2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα

Transcript

1 Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης Δειγματικό σημείο Εδεχόμεα του δειγματικού χώρου εός πειράματος τύχης Πραγματοποίηση εδεχομέου Απλό και σύθετο εδεχόμεο Βέβαιο εδεχόμεο, Ω Αδύατο εδεχόμεο, Σε μια εκτέλεση εός πειράματος τύχης το αποτέλεσμα δε καθορίζεται με βάση τη αρχή της αιτιότητας (όπως στα αιτιοκρατικά φαιόμεα και πειράματα) αλλά αποδίδεται στη τύχη Η έοια του τυχαίου συδέεται με το πολυσύθετο και το περιορισμέο της γώσης τω αιτίω που προκαλού το αποτέλεσμα Χαρακτηριστικό εός πειράματος τύχης είαι ότι μπορεί α επααληφθεί υπό τις ίδιες συθήκες όσες φορές θέλουμε (θεωρητικά άπειρες φορές) και ότι σε μια εκτέλεσή του δε μπορούμε α προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα που θα εμφαισθεί, όμως μπορούμε α καταγράψουμε όλα τα δυατά αποτελέσματά του Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω του Κάθε στοιχείο εός δειγματικού χώρου, δηλαδή κάθε δυατό αποτέλεσμα εός πειράματος τύχης Υποσύολα του δειγματικού χώρου Σε μια εκτέλεση εός πειράματος τύχης, έα εδεχόμεο πραγματοποιείται (εμφαίζεται) ότα το αποτέλεσμα του πειράματος είαι στοιχείο του Α έα εδεχόμεο αποτελείται από μόο έα δειγματικό σημείο οομάζεται απλό εδεχόμεο εώ α αποτελείται από περισσότερα από έα δειγματικά σημεία οομάζεται σύθετο εδεχόμεο Πραγματοποιείται πάτα Δε πραγματοποιείται ποτέ Το εδεχόμεο Α συεπάγεται το εδεχόμεο Β, A B Ότα πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β Ίσα εδεχόμεα A = B Ότα πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β και ατιστρόφως Τομή εδεχομέω A B ή Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιηθεί και το Α και το Β AB Έωση εδεχομέω Συμπλήρωμα A εδεχομέου A Ξέα ή ασυμβίβαστα ή αμοιβαίως αποκλειόμεα εδεχόμεα Α, Β A B Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιηθεί ή το Α ή το Β (ή και τα δύο), ή αλλιώς, ότα πραγματοποιηθεί τουλάχιστο έα από τα Α, Β Πραγματοποιείται ότα δε πραγματοποιηθεί το Α Εδεχόμεα τα οποία δε έχου κοιά δειγματικά σημεία ( AB = ) ή αλλιώς, η πραγματοποίηση του εός αποκλείει τη πραγματοποίηση του άλλου Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιηθεί το Α αλλά όχι το Β Διαφορά A B ή A B Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)

