Κεφάλαιο 4 ο Δειγματοληψία κατά Συστάδες (ΔκΣ)

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 ο Δειγματοληψία κατά Συστάδες (ΔκΣ) Σύνοψη Στο πλαίσιο του πληθυσμού Π τα απλά άτομά του (μονάδες) συνδέονται με κάποιον τρόπο μεταξύ τους π.χ. μαθητές Λυκείων, μέλη συλλόγων κ.λπ. και συγκροτούν ομάδες του, που τις ονομάζουμε «συστάδες» και τη δειγματοληψία «δειγματοληψία κατά συστάδες» (ΔκΣ). Αυτές οι συστάδες αποτελούν πλέον τις βασικές δειγματοληπτικές μονάδες για τη μελέτη των ιδιοτήτων των ατόμων του πληθυσμού. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι διάφορες μέθοδοι και τεχνικές δειγματοληψίας με βάση τις συστάδες. Διακρίνουμε διάφορα επίπεδα δειγματοληπτικής διαδικασίας, όπως μονοσταδιακή, δισταδιακή, πολυσταδιακή. Επίσης, εξετάζονται μορφές ΔκΣ με συστάδες ίσων μεγεθών καθώς και με συστάδες άνισων μεγεθών, με έμφαση στην περίπτωση των συστάδων με ίσα μεγέθη. Εξετάζονται σε ξεχωριστή παράγραφο θέματα που αφορούν τα ποσοστά μέσα από δίτιμες τυχαίες μεταβλητές. Δίνεται σειρά από λυμένα παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση του θέματος. Δίνεται, επίσης, και μία σειρά από άλυτες ασκήσεις με υποδείξεις, όπου κρίνεται σκόπιμο, διευκολύνοντας την επίλυσή τους. Προαπαιτούμενη γνώση Προαπαιτούμενη γνώση είναι η γνώση των προηγούμενων κεφαλαίων του παρόντος συγγράμματος καθώς και η γνώση πολύ βασικών εννοιών της Στατιστικής, όπως Μέση τιμή, Διασπορά, Τυπική απόκλιση, διάστημα εμπιστοσύνης. 4.. Ορισμοί εννοιών - Συμβολισμοί Μία άλλη τεχνική δειγματοληψίας, πέραν αυτών που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, είναι η δειγματοληψία κατά συστάδες (ΔκΣ), κατά την οποία χωρίζονται τα μέλη-άτομα του πληθυσμού Π σε διάφορες ομάδες, συστάδες (clusters), οι οποίες είναι όσο το δυνατό πιο ομοιόμορφες μεταξύ τους, έστω και με ανομοιογενή στοιχεία η καθεμία. Πολλοί είναι οι λόγοι που υπαγορεύουν να χρησιμοποιηθεί δειγματοληψία κατά συστάδες. Η δομή του πληθυσμού και η δυνατότητα πρόσβασης ή μη στα άτομα του πληθυσμού Π είναι ένας λόγος για τη χρήση των συστάδων και της ΔκΣ. Ένας άλλος λόγος είναι το κόστος που προκύπτει, αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος αυτή. Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέτουμε ότι υπάρχει πρόθεση να μελετηθεί ο πληθυσμός «οι μαθητές των Λυκείων της πόλης Α». Προφανές είναι ότι η πρόσβαση των ερευνητών στον κάθε μαθητή χωριστά είναι πολύ δύσκολη, σε αντίθεση με την πρόσβαση που έχουν στο Λύκειό τους. Είναι δηλαδή εύκολο να έχουμε επαφή με τα 30 Λύκεια της πόλης Α (συστάδες) παρά με τους περίπου 0000 μαθητές χωριστά, που αποτελούν φυσικά την απλή μονάδα δειγματοληψίας. Αυτή η ευκολία είναι και η αιτία που επιφέρει ελάττωση στο κόστος της έρευνας, ενώ παράλληλα αυξάνεται η ευκολία ελέγχου διεξαγωγής της έρευνας σε όλα τα στάδιά της. Κατά τη ΔκΣ ως μονάδα του πληθυσμού νοείται μία ομάδα ατόμων του που συνδέονται μεταξύ τους κατά κάποιο τρόπο (π.χ. διοικητικές μονάδες, σχολεία, τμήματα φυτώριου κ.λπ.) και ονομάζεται «συστάδα» (cluster). Συστάδες, δηλαδή, συνήθως αποτελούν οι ενορίες, τα Λύκεια ή τα Γυμνάσια μιας πόλης, οι πολυκατοικίες, οι παραγωγικές μονάδες μιας βιομηχανικής περιοχής κ.λπ. Ο πληθυσμός Π αποτελείται από Ν συστάδες και από αυτές θα συμπεριληφθούν στο δείγμα συστάδες (uts). Γενικά το πλήθος των στοιχείων στις συστάδες δεν είναι σταθερό. Η κάθε συστάδα μπορεί να περιέχει διαφορετικό αριθμό ατόμων. Περισσότερο ενδιαφέρει, τουλάχιστον στο παρόν σύγγραμμα, η περίπτωση όπου οι συστάδες είναι ισομεγέθεις και ακροθιγώς θα εξεταστεί και η γενικότερη περίπτωση. Προφανές είναι ότι οι συστάδες ενός πληθυσμού είναι δυνατόν να αποτελούνται και αυτές από άλλες μικρότερες συστάδες και να έχουμε κατά αυτό τον τρόπο τουλάχιστον δύο στάδια ΔκΣ. Γενικότερα μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχουν δύο είδη ΔκΣ, η: (Α) Μονοσταδιακή και η (Β) Πολυσταδιακή (με απλούστερη τη δισταδιακή ΔκΣ, που πρωτύτερα αναφέρθηκε). Στη μονοσταδιακή ΔκΣ επιλέγουμε από τον κατάλογο των Ν το πλήθος συστάδων με ΑΤΔ ένα δείγμα από το πλήθος συστάδες. Μετά την επιλογή αυτή η μελέτη αφορά πια όλα τα άτομα όλων των συστάδων που επιλέχτηκαν να συμπεριληφθούν στο δείγμα. Πάνω σε όλα τα στοιχεία όλων των συστάδων του δείγματος θα στηριχτούμε για την εξαγωγή των συμπερασμάτων μας μέσα από τη στατιστική ανάλυση. Για την καλύτερη κατανόηση ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα μονοσταδιακής ΔκΣ. Από τα Ν=3 το

2 πλήθος Λύκεια, καθένα εκ των οποίων έχει 0 μαθητές, ενός πολεοδομικού συγκροτήματος (ισομεγέθεις συστάδες τα Λύκεια) επιλέγουμε, με ΑΤΔ, ένα δείγμα από = το πλήθος λύκεια που το καθένα έχει 0 μαθητές. Το δείγμα είναι -μελές ως προς τις συστάδες, αλλά περιέχει x0=370 μαθητές (απλές δειγματοληπτικές μονάδες) και όλοι αυτοί θα αποτελέσουν τη βάση της μελέτης μας. Φυσικά όλος ο πληθυσμός Π αποτελείται από 3x0=3070 μαθητές (απλές μονάδες). Στη δισταδιακή όλες οι συστάδες (Α στάδιο) του πληθυσμού αποτελούνται από συστάδες Β σταδίου ή Β τάξης (που είναι φυσικά υποσύνολά τους) και αποτελούνται από μερικές απλές μονάδες. Οι απλές μονάδες αυτές συνδέονται με κάποιο τρόπο μεταξύ τους, ώστε να θεωρείται ότι συγκροτούν συστάδες, τις συστάδες της δεύτερης τάξης. Επιλέγονται πρώτα κάποιες συστάδες Α τάξης (με ΑΤΔ συνήθως) για το δείγμα. Σε κάθε συστάδα του πρώτου σταδίου δειγματοληψίας γίνεται ανεξάρτητα ΑΤΔ και επιλέγεται αριθμός συστάδων Β τάξης. Όλες οι συστάδες που θα επιλεγούν από τις ήδη επιλεγμένες μονάδες αποτελούν τις συστάδες του δεύτερου σταδίου και αυτές θα αποτελέσουν το τελικό δείγμα. Όλα τα απλά στοιχεία όλων των συστάδων του δεύτερου σταδίου θα αποτελέσουν τη βάση της μελέτης μας. Για την καλύτερη κατανόηση ας υποθέσουμε, ότι στο παράδειγμα της μονοσταδιακής ΔκΣ που αναφέρθηκε πρωτύτερα σε κάθε Λύκειο του πολεοδομικού συγκροτήματος υπάρχουν 0 τμήματα των μαθητών το καθένα (θυμίζουμε 0 μαθητές σε κάθε λύκειο). Αρχικά στο πρώτο στάδιο έχουν επιλεγεί Λύκεια. Στο δεύτερο στάδιο συνεχίζεται η δειγματοληψία ως εξής: επιλέγουμε από κάθε ένα εκ των Λυκείων 3 π.χ. από τα 0 τμήματα με ΑΤΔ. Συνολικά θα επιλεγούν στο δείγμα 4 τμήματα από τα 0 τμήματα (συνολικά) των λυκείων του δείγματος. Ήτοι θα βρεθούν στο δείγμα x 3 x = μαθητές από τους 370 του πρώτου σταδίου. Μία ταξινόμηση των ειδών της μονοσταδιακής δειγματοληψίας είναι και η παρακάτω και περιλαμβάνει τις περιπτώσεις συστάδων ίσου και μη ίσου μεγέθους: (Α) ΔκΣ με συστάδες ισομεγέθεις. (Β) ΔκΣ μεσυστάδες ανισομεγέθεις (Βα) Εκλογή άνισων συστάδων με ΑΤΔ (Ββ) Εκλογή άνισων συστάδων με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθός τους (Βγ) Εκλογή άνισων συστάδων με πιθανότητα ανάλογη προς τη βαρύτητά τους. Η βαρύτητα καθορίζεται από τον ερευνητή ανάλογα με την πείρα του και τις εκάστοτε ανάγκες της έρευνας. (Γ) Συνδυασμός της ΔκΣ με άλλες μεθόδους δειγματοληψίας εντός των συστάδων, π.χ. στρωματοποιημένη δειγματοληψία, ΑΤΔ κ.λπ. Σημειώνεται ότι σε όσα ακολουθούν αναφερόμαστε σε συστάδες ίσων μεγεθών, ενώ οι αντίστοιχοι συμβολισμοί στην περίπτωση συστάδων με άνισα μεγέθη αποτελούν αντικείμενο που εξετάζεται στην παράγραφο 4.3. Δίνονται στη συνέχεια οι συμβολισμοί για την τμ Χ και τις τιμές των διαφόρων παραμέτρων της στον πληθυσμό Π. Πιο κάτω δίνονται οι συμβολισμοί των διαφόρων στατιστικών στα δείγματα που προκύπτουν από τον Π με ΔκΣ. Ν: # συστάδων στον πληθυσμό Π : Πλήθος στοιχείων ανά συστάδα (ίσες συστάδες) M: Πλήθος στοιχείων σε όλο τον πληθυσμό j : Η τιμή της τμ Χ στο στοιχείο j της -οστής συστάδας του Π, =,,3,, και j=,,3,, Άθροισμα -οστής συστάδας του πληθυσμού Π Άθροισμα (όλου) του πληθυσμού Π Μέση τιμή της -οστής συστάδας του πληθυσμού Π Μέση τιμή του πληθυσμού Π Μέση τιμή (αθροισμάτων) των συστάδων του Π Πίνακας 4... Σύμβολα για τον πληθυσμό Με βάση τους ορισμούς των συμβόλων ανωτέρω, έχουμε τις εξής σχέσεις ορισμού τους, με δεδομένο ότι

