3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Στη πράξη πολλές φορές χρειάζεται να προσδιορίσουμε την έξοδο ενός συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από ένα σήμα. Στο προηγούμενο κεφάλαιο, είδαμε ότι η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος περιέχει τις ίδιες συχνότητες με το σήμα εισόδου, με διαφορετικό όμς μέτρο και φάση. Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε μαθηματικά εργαλεία, τα οποία μας επιτρέπουν να αναλύουμε ένα σύνθετο σήμα σε σήματα απλών συχνοτήτν. Μια τέτοια προσέγγιση μας διευκολύνει ώστε να υπολογίσουμε την έξοδο ενός συστήματος, το οποίο διεγείρεται από ένα σύνθετο σήμα, με τη βοήθεια τν αποκρίσεν του συστήματος στις επιμέρους συνιστώσες απλών συχνοτήτν. Στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε τις μεθόδους αυτές ώστε να αναλύσουμε ένα αριθμό σημάτν, τα οποία συναντάμε συχνά στη πράξη. Εισαγγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συστήματος είναι το μιγαδικό εκθετικό σήμα ή το ημιτονοειδές σήμα, τότε η έξοδός του είναι σήμα της ίδιας συχνότητας με διαφορετικό πλάτος και φάση. Έτσι παρατηρήσαμε ότι είναι πολύ εύκολο να προσδιορίσουμε την έξοδο του ΓΧΑ συστήματος, όταν το σήμα που εφαρμόζεται στην είσοδό του αναλυθεί σε σήματα απλής συχνότητας. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουμε και θα μελετήσουμε τρόπους ανάλυσης ενός σήματος σε σήματα απλής συχνότητας. Έτσι, αν το σήμα αυτό διεγείρει ένα σύστημα, εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας, θα προσδιορίζουμε την έξοδο του συστήματος ς άθροισμα σημάτν που έχουν τις ίδιες συχνότητες με αυτές που περιέχει το σήμα εισόδου, τν οποίν το πλάτος και η φάση έχει υποστεί αλλαγή που προκαλεί το σύστημα. 3. Η Ιδέα του Χώρου τν Σημάτν Η γέννηση και οι ρίζες της θερίας αυτής οφείλονται στο Γάλλο Μαθηματικό Jean Bapise Joseph ourier (768-83), ο οποίος εισήγαγε την ανάλυση μιας συνάρτησης σε συναρτήσεις απλών συχνοτήτν για να μελετήσει φαινόμενα διάδοσης της θερμότητας. Η ανάλυση μιας σύνθετης ποσότητας σε απλούστερες συνιστώσες, με σκοπό η μελέτη ενός προβλήματος να γίνεται ευκολότερη, είναι μια γενικότερη μεθοδολογία. Για παράδειγμα, στη γραμμική άλγεβρα, ένα διάνυσμα αναλύεται σε μια βάση που περιγράφει το χώρο. Με αφορμή την παρατήρηση αυτή ας δούμε γιατί και όλα τα σήματα που ορίζονται σε ένα

2 58 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 διάστημα [ a, b] μπορούν να περιγραφούν και ς διανύσματα. Πράγματι, ο γραμμικός συνδυασμός δύο η περισσοτέρν σήματν δίνει ένα νέο σήμα στο ίδιο διάστημα. Επίσης ο πολλαπλασιασμός ενός σήματος με μια σταθερή ποσότητα δίνει ένα νέο σήμα στο ίδιο διάστημα. Εξετάζοντας τα σήματα ς διανύσματα σε ένα αντίστοιχο χώρο ανοίγεται ο δρόμος να αναλύσουμε ένα σήμα σε άθροισμα απλουστέρν σημάτν, στο διανυσματικό χώρο τν σημάτν στο διάστημα [ a, b]. Είναι σκόπιμο εδώ να θυμηθούμε μερικές βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα και στη συνέχεια να ορίσουμε αντίστοιχες έννοιες στα σήματα. Για παράδειγμα ένα διάνυσμα, στο χώρο τν τριών διαστάσεν παριστάνεται με τη βοήθεια τν προβολών του στα μοναδιαία διανύσματα του χώρου, τα οποία αποτελούν τη βάση του χώρου. Έτσι, το διάνυσμα a μπορεί να εκφραστεί ς a a + (3.) e + ae a3e3 όπου e, e και e 3 είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις τρεις βασικές διευθύνσεις του χώρου (Σχήμα 3.). Το διάνυσμα a μπορεί ισοδύναμα να παρασταθεί με τη τριάδα συντεταγμένν ( a, a, a3). z e 3 a x e e y Σχήμα 3. Ανάλυση διάνυσματος. Στο χώρο τν n διαστάσεν, ο οποίος έχει βάση ( e e e ) παριστάνεται ς n a i i i,,k n, κάθε διάνυσμα a e (3.) Το διάνυσμα a παριστάνεται, ισοδύναμα, από τις συντεταγμένες ( ) a, a,k a n. Η διάσταση του χώρου, n, είναι ο αριθμός τν μοναδιαίν διανυσμάτν τα οποία είναι αναγκαία και ικανά για να εκφράσουν κάθε διάνυσμα του χώρου. Τα διανύσματα a, a,, a K είναι ανεξάρτητα αν κανένα από αυτά δεν μπορεί να εκφραστεί ς γραμμικός συνδυασμός τν άλλν. Το εστερικό γινόμενο δύο διανυσμάτν n διαστάσεν a a i i e i και b b i i e i, συμβολίζεται με ab, και ορίζεται από τη σχέση ab, a b a b n i i i n n (3.3) όπου a είναι το ανάστροφο διάνυσμα του a. Το εστερικό γινόμενο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Είναι θετικά ορισμένο aa, >, αν a και, n

3 Ενότητα 3. Η Ιδέα του Χώρου τν Σημάτν 59 Αντιμεταθετική ab, ( ba, ) Επιμεριστική ( a + b), c ac, + bc, (3.4) ( ca), b c ab, υπενθυμίζεται ότι με * δηλώνεται ο συζυγής μιγαδικός. Δύο διανύσματα είναι ορθογώνια αν, ab,. Το μέτρο (norm) ή μήκος ενός διανύσματος a, συμβολίζεται με a και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που ορίζεται από τη σχέση a aa, n a i i (3.5) δηλαδή το μέτρο ενός διανύσματος είναι ίσο με την τετραγνική ρίζα του εστερικού γινομένου του διανύσματος με τον εαυτό του. Ένα σύνολο διανυσμάτν ( a, a, K, a n ) καλείται ορθοκανονικό, αν αυτά είναι ανά δύο ορθογώνια και όλα έχουν μέτρο ίσο με τη μονάδα, δηλαδή, a a ( ), m δ m, m m (3.6) Για μια ορθοκανονική βάση διανυσμάτν οι συντεταγμένες ( a, a, K, a n ) ενός διανύσματος a είναι οι προβολές του a σε κάθε ένα από τα διανύσματα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση Έτσι το a γράφεται ai a, e i,, K, n (3.7) i n a a, e e (3.8) i Στη συνέχεια θα ορίσουμε τις αντίστοιχες έννοιες για τα σήματα. Το εστερικό γινόμενο δύο σημάτν x () και y (), τα οποία ορίζονται στο διάστημα [, ab, ] συμβολίζεται με x (), y () και ορίζεται ς b i i x ( ), y ( ) x ( ) y ( d ) (3.9) a όπου y * () είναι το συζυγές σήμα του y (). Είναι εύκολο να δούμε ότι ο ορισμός αυτός πληρεί τις ακόλουθες ιδιότητες Είναι θετικά ορισμένο x ( ), x ( ) Αντιμεταθετική x ( ), y ( ) y ( ), x ( ) Επιμεριστική x ( ) + y ( ), z () x ( ), z ( ) + y ( ), z ( ) (3.) cx ( ), y ( ) cx ( ), y ( ) Δύο σήματα είναι ορθογώνια αν, x ( ), y ( ). Ένας μιγαδικός χώρος εφοδιασμένος με εστερικό γινόμενο καλείται και (μιγαδικός) Ευκλείδειος χώρος. Σε έναν Ευκλείδειο χώρο το εστερικό γινόμενο ορίζει ταυτόχρονα και *

