ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΣΤΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ/ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ. ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. Α.Μ.

Transcript

1 ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΣΤΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ/ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ. ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. ΧΟΝ ΡΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ Α.Μ Πανεπιστήµιο Πατρών, Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών, Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ηµεροµηνία παρουσίασης : 24 Οκτωβρίου 2011 Επιβλέπων καθηγητής : Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Α. Βενέτης Μέλη τριµελούς επιτροπής : Ιωάννης Α. Βενέτης, ηµήτριος Β. Τζελέπης, Νικόλαος Α. Γιαννακόπουλος

2 Copyright ΧΟΝ ΡΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, 2011 Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Η έγκριση της πτυχιακής εργασίας από το Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Πατρών δεν υποδηλώνει απαραιτήτως και αποδοχή τυχόν απόψεων του συγγραφέα εκ µέρους του Τµήµατος. ηλώνω υπεύθυνα ότι η διπλωµατική εργασία είναι εξ ολοκλήρου δικό µου έργο κατά το οποίο ακολούθησα την πρέπουσα ακαδηµαϊκή δεοντολογία αποφυγής λογοκλοπής (σωστή χρήση αναφορών κ.ο.κ.). ηλώνω υπεύθυνα ότι έχω αποφύγει οποιαδήποτε ενέργεια καθιστά παράπτωµα λογοκλοπής. Γνωρίζω τη σοβαρότητα του παραπτώµατος και ότι επισύρει ποινή ανακλήσεως του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος. Υπογραφή συγγραφέα 2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Κατ αρχάς, επιθυµώ να ευχαριστήσω τον καθηγητή µου κ. Ιωάννη Βενέτη που µου προσέφερε την απαραίτητη βοήθεια για την εκπόνηση της παρούσας διπλωµατικής εργασίας, καθώς και τους καθηγητές κ. ηµήτριο Τζελέπη και κ. Νικόλαο Γιαννακόπουλο για τον χρόνο που αφιέρωσαν για την αξιολόγησή της. Τέλος, χρωστάω ένα µεγάλο ευχαριστώ στην µητέρα µου Ολγα Γιαννακιτσίδου για τη στήριξη και την ιώβειο υποµονή της. Την αφιερώνω στους παππούδες µου, που έφυγαν αυτή την χρονιά. 3

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωµατική ασχολείται µε το ζήτηµα των διαρθρωτικών µεταβολών στη µη δεσµευµένη διακύµανση χρηµατιστηριακών στοιχείων. Παρουσιάζονται διάφοροι έλεγχοι που χρησιµοποιούνται στην εµπειρική έρευνα, µαζί µε µια σύντοµη παρουσίαση των επιπτώσεων από την αγνόηση της ύπαρξης τέτοιων µεταβολών. Η διπλωµατική ολοκληρώνεται µε µια εµπειρική εφαρµογή, στις µετοχές που συνθέτουν τον δείκτη FTSE20 του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών. Συγκεκριµένα, ο έλεγχος Kokoszka-Leipus εφαρµόζεται στο τετράγωνο των λογαριθµικών αποδόσεων µε τη χρήση µιας διαδοχικής διαδικασίας τµηµατοποίησης, προκειµένου να διερευνηθεί η ύπαρξη σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής που συνδέονται µε την τρέχουσα οικονοµικήχρηµατοπιστωτική κρίση. Λέξεις κλειδιά: ιαρθρωτική µεταβολή, Μη δεσµευµένη διακύµανση, GARCH, GJR, Kokoszka-Leipus test, ATHEX, FTSE20. 4

5 ABSTRACT The present dissertation deals with the subject of structural breaks in the unconditional variance of stock market data. It contains a presentation of various tests that are used in empirical research for detecting structural change, as well as a brief presentation of the consequences when such changes are ignored. The dissertation is concluded with an empirical application on the individual stocks that compose the FTSE20 Index of the Athens Stock Exchange. More specifically, the Kokoszka-Leipus test is being applied to the squared log returns using a sequential segmentation procedure, in order to detect structural breakpoints which are related to the recent economic/financial crisis. Keywords: Structural change, Unconditional variance, GARCH, GJR, Kokoszka-Leipus test, ATHEX, FTSE20. 5

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1: Εισαγωγή... σ.12 2: ιαρθρωτικές µεταβολές στη διακύµανση... σ.14 3: Επιπτώσεις από την αγνόηση της διαρθρωτικής µεταβολής... σ : ιαρθρωτικές µεταβολές και πλασµατική µνήµη... σ : ιαρθρωτικες µεταβολές και ισχυρή µνήµη... σ : ιαρθρωτικές µεταβολές και πρόβλεψη... σ.20 4: Μέθοδοι ελέγχου για την ύπαρξη διαρθρωτικής µεταβολής... σ : ιαδικασίες ελέγχου ενός σηµείου µεταβολής... σ : Ο έλεγχος των Kokoszka - Leipus (KL)... σ : Έλεγχος τύπου πολλαπλασιαστή Langrange.... σ : Έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας (Likelihood Ratio test)... σ : ιαδικασίες ελέγχου για πολλαπλές διαρθρωτικές µεταβολές.... σ : ιαδοχική διαδικασία εντοπισµού των σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής... σ : Ο έλεγχος των Lavielle και Moulines... σ.32 5: Ανασκόπηση βιβλιογραφίας... σ : Andreou - Ghysels (2002): Detecting multiple breaks in financial market volatility dynamics... σ : Κατασκευή και αποτελέσµατα των πειραµάτων τύπου Monte Carlo... σ : Έλεγχος για διαρθρωτική µεταβολή µε χρήση εναλλακτικών εκτιµητών της µεταβλητότητας.... σ : Chatzikonstanti V.I., Venetis, I.A. (2011), Testing for variance structural breaks in financial time series. An application to ATHEX indices... σ : Εµπειρικά αποτελέσµατα... σ : Smith, D., 2008, Testing for structural breaks in GARCH models... σ : ιαγνωστικοί έλεγχοι και διαρθρωτική µεταβολή... σ : Αποτελέσµατα κλασικών ελέγχων για διαρθρωτική µεταβολή... σ : Cunado, J., Gomez Biscarri, J., Perez de Gracia F.P., (2004), Structural changes in volatility and stock market development: Evidence for Spain,... σ.48 6

7 5.4.1: Όγκος συναλλαγών και µεταβλητότητα... σ : Galeano, Tsay (2010) Shifts in individual parameters of a GARCH model... σ : ιαδικασία τµηµατοποίησης για την εύρεση πολλαπλών µεταβολών στις παραµέτρους... σ : Αποτελέσµατα Monte Carlo πειραµάτων... σ.56 6: Εµπειρική Εφαρµογή... σ : εδοµένα... σ : Γενικά Στατιστικά στοιχεία... σ : Εµπειρικά αποτελέσµατα... σ : Το υπόδειγµα Threshold GARCH(1,1)... σ : Έλεγχος για διαρθρωτική µεταβολή... σ.64 7: Συµπεράσµατα... σ.69 Βιβλιογραφία... σ.71 Παράρτηµα... σ.74 7

8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1: Περίοδος δείγµατος και αριθµός παρατηρήσεων ανά µετοχή (ηµερήσια δεδοµένα)... σ.80 Πίνακας 2: Περιγραφικά στατιστικά στοιχεία για κάθε µετοχή του δείκτη FTSE20... σ.81 Πίνακας 3:Αποτελέσµατα των εκτιµήσεων µέγιστης πιθανοφάνειας (QML) για τα υποδείγµατα T-GARCH(1,1)... σ.82 Πίνακας 4: Εντοπισµένα σηµεία µεταβολής και τιµές του ελέγχου KL για τις αποδόσεις των µετοχών (mm/dd/yyyy)... σ.84 Πίνακας 5: Αποτελέσµατα εκτιµήσεων µέγιστης πιθανοφάνειας (QML) για τα υποδείγµατα GARCH(1,1) για όλα τα υποσύνολα που εντοπίστηκαν βάσει των σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής... σ.86 8

9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Γράφηµα 1: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές ACB.... σ.75 Γράφηµα 2: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές HLB.... σ.75 Γράφηµα 3: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές EFG.... σ.75 Γράφηµα 4: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές INL.... σ.75. Γράφηµα 5: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές MRF.... σ.76 Γράφηµα 6: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές AGB.... σ.76 Γράφηµα 7: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές VIO.... σ.76 Γράφηµα 8: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές MRB.... σ.76 Γράφηµα 9: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές DEH.... σ.77 Γράφηµα 10: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές NBG.... σ.77 Γράφηµα 11: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές HEL.... σ.77 Γράφηµα 12: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές HEP.... σ.77 Γράφηµα 13: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές BOC.... σ.78 Γράφηµα 14: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές MOR.... σ.78 Γράφηµα 15: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές MYT.... σ.78 Γράφηµα 16: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές OPA.... σ.78 Γράφηµα 17: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές OTE.... σ.79 Γράφηµα 18: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές BOP.... σ.79 Γράφηµα 19: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές GPS.... σ.79 Γράφηµα 20: % Λογαριθµικές αποδόσεις για τις µετοχές TTN.... σ.79 9

