Περιεχόµενα. Μέρος Α : Άλγεβρα

Transcript

1 Περιεχόµενα ΜέροςΑ :Άλγεβρα 1.1 Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις Εξισώσειςα βαθµού Επίλυσητύπων Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων Ανισώσειςα βαθµού Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί Προβλήµατα Ηέννοιατηςσυνάρτησης Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης Ησυνάρτησηy=αx Ησυνάρτησηy=αx+β Ησυνάρτηση α y = -Ηυπερβολή x 4.1 ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός- είγµα Γραφικέςπαραστάσεις Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων Μέσητιµή- ιάµεσος ΜέροςΒ :Γεωµετρία 1.1 Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων...175

2 ΜέροςΒ :Γεωµετρία 1.4 Πυθαγόρειοθεώρηµα Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30,45 και Ηέννοιατουδιανύσµατος Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες Εγγεγραµµένεςγωνίες Κανονικάπολύγωνα Μήκοςκύκλου Μήκοςτόξου Εµβαδόνκυκλικούδίσκου Εµβαδόνκυκλικούτοµέα Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης Οκώνοςκαιταστοιχείατου Ησφαίρακαιταστοιχείατης Γεωγραφικέςσυντεταγµένες...330

3

4 Ερωτήσειςκατανόησης 1.NααντιστοιχίσετεκάθεστοιχείοτηςστήληςΑτουπαρακάτωπίνακαµεένα στοιχείοτηςστήληςβ. ΣΤΗΛΗΑ ΣΤΗΛΗΒ α) 2x+5x 3x i) 4x β)x 3x+4x ii) 5x γ) x+3x 6x iii) 4x δ) 2x+4x 7x iv) 2x Απάντηση ΓιαναγράψουµεσεαπλούστερηµορφήτιςαλγεβρικέςπαραστάσειςτηςστήληςΑ, χρησιµοποιούµετηνεπιµεριστικήιδιότητα (α+β) γ=α γ+β γ, αφούπρώτα τηµετατρέψουµεστηνακόλουθηµορφή: α γ+β γ=(α+β) γ Ηισότητααυτήµαςδείχνειπωςέναάθροισµαµπορείναγραφείσεµορφήγινοµέ- νουδύο(ήκαιπερισσότερων)παραγόντων. α) 2x+5x 3x=(2+5 3)x=4x,άρα(α) (iii). β)x 3x+4x=(1 3+4)x=2x,άρα(β) (iv). γ) x+3x 6x=( 1+3 6)x= 4x,άρα(γ) (i). δ) 2x+4x 7x=( 2+4 7)x= 5x,άρα(δ) (ii). 2.Γιακάθεαλγεβρικήπαράστασητης1ηςστήληςτουεπόµενουπίνακα,δίνονται τρειςαπαντήσειςα,βκαιγ,απότιςοποίεςµίαµόνοείναισωστή.ναεπιλέξετε τησωστήαπάντηση. 9

5 Α Β Γ α)2x 4x+6x = 12x 2x 4x β)3y 3y+4y = 4y 10y 5y γ) 5α+3α α = 3α 3α 9α δ)3α 4β+4β 5α= 8α+8β 2α 2α Απάντηση α) 2x 4x+6x=(2 4+6)x=4x,άρα(α) Γ. β) 3y 3y+4y=(3 3+4)y=4y,άρα(β) Α. γ) 5α+3α α=( 5+3 1)α= 3α,άρα(γ) Β. δ) Παρατηρούµεότιστηναλγεβρικήπαράστασηέχουµεδυοµεταβλητές.Θαεφαρ- µόσουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. ηλαδήστους 3α, 5α και 4β, 4β.Έχουµε: άρα(δ) Γ. 3.ΝααντιστοιχίσετεκάθεπαράστασητηςστήληςΑµετηνίσητηςπαράσταση πουβρίσκεταιστηστήληβ. ΣΤΗΛΗΑ ΣΤΗΛΗΒ α) (3x+5)+(x 6) i) 4x+11 β)( 3x+5) (x 6) ii) 4x+1 γ)( 3x+5) (x+6) iii) 4x 1 δ) (3x+5) (x 6) iv)4x 1 Απάντηση ΓιαναγράψουµεµεπιοαπλήµορφήτιςαλγεβρικέςπαραστάσειςτηςστήληςΑ,θα πρέπει πρώτα να κάνουµε απαλοιφή παρενθέσεων και στη συνέχεια να εφαρµό- σουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα.γιανααπαλείψουµετιςπαρενθέσειςεργαζόµα- στεωςεξής: Ότανµιαπαρένθεσηέχειµπροστάτηςτο+(ήδενέχειπρόσηµο),µπορούµενα τηναπαλείψουµεµαζίµετο+(εάνέχει)καιναγράψουµετουςόρουςπουπερι- έχειµεταπρόσηµάτους. 10 Ηέννοιατης εταβλητής Αλγεβρικέςπαραστάσεις