3 ο πληθυσμός Π περιλαμβάνει M= απλά στοιχεία μέσα στις Ν συστάδες του: ο ) Αθροίσματα για τα αθροίσματα των συστάδων, όπως και για όλον τον πληθυσμό. ο ) Μέσες τιμές =, =,,3,... j= j = = = = j= = = j, =,,3,..., j = για τη μέση τιμή της -οστής συστάδας του πληθυσμού Π. Επίσης έχουμε = = j = M M M = = j= για τη μέση τιμή του πληθυσμού Π, όπως και τη μέση τιμή = = όλων των συστάδων του Π. = = j= j j (4..) (4..) (4..3) (4..4) (4..) : # συστάδων στον δείγμα : Πλήθος στοιχείων ανά συστάδα (ίσες συστάδες) u: Πλήθος στοιχείων σε όλο το δείγμα x j : Η τιμή της τμ Χ στο στοιχείο j της -οστής συστάδας στο δείγμα, =,,3,,, j=,,3,,. x : Άθροισμα -οστής συστάδας του δείγματος x: Άθροισμα (όλου) του δείγματος x : x : x : Μέση τιμή της -οστής συστάδας του δείγματος Μέση τιμή του δείγματος Μέση τιμή (αθροισμάτων) των συστάδων του δείγματος Πίνακας 4... Σύμβολα για το δείγμα Με βάση τους ανωτέρω ορισμούς των συμβόλων στο δείγμα, έχουμε πλέον τις εξής σχέσεις ορισμού τους, με την υποσημείωση ότι, όπως ο πληθυσμός Π περιλαμβάνει M= στοιχεία, ανάλογα και το δείγμα περιλαμβάνει u= στοιχεία: ο ) Αθροίσματα για τα αθροίσματα των συστάδων, όπως και για το άθροισμα του δείγματος. x = x, =,,3,... j= j x = x = x = = j= j (4..6) (4..7)

4 ο ) Μέσες τιμές x x = = xj, =,,3,..., j = για τη μέση τιμή της -οστής συστάδας του δείγματος, και x x = x = xj = u u u = = j= για τη μέση τιμή του δείγματος, όπως και τη μέση τιμή x = x = x όλων των συστάδων του δείγματος. = = j= j (4..8) (4..9) (4..0) 4.. Εκτιμήσεις Οι βασικές εκτιμήτριες μέσης τιμής και διασποράς Στην έρευνα με ΔκΣ δειγματική ή πληθυσμιακή μονάδα (άτομο του δείγματος ή του πληθυσμού) θεωρείται η συστάδα και η τιμή της τμ Χ για τη συστάδα μονάδα είναι η μέση τιμή της τμ στη συστάδα αυτή. Τις περισσότερες όμως φορές η τιμή της τμ Χ είναι το άθροισμα της συστάδας και όχι η μέση τιμή, με ισοδύναμα αποτελέσματα. Στο παρόν σύγγραμμα θα θεωρούμε ότι σε συγκεκριμένη συστάδα η τιμή της τμ είναι η μέση τιμή της στη συστάδα, με αναφορά σε αντίθετη περίπτωση. Με την προϋπόθεση ότι αναφερόμαστε (πλην εξαιρέσεων) σε ίσου μεγέθους συστάδες, αυτό καθορίζει ότι η μέση τιμή του πληθυσμού είναι η μέση τιμή των Ν μέσων τιμών των συστάδων. Επίσης καθορίζει ότι η διασπορά της τμ του πληθυσμού είναι η διασπορά των μέσων τιμών των (ισάριθμων) συστάδων του πληθυσμού Π. Ήτοι έχουμε S ( ) =, = (4..) ενώ για το δείγμα έχουμε αντίστοιχα ως διασπορά την ποσότητα s ( ) = x x = (4..) Ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη των παραμέτρων: Μέση τιμή συστάδας, μέση τιμή πληθυσμού, μέση τιμή (αθροισμάτων) συστάδων, άθροισμα συστάδας, άθροισμα πληθυσμού. Τέλος, γίνονται εκτιμήσεις σχετικές με τις διασπορές της εκάστοτε εξεταζόμενης τμ στις συστάδες και στον πληθυσμό. Όλα τα παραπάνω μπορούν να γίνουν και με σύνολο αναφοράς το δείγμα και όχι τον πληθυσμό Π. Έτσι προκύπτουν και οι εκτιμήτριες μέσης τιμής και διασποράς. Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό της προηγούμενης ενότητας προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα 4... Θεώρημα 4..: Για τις εκτιμήτριες μέσης τιμής και διασποράς ισχύει: (α) Ex =. f (β) Varx = S, όπου είναι S ( ) = = (γ) Es = S, όπου είναι s ( ) = x x = (δ) Η εκτιμήτρια