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΝΤΜΗΣΕΩΝ VAR: Value at Risk (Αξία σε κίνδυνο) ES: Expected Shortfall (Αναµενόµενο κατώφλι) ΗΠΑ: Ηνωµένες Πολιτείες Αµερικής GARCH: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity IGARCH: Integrated GARCH DGP: Data Generated Process CUSUM: Cumulative Sums KL: Kokoszka-Leipus ARCH: Autoregressive Conditional Heteteroskedasticity (Αυτοπαλίνδροµα εσµευµένης Ετεροσκεδαστικότητας) L&M: Lavielle & Moulines HAC: Heteroskedasticity Autocorrelation Consistent (ετεροσκεδαστικότητα και αυτοσυσχέτιση) GMM: Generalized Method of Moments QML: Quasi Maximum Likelihood GLR: Generalized Likelihood Ratio (Γενικευµένος λόγος πιθανοφάνειας) MLE: Maximum Likelihood Estimates LR: Likelihood Ratio ML: Maximum Likelihood VARHAC: Vector Autoregression Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent IT: Inclan-Tiao BIC: Bayesian Information Criterion QVI: 1-day Quadratic variation 10

11 HQV: Historical quadratic variation AR(1): Autoregressive process of order (1) ARMA: Autoregressive moving average T-GARCH: Threshold GARCH S&P: Standards & Poor s Index DOF: Degrees of freedom T-dist: T distribution 11

12 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ορθή εξειδίκευση της διακύµανσης χρηµατοοικονοµικών στοιχείων, όπως η απόδοση των µετοχών, αποτελεί ένα από τα θέµατα που έχουν απασχολήσει µεγάλο όγκο της βιβλιογραφίας στην εφαρµοσµένη οικονοµετρία. Εύλογα, αν αναλογιστεί κανείς αφενός µεν πως η µεταβλητότητα αποτελεί για την αγορά µέτρο κινδύνου, αφετέρου δε την θέση και το µέγεθος της χρηµατιστηριακής αγοράς στην σύγχρονη οικονοµία. Τα πιο ευρέως χρησιµοποιούµενα υποδείγµατα για την εξειδίκευση της διαδικασίας της (δεσµευµένης) διακύµανσης είναι τα υποδείγµατα τύπου GARCH. Το αρχικό υπόδειγµα προτάθηκε από τον Bollerslev (1986) και σύντοµα η χρήση του γενικεύτηκε λόγω της δυνατότητας του να συλλάβει δύο βασικά χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν τα χρηµατοοικονοµικά δεδοµένα: το φαινόµενο της δεσµευµένης ετεροσκεδατικότητας και την τάση των αποδόσεων να οµαδοποιούνται (volatility clustering), ήτοι αρνητικές/θετικές µεταβολές των αποδόσεων τείνουν να ακολουθούνται από αποδόσεις του ίδιου προσήµου. Η γενίκευση της χρήσης αυτού του υποδείγµατος, οδήγησε σε διάφορες παραλλαγές που κατασκευάστηκαν µε στόχο να εξειδικεύσουν καλύτερα κάποια εµπειρικά χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών στοιχείων που δεν µπορούσε να καλύψει ικανοποιητικά το αρχικό υπόδειγµα. Ενδεικτικά αναφέρεται το υπόδειγµα ΙGARCH που προτάθηκε από τους Engle και Bollerslev (1986) για να περιγράψει το χαρακτηριστικό της υπερβάλλουσας κύρτωσης και της εµµονής της µεταβλητότητας και το υπόδειγµα GJR των Glosten, Jagannathan και Runkle (1993) που επιτρέπει την ύπαρξη ασυµµετρίας στην σχέση µεταξύ της µεταβλητότητας από τη µία πλευρά και των αρνητικών ή θετικών ειδήσεων (σοκ) από την άλλη. Παράλληλα, ένα άλλο µεγάλο µέρος της έρευνας, στράφηκε στην κατασκευή ελέγχων για διαρθρωτική µεταβολή σε διαδικασίες τύπου GARCH. Ενδεικτικά αναφέρονται ο έλεγχος τύπου σωρευτικών αθροισµάτων (CUSUM) των Kokoszka και Leipus (1999, 2000), οι έλεγχοι τύπου LM των Andrews (1993), Andrews και Ploberger (1994), ο 12

13 έλεγχος των Lavielle και Moulines (2002) και ο τύπου LR έλεγχος των Kokoszka και Teyssiere (2002) Η εφαρµογή των ελέγχων αυτών στην εµπειρική έρευνα επιβεβαίωσε πως πράγµατι, η διακύµανση των χρηµατοοικονοµικών στοιχείων χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη διαρθρωτικών αλλαγών και ταυτόχρονα άνοιξε νέα ζητήµατα έρευνας, όπως για παράδειγµα η εξέταση των επιπτώσεων από την αγνόηση τους ή η διερεύνηση νέων µεθόδων υποδειγµατοποίησης (για παράδειγµα η ανάπτυξη των Markov-Switching υποδειγµάτων για διαδικασίες GARCH). Στην συνέχεια, η παρούσα εργασία, θα καλύψει τα θέµατα αυτά σε µεγαλύτερη έκταση. Συγκεκριµένα: στο κεφάλαιο 2) επιχειρείται µια σύντοµη παρουσίαση των παραγόντων που επηρεάζουν τη µεταβλητότητα και µπορεί να προκαλέσουν διαρθρωτικές µεταβολές στη διακύµανση, στο κεφάλαιο 3) παρουσιάζονται τα βασικά ερευνητικά συµπεράσµατα που σχετίζονται µε το ζήτηµα της αγνόησης των διαρθρωτικών µεταβολών, στο κεφάλαιο 4) δίνεται µια σύντοµη περιγραφή των ελέγχων που προαναφέρθηκαν ενώ το κεφάλαιο 5) περιλαµβάνει µια σύντοµη βιβλιογραφική ανασκόπηση σχετικά µε την αποτίµηση των ιδιοτήτων των προαναφερόµενων ελέγχων ενώ παρουσιάζονται και κάποια αποτελέσµατα από την χρήση τους στην εµπειρική έρευνα. Ακολουθεί στο κεφάλαιο 6) η εφαρµογή του ελέγχου Kokoszka - Leipus στις µετοχές του δείκτη FTSE 20 του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών µε στόχο των εντοπισµό σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής που συνδέονται µε την παγκόσµια οικονοµική κρίση του 2008 και το κεφάλαιο 7) καταλήγει. 13

14 2: ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΣΤΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Ένα µεγάλο µέρος της βιβλιογραφίας, έχει αφιερωθεί στη διερεύνηση των παραγόντων που επηρεάζουν την µεταβλητότητα των χρηµατιστηριακών αποδόσεων. Ένας από τους πρώτους ερευνητές που προσπάθησαν να δώσουν απάντηση στο ερώτηµα αυτό ήταν ο Schwert (1989). Συγκεκριµένα, προσπάθησε να συνδέσει τις αλλαγές στην µεταβλητότητα των χρηµατιστηριακών αποδόσεων µε αντίστοιχες µεταβολές σε άλλες µακροοικονοµικές και χρηµατοοικονοµικές µεταβλητές, όπως για παράδειγµα η µεταβλητότητα του πληθωρισµού ή της βιοµηχανικής παραγωγής, χωρίς όµως να καταφέρει να εξάγει αδιαµφισβήτητα και ξεκάθαρα αποτελέσµατα. Οι Beltratti και Morana (2006), προσπαθώντας να δώσουν πιο ξεκάθαρες απαντήσεις στο παραπάνω ερώτηµα, βρίσκουν πως η µεταβλητότητα καθώς και η ύπαρξη διαρθρωτικών µεταβολών στη διακύµανση των χρηµατιστηριακών στοιχείων επηρεάζονται άµεσα από µεταβολές στη νοµισµατική πολιτική που επηρεάζουν την µεταβλητότητα των επιτοκίων και της προσφοράς χρήµατος. Επιπλέον, άλλοι ερευνητές ερεύνησαν τη σχέση µεταξύ της µεταβλητότητας των µετοχών και του όγκου συναλλαγών. Στα πλαίσια αυτής της προσέγγισης οι Cunado και συν. (2004) βρίσκουν πως ο ρυθµός µεταβολής του όγκου συναλλαγών συνδέεται θετικά µε την µεταβλητότητα των αποδόσεων των ισπανικών µετοχών. Από την άλλη πλευρά, οι Campbell, Lettau, Malkiel και Xu (2001), µελετώντας τις αποδόσεις µεµονωµένων µετοχών, καταγράφουν µια αυξητική τάση της ιδιοσυγκρασιακής (idiosyncratic or firm-level) µεταβλητότητας. Η εµφάνιση διαρθρωτικών µεταβολών στο «τµήµα» αυτό της µεταβλητότητας σχετίζεται µε αλλαγές στο ρίσκο που φέρει η συγκεκριµένη επιχείρηση και συνεπώς, µε τις εκτιµήσεις για την µελλοντική απόδοση της. Πάντως, από όλους τους ερευνητές είναι αποδεκτό πως η αύξηση της µεταβλητότητας συνδέεται µε γεγονότα που κλονίζουν την εµπιστοσύνη της αγοράς σε σχέση µε τις 14