4 6 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 το μέτρο (norm) ενός σήματος ς την τετραγνική ρίζα του εστερικού γινομένου του σήματος με τον εαυτό του, δηλαδή Προφανώς ο ( ) x b x ( ) x ( ) x ( ) x ( ), d (3.) είναι πάντα ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Θερούμε ένα σύνολο ορθοκανονικών σημάτν ( ) a { } ψ n, n,, K στο διάστημα [ a b] για τα οποία ισχύει ψ( ), ψm( ) δ ( m) και έστ ότι η σειρά xnψn( ) n συγκλίνει σε ένα σήμα x () στο διάστημα [ ab,, ] δηλαδή,, x ( ) x ψ ( ) n Τότε οι συντελεστές x n ικανοποιούν τη σχέση n n (3.) x x ( ),ψ ( ) x ( ) ψ ( d ) (3.3) n n n a b Η απόδειξη της (3.3) είναι προφανής, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της (3.) διαδοχικά με τις ψ n ( ), n,, K και να ολοκληρώσουμε. Παρατηρούμε ότι στο γραμμικό Ευκλείδειο χώρο, που δημιουργούν τα σήματα ψ n ( ), n,, K και τα όριά τους, η (3.) είναι το ανάπτυγμα του σήματος x ( ), ς προς τα σήματα ψ n ( ) και x n δεν είναι τίποτα άλλο από τις προβολές του x ( ) σε κάθε ένα από τα ορθοκανονικά σήματα ψ n ( ). Αν στην (3.9) θέσουμε ς όρια της ολοκλήρσης ±, ο Ευκλείδειος χώρος που προκύπτει είναι γνστός και ς χώρος L ( R), δηλαδή ( ) { ( ), (, + ) : ( ) <+} L R x x Το μέτρο είναι γνστό και ς L -μέτρο. Προφανώς στο χώρο αυτό ανήκουν όλα τα σήματα πεπερασμένης ενέργειας. Στις επόμενες παραγράφους θα ασχοληθούμε με συγκεκριμένα ορθοκανονικά σήματα και αναπτύγματα της μορφής (3.). Μία αυστηρά μαθηματική μελέτη του L ( R) είναι πέρα από τα πλαίσια του παρόντος εγχειριδίου. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στα σχετικά βιβλία της προτεινόμενης βιβλιογραφίας. 3.. Το σύνολο τν ορθογώνιν αναλογικών εκθετικών περιοδικών σημάτν Όπς έχουμε δει στην Παράγραφο.4., το εκθετικό σήμα e j είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο π. Τα εκθετικά σήματα, που έχουν κυκλική συχνότητα πολλαπλάσια της (e j, με, ±, ±,K), είναι επίσης περιοδικά με θεμελιώδεις περιόδους π, αντίστοιχα. Παρατηρούμε, ότι η περίοδος π είναι κοινή περίοδος για όλα τα σήματα e j,, ±, ±,K, αφού π π Τα εκθετικά σήματα, e j,, ±, ±,K, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά

5 Ενότητα 3. Η Ιδέα του Χώρου τν Σημάτν 6 διάστημα [, + ], διάρκειας π /, καλούνται αρμονικά συσχετιζόμενα εκθετικά σήματα, επειδή οι θεμελιώδεις συχνότητές τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο, δηλαδή είναι ανά δύο ορθογώνια. Πράγματι. το εστερικό γινόμενο τν εκθετικών σήματν e j και e jm, είναι Αν m τότε e Ενώ αν Τελικά j jm, e m είναι j jm j jm j ( m) e, e e e d e d j ( m) e j ( m) j ( m) j jm j ( m) e e, e e d d π j ( m) e (3.4) j jm e, e δ( m) (3.5) Η απόδειξη έγινε για το διάστημα [, ], με όμοιο τρόπο γίνεται για οποιοδήποτε διάστημα με μήκος. 3.. Το σύνολο τν ορθογώνιν αναλογικών τριγνομετρικών περιοδικών σημάτν Όπς έχουμε δεί στην Παράγραφο.4., τα σήματα, cos( ) και sin( ) με, ±, ±,K είναι περιοδικά με θεμελιώδεις περιόδους π, αντίστοιχα. Παρατηρούμε, ότι η περίοδος π είναι κοινή περίοδος για όλα τα σήματα. Τα σήματα, cos ( ) και sin( ), ±, ±,K σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά διάστημα [, + ] διάρκειας π / καλούνται αρμονικά συσχετιζόμενα και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Πράγματι, το εστερικό γινόμενο τν τριγνομετρικών σήματν sin ( ) και sin( m ), είναι sin,sinm sin sin m d ( ) ( ) ( ) ( ) cos [ ( ) ] [ + ] cos ( ) m d m d Παρατηρούμε ότι αν m τα ολοκληρώματα στο δεύτερο μέλος της εξίσσης είναι ίσα με μηδέν αφού η ολοκλήρση γίνεται σε μια περίοδο. Αντίθετα για m το πρώτο ολοκλήρμα είναι ίσο με, ενώ το δεύτερο είναι ίσο με μηδέν. Έτσι το εστερικό γινόμενο τν sin( ) και sin( m ) sin, είναι ( ),sin( m ) δ ( m) Με όμοιο τρόπο αποδεικνύονται και οι σχέσεις cos ( ),cos( m ) δ ( m) (3.6) (3.7)

6 6 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 ( ) ( ) sin,cos m, για καθε & και m (3.8) Η απόδειξη έγινε για το διάστημα [, ] και με όμοιο τρόπο γίνεται για οποιοδήποτε διάστημα με μήκος. 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 3.. Εκθετική σειρά ourier Στην Ενότητα 3.., είδαμε ότι τα εκθετικά στοιχειώδη σήματα, e j,, ±, ±,K, που ορίζονται σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά διάστημα διάρκειας [ ], +, όπου π / Τ και πραγματικός αριθμός, σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Έστ τώρα ένα σήμα x () στο διάστημα [ ] σε άθροισμα εκθετικών στοιχειδών σημάτν,, +, και ας υποθέσουμε ότι είναι δυνατόν να αναπτυχθεί ( ) x + a e j (3.9) Η οποία αποτελεί την εκθετική σειρά ourier ή το ανάπτυγμα ourier του σήματος ( ) x. Ο υπολογισμός τν συντελεστών a γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της (3.9) με e jn και ολοκληρώσουμε από ές + + xe ( ) jn d + jn xe ( ) j jn a e e (3.) + + j jn a e e d + j jn a e, e (3.) Λόγ της (3.5) όλοι οι όροι του αθροίσματος στο δεύτερο μέλος της (3.) είναι ίσοι με το μηδέν, εκτός από τον όρο n, ο οποίος είναι ίσος με. Από την (3.), έχουμε λοιπόν ότι + jn xe ( ) d an, ή an xe ( ) + jn Έτσι, αν υπάρχει το ανάπτυγμα ourier χαρακτηρίζεται από το ζεύγος τν εξισώσεν ( ) x + d (3.) j a e, [, + ] Εξίσση σύνθεσης (3.3) a + xe ( ) j d Εξίσση ανάλυσης (3.4) Οι μιγαδικοί συντελεστές a καλούνται συντελεστές ourier ή φασματικές γραμμές του x () και ορίζουν το φάσμα του σήματος. Η σταθερά a είναι η συνεχής ή η σταθερά συνιστώσα του φάσματος. Κάθε a αντιστοιχεί στην προβολή του σήματος x () πάν στην στη ορθογώνια συνιστώσα e j και δηλώνει το φασματικό περιεχόμενο του x () στη

7 Ενότητα 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 63 συχνότητα και ονομάζεται στη αρμονική συνιστώσα. Πρέπει να τονιστεί ότι το ανάπτυγμα ourier ισχύει μόνο στο διάστημα [, + ], και το εύρος καθορίζει τη βασική συχνότητα. Εάν παρατηρήσουμε την εκθετική σειρά ourier (3.3) διαπιστώνουμε ότι στο άθροισμα υπάρχουν και αρνητικές τιμές του, οι οποίες, βέβαια, αντιστοιχούν σε αρνητικές συχνότητες για τις οποίες δεν υπάρχει φυσική έννοια. Οι αρνητικές συχνότητες υπεισέρχονται στο άθροισμα επειδή αναπτύσσουμε το σήμα, που είναι μια πραγματική συνάρτηση, με τη βοήθεια μιγαδικών συναρτήσεν, e j. Θα επανέλθουμε στο σημείο αυτό αργότερα. 3.. Τριγνομετρική σειρά ourier Στην Ενότητα 3.., είδαμε ότι τα περιοδικά τριγνομετρικά σήματα, cos( ) και sin( ), < < +, που ορίζονται σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά διάστημα διάρκειας [, + ], όπου π / Τ και πραγματικός αριθμός, σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Έστ τώρα ότι το σήμα x (), στο διάστημα [, + ], αναπτύσσεται σε άθροισμα τριγνομετρικών σημάτν που το καθένα από αυτά έχει θεμελιώδη συχνότητα, δηλαδή x( ) a + b cos( ) + c sin( ) (3.5) Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές της τριγνομετρικής σειράς ourier (3.5), a, b, b, K, c, c, K, για οποιοδήποτε σήμα x ( ) για το οποίο υπάρχει ένα τέτοιο ανάπτυγμα. Για να προσδιορίσουμε τη σχέση με την οποία υπολογίζεται ο a ολοκληρώνουμε τη (3.5) από ές + και παρατηρούμε ότι όλα τα ολοκληρώματα στο δεύτερο μέλος, εφόσον η ολοκλήρση γίνεται σε μία περίοδο, είναι ίσα με το μηδέν, εκτός από το πρώτο το οποίο είναι ίσο με. Έτσι, ο συντελεστής a δίνεται από την a + xd ( ) (3.6) που είναι ίσος με τη μέση τιμή του σήματος. Ο υπολογισμός τν συντελεστών, b, γίνεται αν πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (3.5) με cos( n ) και ολοκληρώσουμε από ές +, ς εξής ( ) cos( ) cos( ) + cos( ) cos( ) x n d a n b n d c sin( ) cos( n) d b n (3.7) όπου αλλάξαμε τη σειρά ολοκλήρσης και άθροισης. Το πρώτο ολοκλήρμα στο δεύτερο μέλος της (3.7) είναι ίσο με μηδέν. Επιπλέον λόγ τν (3.8) όλα τα ολοκληρώματα στο δεύτερο άθροισμα της (3.7) είναι ίσα με μηδέν, ενώ λόγ της (3.7) από τα ολοκληρώματα στο πρώτο άθροισμα, μόνο το ολοκλήρμα για n είναι ίσο με και όλα τα άλλα είναι ίσα με μηδέν. Έτσι, οι συντελεστές b n δίνονται από την

