Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Transcript

1 Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα Kgllykos..gr 9 / 7 / Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 11 ασκήσεις και τεχνικές σε 19 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 Τα πάντα για τα διανύσματα Διανύσματα 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ,Μ τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ και Σ τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου ν.δ.ο. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ ώστε :,,.Να εκφράσεις τα 5 διανύσματα των ΔΕ,ΔΖ συναρτήσει των διανυσμάτων ΑΒ,ΑΓ. Να εξετάσεις αν τα Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά.. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα σημεία Α,Β του οριζόντιου άξονα έχουν για τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης : x 5 0 x Να βρεις το λ ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει τετμημένη 7, 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΜ διάμεσος ν.δ.ο. AB Αν ΑΒΓ τρίγωνο με ΑΜ AB A διάμεσο : AM 5. Αν τμήματα ΑΒ,ΓΔ και Κ,Λ αντίστοιχα τα μέσα τους, ν.δ.ο. 6. Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και κέντρο Ο, ν.δ.ο Αν ΑΒΓΔ τετράπλευρο με Κ,Λ τα μέσα των διαγώνιων ΑΓ,ΒΔ ν.δ.ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΜ και σημεία Δ,Ρ,Ε ώστε 1 AΔ AB, AΡ AM, AE AΓ / / 4 8 1,, (, 7), (,5) ;, 8 ; 9. Αν 4,4, 6, 59 AB B: AB // B, Α,Β,Γ συνευθειακά, αν λ>0 ομόρροπα, αν λ<0 αντίρροπα 10. Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία : K b, b, M, b, N b, b 1

3 Συντεταγμένες 11. Δίνονται τα σημεία A5, 1, B1,1, C,. Να βρεις το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ώ 1. Δίνονται τα σημεία A,, B7, 4 και Μ του xx '. Να βρεις το Μ αν το ΜΑΒ είναι ισοσκελές στο Μ. Να βρεις το Μ αν το ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ. 1,0, 5 1,0 1. Αν A1,5, B5,, C,, να βρεις το είδος του τριγώνου Αν A( xa, ya), B( xb, yb) τότε το xa xb ya yb μέσο Μ : M, Απόσταση ΑΒ : AB x x y y B A B A ώ, έ 14. Να βρεις την κορυφή Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο με A,, B,8, C, 4 7, Να βρεις το Γ συμμετρικό του Α ως προς Β, όπου A1,, B,5 5,8 16. Να βρεις την κορυφή Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο με A,, B5,6, C 1,, Η απόσταση του A 1, από το Β είναι 5. Το Β έχει τεταγμένη διπλάσια από την τετμημένη του.να βρεις το σημείο Β,6, 1, 18. Δίνονται οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ με A1,, B0,, C 8, ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ ,, 4,,,0, να βρεις τα μέσα των πλευρών 19. Να βρεις την τέταρτη κορυφή του ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου αν A,, B,8, C, 4 7, 9 0. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A5, 1, B9,, C 6,6, να βρεις. Είδος τριγώνου

4 περίμετρο εμβαδόν του 5,10 5, 1. Αν A,1, B 1,, C 1,, O0,0, ν.δ.ο. ΑΒΓΟ είναι τετράγωνο.. Να εξετάσεις αν A 1,, B,0, C,5 είναι συνευθειακά.. Να βρεις το συμμετρικό του Α(,-5) ως προς : xx yy O(0,0) y=x B(,) 4. Δίνονται τα σημεία A(x 1,), B(1,4 5 x) Αν ( AB) 10 x ; Επιπλέον να βρεις ποιο το Γ του yy ώστε το ΑΒΓ να είναι ισοσκελές στο Γ. 5. Να βρεις το Γ του κατακόρυφου άξονα ώστε το ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ με A,, B1,1 0, 6. Να εξετάσεις αν δημιουργούν τρίγωνο τα σημεία : A 1, 5, B,1, C 1,5 9. Σε ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο να βρεις την τέταρτη κορυφή αν A1,4,1, B1,9, D5,, 0. Να εξετάσεις αν τα σημεία A 1,, B8,5, C, 1. Αν σημεία A,1, C0,5 10 δημιουργούν τρίγωνο. είναι κορυφές τετραγώνου ΑΒΓΔ,να βρεις το εμβαδό του.. Οι τεταγμένες των σημείων Α,Β είναι ρίζες της εξίσωσης το Mx,5 να είναι μέσο των Α,Β. 0,. Δίνονται τα σημεία y k k 10 y 4 0, να βρεις το κ ώστε A 1,, B,5, M yy ', να βρεις το Μ ώστε το ΑΜΒ ορθογώνιο στο Μ

