7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
|
|
- Αἴσωπος Ζερβός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických aplikáciách Derivácia funkcie f v bode a nám určuje veľkosť prírastku funkcie f v bode a Zrejme všetci už zo školských lavíc poznáme vzorec vyjadrujúci závislosť času, rýchlosti a dráhy pri rovnomernom priamočiarom pohybe s v t Ak napríklad každú sekundu prejdeme vzdialenosť metre, potom rýchlosť vyjadruje prírastok dráhy za jednotku času Pomocou nástrojov matematickej analýzy teda môžeme rýchlosť charakterizovať ako deriváciu dráhy v určitom čase t Taktiež sa v prai stretávame s úlohami, keď treba pomerne zložitú funkciu v okolí určitého bodu aproimovať pomocou priamky Smernica tejto priamky zrejme vyjadruje prírastok na osi y v určitom bode 0 Pomocou nástrojov matematickej analýzy opäť možno vyjadriť rovnicu tejto priamky pomocou derivácie funkcie Derivácia funkcie nám dokáže povedať mnoho o priebehu pôvodnej funkcie Na obrázku 7 je červenou farbou ln znázornený graf funkcie f a modrou farbou graf jej derivácie ln f Všimnime si, že funkcia f je rastúca, keď jej derivácia nadobúda kladné hodnoty a klesajúca, keď derivácia nadobúda záporné hodnoty Bod, v ktorom má funkcia f maimum, je typický tým, že hodnota derivácie je nulová Vďaka deriváciám teda vieme povedať mnoho o priebehu funkcie Žiaľ, mnohokrát je vyjadrenie derivácie funkcie komplikovanejšie ako pôvodná funkcia Obr 7 Geometrická úloha Nech je daná spojitá funkcia y f Na grafe tejto funkcie je pevne zvolený bod A [ a, f ( a) ] (obr 7) Budeme sa snažiť zaviesť pojem dotyčnice ku grafu funkcie y f v bode A [ a, f ( a) ] Zvoľme na grafe funkcie iný bod X [, f ] Z pravouhlého trojuholníka na obr 7 je zrejmé, že smernica priamky AX je f f ( a) tgϕ, kde ϕ je uhol, ktorý a zviera priamka AX s osou Ak sa bod X blíži k bodu A, tj ak sa rozdiel a blíži k 0, Obr 7 08
2 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy mení sa aj poloha priamky AX Ak sa priamka AX blíži k istej limitnej polohe, tj ak sa jej f f ( a) smernica blíži k limite k tgϕ lim, nazveme túto limitnú polohu priamky a a A a, f ( a) AX dotyčnicou grafu funkcie f v bode [ ] Fyzikálna úloha Nech sa bod P pohybuje po číselnej osi Poloha bodu P závisí od času t, ktorý uplynul od začiatku pohybu Táto závislosť je vyjadrená funkciou s f (t) Nech v čase t 0 je súradnica bodu P rovná s 0 f ( t 0 ) Za čas t t0 sa táto súradnica zmení o f ( t) f ( t0 ) Podiel f ( t ) f ( t ) 0 sa nazýva stredná rýchlosť bodu P v časovom úseku t t0 Okamžitá rýchlosť t t0 f ( t) f ( t0 ) v čase t 0 bude v( t0 ) lim Vzhľadom na podobnosť limitných vzťahov t t0 t t0 v predchádzajúcich úlohách je užitočné zaoberať sa touto limitou a dať jej osobitný názov 7 Definícia derivácie funkcie f v bode a Nech je funkcia f ( ) definovaná v okolí bodu a Ak eistuje konečná limita f f ( a) f ( a+ h) f ( a) lim lim a a h 0 h f ( ) v bode a a budeme ju označovať symbolom f hovoríme, že funkcia v danom bode nemá deriváciu, potom túto limitu nazveme deriváciou funkcie a Ak uvedená limita neeistuje, Nech f je reálna funkcia Označme M množinu všetkých tých bodov definičného oboru D ( f ), v ktorých má funkcia f deriváciu Funkciu f, ktorá každému bodu a M priradí hodnotu f ( a ) (deriváciu funkcie f v bode a ), nazývame deriváciou funkcie f na množine M Príklad 7 Použitím definície derivácie vypočítajte deriváciu funkie f v bode a / f f ( a) Použijeme vzorec f ( a) lim a a / a ( a)( + a) f ( a) lim lim lim( + a) a+ a a a a a a a Príklad 7 Použitím definície derivácie vypočítajte deriváciu funkie f v bode a / f f ( a) Opäť použijeme vzorec f ( a) lim a a a ( a)( + a+ a ) f ( a) lim lim lim( + a+ a ) a + a + a a a a a a a / 09
