] κι κι κι κι 5 Άρ D [, 5] Επειδή η συνάρτηση h() δεν είνι πργωγίσιµη στο, γι κάθε (, 5] θ είνι f () ( ) ( ) 5 f

7 7 5. Ν ρείτε το όριο lim lim 6. 5 ηµ d lim lim 5 ηµ d ηµ d 5 ηµ d 5 ( ) ( ) ηµ lim 5 ηµ lim 5 ηµ lim 5 5 ίνοντι οι συνεχείς στο R συνρτήσεις f κι g, τέτοιες ώστε ν ισχύει g() e κι g() e f d d γι κάθε R e είξτε ότι : i) g() f ()d ii) f ()d i) Θέτουµε h() Οπότε ii) Η g() g() h()d e h() e f ()d h() d h() h() e e f ()d f ()d f ()d γι g() e e e f ()d f ()d f ()d Σχόλιο 5

8 8 7. Έστω συνάρτηση f συνεχής, µε συνεχή πράγωγο στο [, ] κι τέτοι ώστε ν είνι f() κι f () > γι κάθε (, ).. i) είξτε ότι η f είνι ντιστρέψιµη ii) Θεωρώντς ότι η f - είνι συνεχής, δείξτε ότι f () f ()d f ()d γι κάθε [, ] i) Αφού η f είνι συνεχής στο [, ] κι f () > γι κάθε (, ), η f θ είνι γνησίως ύξουσ στο [, ], εποµένως άρ ντιστρέψιµη ii) Θεωρούµε τ η συνάρτηση h() f () f ()d f ()d, [, ] () Αφού οι συνρτήσεις f κι f - µε h () f () f - (f()) f () f () (f - of)() f () f () f () Άρ h() c () Η () γι δίνει h() c Η () γι δίνει h() c Η () γίνετι h() είνι συνεχείς, η συνάρτηση h είνι πργωγίσιµη f () f ()d f ()d f ()d f ()d f () f ()d f ()d f () f ()d f ()d 8. Ν ρείτε το R ώστε η συνάρτηση f() 9 5 d ν έχει τοπικό ελάχιστο στο. Στην συνέχει ν εξετάσετε την f ως προς την κυρτότητ κι τ σηµεί κµπής Έστω g() 9 5 µε D g R, στο οποίο η g είνι συνεχής. Επειδή R, θ είνι D f R κι f πργωγίσιµη συτό. f () 9 5. Γι ν έχουµε στο ελάχιστο, πρέπει f () κι εκτέρωθεν του ν λλάζει κτάλληλ η µονοτονί. f () 9 5. Γι έχουµε f () f () ή 9

9 9 Πρόσηµο της f κι µονοτονί της f f + f 5/9 + + Από τον πίνκ λέπουµε ότι γι έχουµε στο τοπικό ελάχιστο. Επίσης είνι f () 8 f () 9 Πρόσηµο της f κι κυρτότητ της f f f /9 + + Από τον πίνκ φίνετι ότι η f προυσιάζει κµπή στο 9 Το σηµείο κµπής είνι το Κ, f 9 9 f 9 9 ( ) 9 5 d [ ]..