matematika 2. časť Viera Kolbaská Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom

Transcript

1 Viera Kolbaská matematika 9 Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej škol a. ročník gmnázia s osemročným štúdiom. časť Slovenské pedagogické nakladateľstvo

2 Por. č. Meno a priezvisko Školský rok začiatok šk. roka Stav učebnice koniec šk. roka utorka RNDr. Viera Kolbaská, Odborný garant: prof. RNDr. eloslav Riečan, DrSc. Lektori: PaedDr. Dagmar ndová RNDr. Marcel Tkáč Illustrations strík Vančo, Grafický dizajn a obálka Ing. Zsolt Urbán Schválilo Ministerstvo školstva, ved, výskumu a športu Slovenskej republik pod č. -6/6756:9- zo dňa. júna ako. časť učebnice matematik pre 9. ročník základnej škol a. ročník gmnázia s osemročným štúdiom. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov. Prvé vdanie, Všetk práva vhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv. Zodpovedná redaktorka RNDr. Jana elasová Technická redaktorka Ivana ronišová Výtvarná redaktorka Mgr. Ľubica Suchalová Všlo vo vdavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 8 8 ratislava Vtlačila Slovenská Grafia, a. s., ratislava ISN

3 Obsah Úvod 5 Grafické znázorňovanie závislostí... /5 5. Pravouhlá sústava súradníc... /5 5. Rôzne spôsob znázorňovania graf závislostí. Súvis grafu s niektorými základnými vlastnosťami závislostí (rast, klesanie, najväčšie a najmenšie hodnot)... /8 5. Priama a nepriama úmernosť ako druh závislostí. Graf a rovnica priamej a nepriamej úmernosti... / 5. Lineárna závislosť. Graf a rovnica lineárnej funkcie... /5 6 Podobnosť geometrických útvarov... /6 6. Podobnosť geometrických útvarov, pomer podobnosti... /6 6. Podobnosť trojuholníkov... /69 6. Riešenie výpočtových a konštrukčných úloh pomocou podobnosti. Použitie podobnosti pri meraní výšok a vzdialeností... /76 7 Štatistika... /8 7. Štatistické prieskum, triedenie, početnosť, tabuľk... /8 7. Grafické znázornenie údajov. Graf a diagram, ich tvorba, čítanie a interpretácia... /9 8 Niektoré ďalšie telesá, ich objem a povrch... / 8. Valec, jeho sieť, objem a povrch... /7 8. Kužeľ, jeho sieť, objem a povrch... / 8. Ihlan, jeho sieť, objem a povrch... / 8. Guľa a rez guľou. Objem a povrch gule... /6 Výsledk... /9 Metodické poznámk pre učiteľov... /6

4 úvod Milí deviataci a žiaci. ročníka gmnázia s osemročným štúdiom, dostali ste učebnicu matematik pre 9. ročník ZŠ a. ročník gmnázia, jej druhú časť. j v tejto časti nadväzujeme na preberané učivo z predchádzajúcich ročníkov. Pri preberaní učiva si z neho zopakujeme niektoré časti a rozšírime si ho o vedomosti, ktoré budete potrebovať na stredných školách alebo rôznch formách skúšania počas deviateho ročníka. V učebnici znovu nájdete poznámk o rôznch spôsoboch riešenia úloh, odkaz na predchádzajúce vedomosti a zručnosti, informácie o vužití týchto vedomostí a zručností v nových tematických celkoch alebo predmetoch. Pri riešení úloh v druhej časti sa rozvíjajú nielen rôzne mšlienkové operácie, precvičuje sa pamäť, sústredenie na tet, triedenie a zmsluplné vužitie informácií, ale aj geometrická predstavivosť, priestorové videnie a schopnosť prepájať informácie získané vlastnou aktivitou s bežným životom a matematickým jazkom. Učebnica, jej druhá časť, sa skladá zo štroch hlavných kapitol. Každá podkapitola sa začína tetom alebo úlohou s názvom Čo sme sa už učili. Majú pripomenúť, čo b sme už mali vedieť (ako sme to počítali v minulých ročníkoch) v žltom poli potom nasledujú úloh rôzneho tpu bežné riešené úloh sú v žltom poli s modrým číslom za nimi nasledujú riešenia úloh neriešené úloh (úloh na precvičovanie učiva) v žltom poli s červeným číslom náročnejšie úloh pri čísle úloh je jedna alebo dve hviezdičk podľa náročnosti ak odporúčame pri riešení úloh použiť kalkulačku, je pri úlohe piktogram Čo sme sa už učili. Riešenie...* problémové úloh to sú väčšinou úloh, ktoré sa bežne neriešia určené sú pre žiakov so záujmom o matematiku projektové úloh to sú tie úloh, ktoré sa bežne riešia doma alebo ako tímová práca sú nepovinné žiaci prostredníctvom nich získavajú nové informácie rôzneho druhu (nielen matematické) dôležité učivo v modrom poli, je označené piktogramom paragraf pomôck informácie, ktoré môžu pomôcť pri riešení úloh súbor úloh na precvičenie učiva a sebahodnotenie zaujímavosti rôzneho tpu v zelenom poli a začínajú sa Viete, že...? súhrn prebraného učiva Zapamätajte si na konci tematických celkov to, že odporúčame vužiť internet, označuje piktogram Problémová úloha Projektová úloha Pomôcka Vskúšajte sa Viete, že...? e Zapamätajte si Dúfame, že sa vám s učebnicou bude ľahšie učiť. utorka

5 5 Grafické znázorňovanie závislostí O čom bude táto kapitola? Čo je to sústava? Čo sú to súradnice? 5. Pravouhlá sústava súradníc severný polárn kruh V7 6' S8 8' obratník Raka rovník južný polárn kruh nultý poludník obratník Kozorožca Súradnicami sa určuje napríklad poloha lode na mori, poloha tábora a b c d e f g h horolezcov v horách, miesto pobtu cestovateľov a pod. 8 a8 b8 c8 d8 e8 8 j v niektorých hrách hovoríme o polohe, pozícii, napríklad v šachu. Ten sa hrá na šachovnici so 6 štvorcovými poľami označenými 7 b7 c7 d7 e7 f7 7 pomocou písmen a čísel. Umiestnenie hracej figúrk na šachovnici označuje písmeno figúrk a dvojica, ktorá označuje šachové pole. Napríklad 6 c6 d6 e6 f6 g6 6 Vb znamená, že veža V sa nachádza na poli b. Pomocou 5 d5 e5 f5 g5 h5 5 týchto dohodnutých pravidiel, ktoré sa nazývajú šachová notácia, sa dá zapísať každá šachová partia. a e f g h Na obrázku je šachovnica s označenými poliami. a b c f g h Eistuje veľa hier, v ktorých je potrebné použiť na opis priebehu hr a b c d g h písmená a čísla. Kedsi sa často hrala hra Lodičk. Jej obmenu, hru Kto má viac?, môžu hrať dvaja hráči na dvoch šachovniciach 8 8 a b c d e h políčok pomocou kartičiek veľkosti jedného políčka šachovnice so zobrazenými objektmi. Objekt majú určenú hodnotu, napr. paa b c d e f g h láce (každý palác po bodov), dom (po bodov), hrad (po 5 bodov), rôznch áut (po bodov), motockle (po 5 bodov), fabrik (po bodov), bank (po 5 bodov), pošt (po 5 bodov), športové štadión (po 75 bodov). Hráči si podelia kartičk tak, ab mal každý z každého druhu rovnaký počet. Potom ich umiestnia na svoj plán hr tak, ab pozíciu objektov súper nevidel. Hra sa začína hodom klasickou hracou kockou. Každý hráč hádže raz. Ten, ktorý hodil všší počet bodov, začína hru. Hráči striedavo tipujú pozície objektov, ktoré chcú získať. k je objekt na menovanom políčku, protihráč mu ho odovzdá. Hru hrajú podľa vzájomnej dohod ohraničený čas. Vhráva ten, kto získa za ten čas najviac bodov. Viete, že...? pomenovanie hr šach pochádza z perzštin v prenesenom význame kráľovská hra prvá podoba šachu v severnej Indii známa pod názvom čaturanga sa datuje okolo roku 5 prvá šachová kniha všla v roku 87 okolo. storočia sa šach objavuje v Európe prvú európsku šachovú knihu od Lousia de Lucena vdali v roku 97 prvý medzinárodný šachový turnaj sa konal v Londýne v roku 85 šachové hodin prvýkrát použili na medzinárodnom šachovom turnaji v Paríži v roku 867 počítač Deep lue prvý raz vhral nad majstrom sveta v šachu v roku 997 Zdroj: Na obrázku templárski rtieri hrajú šach. 5