6 Ότανµιαπαρένθεσηέχειµπροστάτηςτο,µπορούµενατηναπαλείψουµεµαζί µετο καιναγράψουµετουςόρουςπουπεριέχειµεαντίθεταπρόσηµα. α) (3x+5)+(x 6)=3x+5+x 6=3x+x+5 6=(3+1)x+(5 6)=4x 1, άρα(α) (iv). β)( 3x+5) (x 6)= 3x+5 x+6= 3x x+5+6=( 3 1)x+(5+6)= = 4x+11,άρα(β) (i). γ)( 3x+5) (x+6)= 3x+5 x 6=( 3 1)x+(5 6)= 4x 1, άρα(γ) (iii). δ) (3x+5) (x 6)= 3x 5 x+6=( 3 1)x+( 5+6)= 4x+1, άρα(δ) (ii). Ασκήσεις 1.Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιααλγεβρικήπαρά- στασητιςπαρακάτωφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9. γ) Τηνπερίµετροενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι 2m µεγαλύτεροαπό τοπλάτοςτου. Λύση α) Ανσυµβολίσουµεµεxέναναριθµό,τότε: Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x. Το3xαυξηµένοκατά12είναι 3x+12. β) Ανσυµβολίσουµεµεxέναναριθµόκαιµεyένανάλλοαριθµό,τότε: Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναι x+y. Τ ο x+y πολλαπλασιασµένοµετο9είναι 9(x+y). γ) Ανσυµβολίσουµεµεymτοπλάτοςενόςορθογωνίου,τότετοµήκοςτουείναι (y+2)m (αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι 2m µεγαλύτεροαπότο πλάτοςτου).εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι: Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m 11

7 2.Ναχρησιµοποιήσετεµιαµεταβλητήγιαναεκφράσετεµεµιααλγεβρικήπα- ράστασητιςπαρακάτωφράσεις: α) Τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπατάτες, ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού. β) Τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηαναγραφό- µενητιµήσυν19%φπα. Λύση α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι5x. β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσε αυτήτηντιµήείναι: 19 y = 0,19y 100 Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναι: y+0,19y=(1+0,19)y=1,19y 3.Nααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 20x 4x+x β) 7α 8α α γ) 14y+12y+y δ)14ω 12ω ω+3ω ε) 6x+3+4x 2 στ)β 2β+3β 4β Λύση Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα: α γ+β γ=(α+β) γ α) 20x 4x+x=(20 4+1)x=17x. β) 7α 8α α=( 7 8 1)α= 16α. γ) 14y+12y+y=( )y=27y. δ) 14ω 12ω ω+3ω=( )ω=4ω. ε) 6x+3+4x 2= 6x+4x+3 2=( 6+4)x+(3 2)= 2x+1. στ)β 2β+3β 4β=( )β= 2β. 4.Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 2x 4y+3x+3y β) 6ω 2ω+4α+3ω+α γ) x+2y 3x 4y δ) 8x+ω+3ω+2x x 12 Ηέννοιατης εταβλητής Αλγεβρικέςπαραστάσεις

8 Λύση Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµιαµόνοµεταβλητή.Εφαρ- µόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. =5x+( 1)y=5x y. =7ω+5α. = 2x 2y. = 7x+4ω. 5.Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις A, B και στη συνέχεια να υπολογίσετε τηντιµήτους: α) Α=3(x+2y) 2(2x+y),ότανx=1, y= 2. β) Β=5(2α 3β)+3(4β α),ότανα= 3, β=5. Λύση α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ: Α=3(x+2y) 2(2x+y)=3x+6y 4x 2y=3x 4x+6y 2y= =(3 4)x+(6 2)y=( 1)x+4y= x+4y ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,όταν x=1 και y= 2: Α= 1+4( 2)= 1 8= 9 β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ: Β=5(2α 3β)+3(4β α)=10α 15β+12β 3α=10α 3α 15β+12β= =(10 3)α+( 15+12)β=7α+( 3)β=7α 3β ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,όταν α= 3 και β=5: Β=7( 3) 3 5= 21 15= 36 13

