6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

Transcript

1 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis f a = b? Tento zápis má v presných pojmoch vystihnúť myšlienku, že f ( ) sa blíži bodu b, ak sa blíži k bodu a (pričom je rôzne od a) Definičný obor musí obsahovať interval (,a), (a,) alebo aj oba, ale bod a nemusí obsahovať Hodnota funkcie v bode a, ak vôbec eistuje, nemusí mať so skúmanou otázkou nič spoločné, teda ita sa nemusí rovnať hodnote funkcie v danom bode Príklad 6 Dané sú funkcie f = +, g = +, a h Ich grafy sú postupne nakreslené na obrázku 6 ak = ak = Obr 6 Z obrázka intuitívne zistíme, že ak sa blíži k bodu a=, funkčné hodnoty pre každú z uvedených funkcií sa blížia k bodu Teda f = g( ) = h( ) =, pričom f()=, g() nie je definovaná a h()= a 6 Definícia ity Nech je funkcia f() definovaná pre všetky a z nejakého okolia bodu a Hovoríme, že ita funkcie f() pre idúce k a sa rovná b ( f a = b) práve vtedy, ak pre každú z definičného oboru funkcie f, a, má postupnosť postupnosť { n } a čísel n funkčných hodnôt { f ( n } itu b Poznámka: Ak a, b v predchádzajúcej definícii sú čísla, potom hovoríme o vlastnej ite vo vlastnom bode Symboly a, b môžu byť aj ± V takomto prípade budeme hovoriť o nevlastnej ite, resp o ite v nevlastnom bode Tieto prípady budeme skúmať neskôr a n a 96

2 Niekedy sa zaujímame iba o také postupnosti { n } a, pre ktoré platí, že všetky členy n sú väčšie ako a (teda n sa blíži k a sprava) alebo sú menšie ako a (teda n sa blíži k a zľava) V takýchto prípadoch hovoríme o jednostranných itách Pojem si vysvetlíme na príklade Príklad 6 a) Pomocou grafu funkcie f jednostranné ity f 0 = určte a f + 0 y = (Prvú itu nazývame ita funkcie f zľava v bode 0, druhú itu nazývame ita funkcie f sprava v bode 0) Z grafu funkcie vidíme, že: f = 0 f = + 0 f neeistuje Obr 6 0 b) Pomocou grafu funkcie f jednostranné ity f 0 = určte a f + 0 y = Z grafu funkcie vidíme, že: f = 0 f = + 0 f = Obr 6 0 Uvedieme teraz dve doležité vety o ite funkcie Veta 6 (veta o ohraničenosti) Ak eistuje vlastná ita funkcie f() v bode a, potom eistuje interval okolo bodu a (bez bodu a), na ktorom je funkcia f() ohraničená Veta 6 (veta o zovretí) Nech na nejakom intervale okolo bodu a bez bodu a platí: f() h() g() Nech f = g = b Potom aj h = b a a Vetu 6 si ilustrujeme na príklade Na intervale ( 0; ) zobrazte grafy funkcií f =, g = a h a Príklad 6 si, že sú splnené predpoklady vety 6 pre a = Určte h sin = Všimnite 97

3 Z obrázka 64 vidíme, že pre všetky >0 platí: sin < <, teda f < h < g Naviac f = 0, g = 0 Predpoklady vety 6 sú teda splnené Preto aj h = 0 6 Výpočet ít Obr 64 Nasledujúca veta je užitočná pre počítanie vlastných ít niektorých funkcií obsahujúcich konštanty,, -f(), prevrátené funkcie, súčet, rozdiel, súčin, podiel, polynómy a odmocniny z funkcie Veta 6 a Limita konštanty: c= c a b Limita funkcie f()=: = a a c Limita funkcie s opačným znamienkom: Ak ( f a ) = b d Limita súčtu a rozdielu: Ak =, ( ) f = b, potom a f b g a a = b, potom a f = b, g a = b, potom a ( f g ) = b b a f ± g = b ± b f = b, a f b = 0, potom = a a g b e Limita súčinu: Ak f Limita podielu Ak g Limita odmocniny z funkcie: Ak f 0 a f a = b, potom h Limita súčinu čísla a funkcie: c f = c f a a f = b a Príklad 64 Pomocou vety 6 vypočítajte: a) b) c) 4+ + d) 4 98

4 = = a) = = b) = = = c) = = Pretože po dosadení vyšla v menovateli nula, musíme postupovať inak: + ( )( ) ( ) = = = = = d) = = = = Spojitosť funkcie Funkcia f() je spojitá v bode a, ak platí f = f a a Poznámka: Predchádzajúca definícia znamená, že funkcia f() je v bode a definovaná, má v bode a itu a naviac f ( a ) = f ( a) Teraz si uvedieme niekoľko príkladov na funkcie, ktoré nie sú spojité v bode a 4 Funkcia f =, ktorej graf je na obrázku 65, nie je spojitá v bode -, nakoľko nie je + v tomto bode definovaná + ak < 0 Funkcia g =, ktorej graf je na obrázku 66, nie je spojitá v bode 0, ak 0 nakoľko ita tejto funkcie neeistuje (pretože ity sprava a zľava sa nerovnajú) Obr 65 Obr 66 99