5 f Varx ˆ = s είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της f Varx = S Απόδειξη: Στη ΔκΣ οι συστάδες συμπεριφέρονται όπως οι μονάδες του πληθυσμού στην ΑΤΔ. Άρα από την τμ Χ και τις τιμές της μεταβαίνουμε στα αθροίσματα των συστάδων που τα θεωρούμε ως τις τιμές μιας νέας τμ. Συμβολίζουμε τις τιμές της τμ αυτής ως,,,, και με ΑΤΔ θα έχουμε Ενδιαφέρον το δείγμα παρουσιάζει με συστάδες η ελέτη που των παρα έτρ δίνει δειγματική μέση τιμή την x. Έχουμε στη συνέχεια: τι ή (αθροισ άτων) συστάδων, άθροισ α συστάδας, άθρ (α) Από την ΑΤΔ και τις σχέσεις (4..) και (4..0) που αναφέρονται ε τις διασπορές στις μέσες της τιμές εκάστοτε της τμ εξεταζό ενης Χ στον πληθυσμό και στο δείγμα αντίστοιχα, έχουμε την αλληλουχία των σχέσεων: να γίνουν και ε σύνολο αναφοράς το δείγ α και όχι τον π τ στις συσ Ex = E x = Ex = τι ής και διασποράς. ( ). (β) Από την ΑΤΔ επίσης προκύπτει Χρησι οποιώντας το συ βολισ ό της προηγού εν f f ( ) ( ) f Varx = = = S. Θεώρη α 4..: Για τις εκτι ήτριες έσης τι ής και διασπ = = Καθώς είναι (α) Ex =. Varx = Var ( x ) f (β) Varx = S, ήτοι έχουμε την ισχύ της f Varx = S όπου είναι S και ισοδύναμα ( ) = = f Varx = S (γ) Es = S, (γ) Όπως και στην περίπτωση (α) όπου παραπάνω είναι και λόγω (πάλι) της ΑΤ του ελούς δείγ α (γ) Όπως και στην περίπτωση απόδειξη (α) παραπάνω (γ) Όπως και και λόγω στην (πάλι) περίπτωση της ΑΤΔ (α) του -μελούς δείγματος προκύπτει παραπάνω και λόγω (πάλι) της ΑΤ του ελο η προς απόδειξη ( ) Es s = x x = S απόδειξη. Es = S. = (δ) Η εκτι ήτρια Es = Sτης. διασποράς της (δ) έσης Η εκτι ήτρια τι ής του Π, (δ) Η εκτιμήτρια της διασποράς της μέσης (δ) fη τιμής εκτι ήτρια του Π, της διασποράς f της έσης f τι ής του Π, Varx ˆ = s Varx ˆ = s Varx = s f Varx ˆ = s έχει έση τι ή ίση ε είναι α ερόληπτη εκτι ήτρια της έχει μέση τιμή ίση με έχει έση fτι ή ίση ε f f f EVar f ˆ x = E f Varx EVar ˆ x = E s = Es = s S = Varx = Es = S = Varx f.. f f EVar ˆ x = E s = Es = S = Varx. Αυτό προκύπτει από το γεγονός Απόδειξη: ότι έχου ε Στη ΑΤ κσ οι και συστάδες στην ΑΤ συ περιφέρονται η δειγ ατική όπως διασπο οι Αυτό προκύπτει από το γεγονός εκτι ήτρια ότι έχουμε Αυτό της ΑΤΔ διασποράς προκύπτει και στην του από ΑΤΔ πληθυσ ού το και η γεγονός δειγματική τις τι ές Π. ότι της έχου ε διασπορά εταβαίνου ε ΑΤ είναι και αμερόληπτη στα στην αθροίσ ατα ΑΤ η δειγ ατικ των συσ εκτιμήτρια της διασποράς του πληθυσμού εκτι ήτρια Π. της διασποράς Συ βολίζου ε του πληθυσ ού τις τι ές Π. της τ αυτής ως,,,, κα Επομένως αποδείχτηκε ότι η εκτιμήτρια Επο ένως αποδείχτηκε της μέσης τιμής ότι του η εκτι ήτρια πληθυσμού δειγ ατική της για έσης την τι ή τμ τι ής, την η του x,. είναι πληθυσ ού Έχου ε αμερόληπτη εκτιμήτρια της αντίστοιχης παραμέτρου, εκτι ήτρια Επο ένως της ήτοι αντίστοιχης έχουμε αποδείχτηκε παρα έτρου, (α) ότι Από η εκτι ήτρια ήτοι την έχου ε ΑΤ της και έσης τις σχέσεις τι ής (4..) του πληθυσ ού και (4..0) για που την στη για συνέχεια: την τ, η εκτι ήτρια της αντίστοιχης ˆ και παρα έτρου, στο δείγ α αντίστοιχα, ήτοι έχου ε έχου ε την αλληλουχία (4..3) των σχ Ex = ή Ex = E = Ex = ˆ E( x) = Ex =. για τις έσες τι ές. Ex = ή Ex = E = (4..3) για τις μέσες τιμές. Επιπρόσθετα για τις αποδείχτηκε έσες τι ές. ότι και (β) η Από διασπορά την ΑΤ των επίσης τι ών προκύπτει του δείγ ατος είναι α ερό Επιπρόσθετα αποδείχτηκε ότι διασποράς και η διασπορά Επιπρόσθετα των τι ών των τιμών του αποδείχτηκε πληθυσ ού, του δείγματος ότι δηλαδή και είναι η f διασπορά ισχύει αμερόληπτη ότι των εκτιμήτρια τι ών του της fδείγ ατος είν διασποράς των τιμών του πληθυσμού, Varx = ( ) = ( Es δηλαδή διασποράς = S ισχύει των ότι τι ών του πληθυσ ού, δηλαδή ισχύει ότι = (4..4) = όπου για τον ορισ ό Es = των S, δύο διασπορών, Καθώς είναι πληθυσ ού και δείγ ατος, ισχύουν οιπαραπάν (4..). Η όπου χρήση για τον του ορισ ό δείκτη των Varx στη δύο = διασπορά διασπορών, Var ( x ) υπονοεί πληθυσ ού ότι έχου ε και δείγ ατος, (4..4) ονοσταδιακή ισχύουν κ ο όπου για τον ορισμό των δύο χρησι οποιού ε διασπορών, (4..). πληθυσμού τις Η απλές χρήση και τι ές δείγματος, του της δείκτη ήτοι τ έχου ε Χ ισχύουν αλλά στη την τις οι διασπορά ισχύ τι ές παραπάνω της της ( έσες υπονοεί σχέσεις τι ές ότι (4..) ή έχου ε αθροίσ ατα) ονοστα πο και (4..). Η χρήση του δείκτη συστάδες στη διασπορά χρησι οποιού ε Α σταδίου. υπονοεί ότι τις έχουμε απλές μονοσταδιακή τι ές της τ Χ ΔκΣ αλλά fκαι τις ως τι ές τιμές της δεν ( έσες χρη-τι έσιμοποιούμε τις απλές τιμές της τμ Η ποιότητα Χ αλλά συστάδες τις ιας τιμές εκτι ήτριας Α της σταδίου. (μέσες εξαρτάται τιμές ή Varx αθροίσματα) από = το έγεθος που της προκύπτουν S διασποράς ή αθροίσ κ από της τις καθώς θεωρείτα όλα τα δυνατά δείγ ατα που πορούν να προκύψουν συστάδες Α σταδίου. Η ποιότητα ιας εκτι ήτριας εξαρτάται από το από έγεθος τον πληθυσ ό της διασποράς Π. Η εκτι ήτρια της καθώς πληθυσ ού όλα στη τα κσ δυνατά (ίσου δείγ ατα εγέθους και που ισοδύνα α συστάδες) πορούν να που προκύψουν στηρίζεται από στη τον λήψη πληθυσ ό δείγ ατος Π. Η συε Η ποιότητα μιας εκτιμήτριας εξαρτάται από το μέγεθος της διασποράς της, καθώς θεωρείται να παίρνει διασπορά πληθυσ ού στη κσ (ίσου εγέθους f συστάδες) που στηρίζεται στη λήψη δείγ τιμές για όλα τα δυνατά δείγματα που μπορούν να προκύψουν από διασπορά Varx τον πληθυσμό = SΠ. Η εκτιμήτρια της μέσης f (4..) τιμής του πληθυσμού στη ΔκΣ (ίσου μεγέθους Varx = συστάδες) S που στηρίζεται στη λήψη δείγματος συστάδων με f Varx = S Όπως προσδιορίστηκε στο θεώρη α 4... Η σχέση Όπως (4..) προσδιορίστηκε είναι αδύνατο στο να θεώρη α εφαρ οστεί, 4... λόγω του πρωθύστερου χαρακτήρα της άγνωστη ποσότητα Η σχέση (4..) ε βάση είναι την επίσης αδύνατο άγνωστη να εφαρ οστεί, διασπορά λόγω του πρωθύστερου χαρακ άγνωστη ποσότητα ε βάση την επίσης άγνωστη διασπορά

6 ΑΤΔ έχει διασπορά f Varx = S (4..) όπως προσδιορίστηκε στο θεώρημα 4... Η σχέση (4..) είναι αδύνατο να εφαρμοστεί, λόγω του πρωθύστερου χαρακτήρα της, επειδή προσδιορίζει άγνωστη ποσότητα με βάση την επίσης άγνωστη διασπορά S ( ) = = και για την άρση αυτής της δυσλειτουργίας αντί της διασποράς στην (4..) χρησιμοποιείται μία εκτιμήτρια της, η παρακάτω στην (4..6) f Varx ˆ = s (4..6) που είναι μάλιστα και αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς (4..), σύμφωνα με το θεώρημα 4... Ήδη από την προηγούμενη παράγραφο δόθηκαν οι βάσεις σχετικά με εκτιμήσεις που μπορεί να λάβουν χώρα καθώς ασχολούμαστε με ΔκΣ. Συμπληρωματικά με τις έννοιες μέση τιμή και διασπορά λειτουργεί και εδώ στη ΔκΣ και η έννοια του αθροίσματος στον πληθυσμό και στο δείγμα (συστάδες ίσων μεγεθών μας ενδιαφέρουν και εδώ). Αυτό είναι η ποσότητα για τον πληθυσμό και η ποσότητα = = = = M = = j= = = j= j x = x = x = x = u x, u = j (4..7) (4..8) για το δείγμα, μεγέθους που πάρθηκε με ΑΤΔ. Ως προς την εκτίμηση (σχετικά με τα παραπάνω αθροίσματα) το άθροισμα του δείγματος ήδη μπορεί να λειτουργήσει ως εκτιμήτρια του πληθυσμιακού αθροίσματος. Δεν είναι όμως εξασφαλισμένη η αμεροληψία της εκτιμήτριας. Υπάρχει όμως μία εύχρηστη μορφή εκτιμήτριας του αθροίσματος του πληθυσμού, που είναι και αμερόληπτη. Σχετικό είναι το παρακάτω θεώρημα 4..: Θεώρημα 4..: Δίνεται πληθυσμός Π που αποτελείται από συστάδες του ιδίου μεγέθους. Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του αθροίσματος του πληθυσμού = = = = j= είναι η ποσότητα ˆ = x= M x j Απόδειξη: Στη ΔκΣ οι συστάδες συμπεριφέρονται όπως οι μονάδες του πληθυσμού στην ΑΤΔ. Άρα από την τμ Χ και τις τιμές της μεταβαίνουμε στα αθροίσματα (ή τις μέσες τιμές) των συστάδων, που τα θεωρούμε ως τις τιμές μιας νέας τμ. Συμβολίζουμε τις τιμές της νέας αυτής τμ ως,,,, και με ΑΤΔ θα έχουμε το δείγμα με συστάδες, που δίνει δειγματική μέση τιμή την x. Έχουμε στη συνέχεια: Eˆ = E M x = M Ex = M = ( ) επειδή είναι (θεώρημα 4.., αμεροληψία μέσης τιμής δείγματος): E x=, άρα έχουμε άμεσα την ισχύ της πρότασης αυτής Άνισες Συστάδες

