lim f ( x ) 0 gof x x για κάθε x., τότε

Transcript

1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι «-» στο πεδίο ορισμού της Α (Μονάδες7) Α Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών (Μονάδες 8) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Η εικόνα f ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα β) Αν f συνεχής σε ένα οποιοδήποτε σύνολο Α και f ( ) για κάθε A, τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Α γ) Αν lim f ( ), τότε lim f ( ) δ) Αν f ( ) e και g( ) ln, τότε ε) Αν P( ) a a a gof για κάθε ένα πολυώνυμο, τότε ισχύει: lim P ( ) lim a (Μονάδες 5=) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( ) και g( )

2 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις Β Να ορίσετε τις συναρτήσεις gof και fog (Μονάδες 6) Β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της (Μονάδες 6) Β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα f ( ) g( ) έχει μία, τουλάχιστον, (Μονάδες 8) Β Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συναρτήση f με: f e,, 6 6 Γ Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια lim f, lim f (Μονάδες 6) Γ Να εξετάσετε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της (Μονάδες 8) Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα (Μονάδες 6)

3 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει,5 τέτοιο, ώστε: 9 f f () f () f () (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f :, η οποία είναι συνεχής στο με: f y f ( ) f ( y) για κάθε, y και f e Δ Να αποδείξετε ότι: (i) f (ii) f e (Μονάδες +=6) Δ Να αποδείξετε ότι: (i) η f είναι συνεχής στο (ii) η f είναι γνησίως αύξουσα Δ (i) Αν υπάρχουν τα όρια lim f ( ), lim f ( ), να βρεθούν (ii) Να βρείτε το όριο f ( ) lim f ( ) (Μονάδες +=6) Δ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f ( ) f f f έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα, (Μονάδες +=8) (Μονάδες 5) Διάρκεια εξέτασης: ώρες Καλή επιτυχία

4 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) ΘΕΜΑ ο : Α Θεωρία του σχολικού βιβλίου Α Θεωρία του σχολικού βιβλίου Α α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ ο Β Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων είναι: Το πεδίο ορισμού της fog είναι: D D f g, D fog Dg / g( ) Df /, Για κάθε, έχουμε: fog ( ) f g ( ),, Το πεδίο ορισμού της gof είναι: Για κάθε, έχουμε: / ( ) /, D D f D gof f g gof ( ) g f ( ),, Β Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη αφού: Για κάθε,, έχουμε: f ( ) f ( )

5 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, δηλαδή και «-», επομένως η f είναι αντιστέψιμη Για την αντίστροφη της f έχουμε: y f ( ) y y y y ( y y ) Πρέπει ακόμα y y Άρα η αντίστροφη, που αληθεύει για κάθε y f της f είναι : Β Θεωρούμε τη συνάρτηση: f, f ( ) g( ),, h Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την h στο, Η h είναι συνεχής στο, (ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων) h( ) f ( ) g( ) h() f () g() Επομένως h( ) h() και άρα υπάρχει μία, τουλάχιστον, ρίζα, : h f ( ) g( ) Β Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, το σύνολο τιμών της θα είναι: f (), lim f ( ), Ή αλλιώς το σύνολο τιμών της f είναι το πεδίο ορισμού της D f, δηλαδή το, f ΘΕΜΑ ο Γ Όταν είναι, οπότε έχουμε διαδοχικά: Επομένως: f ( )

6 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) Όταν είναι, οπότε έχουμε: lim f lim lim f lim e 6 6 () Είναι lim e e και: lim lim με 6 6 Από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε ότι: Επομένως από την () έχουμε: Γ Η συνάρτηση f είναι: 6 lim 6 lim lim lim lim 6 6 f e e 6 6 Συνεχής στο διάστημα, (ως πράξεις και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων) Συνεχής στο διάστημα, (ως πράξεις και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων) Θα εξετάσουμε τη συνέχεια της f στο σημείο Είναι f () Έχουμε: Ακόμα: Άρα: lim f ( ) lim lim e 6 6 lim lim 6

7 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) Οπότε lim ( ) lim lim lim 6 6 f e e 6 6 lim f ( ) και άρα lim f ( ) Επομένως η f είναι συνεχής και στο, αφούlim f ( ) f () Γ Επειδή: υπάρχουν, lim h lim f ( ) lim h lim f ( ) αντίστοιχα τέτοια, ώστε h h Επομένως θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) f ( ),,, Η h είναι συνεχής στο, (ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων) h h Από το θεώρημα του Bolzano έχουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, ώστε: Επομένως η εξίσωση f ( ) h f ( ) έχει μία, τουλάχιστον, πραγματική λύση τέτοιο, Γ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα,5 και άρα παίρνει μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή, Μ και μ αντίστοιχα, δηλαδή f ( ) για κάθε,5 Έχουμε: f () f () () f () f () () f () f () () Προσθέτοντας τις σχέσεις (), (), () κατά μέλη έχουμε: f () f () f () 9 f () f () f () 9 9 Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον,,5 τέτοιο, ώστε: f () f () f () f ( ) 9 f ( ) f () f () f () 9