8 64 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 b n + x ( ) ( n ) d n cos,,, K (3.8) Με όμοιο τρόπο βρίσκεται ότι οι συντελεστές c n προσδιορίζονται από την c n + x ( ) ( n ) d n sin,,, K (3.9) Από τα παραπάν προκύπτει ότι η τριγνομετρική αναπαράσταση ourier τν περιοδικών σημάτν χαρακτηρίζεται από τις εξισώσεις σύνθεσης και ανάλυσης όπου a + ( ) + cos( ) + sin( ), [ + ] x a b c , (3.3) xd ( ) b x ( ) ( d ) c x ( ) ( d ), cos, sin (3.3) Με τη βοήθεια γνστής τριγνομετρικής ταυτότητας έχουμε ( ) + ( ) ( + θ ) b cos c sin A cos A b + c c και θ an b Έτσι, το τριγνομετρικό ανάπτυγμα ourier (3.3) μπορεί να γραφεί και ς ( ) x () a + A cos + θ (3.3) Από τη (3.3) παρατηρούμε, ότι το σήμα x () έχει αναλυθεί σε ένα άθροισμα συνημίτονν, κάθε ένα από τα οποία έχει διαφορετικό πλάτος και φάση. Επίσης, ας σημειθεί ότι εδώ δεν υπεισέρχονται αρνητικές συχνότητες. Η συνεισφορά κάθε συχνότητας στο άθροισμα προσδιορίζεται από την τιμή του συντελεστού A, του αντίστοιχου συνημίτονου. Αν οι συντελεστές τν όρν με χαμηλές συχνότητες είναι σχετικά μεγαλύτεροι από τους συντελεστές τν όρν με υψηλές συχνότητες, τότε η ταχύτητα μεταβολής του σήματος ς προς το χρόνο είναι μικρή και το σήμα χαρακτηρίζεται ς σήμα χαμηλών συχνοτήτν. Αντίθετα, αν οι συντελεστές τν όρν με χαμηλές συχνότητες είναι σχετικά μικρότεροι από τους συντελεστές τν όρν με υψηλές συχνότητες τότε η ταχύτητα μεταβολής του σήματος ς προς το χρόνο είναι μεγάλη και το σήμα χαρακτηρίζεται ς σήμα υψηλών συχνοτήτν. Φυσικά οι έννοιες χαμηλών ή υψηλών συχνοτήτν είναι έννοιες σχετικές και εξαρτώνται από την κάθε εφαρμογή Σειρές ourier περιοδικών σημάτν Μέχρι τώρα ορίσαμε το ανάπτυγμα σε σειρά ourier ενός σήματος σ ένα διάστημα [, + ]. Έξ από το διάστημα αυτό η σειρά ourier δεν συγκλίνει κατ ανάγκη στο σήμα x (). Ας δούμε όμς τι γίνεται, εάν το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο, εάν δηλαδή

9 Ενότητα 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 65 x () x ( + ). Το ανάπτυγμα ourier του x () σε ένα χρονικό διάστημα εύρους, ίσο με j μια περίοδο, είναι x ( ) a e με π /Τ. Επειδή e j ( ) e j +, η σειρά ourier είναι περιοδική με περίοδο ίση με την περίοδο του σήματος, άρα συγκλίνει στο x () σε όλο το διάστημα < <. Το ίδιο ισχύει και για την τριγνομετρική σειρά ourier. Σημειώνουμε ότι όταν το σήμα είναι περιοδικό, η ολοκλήρση στις εξισώσεις ανάλυσης μπορεί να γίνει σ ένα αυθαίρετο διάστημα εύρους Τ Ύπαρξη σειράς ourier Το ερώτημα που τώρα τίθεται είναι εάν και κάτ από ποιες προϋποθέσεις ένα σήμα μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ourier. Μέχρι τώρα απλώς υποθέσαμε ότι το ανάπτυγμα αυτό υπάρχει. Αποδεικνύεται ότι, αν πληρούνται ορισμένες συνθήκες υπάρχει το ανάπτυγμα ενός σήματος σε σειρά ourier Ικανή Συνθήκη. Η συνάρτηση (σήμα) x () να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη στο διάστημα εύρους, δηλαδή, + x ( ) d <+ (3.33) Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει ότι κάθε συντελεστής a είναι πεπερασμένος. Πράγματι, για κάθε συντελεστή a είναι και λόγ της (3.33), έχουμε a <. a + + j xe ( ) d x ( ) d Ένα σήμα το οποίο παραβαίνει τη συνθήκη αυτή είναι το σήμα του Σχήματος 3.α ( ) x, < ( ) x ( ) x ( ) x 4 K K 8 (a) (β) (γ) Σχήμα 3. Σήματα τα οποία δεν ικανοποιούν τις συνθήκες του Dirichle. Ικανή Συνθήκη. Η συνάρτηση (σήμα), x (), σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα είναι συνεχής ή να περιέχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών, καθεμία από τις οποίες είναι πεπερασμένου ύψους. Ένα σήμα στο διάστημα [, 8 ] το οποίο ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη, ενώ παραβαίνει τη δεύτερη συνθήκη είναι το σήμα x ()

10 66 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 ( ) x, < 4 /, 4 < 6 / 4, 6 < 7 M M Στο Σχήμα 3.β βλέπουμε το γράφημα του σήματος x (). Παρατηρούμε ότι το εμβαδό κάτ από τη x f () σε χρονικό διάστημα 8 είναι μικρότερο από 8, έτσι η πρώτη συνθήκη ικανοποιείται. Ικανή Συνθήκη 3. Η συνάρτηση (σήμα), x () να είναι φραγμένης κύμανσης, δηλαδή, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός μεγίστν και ελαχίστν στο διάστημα. Ένα σήμα το οποίο ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη και παραβαίνει την τρίτη είναι το σήμα του Σχήματος 3.γ ( ) x π sin, <. Οι συνθήκες, αυτές είναι γνστές ς συνθήκες Dirichle. Συναρτήσεις που πληρούν τις συνθήκες και 3 χαρακτηρίζονται ς τμηματικά ομαλές. Εάν ένα σήμα πληροί τις συνθήκες Dirichle, τότε υπάρχει ο μετασχηματισμός ourier του. Παράδειγμα 3. Με το παράδειγμα αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τη φυσική σημασία της εκθετικής σειράς ourier και να προσδιορίσουμε τη σχέση της με τη τριγνομετρική σειρά ourier. Θερούμε το περιοδικό σήμα x (), με θεμελιώδη συχνότητα π, το οποίο δίνεται από την x ( ) a e j όπου a, a a, a a, a3 a 3, a a και a5 a 5 Με αντικατάσταση τν συντελεστών στην αρχική εξίσση έχουμε x e e e e e e 6 jπ jπ j6π j6π jπ jπ ( ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) και με τη βοήθεια της ταυτότητας του Euler το σήμα γράφεται o (3.34) (3.35) x ( ) + cos( π) + cos( 6π) + cos( π ) (3.36) 3 5 Η (3.6) αποτελεί το τριγνομετρικό ανάπτυγμα του x ( ). Η κατασκευή του σήματος ( ) από αρμονικά συνημιτονοειδή σήματα, φαίνεται στο Σχήμα 3.3. x, Θα δούμε ότι τα συμπεράσματα του Παραδείγματος 3. γενικεύονται για κάθε πραγματικό σήμα. Αν το ( ) x είναι πραγματικό τότε j * * j j * j x ( ) x ( ) a e a e a e a e

11 Ενότητα 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 67 δηλαδή προκύπτει ότι a * a ή a * a. (3.37) Αν οι συντελεστές ourier a είναι πραγματικοί αριθμοί, θα είναι a a. x ( ) ( ) cos( π) x x ( ) + x ( ) x ( ) + x ( ) + x ( ) ( ) 3 cos ( 3π ) x ( ) cos ( π ) x 3 5 x ( ) + x ( ) + x ( ) + x ( ) 3 Σχήμα 3.3 Κατασκευή του σήματος x () από αρμονικά συσχετιζόμενα συνημίτονα. Αν διασπάσουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος της (3.3) έχουμε j j j j x ( ) a e + a + a e a e + a + a e x j j j * j ( ) a + [ a e + a e ] a + [ a e a e ] + και με τη βοήθεια της (3.37) και επειδή R e { z} ( z + z ) / έχουμε x ( ) a j + R e { a e } j Αν εκφράσουμε το a σε σφαιρικές συντεταγμένες a a e θ, έχουμε j ( + θ) ( ) + R { } x a e a e * (3.38) (3.39)