15 µελλοντικές προοπτικές της οικονοµίας, όπως για παράδειγµα µε την αρχή ενός πολέµου ή το ξέσπασµα κάποιας παγκόσµιας ή εθνικής κρίσης (βλ. και βιβλιογραφική ανασκόπηση). Πρέπει να σηµειωθεί όµως, πως η µελέτη των διαρθρωτικών µεταβολών δεν βασίζεται µόνο σε θεωρητικό ενδιαφέρον. Ειδικότερα σε σχέση µε τα χρηµατοοικονοµικά δεδοµένα, η αναγνώριση και ο εντοπισµός τους έχουν εξέχουσα σηµασία για µία σειρά εφαρµογές, όπως στη στρατηγική κατανοµής χαρτοφυλακίου (asset allocation), την διαχείριση κινδύνου (risk management) και την αποτίµηση αξιογράφων και παραγώγων (asset and derivative pricing). Για παράδειγµα, οι Timmerman και Pettenuzzo (2005), µελετώντας στοιχεία από το χρηµατιστήριο των ΗΠΑ, βρίσκουν πως η ύπαρξη αστάθειας εξαιτίας διαρθρωτικών µεταβολών στα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται για την πρόβλεψη των µελλοντικών αποδόσεων των µετοχών έχει σηµαντικό αντίκτυπο στην κατανοµή χαρτοφυλακίου και µάλιστα, µεγαλύτερο από ότι άλλες πηγές κινδύνου, όπως για παράδειγµα ο κίνδυνος που απορρέει από την αβεβαιότητα σχετικά µε της παραµέτρους του υποδείγµατος. Όπως αναφέρουν η πιθανότητα να υπάρξει µια µελλοντική διαρθρωτική µεταβολή επηρεάζει κυρίως τις µακροπρόθεσµες επενδύσεις, ενώ οι παρελθόντες διαρθρωτικές µεταβολές µπορούν να επηρεάσουν σηµαντικά τις επενδυτικές αποφάσεις ακόµα και βραχυπρόθεσµα και µπορούν να οδηγήσουν σε µία απότοµη αρνητική κλίση στην σχέση µεταξύ του επενδυτικού ορίζοντα και του ποσοστού του πλούτου που ένας «buy-andhold» επενδυτής κατανέµει σε µετοχές. Από την άλλη πλευρά οι Andreou και Ghysels (2003) ασχολήθηκαν µε το πρόβληµα της διαχείρισης κινδύνου. Όπως αναφέρουν, αν και η εµφάνιση διαρθρωτικών µεταβολών δεν είναι συχνή, η παράβλεψη της αστάθειας των παραµέτρων οδηγεί σε µεροληπτικά συµπεράσµατα και πιθανότατα σε λανθασµένες επενδυτικές αποφάσεις. Ως λύση προτείνουν την εισαγωγή «ποιοτικών ελέγχων» στη δεσµευµένη κατανοµή (quality 15

16 controls) ώστε να διασφαλίζεται η απουσία διαρθρωτικών µεταβολών στο δείγµα που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό µέτρων κινδύνου όπως το Value at Risk (VaR) και το Expected Shortfall (ES). 16

17 3: ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΓΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3.1: ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΠΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΕΜΜΟΝΗ Ένα σηµαντικό οικονοµικό ζήτηµα είναι η ανάλυση της εµµονής που χαρακτηρίζει την δεσµευµένη διακύµανση χρηµατοικονοµικών στοιχείων, όπου µε τον όρο εµµονή εννοείται η ιδιότητα της ορµής (momentum): η παρελθούσα µεταβλητότητα εξηγεί την παρούσα και σχετίζεται µε το πόσο µόνιµη είναι η επίδραση των σοκ στην διακύµανση. Τα υποδείγµατα τύπου GARCH εισάχθηκαν από τους Engle (1982) και Bollerslev (1986) για να περιγράψουν αυτή την ιδιότητα της ορµής καθώς σύµφωνα µε αυτό το υπόδειγµα τα σοκ στην διακύµανση εξακολουθούν να υφίστανται για µια περίοδο, βάσει µιας αυτοπαλίνδροµης διαδικασίας κινητού µέσου για το τετράγωνο των καταλοίπων. Επιπλέον, το υπόδειγµα IGARCH εισάχθηκε από τους Engle και Bollerslev (1986) για να εξηγήσει την ύπαρξη υψηλής εµµονής (κοντά στην µονάδα), όπως υποδεικνυόταν από τα εµπειρικά δεδοµένα για πολλές µακροοικονοµκές και χρηµατοοικονοµικές χρονοσειρές, σύµφωνα µε τα οποία τα σοκ στην διακύµανση δεν έφθιναν µε τον χρόνο. Για να γίνει η ανάλυση πιο κατανοητή δίνεται ο τύπος υπολογισµού της δεσµευµένης διακύµανσης µε βάση το υπόδειγµα GARCH: (3.1). Ορίζοντας το άθροισµα των αυτοπαλίνδροµων παραµέτρων ως λ=α+β η µη δεσµευµένη διακύµανση δίνεται ως: 1 όπου το λ είναι η εµµονή. Όσο το άθροισµα πλησιάζει την µονάδα η επίδραση των προηγούµενων σοκ στην τρέχουσα διακύµανση ενισχύεται. Για λ=1 τα σοκ δεν φθίνουν µε τον χρόνο και η µη δεσµευµένη διακύµανση δεν ορίζεται. Πλήθος όµως µεταγενέστερων εργασιών, που ασχολήθηκαν µε τη διερεύνηση της ακρίβειας της υπόθεσης περί µη στασιµότητας, έδείξαν πως η αγνόηση των 17

18 διαρθρωτικών µεταβολών στη διακύµανση σε ένα εκτιµηµένο (fitted GARCH) υπόδειγµα οδηγεί σε σηµαντική υπερεκτίµηση των εκτιµηµένων αυτοπαλίνδροµων παραµέτρων (κυρίως του β). Έτσι, οι αυτοπαλίνδροµες παράµετροι συγκλίνουν ως άθροισµα στη µονάδα, υποδεικνύοντας υψηλή εµµονή στη µεταβλητότητα, η οποία όµως είναι πλασµατική (spurious volatility persistence). ηλαδή, ενώ η µέση εµµονή µεταξύ των υποσυνόλων του δείγµατος, όπου οι παράµετροι παραµένουν σταθερές, είναι πιο χαµηλή, το υπόδειγµα φαίνεται να συµπεριφέρεται ως IGARCH. Μία από αυτές τις εργασίες είναι των Lamoureaux και Lastrapes (1990), οι οποίοι προσοµοιάζοντας µεταβολές στον σταθερό όρο της εξίσωσης (3.1) βρίσκουν, πως όταν αυτές ληφθούν υπόψη, το άθροισµα των αυτοπαλίνδροµων παραµέτρων λ µειώνεται σηµαντικά όπως και ο χρόνος ηµιζωής των σοκ στην διακύµανση. Η εξήγηση που δίνουν για αυτό το φαινόµενο είναι πως όταν για παράδειγµα η µη δεσµευµένη διακύµανση αυξηθεί λόγω αύξησης της σταθεράς ω, τότε η διακύµανση δείχνει να έχει «ορµή», καθώς σοκ χαµηλής έντασης οµαδοποιούνται πριν την µεταβολή και σοκ υψηλής έντασης οµαδοποιούνται µετά. Ως αποτέλεσµα το υπόδειγµα που δεν λαµβάνει υπόψη την διαρθρωτική µεταβολή θα δείξει υψηλή εµµονή. Σύµφωνα µε τον Hillerbrand (2005) το πρόβληµα της πλασµατικής εµµονής προκύπτει από την γεωµετρία του προβλήµατος εκτίµησης. ιαφορετικά καθεστώτα παραµέτρων συνεπάγονται πως οι µεσαίες τιµές της µεταβλητότητας διαφέρουν. Στον χώρο όµως που επεκτείνεται η χρονοσειρά της µεταβλητότητας και οι υστερήσεις της, οι διαφορετικοί µέσοι βρίσκονται ευθυγραµµισµένοι κατά µήκος της ταυτότητας. Το αποτέλεσµα είναι πως αν το υπόδειγµα εκτιµηθεί µε βάση το σύνολο των δεδοµένων, αγνοώντας την ύπαρξη διαρθρωτικής µεταβολής, οι εκτιµηθείσες αυτοπαλίνδροµες παράµετροι παίρνουν την κλίση της ταυτότητας. Έτσι καταλήγει, πως το άθροισµα των αυτοπαλίνδροµων παραµέτρων πλησιάζει την µονάδα όσο αυξάνεται το δείγµα και το µέγεθος της µεταβολής των παραµέτρων. Μάλιστα µέσα από µια εµπειρική εφαρµογή αποδεικνύει πως η ταχύτητα σύγκλισης προς τη µονάδα είναι µεγαλύτερη για µεταβολές 18

