ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ ΑΘΗΝΑ 01

2 Καόες Ασφαλείας 1. Κατά τη χρήση χηµικώ ουσιώ πρέπει α είαι γωστές οι επικίδυες ιδιότητες της χηµικής ουσίας και α λαµβάοται τα κατάλληλα µέτρα προστασίας.. Προτού χρησιµοποιήσετε κάποιο ατιδραστήριο α διαβάζετε καλά τη ετικέτα του. 3. Η χρήση ατιδραστηρίω που εκλύου τοξικούς ατµούς γίεται πάτα στο απαγωγό. 4. Μετά το τέλος κάθε εργασίας ή πειράµατος α πλύετε καλά µε σαπούι τα χέρια σας και α ξεπλύετε µε άφθοο ερό. 5. Να ξεπλέετε αµέσως και µε άφθοο ερό τα µάτια ή τα χέρια σας µετά από επαφή µε οποιοδήποτε ατιδραστήριο. 6. Σε περίπτωση προσβολής από οξύ: Πλύσιµο µε άφθοο ερό, µετά µε κορεσµέο διάλυµα όξιου αθρακικού ατρίου και πάλι µε άφθοο ερό. Σε περίπτωση δηµιουργίας χηµικού εγκαύµατος η παραπάω διαδικασία συµπληρώεται µε χρήση ατισηπτικού υγρού, στέγωµα και επάλειψη µε ειδική αλοιφή. 7. Σε περίπτωση προσβολής από αλκάλια: Πλύσιµο µε άφθοο ερό, µετά µε 1% οξικό οξύ ή βορικό οξύ και πάλι µε ερό. Σε περίπτωση εγκαύµατος ακολουθείται η ίδια µε τη παραπάω συµπληρωµατική διαδικασία. 8. Για προστασία τω µατιώ από κάθε είδους κίδυο πρέπει α φοράτε τα ειδικά προστατευτικά γυαλιά. 9. Να εηµερωθείτε για τη θέση τω πυροσβεστήρω και τη λειτουργία τους. 10. Εά συµβεί αάφλεξη υγρού χρησιµοποιείστε το πυροσβεστήρα. 11. Εά συµβεί αάφλεξη τω ρούχω σας τυλιχθείτε µε ατιπυρική κουβέρτα ή έα βαρύ παλτό. Χρησιµοποιείστε, α υπάρχει, το καταιωιστήρα ερού. 1. Να βεβαιώεστε ότι οι ηλεκτρικές συσκευές είαι γειωµέες. 13. Να ααφέρετε οποιοδήποτε ατύχηµα που συέβη. 14. Να επιθεωρείτε το Εργαστήριο σχολαστικά πρι φύγετε από αυτό, α τακτοποιείτε τις συσκευές, τα σκεύη και τα ατιδραστήρια και α κλείετε τους διακόπτες ρεύµατος, υγραερίου, ερού.

3 3 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ - ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ - ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ Α ΕΞΑΜ. 1. Στατιστική επεξεργασία µετρήσεω. Γραµµική παλιδρόµηση. Μέθοδος ελαχίστω τετραγώω 3. Ισοζύγιο εέργειας. 4. Χηµική ισορροπία, οξέα, βάσεις, ph. Ογκοµετρική αάλυση οξικού οξέος 5. Χηµική αάλυση ερού. Προσδιορισµός σκληρότητας 6. ιαλυµέο οξυγόο στο ερό (DO) - 1 ο γραπτό διαγώισµα 7. Αφαλάτωση ερού µε Ατίστροφη Ώσµωση (RO) 8. Προσδιορισµός BOD και COD 9. ιάβρωση τω µετάλλω 10. Μετάδοση θερµότητας. Θερµικές απώλειες 11. Θερµική αάλυση. ιαγράµµατα φάσεω κραµάτω 1. Χηµική κιητική. Ταχύτητα ατίδρασης 13. Υδρόλυση. Ρυθµιστικά διαλύµατα 14. Καθίζηση σωµατιδίω. Κοκκοµετρική αάλυση µε αραιόµετρο 15. ο γραπτό διαγώισµα στο σύολο της ύλης

4 4 ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1.1 Σφάλµατα Κατά τη παρασκευή εός προϊότος σε µια βιοµηχαία, πολλά χαρακτηριστικά του προϊότος διαφέρου τόσο σε κάθε παρτίδα παραγωγής, όσο και στη ίδια παρτίδα ή σε κάθε συσκευασία. Οι διαφορές αυτές τω χαρακτηριστικώ οφείλοται σε πολλούς παράγοτες, όπως στη πρώτη ύλη, στη µέθοδο, τα µηχαήµατα, τη εξειδίκευση του προσωπικού κ.τ.λ. Κατά το ποιοτικό έλεγχο του προϊότος παραγωγής µιας βιοµηχαίας τα αποτελέσµατα τω ααλύσεω, ή τω µετρήσεω, σπάια συµφωού απόλυτα µεταξύ τους, παρόλο που χρησιµοποιείται η ίδια µέθοδος αάλυσης ή µέτρησης ή αξιολόγησης. Κατά το έλεγχο της περιεκτικότητας σε σίδηρο σε έα ορυχείο σιδήρου, λαµβάοται δείγµατα του µεταλλεύµατος από τυχαίες θέσεις και µετρείται η περιεκτικότητα. Παρατηρούµε ότι οι µετρήσεις διαφέρου µεταξύ τους. Η διακύµαση τω µετρήσεω οφείλεται σε πολλές αιτίες. Για παράδειγµα διαφορετικές τοποθεσίες µέσα στο ορυχείο ααµέεται α δίου διαφορετικά αποτελέσµατα. Άλλες πιθαές αιτίες διακύµασης µπορεί α οφείλοται στο ααλυτή (α είαι περισσότεροι από έας), ή στη ώρα της ηµέρας που έγιε η µέτρηση (έας εργαζόµεος αποδίδει καλύτερα στη αρχή του ωραρίου του παρά στο τέλος που είαι κουρασµέος) κλπ. Από τα αωτέρω συάγεται ότι στα αποτελέσµατα τω µετρήσεω υπεισέρχοται κάποια σφάλµατα. Για α ελέγξουµε τη ολική ποιότητα εός προϊότος ή τη ακρίβεια τω µετρήσεω πρέπει α καθορίσουµε το µέγεθος του σφάλµατος που ααπόφευκτα υπάρχει σε κάθε µέτρηση. Στις περιπτώσεις αυτές εφαρµόζουµε στατιστικές µεθόδους για α µπορούµε α ελέγξουµε τη αξιοπιστία τω αποτελεσµάτω. Τα σφάλµατα ααλόγως της προέλευσής τω µπορεί α είαι : Τυχαία σφάλµατα ( Random errors) : Οφείλοται σε παράγοτες που δε γωρίζουµε ή που δε µπορούµε α ελέγξουµε και γι αυτό τα οοµάζουµε τυχαία. Στη περίπτωση που έχουµε τυχαία σφάλµατα οι µετρήσεις µας καταέµοται οµοιόµορφα γύρω από τη µέση τιµή, ακολουθώτας τη καοική καταοµή (βλ ----). Η έοια του τυχαίου σφάλµατος είαι σχετική και εξαρτάται από τη διαθέσιµη

