PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

Transcript

1 KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8

2 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b) = a ±ab+b 3) (a±b) 3 = a 3 ±3a b+3ab ±b 3 ) a b = (a b)(a+b) 4) a 3 b 3 = (a b)(a +ab+b ) 5) a 3 +b 3 = (a+b)(a ab+b ) OPERÁCIE S MOCNINAMI ) a m a n = a m+n 9) a m n = n a m ) a m : a n = a m n ) n a b = n a n b 3) (a m ) n = a m n n a n a ) b = n b n a n m 4) a = ) m b = a m a m n m b = n m n 5) a n = a n 3) ( n a m ) = n a m 6) (a b) m = a m b m 4) ( n a) n = a ( 7) a n b) = a n b n ) n ( 8) = b n a) ( a b ELEMENTÁRNE FUNKCIE b n Konštantná funkcia f : = k, k R Grafom je priamka rovnobežná s osou. D(f) = R, H(f) = {k}. = k Lineárna funkcia f : = a+b, a,b R, a D(f) = R, H(f) = R. Grafom je priamka so smernicou a, ktorá na osi vtína úsek b. = a+b

3 Kvadratická funkcia f : = a +b+c, a,b,c R, a Grafom je parabola, ktorej os je rovnobežná s osou. ) a > : D(f) = R, H(f) = c b 4a ; ), párna pre b =, ohraničena zdola, rastúca, prostá pre b a ; ), klesajúca, prostá pre ( ; b a. = a +b+c V ) a < : D(f) = R, H(f) = ( ; b 4a, párna pre b =, ohraničená zhora, rastúca, prostá pre ( ; b a, klesajúca, prostá pre b a ; ). V = a +b+c Nech a sú korene kvadratickej rovnicea +b+c =. Potom kvadratickú funkciu = a +b+c môžeme vjadriť v tvare = a( )( ).

4 Hperbolická funkcia f : = a +b, a,b R, a D(f) = ( ;) (; ), H(f) = ( ;b) (b; ). Grafom je rovnoosová hperbola. a > : a < : = a +b = a +b Eponenciálna funkcia f : = a, a >, a D(f) = R, H(f) = (; ). a > : < a < : = a = a Logaritmická funkcia f : = log a, a >, a D(f) = (; ), H(f) = R. a > : < a < : = log a = log a log = log sa nazýva dekadickým logaritmom, ln = log e sa nazýva prirodzeným logaritmom, (kde e = je Eulerovo číslo). Vlastnosti logaritmov: log a = log a +log a log a = log a = log a log a log a a = log a n = n log a log a = log log a 3

5 Goniometrické funkcie f : = sin D(f) = R, H(f) = ;. nepárna, preto sin( ) = sin, ohraničená, periodická s periódou l =. = sin 3 3 l f : = cos D(f) = R, H(f) = ;, párna, preto cos( ) = cos, ohraničená, periodická s periódou l =. = cos 3 3 f : = tg D(f) = R {(k +) ; k Z} = nepárna, preto tg( ) = tg, rastúca na každom intervale I D(f), neohraničená, periodická s periódou l =. k Z l ( +k; +k), H(f) = R, = tg 3 3 l 4

6 f : = cotg D(f) = R {k;k Z} = (k;(k +)), H(f) = R, nepárna, preto cotg( ) = cotg, klesajúca na každom intervale I D(f), neohraničená, periodická s periódou l =. k Z = cotg 3 3 l Znamienka goniometrických funkcií kvadrant sin cos tg cotg I II. + III. + + IV. + sin(9 ) = cos cos(9 ) = sin sin(9 +) = cos cos(9 +) = sin Tabuľka základných hodnôt goniometrických funkcií sin cos tg cotg radián = 8. = = 8. =,75 5

7 sin +cos = tg cotg = Základné vzťah medzi goniometrickými funkciami tg = sin cos = cotg cotg = cos sin = tg sin(±) = sin cos ±cos sin cos(±) = cos cos sin sin sin+sin = sin + sin sin = cos + cos+cos = cos + cos cos = sin + cos sin cos sin sin sin = [cos( ) cos(+)] cos cos = [cos( )+cos(+)] sin cos = [sin( )+sin(+)] Súčtové vzorce tg(±) = tg±tg tg tg cotg cotg cotg(±) = cotg ± cotg tg±tg = sin(±) cos cos sin( ±) cotg±cotg = sin sin Vzorce pre výpočet funkcií dvojnásobných a polovičných uhlov sin = sincos sin = sin cos cos = cos sin sin = cos cos = +cos tg = sin +cos cotg = sin cos tg sin = +tg sin = ± cos cos = ± +cos tg cos = +tg KVADRATICKÉ ROVNICE Rovnica a +b+c =, a, a,b,c R sa nazýva kvadratickou rovnicou vo všeobecnom tvare. Korene, kvadratickej rovnice vpočítame zo vzťahu kde, = b± b 4ac, a D = b 4ac sa nazýva diskriminant kvadratickej rovnice. 6