19 που αφορούν την παράµετρο της σταθεράς και την δεύτερη αυτοπαλίνδροµη παράµετρο β, από ότι µεταβολές που επηρεάζουν την παράµετρο α. 3.2: ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΙΣΧΥΡΗ ΜΝΗΜΗ Ένα άλλο χαρακτηριστικό των αποδόσεων χρηµατιστηριακών στοιχείων είναι η ύπαρξη χαρακτηριστικών ισχυρής µνήµης (long memory) στη µεταβλητότητα των αποδόσεων. Με άλλα λόγια η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δεν µηδενίζεται σε κανένα σηµείο. Αντίθετα έχει θετικές τιµές, φθίνοντας σχετικά γρήγορα για αρχικές υστερήσεις και στη συνέχεια σταθεροποιείται γύρω από µια θετική τιµή. Ταυτόχρονα τα περιοδογράµµατα για την απόλυτη τιµή και το τετράγωνο του λογαρίθµου των αποδόσεων εκρήγνυνται σε συχνότητες κοντά στο µηδέν. ιάφορες εργασίες (Lobato-Savin (1998), Mikosch-Stãricã (2004), Granger-Hyung (2004)) έγειραν το ερώτηµα εάν αυτή η συµπεριφορά είναι πραγµατική ή πλασµατική. Όπως υποστηρίχθηκε, η συµπεριφορά αυτή ενδέχεται να προκαλείται είτε από την αγνόηση της µη στασιµότητας στον µη δεσµευµένο µέσο ή τη διακύµανση, καθώς τα στατιστικά εργαλεία που χρησιµοποιούνται για τον εντοπισµό της ισχυρής µνήµης είναι ευάλωτα στην παρουσία διαρθρωτικών µεταβολών, είτε λόγω χρήσης αθροισµένων δεδοµένων (aggregated data). Μένοντας στην περίπτωση των διαρθρωτικών µεταβολών που µελετώνται στην παρούσα εργασία, οι Mikosch και Stãricã (2004) αποδεικνύουν, τόσο θεωρητικά όσο και µέσω της χρήσης πειραµάτων προσοµοίωσης, πως όταν η µη δεσµευµένη διακύµανση υπόκειται σε διαρθρωτική µεταβολή οι εκτιµητές για την ισχυρή µνήµη µπορούν να δώσουν λανθασµένες ενδείξεις ύπαρξής της και µάλιστα τόσο πιο ισχυρό είναι το αποτέλεσµα ισχυρής µνήµης (long memory effect) όσο µεγαλύτερο είναι το µέγεθος της διαρθρωτικής µεταβολής. Στο ίδιο συµπέρασµα, καταλήγει και η εργασία των Granger και Hyung (2004) που προσοµοιάζουν περιστασιακές διαρθρωτικές µεταβολές στο µέσο των αποδόσεων. Στην τελευταία αυτή εργασία τονίζεται και µια 19

20 άλλη διάσταση: η περίπτωση να εντοπιστούν πλασµατικά σηµεία διαρθρωτικής µεταβολής, συνήθως στο µέσον του δείγµατος, όταν η διαδικασία δηµιουργίας των δεδοµένων (Data Generating Process) είναι ολοκληρωµένη (integrated) ή κλασµατικά ολοκληρωµένη (fractionally integrated) χρονοσειρά χωρίς διαρθρωτική µεταβολή. Σηµειώνεται πάντως πως τα εµπειρικά αποτελέσµατα από την χρήση πραγµατικών δεδοµένων δεν απορρίπτουν την ύπαρξη ισχυρής µνήµης, αλλά υποδεικνύουν πως τα δύο αυτά χαρακτηριστικά (διαρθρωτική µεταβολή και ισχυρή µνήµη) συνυπάρχουν. Για παράδειγµα οι Lobato και Savin (1998) βρίσκουν στοιχεία υπέρ της ύπαρξης ισχυρής µνήµης ακόµα και όταν αναγνωρίζουν την ύπαρξη διαρθρωτικής µεταβολής (βλ. επίσης Beltratti-Morana (2006), Hassler-Olivares (2008)). 3.3: ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ Ιδιαίτερη σηµασία έχει δοθεί επίσης από πολλούς ερευνητές στις επιπτώσεις των διαρθρωτικών µεταβολών στην προβλεπτική ικανότητα των υποδειγµάτων καθώς σύµφωνα µε τις εµπειρικές ενδείξεις τα περισσότερα οικονοµετρικά υποδείγµατα αποδίδουν φτωχά γύρω από τα σηµεία καµπής που σχετίζονται µε τον οικονοµικό κύκλο. Οι Pesaran και Timmermann (2004) αποδεικνύουν πως το κόστος από την αγνόηση τέτοιων µεταβολών µπορεί να είναι ιδιαίτερα µεγάλο, καθώς έχουν σηµαντικές επιπτώσεις στην συσχέτιση ανάµεσα στην προβλεπόµενη τιµή και την πραγµατοποίηση της, αλλά και στην ικανότητα να προβλεφθεί το πρόσηµο και η κατεύθυνση µιας χρονοσειράς που υπόκειται σε διαρθρωτικές µεταβολές. Ειδικότερα, πραγµατοποιούν προσοµοιώσεις τύπου Monte Carlo για να συγκρίνουν την απόδοση τριών διαφορετικών προβλεπτικών µεθόδων, υπό την εµφάνιση διαρθρωτικής µεταβολής στο µέσο ή την διακύµανση: α) του κυλιόµενου και β) του επεκτεινόµενου 20

21 παραθύρου εκτίµησης (expanding or rolling estimation windows) οι οποίες συνδυάζουν δεδοµένα πριν και µετά την διαρθρωτική µεταβολή, γ) της εκτίµησης που βασίζεται µόνο σε τιµές που βρίσκονται µετά το σηµείο µεταβολής. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα, η συσχέτιση ανάµεσα στην τιµή της πρόβλεψης και την πραγµατοποίησή της εξαρτάται από δύο παράγοντες: το µέγεθος της µεταβολής που υφίστανται οι παράµετροι και το σχετικό µέγεθος του παραθύρου πριν και µετά την διαρθρωτική µεταβολή. Όσο µεγαλύτερα είναι αυτά τα δύο µεγέθη τόσο πιο ασθενής γίνεται η συσχέτιση µε συνέπεια τα αποτελέσµατα που δίνουν οι δύο πρώτες προσεγγίσεις να είναι µεροληπτικά και ασυνεπή, αλλά και µικρότερο το κριτήριο ελέγχου πρόσηµου (sign test statistic). Ειδικότερα, όσον αφορά τον έλεγχο του προσήµου, που χρίζει ιδιαίτερου ενδιαφέροντος καθώς υποδεικνύει την «κατεύθυνση» της αγοράς και έχει πλούσιες εφαρµογές στα χρηµατοοικονοµικά, σηµειώνεται πως µε την αύξηση του µεγέθους της µεταβολής, ο λόγος της πιθανότητας να προβλεφθεί σωστά το πρόσηµο µιας θετικής απόδοσης ως προς την πιθανότητα να προβλεφθεί λανθασµένα το πρόσηµο µιας αρνητικής απόδοσης (Hit minus false alarm rate) µειώνεται για τις µη δεσµευµένες προσεγγίσεις, οι οποίες µάλιστα για µεγέθη µεταβολής µεγαλύτερα της µονάδας δίνουν αρνητικές τιµές για το κριτήριο ελέγχου. Αντίθετα, όταν ακολουθείται µια δεσµευµένη προσέγγιση που καθορίζει το µέγεθος του παραθύρου µε βάση το εκτιµηµένο σηµείο, όπου βρίσκεται το πιο πρόσφατο σηµείο διαθρωτικής µεταβολής, αναµένονται καλύτερα αποτελέσµατα. Ως µόνη εξαίρεση, αναφέρουν την περίπτωση όπου η διαρθρωτική µεταβολή συνεπάγεται αύξηση της διακύµανσης. Υπό αυτές τις συνθήκες, ενδέχεται να προτιµάται κάποια µεροληψία στους εκτιµητές των παραµέτρων χάριν µικρότερης αβεβαιότητας, και έτσι δίνεται προτεραιότητα στις µεθόδους κυλιόµενου και επεκτεινόµενου παραθύρου. 21

22 4: ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η ανάπτυξη κατάλληλων ελέγχων για την διερεύνηση της ύπαρξης ή µη διαρθρωτικής µεταβολής σε οικονοµικές και χρηµατοοικονοµικές χρονοσειρές έχει απασχολήσει µεγάλο µέρος της οικονοµικής έρευνας τα τελευταία χρόνια. Ο πρώτος έλεγχος αυτού του είδους αναπτύχθηκε από τον Chow (1960). Η εφαρµογή του όµως, απαιτεί την γνώση του πιθανού σηµείου µεταβολής, συνθήκη µη ρεαλιστική στην εµπειρική έρευνα. Η αδυναµία αυτή αντιµετωπίστηκε µε την ανάπτυξη νεότερων ελέγχων οι οποίοι έχουν δυνατότητα όχι µόνο να εξετάσουν την υπόθεση για ύπαρξη διαρθρωτικής µεταβολής, αλλά και να εκτιµήσουν τον αριθµό και το χρονικό σηµείο εµφάνισης των µεταβολών. Οι έλεγχοι αυτοί µπορούν να κατηγοριοποιηθούν είτε αναφορικά µε την δυνατότητά τους να ελέγχουν για ένα ή περισσότερα σηµεία διαρθρωτικής µεταβολής, είτε αναφορικά µε τον χρόνο απόκτησης του δείγµατος. Στην τελευταία περίπτωση οι έλεγχοι διακρίνονται σε ιστορικούς (αναδροµικούς ή a posteriori) ελέγχους και σε on line ελέγχους. Η εφαρµογή των ιστορικών ελέγχων λαµβάνει χώρα όταν έχει ολοκληρωθεί η διαδικασία συλλογής του δείγµατος, ενώ αντίθετα στους on line έλεγχους πραγµατοποιείται ταυτόχρονα µε την συλλογή των δεδοµένων και για αυτό βρίσκουν ευρεία εφαρµογή σε εφαρµογές πρόβλεψης. 4.1: ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 4.1.1: Ο έλεγχος των Kokoszka - Leipus (KL) Ο συγκεκριµένος έλεγχος ανήκει στην οικογένεια των ιστορικών ελέγχων τύπου σωρευτικών αθροισµάτων (CUSUM), που αναπτύχθηκαν για τον εντοπισµό σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής στον µέσο και την διακύµανση ανεξάρτητων διαδικασιών. Αποτελεί όµως προσαρµογή, που εισήχθηκε από τους Kokoszka και Leipus (1999, 22

