ΜΑΘΗΜΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xο"

Σεβαστιανός Βιτάλη
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑ 9.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ο R Θεωρία Σχόλια - Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός f ( ) ο σηµαίνει ότι οι τιµές f ( ) της συνάρτησης f γίνονται µεγαλύτερες από κάθε θετικό αριθµό Μ, καθώς.. Ορισµός f ( ) σηµαίνει ότι οι τιµές f ( ) της συνάρτησης f γίνονται µικρότερες από κάθε αρνητικό αριθµό Μ, καθώς. 3. Θεώρηµα f ( ) και f ( ) f ( ) Οµοίως για το 4. Πρόσηµο της συνάρτησης f ( ) ( ) f f () > 0 κοντά στο f () < 0 κοντά στο

2 5. Μη ρωτάς γιατί (φθάνει να το βρίσκεις λογικό) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) Γινόµενο µε θετικό αριθµό λ: Γινόµενο µε αρνητικό αριθµό λ: λ ( ) λ ( ) λ ( ) λ ( ) 0, 0 0, 0,, 3,..., ν 6. Βασικά όρια,,..., 4 ν,,..., 3 ν,,..., 3 ν 7. Οι µορφές απροσδιοριστίας ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0 ( ± ), 0 0, ± ±

3 3 ΣΧΟΛΙA. Τα σύµβολα, Κρίνουµε απαραίτητο να τονίσουµε, ότι τα σύµβολα και δεν είναι αριθµοί. Για την κατανόηση τους, ας φανταζόµαστε ότι : Το είναι πολύ µεγάλος µεταβλητός θετικός αριθµός. Το είναι πολύ µεγάλος µεταβλητός αρνητικός αριθµός Όµως συµπεριφέρονται σαν αριθµοί, εκτός των περιπτώσεων ( ), ( ), ( ), 0 (± ), τις οποίες ονοµάζουµε απροσδιόριστες µορφές. ± ±. Στις ασκήσεις Να θέτουµε όπου το για να βρίσκουµε το είδος της απροσδιοριστίας. 3. Άµεση συνέπεια του ορισµού του f ( ) Αν f () g() κοντά στο και f ( ), τότε g( ) 4. Άµεση συνέπεια του ορισµού του f ( ) Αν g () f () κοντά στο και f ( ), τότε g( )

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Εφόσον υπάρχει να βρείτε το Μια ίσως ευκολότερη παρουσίαση ( 4) Παρουσίαση σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο ( 4) 4 < 0 () ( ) Από τις (), () 0 0 ( ) αδυναµία - απροσδιοροστία µε 0 > 0 κοντά στο άρα 4 ()

5 5. Εφόσον υπάρχει να βρείτε το 4 Μια ίσως ευκολότερη παρουσίαση 4 4 αδυναµία 0 Πρόσηµο του παρανοµαστή ( ) ( ) Άρα δεν υπάρχει το f () Παρουσίαση σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο ( 4) 4 < 0 ( ) 0 αλλά δε γνωρίζουµε το πρόσηµο Κοντά στο θεωρούµε τη συνάρτηση ο f () ( )( ) < 0 (3) Για >, δηλαδή > 0 είναι Από τις (3), (4) f () Για <, δηλαδή < 0 είναι Από τις (3), (5) Άρα δεν υπάρχει το f () f () (4) (5)

6 6 3. Εφόσον υπάρχει να βρείτε το απροσδιοριστία Κοντά στο f () Οπότε θεωρούµε τη συνάρτηση ο ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( ) 0 και ( ) f () > 0 κοντά στο

7 7 4. Εφόσον υπάρχει να βρείτε το 5 συν Κοντά στο Είναι 5 συν 0 5 συν θεωρούµε τη συνάρτηση f () ( 5) < 0 () ( συν) συν0 0 () συν < συν > 0 (3) αδυναµία - απροσδιοριστία 5 συν Από τις (), (), (3) f () 5. Εφόσον υπάρχουν να βρείτε τα όρια: ηµ ηµ i) ii) i) ii) ηµ από τη θεωρία. iii) ηµ 3 ηµ Κοντά στο 0 έστω f () ηµ. ηµ > 0 και f () ηµ > 0 και f () ηµ Άρα δεν υπάρχει το iii) ηµ Κοντά στο 0 έστω f () 3 ηµ. ηµ > 0 και ηµ 3

8 8 6. Εφόσον υπάρχουν να βρείτε τα όρια: ηµ ηµ i) ii) Υπόδειξη. ηµ ηµ ηµ 0 ( ) και ακολούθησε την άσκηση 5. iii) ηµ ηµ 3 7. Εφόσον υπάρχει να βρείτε το ηµ5 Υπόδειξη. 9 ηµ5. 8 ηµ5 9 και ακολούθησε την άσκηση 6 και 5 8. Για τις διάφορες τιµές του λ R, να βρείτε το όριο της συνάρτησης f () 3 λ στο. f () (3 λ) (3 λ) 3 λ κοντά στο. 0 µε > 0 κοντά στο Όταν 3 λ > 0, δηλαδή λ > 3, έχουµε Όταν 3 λ < 0, δηλαδή λ < 3, έχουµε f () f () Όταν 3 λ 0, δηλαδή λ 3, έχουµε f () f () 3 3 f () 3 3 ( ) ( ) Εποµένως δεν έχει όριο στο.