6 Čo sme sa už učili Určite viete vriešiť úloh a.. Na obrázku je plán hr jedného hráča s niekoľkými objektmi. Napíš dvojice, ktorými môžeš opísať pozíciu objektov na pláne. Riešenie. Na opis pozície objektov použijeme pravidlá podobné ako v šachu napíšeme dvojicu, pričom prvé v dvojici uvedieme písmeno zo spodného riadka a potom číslo z ľavého stĺpca. motockel [b, ], auto biele [b, 6], auto červené [c, ], banka [c, 7], dom [d, ], štadión [e, ], fabrika [e, 5], hrad [h, 8]. Pri rôznch hrách, v ktorých sa používa hracia doska alebo plán hr, je poloha (pozícia) predmetu zapísaná dvojicou prvkov ank a b c d e f g h Dohoda Dvojicu zapíšeme do hranatých zátvoriek. V matematike zapisujeme polohu (pozíciu) bodu v rovine dvojicou prvkov, zvčajne čísel alebo premenných. Dvojicu zapisujeme v hranatých zátvorkách a nazývame usporiadaná dvojica. Dvojicu nazývame usporiadaná preto, lebo záleží na poradí prvkov. Usporiadanú dvojicu premenných t a s zapíšeme [t, s], usporiadanú dvojicu čísel a zapíšeme [, ], usporiadanú dvojicu premenných a zapíšeme [, ].. Na obrázku sú geometrické tvar. Zapíš ich polohu pomocou usporiadaných dvojíc čísel [, ] podobne, ako v predchádzajúcej úlohe. Riešenie. Polohu každého geometrického útvaru zapíšeme pomocou usporiadanej dvojice čísel do hranatých zátvoriek. Prvé v dvojici uvedieme číslo z riadka označeného a druhé uvedieme číslo zo stĺpca označeného. Takto zapísaná poloha zobrazených útvarov je: krúžok [, ], kosodĺžnik [, ], štvorec [, 5], lichobežník [, ], trojuholník [, 7], štvorec [5, 5], štvorec [6, ], krúžok [7, ]

7 . Zapíš polohu štvoruholníkov a trojuholníka pomocou poloh ich vrcholov a polohu kruhu zapíš pomocou poloh jeho stredu. 5 E F M L 5 6 S H Riešenie. G K ez každý vrchol geometrického útvaru a zo stredu kružnice vedieme rovnobežku s osou a s osou. Priesečník rovnobežiek s osami nám umožnia určiť čísla pre usporiadané dvojice. Tie zapíšeme do hranatých zátvoriek, najprv a potom. 5 E F M L 5 6 S H G K kosodĺžnik D: [, ], [5, ], [6, ], D[, ] trojuholník KLM: K[, ], L[, ], M[, ] štvorec EFGH: E[, ], F[, ], G[, ], H[, ] kruh so stredom S: S[, ] D D. Zapíš polohu bodov rovin,,, D, E, F, G, H, K pomocou usporiadaných dvojíc [, ]. 5 H Riešenie. D 6 5 G F V predchádzajúcej úlohe sme cez vrchol viedli rovnobežk s osou a s osou. V tejto úlohe sú už rovnobežk zostrojené. Zelenou farbou sú označené rovnobežk s osou a čísla na osi. Červenou farbou sú označené rovnobežk s osou a čísla na osi. Potom [, 6], [, ], D[, ], E[, 5] F[6, ], H[, ] G[, ], [, ] V úlohách a sme sa zaoberali polohou bodov a útvarov v pravouhlej sústave súradníc. k sú súradnicové osi číselné osi, tak polohu každého bodu v rovine môžeme zapísať pomocou dvoch čísel, ktoré nazývame súradnicami bodu. Uvádzame ich v poradí a a zapisujeme v hranatých zátvorkách [, ]. Prvé číslo v dvojici nazývame prvá súradnica bodu (alebo -ová súradnica), druhé číslo v dvojici nazývame druhá súradnica bodu (alebo -ová súradnica). Súradnice bodov určujeme pomocou priesečníkov rovnobežiek s príslušnými súradnicovými osami. Na obrázkoch sú zelenou farbou označené čísla na osi aj príslušné rovnobežk na určenie -ových súradníc. Červenou farbou sú označené čísla na osi a príslušné rovnobežk na určenie -ových súradníc. E Pravouhlú sústavu súradníc v rovine tvoria dve na seba kolmé priamk, ktoré nazývame súradnicové osi. Vodorovnú os označujeme zvčajne, os na ňu kolmú zvčajne. Priesečník súradnicových osí nazývame začiatok sústav súradníc. 7

8 Súradnicové osi nazývame aj osi súradníc. Jednotk dĺžk na nich vznačené sú zvčajne cm. Podľa potreb používame aj,5 cm, cm. Dokonca používame na každej osi aj rôzne jednotk, napríklad na osi cm, na osi,5 cm. Viete, že...? Eistuje viacero súradnicových sústav. Najznámejšia je karteziánska sústava súradníc (iné názv: karteziánska súradnicová sústava, karteziánsk sstém súradníc). Názov má odvodený od mena René Descarta (v latinčine Renatus artesius), ktorý ju zaviedol. René Descartes (596 65), významný francúzsk matematik, fzik a filozof. Jeho všeobecne znám výrok je: ogito ergo sum. (Mslím, teda som.) Zdroj: ednár, Roman: Najväčší géniovia západnej civilizácie.. vd., ook & ook : ratislava, 995 Karteziánska sústava súradníc je taká pravouhlá sústava súradníc, v ktorej sú jednotk dĺžk pre obidve súradnicové osi rovnaké. 5. Na obrázku sú narsované geometrické útvar. Zapíš polohu útvarov pomocou súradníc ich vrcholov. 5 Poznámka k ďalej v tete nepovieme inak, tak pod sústavou súradníc rozumieme karteziánsku sústavu súradníc. 6. Na obrázku sú bod rovin,,, D, E, F, G, H. Zapíš ich polohu pomocou súradníc. 7. Na obrázku sú bod rovin,,, D, E, F, G, H. Zapíš ich polohu pomocou súradníc. D F E D E F G H H G 8

9 8. Zobraz v sústave súradníc bod: [, ], [, ], [, ], D[, ], E[, ], F[ 5, 5], G[7, ], H[, ], K[, ], L[, ], M[, 5], N[, 5] Riešenie 8. Narsujeme sústavu súradníc s jednotkou dĺžk na osiach cm. Na označenie použijeme: vodorovnú os a na ňu kolmú (zvislú) os. Potom pomocou rovnobežiek s osami a zobrazíme bod v sústave súradníc. Zelenou farbou -ové súradnice bodu a červenou farbou -ové súradnice. Prvé číslo v dvojici je -ová súradnica, druhé číslo v dvojici je -ová súradnica. Napríklad: [, ] -ová súradnica je (rovnobežka s osou prechádza cez bod na osi ) -ová súradnica je (rovnobežka s osou prechádza cez bod na osi ) E[, ] -ová súradnica je (rovnobežka s osou prechádza cez bod na osi ) -ová súradnica je (rovnobežka s osou prechádza cez bod na osi ) 5 M D 5 L K H E G F 5 N Súradnicové osi delia rovinu na časti, ktoré nazývame kvadrant. Číslujeme ich proti smeru pohbu hodinových ručičiek: Problémová úloha ké hodnot (kladné alebo záporné) nadobúdajú súradnice bodov ležiace v jednotlivých farebne vznačených kvadrantoch sústav súradníc? Projektová úloha. kvadrant. kvadrant od patria nielen medzi matematické pojm ale patria aj medzi pojm v predmetoch ako sú fzika, geografia, chémia... Vpracujte projekt, v ktorom uvediete pojem bod v rôznch súvislostiach.. kvadrant. kvadrant 9. Vznač v sústave súradníc bod: a) [, 6], [, 5], [6, ], D[, 5] b) E[, 6], F[ 5, ], G[, 6], H[ 5, ] c) K[7, ], L[ 7, ], M[, ], N[, ] 9