7 Πολλές φορές οι συστάδες σε έναν πληθυσμό Π δεν έχουν το ίδιο μέγεθος, αλλά η κάθε συστάδα έχει το δικό της μέγεθος ανεξάρτητα από τις άλλες. Έχοντας δηλαδή έναν πληθυσμό Π, με το πλήθος συστάδες, είναι δυνατό να αντιμετωπίσουμε μέγεθος συστάδων, =,,3,,, όπου τουλάχιστο για δύο διαφορετικούς δείκτες r και t να είναι r t. Σε μία τέτοια περίπτωση ισχύει η σχέση M = = για το πλήθος όλων των (απλών) ατόμων του πληθυσμού Π που αποτελείται από τις συστάδες με άνισα μεγέθη εν γένει. Είναι προφανές ότι όλα όσα αναφέρονται στην παράγραφο 4. για τους λόγους που είναι προτιμητέα η ΔκΣ καθώς και τα περί ευκολίας προσβασιμότητας ή μη των στοιχείων του πληθυσμού ισχύουν απολύτως και εδώ. Τα ανάλογα πρέπει να σκεφτούμε ότι ισχύουν και για δισταδιακή δειγματοληψία, μη αποκλείοντας όμως το μέγεθος των συστάδων να είναι σταθερό σε ένα από τα δύο στάδια. Αρκεί ένα τουλάχιστο στάδιο να είναι με άνισες σε μέγεθος συστάδες, για να χαρακτηρίζεται η δειγματοληψία στον πληθυσμό αυτόν ως ΔκΣ με άνισες συστάδες. Στη συνέχεια θα δοθεί ένα απλό παράδειγμα ΔκΣ με άνισα μεγέθη. Υποθέτουμε ότι σε μία πόλη υπάρχουν =4 το πλήθος Λύκεια εκ των οποίων τα έχουν τμήματα των μαθητών το καθένα και στα υπόλοιπα 9 υπάρχουν 0,, 9,, 9, 8, 9, 9, 0 τμήματα αντίστοιχα με μαθητές επίσης στο καθένα. Αυτός ο πληθυσμός που έχει τα x =66 τμήματα έχει 66x=8 μαθητές και είναι ένας πληθυσμός με άνισες (σε μέγεθος) συστάδες, τα Λύκεια. Αν επιλέξουμε ένα δείγμα με 4 Λύκεια-συστάδες και αυτές έχουν αντίστοιχα,, 8, 0 τμήματα τότε θα έχουμε ΔκΣ με ανισομεγέθεις συστάδες, που θα αποτελούνται συνολικά από συστάδες δεύτερης τάξης (τμήματα) σε πλήθος 4=x+8+0. Το δείγμα αυτό θα περιλάβει συνολικά 4x=94 μαθητές (απλά άτομα του πληθυσμού). Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 4. υπό το στοιχείο (Β), τα βασικά (συχνότερα χρησιμοποιούμενα) είδη της ΔκΣ με άνισες συστάδες είναι τα εξής: ΔκΣ με συστάδες ανισομεγέθεις (Βα) Εκλογή άνισων συστάδων με ΑΤΔ, δηλαδή με ίδια πιθανότητα εκλογής για κάθε συστάδα. (Ββ) Εκλογή άνισων συστάδων με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθός τους. (Βγ) Εκλογή άνισων συστάδων με πιθανότητα ανάλογη προς τη βαρύτητά τους. Η βαρύτητα καθορίζεται από τον ερευνητή ανάλογα με την πείρα του και τις εκάστοτε ανάγκες της έρευνας. Θα είχε ενδιαφέρον, σε συνέχεια του παραπάνω παραδείγματος των 4 Λυκείων με άνισο αριθμό τμημάτων, να δούμε πώς θα παίρναμε ένα δείγμα συστάδων με βάση την εκλογή που αναφέρεται ως (Ββ) παραπάνω, που είναι γνωστή ως εκλογή με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθος των συστάδων. Η μέθοδος αυτή συμβολίζεται διεθνώς στη βιβλιογραφία ως pps (cluster saplg pps) από την Αγγλική ορολογία probablty proportoal (to) sze (=pps). Η μέθοδος αναπτύχθηκε στη δεκαετία του 940 από τους Hase και Hurwtz, όπως αναφέρει ο Cochra (977). Θα χρησιμοποιηθεί εδώ τελικά και η ΑΤΔ με τη χρήση γεννήτριας τυχαίων αριθμών για την ανάδειξη των =4 Λυκείων-συστάδων του δείγματος. Η κλήρωση έδωσε τους εξής αύξοντες αριθμούς συστάδων: 83, 0, 0, 7. Η κλήρωση στο παράδειγμα εδώ έγινε με Η/Υ τσέπης. Στην τελευταία στήλη του παρακάτω σχετικού πίνακα 4.3. φαίνονται τα Λύκεια που θα μπουν στο δείγμα. Είναι τα: ο, 9 ο,4 ο και 6 ο. Σχηματίζεται ο παρακάτω Πίνακας 4.3., για να διευκολύνει την όλη διαδικασία της ΔκΣ (άνισες οι συστάδες εν προκειμένω): Λύκειο Μέγεθος = Περιοχή κλήρωσης Κληρώθηκαν οι ά.ά. τμημάτων ο - ο ο

8 4 ο ο *(0) 6 ο ο ο ο *(0) 0 ο ο 3-3 ο ο ο *(7) ο ο *(83) 7 ο ο ο ο ο ο ο Πίνακας 4.3. Δίνονται στη συνέχεια οι συμβολισμοί για την τμ Χ και τις τιμές των διαφόρων παραμέτρων της στον πληθυσμό Π, Πίνακας Δίνονται λίγο μετά και οι συμβολισμοί των διαφόρων στατιστικών στα δείγματα που προκύπτουν από τον Π με ΔκΣ, Πίνακας Αναφερόμαστε σε συστάδες άνισων μεγεθών: Ν: # συστάδων στον πληθυσμό Π : Πλήθος στοιχείων ανά συστάδα (άνισες συστάδες), =,,3,, M: Πλήθος στοιχείων σε όλο τον πληθυσμό j : Η τιμή της τμ Χ στο στοιχείο j που ανήκει (το στοιχείο) στην -οστή συστάδα του Π, =,,3,, και j=,,3,,. Άθροισμα -οστής συστάδας του πληθυσμού Π Άθροισμα (όλου) του πληθυσμού Π Μέση τιμή της -οστής συστάδας του πληθυσμού Π Μέση τιμή του πληθυσμού Π Μέση τιμή (αθροισμάτων) των συστάδων του Π Πίνακας 4.3.: Σύμβολα για τον πληθυσμό Με βάση τους ορισμούς των συμβόλων ανωτέρω, έχουμε τις εξής σχέσεις ορισμού τους, με δεδομένο ότι ο πληθυσμός Π περιλαμβάνει M στοιχεία που είναι το άθροισμα των Ν μεγεθών των άνισων συστάδων: ο ) Αθροίσματα

9 =, =,,3,... j= j για τα αθροίσματα των συστάδων, όπως και για τον πληθυσμό όλο. ο ) Μέσες τιμές = = = = j= = = j, =,,3,..., j = για τη μέση τιμή της -οστής συστάδας του πληθυσμού Π. Επίσης έχουμε = = j = M M M = = j= για τη μέση τιμή του πληθυσμού Π, όπως και τη μέση τιμή = = των αθροισμάτων όλων των συστάδων του Π. = = j= j j (4.3.) (4.3.) (4.3.3) (4.3.4) (4.3.) : # συστάδων στον δείγμα : Πλήθος στοιχείων ανά συστάδα (άνισες συστάδες) u: Πλήθος στοιχείων σε όλο το δείγμα x j : x : Η τιμή της τμ Χ στο στοιχείο j το οποίο ανήκει στην -οστή συστάδα του δείγματος, =,,3,, και j=,,3,,. Άθροισμα -οστής συστάδας του δείγματος x: Άθροισμα (όλου) του δείγματος x : Μέση τιμή της -οστής συστάδας του δείγματος x : Μέση τιμή του δείγματος Μέση τιμή (αθροισμάτων) των συστάδων του δείγματος Πίνακας 4.3.3: Σύμβολα για το δείγμα Με βάση τους ανωτέρω ορισμούς των συμβόλων στο δείγμα, έχουμε τις εξής σχέσεις ορισμού τους, με την υποσημείωση ότι όπως ο πληθυσμός Π περιλαμβάνει M = στοιχεία, έτσι και το δείγμα περιλαμβάνει u = στοιχεία: = ο ) Αθροίσματα j= = x = x, =,,3,... j (4.3.6) για τα αθροίσματα των συστάδων, όπως και

10 για το άθροισμα του δείγματος. ο ) Μέσες τιμές x= x = x j = = j= x x = = xj, =,,3,..., j = για τη μέση τιμή της -οστής συστάδας του δείγματος, και x x = x = xj = u u u = = j= για τη μέση τιμή του δείγματος, όπως και τη μέση τιμή x = x = x = = j= j (4.3.7) (4.3.8) (4.3.9) (4.3.0) των αθροισμάτων όλων των συστάδων του δείγματος. Σημειώνεται ότι οι μέσες τιμές είναι συνήθως οι εκτιμήτριες των αντίστοιχων μέσων τιμών του πληθυσμού Π. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το θεώρημα 4.. δεν ισχύει εν γένει στη ΔκΣ με άνισες συστάδες. Για την ισχύ κάποιου ανάλογου θεωρήματος πρέπει να γίνουν κατάλληλες διατυπώσεις που να προσαρμόζουν τα πράγματα στην ύπαρξη άνισων μεγεθών στις συστάδες. Φυσικά η ισχύς τέτοιων θεωρημάτων έχει τοπική μόνο εφαρμογή για τον πληθυσμό ή για ομάδες τέτοιων ομοειδών πληθυσμών. Η μελέτη αυτή όμως ξεφεύγει από τους σκοπούς του παρόντος συγγράμματος Εκτιμήσεις ποσοστών Η εκτίμηση των ποσοστών σε μία έρευνα και γενικότερα η διαχείριση θεμάτων που σχετίζονται με ποσοστά, κατά πάγια τακτική, διευκολύνεται με τη χρήση μιας δίτιμης τμ Χ. Ο δίτιμος χαρακτήρας της τμ υπονοεί ότι τα στοιχεία ενός συνόλου (πληθυσμός, δείγμα, συστάδα κ.λπ.) χωρίζονται σε δύο ξένα μεταξύ τους υποσύνολα. Το ένα υποσύνολο έχει όλα τα στοιχεία που έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα που εκφράζει (μαθηματικά) η τμ Χ και το άλλο υποσύνολο τα υπόλοιπα. Στην περίπτωση της ΔκΣ η τμ Χ συνήθως ορίζεται από τη δίτιμη σχέση (4.4.). j = j =0 Το j-οστό στοιχείο της -οστής συστάδας έχει τη χαρακτηριστική ιδιότητα, Αλλοιώς Είναι γνωστό ότι σχετικά με την -οστή συστάδα η τμ Χ έχει μέση τιμή ίση με j j= Ε = = = P, =,,3,..., ή για την περίπτωση των συστάδων ίδιου μεγέθους είναι j j= Ε = = = P, =,,3,..., (4.4.) Ορισμός 4.4.: Θεωρούμε διάνυσμα x, με διάσταση και με στοιχεία από το σύνολο {0, }. Το άθροισμα των στοιχείων του διανύσματος x ονομάζεται «βάρος» (weght) του διανύσματος αυτού, σύμβολο w. Ποσοτικά το βάρος του x είναι w= x. j=