5 5 µετρητική διάταξη. Για παράδειγµα σε έα ζυγό ακριβείας τα τυχό ρεύµατα αέρα προκαλού σφάλµατα που τα θεωρούµε τυχαία. Ατίθετα σε έα άλλο ζυγό ακριβείας, όπου ο δίσκος ζύγισης κλείει µε παραθυράκια, τα τυχό ρεύµατα αέρα δε προκαλού σφάλµατα. Συστηµατικά σφάλµατα (Systematic errors) : Τα συστηµατικά σφάλµατα επηρεάζου κατά το ίδιο µέτρο τις µετρήσεις µας, οι οποίες καταέµοται γύρω από τη µέση τιµή, που είαι όµως διάφορη της πραγµατικής. Αυτά τα σφάλµατα οφείλοται (όπως άλλωστε δηλώει και η οοµασία τους) σε κάποιο συστηµατικό λάθος που γίεται κατά τη διάρκεια του πειράµατος. Για παράδειγµα το όργαο τω µετρήσεω δε έχει ρυθµιστεί σωστά και µας δίει συεχώς τιµές µεγαλύτερες ή µικρότερες της πραγµατικής ή η πειραµατική διαδικασία, α και ορθή, δε ακολουθείται επακριβώς ή η µεθοδολογία µέτρησης είαι αφ εαυτής λαθασµέη. Λοιπά σφάλµατα (Gross errors) : Οοµάζοται όλα τα υπόλοιπα σφάλµατα που µπορεί α οφείλοται σε σοβαρά λάθη που έγια κατά το πείραµα ή σε κάποιο ατύχηµα, όπως η καταστροφή εός κρίσιµου δείγµατος ή η βλάβη εός οργάου. Είαι στη πλειοψηφία τους οφθαλµοφαή λάθη και ο µόος τρόπος για α τα εξαλείψουµε είαι α ξαακάουµε το πείραµα από τη αρχή. 1. Συλλογή και παρουσίαση στατιστικώ στοιχείω Η συλλογή τω στατιστικώ στοιχείω γίεται µε διάφορες µεθόδους, όπως η απογραφή και η δειγµατοληψία. Στη απογραφή συγκετρώοται στοιχεία από όλες τις µοάδες του πληθυσµού που θέλουµε α µελετήσουµε σε µια χροική περίοδο. Στη δειγµατοληψία εξετάζουµε έα µικρό µέρος (δείγµα) του πληθυσµού, το οποίο επιλέγουµε κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι πληροφορίες, οι εκτιµήσεις και τα συµπεράσµατα που θα πάρουµε από αυτό, α έχου ισχύ για όλο το σύολο του πληθυσµού στο οποίο αήκει το δείγµα. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το δείγµα είαι ατιπροσωπευτικό του πληθυσµού. Ορίζουµε τις παρακάτω στατιστικές έοιες: Πληθυσµός: Είαι το σύολο τω µετρήσεω ή γεικά τω παρατηρήσεω, οι οποίες ααφέροται σε έα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα τω µοάδω του συόλου που εξετάζουµε. Για πειραµατικές µετρήσεις, ο πληθυσµός θεωρητικά, είαι ο άπειρος αριθµός µετρήσεω που µπορού α εκτελεστού. Μεταβλητή: Είαι το χαρακτηριστικό ή η ιδιότητα τω στατιστικώ µοάδω ως προς τo οποίo εξετάζουµε έα πληθυσµό. Για πειραµατικές µετρήσεις είαι το

6 6 αριθµητικό αποτέλεσµα της πειραµατικής µέτρησης, δηλαδή η πειραµατική τιµή (xi) i=1,,..., είγµα: Η λήψη όλω τω δυατώ τιµώ µιας µεταβλητής (απογραφή) είαι δαπαηρή και πολλές φορές αδύατη (πειραµατικές µετρήσεις). Για το λόγο αυτό στη πράξη παίρουµε έα περιορισµέο αριθµό τιµώ µιας µεταβλητής xi που οοµάζουµε δείγµα (το είαι το µέγεθος του δείγµατος). Το δείγµα για α είαι ατιπροσωπευτικό του πληθυσµού από το οποίο προέρχεται πρέπει α έχει επιλεγεί µε επιστηµοικές µεθόδους δειγµατοληψίας. Η παρουσίαση τω στατιστικώ στοιχείω γίεται µε τους στατιστικούς πίακες και µε τα διαγράµµατα. Η παρουσίαση τω στατιστικώ στοιχείω σε πίακες γίεται µε τη κατάλληλη τοποθέτηση τω στατιστικώ πληροφοριώ σε στήλες και γραµµές, κατά τρόπο που α διευκολύεται η σύγκριση τω στοιχείω και η καλύτερη εηµέρωση για τη δοµή του πληθυσµού που ερευάται. Μετά τη συγκέτρωση τω στατιστικώ στοιχείω οι τιµές της µεταβλητής κατατάσσοται και οµαδοποιούται συστηµατικά. Σηµατικό βήµα στη στατιστική αάλυση είαι η οργάωση τω στατιστικώ δεδοµέω µε τη µορφή µιας καταοµής συχοτήτω ή πίακα συχοτήτω. Για τη κατασκευή του πίακα συχοτήτω τα δεδοµέα ταξιοµούται σε µικρό πλήθος οµάδω που οοµάζοται κλάσεις. Οι κλάσεις συήθως έχου το ίδιο εύρος και είαι διαστήµατα κλειστά αριστερά και αοικτά δεξιά δηλαδή [, ). Ο αριθµός τω οµάδω µπορεί α ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή αλλά εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος. Καλό είαι α ακολουθείται ο παρακάτω πίακας. Πίακας 1.1: Πίακας επιλογής αριθµού κλάσεω Μέγεθος δείγµατος Αριθµός κλάσεω κ Μέγεθος δείγµατος Αριθµός κλάσεω κ Μικρότερο του Αφού επιλεγεί ο αριθµός τω κλάσεω προσδιορίζεται το εύρος κάθε κλάσης διαιρώτας το εύρος του δείγµατος (αώτερη κατώτερη τιµή) µε το αριθµό τω κλάσεω. Ο παρακάτω πίακας δίει τη καταοµή τω µετρήσεω της πυκότητας εός διαλύµατος 3Μ NaCl από µία οµάδα = 50 σπουδαστώ σ έα εργαστήριο.