10 . a) Narsuj v sústave súradníc štvorec so stranou dĺžk cm. Zapíš súradnice jeho vrcholov. b) Narsuj v sústave súradníc pravouhlý trojuholník s odvesnami dĺžk cm a cm. Zapíš súradnice jeho vrcholov. Riešenie. Zvolíme si sústavu súradníc s jednotkou dĺžk na osiach cm, lebo štvorec a trojuholník majú dĺžk strán uvedené v cm. Geometrické útvar môžeme do sústav súradníc umiestniť viacerými spôsobmi. Vhodné je jednu zo strán útvaru narsovať rovnobežnú s osou alebo s osou. a) Narsujeme tri štvorce so stranou dĺžk cm. Označíme ich vrchol a vedieme nimi rovnobežk s osami a. Priesečník rovnobežiek s osami určujú súradnice bodov. Súradnice vrcholov štvorcov sú: zelený štvorec: [, ], [, ], [, ], D[, ] červený štvorec: E[, ], F[, ], G[, ], H[, ] D fialový štvorec: K[, ], L[, ], M[, ], N[, ] N M aké súradnice b mali vrchol štvorca, ktorý nemá stran rovnobez né s osami sústav súradníc? 5 K L H 5 G E F b) Narsujeme tri pravouhlé trojuholník s odvesnami s dĺžkou cm a cm tak, ab jedna z odvesien bola rovnobežná s niektorou z osí a. Označíme vrchol trojuholníkov a podľa potreb vedieme nimi rovnobežk s osami a. Pomocou ich priesečníkov s osami určujeme súradnice vrcholov. Súradnice vrcholov trojuholníkov sú: zelený trojuholník: [ 5, ], [, ], [ 5, ] červený trojuholník: E[, ], F[, ], G[, 6] fialový trojuholník: K[, ], L[, ], M[, ] E G M F L 5 K

11 . a) Narsuj do sústav súradníc štvorec so stranou dĺžk cm. Zapíš súradnice jeho vrcholov. Uveď aspoň tri riešenia. b)* Narsuj do sústav súradníc pravouhlý trojuholník s odvesnami dlhými cm. Zapíš súradnice jeho vrcholov. Uveď aspoň tri riešenia. c) Narsuj do sústav súradníc obdĺžnik so stranami dĺžk 5 cm a cm. Zapíš súradnice jeho vrcholov. Uveď aspoň tri riešenia. d)* Narsuj do sústav súradníc lichobežník so základňami dĺžk cm, cm a výškou cm. Zapíš súradnice jeho vrcholov. Uveď aspoň tri riešenia.. Na obrázkoch sú v sústave súradníc zobrazené štri bod. a) Ktorý z bodov,,, D má súradnice [, ]? b) Ktorý z bodov,,, D má súradnice [, ]? D D Riešenie. a) Úlohu vriešime tak, že určíme súradnice všetkých bodov a potom ich porovnáme s dvojicou [, ]. Súradnice bodov určíme pomocou rovnobežiek s osami a a ich priesečníkov s týmito osami (obrázok). b) Každému bodu priradíme jeho súradnice a porovnáme ich so súradnicami hľadaného bodu. Súradnice bodov,,, D vznačíme farebne: -ovú zelenou farbou, -ovú červenou farbou D D 5 5 od majú súradnice: [, ], [, ], [, ], D[, ]. Súradnice [, ] má bod. od majú súradnice: [, ], [, ], [, ], D[, ]. Súradnice [, ] má bod.

12 . Na obrázku je v sústave súradníc vznačených 8 bodov. Vedľa neho je tabuľka s ich označením. Zapíš do zošita chýbajúce súradnice bodov z tabuľk. 5. P U Riešenie. O 6 5 í D 5 K N L bod P O L U D N í K súradnice [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] a) Ktoré trojice utvorené z bodov [, ], [, ], [, ], D[, ], E[, ], F[, ] môžu bť vrcholmi pravouhlého trojuholníka? b) Ktoré štvorice utvorené z bodov [, ], [, ], [, ], D[, ], E[, ], F[, ], G[, ] môžu bť vrcholmi štvorca? Úlohu vriešime tak, že dané bod zobrazíme v sústave súradníc. Vieme, že prvé číslo v dvojici je -ová súradnica a druhé číslo je -ová súradnica bodu. a) b) Projektová úloha Kartografia je vedný odbor, v ktorom sa pri zhotovovaní máp používajú rôzne sústav súradníc. Nájdite na internete čo najviac informácií na túto tému a spracujte ich formou prezentácie alebo referátu. e D E D F G F E a) Vrcholmi pravouhlého trojuholníka môžu bť tieto trojice bodov: [, ], [, ], D[, ] [, ], [, ], D[, ] [, ], D[, ], E[, ] b) Vrcholmi štvorca môžu bť tieto štvorice bodov: [, ], [, ], [, ], D[, ] E[, ], F[, ], [, ], D[, ] Sú to všetk možnosti?

13 5. a) Ktoré trojice utvorené z bodov [, ], [, ], [, ], D[, ], E[, ], F[, ], G[, ] môžu bť vrcholmi rovnoramenného trojuholníka? b) Ktoré štvorice utvorené z bodov [, ], [, ], [, ], D[, ], E[, ], F[, ], G[, ], H[, ], môžu bť vrcholmi obdĺžnika? 6. Na obrázku sú v sústave súradníc zobrazené bod. Urči chýbajúce súradnice týchto bodov označené hviezdičkou. 5 5 M[, *] P[*;,5] 5 6 N[*, 5] K[5, *] L[*, ] O[7, *] R[*;,5] S[, *] 7. a) Dané sú bod [, ], [ 5, ]. Napíš súradnice bodu, ktorý je súmerný podľa osi s bodom a súradnice bodu, ktorý je súmerný podľa osi s bodom. b) Dané sú bod [, 5], D[, ]. Napíš súradnice bodu, ktorý je súmerný podľa osi s bodom a súradnice bodu D, ktorý je súmerný podľa osi s bodom D. Riešenie 7. Úlohu môžeme riešiť viacerými spôsobmi. Dané bod zakreslíme do sústav súradníc, v ktorej si za jednotku dĺžk na osiach zvolíme cm. Potom podľa pravidiel konštrukcie obrazu bodu v osovej súmernosti zostrojíme obraz daných bodov a zapíšeme ich súradnice Pomôcka Pripomíname, že v osovej súmernosti podľa osi o zostrojíme ob raz bodu pomocou kolmice na os súmernosti o. Platí: bod, ležia na kolmici, pričom, o =, o. Vzdialenosť a od osi o je rovnaká. V tejto úlohe o. od súmerné podľa osi s bodmi, sú: [, ], [5, ].

14 b) 5 D Problémová úloha Zapíšte súradnice bodu M, ktorý je súmerný s bodom podľa osi. Zapíšte súradnice bodu N, ktorý je súmerný s bodom podľa osi. Úlohu riešte pre poloh bodov, v jednotlivých kvadrantoch... Koĺko riešení má táto úloha? D 5 od súmerné podľa osi s bodmi, D sú: [, 5], D [, ]. 8.* a) Dané sú bod K[, ], L[, 6], M[ 5, ], N[, ]. Napíš súradnice bodov, ktoré sú s nimi súmerné podľa osi. b) Dané sú bod D[, ], E[, ], F[5, ], G[, ]. Napíš súradnice bodov, ktoré sú s nimi súmerné podľa osi. 9. a) Dané sú bod K[, ], L[, 5]. Napíš súradnice bodov, ktoré sú s nimi súmerné podľa začiatku sústav súradníc. b) Dané sú bod M[, ], N[, 5]. Napíš súradnice bodov, ktoré sú s nimi súmerné podľa bodu S[, ]. Riešenie 9. Úlohu vriešime tak, že dané bod zakreslíme do sústav súradníc, v ktorej si za jednotku dĺžk na osiach zvolíme cm. Podľa pravidiel konštrukcie obrazu bodu v stredovej súmernosti zostrojíme obraz daných bodov a zapíšeme ich súradnice. a) 5 L [, 5] K[, ] Pomôcka V stredovej súmernosti podľa stredu S zostrojíme obraz bodu pomocou priamk, ktorej patria bod a S. Potom pomocou kružidla zostrojíme na tejto priamke bod, pre ktorý platí: S = S. Vzdialenosť bodu od stredu S sa rovná vzdialenosti bodu od stredu S. 5 K [, ] 5 od súmerné s bodmi K a L podľa začiatku sústav súradníc sú: K [, ], L [, 5]. L[, 5] 5

