ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας Τηλ. υπηρεσίας : Τηλ. Κατοικίας : : ΗΡΑΚΛΕΙΟ Κινητό : dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 7 Σεπτεµβρίου 007 Αρ. Πρωτ.: 6 Προς : Τους κ.κ. ιευθυντές και καθηγητές Μαθηµατικών των Γυµνασίων του Ν. Ηρακλείου, αρµοδιότητας µου (µέσω των /νσεων) Κοιν.: 1. Περιφερειακό /ντή Εκπ/σης Κρήτης. Προϊστάµενο Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης 3. /νση /θµιας Εκπ/σης Ν. Ηρακλείου 4. 1 ο & ο Γραφείο.Ε. Ν. Ηρακλείου Πληροφορίες : Μιχάλης Βαβουρανάκης grss@dide.ira.sch.gr Τηλέφωνο - FAX : ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, Στην προσπάθεια για υποβοήθηση του διδακτικού σας έργου σας στέλνω µερικές πρώτες παρατηρήσεις, επισηµάνσεις και συµπληρώσεις µου στα νέα σχολικά βιβλία και γενικά στο µάθηµα των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου, ελπίζοντας ότι θα βρείτε κάτι χρήσιµο για την διδασκαλία σας. Περιµένω και τις δικές σας παρατηρήσεις και προτάσεις, ώστε να δηµιουργήσουµε ένα όσο το δυνατόν πλήρη κατάλογο ο οποίος αφενός θα υποστηρίζει το έργο σας, αφετέρου θα αποσταλεί στο Π. Ι. για µελλοντική βελτίωση των νέων βιβλίων. Παρακαλώ ένα αντίγραφο του εγγράφου αυτού να τοποθετηθεί στον φάκελο «ιδακτικής Μαθηµατικών». Το επόµενο διδακτικό υλικό θα αφορά σχέδια διδασκαλίας Γυµνασίου. Επειδή υπάρχουν γενικά καθυστερήσεις στην αποστολή των εγγράφων, καλό είναι να παρακολουθείτε την ηλεκτρονική αλληλογραφία ( s) του σχολείου και αν θέλετε να τα αναπαράγετε από εκεί, προτού έλθουν σε έγγραφη µορφή.

2 Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Γενικά Τα νέα βιβλία της Γ Γυµνασίου δίνουν βαρύτητα στις αποδείξεις (χωρίς να εγκαταλείπουν τον επαγωγικό τρόπο) και διαφέρουν σηµαντικά στο σηµείο αυτό από τα παλιά. Μάλιστα υπάρχουν και ασκήσεις επιπέδου Α Λυκείου. Βέβαια αυτό πρέπει να το δούµε σαν µια δοκιµή (πείραµα), αν δηλαδή όλοι µαθητές µπορέσουν να πεισθούν και να κατανοήσουν τους λογικούς συλλογισµούς, έστω και αν κατά τον Piaget ο νέος βρίσκεται ήδη στο στάδιο των «τυπικών νοητικών πράξεων» και µπορεί να κάνει χρήση του παραγωγικού συλλογισµού. Ο νέος αυτής της ηλικίας εξακολουθεί µερικές φορές να είναι ακόµη προσκολληµένος στις αισθήσεις και να πείθεται από την αισθητή και εποπτική πραγµατικότητα παρά από τους λογικούς συλλογισµούς. Σε τµήµατα µε χαµηλή επίδοση ας µην είµαστε απαιτητικοί τουλάχιστον τώρα στην αρχή της χρονιάς, τονίζοντας όµως σε κάθε ευκαιρία την αναγκαιότητα της λογικής τεκµηρίωσης (απόδειξης) για την καθολική εγκυρότητα ενός ισχυρισµού. Σε κάθε περίπτωση οι αποδείξεις πρέπει να αποτελέσουν το µέσο να δουν οι µαθητές τα Μαθηµατικά από µια άλλη πλευρά, την επιστηµονική και προπάντων να νιώσουν την χαρά και την απόλαυση της τελεσίδικης ανθρώπινης διανοητικής κατάκτησης και κατοχύρωσης και όχι να γίνουν φόβητρο, και µάλιστα από την τάξη αυτή, µε ολέθριες συνέπειες για την παραπέρα µάθηση. Μην ξεχνούµε τέλος ότι στην Α Λυκείου θα απλωθεί στους µαθητές διάπλατα το θεωρητικόαποδεικτικό πεδίο τόσο στην Άλγεβρα όσο (και κυρίως) στην Γεωµετρία. Όσο αφορά την αρκετά ενδιαφέρουσα διαθεµατική εργασία µε θέµα «Η έννοια της απόδειξης» (βλ.