8 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) ΘΕΜΑ ο Δ i) Για y έχουμε: () () () () () f () () () f f f f f f f ή f Δεκτή τιμή είναι η f (), ii) Για, y έχουμε: f f () f ( ) f () ef ( ) ef ( ) f ( ) e Δ i) Αφού η f είναι συνεχής στο θα είναι f f f είναι συνεχής στο Θέτουμε: Τότε η () γίνεται: lim Θα αποδείξουμε ότι η, δηλαδή lim f f (Ι) h h h lim f lim f h lim f ( ) f ( h) f ( ) lim f ( h) f ( ) h h h ii) H συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, αφού γνωρίζουμε ότι είναι γνησίως μονότονη και f (), f ( ) Επομένως και η e f έχει το ίδιο είδος μονοτονίας (το οποίο πρέπει να αποδείξουμε ως πρόταση και υπάρχει αποδεδειγμένο στις σημειώσεις), δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα h h Δ i) Θέτουμε: h και έχουμε: lim f lim f h lim f ( ) f ( h) f ( ) lim f ( h) f ( ) lim f ( h) h h h h lim f f ( ) lim f ( ) lim f f ( ) lim f ή f ( ) Όμως η σχέση f ( ) ισχύει μόνο για (αφού f () και η f είναι συνάρτηση «-») Επομένως lim f Όμοια θέτουμε: h h h και έχουμε:

9 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) lim f lim f h lim f ( ) f ( h) f ( ) lim f ( h) f ( ) lim f ( h) h h h h lim f f ( ) lim f ( ) lim f f ( ) lim f ή f ( ) Όμως η σχέση f ( ) ισχύει μόνο για (αφού f () και η f είναι συνάρτηση «-») Επομένως lim f Σημείωση: Οι ισοδυναμίες που χρησιμοποιήθηκαν για την εύρεση των ορίων lim (ii) Για y f, lim f έχουμε: στηρίζονται στην μοναδκότητα του ορίου ( ) f f f f f f f f f Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f () f ( ) f () f () e lim lim lim f () lim e f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () Δ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα,, αφού είναι συνεχής στο, άρα παίρνει μία ελάχιστη και μία μέγιστη τιμή, m και Μ αντίστοιχα, δηλαδή: Άρα έχουμε: m f ( ) M για κάθε, m f M () m f M () m f M () Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (),(), () είναι: f f f m f f f M m M Επομένως από το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών έχουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: f

10 Λύσεις του διαγωνίσματος ο Κεφάλαιο (Συναρτήσεις) f f f f ( ) f ( ) f f f Επιμέλεια λύσεων Συντακτική Ομάδα wwwmathpgr

11 ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f και g Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο Κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Να ορισθούν οι συναρτήσεις g f και f g Μονάδες 6 Β Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η αντίστροφή της Μονάδες 6 Β Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f g έχει μία, τουλάχιστον, πραγματική ρίζα Μονάδες 8 Β Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f Μονάδες 5 Β Είναι D, f και Dg Το πεδίο ορισμού της g f είναι: D D f D, g f f g Για κάθε, είναι: Το πεδίο ορισμού της f g είναι: g f g f D D g D, f g g f Για κάθε, είναι: f g f g Β Για κάθε,, με f f Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και επομένως η f είναι αντιστρέψιμη Είναι: y y f y y y y y y y y y y y y y y Άρα η αντίστροφη f της f είναι: f f y , - -, άρα και C f y = 5 f g f g, 5 με Df D g, Έστω η συνάρτηση h, με, y Η h είναι συνεχής στο,, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών στο, Β Είναι h h Άρα, από το θεώρημα Bolzano, συναρτήσεων και ισχύει: και προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε 5 h, οπότε η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Β To σύνολο τιμών της f είναι το πεδίο ορισμού της ος τρόπος: Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 5 f, οπότε f Df, - - o h το σύνολο τιμών της είναι το: f D f, lim f, f o -,8 www/mathpgr/ /5