11 Σε μερικές εφαρμογές το βάρος w συμπίπτει με τη συχνότητα εμφάνισης του χαρακτηριστικού που αντιστοιχεί στην τμ Χ, που παίρνει τιμές τις συνιστώσες του διανύσματος x. Κατόπιν των παραπάνω υιοθετείται ο συμβολισμός των παραμέτρων που ακολουθεί για την περίπτωση που έχουμε μελέτη της δίτιμης τμ Χ και οι συστάδες είναι όλες του αυτού μεγέθους. Στα παρακάτω φαίνεται άμεσα και η αντιστοιχία των παραμέτρων της δίτιμης τμ Χ με τις αντίστοιχες, κατά περίπτωση, παραμέτρους των άλλων τμ Χ στην -οστή συστάδα του πληθυσμού Π, =,,3,: Ποσοστό (μέση τιμή) P, (4.4.) Βάρος (άθροισμα) Βάρος του Π W= P W= P = (4.4.3) Μέση τιμή του Π, (μέσο βάρος) W P= M (4.4.4) Μέση τιμή συστάδων, (μέσο βάρος) W P= (4.4.) (4.4.6) Αντίστοιχα για το δείγμα έχουμε την αντιστοιχία των παραμέτρων της δίτιμης τμ Χ με τις αντίστοιχες, κατά περίπτωση, παραμέτρους των άλλων τμ Χ στην -οστή συστάδα του δείγματος, =,,3,: Ποσοστό (μέση τιμή) p x, (4.4.7) w= p x Βάρος (άθροισμα) Βάρος του δείγματος w= p x = (4.4.8) (4.4.9) Μέση τιμή δείγματος, (4.4.0) Μέση τιμή συστάδων, (μέσο βάρος) p= w x Οι εκφράσεις της διασποράς της τμ Χ στον πληθυσμό Π και στο δείγμα δίνονται ως: S = P P ( ) και s = ( p ) p = = (4.4.), (4.4.) ενώ το δειγματοληπτικό κλάσμα είναι f=/, προφανώς. Με όλους τους παραπάνω συμβολισμούς έχουμε αποκαταστήσει την πλήρη αντιστοιχία και μπορεί να εκφραστεί καθετί που αφορά τις δίτιμες μεταβλητές και τις διάφορες παραμέτρους τους. Έτσι η απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος 4.4. μπορεί να παραλειφθεί ως προφανής λόγω του θεωρήματος 4.. και των παραπάνω αντιστοιχιών. Ήτοι έχουμε το:

12 Θεώρημα 4.4.: Ισχύουν τα εξής σχετικά με τις παραμέτρους της δίτιμης τμ Χ () Ep = P f () Varp = S () Es = S (v) f EVarp ˆ = VarP, όπου είναι Varp ˆ = s Σημείωση 4.4.: Όταν το δείγμα έχει τουλάχιστον 30 συστάδες (άτομα), τότε η δειγματική μέση τιμή p ακολουθεί την κανονικά κατανομή με μέση τιμή τη μέση τιμή του πληθυσμού P και διασπορά την f Varp = S εκτιμώμενη από την f Varp ˆ = s και χρησιμοποιούνται οι z-επιδόσεις (z-scores). Αλλιώς (<30) ακολουθείται η διαδικασία κατά studet με χρήση των t-επιδόσεων (t-scores). Όλα αυτά έχουν εφαρμογή κυρίως στα διαστήματα εμπιστοσύνης. Παράδειγμα 4.4.: Σε ένα Λύκειο υπάρχουν Ν= τμήματα με = μαθητές το καθένα. Με ΑΤΔ πήραμε ένα δείγμα μεγέθους =4 τμημάτων και εξετάζουμε ποιοι μαθητές έχουν πιάσει τη βάση (τουλάχιστον) στα Μαθηματικά και ποιοι όχι. Η τμ Χ δηλαδή παίρνει την τιμή x j =, όταν ο j-οστός, j=,,3,,, μαθητής του -οστού τμήματος, =,,3,4, πέρασε τη βάση και x j =0, όταν δεν την πέρασε τη βάση Τα αποτελέσματα του δείγματος φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Ευρήματα του δείγματος Βάρη w, =,,3,4 Παρατηρήσεις w = w =3 w 3 =4 w 4 =7 Ελάχιστο Μέγιστο Σύνολο w=9 επιτυχόντες 9/84=0.70 Πίνακας Να βρεθούν: (Α) Σχετική συχνότητα ανά συστάδα στο δείγμα, η μέση δειγματική σχετική συχνότητα, η δειγματική διασπορά και το δειγματοληπτικό κλάσμα. (Β) Εκτίμηση σε σημείο και σε διάστημα για τη σχετική συχνότητα (εμφάνισης της τιμής ) στον πληθυσμό. Λύση (Α) Η σχετική συχνότητα (εμφάνισης της τιμής για την τμ Χ) ανά συστάδα είναι (η μέση τιμή) w p =, =,,3,4, = και το τελικό αποτέλεσμα στο δείγμα (=4) είναι (p, p, p3, p4) =,,, ή (p, p, p, p ) = 0.74, 0.69,0.667, ( )

13 με ακρίβεια τριών δεκαδικών κλασματικών ψηφίων (3 δ.κ.ψ.). Η μέση δειγματική σχετική συχνότητα είναι (με την ίδια ακρίβεια εκφρασμένη) p= p = = = = Η δειγματική διασπορά είναι 4 84 ( ) s = p p = = = = και το δειγματοληπτικό κλάσμα ίσο με f=4/=0.67. Η διασπορά της δειγματικής μέσης τιμής (δηλαδή της σχετικής συχνότητας εμφάνισης της τιμής x=) είναι: f Varp ˆ = s = = (Β) Η εκτίμηση σε σημείο της σχετικής συχνότητας του πληθυσμού είναι η ˆP= p. Αντίστοιχα η εκτίμηση σε διάστημα της ίδιας παραμέτρου γίνεται με τη βοήθεια του διαστήματος εμπιστοσύνης, δηλαδή του 00 ( a)% δ.ε. P = p ± t ˆ ;a / Varp { } και στην παρούσα περίπτωση είναι 00 ( a)% δ.ε. P = 0.70 ± { } ήτοι το 00 ( a)% δ.ε. P = { 0.70 ± } = { 0.9,0.8}, όπου η ποσότητα 3.8 είναι η κατά Studet επίδοση (t-score) για 3 βαθμούς ελευθερίας και σε στάθμη σημαντικότητας α=0.00/=0.0. Σημείωση 4.4.: Συνηθίζεται να υπάρχει μία απαίτηση για ακρίβεια d (μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα εκτίμησης) στην εκτίμηση της συχνότητας του πληθυσμού, οπότε ισχύει η ανισοϊσότητα t ˆ ;a/ Varp d (4.4.3) που μετά από πράξεις προς επίλυσή της ως προς το μέγεθος του δείγματος δίνει ως λύση την επόμενη σχέση, (Φαρμάκης, 009 α ) d, Θ =, t = t + Θ t s ; a/ (4.4.4) Με βάση τα δεδομένα του παραδείγματος 4.4. και με d=0. προκύπτει μετά από πράξεις στη σχέση (4.4.4) ότι.9. Άρα με =4 έχουμε επάρκεια στο μέγεθος του δείγματος. Η αλληλουχία των πράξεων είναι σε γενικές γραμμές η εξής: Υιοθετούμε αρχικά μια μεγάλη τιμή για το t, π.χ. t ;0.0 =4.3 και αξιοποιούμε τον τύπο 0 = + + Θ, όπου το Θ δίνεται στην (4.4.4). Έχουμε πάρει το t= t ;0.0 =4.3, δηλαδή δύο βαθμούς ελευθερίας που αντιστοιχούν σε δείγμα μεγέθους 3. Αν προκύψει 0 =3 το μέγεθος του δείγματος είναι 3. Αν όμως προκύψει 0 3, τότε συνεχίζουμε με τιμή t o-;0.0 και επαναληπτικά, ώσπου να προκύψει σε δύο διαδοχικές φάσεις ίδια τιμή για το δείγμα (σύγκλιση) ή ώσπου το μέγεθος να παλινδρομεί μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Στην τελευταία περίπτωση επιλέγουμε ως μέγεθος του δείγματος έναν από τους διαδοχικούς ακέραιους, και μάλιστα αυτόν που είναι πιο κοντά στον πραγματικό αριθμό της σχέσης (4.4.4) ή καλύτερα τον μεγαλύτερα από τους δύο διαδοχικούς για να είμαστε με την πλευρά της ασφαλείας, αν δεν τίθενται (οικονομικοί κυρίως) λόγοι να παίρνουμε όσο γίνεται μικρότερο το δείγμα. Με τα δεδομένα του παραδείγματος 4.4. τώρα: Υιοθετούμε αρχικά μία τιμή (σχετικά μεγάλη) για το t,