2 Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιηθεί ακριβώς έα από τα Α, Β Συμμετρική διαφορά A Δ B = AB BA ( A Πραγματοποιείται ότα δε πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β ( A Πραγματοποιείται ότα από τα Α, Β πραγματοποιηθεί το πολύ έα A = A, A = A A = A, AA = A A Ω = Ω, A Ω = A A A = Ω, A A =, ( A ) = A, Ω =, = Ω A B = B A, AB = BA A ( B Γ) = ( A Γ Ιδιότητες τω πράξεω, A ( BΓ) = ( AΓ μεταξύ εδεχομέω A ( BΓ) = ( A ( A Γ), A ( B Γ) = ( A ( AΓ) Α A B τότε AB = A, A B = B και A B = AB = Τύποι De Morgan: ( A = A B, ( AB ) = A B ( A 1 A 2 A ) = A 1 A 2 K A ( A A A ) = A A A A B = AB B = A BA = AB AB BA A B ως έωση Η έωση ξέω εδεχομέω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 1812) Ο στατιστικός ορισμός της πιθαότητας (Richard von Mises, 1919) Ο αξιωματικός ορισμός της πιθαότητας (Kolmogorov, 1933) Άλλες ιδιότητες της πιθαότητας (προκύπτου από τα τρία αξιώματα) Επίσης A = AB AB και B = BA BA Α ο Ω είαι πεπερασμέος και όλα τα απλά εδεχόμεά του είαι ισοπίθαα, τότε N( πλήθος στοιχείω του Α = = N( Ω) πλήθος στοιχείω του Ω A = lim, όπου A ο αριθμός εμφαίσεω του + εδεχομέου Α σε επααλήψεις του πειράματος 1 0, εδεχόμεο Α του Ω 2 Ω) = 1 3 A1 A2 ) = A1 ) + A2 ) +, για A, 2, 1 A ξέα αά δύο εδεχόμεα (α) P ( ) = 0 (β) P A A A ) = A ) + A ) + + A ) ( 1 2 A 1, A2, K, A ξέα αά δύο εδεχόμεα a 1, a2, P ( = { a1 }) + { a2}) + για A =, τότε, (δ) P ( 1 (ε) A ) = 1 (στ) AB ) = A (ζ) Α A B τότε (η) A = + A (γ) Α { } Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 2

3 Δεσμευμέη πιθαότητα του Α δοθέτος του Β Ιδιότητες της δεσμευμέης πιθαότητας Άλλες ιδιότητες της δεσμευμέης πιθαότητας Ο πολλαπλασιαστικός τύπος Το θεώρημα ολικής πιθαότητας (θ) P ( A + (ι) P A A A ) A ) + A ) + + A ) ( 1 2 A P ( A =, > 0 (δηλ P ( 0 ) 1 P ( A 0 2 P ( Ω = 1 3 P ( A1 A2 = A1 + A2 + για A1, A2, ξέα αά δύο εδεχόμεα P ( = 0 A = 1 A AΓ = A AΓ Α Γ A τότε Γ A A Γ = A + Γ AΓ Ότα B A τότε P ( A = 1 P ( A = B = A α P ( > 0, P ( > 0 Γεικότερα: α P A A ) 0, P ( A 1 > ( A1 A2 A ) = A1 ) A2 A1 ) A A1 A2 A 1 Α { B 1, B2, B } μια διαμέριση του Ω με B i ) > 0, i = 1,2,,, τότε P = AB AB AB ) = ( = P ( AB1 ) + AB2) + + AB ) = ( ) B = P A B ) B ) + A B ) B ) + + A B ) ) Α B, B, B } διαμέριση του Ω με P ( ) > 0 για κάθε i, τότε { A Bi ) Bi ) Ο τύπος του Bayes Bi =, i = 1,2,, όπου P ( υπολογίζεται από το θεώρημα ολικής πιθαότητας P ( A = Α Α, Β αεξάρτητα και P ( > 0, P ( > 0 τότε Αεξάρτητα εδεχόμεα Α, Β P ( A = και P ( B = Εξαρτημέα εδεχόμεα Α, Β A Αεξάρτητα εδεχόμεα Α, P ( A =, P ( AΓ) = Γ) Β, Γ P ( BΓ ) = Γ ) και P ( ABΓ ) = Γ ) Αεξαρτησία και Α Α, Β αεξάρτητα τότε είαι αεξάρτητα και τα ζεύγη συμπληρωματικά α) Α, Β β) Α, Β γ) Α, Β εδεχόμεα Α Α, Β ξέα (με P ( > 0 και P ( > 0) τότε: A = 0 Αεξάρτητα εδεχόμεα και ξέα εδεχομέα και B = 0 συεπώς τα Α, Β είαι εξαρτημέα Α Α, Β ξέα τότε: A = 0 και P ( A = + Α Α, Β αεξάρτητα τότε: P ( A = και A = + B i Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 3