15 b) od súmerné podľa bodu S[, ] s bodmi M a N sú: M [6, ], N [, ]. 5 N [, ] 6 M [6, ] M[, ] 5 S[, ] N[, 5] Zvo¾me si teraz sústavu súradníc s jednotkou dl'k pol centimetra. Som zvedavá, èi bude riešenie iné..* a) Dané sú bod P[, 5], R[, 5], Q[, 5], T[, 5]. Napíš súradnice bodov, ktoré sú s nimi stredovo súmerné podľa začiatku sústav súradníc. b) Dané sú bod [, ], [ 6, 5], [, ], D[6, ], E[, ], F[, ]. Napíš súradnice bodov, ktoré sú s nimi stredovo súmerné podľa bodu S[, ]. Problémová úloha Zapíšte súradnice bodov, ktoré sú súmerné podľa začiatku sústav súradníc s bodmi: a), ktorý leží v. kvadrante, b), ktorý leží v. kvadrante, c), ktorý leží v. kvadrante, d) D, ktorý leží v. kvadrante. Viete, že...? Významný nemecký matematik Gottfried Wilhelm Leibniz zaviedol označenie pre súradnicové osi: abscisa os, ordináta os Starovekí Gréci poznali podobné výraz: pre abscisu absindere s významom odrezať, pre ordinátu tetagmenos usporiadaný. Zdroj: Pavlič, G.: Školská encklopédia matematik. Príroda : ratislava,..** a) Dané sú dva bod [, ], [, ]. Napíš súradnice ďalších dvoch bodov tak, ab tieto bod spolu tvorili vrchol štvorca. Uveď aspoň dve riešenia. b) Dané sú dva bod [, ], D[, ]. Napíš súradnice ďalších dvoch bodov tak, ab tieto bod spolu tvorili vrchol obdĺžnika. Uveď aspoň dve riešenia. c) Dané sú dva bod E[, ], F[, ]. Napíš súradnice tretieho bodu tak, ab tieto bod spolu tvorili vrchol pravouhlého trojuholníka. Uveď aspoň dve riešenia. d) Dané sú dva bod G[, 5], H[, ]. Napíš súradnice tretieho bodu tak, ab tieto bod spolu tvorili vrchol rovnoramenného trojuholníka. Uveď aspoň dve riešenia.. a) Narsuj v sústave súradníc štvorec D so stranou dlhou cm, ak je daný jeho vrchol [, ]. Napíš súradnice ďalších troch vrcholov narsovaného štvorca. b) Narsuj v sústave súradníc obdĺžnik DEFG so stranami dlhými 5 cm a cm, ak je daný jeho vrchol E[, ]. Napíš súradnice ďalších troch vrcholov narsovaného obdĺžnika. c)* Narsuj v sústave súradníc rovnostranný trojuholník KLM so stranou dlhou cm, ak je daný jeho vrchol K[, ]. Napíš súradnice ďalších dvoch vrcholov narsovaného trojuholníka. d)* Narsuj v sústave súradníc rovnoramenný trojuholník DEF so základňou DE dlhou cm, výškou na základňu cm, ak je daný jeho vrchol E[, ]. Napíš súradnice ďalších dvoch vrcholov narsovaného trojuholníka. 5

16 Vskúšajte sa V každej úlohe je len jedna z uvedených možností správna.. Na obrázku sú bod so súradnicami: [, ], [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ], [, ] D [, ], [, ], [, ], [, ]. od [, ] je na obrázku: D. Uvedené súradnice troch bodov, ku ktorým môžeme pridať štvrtý bod tak, ab spolu tvorili vrchol štvorca sú: [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ] D [, ], [, ], [, ]. Uvedené súradnice troch bodov, ku ktorým môžeme pridať štvrtý bod tak, ab spolu tvorili vrchol obdĺžnika sú: [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ] D [, ], [, ], [, ] 5. Tri bod nie sú vrcholmi pravouhlého trojuholníka: [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ] [, ], [, ], [, ] D [, ], [, ], [, ] 6. V pravouhlej sústave súradníc je k bodu [, ] súmerný podľa osi bod so súradnicami: [, ] [, ] [, ] D [, ] 7. V pravouhlej sústave súradníc je k bodu [, ] súmerný podľa osi bod so súradnicami: [, ] [, ] [, ] D [, ] 8. K bodu [, 5] je súmerný podľa začiatku sústav súradníc bod so súradnicami: [, 5] [ 5, ] [, 5] D [, 5] 9. K bodu D[, 7] je súmerný podľa začiatku sústav súradníc bod so súradnicami: [, 7] [, 7] [, 7] D [, 7] 6

17 Zapamätajte si Pravouhlá sústava súradníc v rovine je sústava dvoch na seba kolmých priamok s vznačenými jednotkami dĺžk. Tieto dve priamk sústav sa nazývajú súradnicové osi a označujú sa zvčajne a. Súradnicové osi sú spravidla číselnými osami. Vodorovnú os označujeme písmenom a os na ňu kolmú (zvislú os) označujeme písmenom. Priesečník súradnicových osí nazývame začiatok sústav súradníc. V sústave súradníc každému bodu v rovine priraďujeme dve čísla, ktoré nazývame súradnice bodu. Súradnice bodu tvorí usporiadaná dvojica čísel, ktoré zapisujeme v hranatých zátvorkách. od s -ovou súradnicou a -ovou súradnicou zapíšeme ako [, ]. Súradnicové osi delia rovinu na časti, ktoré nazývame kvadrant. Číslujeme ich proti smeru pohbu hodinových ručičiek.. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant 7

18 5. Rôzne spôsob znázorňovania graf závislostí. Súvis grafu s niektorými základnými vlastnosťami závislostí (rast, klesanie, najväčšie a najmenšie hodnot) Čo sme sa už učili Vieme, čo znamená slovo závislosť. Riešili sme úloh: o závislosti počtu žiakov, ktorí sa zúčastnili výletu a celkovej sum za výlet, o závislosti počtu porcií pizze a celkovej cen za ne, o závislosti počtu kopčekov zmrzlin a celkovej cen za ne, o závislosti dvoch veličín, ktorú nazývame priama úmernosť, o závislosti dvoch veličín, ktorú nazývame nepriama úmernosť. Vieme, čo znamená slovo diagram a z informatik vieme, ako môžeme zostaviť tabuľk, diagram a graf v určitej sústave súradníc v prostredí tabuľkových kalkulátorov, napr. v tabuľkovom kalkulátore EXEL.,5,5? Pozrime sa na niektoré úloh o závislostiach rôznch veličín.. Turistika dam ide na turistiku do hôr. Pri plánovaní tras si vpočíta, koľko hodín mu bude trvať prejdenie celej tras. Zisťuje, koľko kilometrov môže za určitý počet hodín prejsť. k dam prejde v lesnom teréne za hodinu km: a) Vpočítaj, koľko kilometrov prejde dam za hodin, hodin, hodin a za 5 hodín, ak nebude robiť prestávk. b) Riešenie úloh zapíš do tabuľk a zostroj k nej graf. Riešenie. a) Riešenie je jednoduché. Za hodinu prejde dam km. Za hodin prejde: = 6 km. Za hodin prejde: = 9 km. Za hodin prejde: = km. Za 5 hodín prejde: 5 = 5 km. b) Riešenie úloh zapíšme do tabuľk. Úlohu môžeme riešiť aj takto: Napíšeme si zápis, ktorý vjadruje závislosť počtu hodín (počet hodín čas t) a počtu prejdených km (počet prejdených kilometrov dráha s): s = t Vpočítame hodnotu výrazu t, pre t =,,,, 5. Turistika počet hodín (čas t) 5 počet prejdených km (dráha s) Z tabuľk ľahko prečítame, koľko kilometrov prešiel dam za hodinu, hodin, hodin a koľko za alebo 5 hodín. Na informatike k tabuľke vkladáme graf, ktorý sprehľadňuje riešenie a umožňuje rýchlejšiu orientáciu v údajoch. Tabuľku aj graf si vtvoríme napr. v tabuľkovom kalkulátore EXEL. V tabuľke máme 5 dvojíc [, ], [, 6], [, 9], [, ], [5, 5]. Graf k tabuľke tvorí 5 bodov so súradnicami [, ], [, 6], [, 9], [, ], [5, 5]. 8