σελ.31 βιβλίο εκπαιδευτικού) έχω κάποιες επιφυλάξεις για το αν είναι η κατάλληλη τάξη για να γίνει (µπορεί να επιλεγεί άλλη) αλλά η επιλογή της ή µη επαφίεται στην δική σας κρίση. Α. ΑΛΓΕΒΡΑ Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγµατικού αριθµού ( σελ.0). Αρκετά ενδιαφέρον εδώ το πέρασµα (στο βιβλίο µαθητή) από την (ατελή) επαγωγική µέθοδο απόδειξης στην παραγωγική απόδειξη. Αναφέρεται στο βιβλίο µαθητή: «Για να αποδείξουµε την ισότητα αβ = α β υπολογίζουµε το τετράγωνο κάθε µέλους της ξεχωριστά ( α β) = ( α) ( β) = αβ, ( αβ) = αβ. Παρατηρούµε ότι οι δυο µη αρνητικοί αριθµοί είναι ίσοι, άρα αβ = α β». α β, αβ έχουν το ίδιο τετράγωνο αβ, οπότε Έτσι όµως χρησιµοποιείται, χωρίς να λέγεται, η πρόταση: αν x, y 0, ν Ν*, µε x = y τότε x = y, την οποία δεν γνωρίζουν οι µαθητές και την οποία βέβαια δεν µπορούµε εδώ να αποδείξουµε (δεν γνωρίζουν την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων). Προτιµότερη είναι η εξής απόδειξη: Επειδή ( α β) τετράγωνο είναι ίσο µε αβ είναι ο = ( α) ( β) = αβ, βλέπουµε ότι ο µη αρνητικός αριθµός του οποίου το α β.

3 Άρα (ορισµός) α β = αβ Αξιοσηµείωτες ταυτότητες (σελ. 4) Προβλέπονται 6 διδακτικές ώρες. Να µην διστάσετε, αν το κρίνετε σκόπιµο, να χρησιµοποιήσετε και -3 παραπάνω. Στην ενότητα 1.5 συγχρόνως µε τον ορισµό της ταυτότητας να υπενθυµίσουµε και τον ορισµό της εξίσωσης. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Η ενότητα αυτή είναι θεµελιώδης για την παραπέρα εκµάθηση της Άλγεβρας και της Ανάλυσης και χρήζει ιδιαίτερης προσοχής από τον Καθηγητή. Να επισηµάνουµε τον όρο «αξιοσηµείωτες» στους µαθητές. Να δίνεται και η γεωµετρική τους απόδειξη (εποπτικοπαραγωγική απόδειξη) (ή η γεωµετρική τους σηµασία), µε χάρτινες κατασκευές. Οι ταυτότητες πρέπει να διατυπώνονται και να αναγνωρίζονται και λεκτικά από τους µαθητές. Να γράφονται και µε κεφαλαία γράµµατα για να υποδηλώνουµε έτσι ότι τα γράµµατα µπορεί να είναι και ολόκληρες παραστάσεις, π.χ. (Α + Β)(Α - Β) = Α Β, Α = 3x, Β = 3y-1 Να αναφερθεί ότι εφαρµόζονται αµφίδροµα (από το πρώτο στο δεύτερο µέλος και αντίστροφα και να γραφούν έτσι στον πίνακα) ανάλογα µε την ανάγκη που έχουµε. Να κάνουµε αναφορά στο συχνό λάθος (α + β) = α + β κλπ. (µε συγκεκριµένους αριθµούς) που κάνουν κατ αναλογία του (αβ) ν = α ν β ν. Αξιοποίηση των βασικών αυτών ταυτοτήτων στην απόδειξη άλλων ταυτοτήτων (όχι στην τάξη αυτή ταυτότητες υπό συνθήκη). Οι αποδείξεις των ταυτοτήτων είναι αρκετό εδώ να γίνονται µε την µέθοδο της «άµεσης απόδειξης» (και όχι της «ανάδροµης πορείας» (ισοδυναµιών)). Να αναλάβει ένας ή δυο µαθητές να γράψουν τις ταυτότητες σε ένα χαρτόνι µε έγχρωµα γράµµατα, το οποίο θα αναρτηθεί στην τάξη ώστε να είναι σε άµεση θέα τα επόµενα µαθήµατα. Να µην εξετάζονται µαθητές στον πίνακα κατά την διάρκεια των µαθηµάτων αυτών, αλλά να γίνεται τεστ 5 λεπτών σε κάθε µάθηµα και µετά την επανάληψη της ενότητας και την λύση όλων των σχετικών ασκήσεων του βιβλίου (και ίσως και άλλων) να γίνει διαγώνισµα. Αν το διαγώνισµα είναι απορριπτικό κατά 5% τουλάχιστον, να γίνει δίωρη επανάληψη του κεφαλαίου και µετά να δοθεί εργασία στο σπίτι µε µερικές επαναληπτικές ασκήσεις µε ορισµένο χρονικό περιθώριο (π.χ. µια βδοµάδα).