4 Προβλήματα και Ασκήσεις 1 Για καθέα από τα πειράματα τύχης που ακολουθού, δώστε κατάλληλο δειγματικό χώρο και προσδιορίστε το είδος του (πεπερασμέος, αριθμησίμως άπειρος, συεχής) Επίσης, εξηγείστε γιατί πρόκειται για πειράματα τύχης α Μετράμε τη ποσότητα παραθείου που απέμειε σε φυτό σέλιου έα μήα μετά το ράτισμα β Μετράμε το αριθμό α-σωματιδίω που εκπέμπει μια ραδιεεργός πηγή σε έα μήα γ Ρίχουμε έα όμισμα δύο φορές και μετράμε πόσες φορές εμφαίσθηκε κεφαλή (κ) δ Μετράμε το αριθμό παράσιτω σε αλεπού που αιχμαλωτίσθηκε στο Μαίαλο ε Μετράμε το χρόο που χρειάσθηκε για α συέλθει έας ασθεής που βρίσκεται σε κατάσταση άρκωσης στ Μετράμε τη διάμετρο εός ροδάκιου που επιλέξαμε από τη παραγωγή συγκεκριμέου παραγωγού ζ Μετράμε τη ποσότητα καλίου που περιέχεται σε μια μπαάα που επιλέξαμε από συγκεκριμέη παρτίδα συγκεκριμέου εισαγωγέα η Μετράμε πόσες κληρώσεις του Λαϊκού Λαχείου απαιτήθηκα μέχρι α κληρωθεί ο αριθμός θ Μετράμε το αριθμό ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής «Α» εός εργοστασίου στη διάρκεια μιας υκτεριής βάρδιας ι Μετράμε τη μηιαία καταάλωση ηλεκτρικής εέργειας μιας βιοτεχίας 2 Για το υπολογισμό της πιθαότητας α εμφαισθεί μια τουλάχιστο κεφαλή σε δύο ρίψεις εός ομίσματος ο D Alembert πρότειε τη ακόλουθη λύση Ως δειγματικό χώρο του πειράματος θεώρησε το σύολο Ω={0, 1, 2} όπου τα απλά εδεχόμεα {0}, {1}, {2} περιγράφου πόσες φορές εμφαίσθηκε κεφαλή σε δύο ρίψεις Δεδομέου ότι εδιαφερόμαστε για το εδεχόμεο Α={1,2}, ο D Alembert ισχυρίσθηκε ότι N( 2 P ( = = N ( Ω) 3 Θα μπορούσε όμως κάποιος α δώσει τη εξής λύση: ο δειγματικός χώρος του πειράματος είαι το σύολο Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} εώ το αποτέλεσμα που μας εδιαφέρει ατιστοιχεί στο εδεχόμεο Α={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ} και επομέως N( 3 P ( = = N ( Ω) 4 α) Ο D Alembert έκαε λάθος!! Σκεφθείτε γιατί β) Χρησιμοποιώτας το δειγματικό χώρο που όρισε ο D Alembert α υπολογίσετε σωστά τη P ( 3 Ποια είαι η πιθαότητα σε μια τάξη k φοιτητώ, έας συγκεκριμέος φοιτητής (από τους k), α έχει γεέθλια τη ίδια ημέρα με κάποιο από τους υπόλοιπους k- 1 φοιτητές Θεωρήστε ότι το έτος έχει 365 ημέρες και ότι k Το πρόβλημα του Chevalier de Mere: Ποιο είαι πιο πιθαό, ότι θα φέρουμε έα τουλάχιστο 6 ρίχοτας έα ζάρι 4 φορές ή ότι θα φέρουμε μια τουλάχιστο φορά εξάρες ρίχοτας δύο ζάρια 24 φορές 5 Έα τμήμα της αλυσίδας του DNA παριστάεται ως μια σειρά με στοιχεία A, C, G, T που συμβολίζου τις 4 βάσεις αδείη, κυτοσίη, γουαίη και θυμίη Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 4