23 2000), ώστε να γίνει δυνατή η εφαρµογή του και για την εξέταση της οµογένειας της µη δεσµευµένης διακύµανσης σε ισχυρά µικτές (strongly mixing) διαδικασίες όπως τα υποδείγµατα ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity models ή Αυτοπαλίνδροµα µοντέλα εσµευµένης Ετεροσκεδαστικότητας). Έστω λοιπόν ότι εξετάζεται η ύπαρξη ή µη διαρθρωτικής µεταβολής στην µη δεσµευµένη διακύµανση για ένα υπόδειγµα ARCH( ) που δίνεται ως: (4.1) σ α b r Αυτό απαιτεί τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης περί σταθερότητας της διακύµανσης έναντι της εναλλακτικής, ότι δηλαδή σε κάποιο άγνωστο σηµείο k * η µη δεσµευµένη διακύµανση µεταβάλλεται. Συµβολίζοντας τις υποθέσεις αυτές ως H και H αντίστοιχα, ισχύει: (4.2) H : σ σ, για t=1,, T και (4.3) H : σ σ, εάν t 1,, σ, εάν t k 1,, T Η µηδενική υπόθεση περί απουσίας διαρθρωτικής µεταβολής συνεπάγεται πως η ακολουθία b είναι σταθερή. Ο έλεγχος αρχίζει µε τον σχηµατισµό της διαδικασίας U k βάσει του ακόλουθου τύπου: (4.4) U k X X Για παράδειγµα, στην περίπτωση που η µελέτη αφορά χρηµατιστηριακές αποδόσεις, τότε το Χ µπορεί να θεωρηθεί πως αντιστοιχεί στο τετράγωνο των λογαριθµικών αποδόσεων r για τις οποίες ισχύει ότι r u σ, όπου {u } είναι ο διαταρακτικός όρος που αντιστοιχεί σε µία iid ακολουθία µε µηδενικό µέσο, και α, b είναι µη αρνητικές σταθερές και σ είναι η µη δεσµευµένη διακύµανση. 23

24 Κάτω από την µηδενική υπόθεση και υπό συγκεκριµένες προϋποθέσεις που διασφαλίζουν µια ήπια κανονικότητα στην συµπεριφορά της ακολουθίας {X t }, όπως για παράδειγµα το να είναι ασθενώς και ισχυρώς στάσιµη, µε συνδιακυµάνσεις µη αρνητικές και αθροίσιµες, η στατιστική τιµή του ελέγχου KL υπολογίζεται σύµφωνα µε τον τύπο: (4.5) KL 1 σ D k ï Bs όπου µε B (s) συµβολίζεται µια πρότυπη Brownian γέφυρα και το σ αποτελεί έναν συνεπή εκτιµητή της µακροχρόνιας διακύµανσης του {X t }. Οι ασυµπτωτικές κριτικές τιµές του ελέγχου για διαστήµατα εµπιστοσύνης 90%, 95% και 99% είναι αντίστοιχα 1.22, 1.36 και 1.63, µε την µηδενική υπόθεση να απορρίπτεται για τιµές του ελέγχου KL µεγαλύτερες από τις κριτικές. Έτσι, το άγνωστο σηµείο µεταβολής k*, όπου 0<k<T, ορίζεται ως το σηµείο εκείνο στο οποίο µεγιστοποιούνται οι ενδείξεις για την ύπαρξη πιθανής διαρθρωτικής µεταβολής στην διαδικασία Χ και ο εκτιµητής k τύπου CUSUM που αντιστοιχεί στο άγνωστο σηµείο µεταβολής ορίζεται ως k mink: D k D j. Το κριτήριο ελέγχου KL έχει βρει πολλές εφαρµογές σε χρονοσειρές συναλλαγµατικών ισοτιµιών ή χρηµατιστηριακών αποδόσεων αφ ενός µεν λόγω της ευκολίας υπολογισµού του αφ ετέρου δε γιατί στηρίζεται σε τέτοιες προϋποθέσεις (ήπια κανονικότητα του {X t }), οι οποίες ικανοποιούνται σε ένα ευρύ φάσµα µοντέλων παραµετρικής µεταβλητότητας, όπως οι διαδικασίες ισχυρής µνήµης και τα µη γραµµικά ή GARCH υποδείγµατα. Παρ όλα αυτά, παρουσιάζει ένα σηµαντικό πρόβληµα που σχετίζεται µε την επιλογή του καταλληλότερου εκτιµητή για την µακροχρόνια διακύµανση, καθώς ανάλογα µε τον χρησιµοποιούµενο εκτιµητή τα αποτελέσµατα µπορεί να διαφέρουν σηµαντικά. Οι Kokoszka και Leipus προτείνουν την χρήση ενός εκτιµητή συνεπή για ετεροσκεδαστικότητα και αυτοσυσχέτιση (HAC), µια κατηγορία εκτιµητών που διαφέρουν ανάλογα µε την συνάρτηση πυρήνα που χρησιµοποιούν. Από την άλλη πλευρά, οι de Haan και Levin (1997) προτείνουν τη χρήση ενός εκτιµητή VARHAC (Vector Autoregression Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent), 24

25 που πλεονεκτεί από άποψη ευκολίας σε σύγκριση µε τον προηγούµενο, καθώς δεν χρειάζεται κάποια εκτίµηση πυρήνα. Παρόλα αυτά, αν και διάφοροι τέτοιοι εκτιµητές έχουν προταθεί, η απόδοσή τους εξαρτάται από τα δεδοµένα στα οποία εφαρµόζονται, χωρίς η οικονοµετρική θεωρία να έχει καταλήξει ακόµα στον βέλτιστο : Έλεγχος τύπου Πολλαπλασιαστή Langrange (LM). Από την οικογένεια των ελέγχων που βασίζονται στην µέθοδο του πολλαπλασιαστή Langrange, θα παρουσιαστεί σε αυτή την ενότητα ο έλεγχος που χρησιµοποιείται στην εργασία των Galeano-Tsay (2010) και επιτρέπει να ελεγχθούν µεµονωµένες παράµετροι ως προς την ύπαρξη διαρθρωτικής µεταβολής, αντί να εξετάζει συνολικά εάν υπάρχει διαρθρωτική µεταβολή στην διακύµανση. Η αξία της προσέγγισης αυτής έγκειται στο γεγονός πως η εξέταση της διαρθρωτικής αλλαγής σε διαφορετικές παραµέτρους συµβάλλει στην καλύτερη κατανόηση των επιπτώσεων που έχουν οι µεταβολές αυτές. Για παράδειγµα, µία µεταβολή στην σταθερά της εξίσωσης που εκφράζει την µεταβλητότητα αλλάζει µόνιµα το επίπεδό της, ενώ η µεταβολή στις άλλες παραµέτρους επηρεάζει την δυναµική δοµή της. Ένα άλλο σηµαντικό πλεονέκτηµα αυτού του ελέγχου είναι η ευκολία υπολογισµού του ακόµα και σε µεγάλα δείγµατα, εφόσον η κατασκευή του απαιτεί την εκτίµηση του υποδείγµατος κάτω από την µηδενική υπόθεση περί στασιµότητας των παραµέτρων. Έστω ένα GARCH(1,1) υπόδειγµα που περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις: (4.6) y µ h ε και (4.7) h ω αy µ βh όπου το h συµβολίζει την µη παρατηρούµενη δεσµευµένη διακύµανση της µεταβλητής y µε βάση τις διαθέσιµες πληροφορίες µέχρι τον χρόνο t-1. 25

26 Κάτω από την µηδενική υπόθεση περί απουσίας διαρθρωτικής µεταβολής στις παραµέτρους, το παραπάνω υπόδειγµα µπορεί να εκτιµηθεί µέσα από την µεγιστοποίηση µιας οιονεί λογαριθµικής εξίσωσης πιθανοφάνειας: (4.8) lθ l θ log 2π logh µ όπου θ 0 =(µ 0, ω 0, α 0, β 0 ) œθ είναι το διάνυσµα των αληθινών παραµέτρων προς εκτίµηση. Στην συνέχεια, ο έλεγχος LM για την ύπαρξη διαρθρωτικής µεταβολής σε µία από τις παραµέτρους της διακύµανσης (ω, α ή β) και για άγνωστο χρονικό σηµείο πραγµατοποιείται µε το παρακάτω στατιστικό κριτήριο. (4.9) LM ν max ν νν LM,ν max l,ν θ θ θ, ν νν νν θ θ θ όπου ν min και ν max œ(0,1) αποτελούν το ανώτατο και το κατώτατο όριο του διαστήµατος µέσα στο οποίο το δείγµα εξετάζεται για διαρθρωτική µεταβολή και χρησιµοποιούνται για να αποτραπεί η απόκλιση της οριακής κατανοµής. Το ν i (i=1,2,3) αποτελεί το σηµείο στο οποίο επιτυγχάνεται η µέγιστη τιµή του κριτηρίου, υποδηλώνοντας την παρουσία διαρθρωτικής µεταβολής, ενώ το «i» είναι ο δείκτης που δηλώνει ποια παράµετρος επηρεάζεται από την µεταβολή. Επίσης ως A θ δηλώνεται η δεύτερη, η τρίτη, ή η τέταρτη στήλη της µήτρας Α Τ θ ανάλογα µε το αν η µεταβολή αφορά την µεταβλητή ω, α ή β αντίστοιχα. Σηµειώνεται πως: (4.10) A θ EH θ, (4.11) B θ S θs θ και (4.12) l,ν θ S θ 26