12 68 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 ( ) + ( + ) x a A cos θ (3.4) όπου A a. Παρατηρήστε ότι για τη δημιουργία του συνημιτόνου συχνότητας συμμετέχουν η αντίστοιχη θετική και αρνητική συχνότητα του μιγαδικού αναπτύγματος. Από τις (3.4), (3.8) και (3.9) με την βοήθεια της ταυτότητας του Euler έχουμε a b jc. Έτσι αν αντικαταστήσουμε το a στην (3.38) έχουμε ( ) + R {( )( + )} x a e b jc cos( ) jsin( ) η & ( ) + [ cos( ) + sin( )] x a b c (3.4) Στο Πίνακα 3. υπάρχουν οι εξισώσεις σύνθεσης της εκθετικής και της τριγνομετρικής σειράς ourier ενός περιοδικού σήματος και οι σχέσεις μεταξύ τν αντίστοιχν συντελεστών. Τα τριγνομετρικά αναπτύγματα ourier που περιγράφουν οι (3.4) και (3.4), για πραγματικά σήματα είναι ισοδύναμα με τη εκθετική σειρά ourier και περιέχουν μόνο θετικές συχνότητες. Η ανάπτυξη, όμς σε μιγαδικά σήματα είναι πιο εύκολη από μαθηματική άποψη και με αυτήν κυρίς εργαζόμαστε. x ( ) ΠΙΝΑΚΑΣ 3. Σειρές ourier + j a e j a xe ( ) d ( ) + cos( + θ ) x a A [ ( ) ( )] x () a + b cos + c sin A a a b jc Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί η μέση ισχύς κάθε όρου της εκθετικής σειράς ourier (3.3). Λύση Από τη (.) η μέση ισχύς σήματος είναι P x lim Αν η ολοκλήρση γίνει σε χρονικό διάστημα [, + ], έχουμε ( ) x d (3.4) P x ( ) x d Ο στος όρος του μιγαδικού αναπτύγματος ourier, e j o ισχύ (3.43) προσφέρει στο άθροισμα μέση

13 Ενότητα 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 69 P j a * j a e a e d d a (3.44) 3..5 Ταυτότητα του Parseval Η ολική μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος είναι ίση με το άθροισμα τν ισχύν όλν τν όρν της εκθετικής σειράς ourier, δηλαδή, P x x ( ) d a (3.45) Η σχέση αυτή ονομάζεται ταυτότητα του Parseval και εκφράζει τη δυνατότητα εύρεσης της ισχύος στο πεδίο χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτν. Απόδειξη Η (3.45) με τη βοήθεια της εξίσσης ανάλυσης δίνει διαδοχικά j j Px x ( ) a e d a xe ( ) d a a a Αν το σήμα ( ) x είναι πραγματικό λόγ της (3.37) έχουμε P x x ( ) d a a + (3.46) Παράδειγμα 3.3 Να υπολογιστεί η μέση ισχύς κάθε όρου της τριγνομετρικής σειράς ourier (3.3). Λύση Ο στος όρος της (3.3) είναι ο A cos( + θ ) και προσφέρει ισχύ P ( θ ) A + + A ( + ) d cos cos θ A A P d + ( + ) cos θ επειδή το πρώτο ολοκλήρμα είναι ίσο με και το δεύτερο ολοκλήρμα είναι ίσο με μηδέν, έχουμε P A Η μέση ισχύς του σήματος λόγ της (3.47) θα είναι P x ( ) x d a + A d d (3.47) (3.48) που προκύπτει και από την (3.46) για A a. Αν εκφράσουμε το a στην (3.46) σε καρτεσιανές συντεταγμένες a b jc έχουμε

14 7 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 P x x ( ) d ( ) a + b + c 4 Από τα Παραδείγματα 3. και 3.3 έχουμε τις ακόλουθες παρατηρήσεις (3.49) Για πραγματικά σήματα, επειδή a * a έχουμε a a. Έτσι, η ισχύς της στης αρμονικής, P αρμονικής, P a, στην εκθετική σειρά ourier (3.3) είναι ίση με την ισχύ της στης a. Για πραγματικά σήματα ισχύει ότι A a, δηλαδή, τα πλάτη του τριγνομετρικού αναπτύγματος είναι ίσα με το διπλάσιο τν αντίστοιχν συντελεστών του εκθετικού αναπτύγματος για τις θετικές τιμές του, έτσι η ισχύς της στης τριγνομετρική σειρά ourier (3.4), P αρμονικής στην A, είναι ίση με το άθροισμα της ισχύος της στης αρμονικής και της στης αρμονικής στην εκθετική σειρά. Η ύπαρξη αρνητικής συχνότητας, για πραγματικά σήματα, είναι απόρροια της αναπαράστασης του σήματος με τη βοήθεια μιγαδικών σημάτν και έχει ς αποτέλεσμα να μοιράζει εξίσου την ισχύ μεταξύ θετικής και αρνητικής αρμονικής. Στην πραγματικότητα το αρνητικό μέρος του φάσματος δεν μας παρέχει καμιά πληροφορία, πράγμα που επιβεβαιώνεται από τις εξισώσεις (3.4) και (3.4). Φυσικά, αυτό δεν ισχύει για μιγαδικά σήματα. Παράδειγμα 3.4 Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourier του σήματος ( ) ( ) x cos. Λύση Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler το σήμα γράφεται ( ) ( ) j j x () e + e. (3.5) Η σύγκριση της τελευταίας εξίσσης με την εξίσση σύνθεσης δίνει a a, a, ±, 3,K (3.5) ± στο Σχήμα 3.4 έχουν σχεδιαστεί οι συντελεστές του αναπτύγματος ourier. L a n L n Σχήμα 3.4 Οι συντελεστές ourier του σήματος x ( ) cos( ). Παράδειγμα 3.5 Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourier του σήματος x () sin( ). Λύση Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler το σήμα γράφεται

15 Ενότητα 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 7 j j ( ) e e (3.5) j j x Η σύγκριση της τελευταίας εξίσσης με την εξίσση σύνθεσης δίνει a, a και a, ±, ± 3,K (3.53) j j στο Σχήμα 3.5 έχει σχεδιαστεί το μέτρο και η φάση τν συντελεστών του αναπτύγματος ourier. L a L L π arg{ a } L π Σχήμα 3.5 Το μέτρο και η φάση τν συντελεστών ourier του σήματος x ( x ) sin( ). Παράδειγμα 3.6 Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς και της τριγνομετρικής σειράς ourier για το περιοδικό τετραγνικό σήμα, < x (), < < (3.54) Λύση Στο Σχήμα 3.6 έχει σχεδιαστεί το περιοδικό τετραγνικό σήμα. Παρατηρούμε ότι το σήμα έχει θεμελιώδη περίοδο και συχνότητα π /. Οι συντελεστές ourier υπολογίζονται με τη βοήθεια της εξίσσης ανάλυσης, όπου η ολοκλήρση γίνεται από / ές /. x () Σχήμα 3.6 Το περιοδικό τετραγνικό σήμα του Παραδείγματος 3.6. Έτσι για έχουμε ενώ για έχουμε a j e d j e a d a (3.55) j e sin( ) j j e j

16 7 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 και επειδή π, έχουμε ( ) a sin π (3.56) Για την περίπτση, όπου 4 x είναι συμμετρικό τετραγνικό σήμα, ισχύει ότι π / και οι συντελεστές ourier δίνονται από τη σχέση, το ( ) π ( ) sin a, και a π Έτσι a a π a a 3 ( π) a a 5 ( π) ,,K και a αν άρτιος. (3.57) Στο Σχήμα 3.7 έχουν σχεδιαστεί οι συντελεστές ourier για το περιοδικό τετραγνικό σήμα αν το είναι σταθερό και για διαφορετικές τιμές στην περίοδο Σχήμα 3.7 Οι συντελεστές ourier για το περιοδικό τετραγνικό σήμα για σταθερό και διαφορετικές τιμές στην περίοδο. Με τη βοήθεια τν (3.3) υπολογίζουμε τους συντελεστές της τριγνομετρικής σειράς ourier a, ( ) b sin π 3..6 Φαινόμενο Gibbs για 3,,K,b για 4,,Kκαι c για,,k Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει αν προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το περιοδικό σήμα x ( ) από το πεπερασμένο άθροισμα x ( ) a e N N N j (3.58)

17 Ενότητα 3. Ανάπτυγμα ourier - Σειρά ourier 73 χρησιμοποιώντας τη συνεχή και μόνο N αρμονικές συνιστώσες του φάσματος. Το σφάλμα προσέγγισης είναι en() x () xn(). Στο Σχήμα 3.8 έχουμε σχεδιάσει την προσέγγιση του περιοδικού τετραγνικού σήματος από τη (3.58) για διάφορες τιμές της παραμέτρου N. xn() N xn () N 3 xn() N 7 x N () N 9 xn() N 79 Σχήμα 3.8 Η προσέγγιση του περιοδικού τετραγνικού σήματος από το μερικό άθροισμα (3.58) για διάφορες τιμές της παραμέτρου N. Η προσέγγιση ενός σήματος, x (), το οποίο παρουσιάζει ασυνέχειες πεπερασμένου ύψους, από ένα άθροισμα με σήματα απλών συχνοτήτν της μορφής e j, τα οποία είναι συνεχείς συναρτήσεις, δημιουργεί στο σημείο ασυνέχειας του σήματος x () ταλαντώσεις. Επιπλέον, στα σημεία ασυνέχειας το γράφημα του σήματος xn() διέρχεται από το μέσο της ασυνέχειας που παρουσιάζει το σήμα x () στο σημείο αυτό. Δηλαδή, μπορεί να αποδειχθεί