5 ατίστοιχα Πόσες διαφορετικές συθέσεις μπορού α προκύψου για έα τμήμα μήκους r α σε αυτό υπάρχου r 1 στοιχεία ίσα με Α, r 2 στοιχεία ίσα με G, r 3 στοιχεία ίσα με C και r 4 ίσα με Τ (r = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 ) Ας υποθέσουμε ότι όλες οι ακολουθίες (σειρές, συθέσεις) τέτοιου τύπου έχου τη ίδια πιθαότητα εμφάισης Ποια είαι η πιθαότητα α προκύψει μια ακολουθία, για τη οποία τα στοιχεία που ατιστοιχού σε κάθε μια από τις 4 βάσεις α είαι συγκετρωμέα όλα μαζί (πχ ΑΑΑCC CTT TGG G ή ΤΤ ΤΑΑ AGG GCC C, κτλ) 6 Σε έα δοκιμαστικό σωλήα υπάρχου 2n κόκκοι άμμου από τους οποίους οι n είαι μαύροι και οι n άσπροι Ααταράσσουμε το σωλήα με δύαμη Ποια είαι η πιθαότητα τα δύο είδη κόκκω α διαχωρισθού πλήρως (ως προς το χρώμα) 7 Από εξετάσεις που έγια σε 2000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 400 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 320 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 80 από αυτά είχα προσβληθεί και από τη ασθέεια Α και από τη ασθέεια Β Θεωρώτας ότι οι 2000 επααλήψεις είαι αρκετές ώστε α έχει επιτευχθεί η σταθεροποίηση τω σχετικώ συχοτήτω, α υπολογισθεί η πιθαότητα σε έα ζώο της κτηοτροφικής μοάδας που επιλέγεται τυχαία α διαπιστωθεί ότι έχει προσβληθεί α) από τη ασθέεια Α β) από τη ασθέεια Β γ) και από τις δύο ασθέειες δ) τουλάχιστο από μια από τις δύο ασθέειες ε) από τη ασθέεια Α, όχι όμως από τη ασθέεια Β στ) από τη ασθέεια Β, όχι όμως από τη ασθέεια Α και ζ) ακριβώς από μία από τις δύο ασθέειες 8 Εξετάσθηκα 800 ζώα για α διαπιστωθεί α είαι υγιή ή άρρωστα Επίσης, για κάθε ζώο καταγράφηκε το φύλο του Τα αποτελέσματα τω εξετάσεω φαίοται στο πίακα που ακολουθεί Υγιή Άρρωστα Αρσεικά Θηλυκά Θεωρούμε τα εδεχόμεα Α: το ζώο που εξετάσθηκε είαι υγιές Β: το ζώο που εξετάσθηκε είαι αρσεικό Με βάση τα δεδομέα του πίακα και θεωρώτας ότι οι 800 επααλήψεις είαι αρκετές ώστε α έχει επιτευχθεί η σταθεροποίηση τω σχετικώ συχοτήτω, α υπολογισθού οι πιθαότητες τω εδεχομέω: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, A B AB, AB A B 9 Έας οργαισμός ελέγχου ποιότητος γεωργικώ προϊότω έχει ορίσει τέσσερα επίπεδα ποιότητας α, β, γ και δ Κάθε προϊό κατατάσσεται σε έα μόο από τα τέσσερα επίπεδα Από στατιστικά στοιχεία που έχου συγκετρωθεί, έχει εκτιμηθεί ότι τα δύο πρώτα επίπεδα εμφαίζοται με τη ίδια πιθαότητα εώ το τρίτο και τέταρτο επίπεδο εμφαίζοται με τριπλάσια και πεταπλάσια πιθαότητα από το πρώτο ατίστοιχα Για έα προϊό που επιλέγεται τυχαία, ποια είαι η πιθαότητα α κατατάσσεται i) στο επίπεδο α ii) στο επίπεδο β iii) στο επίπεδο γ iv) στο επίπεδο δ v) στο επίπεδο α ή β vi) στο επίπεδο α ή β ή δ και vii) στο επίπεδο γ και δ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 5