27 όπου ως S θ και H θ συµβολίζεται ο βαθµός και η εσσιανή µήτρα της συνάρτησης l θ υπολογισµένη στο σηµείο θ και k=νt αντιστοιχεί στην παρατήρηση στην οποία πραγµατοποιείται η διαρθρωτική µεταβολή. Ο δείκτης ν i, που συµπίπτει µε την µέγιστη τιµή του κριτηρίου LM i,ν, είναι ο εκτιµητής του άγνωστου σηµείου µεταβολής. Στην πράξη πάντως, καθώς είναι πιο ρεαλιστικό να προσεγγιστεί το σηµείο µεταβολής µε βάση τον τύπο k=νt, το κριτήριο LM ν υπολογίζεται θέτοντας k min = [ν min T], k max = [ν max T], και k i = [ν i T] όπου k min και k max δίνουν τα ακραία χρονικά σηµεία στα οποία µπορεί να τοποθετείται η πιθανή διαρθρωτική µεταβολή και το k i είναι το χρονικό σηµείο στο οποίο η µεταβολή πράγµατι συµβαίνει. Τέλος σηµειώνεται πως όταν ικανοποιούνται κάποιες αναγκαίες συνθήκες που διασφαλίζουν 1) την συνέπεια των QML εκτιµητών, 2) πως κατανέµονται ασυµπτωτικά µε βάση την κανονική κατανοµή και 3) πως η ακολουθία των βαθµών {S } ικανοποιεί ένα λειτουργικό κεντρικό οριακό θεώρηµα, τότε η ασυµπτωτική κατανοµή του κριτηρίου συµπίπτει µε τις τιµές που παραθέτει ο Andrews (1993), παρόλο που ο τελευταίος χρησιµοποιεί GMM εκτιµητές (βλ. Galeano, Tsay, 2010) : Έλεγχος Λόγου Πιθανοφάνειας (Likelihood Ratio Test) Ένας από τους πιο συνηθισµένους ελέγχους για σύνθετες υποθέσεις είναι ο γενικευµένος έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας (Generalized Likelihood Ratio Test ή GLR). Στην ενότητα αυτή εξετάζεται η εφαρµογή του στην περίπτωση διαρθρωτικής µεταβολής σε GARCH διαδικασίες, µέσω ενός υποδείγµατος τύπου ARCH(1) για λόγους απλοποίησης και υπολογιστικής ευκολίας. Βέβαια, η χρήση του είναι παρόµοια και στην πιο γενική περίπτωση (υπόδειγµα τύπου GARCH(1,1)). 27

28 Έστω ότι {y } είναι οι υπό εξέταση παρατηρήσεις οι οποίες, κάτω από την µηδενική υπόθεση που θεωρεί την διακύµανση σταθερή, περιγράφονται από την επόµενη εξίσωση: (4.13) y σ ε, όπου σ ω αy και ε ~iid0,1, t=1,...,n Εάν είναι γνωστό πως σε κάποιο χρονικό σηµείο t 0 το διάνυσµα των παραµέτρων µεταβάλλεται από θ 0 =(ω, α) σε θ 1 =(ω*, α*), το κριτήριο GLR ορίζεται ως εξής: (4.14) Λ Μέγιστη πιθανότητα κάτω από την Η Μέγιστη πιθανότητα όταν υπάρχει µεταβολή στο Ο αριθµητής της προηγούµενης εξίσωσης δίνεται ως: ενώ ο δε παρονοµαστής ως: (4.16) 2 (4.15) 2, Καθώς όµως στην εµπειρική ανάλυση ο πραγµατικός χρόνος εµφάνισης της διαρθρωτικής µεταβολής είναι άγνωστος ο παραπάνω έλεγχος πρέπει να τροποποιηθεί σύµφωνα µε τον ακόλουθο τύπο: (4.17) Λ max 2Λ max Στις παραπάνω εξισώσεις, είναι οι εκτιµητές µέγιστης πιθανοφάνειας (MLE S) που προκύπτουν από την εκτίµηση ολόκληρου του δείγµατος, ενώ ο εκτιµητής της διακύµανσης δίνεται ως. Αντίστοιχα, ορίζονται και οι εκτιµητές της διακύµανσης που στηρίζονται στις παρατηρήσεις που βρίσκονται πριν ( και µετά το σηµείο της διαρθρωτικής µεταβολής t 0 (). 28

29 Η τελευταία φόρµουλα εφαρµόζεται για οποιοδήποτε GARCH υπόδειγµα, µε κατάλληλη προσαρµογή των διακυµάνσεων,, και. Όµως, ακόµα και για παρατηρήσεις που είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν µία κοινή κατανοµή (iid), το κριτήριο Λ έχει µια ενδιαφέρουσα συµπεριφορά: δεν συγκλίνει σε µια οριακή κατανοµή για καµία κανονικοποιηµένη ακολουθία. Αντίθετα ικανοποιεί το οριακό θεώρηµα Erdos-Darling µε µια εκθετικού τύπου κατανοµή ακραίων τιµών ως όριο. Έτσι για iid παρατηρήσεις και για έναν αριθµό d εκτιµηµένων παραµέτρων, ο έλεγχος µε ασυµπτωτικό µέγεθος α απορρίπτει τη µηδενική υπόθεση για µη µεταβολή στις παραµέτρους όταν Λ όπου: (4.18) και (4.19) 2 log Γ/2 Επισηµαίνεται όµως, ότι µια σηµαντική αδυναµία αυτού του ελέγχου είναι πως για να µπορεί να χρησιµοποιηθεί η κριτική τιµή θα πρέπει τα εκτιµηµένα κατάλοιπα να βρίσκονται κοντά στις τετραγωνικές τιµές των πραγµατικών σοκ. 4.2: ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΙΑΡΘΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ. Η κατασκευή των ελέγχων που παρουσιάστηκαν προηγουµένως, αφορά τον εντοπισµό ενός µοναδικού σηµείου διαρθρωτικής µεταβολής. Όµως, διάφορες διαδικασίες ή αλγόριθµοι που έχουν αναπτυχθεί, επιτρέπουν την χρήση τους και στην περίπτωση των πολλαπλών σηµείων µεταβολής. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η διαδοχική διαδικασία τµηµατοποίησης που προτάθηκε από τους Inclan-Tiao (1997). Με βάση αυτή την διαδικασία εξετάζεται η ύπαρξη ενός σηµείου διαρθρωτικής µεταβολής κάθε φορά, αλλά αυτό γίνεται επαναληπτικά, καθώς το συνολικό δείγµα χωρίζεται σε επιµέρους 29

30 υποσύνολα, ανάλογα µε τα σηµεία διαρθρωτικής µεταβολής που έχουν εντοπιστεί, επιτρέποντας έτσι τον εντοπισµό περισσοτέρων του ενός τέτοιων σηµείων. Στην συνέχεια θα παρουσιαστεί µια παρόµοια διαδοχική διαδικασία που περιγράφεται στην εργασία των Cunado et. al. (2004) και στηρίζεται στο γενικό πλαίσιο που προτάθηκε από τους Bai και Perron (1998, 2003a,b), καθώς και ο έλεγχος των Lavielle-Moulines που έχει κατασκευαστεί ειδικά για τον ταυτόχρονο εντοπισµό του αριθµού και της θέσης πολλαπλών σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής : ιαδοχική διαδικασία εντοπισµού των σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής µε χρήση του suplr ελέγχου. Σύµφωνα µε την διαδικασία αυτή, ο έλεγχος αρχίζει µε σκοπό τον εντοπισµό του πρώτου σηµείου διαρθρωτικής µεταβολής. Εάν ο έλεγχος απορρίψει την µηδενική υπόθεση πως οι παράµετροι παραµένουν σταθερές κατά µήκος των παρατηρήσεων, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο µεταβολής, τότε η διαδικασία επαναλαµβάνεται µε στόχο τη διερεύνηση της υπόθεσης πως υπάρχει και δεύτερο σηµείο διαρθρωτικής µεταβολής, υπό τον όρο ότι υπάρχει το πρώτο και ούτω κάθε εξής. Πιο αναλυτικά, έστω µια διαδικασία που περιγράφεται από ένα GARCH υπόδειγµα (βλ. εξίσωση 4.7) και πρέπει να ελεγχθεί εάν η διαδικασία της διακύµανσης, δηλαδή οι παράµετροι ω, α, β µεταβάλλονται σε κάποια χρονικά διαστήµατα t={t 1, t 2,,t m }. Έχοντας λοιπόν εντοπίσει ένα σετ {t} από l σηµεία στον χρόνο, κατά τα οποία ένας αριθµός q από τις παραµέτρους της διαδικασίας αλλάζουν (δηλαδή δεν χρειάζεται να αλλάζουν όλες οι υπό εκτίµηση παράµετροι), ελέγχεται εάν υπάρχει κάποιο πρόσθετο σηµείο µεταβολής και αν η τιµή των q παραµέτρων πριν και µετά το νέο σηµείο µεταβολής αλλάζει. 30