7 7 Πίακας 1.: Πίακας καταοµής Συχοτήτω α/α Πυκότητα διαλύµατος Αριθµός φοιτητώ 3Μ NaCl (gr/ml) Συχότητα i 1 1,09-1,10 4 1,10-1, ,11-1, ,1-1, ,13-1, ,14-1,15 5 Σ i = = 50 Εά θέλαµε α συγκρίουµε τα παραπάω αποτελέσµατα, µε τα αποτελέσµατα τω µετρήσεω της πυκότητας εός διαλύµατος 3Μ NaCl από µία άλλη οµάδα 10 σπουδαστώ σ έα άλλο εργαστήριο, τα αποτελέσµατα που θα προέκυπτα από τους δύο πίακες καταοµής συχοτήτω, δε θα ήτα άµεσα συγκρίσιµα. Ορίζουµε έα άλλο στατιστικό µέγεθος, τη σχετική συχότητα (f i ), που δίεται από τη σχέση: i f i = (1.1) Σ i Ο Πίακας 1. της καταοµής συχοτήτω, µπορεί τώρα α πάρει τη παρακάτω µορφή, εά τις τιµές της µεταβλητής που είαι σε τάξεις, τις ατικαταστήσουµε µε τις κετρικές τιµές κάθε τάξης και τις συχότητες µε τις σχετικές συχότητες κάθε τάξης. Πίακας 1.3: Πίακας καταοµής Σχετικώ Συχοτήτω ή Πιθαότητας Πυκότητα διαλύµατος 3Μ NaCl (gr/ml) Κετρικές τιµές x i Σχετική Συχότητα ή Πιθαότητα f i 1,09-1,10 1,095 4:50 = 0,08 1,10-1,11 1,105 6:50 = 0,1 1,11-1,1 1,115 13:50 = 0,6 1,1-1,13 1,15 15:50 = 0,30 1,13-1,14 1,135 7:50 = 0,14 1,14-1,15 1,145 5:50 = 0,10 Σ f i = Σ i / = 1

8 8 Η σχετική συχότητα ταυτίζεται µε τη µαθηµατική πιθαότητα. Α εκτελέσουµε έα πείραµα τύχης φορές και το εδεχόµεο Α εµφαισθεί i φορές, τότε η πιθαότητα Ρ(Α) α εµφαισθεί το εδεχόµεο Α είαι : i Ρ ( A ) = (1.) Εποµέως ο Πίακας 1.3 οοµάζεται και πίακας καταοµής πιθαότητας. Τα διαγράµµατα είαι καλύτερο µέσο παρουσίασης τω στατιστικώ στοιχείω, γιατί δίου στους αριθµούς συγκεκριµέη µορφή που µας διευκολύει α έχουµε µία πλήρη εικόα του φαιοµέου που µελετάµε. Υπάρχου πολλοί τύποι στατιστικώ διαγραµµάτω όπως: Ιστοδιαγράµµατα, Κυκλικά διαγράµµατα, Ακιδωτά διαγράµµατα, Αθροιστικά διαγράµµατα κ.λ.π. Η γραφική απεικόιση της καταοµής τω Συχοτήτω i δίεται στο παρακάτω διάγραµµα: 0 i ,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκότητα διαλύµατος Χ Σχήµα 1.1 : Ιστόγραµµα Συχοτήτω Η γραφική απεικόιση της καταοµής Σχετικώ Συχοτήτω f i ή Πιθαότητας δίεται στο παρακάτω διάγραµµα:

9 9 0,40 0,30 f i 0,0 0,10 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκότητα διαλύµατος Χ Σχήµα 1. : Ιστόγραµµα Σχετικώ Συχοτήτω Παρατηρούµε ότι η µορφή του διαγράµµατος δε αλλάζει, απλά στο άξοα τω Ψ η συχότητα i έχει ατικατασταθεί µε τη σχετική συχότητα f i = i /. Εά εώσουµε τα µέσα της άω πλευράς τω ορθογωίω που έχου σχηµατιστεί προκύπτει µια τεθλασµέη γραµµή που µπορεί α ατικαταστήσει διαγραµµατικά το ιστόγραµµα. Η γραµµή αυτή δηµιουργεί το λεγόµεο πολύγωο συχοτήτω. 0,4 0,3 f i 0, 0,1 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκότητα διαλύµατος Χ Σχήµα 1.3 : Το πολύγωο συχοτήτω