18 74 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 + ( ) [ x( ) + x( )] x N (3.59) όπου x ( ) + και x( ) είναι τα όρια του σήματος x () από τα αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, στο σημείο ασυνέχειας. Το πλάτος τν ταλαντώσεν είναι ανεξάρτητο του πλήθους τν συχνοτήτν που συνεισφέρουν στην προσέγγιση του σήματος x () από τη (3.58). Όσο το N αυξάνεται τόσο περισσότερες συχνότητες συνεισφέρουν στην ανακατασκευή του σήματος. Όταν N, τότε όλες οι αρμονικές συχνότητες λαμβάνουν μέρος και το σήμα x () ανακτάται πλήρς. Αντίθετα, αν το N είναι πεπερασμένο υπάρχουν συχνότητες που δε λαμβάνονται υπόψη στο άθροισμα. Αυτό έχει ς αποτέλεσμα να παρατηρούνται ταλαντώσεις στο σημείο ασυνέχειας. Σε αντίθεση με το πλάτος τν ταλαντώσεν που παραμένει αναλλοίτο όσο το N αυξάνεται, το εύρος της περιοχής, στην οποία εντοπίζονται οι ταλαντώσεις, τείνει στο μηδέν. Το φαινόμενο αυτό είναι γνστό ς φαινόμενο Gibbs [], [5]. 3.3 Μετασχηματισμός ourier Στην προηγούμενη ενότητα, είδαμε πς ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπτυχθεί στο διάστημα (, + ) σε μια σειρά ourier, δηλαδή να παρασταθεί ς ένας γραμμικός συνδυασμός απείρν αρμονικών εκθετικών σημάτν. Στην ενότητα αυτή, θα δούμε ότι τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να επεκταθούν και σε μη περιοδικά σήματα, στο διάστημα (, + ). Επισημαίνουμε, για άλλη μία φορά, ότι για μη περιοδικά σήματα το ανάπτυγμα σε σειρά ourier είναι δυνατό σε πεπερασμένου εύρους διαστήματα. Στο Παράδειγμα 3.6 είδαμε ότι, οι συντελεστές της σειράς ourier του περιοδικού τετραγνικού σήματος είναι ( ) a sin (3.6) όπου είναι η περίοδος και π η κυκλική συχνότητα. Υπενθυμίζεται ότι οι συντελεστές ourier ή φασματικές γραμμές του σήματος a, προσδιορίζουν τη συνεισφορά κάθε συχνότητας στο ανάπτυγμα ourier του σήματος, και ότι αποτελούν το φάσμα του σήματος, το οποίο για το λόγο αυτό χαρακτηρίζεται ς γραμμικό φάσμα. Η εξίσση (3.6) μπορεί να αποκτήσει τη μορφή όπου x. ( ) sin( x) a sin x (3.6) Η συνάρτηση sin() x αποτελεί την περιβάλλουσα του φάσματος, δηλαδή οι φασματικές x γραμμές, οι οποίες βρίσκονται στις συχνότητες, είναι φραγμένες από την συνάρτηση αυτή, όπς φαίνεται στο Σχήμα 3.9.

19 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 75 a a π Περιβάλλουσα sin( Τ ) Τ π π π Σχήμα 3.9 Οι συντελεστές ourier και η περιβάλλουσά τους για το περιοδικό τετραγνικό κύμα. Από το Σχήμα 3.9 έχουμε για το φάσμα τις παρατηρήσεις Η συνεχής συνιστώσα του φάσματος είναι a. Η θεμελιώδης συχνότητα ( ) είναι π. Η απόσταση μεταξύ τν φασματικών γραμμών ( ) είναι π. Ο πρώτος μηδενισμός της περιβάλλουσας του φάσματος γίνεται όταν sin( ) π (αν δεν είναι ακέραιος αριθμός, τότε δεν υπάρχει φασματική γραμμή στη συχνότητα αυτή). Η συχνότητα του πρώτου μηδενισμού είναι π. Αν υποθέσουμε τώρα ότι η περίοδος αυξάνεται ενώ διατηρούμε σταθερό το. Το αποτέλεσμα της αύξησης αυτής στη μορφή του τετραγνικού κύματος φαίνεται στα Σχήματα 3. a, a, a3, στα οποία έχει σχεδιαστεί το περιοδικό κύμα για 4, 8 και 6. Παρατηρούμε ότι κρατώντας την τιμή του σταθερή, διατηρούμε σταθερή τη χρονική διάρκεια τν τετραγνικών παλμών και αυξάνοντας την τιμή της περιόδου αυξάνουμε την οριζόντια απόσταση τν τετραγνικών παλμών που αποτελούν το τετραγνικό κύμα. Στα Σχήματα 3. β, β, β3 έχουμε σχεδιάσει τα αντίστοιχα φάσματα, για τα οποία παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται η περίοδος του τετραγνικού κύματος Το πλάτος τν φασματικών γραμμών ελαττώνεται. Η απόσταση μεταξύ τν φασματικών γραμμών, ελαττώνεται Το πλήθος τν φασματικών γραμμών που περιέχονται στο κεντρικό λοβό αυξάνεται. Η συχνότητα του πρώτου μηδενισμού, δεν μεταβάλλεται Η περιβάλλουσα του φάσματος, sin() x, διατηρεί σταθερή μορφή. x Όταν το αρχικό περιοδικό κύμα μετατρέπεται στο μη περιοδικό σήμα του τετραγνικού παλμού. Επίσης όταν, έχουμε τη δημιουργία ενός απείρου πλήθους φασματικών γραμμών, με πλάτος το οποίο τείνει στο μηδέν και η μεταξύ του απόσταση τείνει επίσης στο μηδέν. Παρατηρούμε ότι όταν το περιοδικό τετραγνικό κύμα γίνεται τετραγνικός παλμός χάνονται τα πάντα στο φάσμα.

20 76 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 4 a π π (a ) (β ) 8 a 4 8 π (a ) (β ) π 6 a 8 6 π π (a 3 ) (β 3 ) Σχήμα 3. Το περιοδικό τετραγνικό κύμα και οι φασματικές γραμμές του για σταθερή τιμή και διαφορετικές τιμές περιόδου. Η πορεία την οποία περιγράψαμε δεν είναι κατάλληλη για να πετύχουμε το φάσμα ενός απλού παλμού. Στη συνέχεια θα δούμε, πώς στο στόχο αυτό μπορούμε να φτάσουμε σαν μια οριακή περίπτση τν όσν ήδη γνρίζουμε. Για το περιοδικό τετραγνικό κύμα του Παραδείγματος 3.6 το γινόμενο της περιόδου επί το συντελεστή a γράφεται a ( ) sin( ) sin (3.6) Στο Σχήμα 3. είναι οι γραφικές παραστάσεις a f( ) για σταθερή τιμή του και

21 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 77 για διαφορετικές τιμές του. Όταν το αυξάνεται το πλήθος τν συντελεστών της σειράς ourier γίνεται όλο και μεγαλύτερο, ενώ τα αντίστοιχα γινόμενα παραμένουν σταθερά. Το διάστημα μεταξύ τν δειγμάτν a γίνεται όλο και μικρότερο, δηλαδή τα δείγματα πλησιάζουν όλο και περισσότερο μεταξύ τους και μπορούμε να πούμε ότι τελικά όταν το σύνολο τν γινομένν a πλησιάζει την περιβάλλουσα. Και το αντίστοιχο φάσμα γίνεται συνεχές. Αυτή είναι η βασική ιδέα του μετασχηματισμού ourier. 4 a π (a ) (β ) π 8 a 4 8 π (a ) (β ) π 6 a 8 6 π π (a 3 ) (β 3 ) Σχήμα 3. Το περιοδικό τετραγνικό κύμα τα γινόμενα σταθερή τιμή και διαφορετικές τιμές περιόδου. a και η περιβάλλουσά τους για Η συνεχής συνάρτηση sin ( ), η οποία είναι η περιβάλλουσα τν a αποτελεί το μετασχηματισμό ourier του τετραγνικού παλμού. Οι συντελεστές του αναπτύγματος ourier του τετραγνικού κύματος είναι ισαπέχοντα δείγματα της περιβάλλουσας. Η δε απόστασή τους προσδιορίζεται από την περίοδο μέσ της σχέσης

22 78 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 π (3.63) Στη συνέχεια θα γενικεύσουμε τα παραπάν συμπεράσματα για κάθε μη περιοδικό σήμα. Έστ ένα μη περιοδικό σήμα x ( ) πεπερασμένης διάρκειας δηλαδή x ( ) αν > (Σχήμα 3.α) για το οποίο υποθέτουμε ότι υπάρχει το ανάπτυγμα ourier. Με τη βοήθεια του σήματος x ( ) δημιουργούμε το περιοδικό σήμα ~x ( ) με περίοδο ( > ), του οποίου το x ( ) αποτελεί μια περίοδο (Σχήμα 3.β). Επειδή το σήμα ~ x ( ) είναι περιοδικό μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ourier για όλα τα (, + ). Οι εξισώσεις σύνθεσης και ανάλυσης του σήματος ~ x ( ) είναι + ~x ( ) a e j (3.64) Επειδή ~ x ( ) x ( ) για o a ~ j x ( ) e d οι συντελεστές της σειράς ourier δίνονται από την (3.65) a + j o x ( ) e d (3.66) και αφού x ( ) έξ από το διάστημα ολοκλήρσης έχουμε τελικά για τους συντελεστές της σειράς ourier a + x ( ) e j d (3.67) x () (α) ~ x() L L (β) Σχήμα 3. (α) Μη περιοδικό σήμα x () και (β) ~ x ( ) η περιοδική επέκταση του x (). Ορίζουμε τη μιγαδική συνάρτηση ( ) X της πραγματικής μεταβλητής + j X( ) xe ( ) d (3.68)