19 k nemáme možnosť zostrojiť graf pomocou počítača, zostrojíme ho v sústave súradníc pomocou pravítka. Vodorovnú os označíme t, os na ňu kolmú zvislú os označíme s. Za jednotku dĺžk na súradnicových osiach si zvolíme napr. cm. Na os t vznačíme hodnot pre počet hodín, na os s hodnot pre počet prejdených kilometrov z tabuľk. Potom každej dvojici z tabuľk priradíme bod grafu. od, ktoré tvoria graf sú: [, ], [, 6], [, 9], D[, ], E[5, 5]. počet prejdených km s 5 D[, ] E[5, 5] 9 [, 9] Skúsme teraz zostroji graf, asi bude lepší ako tabu¾ka [, 6] 5 Súhlasím, hneï vidíme, ako stúpa poèet kilometrov a ked. [, ] Poznámka Na označenie osí v sústave súradníc používame namiesto a písmená, ktoré súvisia so vzťahom pre závislosť. 5 t počet hodín 9

20 K zdravému spôsobu života patrí pohb. Pokiaľ je to možné v prírodnom prostredí. Prepočítaj si nasledujúce úloh, možno budú námetom pre školský výlet.. Náučný chodník Náučný chodník Sivá rada Dreveník v okrese Levoča má dĺžku,5 km a 8 zastávok s informáciami o prírodných zaujímavostiach v tejto oblasti. Skupina žiakov sa po ňom pohbuje priemernou rýchlosťou,5 km/h. Vpočítaj, koľko kilometrov prejde skupina po minútach, hodine,,5 hodine, hodinách,,5 hodine, hodinách,,5 hodine, hodinách,,5 hodine a po 5 hodinách. Výpočet zapíš do tabuľk a narsuj k nej graf závislosti počtu kilometrov, ktoré skupina prejde, od počtu hodín. Riešenie. Zdroj: lestanap.sk Za,5 hodin skupina prejde: Za hodinu skupina prejde: Za,5 hodin skupina prejde: Za hodin skupina prejde: Za,5 hodin skupina prejde: Za hodin skupina prejde: Za,5 hodin skupina prejde: Za hodin skupina prejde: Za,5 hodin skupina prejde: Za 5 hodín skupina prejde:,5,5 =,5 km.,5 =,5 km.,5,5 =,75 km.,5 = 5 km.,5,5 = 6,5 km.,5 = 7,5 km.,5,5 = 8,75 km.,5 = km.,5,5 =,5 km.,5 5 =,5 km. Úlohu môžeme riešiť aj takto: Vzťah, ktorý vjadruje závislosť počtu hodín (H) a počtu prejdených kilometrov (K) je: K =,5 H Vpočítame hodnotu výrazu,5 H s premennou H. Za H postupne dosadíme:,5; ;,5; ;,5; ;,5; ;,5; 5. Do prvého riadka tabuľk napíšeme počet hodín, ktorý skupina žiakov prejde a do druhého riadka napíšeme príslušný počet kilometrov pri priemernej rýchlosti,5 km/h. Náučný chodník počet hodín (H),5,5,5,5,5 5 počet prejdených kilometrov (K),5,5,75 5 6,5 7,5 8,75,5,5 Graf závislosti počtu prejdených kilometrov od počtu hodín zostrojíme pomocou EXELu. Graf k tabuľke tvorí bodov. počet prejdených km (K) počet hodín (H)

21 počet prejdených km K J[5;,5] I[,5;,5] H[; ] j teraz si graf zostrojíme bez pomoci počítača. V sústave súradníc si za jednotku dĺžk na osiach znovu zvolíme cm. Vodorovnú os označíme H, zvislú os označíme K. Na os H uvedieme hodnot pre počet hodín, na os K zobrazíme hodnot prejdených kilometrov z tabuľk. Dvojiciam v tabuľke priradíme bod grafu. 9 G[,5; 8,75] F[; 7,5] E[,5; 6,5] Urobíme si prestávku? Prestávku si spravíme po 5 hodinách. Súhlasíte? 5 D[, 5] [,5;,75] [;,5] [,5;,5] 5 H počet hodín od, ktoré tvoria graf sú: [,5;,5], [;,5], [,5;,75], D[, 5], E[,5; 6,5], F[; 7,5], G[,5; 8,75], H[; ], I[,5;,5], J[5;,5]. Z tabuľk a z grafu je vidieť, že s rastúcim počtom hodín, rastie aj počet kilometrov, ktoré prejde skupina pri danej rýchlosti.. Turistika v Malej Fatre Na stránke sa píše o turistickej trase Vrátna dolina Snilovské sedlo hrapák Kraviarske araniark, že je to jedna z náročnejších trás v Malej Fatre so začiatkom vo Vrátnej doline. Prevýšenie je viac ako 7 metrov, dĺžka tras približne,8 km. Skupina žiakov z turistického oddielu Svište sa rozhodla túto trasu absolvovať. Pri plánovaní túr riešili tieto úloh: a) k pôjdeme priemernou rýchlosťou, km/h, koľko kilometrov nám ešte zostane do cieľa po hodine, hodinách, hodinách a po hodinách cest? b) Zostrojíme graf závislosti počtu kilometrov, ktoré nám ešte zostávajú do cieľa, od počtu hodín podľa tabuľk. c) k vrazíme na túto trasu o 7. h a pôjdeme priemernou rýchlosťou, km/h, ked budeme v cieli? Riešenie. a) Po prvej hodine zostane skupine do cieľa:,8, =,8, = 9,6 km. Po druhej hodine zostane skupine do cieľa:,8, =,8 6, = 6, km. Po tretej hodine zostane skupine do cieľa:,8, =,8 9,6 =, km. Po štvrtej hodine zostane skupine do cieľa:,8, =,8,8 = km. Úlohu niektorí riešili aj takto: Vzťah, ktorý vjadruje závislosť počtu hodín (čas t) a počtu kilometrov, ktoré skupine ešte zostáva do cieľa (dráha s), je: s =,8, t Za premennú t vo výraze,8, t sme postupne dosadili hodnot,,,. Turistika v Malej Fatre počet hodín (čas t) počet km, ktorý skupine zostane do cieľa (dráha s) 9,6 6,,

22 b) Na zostrojenie grafu použili EXEL. počet km, ktoré zostávajú do cieľa počet hodín počet km, ktoré zostávajú do cieľa s 9, , 6 [; 9,6] [; 6,] Niektorí zo skupin zostrojili graf bez pomoci počítača. V sústave súradníc si za jednotku dĺžk na súradnicových osiach zvolili cm. Vodorovnú os označili t, zvislú os označili s. Každej dvojici v tabuľke priradili bod grafu. 5, [;,] D[, ] 5 t počet hodín Grafom je súbor štroch bodov: [; 9,6], [; 6,], [;,], D[, ]. c) Teraz vpočítali, o ktorej hodine príde skupina do cieľa. k skupina pôjde priemernou rýchlosťou, km/h, tak čas, za ktorý prejde trasu bude:,8 :, = hodin k sa skupina žiakov vberie na túto trasu o 7. h, v cieli budú o. h. Z tabuľk a z grafu je vidieť, že s rastúcim počtom hodín klesá počet kilometrov, ktoré zostávajú skupine do cieľa pri danej rýchlosti. V úlohách,, sme si zopakovali, v akej závislosti môžu bť veličin čas a dráha. V riešeniach úloh sme znovu pracovali s tabuľkami a grafmi, ktoré poznáte z práce s počítačom (informatika).