10 10 Επειδή το πολύγωο συχοτήτω δηµιουργεί ίσα τρίγωα, το συολικό εµβαδό τω ορθογωίω, είαι ίσο µε το εµβαδό που περικλείεται µεταξύ της τεθλασµέης γραµµής και του άξοα τω Χ. Στα δεδοµέα του Πίακα η µεταβλητή που εξετάσαµε (πυκότητα διαλύµατος) µπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιµή ακέραια ή δεκαδική. Άρα πρόκειται για συεχή µεταβλητή. Ότα το πλήθος τω δεδοµέω είαι αρκετά µεγάλο, το εύρος τω τάξεω µπορεί α µικρύει και η τεθλασµέη γραµµή της καταοµής συχοτήτω τείει α πάρει τη µορφή καµπύλης, η οποία οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω. Οι καµπύλες συχοτήτω έχου µεγάλη σηµασία στη στατιστική, γιατί µε αυτές εξάγοται χρήσιµα συµπεράσµατα. 1.3 Μέτρα θέσης και διασποράς Μετά τη παρουσίαση τω στατιστικώ δεδοµέω προσπαθούµε α ατικαταστήσουµε το σύολο τω δεδοµέω, µε ορισµέους ατιπροσωπευτικούς αριθµούς, που συοψίζου τα χαρακτηριστικά τω παρατηρήσεώ µας. Μέσος όρος ( x ): Κατά τη διεξαγωγή τω µετρήσεω υπεισέρχοται ααπόφευκτα τυχαία σφάλµατα και γι' αυτό τα αποτελέσµατα χαρακτηρίζοται από κάποιο βαθµό αβεβαιότητας. Είαι γωστό ότι στη πράξη η προσπάθεια α ααπαραχθεί µία µέτρηση οδηγεί σε διαφορετικό αποτέλεσµα. Γι' αυτό κατά τη διεξαγωγή τω πειραµάτω, λαµβάεται µία σειρά µετρήσεω (δείγµα µεγέθους ) και για α εξαλειφθεί κατά το δυατό η επίδραση τω τυχαίω σφαλµάτω, το αποτέλεσµα εκφράζεται µε το µέσο όρο : x = x + x 1 + x x = x i (1.3) ιακύµαση (S ) : ιακύµαση εός πλήθους παρατηρήσεω οοµάζεται το άθροισµα τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω τιµώ της µεταβλητής από το µέσο όρο της, διαιρούµεο µε -1. Η διακύµαση εκφράζεται σε µοάδες, οι οποίες είαι τα τετράγωα τω αρχικώ µοάδω της µεταβλητής. Για παράδειγµα α η µεταβλητή εκφράζεται σε εκατοστά, η διακύµαση εκφράζεται σε εκατοστά στο τετράγωο. Η διακύµαση δίεται από το τύπο : S = ( xi x) v 1 (1.4) Τυπική απόκλιση (S -1 ): Για α έχουµε έα δείκτη ο οποίος α µετράει τη

11 11 διασπορά και α εκφράζεται στις ίδιες µοάδες που εκφράζεται η µεταβλητή µας, παίρουµε τη τετραγωική ρίζα της διακύµασης. Το µέτρο αυτό οοµάζεται τυπική απόκλιση και είαι το µέτρο της διασποράς που χρησιµοποιείται συήθως στη πράξη. Όσο µεγαλύτερη είαι η τυπική απόκλιση, τόσο µεγαλύτερη είαι η διασπορά τω παρατηρήσεω από το µέσο όρο. Η τυπική απόκλιση δίεται από το τύπο : S -1 = ( xi x) v 1 (1.5) ότα τότε S v-1 σ δηλαδή στη πραγµατική τυπική απόκλιση σ του πληθυσµού. Συτελεστής µεταβλητότητας (C.V.): Είαι έα µέτρο διασποράς τω τιµώ της µεταβλητής από το µέσο όρο. Ορίζεται ως ο λόγος της τυπικής απόκλισης (S -1 ) δια του µέσου όρου ( x ) και συήθως εκφράζεται ως ποσοστό επί τοις %. S -1 C.V. (x) =. 100 x (1.6) Είαι καθαρός αριθµός απαλλαγµέος από τις µοάδες µέτρησης της µεταβλητής και µέτρο της σχετικής διασποράς τω τιµώ. Όσο µικρότερος είαι ο συτελεστής µεταβλητότητας, τόσο ποιό οµοιογεές είαι το δείγµα. Γεικά δεχόµαστε ότι έα δείγµα τιµώ µιας µεταβλητής είαι οµοιογεές εά ο C.V. είαι µικρότερος του 10%. 1.4 Σηµατικά ψηφία Σηµατικά ψηφία εός αριθµού είαι όλα τα ψηφία για τα οποία είµαστε βέβαιοι συ έα ακόµα που είαι αβέβαιο και προκύπτει από εκτίµηση. Με αυτό το τρόπο δείχουµε τη αβεβαιότητα µιας µέτρησης. Για παράδειγµα, ότα εκφράζουµε µία µέτρηση µάζας ως,05 g (τρία σηµατικά ψηφία) είµαστε βέβαιοι για τα δύο πρώτα (,0) αλλά αµφιβάλλουµε για το τελευταίο (5), που προέκυψε από εκτίµηση. Για α αποφεύγεται η σύγχυση είαι καλό α εκφράζουµε τους αριθµούς στη τυποποιηµέη τους µορφή, σα δύαµη του 10. Για παράδειγµα στο αριθµό δε γωρίζουµε α τα τελευταία µηδεικά είαι σηµατικά ψηφία ή απλώς εκφράζου τη τάξη µεγέθους του αριθµού. Εά γράψουµε,5.10 4

