Εισαγωγή. Διάλεξη 1. Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου. Τι είναι σήμα; Παραδείγματα

Transcript

1 University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Τι είναι σήμα; Είναι μεταβολές ενός φυσικού μεγέθους που αναπαριστούν ή μεταφέρουν πληροφορίες Είναι συνάρτηση ανεξάρτητων μεταβλητών, όπως χρόνου (π.χ. φωνή), ή θέσης(π.χ. εικόνα) Συνήθως αναφερόμαστε στη μεταβλητή μονοδιάστατων σημάτων ως χρόνο χωρίς κατ ανάγκη να είναι πραγματικά χρόνος Παραδείγματα Φωνή [d, s(t)] Ασπρόμαυρη εικόνα [d, i(x,y)] Βίντεο [3x3d, i{r(x,y,t), g(x,y,t), b(x,y,t)}]

2 Εισαγωγή Η μεταβλητή μπορεί να είναι συνεχής (continuous) ή διακριτή (discrete) Σήματα συνεχούς χρόνου Σήματα διακριτού χρόνου (ορίζονται σε διακριτά σημεία χρόνου και συμβολίζονται ωε ακολουθίες (sequences) αριθμών Το πλάτος (amplitude) του σήματος μπορεί να είναι συνεχές ή διακριτό Αναλογικά (analog) σήματα (τόσο ο χρόνος όσο και το πλάτος είναι συνεχή) Ψηφιακά σήματα (τόσο ο χρόνος όσο και το πλάτος είναι διακριτά) Η ανάλυση ψηφιακών σημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου ακολουθεί τις ίδιες γραμμές Διαφορές λόγο δειγματοληψίας και ψηφιοποίησης του πλάτους Οι υπολογιστές επεξεργάζονται εξ ανάγκης ψηφιακά σήματα Amplitude (mv) Amplitude (mv) Amplitude (mv) Continuous Signal Time (ms) Discrete-time Signal - 3 Digital Signal - 3 Sampl Number 3 Εισαγωγή Ψηφιακή επεξεργασία σημάτων Τροποποίηση και ανάλυση της πληροφορίας Αναπαράσταση, μετασχηματισμός και χειρισμός των σημάτων και της πληροφορίας που περιέχουν Υπέρ Εύκολη αναπαραγωγή Σταθερότητα και ευρωστία, δεν μεταβάλλεται με το περιβάλλον (π.χ. θερμοκρασία) και με την αποθήκευση Ευελιξία και δυνατότητα αναβάθμισης (υπολογιστής ή γενικής χρήσης μικροεπεξεργαστής Κατά Περιορισμοί του συστήματος ψηφιοποίησης (ADC/DAC) Ψηλά κατανάλωση ισχύος Ακατάλληλη για απλές, χαμηλής ισχύος εφαρμογές Εύρος ζώνης (bandwidth) περιορίζεται από τη ψηφιοποίηση Μορφομετατροπείς (transducers) Π.χ. μικρόφωνα Αναλογο-Ψηφιακός Μετατροπέας (Analog-to-Digital Converter ADC) Φυσικά Σήματα Αναλογικά Σήματα Ψηφιακά Σήματα Συσκευές Εξόδου (Output Devices) Π.χ. Μεγάφωνα Ψηφιο-Αναλογικός Μετατροπέας (Digital-to-Analog Converter DAC) 4

3 Εισαγωγή Ιστορικά Στοιχεία Πριναπότηδεκαετίατου5 επεξεργασία αναλογικών σημάτων με ηλεκτρονικά ή μηχανικά μέσα Δεκαετία 5 προσομοιώσεις πριν την κατασκευή του αναλογικού επεξεργαστή 965 Fast Fourier Transform (FFT) από τους Cooley and Tukey δίνει τη δυνατότητα επεξεργασίας πραγματικού χρόνου Δεκαετία του 8 Ολοκληρωμένα κυκλώματα για επεξεργασίας σημάτων Εφαρμογές Ανάλυση ομιλίας Βελτίωση, αφαίρεση θορύβου Κωδικοποίηση Σύνθεση ομιλίας από κείμενο ( textto-speech synthesis) Αναγνώριση Ανάλυση Εικόνας Βελτίωση, κωδικοποίηση, αναγνώριση (π.χ. OCR) Επεξεργασία πολυμέσων Μετάδοση σημάτων Ψηφιακή τηλεόραση Τηλεδιάσκεψη Επικοινωνίες Βιοϊατρική Τεχνολογία Πλοήγηση, ραντάρ, GPS Έλεγχος, ρομποτική, συστήματα μηχανικής όρασης (machine vision) 5 Σήματα Διακριτού Χρόνου Ακολουθία αριθμών { } x= x[ n] -< n<+ xn [ ] όπου n είναι ακέραιος Περιοδική ψηφιοποίηση αναλογικού σήματος xn [ ] = x(nt) -< n<+ a όπου Τα είναι η περίοδος δειγματοληψίας Amplitude (mv) Amplitude (mv) Discrete-Time Signal Sampling of Analog Signals