23 . hodec kráča na rovnom teréne priemernou rýchlosťou 5,5 km/h. Zostav tabuľku a narsuj graf počtu kilometrov, ktoré tento chodec prejde za hodinu,,5 hodin, hodin,,5 hodin, hodin,,5 hodin, hodin a za,5 hodin. 5. Slimák Slimák vraj prejde za hodinu aj 5 metrov. Vpočítaj, koľko metrov prejde slimák za 5 minút, minút, 5 minút, minút, 5 minút a minút. Odpoveď zapíš do tabuľk a narsuj graf závislosti slimákom prejdenej dráh (v metroch) od času (v minútach). 6. Skauti Trasa, ktorú má skupina skautov prejsť je dlhá 6 km. Priemerná rýchlosť, ktorou sa skupina pohbuje, je,6 km/h. a) Zostav tabuľku a narsuj graf, v ktorom bude uvedený počet kilometrov, ktoré ešte skupine zostáva po hodine, hodinách, hodinách, hodinách a po 5 hodinách cest. b) k sa skupina vberie na trasu o 7: h, ked bude v cieli? Základné veličin dĺžka (l) hmotnosť (m) čas (t) eletrický prúd (I) termodnamická teplota (T) látkové množstvo (n) svietivosť (I) Základné jednotk meter (m) kilogram (kg) sekunda (s) amper () kelvin (K) mól (mol) kandela (cd) O veličinách a závislostiach ste sa učili v 7. a 8. ročníku. Pojem veličina používate aj vo fzike. Základné fzikálne veličin si pripomeňme touto tabuľkou. Spolu so spolužiakmi sa pokúste vtvoriť tabuľku základných veličín pre niektorú z oblastí matematik, napr. geometriu. Problémová úloha Sformulujte úlohu, na riešenie ktorej je možné použiť vzťah = 8 H, kde a H sú premenné. Spolu so spolužiakmi ju vriešte, zostavte tabuľku a graf. 7. Pretek dážďoviek Možno ti niekto hovoril o pretekoch dážďoviek. Najrýchlejšia z nich prešla trať dlhú 6 cm za minút a 5 sekúnd. a) Vpočítaj, koľko cm prejde táto dážďovka za sekundu, 5 sekúnd, sekúnd, 5 sekúnd, 6 sekúnd, 75 sekúnd. Výsledk zaokrúhli aritmetick na desatin. b) Vpočítaj, v akej vzdialenosti bude dážďovka od cieľa na uvedenej trati po 5,, 5, 6, 75 sekundách a narsuj graf závislosti. 8. Nové kolieskové korčule Marek si chce kúpiť nové kolieskové korčule za 5 eur. Preto išiel na brigádu a rozhodol sa každý týždeň odložiť 7 eur. Vpočítaj, za koľko týždňov si Marek nasporí na korčule. Priebeh Marekovho sporenia znázorni grafom. Riešenie 8. k máme priebeh Marekovho sporenia znázorniť grafom, je vhodné zostaviť tabuľku, v ktorej v prvom riadku bude počet týždňov a v druhom riadku množstvo eur, ktoré Marek odloží na korčule. Vpisovanie hodnôt do tabuľk skončíme vted, keď získame sumu potrebnú na kúpenie korčúľ (5 eur). Marek si na korčule nasporí za 5 týždňov, lebo: 5 : 7 = 5. Nové kolieskové korčule počet týždňov (T) počet nasporených eur (S) Úlohu sme mohli riešiť aj pomocou vzťahu, ktorý vjadruje závislosť nasporených peňazí od počtu týždňov. Počet týždňov označíme T, počet nasporených eur označíme S. Potom vzťah na výpočet hodnôt do tabuľk bude: S = 7 T, kde za premennú T môžeme dosadiť,,..., 5. Priebeh Marekovho sporenia znázorníme grafom závislosti počtu nasporených eur od počtu týždňov.

24 Pre graf zostrojený bez pomoci počítača použijeme v sústave súradníc na vodorovnej osi (T) jednotku dĺžk cm. Na zvislej osi použijeme jednotku dĺžk cm pre. počet nasporených eur S 9 8 K L M N O 7 J 6 H I 5 G F E D T počet týždňov Grafom závislosti je súbor 5 bodov: [, 7], [, ], [, ], D[, 8], E[5, 5], F[6, ], G[7, 9], H[8, 56], I[9, 6], J[, 7], K[, 77], L[, 8], M[, 9], N[, 98], O[5, 5]. Z tabuľk a z grafu je názorne vidieť, ako s rastúcim počtom týždňov rastie aj počet eur, ktoré si Marek sporí na kolieskové korčule. 9. Telefonovanie Erika má mesačný kredit minút na telefonovanie. Pravidelne každý deň volá kamarátke lici 6 minút. Za koľko dní pretelefonuje Erika svoj kredit iba telefonovaním s licou? Zostav tabuľku a narsuj graf závislosti počtu pretelefonovaných minút od počtu dní.. Telefonovanie Juraj má na telefonovanie mesačný paušál eur. Pravidelne každý deň volá kamarátovi Edovi, čo ho stojí denne 8 centov. Za koľko dní pretelefonuje Juraj svoj paušál iba telefonovaním s Edom? Zostav tabuľku a narsuj graf závislosti počtu eur, ktoré mu z paušálu na konci dňa ešte ostávajú, od počtu dní. V úlohách 8, 9, sme sa zaoberali závislosťami medzi veličinami, ako sú čas (v minútach, dňoch, týždňoch) a suma (v centoch, eurách). Závislosti rôznch veličín si všímame aj v nasledujúcich úlohách. Projektová úloha Sformulujte úlohu, na riešenie ktorej je možné použiť vzťah E = + 5 T, kde T označuje počet týždňov a E je počet eur. Zostavte tabuľku a zostrojte graf.

25 . Trochu geometrie Daný je štvorec so stranou a dĺžk cm. k budeme jeho stranu postupne zväčšovať o,5 cm, ako sa bude meniť obvod štvorca? Zostav tabuľku a narsuj graf závislosti obvodu štvorca od dĺžk jeho stran. Riešenie. Na výpočet obvodu štvorca použijeme vzorec o = a. Tabuľku zostavíme tak, že do prvého riadka napíšeme dĺžk zväčšujúcich sa strán štvorca a do druhého riadka tabuľk prislúchajúci obvod. Vpíšeme 7 dvojíc, ab bolo lepšie vidieť závislosť obvodu štvorca od dĺžk jeho stran. a = cm o = = 8 cm a =,5 cm o =,5 = cm a = cm o = = cm a =,5 cm o =,5 = cm Trochu geometrie a = cm o = = 6 cm a [cm],5,5,5 5 a =,5 cm o =,5 = 8 cm o [cm] a = 5 cm o = 5 = cm Graf zostrojíme najprv v sústave súradníc, v ktorej vodorovnú os označíme a a zvislú os označíme o. obvod štvorca v cm o G F E D a 5 6 dĺžka stran štvorca v cm Graf závislosti obvodu štvorca od meniacej sa dĺžk jeho stran tvorí nekonečný počet bodov, z ktorých 7 je znázornených na grafe. Z tabuľk a z grafu je vidieť, že so zväčšujúcou sa dĺžkou stran štvorca sa zväčšuje aj obvod tohto štvorca. Zapíš závislosť obvodu štvorca o od dĺžk stran štvorca a postupne sa zväčšujúcej o,5 cm pomocou výrazu s premennými.. Trochu geometrie Obdĺžnik má stran a = cm a b = cm. k stranu b budeme postupne zväčšovať o cm, ako sa zmení jeho obsah? Zostav tabuľku a narsuj graf závislosti obsahu obdĺžnika od dĺžk stran b.. Trochu geometrie Rovnostranný trojuholník má stranu dĺžk cm. ko sa zväčší obvod rovnostranného trojuholníka, ak budeme dĺžku jeho stran postupne zväčšovať o cm? Zostav tabuľku a narsuj graf závislosti obvodu rovnostranného trojuholníka od dĺžk stran. 5

26 V týchto úlohách sme hovorili o závislosti veličín v rôznch jednotkách: čas (sekund, minút, hodin) čas (dni, týždne, mesiace) dĺžka stran štvorca (cm, dm) čas (dni, týždne) dráha (m, km) našetrená suma (eurá) obvod štvorca (cm, dm) paušál kredit (v centoch, eurách) Závislosť dvoch veličín je vjadrenie istého vzťahu medzi nimi. Tento vzťah môžeme vjadriť napr. pomocou výrazu s premennou, tabuľkou alebo pomocou grafu v pravouhlej sústave súradníc. Projektová úloha Vhľadajte informácie o rôznch veličinách a uveďte závislosti medzi nimi. Informácie spracujte do prezentácie. teraz závislosti a graf trochu inak. e. Združenie Mladí bežci organizovalo šesťdňový letný tréningový tábor. Prvých 5 dní absolvovali deti niekoľkokilometrové bežecké tras. Počet prebehnutých kilometrov zakresľovali každý deň do grafu. Posledný deň ráno tréner vhodnotil bežecké výkon detí:. Za každý deň, počas ktorého prebehli viac ako 5 km, dostanú všetci nanuk.. Za každý deň, počas ktorého prebehli menej ako km, urobia dobrý skutok.. k za 5 dní prebehli viac ako 5 km, autobus príde pre nich až k táboru. Vhodnoť, ako tréner rozdelil odmen. počet prebehnutých km Čo všetko sa dá ešte z grafu prečítať? O koľko viac prebehli. deň ako 5. deň? Koľkokrát menej prebehli. deň ako. deň? Prečo za. deň nedostali nanuk, ale ani nemuseli urobiť dobrý skutok? Riešenie. Z grafu je vidieť, že:. deň prebehli km,. deň prebehli 8 km,. deň prebehli 9 km,. deň prebehli 6 km, 5. deň prebehli 6 km. 5 6 dni v tábore Viac ako 5 km prebehli. a. deň, takže každý dostal po nanuk. Menej ako km prebehli. a 5. deň, takže každý mal spraviť dva dobré skutk. Za 5 dní prebehli spolu = 6 km, čo je viac ako 5 km. Takže autobus pre nich príde až k táboru. 6