23 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 79 Με τη βοήθεια της συνάρτησης αυτής οι συντελεστές a μπορούν να εκφραστούν ς a ( ) X (3.69) και από τη (3.64) το σήμα ~x (, ) δηλαδή η περιοδική επανάληψη του x ( ), δίνεται από την και επειδή π ~x + ( ) ( ) X ej ~x + ( ) X ( ) e j π (3.7) (3.7) Ας θερήσουμε τώρα ότι το διάστημα αυξάνει συνεχώς, με. Η απόσταση λοιπόν μεταξύ τν διαδοχικών αρμονικών, π /, συνεχώς ελαττώνεται και τείνει στο μηδέν ( d ) και το γίνεται η συνεχής μεταβλητή ( ). Έτσι, το φάσμα γίνεται συνεχές και το άθροισμα στο δεύτερο μέλος της (3.7) γράφεται ς ολοκλήρμα. Επίσης, το σήμα ~x ( ) προσεγγίζει το σήμα x ( ) και το σήμα x ( ) δίνεται από την εξίσση + j x ( ) X( ) e d π (3.7) Η εξίσση (3.7) αποτελεί την εξίσση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήμα στο πεδίο του χρόνου. Η συνάρτηση + j X( ) x ( ) e d (3.73) αποτελεί την εξίσση ανάλυσης και είναι ο Μετασχηματισμός ourier (Μ) του σήματος x ( ). Ακριβέστερα, μετασχηματισμός ourier είναι ο κανόνας εύρεσης της X ( ) από την x (), δηλαδή, η (3.73). Η συνάρτηση X ( ) (που είναι μια απεικόνιση X : IR Z ) λέγεται μετασχηματισμός ourier. Συχνά αναφερόμαστε σ αυτόν και ς το φάσμα του σήματος. Ο μετασχηματισμός ourier έχει νόημα για όλο το διάστημα (, + ) και αναπαριστά μη περιοδικά σήματα με τη βοήθεια εκθετικών σημάτν και με τον τρόπο αυτό αναδεικνύεται το φασματικό τους περιεχόμενο. Παρατηρήσεις Στο ανάπτυγμα σε σειρά ourier, η εξίσση ανάλυσης αναλύει ένα σήμα x() στο διάστημα [, + ], (ή στο διάστημα (, + ) αν το σήμα είναι περιοδικό), σε ένα διακριτό φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτν με αρμονικά συσχετιζόμενες συχνότητες, πολλαπλάσιες της θεμελιώδους συχνότητας, στο οποίο η αρμονική τάξης έχει πλάτος a. Αν, για παράδειγμα, το σήμα x () είναι σήμα τάσης η μονάδα μέτρησης τν συντελεστών a είναι Vols. Στο μετασχηματισμό ourier, η εξίσση ανάλυσης αναλύει ένα μη περιοδικό σήμα x () στο διάστημα (, + ) σ ένα συνεχές φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτν. Το

24 8 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 φασματικό περιεχόμενο στο απειροστό διάστημα συχνοτήτν [ ] συνεισφορά τν συχνοτήτν [, +d ] έχει πλάτος X( ) d, +d είναι X ( ). Η ( π). Αν, για παράδειγμα, το x () είναι σήμα τάσης, τότε ο X ( ) έχει μονάδα μέτρησης Vols ανά μονάδα συχνότητας. Ο μετασχηματισμός ourier δεν είναι λοιπόν ένα φάσμα πλάτους αλλά φασματική πυκνότητα πλάτους. Αν αντί της χρησιμοποιήσουμε την συχνότητα f ανάλυσης παίρνουν τη μορφή π, οι εξισώσεις σύνθεσης και + jπ f ( ) ( ) X f x e d (3.74) + jπ f ( ) ( ) x X f e df (3.75) Ο μετασχηματισμός ourier ( ) X, για κάθε τιμή της συχνότητας, είναι μιγαδική συνάρτηση και επομένς μπορεί να αναπαρασταθεί σε πολική μορφή X( ) X( ) e j X arg ( ) (3.76) ή σε καρτεσιανή μορφή X( ) R ex { ( ) } + ji mx { ( ) } R( ) + ji( ) (3.77) Παράδειγμα 3.7 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του τετραγνικού παλμού διάρκειας, < x ( ) (3.78), αλλιώς Λύση Επειδή το σήμα είναι μηδέν για < και >, ο μετασχηματισμός ourier είναι + j j j + j + j ( ) e d( j) ( e e ) X e d j + j e ( ) X ( ) sin j (3.79) Στο Σχήμα 3.3 δίνεται η γραφική παράσταση του σήματος x ( ) και ο μετασχηματισμός ourier του. Παρατηρήσεις α) Ο μετασχηματισμός ourier, X ( ), του τετραγνικού παλμού είναι πραγματική συνάρτηση.

25 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 8 x () X ( ) (α) π (β) π Σχήμα 3.3 (α) Ο τετραγνικός παλμός διάρκειας και (β) ο μετασχηματισμός ourier του. β) Η τιμή του μετασχηματισμού ourier στο μηδέν είναι X( ) lim sin ( ) (3.8) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospial για τις απροσδιόριστες μορφές ή σύμφνα με τον οποίο και έχουμε αν f ( x) lim g ( x ) x ή τότε ( ) ( ) ( ) f ( x) f ( x) lim lim x g( x) x g ( x) (3.8) X lim cos X (3.8) γ) Οι τιμές στις οποίες μηδενίζεται το ( ) X είναι τα φασματικά μηδενικά, δίνονται από την εξίσση sin( ) και είναι οι συχνότητες π, ±, ±,K δ) Το φάσμα τείνει στο μηδέν καθώς περνάμε σε υψηλές συχνότητες, δηλαδή. ε) Αν θερήσουμε το ολοκλήρμα σύνθεσης σε πεπερασμένο διάστημα συχνοτήτν x$ W( ) π + W W ( ) sin e j d (3.83) παρουσιάζεται το φαινόμενο Gibbs. Δηλαδή, το ( ) $x W παρουσιάζει κυμάνσεις γύρ από το σημείο ασυνέχειας, το πλάτος τν οποίν δεν ελαττώνεται καθώς το W αυξάνει αλλά συμπιέζονται γύρ από την ασυνέχεια και η ενέργειά τους τείνει στο μηδέν, όταν W. στ) Στο όριο W, η (3.83) παίρνει τη μορφή x $ ( ) π + ( ) sin e j d (3.84) Όπς και στο παράδειγμα του περιοδικού τετραγνικού σήματος (Σχήμα 3.8), είναι $x( ) x ( ), εκτός από τα σημεία ασυνέχειας ± όπου x $ ( ) /, που είναι η μέση τιμή τν τιμών του x ( ) στις δύο πλευρές της ασυνέχειας Ύπαρξη του μετασχηματισμού ourier Στην προηγούμενη ενότητα ορίσαμε το μετασχηματισμό ourier έχοντας υποθέσει ότι τα ολοκληρώματα (3.7) και (3.73) υπάρχουν. Τα ολοκληρώματα αυτά δεν υπάρχουν πάντα, ή

26 8 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 είναι δυνατό να υπάρχει το ένα και να μην υπάρχει το άλλο. Οι συνθήκες του Dirichle είναι ικανές συνθήκες για να υπάρχουν και τα δύο ολοκληρώματα, τα οποία αποτελούν το ζεύγος μετασχηματισμών ourier. Ικανή Συνθήκη. Η συνάρτηση (σήμα) x ( ) να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη, δηλαδή x ( ) d <+ (3.85) Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει την ύπαρξη του ολοκλήρματος στη (3.73). Πράγματι j X( ) x ( ) e d x ( ) d < Ικανή Συνθήκη. Η συνάρτηση (σήμα) x ( ) είναι συνεχές ή περιέχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών, κάθε μια απο τις οποίες να είναι πεπερασμένου ύψους. Ικανή Συνθήκη 3. Η συνάρτηση (σήμα) x ( ) είναι φραγμένης κύμανσης. Παράδειγμα 3.8 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του αιτιατού εκθετικού σήματος a x () e u () a R Λύση Επειδή το σήμα είναι ίσο με μηδέν για <, ο μετασχηματισμός ourier του είναι + + a j [ e ] a j X( ) e e d e ( a+ j) d e ( a+ j) e ( + ) lim a + j a + j και επειδή ( a+ j) [ ( ) ( )] lime lime e lime cos jsin οταν & a >, a j a ο μετασχηματισμός ourier υπάρχει για a > και ισχύει X ( ) a + j (3.86) (3.87) Στο Σχήμα 3.4 δίνεται η γραφική παράσταση του σήματος x ( ) και οι γραφικές παραστά- x () X( ) a a a a arg X( ) a π 4 π π π 4 a (α) (β) (γ) Σχήμα 3.4 (α) Η γραφική παράσταση του σήματος ( ) a x e u( ), a >, (β) του μέτρου και (γ) της φάσης του φάσματός του.