5 Nasledujúca veta charakterizuje základné vlastnosti spojitých funkcií Veta 64: a) Konštantná funkcia a funkcia f()= sú spojité funkcie b) Súčet, rozdiel a súčin spojitých funkcií je spojitá funkcia c) Podiel spojitých funkcií je spojitá funkcia na svojom definičnom obore d) Ak je funkcia g spojitá v bode a a funkcia f spojitá v bode g(a), potom aj zložená funkcia f(g()) je spojitá v bode a e) Ak je funkcia f() spojitá na nejakom otvorenom intervale obsahujúcom uzavretý interval ab ;, potom je na intervale ab ; ohraničená a dosahuje tu maimum aj minimum 65 Limita v nevlastnom bode a nevlastná ita funkcie V tejto časti si uvedieme jednotlivé prípady nevlastných ít Najprv sa budeme zaoberať prípadom b =±, tj f a =± Hovoríme, že ita funkcie f() pre idúce k a sa rovná ( ) práve vtedy, ak pre každú postupnosť { n } a čísel z definičného oboru funkcie f postupnosť funkčných hodnôt { f ( n )} má itu ( ) Na obrázku 67 je znázornený graf funkcie f = Všimnime si, že 8 f = a aj 4 f = Obr 67 Nasledujúca veta charakterizuje základné vlastnosti nevlastných ít Veta 65 a) Ak je funkcia f() v určitom okolí bodu a ohraničená a b) Ak g a ( f g a ) = c) Ak = > 0, 0 f ( f ( a ) + g ) = a = 0 a g a f b a g =, potom = a f() je kladná pre všetky a z nejakého okolia bodu a, potom a g g()>0, (resp g()<0), potom = a pre každé a z nejakého okolia bodu a platí f = ( resp ) a g 00

6 Poznámka: Veta nič nehovorí o prípadoch a Limity pre takéto prípady budeme vedieť riešiť neskôr Na záver uvedieme prípad a =±, tj ± f = b Hovoríme, že ita funkcie f() pre idúce k ( ) sa rovná b ( f = b) práve vtedy, ak pre každú postupnosť { n } ({ n } z definičného oboru funkcie f postupnosť funkčných hodnôt { f ( n )} b Na obrázku 68 je znázornený graf funkcie f f = = + f = b, resp Všimnime si, že f ) čísel = a aj Na obrázku 69 je znázornený graf funkcie f = e Všimnime si, že f a = f = 0 Obr 68 Obr 69 Vypočítajte nasledujúce ity, ak eistujú: 66 Úlohy =

7 6+ 9= 0 zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu : + 7+ = Použijeme metódu zanedbania minoritných členov Túto metódu je výhodné použiť p p v prípade ít typu a, pričom p ( ) a q( ) sú polynomy q q p a + a + + a+ a a Platí: n n n n n 0 n = = m m m q b m + bm b b bm Podobne postupujeme aj pre výpočet p q + 7+ = = = ( )( ) ( ) upravíme: = = = = = Pomocné výpočty: 5+ 6= 0 D = 5 46 = 5 4 = D = 5 + = = ( 5) = = 5 + 6= = = 0 D = 7 4 = = D = 7 + = = 4 ( 7) = = 7 + = 4 0

8 upravíme: = = = ( ) ( ) = 0 zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu : pre =,99 je menovateľ záporný, lebo,99 = 0,0 pre =,0 je menovateľ kladný, lebo,0 = 0,0 pretože menovateľ mení znamienko, neeistuje, a teda neeistuje ani = = = 0 zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu : pre =,99 je menovateľ záporný, lebo,99 = 0,0 pre =,0 je menovateľ kladný, lebo,0 = 0,0 pretože menovateľ mení znamienko, neeistuje upravíme zanedbaním minoritných členov : upravíme zanedbaním minoritných členov : + 7+ = = = = = = + 0

9 upravíme zanedbaním minoritných členov : + 7+ = = = Nakoľko funkcia nie je definovaná v okolí bodu (odmocninu počítame iba + 7+ z nezáporných čísel), uvažovať o nemá zmysel + sin 0 sin použijeme vzorec = 0 sin sin = = = sin 4 k použijeme vzorec = 0 sin ( k ) 6 ( 4 6 ) = = = = 0sin 4 0 sin 4 4 0sin uvedomte si, že ak 0, potom aj 4 0 sin sin sin = = = cos 4 0 cos 0 = 0 0 zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu 0: pre 0,0 0,0 = 0,0 = je menovateľ záporný, lebo 04

10 pre = 0,0 je menovateľ kladný, lebo 0,0 = 0,0 cos pretože menovateľ mení znamienko, neeistuje 0 5 cos cos cos 0 = = = 0 sin 6 0 sin použijeme vzorec = 0 sin sin sin = = = = = 0 zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu 0: pre = 0,0 je menovateľ záporný pre = 0,0 je menovateľ kladný sin pretože menovateľ mení znamienko, neeistuje, a teda ani 0 0 neeistuje sin 7 0 sin použijeme vzorec = 0 sin sin sin sin = = = = = 0 = = = 05

11 9 + použijeme vzorec + = + = e + = e + 0 použijeme vzorec + = e + = + = + = e + + použijeme vzorec a b a b= a+ b za a dosadíme + + potom a je + + za b dosadíme potom b je ( + + ) ( ) = = Upravíme zanedbaním minoritných členov podobne, ako v príkladoch, 7, 8, 9 + = = = = = zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu 0: pre 0,0 0, 0 0, 0 = 0, , 0 > 0 = je menovateľ kladný, lebo = je menovateľ záporný, lebo pre 0,0 0, 0 0, 0 = 0, , 0 < pretože menovateľ mení znamienko, neeistuje 0 06

12 = zistíme znamienko menovateľa v okolí bodu 0: = je menovateľ kladný, lebo = je menovateľ záporný, lebo pre 0,0 pre 0,0 pretože menovateľ mení znamienko, 0 0, 0 0, 0 = 0, , 0 > 0 0, 0 0, 0 = 0, , 0 < neeistuje 07