27 5. Denisa sa učí ekonomick hospodáriť so svojím vreckovým. Postupne si zapisuje do tabuľk sum, ktoré minula v priebehu týždňa na desiatu v školskom bufete. Na záver týždňa si z údajov v tabuľke zostrojí graf. Porovnáva, ked minula najviac, ked najmenej. Spočítava, koľko minula za týždeň. Poznačila si tieto údaje: Najviac som minula na desiatu v stredu. Najmenej som minula na desiatu v piatok. Najväčší rozdiel je medzi sumami v stredu a v piatok. Najmenší rozdiel je len medzi sumami v utorok a v stredu. Za týždeň som minula na desiatu menej ako eur. Zisti z nasledujúceho grafu, či sú Denisine údaje správne. Riešenie 5. dni v týždni Z grafu je vidieť, že Denisa na desiatu minula: pondelok utorok,5 stredu štvrtok,5 piatok,5 spolu 8,5 Čo všetko sa dá ešte z grafu prečítať? V ktorých dňoch minula viac ako v pondelok? V ktorých dňoch minula menej ako v stredu? Je Denisa sporovlivá alebo nie? Porovnanie údajov, ktoré Denisa zistila z grafu: Najviac minula na desiatu v stredu,.... správn údaj Najmenej minula na desiatu v piatok,,5.... správn údaj Najväčší rozdiel je medzi sumami v stredu a v piatok, a to,5.... správn údaj Najmenší rozdiel je medzi sumami v utorok a stredu, a to,5.... správn údaj Za týždeň minula spolu 8,5, čo je menej ako.... správn údaj 6. Graf znázorňuje počet minút, ktorý v priebehu týždňa pretelefonovala Daniela zo svojho telefónu. Napíš, ktorý deň pretelefonovala najviac, ktorý najmenej a koľko minút pretelefonovala spolu za uvedený čas. Vpočítaj, koľko eur zaplatila za pretelefonované minút v priebehu týždňa, ak za minútu hovoru platila 8 centov. pretelefované minút pondelok utorok streda štvrtok piatok sobota nedeľa 7

28 7. Rieka Hron Graf znázorňuje stav hladin riek Hron nameraný denne o 7. h počas prvých dvoch týždňov v mesiaci. V ktorých dňoch bola nameraná hladina riek vššia ako predchádzajúci deň? V ktorých dňoch bola nameraná hladina riek nižšia ako predchádzajúci deň? Ktorý deň bol stav hladin najvšší a ktorý deň najnižší? výška hladin Hrona v m,5,5,5,,,5,,5,6,8,5,8,5, prvých dní v mesiaci 8. Marec mesiac knih Počas marca, mesiaca knih, zorganizovali v škole zber papiera. Za peniaze zo zberu chceli nakúpiť knih do školskej knižnice. Zber trval pracovných dní. Na obrázku je graf prehľadne zobrazujúci všetk dni zberu. Na základe tohto grafu sformuluj odpovede na tieto otázk: V ktorých dňoch bol počet kilogramov odovzdaného papiera väčší ako predchádzajúci deň? V ktorých dňoch bol počet kilogramov odovzdaného papiera menší ako predchádzajúci deň? Ked sa nazbieralo najviac papiera a ked najmenej? počet kg dni zberu papiera 9. Pečenie Pizze Na grafe je znázornený počet kilogramov múk (), ktorý zostal na sklade (po odobratí pravidelného množstva na upečenie pizze) od počtu dní (). Zisti, ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé: Každý deň odobrali zo skladu kg múk. Tretí deň im na sklade ostalo kg múk. Múka sa im minula po šiestom dni. D Závislosť z grafu môžeme zapísať =

29 Vskúšajte sa V každej úlohe je len jedna z uvedených možností správna. k zakrúžkuješ správne odpovede, získaš slovo chýbajúce vo vete: Je to..., ktorá dáva mnohým ľuďom do rúk neobmedzenú moc.. k je hodnota štvornásobkom hodnot, potom pre = sa rovná: E 6 F 8 G H. Daná je tabuľka s hodnotami t a s. t 5 s 6 8 Usporiadané dvojice [t, s] z tabuľk sú zobrazené grafom: V s Z s D E D E t t U s D E W s D E F t t. k ide turista priemernou rýchlosťou v = 5,5 km/h, potom závislosť počtu prejdených km (s) od času (t) môžeme zapísať pomocou vzťahu: M t = 5,5 s N s = 5,5 t O P t = 5,5 : s 9

30 . k si každý mesiac odkladáme eur, potom závislosť počtu usporených eur (e) od počtu mesiacov (m) môžeme zapísať pomocou vzťahu: K e = m L e = 7 m M e = 7 N m = e 5. Na ktorom z grafov,,, D rastie hodnota pre od = 6? D k sú na vodorovnej osi vznačené hodnot z prvého riadka tabuľk a na zvislej osi hodnot z druhého riadka tabuľk, potom bod grafu zodpovedajú hodnotám z tabuľk: 5 I J K L 5 5

31 7. Najnižšia nameraná teplota (na zvislej osi) je znázornená na grafe: D Zapamätajte si Závislosť dvoch veličín je vjadrenie vzťahu medzi nimi. Napríklad: závislosť počtu prejdených kilometrov (dráh) od počtu hodín (času), závislosť obvodu štvorca ( o) od dĺžk jeho stran (a), závislosť počtu pretelefonovaných minút od počtu dní. Závislosť dvoch veličín môžeme zapísať napr. pomocou výrazu s premennými, vjadriť pomocou tabuľk, znázorniť pomocou grafu. Napríklad: = 5,5 o = a M = 6 D

32 5. Priama a nepriama úmernosť ako druh závislostí. Graf a rovnica priamej a nepriamej úmernosti Čo sme sa už učili Počítali sme úloh, v ktorých sme vužívali vedomosti o priamej a nepriamej úmernosti. Na riešenie sme používali tabuľk, vedomosti o pomere, trojčlenke, vedomosti o výrazoch, o zväčšovaní, zmenšovaní hodnôt. Je to pravda? Čím viac vecí kupujem, tým menej zaplatím. Čím viac telefonujem, tým menej zaplatím. To tvrdia v reklamách z médií. ký máte na ne názor? Sú tieto reklam pravdivé? Riešili sme podobné úloh, ako sú nasledujúce štri. Uvádzame v nich dve rôzne riešenia.. Matej si po každom dni v škole odloží z peňazí, ktoré dostáva od rodičov na desiatu 7 centov. Vpočítaj, akú sumu b si takto nasporil za 65 dní školského roka. Riešenie. Úlohu môžeme riešiť takto: k každý deň odloží 7 centov, potom počet ušetrených eur vpočítame pomocou súčinu: 7 65 = 55 centov. 55 centov =,55 eur Matej b si za 65 dní nasporil,55 eur. Úlohu môžeme riešiť aj takto: Pomocou trojčlenk pre priamu úmernosť. za deň... 7 centov za 65 dní... centov : 7 = 65 : = 7 65 = 55 centov Trojčlenku počítame aj takto: = 55 centov súčin vonkajších členov sa rovná súčinu vnútorných členov Pomôcka O priamej úmernosti hovoríme vted, keď platí: koľkokrát sa zväčší (zmenší) jedna veličina, toľkokrát sa zväčší (zmenší) druhá veličina. V našej úlohe platí: koľkokrát sa zväčší počet dní sporenia, toľkokrát sa zväčší počet usporených centov. k bude Matej šetriť viac dní, tak ušetrí viac peňazí.. Za,5 hodin včistí skupina skautov 7 m lesného chodníka. Za koľko hodín pri rovnakom výkone skauti včistia chodník, ktorý je dlhý,6 km? Riešenie. Úlohu môžeme riešiť takto: Najprv vpočítame, koľko metrov lesného chodníka včistí skupina za hodinu: 7 :,5 = 6 m k za h včistí skupina 6 m chodníka, potom,6 km ( 6 m) včistí skupina za: 6 : 6 =,5 h Úlohu môžeme riešiť aj takto: Pomocou trojčlenk pre priamu úmernosť. Platí: koľkokrát sa zväčší počet hodín na čistenie chodníka, toľkokrát sa zväčší dĺžka včisteného chodníka. V našom prípade: k skauti budú robiť viac hodín, tak včistia dlhšiu časť chodníka. pokračovanie