27 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 83 σεις του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμού ourier. Παρατηρούμε ότι το μέτρο αποσβένει στις υψηλές συχνότητες, δηλαδή lim X ( ). Παράδειγμα 3.9 Να υπολογιστεί το σήμα, του οποίου ο μετασχηματισμός ourier είναι, παράθυρο συχνοτήτν με πλάτος W, δηλαδή,, < W X ( ) (3.88), αλλιώς Λύση Επειδή ο μετασχηματισμός ourier του σήματος είναι ίσος με μηδέν για < W και > W, το σήμα θα είναι + W j x ( ) e d [ ] ( ) j e j j e jw e jw jsin W π π π πj W + W W ( ) W x ( ) sin π (3.89) Στο Σχήμα 3.5 δίνεται το γράφημα του σήματος ( ) x στο πεδίο συχνοτήτν και στο πεδίο του χρόνου. X ( ) W π x () W (α) W π W (β) π W Σχήμα 3.5 Περιγραφή του x () (α) στο πεδίο συχνοτήτν και (β) στο πεδίο του χρόνου. ( ) Οι εξισώσεις X ( ) sin και ( ) x sin π ( W), τις οποίες συναντήσαμε στα Παραδείγματα 3.7 και 3.9, μπορούν να εκφραστούν με ενιαίο τρόπο με τη βοήθεια της συνάρτησης sinc sin ( π x), sinc( x) π x, x x (3.9) και είναι γνστή ς συνάρτηση δειγματοληψίας, η γραφική της παράσταση φαίνεται στο Σχήμα 3.6. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση διέρχεται περιοδικά από το μηδέν και ότι το ύψος τν δευτερευόντν λοβών μειώνεται ασυμπττικά στο μηδέν. Η συνάρτηση αυτή είναι ιδιαίτερης σημασίας και τη συναντάμε συχνά τόσο στην επεξεργασία σημάτν (ανάλυση

28 84 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 ourier, μελέτη ΓΧΑ συστημάτν), όσο και στις επικοιννίες. Με τη βοήθεια της συνάρτησης δειγματοληψίας, ο μετασχηματισμός ourier X ( ) του Παραδείγματος (3.7) και το σήμα x ( ) του Παραδείγματος (3.8) αποκτούν την μορφή ( ) ( ) sin sin π π X( ) c sin (3.9) π π W ( ) ( ) sin W W sin π π W W x ( ) c W sin π π π π π π π (3.9) sin c( x) x Σχήμα 3.6 Η συνάρτηση sinc ( x) Ιδιότητες του μετασχηματισμού ourier Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε τις βασικές ιδιότητες που έχει ο μετασχηματισμός x μερικές φορές ourier. Για ευκολία ο μετασχηματισμός ourier του σήματος ( ) συμβολίζεται ς [ x ()] και η σχέση μεταξύ του ( ) υποδεικνύεται ς x και του μετασχηματισμού ourier του, x ( ) X( ) (3.93) () Συζυγία Αν το σήμα x ( ), έχει μετασχηματισμό ourier X ( ), τότε * * x ( ) X ( ) (3.94) Απόδειξη Ο μετασχηματισμός ourier του συζυγούς σήματος είναι Ισχύει επίσης * * j j * x [ ( ) ] x ( e ) d xe ( ) d X ( ) * * * x ( ) X ( ) (3.95)

29 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 85 () Γραμμικότητα Αν x ( ) X ( ) και x ( ) X ( ), τότε cx ( ) + cx ( ) cx ( ) + cx ( ) (3.96) Η απόδειξη είναι άμεση συνέπεια της γραμμικότητας του ολοκληρώματος. (3) Άρτιο-περιττό μέρος σήματος. Πραγματικό-φανταστικό μέρος φάσματος Όπς είναι γνστό, (βλέπε (.7)) κάθε σήμα x ( ) μπορεί να εκφραστεί ς άθροισμα ενός xe, και ενός περιττού σήματος, xo ( ). Αν X ( ) είναι ο μετασχηματισμός ourier x τότε έχουμε άρτιου, ( ) του σήματος ( ) x ( ) ReX { ( )} (3.97) e x ( ) jimx { ( )} (3.98) o Η απόδειξη αποτελεί άμεσο επακόλουθο της γραμμικότητας και της συζυγίας. (4) Ολίσθηση στο χρόνο Αν x ( ) X( ), τότε για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει ( ) j ( ) x e X (3.99) Απόδειξη Ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x ( ) είναι θέτ τ οπότε έχ [ ( ) ] ( ) j x x e d, jτ [ ( )] ( ) ( + ) j jτ j τ τ ( τ) τ ( ) x x e d e x e d e X Παρατηρούμε ότι, αν το σήμα μετατοπιστεί στο πεδίο του χρόνο κατά, το φάσμα του πολλαπλασιάζεται με το φασματικό παράγοντα e j. Έτσι το φάσμα ενός σήματος ολισθημένου στο χρόνο έχει το ίδιο μέτρο με το αρχικό σήμα, ενώ η φάση του μεταβάλλεται γραμμικά. Πράγματι αν x ( ) X X e jθ τότε { } ( ) ( ) ( ) j j θ ( ) [ x( )] e X ( ) X ( ) e [ ] (5) Ολίσθηση συχνότητας Αν x ( ) X( ), τότε για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει ( ) ( ) j e x X (3.)

30 86 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 Απόδειξη Με τη βοήθεια του αντιστρόφου μετασχηματισμού ourier βρίσκουμε ότι το σήμα, που j έχει μετασχηματισμό ourier X ( ), είναι το e x ( ). Πράγματι π j j ( ) ( ) ( + ) X e d X e d π j j X( ) e d e x ( ) j e π Παράδειγμα 3. (Η βάση της διαμόρφσης). Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος Λύση Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler το σήμα z ( ) γράφεται z ( ) x ( ) cos( ) (3.) z ( ) x ( ) cos( ) x ( ) [ e + e ] x ( ) e + x ( ) e j j j j Με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραμμικότητας και της ολίσθησης συχνότητας, ο μετασχηματισμός ourier του ( ) z είναι Z j j ( ) x( ) e ( ) [ ( ) ( )] + x e X + X + Η ιδιότητα αυτή αποτελεί τη βάση της διαμόρφσης που χρησιμοποιείται ευρές στις τηλεπικοιννίες. Κατά τη διαμόρφση, ένα σήμα x () που μεταφέρει συγκεκριμένη πληροφορία, πολλαπλασιάζεται μ ένα σήμα απλής συχνότητας cos( ), η οποία ονομάζεται φέρουσα, με σκοπό την εκπομπή του σε ένα μέσο μετάδοσης, π.χ., ζεύγος συρμάτν, ατμόσφαιρα, κλπ. A X( ) W W (a) { ( ) ( ) } x cos W A W W + W W + W (β) Σχήμα 3.7 Η διαμόρφση πλάτους, (α) το φάσμα του μηνύματος για ένα αυθαίρετο σήμα και (β) το φάσμα του διαμορφμένου σήματος.

31 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 87 Παρατηρούμε ότι o πολλαπλασιασμός, του σήματος ( ) x με το ( ) cos δεν αλλοιώνει τη μορφή του μετασχηματισμού ourier X ( ) (με την προϋπόθεση ότι το είναι αρκετά μεγάλο και το X ( ) είναι μηδέν έπειτα από μια ορισμένη συχνότητα, όπς στο Σχήμα 3.7α, αλλά μεταφέρεται στη περιοχή τν συχνοτήτν ±, όπς περιγράφεται στο Σχήμα 3.7β. (6) Αλλαγή κλίμακας στο χρόνο και τη συχνότητα - Ανάκλαση Αν x ( ) X( ), τότε για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει ( ) xa a X a a x a και Xa ( ) (3.) Απόδειξη Ο μετασχηματισμός ourier του σήματος xa ( ) είναι { ( )} ( ) j xa xa e d θέτουμε τa και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις j αν a { xa ( )} x( ) e a > d a a X τ τ a j αν a { xa ( )} x( ) e a d ( ) τ j x e a < d a a a X τ τ τ τ a + τ Η ιδιότητα της αλλαγής κλίμακας παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.8. Παρατηρούμε ότι, αν a > το σήμα συμπιέζεται στο πεδίο του χρόνου, με συνέπεια να μεταβάλλεται πιο γρήγορα στη μονάδα του χρόνου. Αν αναλογιστούμε ότι οι γρήγορες μεταβολές στο χρόνο αντιστοιχούν σε συνεισφορά από υψηλότερες συχνότητες στο πεδίο συχνοτήτν, συμπεραίνουμε ότι το φάσμα του διαστέλλεται στο πεδίο συχνοτήτν (Σχήμα 3.8β). Αντίθετα, όταν < a < το σήμα διαστέλλεται στο πεδίο του χρόνου, με συνέπεια να μεταβάλλεται πιο αργά στη μονάδα του χρόνου και, επειδή ένα σήμα χαμηλής συχνότητας μεταβάλλεται με αργούς ρυθμούς, το φάσμα του συμπιέζεται (Σχήμα 3.8γ). Αν a προκύπτει η ιδιότητα της Ανάκλασης x( ) X( ) (3.3) τ (7) Θεώρημα της Συνέλιξης Μία από τις σημαντικές ιδιότητητες του μετασχηματισμού ourier, όσον αφορά τη χρήση του στα γραμμικά χρονικά αναλλοίτα συστήματα, είναι η επίδρασή του στη λειτουργία της συνέλιξης. Γνρίζουμε ότι η έξοδος y ( ) ενός ΓΧΑ συστήματος, με κρουστική απόκριση h ( ), όταν η είσοδός του είναι το σήμα ( ) x, δίνεται από το ολοκλήρμα της συνέλιξης