12 1 δηλώουµε ότι ο αριθµός έχει µόο δύο σηµατικά ψηφία (το είαι βέβαιο και το 5 είαι το πρώτο αβέβαιο). Εά γράψουµε, δηλώουµε ότι ο αριθµός έχει τέσσερα σηµατικά ψηφία (τα πρώτα τρία είαι βέβαια εώ το τελευταίο 0 είαι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο). Επίσης, τα µηδεικά στο αριθµό 0,0063 δε είαι σηµατικά, γιατί ο αριθµός γράφεται, και έχει τρία σηµατικά ψηφία. Ότα προσθέτουµε µηδεικά στο τέλος εός αριθµού και µετά τη υποδιαστολή, δηλώουµε ότι είαι σηµατικά, αλλιώς δε θα έπρεπε α έχου γραφεί. Ο αριθµός τω σηµατικώ ψηφίω σε µετρήσεις, εξαρτάται από τη ευαισθησία του οργάου µέτρησης. Στα ααλογικά όργαα, α η βελόα του οργάου βρίσκεται µεταξύ δύο εδείξεω π.χ. µεταξύ 10,4 και 10,5 τα εκατοστά προκύπτου κατ εκτίµηση. ίουµε για παράδειγµα σα αποτέλεσµα το αριθµό 10,47 όπου το 7 είαι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφαώς ο αριθµός 10,47 έχει τέσσερα σηµατικά ψηφία. Στα ψηφιακά όργαα το τελευταίο δεξιά ψηφίο που διαβάζουµε στη οθόη του οργάου, είαι αβέβαιο ψηφίο. Για παράδειγµα α διαθέτουµε έα ψηφιακό ΡΗµετρο µε ευαισθησία εκατοστό του ΡΗ και µετρώτας το ΡΗ εός διαλύµατος διαβάζουµε τη έδειξη 3,58, το 8 είαι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφαώς ο αριθµός 3,58 έχει τρία σηµατικά ψηφία. 1.5 Στρογγυλοποίηση αριθµώ Το τελικό αποτέλεσµα που εξάγεται από σειρά υπολογισµώ συήθως έχει περισσότερα ψηφία, από αυτά που µπορεί α δικαιολογηθού από τη αβεβαιότητα στη µέτρηση τω πειραµατικώ δεδοµέω. Στη περίπτωση αυτή παρουσιάζουµε το αποτέλεσµα στρογγυλοποιηµέο στα σηµατικά του ψηφία (όλα τα βέβαια συ το πρώτο αβέβαιο). Έστω ότι θέλουµε α παρουσιάσουµε το αριθµό 6,3547 µε τρία σηµατικά ψηφία. Η στρογγυλοποίηση αρχίζει από το τέλος. Εά ο τελευταίος αριθµός είαι µικρότερος του 5 απαλείφεται και µετά το πρώτο βήµα γράφουµε 6,3547. Εά ο τελευταίος αριθµός είαι µεγαλύτερος του 5 ο προτελευταίος αυξάεται κατά µία µοάδα, άρα στο δεύτερο βήµα γράφουµε 6,355. Εά ο τελευταίος αριθµός είαι 5, ο προτελευταίος, εά είαι ζυγός παραµέει ως έχει, εά είαι µοός αυξάεται κατά µία µοάδα. Έτσι γράφουµε διαδοχικά 6,35 6,35 και τελικά 6,4. Ότα κάουµε πράξεις µεταξύ αριθµώ εφαρµόζουµε τη αρχή, ότι η πράξη µεταξύ δύο ψηφίω δίει βέβαιο αποτέλεσµα, µόο α και τα δύο παράγωγα του

13 13 αποτελέσµατος ψηφία, είαι βέβαια. Πρόσθεση (αφαίρεση) : Το άθροισµα (διαφορά) τω τιµώ δε πρέπει α περιέχει περισσότερα σηµατικά ψηφία προς τα δεξιά του, από όσα περιέχει ο λιγότερο ακριβής παράγοτας του αθροίσµατος (διαφοράς) π.χ 14,8 + 0,053 = 14,853 που στρογγυλοποιείται στο 14,8 δηλαδή: 14,800 Τα υπογραµµισµέα ψηφία είαι αβέβαια. + 0, ,853 Τα προερχόµεα ψηφία από πρόσθεση βέβαιου µε αβέβαιο είαι αβέβαιο ψηφίο. Τα τρία δεκαδικά ψηφία του αθροίσµατος είαι αβέβαια. Άρα θα πρέπει α εκφράσουµε το αποτέλεσµα στρογγυλοποιηµέο µε τέσσερα σηµατικά ψηφία: 14,8 Πολλαπλασιασµός (διαίρεση): Το γιόµεο (πηλίκο) τω διαφόρω τιµώ δε πρέπει α περιέχει περισσότερα σηµατικά ψηφία, από αυτά που περιέχοται στο παράγοτα του γιοµέου (πηλίκου) µε τα λιγότερα σηµατικά ψηφία. Παραδείγµατα: Πολ/σµός 113, Χ 1,43 = 161,876 που στρογγυλοποιείται στο 16 ιαίρεση 113, : 1,43 = 79, που στρογγυλοποιείται στο 79, Αρκετά χρόια ωρίτερα, ότα η χρήση υπολογιστικώ µηχαώ (κοµπιουτεράκια) δε ήτα γεικευµέη, για λόγους ταχύτητας στο απαιτούµεο χρόο υπολογισµώ, οι µηχαικοί συήθως τηρούσα του καόες τω σηµατικώ ψηφίω και έκαα στρογγυλοποίηση σε κάθε εδιάµεση πράξη. Σήµερα, α επιθυµούµε ακρίβεια στους υπολογισµούς, είαι εύκολο στις εδιάµεσες πράξεις α κρατάµε πολλά ψηφία και α κάουµε στρογγυλοποίηση µόο στο τελικό αποτέλεσµα. Για παράδειγµα έστω ότι κατά τη εφαρµογή της µεθόδου τω ελαχίστω τετραγώω (βλπ. Άσκηση ), χωρίς στρογγυλοποιήσεις στις εδιάµεσες πράξεις, βρίσκουµε τα αποτελέσµατα: a = 13, b = 0, r = 0, Επειδή είαι καλό για α έχουµε γεικά αποδεκτή ακρίβεια, α δίουµε τα αποτελέσµατα µε τουλάχιστο τρία σηµατικά ψηφία, παρουσιάζουµε τα τελικά