31 Ο παρακάτω τύπος δίνει την συνάρτηση πιθανοφάνειας για το υπόδειγµα που περιέχει l σηµεία µεταβολής στο σύνολο t και ορίζεται ως L(t,θ), όπου θ είναι το διάνυσµα όλων των παραµέτρων είτε αλλάζουν είτε όχι µέσα στον χρόνο. Συγκεκριµένα: (4.20) L, θ logσ, logσ,, σ,, όπου u, r β, β, r και σ, ω, α, σ, σ, logσ, α, u,, σ, Αντίστοιχα ορίζεται και το εναλλακτικό υπόδειγµα ως εκείνο που χαρακτηρίζεται από ένα επιπλέον σηµείο διαρθρωτικής µεταβολής στο χρονικό σηµείο τ. Έτσι το σύνολο των l + 1 σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής γίνεται τώρα t*={t,τ} και η συνάρτηση πιθανοφάνειας του εναλλακτικού µοντέλου δίνεται ως L(t*,θ(t*). Στην συνέχεια, για την κατασκευή του ελέγχου, υπολογίζεται το κριτήριο λόγου πιθανοφάνειας (likelihood-ratio statistic) που ορίζεται ως η διαφορά των δύο λογαριθµικών συναρτήσεων πιθανοφάνειας: του δεσµευµένου υποδείγµατος µε τα l σηµεία διαρθρωτικής µεταβολής που έχουν εντοπιστεί και του εναλλακτικού υποδείγµατος που υποθέτει την ύπαρξη l+1 σηµείων µεταβολής. Συγκεκριµένα ο τύπος δίνεται ως εξής: (4.21) LR τ l 1 l 2L, θ L, θ, όπου t={t 1,,t l } είναι το σύνολο των πρώτων l σηµείων µεταβολής (κάτω από την µηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχει πρόσθετο σηµείο µεταβολής) και t*={t 1,t 2,,t l+1 } είναι το σύνολο των l+1 σηµείων µεταβολής όπου περιλαµβάνεται το τ σαν ένα νέο πιθανό χρονικό σηµείο µεταβολής. L, θ είναι η λογαριθµική πιθανότητα για το υπόδειγµα που περιλαµβάνει l σηµεία µεταβολής στον χρόνο t και θ είναι το διάνυσµα των εκτιµητών µέγιστης πιθανοφάνειας όλων των παραµέτρων. Η ύπαρξη του επιπλέοντος σηµείου µεταβολής εξετάζεται µε την χρήση του suplr ελέγχου: (4.22) suplr: sup τ LR τ l 1\l, 31

32 όπου Τ* περιγράφει το σύνολο των πιθανών σηµείων που η νέα µεταβολή πραγµατοποιείται, ενώ η θέση της διαρθρωτικής µεταβολής δίνεται από τον εκτιµητή: (4.23) t argmaxl τ, θ argmax τ suplr τ l 1\l Εάν η τιµή του κριτηρίου suplr είναι µεγαλύτερη από την κριτική τιµή, τότε απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και εκτιµάται το χρονικό σηµείο t της πρόσθετης µεταβολής. Οι τιµές των παραµέτρων πριν και µετά το σηµείο µεταβολής δίνονται από τους εκτιµητές στο διάνυσµα θ. Τέλος, σηµειώνεται πως οι κριτικές τιµές του ελέγχου LR(l+1 \ l) εξαρτώνται από το l και το q και συνήθως υπολογίζονται µέσα από προσοµοίωση µιας q διαστάσεων κίνησης Brown (Brownian motion). Επίσης, ο έλεγχος που περιγράφηκε δίνει συνεπείς εκτιµήσεις για τα σηµεία µεταβολής που αντιστοιχούν όµως όχι σε καθορισµένη ηµεροµηνία αλλά στην αναλογία του δείγµατος κατά την οποία η µεταβολή πραγµατοποιείται : Ο έλεγχος των Lavielle και Moulines (L&M) Ο έλεγχος (L&M) που εισάχθηκε το 2000 από τους Lavielle και Moulines ανήκει στην κατηγορία των ελέγχων τύπου ελαχίστων τετραγώνων (Least Squares type tests) και διαφέρει από όλους τους προηγούµενους που εξετάστηκαν, καθώς έχει την δυνατότητα να εντοπίζει ταυτόχρονα όλα τα άγνωστα σηµεία µεταβολής. Σηµαντικό πλεονέκτηµα του συγκεκριµένου ελέγχου είναι ότι µπορεί να βρει εφαρµογή σε µία ευρεία σειρά διαδικασιών όπως οι διαδικασίες ισχυρής µνήµης ή τα υποδείγµατα τύπου ARCH. Έστω ότι δίνεται το γενικό µοντέλο: (4.24), όπου και 1. Επίσης τίθεται ως =0 και ως =T, όπου Τ είναι το µέγεθος του δείγµατος. Ο δείκτης k αντιπροσωπεύει τα άγνωστα σηµεία µεταβολής ενώ, είναι οι άγνωστη µέση τιµή για κάθε k. 32

33 Ο έλεγχος χρησιµοποιεί τη µεθοδολογία των ελαχίστων τετραγώνων και δίνεται ως εξής: (4.25) min,,.., Όµως προκειµένου να αποφευχθεί η πολυδιάσπαση του δείγµατος (oversegmentation), το πληροφοριακό κριτήριο που χρησιµοποιείται για την εκτίµηση των σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής (Bayesian ή Schwarz information criterion ) χρειάζεται να τροποποιηθεί µε την εισαγωγή µίας συνάρτησης ποινής που ορίζεται ως, όπου το είναι ο αριθµός των διαρθρωτικών µεταβολών και το { αντιπροσωπεύει µια φθίνουσα ακολουθία θετικών πραγµατικών αριθµών. Έτσι το κριτήριο για την εκτίµηση του αριθµού των σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής γίνεται, ενώ αποδεικνύεται, πως κάτω από ορισµένες ήπιες προϋποθέσεις, ο προσαρµοσµένος εκτιµητής είναι ισχυρά συνεπής µε ρυθµό σύγκλισης ίσο µε T. 33

34 5: ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 5.1: ANDREOU-GHYSELS (2002): DETECTING MULTIPLE BREAKS IN FINANCIAL MARKET VOLATILITY DYNAMICS Στην εργασία αυτή χρησιµοποιούνται πειράµατα Monte Carlo µε σκοπό τη σύγκριση της απόδοσης διαφόρων ελέγχων για διαρθρωτική µεταβολή στην δεσµευµένη διακύµανση χρηµατοοικονοµικών στοιχείων. Συγκεκριµένα εξετάζονται: ο έλεγχος των Kokoszka-Leipus (KL) µε χρήση ενός VARHAC (Vector Autoregression Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent) εκτιµητή για την µακροχρόνια διακύµανση, ο οποίος προτάθηκε από τους den Haan και Levin (1997), και ο έλεγχος των Lavielle-Moulines (L&M). O έλεγχος τύπου CUSUM που προτάθηκε από τους Inclan-Tiao (1994) και δίνεται ως: (5.1) IT T/2 max D όπου D X / X k/t και το k συµβολίζει το σηµείο στο οποίο σηµειώνεται η διαρθρωτική µεταβολή : Κατασκευή και Αποτελέσµατα των πειραµάτων τύπου Monte Carlo Στην περίπτωση που ελέγχεται η ύπαρξη µίας µόνο διαρθρωτικής µεταβολής, τότε η προσοµοίωση κατασκευάζεται ως: (5.2),,,, +, όπου, είναι η απόδοση τον χρόνο t και ο διαταρακτικός όρος, κατανέµεται ως i.i.d.(0,1). Όταν i=0 η διαδικασία χαρακτηρίζεται από σταθερές παραµέτρους ενώ όταν 34

35 i=1 κάποια από τις παραµέτρους της µεταβλητότητας µεταβάλλεται. Το σηµείο µεταβολής στο δείγµα ορίζεται ως πτ, όπου (π=0.3, 0.5, 0.7). Όσον αφορά την υποδειγµατοποίηση της µεταβλητότητας χρησιµοποιούνται δύο διαφορετικές διαδικασίες που χαρακτηρίζονται από χαµηλή και υψηλή εµµονή και συµβολίζονται ως DGP1και DGP2 αντίστοιχα. Το διάνυσµα των παραµέτρων (ω 0, α 0, β 0 ) δίνεται ως (0.4, 0.1, 0.5) για την πρώτη διαδικασία και (0.1, 0.1, 0.8) για την δεύτερη. Επίσης, χρησιµοποιούνται 500, 1000 και 3000 παρατηρήσεις, ώστε να καταστεί δυνατό να εξεταστούν οι ιδιότητες των ελέγχων και σε µικρά δείγµατα. Αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό όταν οι έλεγχοι εφαρµόζονται µε την διαδικασία της διαδοχικής τµηµατοποίησης για τον εντοπισµό πολλαπλών σηµείων µεταβολής. Ο επόµενος έλεγχος αφορά την εξέταση για διαρθρωτική µεταβολή σε δύο σηµεία του δείγµατος µέσω της κατασκευής τριών διαδοχικών τµηµάτων που δίνονται ως εξής:,,,,, +, εάν 1<t [πτ] (5.3),,,,, +, εάν [πτ]<t [2πΤ],,,,, +, εάν [2πΤ]<t Τ Εδώ θεωρείται πως η µεταβολή παρουσιάζεται στο σηµείο π=0.33 και τα κατάλοιπα, ~N(0, ) για j =1, 2, 3 είναι ασυσχέτιστα. Το δείγµα που χρησιµοποιήθηκε έχει µέγεθος 1000 και 3000 παρατηρήσεων. Και στις δύο µελέτες προσοµοίωσης (για ένα ή πολλαπλά σηµεία µεταβολής) εξετάζονται τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις: : Μεταβολή στην δυναµική δοµή της µεταβλητότητας (ή αλλιώς την εµµονή). : Μεταβολή στον σταθερό όρο ω i. : Μεταβολή στις ουρές (tails) του διαταρακτικού όρου, δηλαδή από u 0,t µεταβάλλεται σε u 1,t το οποίο κατανέµεται ως, ~N(0, ) όπου 1.1 ή 1.5 για t=πt+1, T. 35