6 10 Η πιθαότητα σε έα έτος α συμβεί σεισμός έτασης πάω από 63 βαθμούς της κλίμακας ρίχτερ σε μια σεισμογόο περιοχή είαι 002 Η ατίστοιχη πιθαότητα α πληγεί η περιοχή από καταιγίδα είαι 010, εώ υπάρχει πιθαότητα 001 σε διάρκεια εός έτους α εμφαισθού και τα δύο φαιόμεα Να υπολογισθού η πιθαότητα, σε έα έτος, η περιοχή α πληγεί α) μόο από σεισμό β) μόο από καταιγίδα γ) τουλάχιστο από έα από τα δύο φαιόμεα και δ) από καέα από τα δύο φαιόμεα 11 Γωρίζουμε ότι το 8% τω εργαζομέω σε μια εταιρεία είαι αώτερα στελέχη Επίσης γωρίζουμε ότι το 30% τω εργαζομέω στη εταιρεία είαι γυαίκες και ότι το 15% τω εργαζομέω είαι γυαίκες αώτερα στελέχη Μεταξύ τω εργαζομέω υπάρχει η ετύπωση ότι στο θέμα της επαγγελματικής εξέλιξής τους υπάρχει διάκριση εις βάρος τω γυαικώ Τι λέτε, είαι βάσιμη αυτή η ετύπωση; 12 Συέχεια του Προβλήματος 7: α) Από τα ζώα που έχου προσβληθεί από μια τουλάχιστο ασθέεια ποιο ποσοστό έχει προσβληθεί και από τις δύο; β) Από τα ζώα που δε έχου προσβληθεί από τη ασθέεια Α ποιο ποσοστό έχει προσβληθεί από τη ασθέεια Β; 13 Συέχεια του Προβλήματος 8: α) Α διαπιστωθεί ότι έα ζώο είαι υγιές ποια είαι η πιθαότητα α είαι αρσεικό και ποια α είαι θηλυκό; β) Ποιο ποσοστό τω άρρωστω ζώω είαι αρσεικά; γ) Να ελέγξετε α ισχύει η ισότητα B A ) = 1 B 14 Το 10% εός πληθυσμού είαι άεργοι Επίσης, το 8% του πληθυσμού είαι γυαίκες άεργες Α επιλέξουμε στη τύχη (από το πληθυσμό αυτό) έα άτομο και διαπιστώσουμε ότι είαι άεργος, ποια είαι η πιθαότητα α είαι α) γυαίκα β) άδρας 15 Σε έα αγρόκτημα υπάρχου 10 κουέλια από τα οποία τα 3 είαι θηλυκά Για το έλεγχο του πληθυσμού τω κουελιώ κρίθηκε σκόπιμο α απομακρυθού δύο από τα θηλυκά Έτσι, στήθηκε μια παγίδα όπου πιάοτα τα κουέλια το έα μετά το άλλο έως ότου πιαστού 2 θηλυκά Ποια είαι η πιθαότητα α συμβεί αυτό ότα πιαστεί το τέταρτο στη σειρά κουέλι; 16 Από επτά όμοια κλειδιά έα μόο αοίγει μια κλειδαριά Δοκιμάζουμε χωρίς επαάθεση έα-έα τα κλειδιά μέχρι η κλειδαριά α αοίξει Ποια είαι η πιθαότητα α αοίξει η κλειδαριά στη τρίτη δοκιμή; Γεικότερα στη κ δοκιμή; ( κ =1,2, K, 7 ) 17 Πολλαπλές γραμμές παραγωγής: Σε έα εργοστάσιο υπάρχου τρεις διαφορετικές γραμμές παραγωγής στις οποίες κατασκευάζεται το 40%, 35% και 25% τω προϊότω του εργοστασίου ατίστοιχα Το 2% τω προϊότω της πρώτης γραμμής είαι ελαττωματικά, εώ τα ατίστοιχα ποσοστά για τις άλλες δύο γραμμές είαι 3% και 5% Τα προϊότα τω τριώ γραμμώ παραγωγής ααμιγύοται δημιουργώτας μια ειαία σειρά και στη συέχεια προωθούται στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου α) Στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου επιλέγεται τυχαία έα προϊό Ποια είαι η πιθαότητα το προϊό αυτό α είαι ελαττωματικό; β) Στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου επιλέγεται τυχαία έα προϊό και διαπιστώεται ότι είαι ελαττωματικό Ποια είαι η πιθαότητα το προϊό αυτό α προέρχεται από τη πρώτη γραμμή παραγωγής; Ερμηεύστε τις πιθαότητες που υπολογίσατε στα Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 6