14 π.χ. ;0.0=4.3 και προκύπτει μέγεθος δείγματος το 6.73, δηλαδή 0 =7. Καθώς 0 3 υπολογίζουμε το t 6;0.0 =.447 και τότε προκύπτει μετά από πράξεις 3.3, δηλαδή 0 =4. Το αντίστοιχο τώρα t 3;0.0 =3.8 δίνει 4.6 δηλαδή 0 =. Η διαδικασία συγκλίνει μετά από παλινδρομήσεις μεταξύ =4 και = στο τελικό μέγεθος =, για να είμαστε με το μέρος της ασφάλειας. Σημείωση 4.4.3: Μία προσεκτική ματιά στη μορφή της ποσότητας Θ δείχνει ότι η ποσότητα αυτή είναι ο λόγος ανάμεσα σε δύο μεταβλητότητες εκφρασμένος σε όρους της t-επίδοσης (παρονομαστής): Ο λόγος είναι το μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα εκτίμησης d προς την τυπική απόκλιση s. Στη βιβλιογραφία η ποσότητα αυτή εμφανίζεται και υψωμένη στο τετράγωνο με κατάλληλη προσαρμογή του παρονομαστή της σχέσης (4.4.4).

15 Βιβλιογραφικές Αναφορές Ελληνόγλωσσες Έκδοση του Ελληνικού Στατιστικού Ινστιτούτου (009). ΛΕΞΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑΣ. Αθήνα. Φαρμάκης, Ν. (00). ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ, Περιληπτική Θεωρία-Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Α. και Π. Χριστοδουλίδη. Φαρμάκης, Ν. (009 α ). Εισαγωγή στη Δειγματοληψία. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Α. και Π. Χριστοδουλίδη. Φαρμάκης, Ν. (009 β ). Δημοσκοπήσεις και Δεοντολογία. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Α. και Π. Χριστοδουλίδη. Ξενόγλωσσες Cochra, W. (977). Saplg Techques. ew York, Chchester, Toroto, Sgapore: Joh Wley ad Sos, Ic. Thopso, M. (997). Theory of Saple Surveys. Lodo, Wehe, ew York, Tokyo, Melboure, Madras: Chapa & Hall. Thopso, S. (99). Saplg. ew York, Chchester, Toroto, Sgapore: Joh Wley ad Sos, Ic. Hase, M. H., & Hurvtz, W.. (94). Relatve effceces of varous saplg uts populato qures. Jour. Aer. Stat. Assoc.,Vol. 37, Hase, M. H. & Hurvtz, W.. (943). O the theory of saplg fro fte populatos. A Math. Stat.,Vol. 4, Hase, M. H. & Hurvtz, W.. (943). O the deterato of the optu probabltes saplg. A Math. Stat.,Vol. 0,

16 Λυμένα παραδείγματα 4 ου Κεφαλαίου Ακολουθούν μερικά λυμένα παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση του περιεχομένου του 4 ου κεφαλαίου. Παράδειγμα Θέλουμε να πάρουμε ένα δείγμα 6 συστάδων από πληθυσμό Π με 6 άνισες συστάδες. Αυτό να γίνει με βάση την εκλογή άνισων συστάδων με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθός τους.οι συστάδες αυτές έχουν μέγεθος k =9,, k=,,3,4, και k =k, όταν είναι k=6,7,8. Οι επόμενες 8 έχουν μέγεθος όλες. Σχηματίζεται ο παρακάτω Πίνακας 4..: Συστάδα Μέγεθος Περιοχή κλήρωσης Κληρώθηκαν = η η η η η η η η η η η η η η 3-3 η η Πίνακας 4.. Η χρήση γεννήτριας τυχαίων αριθμών για την ανάδειξη των 6 συστάδων (με ΑΤΔ) έδωσε τους εξής αριθμούς που σχετίζονται με τις συστάδες (στοιχεία των συστάδων): 3, 0, 0, 07, 44, 049. Η κλήρωση έγινε με Η/Υ τσέπης με την εντολή Ra#. Στην τελευταία στήλη του πίνακα 4.3. φαίνονται οι συστάδες που θα συμπεριληφθούν στο δείγμα με βάση τους τυχαίους αυτούς αριθμούς. Είναι οι συστάδες: η 6 η 7 η η 3 η 6 η. Η τελευταία στήλη δίνει και τη λύση στο πρόβλημα της δειγματοληψίας. Σημειώνεται ότι, όταν η κλήρωση δίνει τέτοιους αριθμούς (3-ψήφιους και μικρότερους ή ίσους με το 4), ώστε από αυτούς να ανήκουν στη «δικαιοδοσία» της ίδιας συστάδας, η κλήρωση με τη γεννήτρια τυχαίων αριθμών συνεχίζεται έως ότου 6 διαφορετικές συστάδες από τις 6 να προκύψουν και να συναποτελέσουν το σχεδιαζόμενο δείγμα. Επίσης, και για να κερδηθεί κόπος και χρόνος, διαιρείται ο τριψήφιος αριθμός που προκύπτει μεγαλύτερος του 00 με το 00 και θεωρείται ότι προέκυψε το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής με το 00. Ο διαιρέτης 00 είναι ο μικρότερος διαιρέτης του 000 που ξεπερνάει τον αριθμό 4 του αθροίσματος των μεγεθών των συστάδων. Αν το υπόλοιπο είναι πάνω από 4 μέχρι και 00, απορρίπτεται επίσης. Παράδειγμα Στον πληθυσμό Π του παραδείγματος να αναδειχθεί και πάλι δείγμα μεγέθους =6 συστάδων με «συστηματική δειγματοληψία» (βλέπε και επόμενο κεφάλαιο). Λύση Στη συστηματική δειγματοληψία η εκλογή των 6 αριθμών (μικρότεροι ή ίσοι του 4) θα γίνει με βάση δύο

17 παραμέτρους: (α) το σημείο εκκίνησης και (β) το βήμα. Θα εκλεγεί με τυχαίο τρόπο (κλήρωση) ένας αριθμός από το έως το 4. Αυτός θα είναι το σημείο εκκίνησης και θα είναι και ο πρώτος από τους έξι αριθμούς που θα δώσουν και τις συστάδες. Μετά θα εκλεγεί και ένας αριθμός (μικρός σχετικά με το 4=Ν) που θα αποτελεί την απόσταση μεταξύ των έξι αριθμών που θα εκλεγούν για να βγει το δείγμα. Το βήμα προστίθεται στο σημείο εκκίνησης και βγαίνει ο δεύτερος αριθμός που θα καθορίσει τη δεύτερη συστάδα του δείγματος. Στον νέο αριθμό θα ξαναπροστεθεί το βήμα. Η διαδικασία θα συνεχιστεί, ώσπου να προκύψει ένα εξαμελές απόκομμα αριθμητικής προόδου που θα περιέχει τους έξι αριθμούς που θα δώσουν τις έξι διαφορετικές συστάδες. Αν κατά την πρόοδο της διαδικασίας προκύψει αριθμός μεγαλύτερος του 4=Ν, θα αφαιρέσουμε από αυτόν τον 4 και ό,τι προκύψει θα χρησιμοποιηθεί για να μας δώσει κάποια συστάδα για το δείγμα. Αυτό συνεχίζεται μέχρι να μας προκύψουν οι έξι διαφορετικές συστάδες του δείγματος. Για να είναι λειτουργικό το μέγεθος του δείγματος, το βήμα πρέπει να είναι με τάξη μεγέθους τουλάχιστο ίση με =ax{ k, k=,,,6} (τουλάχιστο για το παράδειγμα μας). Η κλήρωση έδειξε σημείο εκκίνησης τον αριθμό 3 και ως βήμα εκλέγουμε το 7. Άρα οι 6 αριθμοί θα είναι οι 3, 30, 47, 64, 8, 98. Οι τρείς τελευταίοι (καθώς είναι μεγαλύτεροι του 4) θα μειωθούν κατά 4 (και γενικά μειώνονται κατά κατάλληλο πολλαπλάσιο του 4) και θα δώσουν τους αριθμούς 00=64-4, 07=8-4 και 044=98-4 αντίστοιχα. Άρα οι αριθμοί που θα μας δώσουν τις έξι συστάδες του δείγματος είναι οι 00, 07, 044, 3, 30 και 47. Με τη βοήθεια του πίνακα 4.. οι έξι αυτοί αριθμοί δίνουν τις έξι συστάδες του δείγματος. Αυτές είναι οι συστάδες η 3 η η 3 η 4 η και 6 η. Παράδειγμα 3 Στον πληθυσμό Π του παραδείγματος να εκλεγεί δείγμα μεγέθους =6 συστάδων με τη βοήθεια ενός είδους «συστηματικής δειγματοληψίας» που να βασίζεται τώρα στη γεωμετρική πρόοδο. Λύση Στη συστηματική δειγματοληψία γεωμετρικού τύπου η εκλογή των 6 αριθμών (που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 4) θα γίνει με βάση δύο παραμέτρους: (α) το σημείο εκκίνησης και (β) τον λόγο της γεωμετρικής προόδου w. Θα εκλεγεί με τυχαίο τρόπο (κλήρωση) ένας αριθμός από το έως το 4. Αυτός θα είναι το σημείο εκκίνησης. Αυτός θα είναι και ο πρώτος από τους έξι αριθμούς που θα δώσουν και τις συστάδες. Μετά θα εκλεγεί και ένας αριθμός (μικρός σχετικά π.χ. o ή o 3 ή o 4 κ.λπ.). Αυτός θα είναι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου και θα πολλαπλασιαστεί με το σημείο εκκίνησης διαδοχικά έξι τουλάχιστο φορές, ώστε να εκλεγούν οι έξι αριθμοί που θα βοηθήσουν στο να βγει το δείγμα των έξι διαφορετικών συστάδων. Κατά την κλήρωση για το σημείο εκκίνησης εκλέχτηκε ο 0 και ο λόγος είναι ο αριθμός 4. Άρα θα έχουμε διαδοχικά: ος αριθμός ο 0 Πολλαπλασιάζουμε επί 4 και έχουμε x4=60 και άρα ος αριθμός ο 060 Πολλαπλασιάζουμε επί 4 και έχουμε 60x4=40 (και καθώς είναι μεγαλύτερος από 4, αφαιρούμε το 4) και 40-4=86 και άρα 3 ος αριθμός ο 086 Πολλαπλασιάζουμε επί 4 και έχουμε 86x4=344 και 344-x4=36 (αφαιρέθηκε κατάλληλο πολλαπλάσιο του 4, για να προκύψει αριθμός μικρότερός του) και άρα 4 ος αριθμός ο 036 Πολλαπλασιάζουμε επί 4 και έχουμε 36x4=44 και άρα ος αριθμός ο 44 Πολλαπλασιάζουμε επί 4 και έχουμε 44x4=76 και 76-3x4=4 (αφαιρέθηκε κατάλληλο πολλαπλάσιο του 4 για να προκύψει αριθμός μικρότερός του) και άρα 6 ος αριθμός ο 4. Άρα οι αριθμοί που δίνουν τις έξι συστάδες του δείγματος είναι οι 0, 036, 060, 086, 4 και 44. Με τη χρήση του πίνακα 4.. οι έξι αυτοί αριθμοί δίνουν τις έξι συστάδες του δείγματος, ήτοι: η 4 η 8 η 0 η 3 η και 6 η. Παράδειγμα 4 Να εκλεγεί δείγμα 6 συστάδων από πληθυσμό Π με 6 άνισης βαρύτητας συστάδες. Θα γίνει δηλαδή η εκλογή (άνισης βαρύτητας) συστάδων με πιθανότητα ανάλογη προς τη βαρύτητά τους, όπως την ορίζει