3 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Dotyčnica ku grafu funkcie Z definície derivácie funkcie f v bode a je zrejmé, že derivácia v bode a je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie f v bode a (pozri obr 7) Z tejto skutočnosti a zo smernicového tvaru rovnice priamky dostávame vzťah pre výpočet rovnice dotyčnice ku grafu funkcie f v bode a Rovnica je uvedená v nasledujúcej vete Veta 7: Nech funkcia f ( ) má deriváciu v bode a Potom dotyčnica t ku grafu funkcie Ta, f a má rovnicu [ ] f ( ) v bode y f ( a) f ( a)( -a) + Obr 7 Príklad 7 Nájdite rovnicu tej dotyčnice k parabole a) dotyčnicou paraboly v jej bode T [, ], b) rovnobežná s priamkou p: y+ 5 0, c) kolmá na priamku q: + y 0 a) Na obr 74 je znázornený graf funkcie f + červenou farbou a dotyčnica ku grafu v bode T [, ] modrou farbou Najskôr určíme deriváciu funkcie f / lim ( a) f + ( + ) ( a a+ ) f f a lim lim a a a a ( a ) ( a) ( a)( + a) ( a) lim a a a a ( a)( + a ) lim lim + a a a a a f +, ktorá je: Teraz určíme hodnotu derivácie v bode a / f () Obr 74 Hodnota derivácie je smernicou dotyčnice t Rovnica dotyčnice je zatiaľ y + c Hodnotu konštanty c určíme tak, že do rovnice y + c dosadíme súradnice bodu T [, ] Teda: + c c Rovnica dotyčnice je teda y + 0
4 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy b) Na obr 75 je znázornený graf funkcie f + červenou farbou, priamka p: y+ 5 0 fialovou farbou a dotyčnica ku grafu funkcie f rovnobežná s priamkou p modrou farbou Najskôr určíme smernicu priamky p p: y+ 5 0 y + 5 smernica priamky p je Teraz určíme bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu / f a a a f + f + f 5 Bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu, má súradnice [,5 ] Pretože smernica dotyčnice je, rovnica dotyčnice je zatiaľ y + c Hodnotu konštanty c určíme tak, že do rovnice y + c dosadíme súradnice bodu [,5 ] Teda: 5 + c c Obr 75 Rovnica dotyčnice je teda y c) Na obr 76 je znázornený graf funkcie f + červenou farbou, priamka q: + y 0 fialovou farbou a dotyčnica t ku grafu funkcie f kolmá na priamku q modrou farbou Najskôr určíme smernicu priamky q q: + y 0 y + smernica priamky q je k- Smernicu kolmej priamky t na priamku q vypočítame podľa vzorca Teda smernica dotyčnice t je k Teraz určíme bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu / f a a a f + f + f Bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu, má súradnice [, ] Pretože smernica dotyčnice je, rovnica dotyčnice je zatiaľ y + c Hodnotu konštanty c určíme tak, že do + dosadíme súradnice bodu [ ] rovnice y c Teda: + c c Rovnica dotyčnice je teda y +, Obr 76
5 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 74 Základné derivačné vzorce Pre derivovanie elementárnych funkcií platia nasledujúce vzťahy (vzorce), ktoré používame pri počítaní derivácií zložitejších funkcií Tieto vzorce sa dajú odvodiť z definície derivácie Pre praktické počítanie derivácií je ich potrebné vedieť naspamäť Veta 7: Ak f ( ) c (konštantná funkcia), tak pre každé R je f [ c] 0 Ak f n (n,, ), tak pre každé R je Ak f α α, α R, tak pre každé > 0 je 4 Ak f a ( a >0), tak pre každé R je Špeciálne, ak