9 6.Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=2(α 3β)+3(α+2β),όταν α=0,02 και β= β) Β=3(x+2y)+2(3x+y)+y,όταν x+y=. 9 Λύση α) ΑπλοποιούµεαρχικάτηνπαράστασηΑ: Α=2(α 3β)+3(α+2β)=2α 6β+3α+6β=2α+3α 6β+6β= =(2+3)α+( 6+6)β=5α+0 β=5α ΠαρατηρούµεότιητιµήτηςπαράστασηςΑεξαρτάταιαπότηµεταβλητήα,αλλά όχιαπότηµεταβλητήβ.υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςα,όταν α=0,02: Α=5 0,02=0,1 β) ΑπλοποιούµεαρχικάτηνπαράστασηΒ: Β=3(x+2y)+2(3x+y)+y=3x+6y+6x+2y+y=3x+6x+6y+2y+y= =(3+6)x+(6+2+1)y=9x+9y=9(x+y) ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,ότανείναι x+ y = 1 9 : B= 9 = = Oιδιαιτολόγοι,γιαναεξετάσουνανέναάτοµοείναιαδύνατοήπαχύ,χρησι- B µοποιούντοναριθµό 2 υ (δείκτηςσωµατικούβάρουςήbodymassindex,δη- λαδήβμι),όπουβτοβάροςτουατόµουκαιυτούψοςτουσεµέτρα.ανάλογα µετοαποτέλεσµααυτό,τοάτοµοκατατάσσεταισεκατηγορίασύµφωναµετον παρακάτωπίνακα: ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΑΝ ΡΕΣ Κανονικόβάρος 18,5-23,5 19,5-24,9 1οςβαθµός παχυσαρκίας 2οςβαθµός παχυσαρκίας 3οςβαθµός παχυσαρκίας 23,6-28,6 28,7-40 πάνωαπό , πάνωαπό40 14 Ηέννοιατης εταβλητής Αλγεβρικέςπαραστάσεις

10 Nαχαρακτηρίσετε: α) ΤοΓιώργο,µεβάρος87κιλάκαιύψος1,75µέτρα. β) ΤηνΑλέκα,µεβάρος64κιλάκαιύψος1,42µέτρα. γ) Τονεαυτόσας. Λύση B α) Υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασης 2, υ όταν Β=87 και υ=1,75: Β = = 28, υ 1,75 3,0625 Άρα,οΓιώργοςκατατάσσεταιστηνκατηγορίατωνανδρώνµε1οβαθµόπαχυσαρ- κίας. B β) Υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασης 2, υ ότανείναι Β=64 και υ=1,42: B = = 31, υ 1,42 2, 0164 Άρα,ηΑλέκακατατάσσεταιστηνκατηγορίατωνγυναικώνµε2οβαθµόπαχυσαρ- κίας. B γ) Υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασης 2, υ αντικαθιστώνταςόπουβτοβάρος µαςκαιόπουυτούψοςµας.στησυνέχειαανάλογαµετοαποτέλεσµα,βρίσκουµε απότονπίνακασεποιακατηγορίαανήκουµε. 15