7 α) και β) με όρους ποσοστώ (δηλαδή τι εκφράζει ως ποσοστό η κάθε πιθαότητα και επί ποίου συόλου) 18 Διαγωστικά τεστ: Το 2% εός πληθυσμού πάσχει από AIDS Η εξέταση που εφαρμόζεται για τη διάγωση της ασθέειας δίει σωστή διάγωση στο 90% τω περιπτώσεω, ότα το εξεταζόμεο άτομο πάσχει από AIDS, και στο 95% τω περιπτώσεω ότα δε πάσχει από AIDS Επιλέγεται έα άτομο από το πληθυσμό αυτό στη τύχη και υποβάλλεται στη εξέταση α) Ποια είαι η πιθαότητα η εξέταση α βγει θετική, δηλαδή α δείξει ότι πάσχει από AIDS β) Ποια είαι η πιθαότητα λαθασμέης διάγωσης γ) Ποια είαι η πιθαότητα α πάσχει πράγματι από AIDS έα άτομο για το οποίο η εξέταση ήτα θετική δ) Ποια είαι η πιθαότητα α είαι υγιές έα άτομο για το οποίο η εξέταση ήτα θετική 19 Διαγωστικά τεστ: Από μελέτες που έγια σε μια χώρα, διαπιστώθηκε ότι το ποσοστό τω γυαικώ που πάσχου από καρκίο της μήτρας είαι 1% 0 Έα από τα πλέο δημοφιλή τεστ για τη διάγωση της ασθέειας, το τεστ Παπαικολάου, έχει ευαισθησία 98%, δηλαδή ότα μια γυαίκα πάσχει από καρκίο της μήτρας το τεστ κάει ορθή διάγωση με πιθαότητα 098 Επίσης, και η ειδικότητα του τεστ Παπαικολάου είαι 98%, δηλαδή α μια γυαίκα δε πάσχει από καρκίο της μήτρας, το τεστ κάει ορθή διάγωση με πιθαότητα επίσης 098 α) Α μια γυαίκα αυτής της χώρας υποβληθεί στο τεστ και βγει θετικό, ποια είαι η πιθαότητα η γυαίκα α έχει πράγματι καρκίο της μήτρας Είαι δικαιολογημέος ο υπερβολικός φόβος της κυρίας μετά το αποτέλεσμα του τεστ; Σχολιάστε επίσης, τη διαγωστική αξία του τεστ σε σχέση με τη τιμή της πιθαότητας που υπολογίσατε β) Το εδεχόμεο το τεστ α βγει θετικό και το εδεχόμεο η εξεταζόμεη γυαίκα α έχει καρκίο της μήτρας είαι αεξάρτητα ή εξαρτημέα; 20 Το 60% του πληθυσμού μιας χώρας είαι καπιστές Από μια ασθέεια τω πευμόω πάσχει το 80% τω καπιστώ και το 30% τω μη καπιστώ α) Ποιο ποσοστό του πληθυσμού πάσχει από αυτή τη ασθέεια β) Α έα άτομο από το πληθυσμό πάσχει από αυτή τη ασθέεια, ποια είαι η πιθαότητα α είαι καπιστής Ερμηεύστε τη πιθαότητα αυτή ως ποσοστό γ) Το εδεχόμεο έα άτομο α είαι καπιστής και το εδεχόμεο έα άτομο α πάσχει από τη συγκεκριμέη ασθέεια είαι αεξάρτητα ή εξαρτημέα; 21 Αξιοπιστία: Σε έα εργαστηριακό όργαο χρησιμοποιούται δύο εξαρτήματα τα οποία λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο Στο 80% του χρόου λειτουργίας του οργάου, και τα δύο εξαρτήματα λειτουργού χωρίς