18 ο ερευνητής. Οι βαρύτητες των 6 συστάδων δίνονται ως εξής: w k =7, k=,,,9 και w k =k-, k=0 έως 3. Οι επόμενες έχουν όλες βαρύτητα w=0. Σχηματίζεται ο παρακάτω Πίνακας 4..: Συστάδα Βαρύτητα w Περιοχή κλήρωσης Κληρώθηκαν = η η η 7-4 η η η η η η η η η η η η η Πίνακας 4.. Λύση Η χρήση γεννήτριας τυχαίων αριθμών για την ανάδειξη των 6 συστάδων (με ΑΤΔ) έδωσε τους εξής αριθμούς που σχετίζονται με τις συστάδες (στοιχεία των συστάδων): 7, 0, 36, 047, 4, 089. Η κλήρωση έγινε με Η/Υ τσέπης. Οι αριθμοί 7 και 4 δίνουν στο δείγμα τη 3 η συστάδα και οι δύο. Καθώς η κλήρωση έδωσε τέτοιους αριθμούς, ώστε από αυτούς (7, 4) να ανήκουν στη «δικαιοδοσία» της ίδιας συστάδας, η κλήρωση με τη γεννήτρια τυχαίων αριθμών συνεχίζεται έως ότου 6 διαφορετικές συστάδες από τις 6 να προκύψουν και να συναποτελέσουν το σχεδιαζόμενο δείγμα. Για το λόγο αυτό παίρνουμε ακόμα έναν τυχαίο αριθμό και είναι ο 76. Δίνει τη 6 η συστάδα ως αποτέλεσμα. Στην τελευταία στήλη του πίνακα 4.. φαίνονται οι συστάδες που θα συμπεριληφθούν στο δείγμα με βάση τους τυχαίους αυτούς αριθμούς. Είναι οι συστάδες: η 7 η η 3 η 4 η 6 η. Παράδειγμα Στον πληθυσμό Π του παραδείγματος 4 να αναδειχθεί και πάλι δείγμα μεγέθους =6 συστάδων με «συστηματική δειγματοληψία» (βλέπε παράδειγμα και επόμενο κεφάλαιο). Λύση Έγινε κλήρωση για το σημείο εκκίνησης και η εκλογή αυτή ανέδειξε έναν αριθμό από το έως το 9, τον 3. Αυτός θα είναι και ο πρώτος από τους έξι αριθμούς που θα δώσουν και τις συστάδες. Μετά εκλέχτηκε το βήμα β=. Εφαρμόζοντας τη μεθοδολογία που λεπτομερώς περιγράφηκε στο παράδειγμα 4... προκύπτει ότι οι 6 αριθμοί θα είναι οι 3, 48, 73, 98 (δηλ 003=98-9), 08, 03. Με τη βοήθεια του πίνακα 4.. οι έξι αυτοί αριθμοί δίνουν τις έξι συστάδες του δείγματος. Αυτές είναι οι συστάδες η 4 η 8 η 3 η 4 η και η. Παράδειγμα 6 Ένας ερευνητής θέλει να εκτιμήσει το μέσο αριθμό ΕΙΧ αυτοκινήτων ανά νοικοκυριό σε μία πόλη με 000 οικογένειες. Η πόλη χωρίζεται σε Ν=00 συστάδες από 0 νοικοκυριά η καθεμία. Από τις 00 συστάδες (πληθυσμός Π) παίρνουμε με ΑΤΔ ένα δείγμα = συστάδων και καταγράφουμε το πλήθος (τμ Υ) των ΕΙΧ αυτοκινήτων στα νοικοκυριά των συστάδων αυτών. Τα αποτελέσματα είναι στον παρακάτω

19 Πίνακα 4..3: Ευρήματα του δείγματος Αθροίσματα y, =,, 3, 4, Μέσες τιμές y y = 7 y = 9 y 3 = 3 y 4 = 7 y = 8 y =.7 y = 0.9 y 3 =.3 y 4 = 0.7 y =.8 Σύνολο y = 64 EI αυτοκίνητα y =.8 = y = Πίνακας 4..3 Να βρεθούν: (α) Εκτίμηση του μέσου αριθμού ΕΙΧ ανά νοικοκυριό σε όλες τις συστάδες. (β) Να κατασκευαστεί διάστημα εμπιστοσύνης 9%, ένα για το κάθε μέγεθος από τα Υ και Y. (γ) Ποιο το μέγεθος του δείγματος, ώστε μέγιστο σφάλμα εκτίμησης d=0. στην εκτίμηση της μέσης Λύση τιμής και σφάλμα d=000 στην εκτίμηση του αθροίσματος της τμ Υ (συνολικός αριθμός αυτοκινήτων (α) Ο σε έσος όλη την αριθ ός πόλη); ΕΙΧ αυτοκινήτων ανά νοικοκυριό σε κάθε συστάδα είναι στην 4 η στήλη του πίνακα 4..3 και Λύση για τις συστάδες του δείγ ατος. Ο έσος αριθ ός ανά νοικοκυριό για όλο το δείγ α (και εκτί ηση για όλο (α) Ο μέσος αριθμός ΕΙΧ αυτοκινήτων τον πληθυσ ό) είναι y = ανά νοικοκυριό σε κάθε συστάδα είναι στην 4 η στήλη του πίνακα 4..3 y =.8 και για τις συστάδες του δείγματος. = Ο μέσος αριθμός ανά νοικοκυριό για όλο το δείγμα (και εκτίμηση για ΕΙΧ αυτοκίνητα ανά νοικοκυριό (τελευταία γρα ή 4 όλο τον πληθυσμό) είναι y = ης y =.8 ΕΙΧ αυτοκίνητα στήλης του πίνακα 4..3). Άρα σε όλη την πόλη των 000 ανά νοικοκυριό (τελευταία γραμμή 4 ης στήλης νοικοκυριών κυκλοφορούν Y ˆ = y = = 6400 ΕΙΧ αυτοκίνητα. Αυτά όλα αποτελούν εκτι ήσεις σε ση είο. (β) του Είναι πίνακα t 4..3). 4;0.0 =.776 Άρα ο σε όλη την συντελεστής πόλη studetκαι των 000 νοικοκυριών η κυκλοφορούν διασπορά Yˆ (δειγ ατική) = είναι y = ίση = 6400 ε ΕΙΧ αυτοκίνητα. Αυτά s όλα αποτελούν εκτιμήσεις σε σημείο. = (β) Είναι ( y y ) = t 4;0.0 =.776 ο συντελεστής Studet και η διασπορά (δειγματική) είναι ίση με = s = ( y y) = 0.3. Το κλάσ α δειγ ατοληψίας είναι f = = 0.0. Άρα η διασπορά της εκτι ήτριας της έσης τι ής του 4 = 00 ˆ πληθυσ ού Το κλάσμα δειγματοληψίας προκύπτει είναι ως f = VarY = 0.0 =. Vary Άρα και η διασπορά εκτι άται της εκτιμήτριας από της μέσης την τιμής ποσότητα του ˆ 00 f 0.99 VarY ˆ = Vary ˆ = s = 0.3 = πληθυσμού προκύπτει ως ˆ. VarY = Vary και εκτιμάται από την ποσότητα Το τυπικό σφάλ α εκτί ησης (Stadard Error of Estato, SEE) δια ορφώνεται ήδη ως η ακτίνα του δ.ε. ˆ f 0.99 VarY ˆr = = t Vary ˆ = s = 0.3 = ;0.0 Vary ˆ = 0.9. Το Το δε τυπικό 9% σφάλμα δ.ε. της έσης εκτίμησης τι ής (Stadard του πληθυσ ού Error of Y Estato, είναι: SEE) διαμορφώνεται ήδη ως η ακτίνα του δ.ε. ( r.8 ± = t 0.9 ˆ 4;0.0 Vary ) = ( 0.69,.87 = 0.9. ) ΕΙΧ ανά νοικοκυριό. Το δε 9% δ.ε. της μέσης τιμής πληθυσμού Y είναι: (.8 ± 0.9) = ( 0.69,.87 9% δ.ε. Y για το άθροισ α του πληθυσ ού είναι ) ΕΙΧ ανά νοικοκυριό. Το 9% δ.ε. Υ για το άθροισμα του πληθυσμού είναι M M ( 0.69,.87) = 000 ( 0.69,.87 ) = (340,930) ΕΙΧ στον πλη ΕΙΧ στον ( 0.69,.87 πληθυσμό. ) = 000 ( 0.69,.87 ) = (340,930) ΕΙΧ στον πληθυσ ό. (γ) (γ) Είναι γνωστό από τα προηγού ενα ο και 3 ο κεφάλαια ότι το έγ Είναι γνωστό από από τα τα προηγού ενα προηγούμενα κεφάλαια ο και 3 ο κεφάλαια ( ο και 3 ότι ο ) ότι το έγεθος το μέγεθος του του δείγ ατος δείγματος (συστάδες) (συστάδες) είναι: είναι: 0 + +, 0 + +, Θ Θ [x]=ακέραιο [x]=ακέραιο έρος τουπραγ ατικού αριθ ού x και έρος μέρος τουπραγ ατικού πραγματικού αριθ ού αριθμού x και x και t s Θ t s = d, Θ = d, όπου ο συντελεστής t θα υπολογιστεί για το παράδειγ ά ας α όπου ο συντελεστής t t θα θα υπολογιστεί υπολογιστεί για για το το παράδειγμά παράδειγ ά ελευθερίας μας ας αρχικά αρχικά (επειδή ως συντελεστής ως συντελεστής ξεκινά ε να studet studet ε έχου ε με 4 συστάδες βαθμούς 4 βαθ ούς ελευθερίας στο δείγ α (επειδή ξεκινά ε να έχου ε συστάδες στο δείγ α του πίνακα 4..3). Άρα είναι t=t 4;0.0 d=0., και άρα =.776, d=0., και άρα t s Θ t s Θ = d =6.68 = d =6.68 και

