ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1

2 Αυτοσυσχέτιση Αν τα σφάλµατα δεν συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(u t, u s ) = 0 για κάθε t s, t, s = 1,..., T, τότε δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση. Αν κάποια από τα σφάλµατα συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(u t, u s ) 0 για κάποια t s, t, s = 1,..., T, τότε υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation). Αν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει αφού V (u) = σ 2 Cov(u 1, u 2 ) Cov(u 1, u T ) Cov(u 2, u 1 ) σ 2... Cov(u 2, u T ) σ 2 Cov(u T 1, u T ) Cov(u T, u 1 ) Cov(u T, u 2 ) Cov(u T, u T 1 ) σ 2 σ 2 I 2

3 Αν υπάρχει αυτοσυσχέτιση και εφόσον οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν: Ο OLS εκτιµητής β είναι γραµµικός, αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής του β αλλά δεν είναι άριστος. Ο OLS εκτιµητής s 2 είναι αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής του σ 2. Ο OLS εκτιµητής V ( β ) είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του V ( β ). Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων είναι αναξιόπιστα. Αν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Y t s, συµπεριλαµβάνονται ως ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης και υπάρχει αυτοσυσχέτιση, τότε η υπόθεση Α.3 δεν ισχύει γενικά. 3

4 Υποδείγµα αυτοσυσχέτισης Το υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης p-τάξης AR(p) (autoregression model of p- order) z t = ξ + ρ 1 z t ρ p z t p + ε t, t = p + 1,..., T ξ, ρ 1,..., ρ p είναι οι συντελεστές αυτοπαλινδρόµησης (autoregression coefficients). ε t, t = 1,..., T είναι το σφάλµα µε E(ε t ) = 0, V (ε t ) = σ 2 ε και Cov(ε t, ε s ) = 0 για κάθε t s. Για p = 1 και ρ 1 < 1 ισχύει ότι E(z t ) = ξ, V (z t ) = σ2 ε 1 ρ 1 1 ρ 2, Corr(z t, z t s ) = ρ s 1 1 Όταν το υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης χρησιµοποιείται για τα σφάλµατα του υποδείγµατος παλινδρόµησης θέτουµε ξ = 0. 4

5 Στατιστικός έλεγχος: Durbin-Watson για αυτοσχέτιση πρώτης τάξης Αυτοσυσχέτιση u t = ρu t 1 + ε t. Στατιστική ελέγχου: DW = T t=2 (ût ût 1) 2 T û 2 t t=1 Υποθέσεις: H 0 : ρ = 0 έναντι H 1 : ρ > 0 - Αν DW < d L,α, απορρίπτουµε την H 0. - Αν DW > d U,α, δεν απορρίπτουµε την H 0. - Αν d L,α DW d U,α, το αποτέλεσµα του στατιστικού ελέγχου είναι αβέβαιο. Υποθέσεις: H 0 : ρ = 0 έναντι H 1 : ρ < 0 - Αν DW > 4 d L,α, απορρίπτουµε την H 0. - Αν DW < 4 d U,α, δεν απορρίπτουµε την H 0. - Αν 4 d U,α DW 4 d L,α, το αποτέλεσµα του στατιστικού ελέγχου είναι αβέβαιο. 5

6 Περιοχές του κριτηρίου Durbin-Watson 6

7 Ισχύει ότι DW 2(1 ρ), όπου ρ είναι ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης των καταλοίπων ût και ût 1. Οι κρίσιµες τιµές d L,α και d U,α εξαρτώνται από το µέγεθος του δείγµατος T και τον αριθµό των ερµηνευτικών µεταβλητών K. Το κριτήριο Durbin-Watson δεν µπορεί να εφαρµοσθεί αν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Y t s, συµπεριλαµβάνονται ως ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης. Αν η πρώτη υστέρηση της εξαρτηµένης µεταβλητής, Y t 1, συµπεριλαµβάνεται ως ερµηνευτική µεταβλητή στο υπόδειγµα παλινδρόµησης, τότε µπορεί να εφαρµοσθεί το κριτήριο h-durbin. 7