f ( ) e, tak f e e 5 Ak f ( ) sin, tak pre všetky R je f [ sin ] 6 Ak f ( ) cos, tak pre všetky 7 Ak f ( ) tg, tak pre tie f ( ) [ tg] cos 8 Ak f ( ) [ ] cotg sin 9 Ak R f cotg,tak pre tie n n- α f n f α f a a ln a cos R je f [ cos ] sin, pre ktoré cos 0, je R, pre ktoré sin 0, je f log z, z >0, z, tak pre všetky >0 je f ( ) [ log ] z ln z Špeciálne, ak f ( ) ln, tak pre všetky >0 je f ( ) [ ln ] 0 Ak f ( ) arcsin, tak pre všetky (, ) je f ( ) [ arcsin ] Ak f ( ) arccos, tak pre všetky f ( ) [ arccos ] Ak f ( ) arctg, tak pre všetky Ak f ( ) arccotg, tak pre všetky, je R je f ( ) [ ] arctg + R je f ( ) [ ] arccotg +
6 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy n Príklad 74 Ovoďte vzorec pre deriváciu funkcie f v bode a n n n n n ( a)( + a + a + + a + a ) n n / a f ( a) lim lim a a a a lim + a + a + + a + a a + aa + a a + + a a + a n a a n n n n n n n n n n n 75 Derivácia súčtu, rozdielu, súčinu a podielu, derivácia zloženej funkcie Nasledujúca veta nám opisuje, ako derivujeme funkcie, ktoré dostaneme z elementárnych funkcií pomocou operácií súčtu, rozdielu, súčinu a podielu Veta 7: Nech funkcie f a g majú derivácie na množine M Potom aj funkcie ( c je reálne číslo), f + g, f - g a f g majú na tejto množine derivácie a platí: cf cf, f + g f + g, f g f g, 4 f g f g + f g Ak navyše g 0 pre všetky M derivácie aj funkcie g f g 5 6 g g g, f f g f g g g, pričom platí:, tak na množine M majú Poznámka: Vlastnosti derivácií funkcií, ako mnemotechnickú pomôcku bez presných predpokladov, si možno zapamätať takto: [ cf ] cf g [f + g] f + g g g [f g] f g f fg gf [fg] f g+ fg g g c f Príklad 75 Vypočítajte deriváciu funkcie y
7 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy Príklad 76 Vypočítajte deriváciu funkcie Použijeme vzorec f fg gf g g y +, pričom f a g ( + ) ( + ) ( + ) [ ] Veta 74 (o derivácii zloženej funkcie): Nech h f g je zložená funkcia, definovaná v nejakom okolí bodu a Nech funkcia g má deriváciu v bode a a funkcia f má deriváciu v bode ga Potom aj funkcia h má deriváciu v bode a a platí h ( a) f [ g( a) ] g ( a) Príklad 77 Zderivujte funkciu y sin ( 5 6) + + ( sin( ) ) cos( ) ( ) cos( ) ( + 5) ( ln( ) ) ( ) Príklad 78 Zderivujte funkciu y ln ( 5 6) Príklad 79 Zderivujte funkciu y tg( 5 6) + + ( ) ( ) + 5 tg cos cos ( ) 4 Príklad 70 Zderivujte funkciu y ln e arctg ( e ) ( ln e arctg ( e )) ( ln e ) arctg ( e ) 4 e ( + e ) + ln arctg 4 ( + e ) + + e + ( + e )
8 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy Čiastkové výpočty: ( ln + e ) ( + e ) ( + e ) e + e + e 4 4 ( 4 ) 4 e e e e + e + e + e + e ( ) ( ) arctg + e arctg + e + arctg + e ln arctg( + e ) + + e + + ( e ) + ( + e ) ( + e ) ( e ) ln arctg + e + + e ln arctg( + e ) Príklad 7 Odvoďte vzorec pre deriváciu ( f ( )) g Pre zjednodušenie budeme miesto f ( ) písať iba f a miesto g( ) iba g g ln f g ln f g ln f ln f g f f e e e g ln f e g ln f + g ln f f g ln f + g f g g Príklad 7 Vypočítajte deriváciu funkcie ( 4 + 6) Použijeme vzorec z príkladu 7 Zrejme: f f cos sin g ( ) g 8 y sin ( sin ) ( sin) ( 8 ) ln( sin) ( 4 6) cos sin 76 Derivácie vyšších rádov Derivácie vyšších rádov (alebo krátko vyššie derivácie) definujeme rekurentne: Nech funkcia f má deriváciu v každom bode neprázdnej množiny M, tj v každom bode M eistuje f ( ), čo je opäť funkcia definovaná na množine M Preto má zmysel uvažovať a pýtať sa, či eistuje derivácia funkcie f na množine M Ak táto derivácia eistuje, tak ju nazývame druhou deriváciou funkcie f na množine M a označujeme ju f f Analogicky tretiu deriváciu (ak eistuje) definujeme ako deriváciu druhej derivácie, atď (Pôvodnú hodnotu funkcie zvykneme tiež nazývať nultou deriváciou ) 4 4 5
