Matematika 2. časť: Analytická geometria

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika 2. časť: Analytická geometria"

Ξανθίππη Διαμαντόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach jana.pocsova@tuke.sk

2 Súradnicové sústavy Súradnicové sústavy umožňujú jednoznačné určenie polohy každého bodu súradnicami. Súradnice sa vzťahujú k referenčnej súradnicovej sústave. Súradnicové sústavy v rovine Pravouhlá súradnicová sústava Polárna súradnicová sústava Súradnicové sústavy v priestore Pravouhlá súradnicová sústava Cylindrická súradnicová sústava Sférická súradnicová sústava

Tieto priamky nazývame súradnicové osi a pevne zvoleným bodom O = [0, 0], ktorý sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy

3 Pravouhlá súradnicová sústava v rovine Pravouhlá súradnicová sústava je definovaný dvoma kolmými priamkami o x a o y, ktoré majú jediný spoločný bod O. Tieto priamky nazývame súradnicové osi a pevne zvoleným bodom O = [0, 0], ktorý sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy Každý bod A roviny má jednoznačne priradenú usporiadanú dvojicu reálnych čísel [x a, y a], ktoré vyjadrujú jeho orientované vzdialenosti od súradnicových osí o x, o y. Tieto vzdialenosti nazývame súradnice.

4 Polárna súradnicová sústava Po zvolení polárneho súradnicového systému v rovine a jednotky dĺžky môžeme každému bodu v rovine jednoznačne priradiť usporiadanú dvojicu reálnych čísel [ρ, ϕ], ktoré majú tento význam: ρ je vzdialenosť bodu M od začiatku súradnicovej sústavy (veľkosť polohového vektora). ϕ je veľkosť orientovaného uhla, ktorého vrchol je v začiatku SS, prvé rameno tvorí polárna os a druhé polpriamka OM (proti smeru hodinových ručičiek).

5 Polárna súradnicová sústava - Príklad V polárnej súradnicovej sústave znázornite bod M = [1, π 6 ].

6 Konverzia súradníc Stotožnenie súradnicových sústav.

7 Konverzia súradníc Stotožnenie súradnicových sústav.

8 Konverzia súradníc Stotožnenie súradnicových sústav. Odvodenie transformačnych vzťahov.

9 Konverzia súradníc [ρ, ϕ] [x, y] x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ arccos ϕ = 2π arccos [x, y] [ρ, ϕ] ρ = x 2 + y 2 x x 2 +y 2 ak y 0 x x 2 +y 2 ak y < 0 (0 ϕ 2π)

10 Konverzia súradníc - Príklad Daný je bod M = [ 1, 2] v pravouhlom súradnicovom systéme. Znázornite tento bod v rovine a vyjadrite jeho polárne súradnice.

11 Konverzia súradníc - Príklad Daný je bod M = [2, 5π ] v polárnej súradnicovom systéme. Znázornite tento 6 bod v rovine a vyjadrite jeho súradnice v pravouhlom súradnicovom systéme.

12 Pravouhlá súradnicová sústava v priestore Pravouhlá súradnicová sústava je definovaná: Troma kolmými priamkami o x, o y a o z prechádzajúcimi spoločným bodom O. Tieto priamky sa nazývajú súradnicové osi, ktoré tvoria 3 súradnicové roviny π = R xy, λ = R xz, ɛ = R yz. Bod O = [0, 0, 0] sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy.

13 Pravouhlá súradnicová sústava v priestore Pravouhlá súradnicová sústava je definovaná: Troma kolmými priamkami o x, o y a o z prechádzajúcimi spoločným bodom O. Tieto priamky sa nazývajú súradnicové osi, ktoré tvoria 3 súradnicové roviny π = R xy, λ = R xz, ɛ = R yz. Bod O = [0, 0, 0] sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy. Každý bod M priestoru má jednoznačne priradenú usporiadanú trojicu reálnych čísel [x, y, z]. Tieto súradnice určujú vzdialenosti bodu M od súradnicových rovín π, λ, ɛ v danom poradí. Pravotočivá pravouhlá súradnicová sústava. Ľavotočivá pravouhlá súradnicová sústava.

14 Pravouhlá súradnicová sústava v priestore - Príklad Znázornite bod A = [1, 2, 3] v pravouhlom súradnicovom systéme.

15 Cylindrická súradnicová sústava V cylindrickej súradnicovej sústave je každému bodu M priestoru jednoznačne priradená usporiadaná trojica reálnych čísel ρ, ϕ a z. Usporiadanú trojicu reálnych čísel [ρ, ϕ, z] nazývame cylindrické súradnice bodu M, pričom platí ρ 0, ), ϕ 0, 2π), z (, ).

16 Cylindrická súradnicová sústava - Príklad Znázornite bod A = [1, π, 1] v cylindrickej súradnicovej sústave. 6

17 Konverzia súradníc Stotožnenie súradnicových sústav. Odvodenie transformačných vzťahov.

18 Konverzia súradníc Stotožnenie súradnicových sústav. Odvodenie transformačných vzťahov.

19 Konverzia súradníc Cylindrická Pravouhlá [ρ, ϕ, z] [x, y, z] x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z Pravouhlá Cylindrická [x, y, z] [ρ, ϕ, z] arccos ϕ = 2π arccos ρ = x 2 + y 2 x x 2 +y 2 ak y 0 x x 2 +y 2 ak y < 0

20 Konverzia súradníc - Príklad Daný je bod B = [1, π 6, 1] v cylindrickej súradnicovej sústave. Znázornite tento bod v rovine a vyjadrite jeho súradnice v pravouhlej súradnicovej sústave.

21 Konverzia súradníc - Príklad Daný je bod M = [2, 5π ] v polárnom súradnicovom systéme. Znázornite tento 6 bod v rovine a vyjadrite jeho súradnice v pravouhlom súradnicovom systéme.

22 Konverzia súradníc - Príklad Daný je bod M = [1, 1, 6] v pravouhlom súradnicovom systéme. Znázornite tento bod v pravouhlom súradnicovom systéme a vypočítajte jeho cylindrické súradnice.

23 Sférická súradnicová sústava V sférickej súradnicovej sústave je každému bodu M priestoru priradená usporiadaná trojica reálnych čísel r, ϕ a θ. Usporiadanú trojicu reálnych čísel [r, ϕ, θ] nazývame sférické súradnice bodu M.

24 Konverzia súradníc Sférická Pravouhlá [r, ϕ, θ] [x, y, z] x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos θ

25 Konverzia súradníc Sférická Pravouhlá [r, ϕ, θ] [x, y, z] x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos θ Pravouhlá Sférická [x, y, z] [r, ϕ, θ] arccos ϕ = 2π arccos r = x 2 + y 2 + z 2 x x 2 +y 2 ak y 0 x x 2 +y 2 ak y < 0 θ = arccos z x 2 +y 2 +z 2

Σχετικά έγγραφα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x