Κεφάλαιο 2 ο Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ)

Transcript

1 Κεφάλαιο ο Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ) Σύνοψη Στο ο Κεφάλαιο αναπτύσσονται θέματα σχετικά με την απλή τυχαία δειγματοληψία (ΑΤΔ), που είναι το βασικό είδος δειγματοληψίας από θεωρητική πρακτική άποψη Μετά την εισαγωγή τους ορισμούς βασικών ιδεών (όπως τυχαίο δείγμα, πίνακες τυχαίων αριθμών κλπ) περιγράφονται βασικές ιδιότητες των εκτιμητριών των βασικών παραμέτρων των τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή της μέσης τιμής της διασποράς Ακολουθεί ο προσδιορισμός του μεγέθους του δείγματος στην ΑΤΔ Γίνεται ένα σύντομο πέρασμα από τη δειγματοληψία με επανάθεση, ενώ το κεφάλαιο έχει προσανατολισμό γενικά στις δειγματοληψίες χωρίς επανάθεση Στη συνέχεια εξετάζεται το θέμα της εκτίμησης ποσοστών στην ΑΤΔ Ακολουθεί μία παράγραφος σχετική με τον Συντελεστή Μεταβλητότητας (ΣΜ, Αγγλικά Coeffcet of Varato) τη σύνδεσή του με τη δειγματοληψία τις κατανομές Παρουσιάζεται μία μέθοδος προσδιορισμού της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (σππ) συνεχών τυχαίων μεταβλητών που είναι συμμετρικές ή αύξουσες Η σύνδεση αυτή της δειγματοληψίας του ΣΜ για τον προσδιορισμό των σππ είναι σχετικά νέα ιδέα, που αναπτύσσεται από το 000 μετά Ακολουθεί η Βιβλιογραφία δύο ακόμη παράγραφοι με λυμένα παραδείγματα ασκήσεις προς λύση Προαπαιτούμενη γνώση Δεν χρειάζεται προαπαιτούμενη γνώση πέρα από το περιεχόμενο του ου κεφαλαίου του παρόντος συγγράμματος απλή επαφή με τις βασικές έννοιες της Στατιστικής (τυχαίες μεταβλητές παράμετροί τους) των Πιθανοτήτων Εισαγωγικά Οι δειγματοληπτικές τεχνικές χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: (Ι) «Δειγματοληψίες κατά πιθανότητα» (ProbabltySamplg) (ΙΙ) «Δειγματοληψίες χωρίς πιθανότητα» (o-probablty Samplg) Η πρώτη κατηγορία δειγματοληπτικών τεχνικών είναι η πιο ενδιαφέρουσα περισσότερο χρήσιμη στις περισσότερες καθημερινές εφαρμογές Μερικά από τα πλεονεκτήματα των Δειγματοληψιών με πιθανότητα είναι: α) Είναι απρόσωπες αντικειμενικές β) Τις εμπιστεύεται περισσότερο αυθόρμητα το ευρύ κοινό γ) Δημιουργούν προϋποθέσεις προσδιορισμού της ακρίβειας των εκτιμητριών με διάφορες μεθόδους, όπως τα διαστήματα εμπιστοσύνης δ) Παρέχουν περισσότερες πληροφορίες (συνηθέστερα) για τις παραμέτρους των τυχαίων μεταβλητών που μελετούμε Η πληροφορία αυξάνεται, καθώς αυξάνει το μέγεθος του δείγματος Έτσι, τα σφάλματα μειώνονται με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος Μειονέκτημα της δειγματοληψίας κατά πιθανότητα είναι κυρίως το κόστος της διεξαγωγής της, το οποίο μπορεί να ξεφύγει μερικές φορές Η δεύτερη κατηγορία δειγματοληψιών περιλαμβάνει τεχνικές δειγματοληψίας που χρησιμοποιούνται σε ειδικευμένες περιπτώσεις εφαρμογών Διενεργούνται κατόπιν ειδικής μελέτης κάθε φορά χρειάζεται, σε κάθε περίπτωση, ειδικό επιτελείο έμπειρων ερευνητών για τη διεκπεραίωσή τους Στις περισσότερες περιπτώσεις οι δειγματοληπτικές τεχνικές αυτής της δεύτερης κατηγορίας ονομάζονται «Δειγματοληψίες Σκοπιμότητας» (ΔΣκ) Πλεονέκτημα των δειγματοληψιών σκοπιμότητας είναι κατά βάση το μικρό οικονομικό (κυρίως) κόστος Υπάρχουν, μάλιστα, περιπτώσεις όπου το κόστος μιας δειγματοληψίας σκοπιμότητας είναι έως εκατό φορές μικρότερο από το κόστος μιας δειγματοληψίας με πιθανότητα Μειονέκτημα των δειγματοληψιών σκοπιμότητας είναι, η πανταχού παρούσα, άλλωστε, απειλή της μεροληψίας (bas) Τα εισαγόμενα από τη μεροληψία σφάλματα μπορεί να πάρουν εδώ μεγάλες διαστάσεις, δεν είναι προβλέψιμα γίνονται δύσκολα αντιληπτά Είναι δε τέτοια η φύση τους, που συνήθως αυτά τα σφάλματα μεγαλώνουν, καθώς μεγαλώνει το μέγεθος του δείγματος Οι δειγματοληψίες σκοπιμότητας μπαίνουν όλο περισσότερο στις καθημερινές εφαρμογές της επιστήμης της αγοράς, με την ευρεία της έννοια Εξετάζονται εκτεταμένα σε ιδιαίτερο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού, το 6 ο