36 : Εµφάνιση ακραίων τιµών (outliers) στο σφάλµα: από u 0,t γίνεται u 1,t ~N(µ u,1) µε µέγεθος µεταβολής µ u =4, 5. Οι ακραίες τιµές εισάγονται στην διαδικασία µε σταθερή συχνότητα t j (όπου =250, 500 και t j =1,2,, /Τα), αλλιώς ισούνται µε το µηδέν. Στην περίπτωση του ελέγχου για µία διαρθρωτική µεταβολή, τα πειράµατα δείχνουν πως το κριτήριο ΚL συµπεριφέρεται αρκετά καλά όταν εφαρµόζεται σε διαδικασίες µε χαµηλή εµµονή καθώς οι στρεβλώσεις µεγέθους είναι µικρές, παρόλο που διατηρούνται και σε µεγάλα δείγµατα, όπως για Τ=3000. Όµως, σε διαδικασίες υψηλής εµµονής (DGP2) το κριτήριο αυτό εµφανίζει σηµαντικές στρεβλώσεις µεγέθους µε αποτέλεσµα η µηδενική υπόθεση περί απουσίας διαρθρωτικής µεταβολής, αν και σωστή, να απορρίπτεται σε ποσοστό που µπορεί να φτάσει και το 20% των περιπτώσεων. Όσον αφορά την δύναµη του κριτηρίου, δηλαδή την ικανότητα να απορρίπτει την µηδενική υπόθεση όταν δεν είναι ορθή, προκύπτει το συµπέρασµα πως είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική, ιδίως όταν η πηγή της µεταβολής εκφράζεται από τις υποθέσεις,, και, ανεξάρτητα από την εµµονή που εµφανίζει η διαδικασία, ενώ αυξάνεται µε το µέγεθος του δείγµατος. Μάλιστα, είναι ικανό να εντοπίζει ακόµα και µεταβολές µικρού µεγέθους (π.χ. µια αύξηση µεγέθους 0.1) στην παράµετρο β 0, ενώ διατηρεί την ισχύ του ακόµα και όταν τα σηµεία διαρθρωτικής µεταβολής τοποθετούνται κοντά στην αρχή του δείγµατος π.χ. για π=0.3 και δεν επηρεάζεται αρνητικά από την εµφάνιση ακραίων τιµών (υπόθεση ). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν και τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που αφορούν το κριτήριο ελέγχου IT, καθώς έχει σχεδιαστεί για εφαρµογή σε ανεξάρτητα δεδοµένα. Όταν λοιπόν ο έλεγχος εφαρµόζεται στα τετράγωνα των αποδόσεων ( παρουσιάζει έντονες στρεβλώσεις µεγέθους, πάνω από 10% και για τις δύο διαδικασίες DGP1, DGP2, ανεξάρτητα από το µέγεθος του δείγµατος. Πάντως, σε µεγάλα δείγµατα, έχει δύναµη να ανιχνεύει ακόµα και µικρές µεταβολές στην δυναµική δοµή της µεταβλητότητας (υποθέσεις, ) καθώς και στην διαδικασία του σφάλµατος 36

37 (υπόθεση ). Όταν όµως εµφανίζονται ακραίες τιµές, τότε η απόδοση του επιδεινώνεται µε συνέπεια να τις ερµηνεύει λανθασµένα ως διαρθρωτικές µεταβολές. Εάν από την άλλη πλευρά εφαρµοστεί στις απόλυτες τιµές των αποδόσεων (, τότε ο έλεγχος παρουσιάζει γενικά µικρότερο µέγεθος και λιγότερη δύναµη από πριν. Παρόλα αυτά, ενδιαφέρον παρουσιάζει η συµπεριφορά του στην περίπτωση που η διαδικασία χαρακτηρίζεται από υψηλή εµµονή και το µέγεθος παρατηρήσεων (π.χ. για Τ=1000, 3000) είναι µεγάλο, καθώς τότε αποκτά ικανοποιητικές ιδιότητες και µάλιστα δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη ακραίων τιµών. Τέλος, όταν ο έλεγχος εφαρµόζεται στην σειρά του σφάλµατος που είναι µια iid διαδικασία, σύµφωνα δηλαδή µε τον αρχικό προορισµό του, φαίνεται πως το µέγεθος του κριτηρίου είναι κοντά στο ονοµαστικό επίπεδο σηµαντικότητας 5% ενώ έχει δύναµη να εντοπίσει ακόµα και µικρές µεταβολές στην διακύµανση του διαταρακτικού όρου ( ), χωρίς να επηρεάζεται σηµαντικά από την ύπαρξη ακραίων τιµών ( ) σε µεγάλα δείγµατα (Τ=3000). Όµως, δεν έχει δυνατότητα να εντοπίσει την διαρθρωτική µεταβολή που αφορά την δεσµευµένη διακύµανση (υποθέσεις, ), καθώς η iid διαδικασία του σφάλµατος προκύπτει µέσω της τυποποίησης της διαδικασίας των αποδόσεων, γεγονός που αντισταθµίζει τις αντίστοιχες µεταβολές στο και. Κλείνοντας µε την υπόθεση του ενός σηµείου διαρθρωτικής µεταβολής, αναφέρονται τα αποτελέσµατα για τον έλεγχο των Lavielle-Moulines (L&M) ο οποίος, αν και αναπτύχθηκε για τον ταυτόχρονο εντοπισµό πολλαπλών µεταβολών, εξετάζεται εδώ για λόγους συγκρισιµότητας. Σηµειώνεται πως η κατασκευή του ελέγχου απαιτεί την χρήση ενός πληροφοριακού κριτηρίου (information criterion) για την συνάρτηση ποινής. Έτσι, στην εργασία αυτή εξετάζεται η συµπεριφορά του κριτηρίου µε τη χρήση δύο διαφορετικών πληροφοριακών κριτηρίων: του Bayesian Information Criterion (BIC) και µιας τροποποίησής του (προτάθηκε από τον Liu et al. (1997) και δηλώνεται ως LWZ). Ο έλεγχος L&M παρουσιάζει καλό µέγεθος και για τα δύο πληροφοριακά κριτήρια, ανεξάρτητα από το είδος της εµµονής που χαρακτηρίζει την διαδικασία. Βέβαια, µε τη χρήση του κριτηρίου LWZ, ο έλεγχος υπερέχει από άποψη µεγέθους όταν η διαδικασία παρουσιάζει υψηλή εµµονή αλλά και στη δύναµη εντοπισµού µεταβολών στη 37

38 διαδικασία του σφάλµατος, ενώ και τα δύο κριτήρια δεν επηρεάζονται από ακραίες τιµές. Γενικά πάντως, τα πειράµατα υποστηρίζουν πως ο έλεγχος L&M παρουσιάζει ικανοποιητική ισχύ στην περίπτωση ενός σηµείου µεταβολής είτε παρουσιάζεται στον συντελεστή της σταθεράς είτε στη δυναµική διαδικασία ενός GARCH υποδείγµατος. Εξαιρούνται οι περιπτώσεις στις οποίες η µεταβολή είναι πολύ µικρή, εν αντιθέσει µε τον έλεγχο KL, ο οποίος από την άλλη πλευρά µειονεκτεί από άποψη µεγέθους σε διαδικασίες υψηλής εµµονής. Ακολουθεί η σύγκριση της απόδοσης των ελέγχων L&M και KL στην περίπτωση ύπαρξης πολλαπλών µεταβολών. Σηµειώνεται πως ο έλεγχος KL εφαρµόζεται µε την χρήση µιας διαδικασίας διαδοχικής τµηµατοποίησης του δείγµατος, σύµφωνα µε έναν αλγόριθµο παρόµοιο µε αυτόν που προτάθηκε από τους Inclan και Tiao (1994). Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι ο έλεγχος KL έχει καλή εφαρµογή και σε αυτή την περίπτωση. Η δύναµη του ελέγχου είναι καλή για τον εντοπισµό µεταβολών στις παραµέτρους της δεσµευµένης διακύµανσης (ιδιαίτερα όταν χρησιµοποιείται η απόλυτη τιµή των αποδόσεων) καθώς και στη διακύµανση του σφάλµατος.αυτό δεν ισχύει όµως όταν οι µεταβολές είναι µικρές και βαθµιαίες (µονοτονικές), αν και η δύναµης του ελέγχου ενισχύεται µε την αύξηση του µεγέθους του δείγµατος και έτσι η συµπεριφορά του βελτιώνεται και για τις µικρές µεταβολές. Ο έλεγχος L&M έχει γενικά καλύτερο µέγεθος και είναι πιο συνεπής στην περίπτωση των πολλαπλών σηµείων διαρθρωτικής µεταβολής συγκριτικά µε τον KL έλεγχο. Όµως εµφανίζει την ίδια αδυναµία όταν πρόκειται για µικρές ή/και βαθµιαίες µεταβολές (µάλιστα ο KL είναι πιο ισχυρός σε αυτές τις περιπτώσεις), ενώ προτείνεται σε αυτή την περίπτωση η χρήση του κριτήριου BIC µε εφαρµογή του ελέγχου στο τετράγωνο των αποδόσεων. Τέλος, όταν εµφανίζονται µεταβολές σηµαντικού µεγέθους τότε το κριτήριο BIC ενισχύει την δύναµη του L&M ελέγχου είτε χρησιµοποιείται η απόλυτη τιµή είτε το 38