5 0,4, 0, 4. Να βρεις το συμμετρικό του 8,1 A 4,5 ως προς το σημείο 5. Τα μέσα πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία D1,, E,, Z 1,4 των κορυφών, 1, 4,, 0,9 6. Δίνονται τα σημεία A1, 5, B,1, C 1,5 σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΓ., ν.δ.ο. B 6,9 Να βρεις την κορυφή Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο., 1..Να βρεις τα συντεταγμένες Αναφορά ως προς σημείο 7. Αν ισχύει 5 0, ν.δ.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 8. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Ο, (1 ), ν.δ.ο. Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 9. Αν 40. Ν.δ.ο. τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά όταν : ( ) ( 5) 41. ύ 4. ώ 5 0 όίά 4. 0ά 44. OA +, OB 7, OΓ 4 5 ά 45. ά ά 4

6 47. Δίνεται ΑΒΓ με A1,6, B 1,, C 5, 4 Κ,Λ,Μ μέσα των ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ,, τα μέτρα των παραπάνω δτων, να βρεις : 0,4,, 1,,1,1, 7, 4, 1, 5,8, 50, 17, Δίνονται τα διανύσματα ( 1,), (, 1), Να βρεις το διάνυσμα :,, 0 1 1,,, 4, 1, Πράξεις Διανυσμάτων 49. Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία A6,1, B,, C 10, 1 Αν A( xa, ya), B( xb, y B) τότε το διάνυσμα AB x x, y y Ν.δ.ο. Α,Β,Γ συνευθειακά : αν έχω σχέση τότε κάνε αναφορά ως προς ένα σημείο από τα Α,Β,Γ αλλιώς δημιούργησε μία ισότητα διανυσμάτων με ένα κοινό γράμμα, π.χ. B A B A AB B Ν.δ.ο. Α,Β,Γ είναι συνευθειακά : Φτιάξε τα διανύσματα AB, A : det( AB, A) 0 b εξισώνω αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων Να βρει το Ρ ώστε 1 10, A B με,, 1,4 51. Να βρεις τα Κ,Λ ώστε να τριχοτομείται το, A, 1, B9,5 5,1, 7, 5. Αν AB (4, 5), A(1, ) B ; 5, 7 5. Έστω τα σημεία Α(1,), Β(-,1), να βρεις το Μ ώστε AM MB 5 1, 5

7 Κατηγορίες Διανυσμάτων 54. Να βρεις x, y : x y 5, x y 1, να είναι Το μηδενικό δ/μα Να είναι το μοναδιαίο του 9 8 1,1,, Έστω, 4 xx ',να βρεις το λ ώστε να είναι ( x, y) x y Μοναδιαίο του χχ : Μοναδιαίο του yy : μοναδιαίο : 1 i (1,0) j (0,1) μηδενικό δμα, παράλληλο στον οριζόντιο άξονα και παράλληλο στον κατακόρυφο άξονα.,, 56. Αν ΑΒΓ με A0,7, B,1, C 4, το Ρ ώστε, να βρεις Το Σ του οριζόντιου άξονα ώστε // 7,4,,0 57. Αν x y 5, x y 1, να βρεις x,y ώστε : 0 μοναδιαίο του xx, μοναδιαίο του yy, //xx, // yy, / / (,) Ν.δ.ο. τα Α,Β,Γ δημιουργούν τρίγωνο : αρκεί τα Α,Β,Γ να μην είναι συνευθειακά. (,) 58. Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία : A 1, 5, B,1, C 1,5 59. Δίνονται τα διανύσματα (1, ), (,4), (5,0) Ν.δ.ο. ανά δύο δεν είναι συγγραμμικά. 6

8 Να αναλύσεις το γ σε δύο συνιστώσες στη διεύθυνση των α,β 60. Έστω τα σημεία Α(-1,),Β(,),Γ(5,0). Να βρεις το Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις ΑΒ,ΓΔ. 61. Έστω τα σημεία Α(,-1),Β(,4). Να βρεις το Μ ώστε 0, Αν A1,, B4, 1 να βρεις τα σημεία Γ,Δ ώστε να χωρίζουν το ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα (τριχοτόμηση). 7 C,1, D,0 7