11 Ερωτήσειςκατανόησης 1.Στιςπαρακάτωισότητεςνασυµπληρώσετετοναριθµόπουλείπει: α) 5+ =35 β) 5 =35 γ) 127 =103 δ) 32 =35 ε) 14+ =5 στ)2 +3=17 Απάντηση Σεκάθεπερίπτωσηαναζητούµεκατάλληλοαριθµό,οοποίοςθαεπαληθεύειτηνισό- τητα. α)5+30=35. β)5 7=35. γ) =103. δ) 32 ( 3)=35. ε) 14+( 9)=5. στ)2 7+3=17. 2.Ναεξετάσετεανοιπαρακάτωπροτάσειςείναισωστές(Σ)ήλανθασµένες(Λ). α) Hεξίσωση 2x=6 έχειλύσητοναριθµό3. β) Hεξίσωση 5x+x=x είναιταυτότητα. γ) Οιεξισώσεις x+1=5 και x+5=1 έχουνλύσητονίδιοαριθµό. δ) Ηεξίσωση 3x=0 είναιταυτότητα. ε) Ηεξίσωση 0 x=0 είναιαδύνατη. Απάντηση α) Σ. (Ηεξίσωση 2x=6 έχειλύσητοναριθµό3,διότι 2 3=6.) β) Λ.(Ηεξίσωση 5x+x=x γράφεται 5x+x x=0 ή 5x=0. Άραηεξίσωση έχειλύσητοναριθµό x=0.) γ) Σ. (Ηεξίσωση x+1=5 γράφεται x=5 1 ή x=4,άραέχειλύσητοναριθ- µό4.ηεξίσωση x+5=1 έχειλύσητοναριθµό4,διότι 4+5=1.) δ) Λ.(Ηεξίσωση 3x=0 έχειλύσητοναριθµό0.) ε) Λ.(Ηεξίσωση 0 x=0 έχειλύσηοποιονδήποτεαριθµό.) 16 Εξισώσειςα βαθ ού

12 3.ΝααντιστοιχίσετεκάθεεξίσωσητηςστήληςΑµετηλύσητηςστηστήληΒ. Απάντηση ΣΤΗΛΗΑ ΣΤΗΛΗΒ α) 2x=4 i) 8 β) 3x= 9 ii)3 1 γ) x = 4 iii) 2 2 δ) 2x=3+x iv) 3 ΣεκάθεπερίπτωσηλύνουµετηνεξίσωσητηςστήληςΑωςπροςτοx. α) Γιανααποµονώσουµετοx,διαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου,δηλα- δήµετο 2καιστησυνέχειααπλοποιούµετακλάσµατα.Είναι: 2x=4ή 2x = 4, 2 2 δηλαδήx= 2 Άρα(α) (iii). β) Είναι: 3x= 9ή 3x 9 =, 3 3 δηλαδήx= 3 Άρα(β) (iv). γ) Πολλαπλασιάζουµεκαιταδυοµέλητηςεξίσωσηςµετο2γιαναπάρουµεµια εξίσωσηχωρίςπαρονοµαστές.ηδιαδικασίααυτήλέγεταιαπαλοιφήπαρονοµαστών. Είναι: 1 x 2x x= 4 ή = 4 ή = 2( 4), δηλαδήx= Άρα(γ) (i). δ) Πρέπει να αποµονώσουµε το x στο ένα µέλος της εξίσωσης. Σε µια εξίσωση µπορούµε να «µεταφέρουµε» όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσηµότους.είναι: 2x=3+xή2x x=3ή1 x=3,δηλαδήx=3 Άρα(δ) (ii). 17

13 Ασκήσεις 1.Nαεξετάσετεανοαριθµόςπουδίνεταιείναιηλύσητηςεξίσωσης: α) 2x+3=21 x= 7 β) 3x+5=7,5 x=0,5 γ) 3x+4=7x 6 x=1 Λύση Γιαναεξετάσουµεανέναςαριθµόςείναιλύσηµιαςεξίσωσηςεργαζόµαστεωςεξής: Αντικαθιστούµε τον άγνωστο της εξίσωσης µε τον αριθµό και έτσι προκύπτει µιαισότηταµεγνωστούςόρους. Ανηισότηταείναισωστή,σηµαίνειότιοαριθµόςεπαληθεύειτηνεξίσωση,δη- λαδήοαριθµόςείναιλύσητηςεξίσωσης. Ανηισότηταείναιλανθασµένη,σηµαίνειότιοαριθµόςδενεπαληθεύειτηνεξί- σωση,δηλαδήοαριθµόςδενείναιλύσητηςεξίσωσης. α) Στηνεξίσωση 2x+3=21 αντικαθιστούµετονάγνωστοµετο 7καιέτσι προκύπτειηισότητα: 2( 7)+3= =21 17=21 Επειδήηισότηταείναιλανθασµένη,οαριθµός 7δενείναιλύσητηςεξίσωσης. β) Στηνεξίσωση 3x+5=7,5 αντικαθιστούµετονάγνωστοµετο0,5καιέτσι προκύπτειηισότητα: 3 0,5+5=7,5 1,5+5=7,5 6,5=7,5 Επειδήηισότηταείναιλανθασµένη,οαριθµός0,5δενείναιλύσητηςεξίσωσης. γ) Στηνεξίσωση 3x+4=7x 6 αντικαθιστούµετονάγνωστοµετο1καιέτσι προκύπτειηισότητα: 3 1+4= =7 6 1=1 Επειδήηισότηταείναισωστή,οαριθµός1είναιλύσητηςεξίσωσης. 18 Εξισώσειςα βαθ ού