12 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f με: f e, αν 6 ημ 6, αν Γ Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα όρια: lim f, lim f Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο Κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Μονάδες 6 Γ Να εξεταστεί η συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της Μονάδες 8 Γ Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα Μονάδες 6 Γ Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ, 5 τέτοιο, ώστε: 9f ξ f f f Μονάδες 5 Γ Η f έχει f D και είναι: u u u lim e lim e e και 6 ημ ημ lim f lim e lim e lim, διότι: ημ ημ ημ, οπότε ημ και επειδή lim lim, 6 από το θεώρημα παρεμβολής προκύπτει ότι και 6 ημ lim 6 Επίσης ισχύει: lim f lim lim lim lim lim y y 6 e 6 f,, Γ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα, και,, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών στο, και,, αντίστοιχα, συναρτήσεων Θα εξεταστεί η συνέχεια της f στο Ισχύει: και ημ ημ lim f lim e lim e lim, διότι: ημ ημ ημ 6 lim lim lim Επίσης ισχύει: 6 lim Δηλαδή lim f lim f, οπότε είναι f, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αφού ισχύει lim f f Eπομένως η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Γ Έστω η συνάρτηση h f,, Η h είναι συνεχής στο,, ως διαφορά συνεχών στο, συναρτήσεων και ισχύουν: h f και - h f, οπότε Συνεπώς, από το θεώρημα Bolzano, προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα h f f Επομένως η εξίσωση στο διάστημα, - o h h, τέτοιο, ώστε f έχει μία τουλάχιστον ρίζα - φ φ φ lim e lim e lim f και επειδή h www/mathpgr/ /5

13 Γ Για είναι: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο Κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ f Iσχύει:, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων και προκύπτει: f f Άρα: 5 f f f f f 5, οπότε είναι: f f f 5 f 5 f f (), f f f 5 f 5 f f (), f f f 5 f 5 f f () Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, Aπό την πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (), () και () προκύπτει: f f f 9f 5 f f f 9f f 5 f 9 Επομένως, αφού η f είναι συνεχής στο διάστημα, 5, ως συνεχής στο, από το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών προκύτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, 5 τέτοιο, ώστε f f f f ξ 9f ξ f f f 9 www/mathpgr/ /5

14 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f :, με: f y f f y και f e η οποία είναι συνεχής στο Δ Να αποδειχθεί ότι: i) f, ii) f Δ Να αποδειχθεί ότι: i) η f είναι συνεχής στο, ii) η Δ i) Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα όρια: lim f, lim f ii) Nα βρεθεί το όριο f lim f Δ Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο Κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ για κάθε, y Μονάδες 6 e f είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες 6 Μονάδες 8 f f f f έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα, Μονάδες 5 Δ i) Για y είναι: f f f f f f f f f f ή f f ή f Η τιμή f απορρίπτεται διότι f,, άρα είναι ii) Για, y f e είναι: f f f f e f e f f Δ i) Αφού η f είναι συνεχής στο θα ισχύει, δηλαδή ότι lim f f lim f f () Θα δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο Άρα: Θέτω h h, οπότε h lim f lim f h lim f f h lim f lim f h f lim f h h h h h h f f, η f είναι e γνησίως αύξουσα στο Συνεπώς η f είναι και άρα αντιστρέφεται, δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση ii) Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο και ισχύουν f και f f με πεδίο ορισμού το f και ισχύει f y f y, για και y f Έστω y, y D f, με Άρα η f f είναι γνησίως αύξουσα στο f f: γναύξ y y f f y f f y f y f y Δ i) Έστω Θέτω h h, οπότε h Άρα: lim f lim f h lim f f h lim f lim f h f lim f h h h h h h f lim f Eπομένως: () lim f f lim f lim f f lim f lim f f lim f ή f lim f ή f Η σχέση f ισχύει μόνο όταν Επομένως είναι: lim f ( ), αφού f και η f είναι συνάρτηση : Οι ισοδυναμίες βασίζονται στην μοναδικότητα του ορίου () www/mathpgr/ /5

15 Έστω Θέτω t t, οπότε t Άρα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο Κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ lim f lim f t lim f f t lim f lim f t f lim f t t t t t t f lim f Eπομένως: lim f f lim f lim f f lim f lim f f lim f ή f lim f ή f Η σχέση f ισχύει μόνο όταν Επομένως είναι: lim f Δ ii) Από τη δοθείσα σχέση για y f f f () f Είναι: f, αφού f και η f είναι συνάρτηση προκύπτει: f f f f f f f f f f lim lim () f f f f e lim lim e f f f Δ Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, αφού είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο και f f f Eπειδή, ισχύουν: f f f () Aπό την πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (), () και () προκύπτει: f f f f f f f f f f (), f f f Επομένως, από το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών, προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, f f f f f f f f τέτοιο, ώστε () www/mathpgr/ /5