9 Μέτρο Διανυσμάτων 6. Αν (,), ( 1,1), (,) ;, ; 6, Δίνονται τα διανύσματα : (,), (1, 1), (, ), να υπολογίσεις : 0,1, 7,8,,0, 4,7,1, 11, 65. Αν AB 5, B(,1), A( x,5) x ; 5, 1 Γραμμικός συνδυασμός 66. Να γραφεί το 1, 4 ως γραμμικός συνδυασμός των,1,, k, m 67. Να γραφεί το 8,17 ως γραμμικός συνδυασμός των,1, 4,5 k, m 68. Να γραφεί το, 1 ως γραμμικό συνδυασμό των,1, 1, 69. Να γράψεις το (,1) ως γραμμικό συνδυασμό των i, j 70. Να γραφεί το 8,17 ως γραμμικός συνδυασμός των,1, 4,5 Το γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός, των τότε, όπου κ,λ πραγματικοί αριθμοί. 8

10 Παράλληλα και κάθετα διανύσματα b 71. Αν (8, x), ( x,) να βρεις το χ ώστε να είναι (ομόρροπα) τότε πρέπει det( b, ) 0 και τα αντίστοιχα πρόσημα των δ/των ίδια. / / b det(, b) 0 / / xx ' det(, i) 0 / / yy ' det(, j) 0 παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα κάθετα 4, 4, 4,0 b (αντίροπα) τότε πρέπει det( b, ) 0 και τα αντίστοιχα πρόσημα των δ/των να είναι αντίθετα. 0 τυχαίο σημείο Μ(x,y) τυχαίο του xx :Μ(x,0) τυχαίο του yy :Μ(0,y) x, y : 1,, b x y, x y 1, c y x, x 1, / / b c 7. Να βρεις τη σχέση των yx k : k,k 6, b 1, k, / / b 7. Να βρεις το Ν.δ.ο. αν το άθροισμα και η διαφορά δύο διανυσμάτων είναι κάθετα τότε τα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα 75. Να βρεις το διάνυσμα με μέτρο που είναι κάθετο στο, ,,, Να βρεις το k : k,1 k, b k, k 1, c 1, 1 1, b c // c 77. Έστω 5 1,, b,4, c,10 Ν.δ.ο. δεν είναι συγγραμμικά ανά δύο Να γράψεις το c ως γραμμικό συνδυασμό των b, 1 1, 78. Να βρεις το διάνυσμα με μέτρο που είναι ομόρροπο στο 4, 9

11 ,,, Να βρεις το διάνυσμα με μέτρο 5 που είναι κάθετο στο 6,8, 4,,4, Να αναλύσεις το σε δύο συνιστώσες όπου η μία //,1 και η άλλη, Ποιο διάνυσμα είναι παράλληλο με το ( 7,84) και έχει το μισό του μέτρο. 8. Να αναλύσεις το διάνυσμα 10,1 σε δύο συνιστώσες όπου η μία / / ( 4,6) και η άλλη // 6, 8. Να αναλύσεις το διάνυσμαμα (,5)σε δύο συνιστώσες όπου η μία // (1,) και η άλλη να είναι κάθετη στο 84. Να αναλύσεις το 4,7, σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι / / 1, 85. Να βρεθούν οι τιμές του k,ώστε τα διανύσματα k,4k 1, b k 9, k κάθετα., Δίνονται τα διανύσματα 1,, 4,,. 9 6,,να είναι.να βρείτε διάνυσμα ώστε να ισχύουν συγχρόνως 87. Δίνονται τα σημεία,, 7, 4.Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα χ χ ώστε 88. Δίνονται τα διανύσματα,1,, από τις οποίες η μία να έχει τη διεύθυνση του. ˆ Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες 10

12 Εσωτερικό γινόμενο 1,,, ; Αν, 1,, 15 ; 90. Αν Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων : Αν x, y, x, y τότε x1x y1 y 1 1,, 6 να υπολογίσεις Δίνονται τα διανύσματα, :,,, Να υπολογισθούν : 4 5,10,10 4, 10 4, Av 1,, και 1, b b b να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα : υπολόγισε το... Προσοχή :,, b b b b b 5, 15,10,5, 5, 5 9. Aν,,, 1 60 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων,. 94. Ομοίως αν 60 1,, i j. Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων : στον τύπο,, υπολογίζω πρώτα,, για να βρω το, 11

13 ,,,,, ; Αν 96. Να βρεις το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων : ( 1,4), (1, ) Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων : (,1),, Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα b, με γωνία, να βρεις τη γωνία των, Αν 1, b,, b b ; Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων,1, b 4, Αν,,, 45, ; Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων, : δούλεψε τον τύπο : Να υπολογίσεις το : ύψωσε στο τετράγωνο και κάνε πράξεις.μην ξεχάσεις να βάλεις ρίζα. Όταν υπολογίζεις γωνία δτων σε σχήμα θυμήσου να βάλεις τα δτα με την ίδια αρχή Ν.δ.ο. 10. Να εξετάσεις αν : 104. Να εξετάσεις πότε ισχύει η ισότητα : 1