33 za,5 h... 7 m za h...,6 km = 6 m Trojčlenku počítame aj takto: :,5 = 6 : 7 7 =,5 6 7 = 659 = 659 : 7 =,5 h =,5 h Skauti včistia chodník za,5 h. Viete, že...? Zakladateľom skautského hnutia bol britský generál R. S. aden-powell. Na ostrove rownsea na juhu nglicka založil v roku 97 prvý skautský tábor. Začiatk skautingu na slovenskom území (ktoré bolo vted súčasťou Uhorska) sa viažu k dátumu Prvý chlapčenský skautský oddiel vznikol pri gmnáziu v Komárne. Zdroj: Svetový rekord v behu na m je 9,58 sekund. Dosiahol ho Usain olt v roku 9 pri priemernej rýchlosti 7,58 km/h. k b chcel dosiahnuť čas 9, sekund, akou priemernou rýchlosťou b musel bežať? Výsledok zaokrúhli aritmetick na stotin. Riešenie. Úlohu môžeme riešiť pomocou trojčlenk pre nepriamu úmernosť. Platí: koľkokrát sa zväčší rýchlosť bežca, toľkokrát sa skráti čas behu. čas 9,58 sekund... rýchlosť 7,58 km/h čas 9, sekund... rýchlosť km/h : 7,58 = 9,58 : 9, 9, = 7,58 9,58 9, = 6,6 = 6,6 : 9, = 8, , km/h Vrieš úlohu bez použitia trojčlenk. Pomôcka O nepriamej úmernosti hovoríme vted, keď platí: koľkokrát sa zväčší (zmenší) jedna veličina, toľkokrát sa zmenší (zväčší) druhá veličina. k chce bežec dosiahnuť čas 9, sekund, musí bežať rýchlosťou približne 8, km/h. Vieš, prečo netreba meniť km/h na m/s? Problémová úloha eh na metrov je ľahkoatletický šprint, pri ktorom sa beží s maimálnm úsilím od štartu až po cieľ. Víťaz tejto disciplín sa považuje za najrýchlejšieho muža či ženu sveta. Zistite, kto z vašej škol dosahuje najlepší čas v behu na m. a) Vpočítajte jeho rýchlosť v km/h. b) Vpočítajte, o koľko b mal zvýšiť svoju rýchlosť, ab dosiahol súčasný platný svetový rekord. T to vieš?

34 . V ponuke obchodu s mobilmi je aj mobil, ktorý si chce kúpiť Zlatica. Našla si brigádu, na ktorej jej vplácajú týždennú mzdu. k b si týždenne odkladala eur, mobil b si mohla kúpiť za 8 týždňov. k b si ho chcela kúpiť za týždne, koľko eur b si musela každý týždeň odložiť? Riešenie. Úlohu vriešime pomocou trojčlenk pre nepriamu úmernosť. Platí: koľkokrát sa zmenší počet týždňov sporenia, toľkokrát sa musí zväčšiť týždenná suma, ktorú sporíme. V našom prípade: k chce Zlatica za menej týždňov našetriť na nový telefón, musí si týždenne odložiť viac peňazí, diskutujte o tom. eur... 8 týždňov eur... týždne : = 8 : = 8 = 96 = 96 : = eur Vrieš úlohu bez použitia trojčlenk. k chce Zlatica našetriť na mobil za týždne, musí si týždenne odložiť eur. Pripomínali ti úloh,,, úloh z predchádzajúcej kapitol? Áno, sú podobné. Teraz si ukážeme riešenia úloh, v ktorých sú veličin priamo alebo nepriamo úmerné, pomocou výrazov s rôznmi premennými a zostrojíme k nim graf. 5. dam ide na skejte zo škol domov priemernou rýchlosťou 8 km/h. a) Vpočítaj, koľko kilometrov prejde touto rýchlosťou za,5 h,,5 h,,75 h, h. Riešenie zapíš do tabuľk. b) Narsuj graf závislosti počtu prejdených kilometrov (dráha) od počtu hodín (čas) podľa tabuľk. Pri riešení úloh použi výraz s premennými. Riešenie 5. a) Úlohu riešime pomocou výrazu s premennými. Úlohu môžeme riešiť takto: Na výpočet počtu kilometrov môžeme použiť aj zápis používaný v 8. ročníku ZŠ. Nech označuje počet hodín a počet prejdených kilometrov. Potom závislosť zapíšeme = 8 a do tabuľk vpisujeme hodnot vpočítané pre =,5;,5;,75;. =,5 = 8,5 = =,5 = 8,5 = =,75 = 8,75 = 6 = = 8 = 8 Nech H je počet hodín, K je počet prejdených kilometrov. Potom závislosť zapíšeme K = 8 H a počítame hodnot: K(,5) = 8,5 = K(,5) = 8,5 = K(,75) = 8,75 = 6 K() = 8 = 8 damova cesta domov (h),5,5,75 (km) 6 8

35 b) Graf zostrojíme v pravouhlej sústave súradníc so súradnicovými osami označenými premennými a. Na osi sú hodnot pre počet hodín, na osi hodnot pre počet prejdených kilometrov. Jednotku dĺžk na osi zvolíme cm pre,5 h, čo je štvrť hodin. Na osi zvolíme cm pre km. 8 D 7 6 Graf tvoria bod ležiace na priamke: [,5; ], [,5; ], [,75; 6], D[, 8]. 5 Zápis K = 8 H a = 8 vjadrujú priamo úmernú závislosť medzi počtom hodín (časom) a počtom prejdených kilometrov (dráhou). Zápis = 8 nazývame aj rovnicou (predpisom) priamej úmernosti.,5,5,75, Osi sme mohli označiť aj písmenami H a K. 6. Erika ide na kolieskových korčuliach priemernou rýchlosťou 7 km/h. a) Vpočítaj, koľko kilometrov b pri tejto rýchlosti prešla za h, h, h, h, 5 h. Riešenie zapíš do tabuľk. b) Narsuj graf závislosti počtu prejdených Erikiných kilometrov (dráh) od počtu hodín (času). Na riešenie úloh použi výraz s premennými. 7. Lukáš jazdí na bickli priemernou rýchlosťou km/h. a) Vpočítaj, koľko kilometrov b prešiel touto rýchlosťou za,5 h, h,,5 h, h,,5 h, h,,5 h, h,,5 h, 5 h. Riešenie zapíš do tabuľk. b) Narsuj graf závislosti počtu prejdených kilometrov (dráh) od počtu hodín (času). Na riešenie úloh použi výraz s premennými. 8. Peter ide k spolužiakovi, ktorý býva km od jeho domu. a) Vpočítaj, akou priemernou rýchlosťou b mal ísť, ab k nemu prišiel za minút, minút, minút, minút. Na riešenie úloh použi výraz s premennými. Riešenie zapíš do tabuľk. b) Narsuj graf závislosti veličín (rýchlosť v, čas t) v úlohe. Riešenie 8. a) Máme vpočítať Petrovu rýchlosť na ceste k spolužiakovi pomocou výrazu s premennými. Na označenie premenných použijeme v (priemerná rýchlosť) a t (čas). Potom použijeme znám vzťah z fzik, kde s = km, čiže. Rýchlosť uvádzame väčšinou v kilometroch za hodinu, preto si najprv čas uvedený v minútach vjadríme v hodinách. minút = hodin minút = hodin minút = hodin minút = hodin Vpočítame rýchlosť pre dané hodnot času a dráh zo vzťahu. 5 pokračovanie