14 2.Nαλύσετετιςεξισώσεις: α) 2x+21=4+x 5 β) 9+7y+y=1 2y γ) 3t 3(t+1)=t+2(t+1)+1 Λύση α) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 2x+21=4+x 5ή 2x x=4 5 21ή x= 22 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x= 22. β) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 9+7y+y=1 2yή 7y+y+2y=1+9ή 10y=10ή 10y 10 = ή y=1 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη y=1. γ) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 3t 3(t+1)=t+2(t+1)+1ή 3t 3t 3=t+2t+2+1ή 3t 3t t 2t=2+1+3ή 3t=6ή 3t 6 = 3 3 t= 2 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη t= 2. 19

15 3.Nαλύσετετιςεξισώσεις: α) 4(2x+1) 6(x 1)=3(x+2) β) 3(y+1)+2(y 4)=2y (y 6) γ) 6(ω+2)+3=3 2(ω 4) Λύση α) Έχουµεδιαδοχικά: 4(2x+1) 6(x 1)=3(x+2) 8x+4 6x+6=3x+6 8x 6x 3x= x= 4 1x 4 = 1 1 x=4 β) Έχουµεδιαδοχικά: 3(y+1)+2(y 4)=2y (y 6) 3y+3+2y 8=2y y+6 3y+2y 2y+y= y=11 4y 11 = 4 4 γ) Έχουµεδιαδοχικά: 11 y = ή y = 2,75 4 6(ω+2)+3=3 2(ω 4) 6ω+12+3=3 2ω+8 6ω+2ω= ω= 4 8ω 4 = ω= ή ω= 0, Εξισώσειςα βαθ ού

16 4.Nαλύσετετιςεξισώσεις: α) γ) 2x + 3 3x 5 = β) 2 4 2(x 1) 2 1 3x = 2 4 Λύση 7x 6 5x + 2 = 3 4 α) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 2x + 3 3x 5 = ή 2 4 2x + 3 3x 5 4 = 4 ή 2 4 2(2x+3)=3x 5ή 4x+6=3x 5ή 4x 3x= 5 6ή x= 11 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x= 11. β) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 7x 6 5x + 2 = ή 3 4 7x 6 5x = 12 ή 3 4 4(7x 6)=3(5x+2)ή 28x 24=15x+6ή 28x 15x=6+24ή 13x=30ή = 13x ή 21

17 x = Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x =. 13 γ) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 2(x 1) 2 1 3x = ή 2 4 2(x 1) 2 1 3x 4 = 4 ή 2 4 2[2(x 1) 2]=1 3xή 2(2x 2 2)=1 3xή 2(2x 4)=1 3xή 4x 8=1 3xή 4x+3x=1+8ή 7x=9ή 7x 9 = 7 7 ή x = Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x =. 7 5.Nαλύσετετιςεξισώσεις: x+4 x 4 1 3x y 1 2y+7 1 3y α) = 2 β) =y ω 23 γ) (ω + 4) 7 = (1 ω) Λύση α) Έχουµεδιαδοχικά: x+ 4 x 4 1 3x = Εξισώσειςα βαθ ού

18 β) Έχουµεδιαδοχικά: x+ 4 x 4 1 3x 15 = x+ 4 x 4 1 3x = (x+4) 5(x 4)=(1 3x) 30 3x+12 5x+20=1 3x 30 3x 5x+3x= x= 61 y 1 2y y = y y 1 2y y 6 = 6 y y 1 2y y 6 6 = 6y (y 1) (2y+7)=6y+3(1 3y) 2y 2 2y 7=6y+3 9y 2y 2y 6y+9y= y=12 3y 12 = 3 3 y=4 γ) Έχουµεδιαδοχικά: 1 1 ω 23 (ω + 4) 7 = (1 ω) ω+ 4 1 ω ω 23 7 = ω 4 7 = 28 1 ω + ω ω+ 4 1 ω ω = (ω+4) 196=4(1 ω)+7(ω 23) 23