14 105. Αν, 106. Αν, 107. Να βρεις το : 5, 6,, 5,4,, Πότε ισχύει η ισότητα : ί 109. Αν, 110. Αν b 0 1, 4, ; 111. Αν 11. Αν,,,, ; 4 1,,(, ) να βρεις το μέτρο του Δίνονται τα δτα (,6),, 1 ί, να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων, 114. Ν.δ.ο Πότε ισχύει η ισότητα :, A(1,1), B(, ), M,, A 90 ; 116. Δίνονται τα σημεία 1, A,1, B,4, C 4, A ; 117. Δίνονται κορυφές τριγώνου 118. Αν 1, 7 8, ; 1 Να βρεις τη γωνία του διανύσματος με τον άξονα χχ : Υπολόγισε το συντελεστή διεύθυνσης y και αντικατέστησε στον x τύπο λ=εφω, για να βρεις τη γωνία ω.

15 119. Να βρεις τη γωνία του, 6 με τον άξονα Αν A B BA xx 40 (,1), ( 1,1 ), ' ; 11. Δίνονται τα σημεία A 5,, B, 5 xx ', να βρεις το α ώστε AB, xx ' Να βρεις διάνυσμα που να σχηματίζει 60 με οριζόντιο άξονα και να έχει μέτρο 1, 10, 4,, 10 4 ; 1. Αν Αν 60,,, 10, ; 15. Ποιο το διάνυσμα i j,1 :,, 0,, Δίνονται (1,1), (5,10) να αναλύσεις το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α ,,, 17. Ν.δ.ο. το άθροισμα και η διαφορά δύο διανυσμάτων που έχουν ίδιο μέτρο είναι κάθετα. 18. Ποιο διάνυσμα έχει μέτρο και είναι κάθετο στο, ,,, Δίνονται τα σημεία 0,0, 0, A,, B 1,1, C yy '.Ποιο το Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ. 14

16 Περίεργες 10. Ν.δ.ο. 11. Αν 1. Αν,,, b, να βρεις : 1. Αν, Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα 1 1 x b 15. Αν x x x ; x b 1 b 16. Ν.δ.ο.., :,, x / /, x x ; 17. Δίνονται x, y : x y 6& A 6x 8y, να βρεις την ελάχιστη τιμή του Α την μέγιστη τιμή του Α 15

17 18. Ν.δ.ο. 6 x8 x Αν (1,), (,4), όπου x, / /, x,να βρεις x 140. Αν 141. Έστω τα μοναδιαία διανύσματα 14. Δίνονται τα διανύσματα,, b, και τα διανύσματα c d c d b να αποδείξεις ότι : 4,,,, ; Δίνονται τα διανύσματα 1 (, ), b, 6, c,, να βρεις το γραμμικό συνδυασμό των, που έχει μέτρο και είναι κάθετο στο c 144. Δίνονται τα διανύσματα, b :,,, b 7 c / / b, b c c ; 145. Αν bcείναι,, μοναδιαία b bc b c 146. Δίνονται διανύσματα 1, b, c, b c 0 b bc c ; Δίνονται τα μοναδιαία, 148. Ν.δο. 10 4, ; Σε ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με AB, A 1, 60, να βρεις τα μήκη των διαγωνίων του. 16

18 7, 150. Αν 10 1, 4, ; Αν Αν ΑΒΓΔ # με AB, A, 4 ; Ποια τα διανύσματα, :,, 1,, 7, b 5, Αν 0 συνήθως στέλνεις κάθε φορά ένα δμα στο ο μέλος και μετά υψώνεις στο τετράγωνο. Να εξετάσεις αν ή πότε ισχύουν σχέσεις με μέτρα : ύψωσε στο τετράγωνο. Αν Αν, 1,, 4, 1,, Αν 0, 1, 14, 15 ; Αν , 6,, 1, ; 4,,, 0, x / /, x x ; 156. Αν 157. Αν 0, Να λυθεί η εξίσωση : x 5 x, (1,4), ( 1,), ( 0,5) 159. Να βρεις την προβολή του 8,16 πάνω στο,1 1, Αν ισχύει Αν,, ; 4, :,,, 0, 5 4, να βρεις Να βρεις την προβολή του στο τότε, Να βρεις το συνω=1 τότε ομόρροπα συνω=-1 τότε αντίρροπα συνω=0 τότε κάθετα συνω>0 τότε γωνία οξεία : υπολόγισε συνω<ο τότε γωνία αμβλεία 16. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα,, : 0 17