14 14 αποτελέσµατα στρογγυλοποιώτας στα τρία σηµατικά ψηφία: a = 13,7 b = 0,00038 r = 0, Και άλλες στατιστικές έοιες Ορίζουµε τις παρακάτω στατιστικές έοιες: Αληθιή τιµή (Τ ή µ) : Είαι η πραγµατική αριθµητική τιµή εός µεγέθους. Προσεγγίζεται από το µέσο όρο µεγάλου αριθµού πειραµατικώ µετρήσεω (θεωρητικά άπειρος αριθµός µετρήσεω). ηλαδή x µ ότα Απόλυτο σφάλµα : x i T (1.7) Απόλυτο σφάλµα του µέσου : x T (1.8) Σχετικό σφάλµα : ( x T) / T (1.9) Σχετικό σφάλµα % : (( x T ) / T ) 100 (1.10) Ορθότητα (Accuracy): Ορθότητα έχου οι µετρήσεις µας ότα είαι οµοιόµορφα καταεµηµέες γύρω από το σωστό αποτέλεσµα. ηλαδή, ο µέσος όρος τω µετρήσεω ( x ) συµπίπτει ή είαι πολύ κοτά στη αληθιή τιµή (µ). Μέτρο της ορθότητας είαι το απόλυτο σφάλµα του µέσου. Ακρίβεια (Precision): Ακρίβεια έχου οι µετρήσεις µας, ότα είαι καταεµηµέες πολύ στεά γύρω από το µέσο όρο τω µετρήσεω (που µπορεί α είαι διαφορετικός από τη αληθιή τιµή). Μέτρο της ακρίβειας είαι η τυπική απόκλιση. Επααληψιµότητα (Repeatability): Επααληψιµότητα έχου οι µετρήσεις µας ότα στη ίδια δειγµατοληψία τα αποτελέσµατα χαρακτηρίζοται από ακρίβεια. Ααπαραγωγισιµότητα (Reproducibility) : Ααπαραγωγισιµότητα έχου οι µετρήσεις µας ότα τα αποτελέσµατά µας πάλι έχου ακρίβεια, αλλά σε διαφορετικές δειγµατοληψίες. Ευαισθησία (Sensitivity): Ευαισθησία είαι η ελάχιστη µεταβολή στο µετρούµεο µέγεθος, που µπορεί α δείξει το όργαο µέτρησης. Ααγωσιµότητα (Readability): Ααγωσιµότητα είαι η ελάχιστη

15 15 µεταβολή που µπορούµε α διαβάσουµε στη κλίµακα αάγωσης του οργάου. Χροική σταθερά απόκρισης (Time constant): Είαι ο χρόος που απαιτείται για α φθάσει η αάγωση σε όργαο µέτρησης το 63,% της τελικής τιµής, µετά από βαθµωτή (απότοµη) µεταβολή του ερεθίσµατος. ιακρίβωση (Calibration) : ιακρίβωση οοµάζουµε όλες τις εργασίες που αποσκοπού στο α προσδιοριστού οι τιµές τω σφαλµάτω µετρητικού οργάου. 1.7 Καταοµές Συχοτήτω Όπως είδαµε, στα δεδοµέα του Πίακα 1.3, η µεταβλητή που εξετάσαµε (πυκότητα διαλύµατος), µπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιµή ακέραια ή δεκαδική. Άρα πρόκειται για συεχή µεταβλητή. Ότα το πλήθος τω δεδοµέω είαι µεγάλο, το εύρος τω κλάσεω (dx) µπορεί α µικρύει. Εά στο άξοα τω Ψ µετράµε ατί για τη σχετική συχότητα f i το f i / dx, τότε το εµβαδό εός ορθογωίου παραλληλογράµµου είαι (f i / dx). dx και το εµβαδό όλω τω παραλληλογράµµω είαι : Σ(f i / dx). dx = Σf i = 1 Εποµέως και το εµβαδό που περικλείεται από το πολύγωο συχοτήτω και το άξοα τω Χ είαι ίσο µε 1. f i / dx Σχήµα 1.4 : Η καµπύλη συχοτήτω Χ

16 16 Ότα το πλήθος τω δεδοµέω είαι µεγάλο ( ), το πλήθος τω κλάσεω µπορεί α µεγαλώσει και εποµέως το εύρος τω κλάσεω (dx) µπορεί α µικρύει (dx 0 ) και το πολύγωο συχοτήτω, τείει α πάρει τη µορφή λείας καµπύλης, η οποία οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω. Το εµβαδό µεταξύ της καµπύλης συχοτήτω και του άξοα τω χ είαι ίσο µε 1. Οι καµπύλες συχοτήτω έχου µεγάλη σηµασία στη στατιστική, γιατί µε τη βοήθειά τους εξάγοται χρήσιµα συµπεράσµατα Καοική Καταοµή Σε πάρα πολλές περιπτώσεις έα σύολο πειραµατικώ µετρήσεω ακολουθεί µια συγκεκριµέη καµπύλη σε έα διάγραµµα συχότητας που οοµάζεται καοική καταοµή (Normal Distribution) ή καταοµή του Gauss. Α και καέα δείγµα δε είαι ακριβώς καοικά καταεµηµέο η καοική καταοµή αποτελεί µια εξαιρετική προσέγγιση της διακύµασης τω δεδοµέω. Ο λόγος που κάει τη καοική καταοµή τόσο σηµατική από πρακτική και θεωρητική άποψη, είαι ότι, αεξάρτητα από τις καµπύλες καταοµής κάθε µιας από τις πιθαές αιτίες που προκαλού τη διακύµαση, το άθροισµα τω αιτιώ αυτώ τείει α ακολουθήσει τη καοική καταοµή. Η καοική καταοµή ή καταοµή του Gauss εκφράζεται από τη σχέση : 1 x µ σ 1 f ( x) = e (1.11) σ π όπου x : συεχής µεταβλητή στο διάστηµα (, + ) µ : µέση ή αληθιής τιµής x -µ : το µέγεθος της απόκλισης, δηλ. η διαφορά µεταξύ της τιµής x και της αληθιής τιµής µ σ : η τυπική απόκλιση e :,7183 η βάση τω φυσικώ λογαρίθµω π : 3,14 Μια καοική καταοµή µε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ συµβολίζεται και σα Ν(µ,σ).