4 Στα επόµενα µαθήµατα του κεφαλαίου καλό είναι να δίνεται, εκτός των κανονικών ασκήσεων του τρέχοντος µαθήµατος και µια άσκηση σχετική µε τις ταυτότητες («αναδροµική επανάληψη»). 3. Πρόσθεση - αφαίρεση αλγεβρικών παραστάσεων (1.10.Β. σελ.78) Πάρα πολύ χρήσιµο είναι εδώ να αναφερθεί και ο µνηµονικός κανόνας (αυτοµατισµός): α γ αδ± βγ ± = («γινόµενα σταυρωτά»). β δ βδ 4..1 Η εξίσωση αx+β = 0 (σελ.86). Εδώ υπάρχει η λύση και η διερεύνηση της εξίσωσης αx+β = 0 (µάλλον χάριν της αρχής της πληρότητας και της σπειροειδούς ανάπτυξης της ύλης), αλλά προσοχή, να µην λυθούν εδώ παραµετρικές εξισώσεις. Στόχος µας οι µαθητές να µπορούν να λύνουν µε ταχύτητα απλές κλασµατικές και µη εξισώσεις, (όχι πολύπλοκες) και να επιλύουν τύπους κυρίως από τη Φυσική. Για το θέµα του µη µηδενισµού του παρανοµαστή ενός κλάσµατος, που τόση πολύ αναφορά γίνεται συχνά στην τάξη αυτή, επιβάλλεται να δικαιολογηθεί. Βλέπε σχετικά τις διδακτικές παρατηρήσεις Α Γυµνασίου. 5.. Επίλυση εξίσωσης δευτέρου βαθµού - παραγοντοποίηση. Να γίνει η απόδειξη του τύπου των ριζών µόνο αν πιστεύουµε ότι αυτή ανταποκρίνεται στην αντιληπτική δυνατότητα των µαθητών µας. ιαφορετικά να αναφερθεί απλά ο τύπος και να λυθούν ασκήσεις µε βάση αυτόν. Να µην ξεχνάµε ότι το τριώνυµο είναι θέµα της Α Λυκείου, αλλά επειδή ορισµένα προβλήµατα (και Φυσικής) οδηγούν σε γενικές εξισώσεις δευτέρου βαθµού έχει µπει ο τύπος των ριζών για συντόµευση των λύσεων. Να µην δοθεί βαρύτητα στους τύπους της παραγοντοποίησης του τριωνύµου αλλά στην παραγοντοποίησή του µε τις κλασικές µεθόδους Β Aνισότητες 1 Να γίνει οπωσδήποτε η εφαρµογή 3 της σελίδας 114 και ως άσκηση η θ+ µε θ > 0. θ Ανάλογα µε το επίπεδο της τάξης µπορεί να αξιοποιηθεί παραπέρα και η (σηµαντική) παρατήρηση 1 (η οποία πρέπει να δικαιολογηθεί πλήρως) «αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει α + β = 0 τότε α = 0 και β = 0» («άθροισµα µη αρνητικών ίσο µε µηδέν»). Στην περίπτωση αυτή µπορούν να λυθούν εξισώσεις, όπως π.χ, (x - 1) + (y + 6) = 0, x (y + 6) = x, (ίσως) (x - 1) +(y + 6y + 9) 0, (α + 3) 4 + β +1 +γ = β, κλπ, και µετά, να δοθεί η επαναληπτική άσκηση 16 (σελ.119)..5.γ. Εισαγωγική δραστηριότητα για τις ανισώσεις: Ένας µαθητής διέθεσε λιγότερα από 13 και αγόρασε τετράδια που το καθένα κοστίζει ; Πόσα τετράδια αγόρασε; Πόσα το πολύ τετράδια µπορεί να αγοράσει; Να επισηµανθεί ότι η έννοια της ανίσωσης είναι αντίστοιχη της έννοιας της εξίσωσης, αλλά ότι