19 10 Να βρεις τις γωνίες των διανυσμάτων ανά δύο 16. Δίνονται τα διανύσματα 6,1, 6, 1 4,, b 5,1, x : x 7, x b x ; 164. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με A 4,7, 8,1, να βρεις :,, 6, Έστω δύο διανύσματα να βρεις το και. :, 15, 5, ν.δ.ο. u v, u 5, v Αν, 6, τότε ν.δ.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, 90, 167. Αν b 4,,, 0, x / /, x x ; 168. Δίνονται τα διανύσματα 169. Αν //, x, x x ;,1,,4, x / /, y, x y x, y ;, :, 1,, 60, x / /, x / / x ;, x ; 170. Αν x b 171. Έστω το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με AB (1,), B (,1), ν.δ.ο. το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και να υπολογίσεις τις γωνίες του 17. Δίνονται διανύσματα,, :,, 4, 1, να βρεις το διάνυσμα που διχοτομεί τη γωνία των, 17. Αν (1,),,1 1,,να βρεις την προβολή του β πάνω στο α 18

20 1,, ; 174. Αν Αν,,, 0, 5 4 ; 176. Αν //, Αν 1,, 1,0, ; 178. Να βρεις το 4, j 4i,, :, ; 179. Αν x y x y y x 180. Ν.δ.ο. για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα : 181. Ν.δ.ο. για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα :,, 18. Αν 11 9,,,, 0 ; Να αποδείξεις ότι για οποιοδήποτε διανύσματα :. Επιπλέον να βρεις τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της ποσότητας Επίσης ν.δ.ο. 6 x8 x Αν Ο η αρχή των αξόνων και : Να αποδείξεις ότι για οποιαδήποτε διανύσματα : det, επιπλέον det,. 6x 8 y, x y 6 A OA, να βρεις που κινούνται τα σημεία Μ : OM OM OA και 186. Να αποδείξεις ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, A 90 AB A B Δίνονται τα διανύσματα AB 1, 7,,.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Αν και 1και, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα 19

21 1,,7 να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων : Αν 1,,, Αν, μοναδιαία και, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων : 191. Ένα παραλληλόγραμμο κατασκευάζεται με τα διανύσματα,.δίνεται ότι 0 1,,, 15. Να εκφράσετε τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου συναρτήσει των Να βρείτε τα μήκη των διαγωνίων. Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων. 7 4,, 10, 10, Έστω τα διανύσματα,,,, με 1,, 0 5 Να δείξετε ότι όπου το Μ μέσο της ΒΓ. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ.,, 60 και το τρίγωνο ΑΒΓ με Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διανυσμάτων, , Αν τα διανύσματα, είναι μοναδιαία και τα,, 7 8 είναι κάθετα,να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων, Δίνονται τα διανύσματα,.να δείξετε ότι. για τα οποία ισχύουν συγχρόνως,.,, 0

22 195. Αν, 6 να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα, να είναι κάθετα Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα.,, ισχύει 0,,να δείξετε ότι 197. Αν για τα διανύσματα,, ισχύουν 0,,, 1,να βρεις 198. Δίνονται τα διανύσματα 5,,,,, Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα συναρτήσει των,..να βρείτε δύο διανύσματα, με (, ), ώστε.αν, 00. α) Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε διάνυσμα,ισχύει. β) να εκφράσετε το Χρησιμοποιώντας το α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τημέγιστη τιμή της παράστασης Α=6χ-8ψ αν x 6. Με τη βοήθεια του α) ερωτήματος δείξτε ότι 6 x8 x Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει Αν,, μοναδιαία και να δείξετε ότι. 0. Δίνονται τα διανύσματα,1, 1,1,,5 x x. 7,.Να βρείτε το διάνυσμα x ώστε να είναι 04. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 4, 6 και η γωνία των, είναι.αν Μ το μέσο της ΒΓ τότε Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με το. Να αποδείξετε ότι η προβολή του πάνω στο είναι το διάνυσμα Δίνονται τα διανύσματα 1,,,1. Να βρείτε τη γωνία των,. 1

23 Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της προβολής του πάνω στο. Να βρείτε το διάνυσμα 1, 0,,, k 0 το οποίο να σχηματίζει με το γωνία ίση με 06. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με,,.αν,, 1 τότε, Να δείξετε ότι Να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΒΜ. 07. Έστω τα διανύσματα με, b 1,, b και το διάνυσμα x,, x b x b. για το οποίο ισχύει Να βρείτε το x ως συνάρτηση των,b. Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων x,