8 Στατιστικός έλεγχος: h-durbin για αυτοσχέτιση πρώτης τάξης Αυτοσυσχέτιση u t = ρu t 1 + ε t. Υποθέσεις: H 0 : ρ = 0 έναντι H 1 : ρ 0 ή H 1 : ρ > 0 ή H 1 : ρ < 0 Στατιστική ελέγχου: h = ρ T 1 T s 2 Y 1 όπου ρ = DW και s Y 1 είναι το τυπικό σφάλµα του OLS εκτιµητή του συντελεστή παλινδρόµησης της ερµηνευτικής µεταβλητής Y t 1. Κρίσιµη περιοχή: h > Z α 2 (H 1) ή h > Z α (H 1 ) ή h < Z α (H 1 ) 8

9 Στατιστικός έλεγχος: Breusch-Godfrey για αυτοσχέτιση µέχρι p τάξης Αυτοσυσχέτιση u t = ρ 1 u t ρ p u t p + ε t. Υποθέσεις: H 0 : ρ 1 =... = ρ p = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα ρ j 0, j = 1,..., p Στατιστική ελέγχου: BG = (T p)r 2 όπου R 2 είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης û t = γ 0 + γ 1 X t γ K X tk + ρ 1 û t ρ p û t p + ε t, t = p + 1,..., T Κρίσιµη περιοχή: BG > χ 2 p,α 9

10 Η εφαρµογή του κριτηρίου BG προϋποθέτει γνώση της τάξης p. Το κριτήριο BG εφαρµόζεται και όταν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Y t s, συµπεριλαµβάνονται ως ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης. Το κριτήριο BG θα µπορούσε να είχε βασιστεί στον στατιστικό έλεγχο F για τις υποθέσεις H 0 : ρ 1 =... = ρ p = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα ρ j 0, j = 1,..., p στο υπόδειγµα βοθηθητικής παλινδρόµησης. Για την υπάρξη αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης µπορεί να γίνει ο στατιστικός έλεγχος t για τις υποθέσεις H 0 : ρ = 0 έναντι H 1 : ρ 0 ή H 1 : ρ > 0 ή H 1 : ρ < 0 στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ût = ρût 1 + ε t. Για την υπάρξη αυτοσυσχέτισης µέχρι p τάξης µπορεί να γίνει ο στατιστικός έλεγχος F για τις υποθέσεις H 0 : ρ 1 =... = ρ p = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα ρ j 0, j = 1,..., p στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ût = ρ 1 û t ρ p û t p +ε t. 10

11 Εκτίµηση υποδείγµατος: γνωστή αυτοσυσχέτιση Το υπόδειγµα παλινδρόµησης µετασχηµατίζεται ώστε το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης να µην έχει αυτοσυσχέτιση και εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. Eίναι ειδική περίπτωση της µεθόδου GLS. Αν το σφάλµα ακολουθούσε το AR(1) υπόδειγµα µε γνωστό συντελεστή ρ, τότε το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι όπου Y t = β 0 + β 1X t β KX tk + ε t, t = 2,..., T ( ) Y t = Y t ρy t 1, X tj = X tj ρx t 1,j, j = 1,..., K, β 0 = (1 ρ)β 0 Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 11

12 Για να περιληφθεί η πρώτη παρατήρηση στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) χρησιµοποιείται ο µετασχηµατισµός Prais-Winsten όπου για t = 2,..., T Y t = β 0 W t + β 1 X t β KX tk + ε t, t = 1,..., T ( ) Y t = Y t ρy t 1, X tj = X tj ρx t 1,j, j = 1,..., K, W t = 1 ρ και για t = 1 Y 1 = 1 ρ 2 Y 1,, X 1j = 1 ρ 2 X 1j, j = 1,..., K, W 1 = 1 ρ 2 Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 12