8 Ak D >, tak kvadratická rovnica má dva rôzne reálne korene. Ak D =, tak kvadratická rovnica má jeden reáln dvojnásobný koreň = = b a. Ak D <, tak kvadratická rovnica má dva komplene b±i D združené korene, =, a kde i je imaginárna jednotka. Ak, sú korene kvadratickej rovnice, tak tzv. rozklad na súčin koreňových činiteľovmá tvar a +b+c = a( )( ). Ak a =, b = p, c = q, dostaneme normovanú kvadratickú rovnicu pričom pre jej korene, platí +p+q =, + = p, = q. ABSOLÚTNA HODNOTA Absolútna hodnota reálneho čísla je definovaná takto. ak a, tak a = a,. ak a <, tak a = a. Vlastnosti absolútnej hodnot a) a, b) a = a, c) a a a, d) a+b a + b, e) ab = a b, f) a = a, g) a < k k < a < k a ( k;k). KOMPLEXNÉ ČÍSLA Každé komplené číslo sa dá zapísať v tvare z = a + bi, kde a je reálna časť, b je imaginárna časť kompleného čísla, i je imaginárna jednotka, pre ktorú platí i =. Nech z = a+bi, z = c+di sú komplené čísla. Potom a) súčet z +z = (a+c)+(b+d)i, b) rozdiel z z = (a c)+(b d)i, c) súčin z z = (ac bd)+(ad+bc)i, d) podiel z z = (a+bi)(c di) (c+di)(c di), c+di. Číslo c di je komplene združené číslo k číslu z. Znázornenie kompleného čísla z = a + bi vektorom OA b A = [a,b] z ϕ a 7

9 Absolútna hodnota kompleného čísla je z = a +b. cosϕ = a z a = z cosϕ sinϕ = b z b = z sinϕ Po dosadení do algebraického tvaru kompleného čísla z = a + bi dostaneme goniometrický tvar z = z (cosϕ+i sinϕ). Platí Eulerov vzťah e iϕ = cosϕ+i sinϕ. ANALYTICKÁ GEOMETRIA V ROVINE Nech sú dané dva bod A = [a,a ], B = [b,b ]. Potom ich vzdialenosť je AB = (b a ) +(b a ) a stred úsečk AB je Rovnice priamk: [ a +b S =, a ] +b.. parametrické rovnice priamka je určená bodom A = [a,a ] a smerovým vektorom u = (u,u ) = a +t u, = a +t u, t R,. všeobecný tvar rovnice a+b +c =, kde n = (a,b) je normálový vektor priamk, platí n u, 3. smernicový tvar rovnice = k+q, kde k = tgα je smernicou priamk, q je úsek, ktorý vtína priamka na osi. Vzájomná poloha dvoch priamok: Priamka p je určená bodom A a smerovým vektorom u, priamka q je určená bodom B a smerovým vektorom v. Ich vzájomnú polohu určíme podľa schém: p,q u = k v u k v p q = p q rovnobežné totožné rôznobežné Uhol dvoch priamok: kde u = u +u, v = v +v. cosα = u v +u v, u v Vzdialenosť bodu M = [, ] od priamk a+b +c = : v = a +b +c a +b. 8

10 KUŽEĽOSEČKY Kružnica Stredový tvar rovnice kružnice k(s;r), kde P = [,] je jej ľubovoľný bod, S = [,] je stred, r = SP je polomer kružnice, je + = r. Ak S = [m,n] je stred, tak rovnica kružnice je P P ( m) +( n) = r. r P P P n S m P Elipsa Stredový tvar rovnice elips, kde P = [,] je jej ľubovoľný bod, je alebo ( m) + a a + b =, S = [,], a > b, ( n) b =, S = [m,n], a > b. a b F e F e = a b lineárna ecentricita elips. F = [ e,], F = [e,] ohniská elips. Hperbola Stredový tvar rovnice hperbol, kde P = [,] je jej ľubovoľný bod, je alebo ( m) a a =, S = [,], b ( n) b =, S = [m,n]. 9

11 e b F A a B F e = a +b lineárna ecentricita hperbol. F = [ e,], F = [e,] ohniská hperbol. A,B vrchol hperbol. Asmptot hperbol majú rovnice: = b a, = b a. Rovnoosová hperbola = k k > : k < : Parabola Vrcholový tvar rovnice parabol, kde P = [,] je jej ľubovoľný bod, je = ±p, kde p >, V = [,], o =, = ±p, kde p >, V = [,], o =, ( n) = ±p( m), kde p >, V = [m,n], o, ( m) = ±p( n), kde p >, V = [m,n], o. = p = p = p = p

12 Derivačné vzorce: Integračné vzorce: [c] =, kde c je konštanta d = +c [ α ] = α α [e ] = e α d = α+ +c pre α α+ e d = e +c [a ] = a lna a d = a +c pre a lna [ln] = d = ln +c [log a ] = lna [sin] = cos [cos] = sin [tg] = cos [cotg] = sin [arcsin] = [arccos] = [arctg] = + [arccotg] = + [c f()] = c f () cosd = sin+c sind = cos+c cos d = tg+c sin d = cotg+c d a = arcsin a +c, arccos a +c d a = a ln d a + = a+ a +c a arctg a +c, a arccotg a +c d + +k = ln +k +c c f() d = c f() d, kde c [f()±g()] = f ()±g () [f()±g()] d = f() d± g() d [f() g()] = f () g()+f() g () [ ] f() = f () g() f() g () g() g () f () d = ln f() +c f() f () g() d = f() g() f() g () d [f(g())] = f (g()) g ()