16 Ερωτήσεις κατανόησης κεφ σελίδας - Ι Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώστε το γράµµα Α, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής και το γράµµα Ψ, αν ο ισχυρισµός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας Αν f() = ln και g() = e, τότε α) (g o f)() =, * R A Ψ β) (f o g)() =, R α) Είναι ψευδής διότι D f = (, + ), D g =R Το πεδίο ορισµού της g o f είναι το σύνολο D gof = { D f µε f() D g}, δηλαδή > µε ln R > Α Ψ Άρα D gof = (, + ) β) Είναι αληθής διότι και όχι το * R D fog = { D g µε g() D f }, δηλαδή Rµε e >, οπότε D fog =R και (f o g)() = f(g()) = lne = Αν lim f () = l R, τότε lim f () = Α Ψ Θέτω Τότε f () = g() µε f() = ( )g() lim g() =l lim f () = lim( )g() = l =

17 Είναι lim lim lim = = lim = Α Ψ Είναι ψευδής, διότι ο πολλαπλασιασµός lim + δε δίνει αποτέλεσµα, αφού είναι η απροσδιόριστη µορφή (+ ) ή ( ) Αν f() > για κάθε R και υπάρχει το κατ ανάγκη lim f (), τότε lim f () > Α Είναι ψευδής, διότι µπορεί να είναι lim f () = Ψ Π Για τη συνάρτηση f() = +, =, είναι f() > για κάθε R και lim f () = 5 Ισχύει : α) β) lim ηµ = + Α ηµ lim = + Α Το (α) είναι αληθής διότι : Θέτω Αλλά u =, οπότε u u =, οπότε lim ηµ + = lim ηµ u u u = ηµ u lim = u u Το (β) είναι ψευδής διότι : ηµ ηµ = ηµ Ψ Ψ Επειδή όµως lim + ηµ =, από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι lim = +

18 6 Αν f() κοντά στο, τότε Είναι αληθής διότι : lim( f ()) f() f() και επειδή παρεµβολής θα είναι και lim( f ()) = = Ψ Α lim =, από το κριτήριο 7 Αν f (), (α, + ), τότε κατ ανάγκη θα είναι lim f () = + Λύση Είναι ψευδής Μπορεί η f να µην έχει καν όριο στο + Α Ψ 8 Αν υπάρχει το lim(f ()g()), τότε είναι ίσο µε f(6)g(6) A 6 Είναι ψευδής διότι δεν ξέρουµε αν η f()g() είναι συνεχής στο 6 Ψ 9 Αν o lim f () =, τότε κατ ανάγκη θα είναι Α o lim f () = ή lim f () = o Ψ Είναι ψευδής διότι µπορεί το lim f () µπορεί να µην υπάρχει o Π χ Για τη συνάρτηση f () = έχουµε lim f () = lim = ενώ το lim f () δεν υπάρχει

19 Αν lim f () = τότε o lim f () o Από τον ορισµό του ορίου (είναι εκτός ύλης ) έχουµε lim f () =l o o Για l = προκύπτει το ζητούµενο = Α Ψ lim[f () l] = lim f () l = o Αν η f είναι συνεχής στο R και για ισχύει 7+ f () =, τότε f() = Είναι αληθής διότι : 7+ f συνεχής f() = lim f () = lim ( )( ) = lim = lim( ) = Α Ψ Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και f( ) =, f() =, τότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός o (, ) έτσι ώστε f( o ) = π Είναι αληθής διότι : Η f συνεχής στο [, ], f( ) f() και < π < Από θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών υπάρχει o (, ) έτσι ώστε f( o ) = π Α Ψ

20 5 ΙΙ Κυκλώστε την σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις Αν lim f () =l και o lim g() = m, l, m R και f() < g() κοντά στο ο o τότε κατ ανάγκη θα είναι : Α) l < m Β l m Γ) l m ) l = m Ε) m <l Το όριο ( ) lim ( ) + + είναι ίσο µε Α 8 Β Γ + Ε 8 Το + lim + είναι ίσο µε Α + Β Γ Ε Αν το lim o δεν υπάρχει, τότε Α o = B o = Γ o = o = ΙΙΙ ίνονται οι συναρτήσεις f() = ( ) + και g() = Από τους παρακάτω ισχυρισµούς λάθος είναι ο : Α ) η g είναι συνεχής στο Β) η f είναι συνεχής στο Γ η g έχει δύο σηµεία στα οποία δεν είναι συνεχής ) lim f () = +

21 6 Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλά ορισµένα; Α Γ Ε lim 9 lim + lim[ln( )] + Β ΣΤ lim 9 lim + lim[ln( + )] ίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο = [, ] µε f() =, f() = και f() = Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς δεν προκύπτει κατ ανάγκη από τις υποθέσεις; Α Υπάρχει o (, ) τέτοιος, ώστε f( o ) = B Γ lim f () = lim f () = f () [-, ] f( ) Ε Η µέγιστη τιµή της f στο [, ] είναι το και η ελάχιστη το