4 Σήματα Διακριτού Χρόνου Βασικές πράξεις Πρόσθεση δυο σημάτων πρόσθεση δείγμα με δείγμα yn [ ] = x[ n] + x[ n] y[] = x[] + x [], y[] = x[] + x []... etc Πολλαπλασιασμός δυο σημάτων πολλαπλασιασμός δείγμα με δείγμα yn [ ] = x[ nx ] [ n] y[] = x[] x [], y[] = x[] x []... etc Καθυστέρηση (delay) ή μετατόπιση(shift) ενός σήματος yn [ ] = xn [ n] Όπου n είναι ακέραιος 7 Σήματα Διακριτού Χρόνου Κρουστική συνάρτηση διακριτού χρόνου (discrete time impulse) n = δ[ n] = n Κάθε συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια σειρά από κλιμακωμένες και μετατοπισμένες κρουστικές συναρτήσεις Πιο γενικά Unit Impulse x[ n] =... + a δ[ n+ ] + a δ[ n] + a δ[ n ] +... x[ n] = x[ k] δ[ n k] k = 8 4

5 Σήματα Διακριτού Χρόνου Βηματική συνάρτηση διακριτού χρόνου (step sequence) n un [ ] = n < Σχετίζεται με την κρουστική συνάρτηση un [ ] = δ[ n] + δ[ n ] + δ[ n ] + δ[ n 3] +... un [ ] = uk [ ] δ[ n k] = δ[ n k] k= k= δ[ n] = u[ n] u[ n ] Unit Step Sequnce Σήματα Διακριτού Χρόνου Εκθετικές συναρτήσεις (exponential sequence) x[ n] = Aa n Exponential Sequence Αν Α και α είναι πραγματικοί αριθμοί τότε η συνάρτηση είναι επίσης πραγματική Συμπεριφορά για < α < - < α < α > Exponential Sequence Exponential Sequence

6 Σήματα Διακριτού Χρόνου Ημιτονοειδείς Συναρτήσεις xn [ ] = Acos( ω n+ φ) for all n Γενική περίπτωση n x[ n] = Aa α και Α μιγαδικοί Εκθετικά σταθμισμένες (exponentially weighted) ημιτονοειδείς συναρτήσεις n jφ n jωn n j( ωn+ φ) xn [ ] = Aa = A e a e = A a e jω a= a e n n xn [ ] = A a cos( ω n+ φ) + j A a sin( ω n+ φ) jφ α = Κατ αναλογία με τα συνεχή σήματα ω = συχνότητα Φ = φάση xn [ ] = A cos( ω n+ φ) + j A sin( ω n+ φ) A = Ae Σήματα Διακριτού Χρόνου Σημαντικές διαφορές λόγω της διακριτότητας (n είναι πάντοτε ακέραιος). Εύρος συχνοτήτων Το ημιτονοειδές με συχνότητα ω +πr δεν διαφέρει από αυτό με συχνότητα ω x[ n] = Ae = Ae e = Ae j( ω+ πr) n jωn π rn jωn Μπορούμε να διερευνούμε ένα εύρος συχνοτήτων μόνο π < ω π or ω < π 6

7 Σήματα Διακριτού Χρόνου. Στο διακριτό χρόνο μια συνάρτηση είναι περιοδική όταν x[ n] = x[ n+ N], for all n όπου Ν είναι ακέραιος Για ημιτονοειδείς συναρτήσεις αυτό σημαίνει Acos( ωn+ φ) = Acos( ωn+ ωn + φ) π k ωn = πk or N = ω όπου k ο μικρότερος δυνατός ακέραιος Οι ημιτονοειδείς συναρτήσεις δεν είναι κατ ανάγκη περιοδικές με συχνότητα ω /π Για κάποιες τιμές ω δεν είναι καν περιοδικές! 3 Σήματα Διακριτού Χρόνου Παραδείγματα π π k x[ n] = cos n N = = 8 4 π /4 for k= 3π π k x[ n] = cos n N = = π /8 for k=3 3π π k x3[ n] = cos n N = = 8 for k=3 4 3 π /4 x[ 4 n] = cos ( n) N = π k = impossible for any k Για τα x και x, αυξάνεται η συχνότητα, αυξάνεται και η περίοδος! Το x 4 είναι ημιτονοειδές με συχνότητα ω = αλλά δεν είναι περιοδικό! Τα x και x 3 έχουν την ίδια περίοδο! 4 7