17 17 Η καταοµή τω τυχαίω σφαλµάτω ακολουθεί το όµο της καοικής καταοµής του Gauss. Στο Σχήµα 5 δίεται το σχήµα της καοικής καταοµής κατά Gauss. Κ αο ική Κ αταοµή 0,09 0,08 0,07 0,06 Συχότητα 0,05 0,04 0,03 0,0 0, εδ ο µ έα µ ετρήσ εω, x i Ε=x-µ z = x µ σ Σχήµα 5 : Η καοική καταοµή κατά Gauss. Από τις τρεις κλίµακες της τετµηµέης, η πρώτη παριστά τη πειραµατική τιµή x, η δεύτερη τη καταοµή της απόκλισης Ε=x-µ και η τρίτη µια έα µεταβλητή z, που προέρχεται από γραµµικό µετασχηµατισµό. Σε απόσταση ± σ γύρω από το µέσο αριθµητικό, δηλ. ότα ισχύει µ σ x µ + σ περιλαµβάεται το 68,7% τω τιµώ. Σε απόσταση ± σ από το µέσο αριθµητικό ( µ σ x µ + σ ) περιλαµβάεται το 95,45% τω τιµώ. Σε απόσταση ± 3σ ( µ 3 σ x µ + 3σ ) περιλαµβάεται το 99,73% τω τιµώ. Τα βασικά χαρακτηριστικά της καοικής καταοµής είαι :

18 18 α) Η µέση τιµή (µ) για το άπειρο αριθµό µετρήσεω, συµπίπτει µε τη αληθιή τιµή και ατιστοιχεί στη µέγιστη πιθαότητα. β) Η τεταγµέη της µέγιστης τιµής είαι άξοας συµµετρίας της καµπύλης, η δε τυπική απόκλιση (σ) είαι η απόσταση τω σηµείω καµπής από το άξοα συµµετρίας. γ) Λόγω της συµµετρίας της καµπύλης τα θετικά και τα αρητικά σφάλµατα είαι εξίσου πιθαά. δ) Η πιθαότητα τω µεγάλω σφαλµάτω είαι µικρή, εώ τα µικρά σφάλµατα είαι πιο πιθαά. ε) Το πλάτος της καοικής καµπύλης καταοµής υποδηλώει τη ακρίβεια τω µετρήσεω. Όσο µεγαλύτερη είαι η ακρίβεια τόσο µικρότερο είαι το (σ) άρα και το άοιγµα της καµπύλης. στ) Η αληθιή τιµή µ επηρεάζει τη καµπύλη καταοµής από πλευράς θέσης, η δε τυπική απόκλιση (σ) από άποψη σχήµατος. ζ) Το εµβαδό κάτω από τη καοική καµπύλη από έως και ισούται µε τη µοάδα. + Το εµβαδό υπολογίζεται µε το ορισµέο ολοκλήρωµα: 1 e σ π 1 χ µ σ dx= 1 (1.1) Ο υπολογισµός της πιθαότητας µια τυχαία µεταβλητή x που ακολουθεί τη καοική καταοµή α πάρει π.χ. τιµή : a x β δίεται από το ολοκλήρωµα P β ( a x β) = α 1 e σ π 1 χ= µ σ dx (1.13) Για κάποιο γωστό ζεύγος παραµέτρω µ και σ, θα χρειασθεί α υπολογίσουµε έα ολοκλήρωµα της παραπάω µορφής. Ο υπολογισµός όµως του παραπάω ολοκληρώµατος για κάθε µία καοική καταοµή, παρουσιάζει µεγάλες δυσκολίες στις εφαρµογές. Για α ατιµετωπίσουµε τις δυσκολίες αυτές, κάουµε το παρακάτω γραµµικό µετασχηµατισµό, ατικαθιστώτας τη µεταβλητή x µε έα µεταβλητή z: x µ z= σ (1.14) Οι µοάδες του z είαι καθαροί αριθµοί. Αποδεικύεται ότι α µία τυχαία µεταβλητή x ακολουθεί τη καοική καταοµή που έχει µέσο αριθµητικό µ και τυπική απόκλιση σ τότε η τυχαία µεταβλητή z

19 19 ακολουθεί τη καοική καταοµή που έχει µέσο αριθµητικό 0 και τυπική απόκλιση 1. Αυτή η καοική καταοµή που έχει µέσο αριθµητικό 0 και τυπική απόκλιση 1, λέγεται τυποποιηµέη καοική καταοµή και συµβολίζεται σα Ν(0, 1). Επειδή η καταοµή της µεταβλητής z είαι αεξάρτητη από τις παραµέτρους µ και σ µπορούµε α κατασκευάσουµε πίακες που µας δίου για z από 5 µέχρι 5 τις διάφορες τιµές τω εµβαδώ που περικλείοται µεταξύ της συάρτησης καταοµής και του άξοα του z για κάθε τιµή του z (βλέπε πίακα καοικής καταοµής) Επίπεδα αξιοπιστίας ή διάστηµα εµπιστοσύης Η παρουσίαση του αποτελέσµατος πειραµατικώ µετρήσεω µε το µέσο όρο και τη τυπική απόκλιση, συµπληρώεται µε το καθορισµό εός διαστήµατος µέσα στο οποίο βρίσκεται η αληθιή τιµή και µε κάποια βεβαιότητα. Το διάστηµα αυτό ορίζεται από δύο τιµές οι οποίες λέγοται όρια αξιοπιστίας (confidence limits). Τα όρια αξιοπιστίας προσδιορίζοται : α) από το µέγεθος του δείγµατος β) από τη στατιστική διακύµαση γ) από το βαθµό αξιοπιστίας µε τη οποία θέλουµε α δώσουµε το αποτέλεσµα. Ο βαθµός αξιοπιστίας ή η πιθαότητα (Ρ) εκφράζεται είτε επί τοις % από το 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Η αβεβαιότητα (α) λέγεται επίπεδο σηµατικότητας και εκφράζεται είτε επί τοις % από 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Για παράδειγµα α δίεται ότι Ρ = 95% ή Ρ=0,95 τότε επειδή Ρ + α = 100% ή Ρ + α = 1 το α = 5% ή α = 0, Κερικό οριακό θεώρηµα Α µία τυχαία µεταβλητή x καταέµεται καοικά, τότε οι µέσοι όροι τω δειγµάτω x καταέµοται καοικά µε µέσο αριθµητικό ίσο µε το µέσο αριθµητικό του πληθυσµού: µ = µ και διακύµαση ίση µε τη διακύµαση του πληθυσµού αφού x διαιρεθεί µε το µέγεθος του δείγµατος: σ σ χ = (1.15) n Αυτό όµως δε ισχύει ότα η καταοµή του πληθυσµού δε είαι καοική. Αεξάρτητα όµως από τη µορφή της καταοµής του γεήτορα πληθυσµού, α το