α παρουσιάζου κάποια βλάβη Όμως, στο 1% του χρόου λειτουργίας, παρουσιάζου βλάβη και τα δύο εξαρτήματα (ταυτόχροα) Για α λειτουργήσει το όργαο πρέπει α λειτουργεί τουλάχιστο έα από τα δύο εξαρτήματα Να υπολογισθεί α) η αξιοπιστία του οργάου (δηλαδή η πιθαότητα λειτουργίας του) και β) η αξιοπιστία καθεός από τα δύο εξαρτήματα (δηλαδή η πιθαότητα λειτουργίας καθεός εξαρτήματος) 22 Αξιοπιστία: Έα σειριακό σύστημα μοάδω λειτουργεί α και μόο α λειτουργού και οι μοάδες του Ατίστοιχα, έα παράλληλο σύστημα μοάδω λειτουργεί α και μόο α λειτουργεί μια τουλάχιστο από τις μοάδες του Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 7

8 Σειριακό σύστημα Παράλληλο σύστημα Α όλες οι μοάδες εός συστήματος έχου τη ίδια αξιοπιστία p (0<p<1) και λειτουργού αεξάρτητα α δείξετε ότι α είαι σειριακό τότε η αξιοπιστία του είαι p εώ α είαι παράλληλο τότε η αξιοπιστία του είαι 1 (1 p) 23 Αξιοπιστία: Στα σχήματα που ακολουθού φαίοται δύο συστήματα μεταφοράς υγροποιημέου φυσικού αερίου Κάθε ατλία λειτουργεί αεξάρτητα από τις άλλες και έχει δυο καταστάσεις, είτε λειτουργεί με πιθαότητα p i, i =1, 2, K είτε δε λειτουργεί με πιθαότητα 1 pi, i =1, 2, K Το σύστημα έχει επίσης δύο καταστάσεις, και λειτουργεί, δηλαδή το φυσικό αέριο μεταφέρεται από το Α στο Β, α και μόο α υπάρχει τουλάχιστο έα μοοπάτι από το Α στο Β μέσω ατλιώ που λειτουργού Να υπολογίσετε τη πιθαότητα λειτουργίας (δηλαδή τη αξιοπιστία) καθεός συστήματος (α) (β) 24 Έα εξάρτημα μπορεί α παρουσιάσει είτε βλάβη τύπου Ι με πιθαότητα 10% είτε βλάβη τύπου ΙΙ με πιθαότητα 8% Α οι δύο τύποι βλαβώ εμφαίζοται αεξάρτητα, βρείτε τη πιθαότητα α) α παρουσιασθεί βλάβη τύπου ΙΙ α είαι γωστό ότι ήδη έχει παρουσιασθεί βλάβη τύπου Ι β) α παρουσιασθεί μία τουλάχιστο από τις δύο βλάβες γ) α παρουσιασθού συγχρόως και οι δύο βλάβες 25 Σε μια συγκεκριμέη περιοχή, το 10% τω κατοίκω αήκει στη κατηγορία υψηλού κιδύου καρδιακού εμφράγματος α) Επιλέγουμε τυχαία τρεις κατοίκους από αυτή τη περιοχή Ποια είαι η πιθαότητα ακριβώς έας από τους τρεις α αήκει στη κατηγορία υψηλού κιδύου (καρδιακού εμφράγματος) β) Γωρίζουμε ότι το 49% τω κατοίκω είαι γυαίκες και επίσης ότι το 8% τω γυαικώ αήκει στη κατηγορία υψηλού κιδύου (καρδιακού εμφράγματος) Επιλέγουμε τυχαία έα άτομο από τη περιοχή αυτή Ποια είαι η πιθαότητα α είαι γυαίκα που αήκει στη κατηγορία υψηλού κιδύου γ) Γωρίζουμε επίσης ότι το 12% τω αδρώ αήκει στη κατηγορία υψηλού κιδύου (καρδιακού εμφράγματος) Επιλέγουμε τυχαία έα άτομο από τη περιοχή αυτή και διαπιστώουμε ότι αήκει στη κατηγορία υψηλού κιδύου Ποια είαι η πιθαότητα το άτομο αυτό α είαι άδρας Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 8