8 Σήματα Διακριτού Χρόνου 3. Στο διακριτό χρόνο η περίοδος μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης αυξάνεται μέχρι π και μετά μειώνεται ξανά μέχρι το π π/3 π/8 π π/ π/ Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ένας μετασχηματισμός (transformation) ή χειρισμός (operation) που μεταφέρει το σήμα εισόδου στο σήμα εξόδου y[n] = T{x[n]} x[n] T{.} y[n] Παραδείγματα: Το ιδεατό σύστημα καθυστέρησης y[n] = x[n n d ], < n < Σύστημα χωρίς μνήμα y[n] = (x[n]), < n < 6 8

9 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ένα σύστημα είναι γραμμικό (linear) αν και μόνο αν Επαλληλία (superpostion) y[ n] = T{ x[ n] + x[ n] } = T{ x[ n] } + T{ x[ n] } yn [ ] = y[ n] + y[ n] Αναλογικότητα (scaling) T{ ax[ n]} = at{ x[ n]} = ay[ n] yn [ ] = T{ ax [ n] + ax [ n] } yn [ ] = at { x[ n] } + at { x[ n] } yn [ ] = ay[ n] + ay[ n] Ένα σύστημα είναι χρονικά αναλλοίωτο (time-invariant) αν Μιακαθυστέρησηήμετατόπισητου σήματος εισόδου προκαλεί μια ίση μετατόπιση του σήματος εξόδου x [ n] = x[ n- n ] y[ n] = y[ n- n ] Ένα σύστημα είναι αιτιατό (causal) αν Η τιμή του σήματος εξόδου σε χρόνο n=n εξαρτάται μόνο από τις τιμές εισόδου για n<=n. Παράδειγμα y[n] = x[n n d ], < n < Αιτιατό για n d >= Μη αιτιατό για n d < Ένα σύστημα είναι ευσταθές (stable) με ΦΕΦΕ (BIBO) αν και μόνο αν Κάθε φραγμένο σήμα εισόδου (bounded input sequence) δείνει φραγμένο σήμα εξόδου (bounded output sequence). Παράδειγμα y[n] = (x[n]), < n < ευσταθές 7 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Γραμμικά, Χρονικά-Αναλλοίωτα Συστήματα (Linear Time-Invariant Systems) Σημαντικά λόγω της ευκολίας ανάλυσης αλλά και των πολλαπλών εφαρμογών Ένα ΓΧΑ σύστημα περιγράφεται εξ ολοκλήρου από την κρουστική απόκριση του yn [ ] = T{ xn [ ]} = T xk [ ] δ[ n k] k = y[ n] = x[ k] T [ n k] = x[ k] h [ n] k= h [ n] = h[ n k] k { δ } k= k yn [ ] = xkh [ ] [ n k] = xn [ ]* hn [ ] k = k 8 9

10 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Συνέλιξη y[ n] = x[ k] h[ n k] = x[ n]* h[ n] k = Βρίσκετε το h[n-k] Αντιστρέφετε το h[k] γύρω από το για να βρείτε το h[-k] Μετατοπίζεται κατά k=n Πολλαπλασιάζετε το x[k] με το h[n-k] για <k< Προσθέτετε τα αποτελέσματα για βρείτε το y[n] 9 Παράδειγμα, n N hn [ ] = un [ ] un [ N] =, otherwise n xn [ ] = aun [ ], n < n+ a, n N yn [ ] = a N n N+ a a, n> N a Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων Αντιστρεφόμενα (commutative) x[ n]* h[ n] = h[ n]* x[ n] Γραμμικά (Linear) x[ n]*( h[ n] + h [ n]) = x[ n]* h[ n] + x[ n]* h [ n] Διάταξη σε σειρά hn [ ] = h[ n]* h[ n] Παράλληλη Διάταξη hn [ ] = h[ n] + h[ n] Άλλες ιδιότητες Ευστάθεια (Stability) S = h[ k] < k= x[n] x[n] h [n] h [n] h [n] h [n] + y[n] y[n] Αιτιατότητα (Causality) hn [ ] =, n<

11 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Συστήματα με πεπερασμένη κρουστική απόκριση (Finite Impulse Response FIR) Iδανική καθυστέρηση (ideal delay) Διαφορά προς τα εμπρός (forward difference) Διαφορά προς τα πίσω Η κρουστική απόκριση έχει μόνο ένα πεπερασμένο (finite) αριθμό από μη-μηδενικά στοιχεία (non-zero samples) Συστήματα Διακριτού Χρόνου Συστήματα με άπειρη κρουστική απόκριση (Infinite Impulse Response IIR) Συσσωρευτής (Accumulator) Η κρουστική απόκριση έχει άπειρη διάρκεια Σταθερότητα Τα FIR συστήματα είναι πάντα σταθερά αν η κρουστική απόκρουση έχει πεπερασμένο πλάτος Τα IIR συστήματα είναι σταθερά μόνο σε κάποιες περιπτώσεις, πχ