20 0 µέγεθος του δείγµατος είαι αρκετά µεγάλο (>30), τότε η καταοµή τω µέσω δειγµάτω τείει α γίει καοική, όσο αυξάει το µέγεθος του δείγµατος µε µέσο µ = µ και τυπική απόκλιση x σ σ χ = (1.16) n Το θεώρηµα αυτό οοµάζεται κετρικό οριακό θεώρηµα και ισχύει για συεχείς και ασυεχείς καταοµές Καταοµή Χ Η καταοµή Χ είαι παράγωγος της καοικής καταοµής και ορίζεται ως εξής: Έστω οι τυχαίες µεταβλητές x 1,x,.x που είαι αεξάρτητες µεταξύ τους και ότι κάθε µία καταέµεται καοικά µε µέση τιµή 0 και διακύµαση 1. Α όµως πάρουµε το άθροισµα τω τετραγώω τω παραπάω µεταβλητώ δηλ. x = x 1 + x n x i i= x = (1.17) τότε το άθροισµα αυτό δε καταέµεται όπως η καοική καταοµή, αλλά ακολουθεί µία άλλη καταοµή που λέγεται x τετράγωο και γράφεται Χ. Η καταοµή Χ εξαρτάται από τους βαθµούς ελευθερίας και παίρει µόο θετικές τιµές: 0 < x < και έχει συήθως ασύµετρη µορφή. Α από έα καοικό πληθυσµό πάρουµε έα τυχαίο δείγµα x 1,x,.x τότε ( x) και το παρακάτω άθροισµα x x ( x x) x i ακολουθεί τη καταοµή Χ σ δηλαδή: i = αλλά επειδή ( ) ( 1) x i x = s σ ( v 1 s = όπου σ η διακύµαση του πληθυσµού (1.18) σ ) Οι πίακες Χ που χρησιµοποιούται στη πράξη δίου τη πιθαότητα η µεταβλητή Χ α υπερβεί µία ορισµέη τιµή (βλέπε πίακα καταοµής Χ ) Καταοµή t του student H καταοµή t είαι παράγωγος καταοµή της καοικής καταοµής και τη

21 1 ορίζουµε ως εξής: Α η τυχαία µεταβλητή z ακολουθεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 0 και διακύµαση 1 τότε και Υ, µία άλλη µεταβλητή, αεξάρτητη της Χ, που ακολουθεί τη καταοµή x µε = n-1 βαθµούς ελευθερίας, τότε η τυχαία µεταβλητή : ακολουθεί τη καταοµή t µε βαθµούς ελευθερίας. ( n 1) x µ s Α στη παραπάω σχέση θέσουµε z= και Υ = σ n σ x µ τότε θα έχουµε: t v = µε < t < (1.19) s n Για τις πρακτικές εφαρµογές υπάρχει πίακας της καταοµής t-student. Είαι πίακας διπλής εισόδου µε τους βαθµούς ελευθερίας α βρίσκοται στη πρώτη στήλη και τα επίπεδα σηµατικότητας α στη πρώτη γραµµή. t v = z Y v Χρήσεις Καταοµώ Οι εφαρµογές τω καταοµώ είαι πολλές. Θα περιοριστούµε σε περιπτώσεις που έχου εφαρµογή στο έλεγχο ποιότητας: Ι. Καοική καταοµή Χρήση : Ότα είαι γωστή η σ του πληθυσµού α) Εύρεση κάτω ορίου ια µεµοωµέες τιµές (x i ): x i ; = x i,min ; µ - z. σ, α µ γωστή (1.0) x i ; = x i,min ; x - z.σ, α µ άγωστη (1.1) β) Εύρεση κάτω ορίου για µέσους όρους ( x ): x ; = σ x, min ; = µ min ; µ - z 1/ Α µ άγωστο, τότε στη σχέση (3) µ = x, α µ γωστή (1.) ΙΙ. Καταοµή Χ Χρήση : Εύρεση ορίω για τη τυπική απόκλιση α) Α σ άγωστο (S v-1 γωστό από δείγµα πλήθους )

22 Εύρεση άω ορίου σ > σ max ; πάω από το οποίο ααµέεται α βρίσκεται το α% τω υπολογιζόµεω S v-1 από -άδες δειγµάτω. σ max 1 ; = s 1 (1.3) Χ ( α, (-1)) β) Α σ γωστό. Εύρεση άω ορίου S v-1 ; > S max ; πάω από το οποίο ααµέεται α βρίσκεται το α% τω υπολογιζόµεω S v-1 από -άδες δειγµάτω. Χ ((1 α), ( 1)) s 1 ; = smax ; = σ (1.4) 1 Τα Χ (α, (-1)) ή Χ ((1-α), (-1)) είαι στατιστικοί δείκτες της καταοµής Χ. Η τιµή του Χ (α, (-1)) ή Χ ((1-α), (-1)) προκύπτει από το πίακα τηςκαταοµής Χ, που είαι πίακας διπλής εισόδου. Ο πίακας αυτός έχει στη πρώτη στήλη τους βαθµούς ελευθερίας και στη πρώτη σειρά τη αβεβαιότητα (α) %. Η τιµή του Χ (α, (-1)) προκύπτει από τη διασταύρωση της στήλης µε τιµή α% και της σειράς µε (-1) βαθµούς ελευθερίας. Η τιµή του Χ ((1-α), (-1)) προκύπτει από τη διασταύρωση της στήλης µε τιµή 1-α και της σειράς µε (-1) βαθµούς ελευθερίας. Προσοχή! Α α = 5% ή α=0,05 τότε 1-α=0,95 ή 95 %. Από το πίακα της Χ βρίσκω το Χ (95%, - 1) και όχι το Χ (5%, -1). ΙΙΙ. Καταοµή t του student Χρήση: Ότα είαι άγωστη η σ και τη εκτιµώ από δείγµα µε πλήθος µετρήσεω (βρίσκω το S v-1 ) α) Εύρεση κάτω ορίου για µεµοωµέες τιµές (xi) x i ; = x i,min ; x - t (a, (v - 1 ) ). S v-1 (1.5) β) Εύρεση κάτω ορίου για µέσους όρους ( x ): x ; = S 1 x, min ; = µ min ; x - t (a, (v - 1 ) ). 1/ (1.6) γ) ιάστηµα εµπιστοσύης µέσης τιµής (µε πιθαότητα Ρ)