9 9 9. Για τις διάφορες τιµές του λ R, να βρείτε το όριο της συνάρτησης f () λ λ στο. 4 4 f () ( λ λ ) ( ) κοντά στο ( λ λ ) ( λ λ ) 4λ λ (λ λ ) ( ) ( ) 0 µε ( ) > 0 ( ) Πρόσηµο του (λ λ ) 8 7 < 0, άρα (λ λ ) > 0 για κάθε λ R Εποµένως f () για κάθε λ R. 0. Έστω η συνάρτηση f () α 4 τον α ώστε να είναι f () f () α 4 κοντά στο f ()( α 4) [ f ()( α 4)], όπου α R. Να βρείτε ( ) 3 () Αλλά ( α 4) ( α 4 ) 4 α 4 α 8 Αν α 8 > 0. Επειδή f () θα είναι που είναι άτοπο από την () Αν α 8 < 0. Επειδή f () θα είναι που είναι άτοπο από την () [ f ()( [ f ()( α 4)], α 4)], Αν α 8 0 δηλαδή α 4 θα έχουµε f () 4 4 Είναι άρα ( ) ( ) ( ) ( ) 0 µε ( ) > 0 κοντά στο, ο ( ) και ( ) 3 > 0

10 0 Εποµένως f () Βρήκαµε, λοιπόν, ότι η ζητούµενη τιµή είναι α 4.. Για τις διάφορες τιµές των λ, µ R, να βρείτε το όριο της συνάρτησης ( λ ) ( λ µ ) µ f () στο, εφόσον υπάρχει. ( ) f () [( λ ) (λ µ) µ ] ( ) κοντά στο [( λ ) (λ µ) µ ] ( λ ) ( ) (λ µ)( ) µ λ λ µ µ λ λ µ µ ( λ λ ) ( µ µ ) (λ ) (µ ) 0 ( ) ( ) 0 µε ( ) > 0 κοντά στο ( ) Όταν (λ ) (µ ) > 0, δηλαδή όταν λ ή µ τότε f () Όταν (λ ) (µ ) 0, δηλαδή όταν λ και µ τότε f () Είναι Οµοίως ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) 3( ) ( ) 3 ( ) (3 ) 3 < 0 και (3 ) < 0 και f () f () Εποµένως η f δεν έχει όριο στο (3 ) ( ) 0 µε > 0

11 . ίνεται η συνάρτηση f () 4 3 βρείτε το l για τις διάφορες τιµές του α. Είναι και α R. 4 3 ( )( 3), άρα D (, ) (, 3) (3, ) f ( )( ) f () ( )( 3) 3 Όταν α 3 0, δηλαδή α 3, τότε Άρα l α α 3 Όταν α 3 0, δηλαδή α 3 ( ) α α Εποµένως Οµοίως ( 3) 3 3 ( ) 3 4 > 0 3 Αν f () α ( 3) 0 µε 3 > 0, άρα 3 f () () f () () Από τις (), () συµπεραίνουµε ότι δεν υπάρχει το α 3 3 f () l R, να α 3 α α 3 3 f ()

12 3. Για τη συνάρτηση f δίνεται ότι f () κοντά στο f() f(). Να αποδείξετε ότι f () Θέτουµε Τότε f() f() h() κοντά στο. h() () και f() h() [ f() ] f() h() f() h() f() h() f() h() f() [ h() ] h() () και λύνουµε ως προς f() () h() > h() < 0 () f() h() h() f() h() h() () Άρα f () h() 0 h() h() h() h() Για τη συνάρτηση f δίνεται ότι f () 3 κοντά στο f(). Να αποδείξετε ότι f() 3 Υπόδειξη. Ακολούθησε την άσκηση 3. f () 3 και

13 3 5. Για τη συνάρτηση f : Να δείξετε ότι Θέτουµε g() Τότε Για το Άρα () R R δίνεται ότι f (). f() ηµ ( π) π( ) κοντά στο f() ηµ ( π). π( ). () g() και g()π( ) f ()ηµ(π) g() π( ) f () ηµ ( π) π( ) f () g() ηµ ( π) (), (3) π( ) f () g() () ηµ ( π) π( ) θέτουµε u. Οπότε u και u 0. ηµ ( π) π( ) πu ηµ ( π) u 0 ηµ [ π ( u)] πu u 0 ηµ ( π πu)] πu u 0 ηµ ( πu) u 0 ηµ ( πu) πu ηµ ( πu) u 0 πu ηµ ( πu) (3) πu ( πu) 0 f ().

14 4 6. Για τις συναρτήσεις f, g : f ( ) g( ) Να αποδείξετε ότι [ f ( )] [ g ( )] f ( ) g( ) Είναι 0 < f ( ) g( ) [ f ( )] [ g( ) ] Αποδείχθηκε ότι 0 < R R δίνεται ότι f ( ) g( ). 0. f ( ) > 0 και g( ) > 0 κοντά στο. f ( ) [ f ( )] [ g( ) ] f ( ) [ f ( ) ] f ( ) g( ) [ f ( )] [ g( ) ] f ( ) g( ) Αλλά f ( ) g( ) < g( ) [ g( ) ] g( ) [ f ( )] [ g( ) ] f ( ) g( ) κοντά στο. f ( ) 0 και g( ) 0 < Άρα f ( ) g( ) Από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε f ( ) g( ) [ f ( )] [ g ( )] 0.

Σχετικά έγγραφα

Κριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση. R R τέτοια, ώστε να ισχύει. f(x) x. lim. ii) x 0. lim f (x) = 0. x 0. lim. ( x + x + 4) = 4. x 0.

ΜΑΘΗΜΑ 8.4.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Κριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση R ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κριτήριο παρεµβολής. 4 f () Να βρείτε το i) i) ( 4 ) ( 4 ) R R τέτοια, ώστε να ισχύει f () 0 4 0 0 4 για κάθε κοντά στο