20 ελευθερίας (επειδή ξεκινάμε να έχουμε συστάδες στο δείγμα του πίνακα 4..3). Άρα είναι t=t 4;0.0 =.776, d=0., και άρα t s Θ = = 6.68 d και = Το αποτέλεσμα αυτό απαιτεί να προσεγγίσουμε εκ νέου την κατάσταση με -=6 β.ε. τώρα t=.447 και = Μία εκ νέου προσέγγιση με τον ίδιο τρόπο (τώρα όμως t=t ;0.0 =.7) δίνει μέγεθος = 6, δηλαδή έχουμε σύγκλιση στο μέγεθος 0 = 6. Για τον υπολογισμό του μεγέθους του δείγματος, όταν θέλουμε ακρίβεια d=000 αυτοκίνητα στον πληθυσμό άρα h=000/0=00 αυτοκίνητα ανά συστάδα, ισχύει ο τύπος 0 + +, αλλά τώρα είναι Θ t s Θ = h. Αρχίζοντας με 4 β.ε. και αντίστοιχο t=.776 έχουμε την πρώτη προσέγγιση = Η δεύτερη προσέγγιση με 0(=-) βαθμούς ελευθερίας και άρα συντελεστή κατά studet ίσο με t=t 0;0.0 =.8 δίνει μέγεθος = Η επόμενη προσέγγιση με 7 βαθμούς ελευθερίας (δηλαδή 7=8-= 0 -) και t=t 7;0.0 =.36 δίνει μέγεθος = Τα δύο τελευταία αποτελέσματα πιστοποιούν τη σύγκλιση και άρα για μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα στο άθροισμα του πληθυσμού ίσο με d=000 ΕΙΧ αυτοκίνητα το μέγεθος του δείγματος είναι ίσο με 0 =8 συστάδες. Αυτή η προσέγγιση του μεγέθους του δείγματος γίνεται γιατί ο τύπος του (ελαχίστου) μεγέθους του δείγματος Θ προέκυψε με την παραδοχή ότι ασχολούμαστε με δείγματα τουλάχιστον 30-μελή και τότε ισχύει η σχέση za / s Θ= d. Αλλιώς με <30 ισχύει t s Θ =, αλλά ξεκινάμε με κάποιο αυθαίρετο t ως προς τους βαθμούς ελευθε- d ρίας, που μπορεί να το υποδεικνύει πάντως η κατάσταση πραγμάτων που αντιμετωπίζουμε (π.χ. εδώ, επειδή ασχολούμαστε με δείγμα -μελές, πήραμε αρχικά και αυθαίρετα β.ε.=4=-). Η σύγκλιση προκύπτει πάντα, εκτός σπανίων περιπτώσεων όπου προκύπτει παλινδρόμηση αποτελέσματος μεταξύ μεγεθών και +, οπότε

21 επιλέγουμε συνήθως το + ως λύση για να είμαστε με το μέρος της ασφάλειας. Το μικρότερο το επιλέγουμε, όταν άλλοι όροι (οικονομικοί ή περιβαλλοντικοί κ.λπ.) υπαγορεύουν την επιλογή αυτή Ασκήσεις Ακολουθεί μία σειρά από ασκήσεις σχετικές με τη ΔκΣ με υποδείξεις για τη λύση τους, όπου κρίνεται αναγκαίο: Άσκηση Σε ένα Λύκειο υπάρχουν Ν=8 τμήματα με = μαθητές το καθένα. Παίρνουμε ένα δείγμα = το πλήθος τμημάτων και εξετάζουμε ποιοι μαθητές πήραν αυτήν τη χρονιά άριστα και ποιοι όχι, με τη χρήση της δίτιμης τμ Υ που παίρνει τις τιμές και «0», ανάλογα αν ο μαθητής που παρατηρούμε έχει πάρει άριστα ή όχι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 4..4: α.α. τμήματος 3 4 Απόκριση παρατηρούμενου μαθητή =άριστα «0»=μη άριστα Πίνακας 4..4 Βάρη Συστάδων w =6 w =7 w 3 =6 w 4 = w =6 (Α) Να βρεθεί η σχετική συχνότητα αριστούχων p, =,, 3, 4, ανά συστάδα του δείγματος (Β) Ποια η μέση δειγματική συχνότητα; (Γ) Να εκτιμηθεί σε σημείο και σε διάστημα η συχνότητα (ανά συστάδα) του πληθυσμού. (Δ) Ποιο είναι το μέγεθος 0 του δείγματος, ώστε να έχουμε μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα d=0.09; (Υπόδειξη για το σκέλος Δ: Εκκίνηση με t 4;0.0 =.776 και με αξιοποίηση του τύπου t s 0 + +, Θ = Θ d. Αν προκύψει 0 =, το μέγεθος του δείγματος είναι. Αν όμως προκύψει 0, τότε συνεχίζουμε με τιμή t o-; 0.0 και επαναληπτικά, ώσπου να προκύψει σε δύο διαδοχικές φάσεις ίδια τιμή για το δείγμα ή το αποτέλεσμα να παλινδρομεί ανάμεσα σε δύο φυσικούς αριθμούς, οπότε επιλέγουμε τον μεγαλύτερο για μεγαλύτερη ακρίβεια). Άσκηση Σε ένα Λύκειο υπάρχουν Ν= τμήματα με άνισα μεγέθη ως προς το πλήθος των μαθητών. Ειδικότερα τα πρώτα τμήματα είναι μαθητών, τα επόμενα 7 είναι 0 μαθητών, ενώ τα υπόλοιπα έχουν 3, και 9 μαθητές αντίστοιχα. (Α) Να γίνει δειγματοληψία με δείγμα από =4 τμήματα (συστάδες), με βάση την εκλογή άνισων συστάδων και με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθός τους (pps). Για το σκοπό αυτό να χρησιμοποιηθεί η τετράδα των τυχαία επιλεγμένων αριθμών: 03,, και 83. (Β) Να γίνει δειγματοληψία με δείγμα από =4 τμήματα (συστάδες), με βάση την εκλογή άνισων συστάδων και με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθός τους (pps). Για το σκοπό αυτό να χρησιμοποιηθεί η τετράδα των αριθμών που προκύπτουν με τη συστηματική διαδικασία και σημείο εκκίνησης το 3 και βήμα 70. (Γ) Να γίνει δειγματοληψία με δείγμα από = τμήματα (συστάδες), με βάση την εκλογή άνισων συστάδων και με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθός τους (pps). Για το σκοπό αυτό να χρησιμοποιηθεί η τετράδα των αριθμών που προκύπτουν με τη γεωμετρική διαδικασία και σημείο εκκίνησης το 63 και λόγο το. (Υπόδειξη: Να εφαρμοστεί η διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε στα λυμένα παραδείγματα, και 3 του κεφαλαίου αυτού). Άσκηση 3 Σε έναν Δήμο και με βάση το βιβλίο με τις οικογενειακές μερίδες έχουμε ορίσει ως συστάδα την κάθε