5 συνήθως αληθεύει για άπειρες τιµές του αγνώστου της. Όµοια, αντίστοιχη της έννοιας της ταυτότητας είναι στις ανισότητες η έννοια της ανισοταυτότητας (µόνιµη ανισότητα) π.χ. x 0, 1 + x > 0, x R κλπ. Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ Γενικά πρέπει να εξυψώσουµε την Γεωµετρία στα µάτια και στις ψυχές των µαθητών παίρνοντας αφορµή από τις θεωρητικές αποδείξεις. της ενότητας αυτής. Να έχουµε υπόψη ότι η γεωµετρική σκέψη υπερτερεί της αλγεβρικής στην ανάπτυξη Μαθηµατικών και γενικά πνευµατικών ικανοτήτων Ισότητα τριγώνων Να δώσουµε περισσότερο βάρος, από άλλα χρόνια, στην ενότητα αυτή. (υπάρχουν σκέψεις, χωρίς να είναι τίποτα σίγουρο, αυτή η ενότητα να µην ξαναδιδαχθεί στην Α Λυκείου στα µελλοντικά νέα βιβλία του Λυκείου) Ιδιαίτερο βάρος να δοθεί στην ενότητα αυτή στις αποδεικτικές ασκήσεις, αλλά πάντα στα πλαίσια των δυνατοτήτων των µαθητών. Επισήµανση-ορολογία: αντίστοιχες πλευρές, γωνίες. Είναι «ίσα τα τρίγωνα», άρα έχουν τα (υπόλοιπα) αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Μεθοδολογικά: Με τα κριτήρια ισότητας τριγώνων «απελευθερωνόµαστε» από τα γεωµετρικά όργανα µοιρογνωµόνιο και χάρακα και εν µέρει από το διαφανές χαρτί. Η σύγκριση πια δυο τµηµάτων ή δυο γωνιών ή δυο τριγώνων γίνεται πια θεωρητικά και χωρίς µετρήσεις (οι µετρήσεις παραµένουν για πρακτική χρήση) χρησιµοποιώντας τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και επιλέγοντας κάθε φορά κατάλληλα τρίγωνα. Να γίνουν όλες οι (αξιοσηµείωτες) εφαρµογές (ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου, µεσοκάθετης τµήµατος, διχοτόµου γωνίας) του βιβλίου και να επιµείνουµε στο ότι οι µαθητές µπορούν να τις χρησιµοποιούν στην λύση ασκήσεων. Να δοθεί και φωτοτυπία µε µερικές ακόµη π.χ 5-6 ασκήσεις. ιδακτικά χρήσιµο είναι να κατασκευάσουµε (ή έστω να σχεδιάσουµε απλά στον πίνακα) και να επιδείξουµε στους µαθητές δυο χάρτινα τρίγωνα µε δυο πλευρές ίσες και µια (όχι περιεχόµενη) γωνία ίση που δεν είναι ίσα: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Γ έχουν γωνία Γ κοινή και ΑΒ = Α, ΑΓ=ΑΓ κλπ

6 Α Κ Η Β Γ Όµοια χρήσιµη είναι και η κατασκευή δυο χάρτινων ορθογωνίων τριγώνων που έχουν µια κάθετη πλευρά ίση και µια (µη αντίστοιχη) οξεία γωνία ίση και είναι καταφανώς όχι ίσα (τα ορθ. τρίγωνα ΚΛΜ, ΗΘΜ, έχουν ΚΛ = ΘΜ και γωνία Μ κοινή).. Κίνητρο µάθησης (ή εφαρµογή), για την ιδιότητα της µεσοκάθετης ευθ. τµήµατος: Πρόβληµα Οι κάτοικοι τριών χωριών Α, Κ, Μ θέλουν να φτιάξουν µια γεώτρηση σε µια αγροτική περιοχή αλλά διαφωνούν στο που θα γίνει, αφού θέλουν να απέχει ίση απόσταση από το κάθε χωριό. Μπορείτε να τους βοηθήσετε; Για οποιαδήποτε ερώτηση ή παρατήρησή σας µπορείτε να επικοινωνήσετε µαζί µου. Λ Θ Μ Σας χαιρετώ Ο Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών ηµήτριος Μπουνάκης