13 Εκτίµηση υποδείγµατος: άγνωστη αυτοσυσχέτιση Από το υπόδειγµα παλινδρόµησης υπολογίζονται τα κατάλοιπα, τα οποία χρησι- µοποιούνται για την εκτιµήση της αυτοσυσχέτισης. Με βάση την εκτιµώµενη αυτοσυσχέτιση, το υπόδειγµα παλινδρόµησης µετασχηµατίζεται ώστε το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης να µην έχει αυτοσυσχέτιση και εκτι- µάται µε τη µέθοδο OLS. Eίναι ειδική περίπτωση της µεθόδου FGLS. Αν το σφάλµα ακολουθούσε το AR(1) υπόδειγµα µε άγνωστο συντελεστή ρ : Μέθοδος Cochrane-Orcutt Βήµα 1: Με βάση τα κατάλοιπα ût, εκτιµάται το ρ µε τον OLS εκτιµητή ρ στο AR(1) υπόδειγµα για τα κατάλοιπα ût ή µε τον δειγµατικό συντελεστή συσχέτισης ρ των καταλοίπων ût και ût 1 ή µε το ρ = DW. 13

14 Βήµα 2: Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) αντικαθιστούµε το ρ µε το ρ και εκτιµάµε µε OLS. Υπολογίζονται τα κατάλοιπα. Τα βήµατα επαναλαµβάνονται µέχρι να υπάρχει σύγκλιση των τιµών των εκτιµητών των β και ρ. Μέθοδος Prais-Winsten Ίδια µε την µέθοδο Cochrane-Orcutt, µε τη διαφορά ότι στο Βήµα 2 χρησιµοποιείται το υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) αντί του ( ). Μέθοδος Durbin Το υπόδειγµα παλινδρόµησης µετασχηµατίζεται λαµβάνοντας υπόψη της µορφή της αυτοσυσχέτισης και οι συντελεστές β και ρ εκτιµούνται ταυτόχρονα µε τη µέθοδο OLS στο µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης Y t = α 0 +ρy t 1 +β 1 X t1 +α 1 X t 1, β K X tk +α K X t 1,K +ε t, t = 2,..., T 14

15 όπου α 0 = (1 ρ)β 0, α j = ρβ j, j = 1,..., K Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) αντικαθιστούµε το ρ µε το ρ και εκτιµάµε µε OLS. 15

16 Μέθοδος γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων (GLS) Αν η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει, V (u) = σ 2 Ω σ 2 I, και εφόσον οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν: Ο OLS εκτιµητής β είναι γραµµικός, αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής του β αλλά δεν είναι άριστος. Ο OLS εκτιµητής s 2 είναι µερόληπτος και ασυνεπής εκτιµητής του σ 2 (εκτός αν υπάρχει οµοσκεδαστικότητα). Ο OLS εκτιµητής V ( β ) είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του V ( β ). Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων είναι αναξιόπιστα. 16

17 Υπάρχουν περιπτώσεις που αν η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει τότε και η υπόθεση Α.3/Α.3 δεν ισχύει. Υπάρχουν περιπτώσεις που η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει επειδή η υπόθεση Α.1 δεν ισχύει. Αν ο πίνακας Ω είναι γνωστός, ο εκτιµητής γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων GLS (generalized least squares) του β είναι β = ( X Ω 1 X ) 1 X Ω 1 Y µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων V ( β ) = σ 2 ( X Ω 1 X ) 1. Ο GLS εκτιµητής β είναι αµερόληπτος, συνεπής και άριστος εκτιµήτης του β. 17

18 Αν ο πίνακας Ω είναι αγνωστός και υπάρχει συνεπής εκτιµήτης Ω, ο εκτιµητής εφικτών γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων FGLS (feasible generalized least squares) του β είναι β = ( X Ω 1 X ) 1 X Ω 1 Y µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων V ( β ) = σ 2 ( X Ω 1 X ) 1. Ο FGLS εκτιµητής β είναι συνεπής και ασυµπτωτικά άριστος εκτιµήτης του β. Στη πράξη, χρησιµοποιείται η µέθοδος FGLS. Αν όµως ο εκτιµητής Ω είναι ασυνεπής εκτιµητής του Ω, τότε ο FGLS εκτιµητής β είναι ασυνεπής εκτιµητής του β. 18