9 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy Obecne: Hovoríme, že funkcia f má n-tú deriváciu na množine M, ak na tejto množine eistuje derivácia ( n ) -ej derivácie funkcie f N-tú deriváciu funkcie f označujeme ( f n ) Teda f ( n) ( n ) f Príklad 7 Vypočítajte druhú deriváciu funkcie Najskôr určíme prvú deriváciu funkcie f y ln ln ln + ln ln + ln + Teraz vypočítame druhú deriváciu funkcie f tak, že opäť zderivujeme jej prvú deriváciu Teda: ln ln ln + ln + ln + ln + + ln + + ln + 77 Úlohy Vypočítajte derivácie funkcií f f ( f ± g) f ± g n n n 7 4 f f ( f ± g) f ± g n n n f ln ( + ) f ( + ) f g f g g ( ( )) ( ln ) 6
10 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 4 f ln ( + ) f ( + ) f g f g g ( ( )) ( ln ) f ln + f ( + ) f g f g g 5 ( ( )) 6 ln ( ln ) f f ln + ( ln ) ln + ln + ( f g) f g+ f g ( ln ) 7 f sin f ( ) sin+ ( sin ) sin+ cos ( f g) f g+ f g ( sin ) cos f + 8 f ( + ) ( + ) + alebo () f f f g f g g g 7
11 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy V ďalších príkladoch už pripomenieme iba novopoužité pravidlá + 7 f + 9 f ( ) ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) ln 7 + ( ln ( + 7) ) ( + ) ln ( + 7) ( + ) ( + 7 ) ( + ) ln( + 7) f ( ) f ( ) ln( 7) ( + ) f ln 6 7 ln 6 6 ln ( a ) a lna f log ( 7 5 ) f ( 7 5 ) ( 0) ( ) 7 5 ln 7 5 ln 7 5 ln ( log a ) ln a f ln + ln f ( ) ln + ( ln ) + ln + ( ln ) ln + + ln + ( ) ln+ + ln + ( ) ln+ + ln + 8
12 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy cos 4 sin 4 f f ( sin ) ( sin ) cos 4 sin cos 4 sin sin 4 4 sin cos 4 cos cos sin cos 5 f f 6 f ( ) ( ) cos cos sin cos sin cos f + ln ( ) ln( ) + ( + ) ( ) ln( ) + ( f g ) f g g ln f g f + f 7 cos f sin cos sin f sin cos lnsin+ cos sin cos cos cos cos ( sin ) ( sin ) ln sin + ( cos ) ( sin ) ( sin ) ln sin sin + sin 8 f ( ) f ( ) ln + ln + ln + 9
13 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 9 Vypočítajte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f 7 ;? + v bode [ ] dosadíme za číslo a vypočítame y: y f + 7 vypočítame k f : f + f + 7 z rovnice dotyčnice y k+ c vypočítame c: 7 + c c - dosadíme hodnoty k a c späť do rovnice dotyčnice y k+ c: y 7 0 Vypočítajte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode [ ] dosadíme za číslo a vypočítame y: y f () vypočítame k f (): f ( ) f () z rovnice dotyčnice y k+ c vypočítame c: ( ) + c c dosadíme hodnoty k a c späť do rovnice dotyčnice y k+ c y + ;? 0
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότερα9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,
Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα3 Kinematika hmotného bodu
29 3 Kinematika hmotného bodu Pohyb vo všeobecnosti zahŕňa všetky zmeny a procesy, ktoré prebiehajú vo vesmíre. Je neoddeliteľnou vlastnosťou hmoty. Časť fyziky, ktorá sa zaoberá popisom pohybu telies,
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραPríklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. V. Balek UČEBNICE. J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 1973.
Matematika V. Balek UČEBNICE J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 973. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
Διαβάστε περισσότερα