32 88 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 x () X( ) x () (α) Σήμα x () και το φάσμα του X ( ). X ( ) (β) Σήμα x( ) xa ( ) με a > και το φάσμα του X ( ). x() X ( ) (γ) Σήμα x () xa ( ) με < a < και το φάσμα του X ( ). Σχήμα 3.8 Απεικόνιση της αλλαγής κλίμακας. y ( ) x( τ) h ( τ) dτ (3.4) Στη παράγραφο αυτή θα αναδείξουμε τη σχέση που συνδέει τους μετασχηματισμούς τν αντιστοίχν σημάτν. Ο μετασχηματισμός ourier της εξόδου του συστήματος είναι j j j Y( ) y ( ) e d x( τ) h ( τ) dτ e d x( τ) h ( τ) e d dτ Με αλλαγή μεταβλητής ξ τ ξ + τ έχουμε jξ Y( ) x( ) h ( + τ) jτ jξ τ ( ξ) e dξ dτ x( τ) e h( ξ) e dξ dτ Το περιεχόμενο της αγκύλης [ ] είναι ο μετασχηματισμός ourier της h ( ) έτσι jτ Y( ) H( ) x( τ) e dτ αν ( ) X είναι ο μετασχηματισμός ourier του σήματος ( ) x έχουμε y ( ) h ( ) x ( ) Y( ) H( ) X( ) (3.5)

33 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 89 Παρατηρούμε ότι η υπολογιστικά πολύπλοκη σχέση της συνέλιξης μετασχηματιζόμενη κατά ourier καταλήγει σ ένα απλό γινόμενο συναρτήσεν. Το θεώρημα της συνέλιξης μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε το φάσμα του σήματος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος αν γνρίζουμε το φάσμα του σήματος εισόδου X ( ) και το φάσμα της κρουστικής απόκρισης H( ) του συστήματος. Ανάλογη σχέση ισχύει και για τη συνέλιξη τν μετασχηματισμών ourier X ( ) και Y( ) τν σημάτν x ( ) και y ( ) αντίστοιχα, δηλαδή, x ( ) y ( ) X( ) Y( ) X( ξ) Y( ξ) dξ (3.6) π π Παράδειγμα 3. Έστ σήμα x ( ) με μετασχηματισμό ourier X ( ). Θα υπολογίσουμε το σήμα που έχει μετασχηματισμό ourier X( ) * X( ) X ( ). Λύση Με τη βοήθεια της ιδιότητας της συζυγίας και του θερήματος της συνέλιξης, βρίσκουμε ότι το σήμα, R x ( τ ), το οποίο έχει μετασχηματισμό ourier X( ), δίνεται από την + Rx ( τ) x( τ) x ( τ) x ( ) x ( τ) d x ( + τ) x ( d ) + Το σήμα R x ( τ ) καλείται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του x ( ) και παρέχει ένα μέτρο του συσχετισμού τν τιμών του σήματος x ( ) για δύο χρονικά στιγμιότυπα που διαφέρουν κατά τ. Τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης θα τη συναντήσουμε και στην Ενότητα 3.4. (8) Θεώρημα του Parseval Το θεώρημα του Parseval εκφράζει τη δυνατότητα εύρεσης της ενέργειας ενός σήματος είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο συχνοτήτν. x ( ) d X( ) d π (3.7) Απόδειξη Για το πρώτο μέλος της ισότητας έχουμε * * j x ( ) d x ( ) x ( ) d x ( ) X ( ) e d d π αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρσης έχουμε * j * x () d X ( ) x ( ) e d d X ( ) X( ) d π π

34 9 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 x () d X( ) d π Σύμφνα με το θεώρημα του Parseval η ολική ενέργεια ενός σήματος μπορεί να ( x ) υπολογιστεί είτε α) υπολογίζοντας την ενέργεια ανά μονάδα χρονικού διαστήματος ( ) και ολοκληρώνοντας για όλο το χρόνο είτε β) υπολογίζοντας την ενέργεια ανά μονάδα κυκλικής συχνότητας X( ) π και ολοκληρώνοντας για όλες τις συχνότητες. ( ) Αν x ( ) είναι η τάση στα άκρα αντίστασης R Ω τότε η ενέργεια που παρέχεται στην x + αντίσταση δίνεται από το ολοκλήρμα E x ( d ). Από το δεξιό μέλος της (3.7) έχουμε ότι η ενέργεια E x ισούται με το ( π ) του εμβαδού που περικλείει η καμπύλη X( ). Η ποσότητα λοιπόν X ( ) εκφράζει την κατανομή της ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας και ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος x (). Με άλλα λόγια η ενέργεια de που συνεισφέρουν οι συχνότητες που βρίσκονται στην περιοχή ( f, f + df ) ή ( ), +d είναι de de X( ) df X( ) df. (9) Παραγώγιση Αν x ( ) X( ) και υπάρχει ο μετασχηματισμός ourier της παραγώγου dx( ) d dx( ) d, τότε j X( ) (3.8) Απόδειξη Μπορούμε να αποδείξουμε την ιδιότητα αν πάρουμε το μετασχηματισμό ourier της παραγώγου, δηλαδή και ολοκληρώσουμε κατά παράγοντες ( ) ( ) dx dx e d d j ( ) dx j d j j j x ( ) e x ( ) e d x ( ) e j x ( ) e d d d + d (3.9) Για την απόδειξη υποθέτουμε ότι, όταν ± το σήμα x ( ), οπότε είναι και j lim x ( ) e. Έτσι έχουμε ( ) dx j X( ) d (3.) Επαναληπτική εφαρμογή της παραπάν ιδιότητας δίνει τη γενική έκφραση της ιδιότητας παραγώγισης στο χρονικό πεδίο

35 Ενότητα 3.3 Μετασχηματισμός ourier 9 n d x ( ) n d n ( j ) X( ) (3.) Με παρόμοιο τρόπο σκέψης έχουμε για την παραγώγιση στο πεδίο συχνοτήτν ( j) x ( ) d X( ) (3.) d Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier της συνάρτησης προσήμου ( ) sgn, > sgn ( ), < (3.3) Λύση Παρατηρούμε ότι d ( sgn ( ) ) δ ( ) d Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό ourier στα δύο μέλη της παραπάν εξίσσης έχουμε { } d ( sgn ( ) ) ( ) d δ { } Είναι όμς δ ( ) και λόγ της ιδιότητας της παραγώγισης έχουμε j { sgn( ) } { sgn ( ) } j (3.4) Παράδειγμα 3.3 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του μοναδιαίου βήματος. Λύση Η συνάρτηση ( ) u μπορεί να γραφεί ς u ( ) + ( ) sgn Από τα ζεύγη ourier πδ (, ) sgn( ) j και με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραμμικότητας συνεπάγεται ότι ο μετασχηματισμός ourier του μοναδιαίου βήματος είναι u ( ) πδ ( ) + j (3.5) () Ολοκλήρση Αν x ( ) X( ), τότε

36 9 Ανάπτυγμα Μετασχηματισμός ourier Αναλογικών Σημάτν Κεφάλαιο 3 x j ( τ ) dτ X ( ) + π X ( ) δ ( ) (3.6) Απόδειξη Αν y ( ) x( τ) dτ, τότε η y ( ) μπορεί να θερηθεί ς η συνέλιξη της x ( ) και της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος ( ) u, δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x * u xτ u τ dτ Με τη βοήθεια του θερήματος της συνέλιξης προκύπτει ότι Y( ) X( ) U( ) X( ) πδ ( ) + X( ) π X( δ ) ( ) j j + Μια επιπόλαια εφαρμογή της ιδιότητας της παραγώγισης θα μπορούσε να μας οδηγήσει σε εσφαλμένα συμπεράσματα. Πράγματι dy ( ) y ( ) x( τ) dτ x ( ) j Y( ) X( ) d Ω X( ) X( ) από την τελευταία σχέση δεν συνεπάγεται ότι Y( ) αλλά Y( ) + C δ ( ) j j όπου C μια σταθερά, διότι ισχύει j δ( ) jδ( ). () Συμμετρίες για πραγματικά σήματα Έστ x () πραγματικό σήμα και X ( ) ο μετασχηματισμός ourier, ο οποίος δεν είναι απαραίτητα και αυτός πραγματικός αριθμός. Θα δείξουμε ότι ισχύουν οι συμμετρίες X( ) X * ( ) ReX { ( ) } ReX { ( )} (3.7) ImX { ( ) } ImX { ( )} Απόδειξη Επειδή το σήμα x ( ) είναι πραγματικό, θα είναι x ( ) x * ( ). Έτσι από την ιδιότητα της συμμετρίας έχουμε * * x ( ) x ( ) X( ) X ( ) δηλαδή το φάσμα είναι συζυγής άρτια συνάρτηση της συχνότητας. Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler έχουμε ( ) ( ) j ( )[ ( ) ( )] X x e d x j d cos sin