2 Στο παρόν κεφάλαιο το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην «Απλή Τυχαία Δειγματοληψία» (ΑΤΔ), η οποία είναι η στοιχειωδέστερη μορφή δειγματοληψίας με πιθανότητα χρησιμεύει ως βάση για τις άλλες δειγματοληπτικές τεχνικές που θα περιγραφούν στα επόμενα κεφάλαια Ακολούθως στην παρούσα παράγραφο δίνονται ισοδύναμοι ορισμοί της ΑΤΔ Έστω ότι από ένα Ν-μελή πληθυσμό Π επιθυμούμε να επιλέξουμε ένα -μελές δείγμα με στοιχεία του πληθυσμού Π μόνο Επιπρόσθετα, έστω δ(,) το σύνολο όλων των διακεκριμένων δειγμάτων μεγέθους που περιέχουν στοιχεία από τον Π αποκλειστικά μόνο Είναι δηλαδή: δ(,){x: x δείγμα -μελές με στοιχεία του πληθυσμού Π μόνο} Ορισμός : Η τεχνική δειγματοληψίας με την οποία το κάθε δείγμα, στοιχείο του συνόλου δ(,), έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί με οποιοδήποτε άλλο ονομάζεται Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ) Ορισμός : Η τεχνική δειγματοληψίας με την οποία το κάθε στοιχείο του πληθυσμού Π έχει την ίδια πιθανότητα με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο του Π να συμπεριληφθεί σε κάποιο συγκεκριμένο κάθε φορά δείγμα, που είναι στοιχείο του δ(,), ονομάζεται Απλή Τυχαία Δειγματοληψία (ΑΤΔ) Κατά την ΑΤΔ, δηλαδή, όλα τα δείγματα του δ(,), έχουν την ίδια ακριβώς πιθανότητα να εκλεγούν από ένα Ν-μελή Πληθυσμό Π, ανεξάρτητα από το μέγεθος του πληθυσμού Ν, όπου Ν φυσικός αριθμός Με τον όρο ΑΤΔ θα εννοούμε την ΑΤΔ χωρίς επανάθεση, εκτός αν ρητά αναφέρεται κάτι άλλο Εκλέγουμε δηλαδή τις μονάδες του Πληθυσμού Π μία-μία χωρίς να κάνουμε επανάθεση της εκλεγμένης μονάδας, ώστε να αποκλείεται επανεκλογή της Με τον τρόπο αυτό η πιθανότητα να εκλεγεί ένα συγκεκριμένο -μελές δείγμα είναι: P + παραπάνω σχέση ισότητας ισχύει, διότ Η παραπάνω σχέση ισότητας ισχύει, διότι σε κάθε εκλογή ατόμου από τον πληθυσμό, μέχρις ότου να συμπληρωθεί το -μελές δείγμα, η πιθανότητα να επιλεγεί ένα άτομο είναι η ίδια για τα εκάστοτε εναπομείναντα άτομα Στην περίπτωση που πάρουμε το δείγμα με επανάθεση, θα έχουμε, γενικά, λιγότερη πληροφορία από αυτήν που θα μας έδινε το δείγμα ιδίου μεγέθους, που λαμβάνεται χωρίς επανάθεση, βλέπε σχέση (55), όπου φαίνεται ότι η διασπορά της δειγματικής μέσης τιμής της εκτιμήτριας είναι μεγαλύτερη, όταν έχουμε επανάθεση μικρότερη, όταν δεν έχουμε επανάθεση Το τυχαίο της επιλογής των μελών του δείγματος εξασφαλίζεται είτε με κλήρωση μεταξύ των αριθμών,,3,,ν ή με τον Η/Υ (κυκλοφορούν ρουτίνες παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών) ή με πίνακες τυχαίων αριθμών Είναι δυνατόν, επίσης, να χρησιμοποιήσουμε Η/Υ τσέπης που έχει ενσωματωμένο μικροκύκλωμα παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών, σε τριψήφιες συστάδες συνήθως (3-ψήφιες «λέξεις») Το πλήκτρο στο πληκτρολόγιο τότε γράφει συνηθέστατα επάνω του το σύμβολο: RA# Οι πίνακες τυχαίων αριθμών (ΠΤΑ) είναι πίνακες μονοψήφιων αριθμών, διαστάσεων r m, όπου ο καθένας από τους αριθμούς 0,,,,9 έχει την ίδια πιθανότητα να καταλάβει οποιαδήποτε από ς τις r m θέσεις Αυτό σημαίνει ότι έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί ως στοιχείο σε αριθμό που θα προκύψει από την κατάλληλη χρήση του ΠΤΑ Αποσπάσματα τέτοιων πινάκων κυκλοφορούν τυπωμένα στα διάφορα βιβλία με αντικείμενο τη Στατιστική (Κουνιάς κά, 99, Φαρμάκης, 00, Φαρμάκης, 009 α, 009 β & Cochra, 977) Έχουμε τη δυνατότητα να έχουμε εκτυπωμένα μόνο αποσπάσματα πινάκων τυχαίων αριθμών, γιατί ολόκληρος ο πίνακας θα καταλάμβανε έκταση πολλών εκατομμυρίων σελίδων Έτσι πάντα έχουμε δημοσιεύσεις αποσπασμάτων τέτοιων πινάκων Για να εξασφαλιστεί η αξιοπιστία (ως προς το τυχαίο) του αποσπάσματος πίνακα τυχαίων αριθμών, γίνονται διάφορες δοκιμασίες (test) πριν τη δημοσίευσή του (Farmaks, 994) Για να έχει στοιχειώδη αξιοπιστία ένα απόσπασμα πίνακα τυχαίων αριθμών πρέπει να έχει έκταση τουλάχιστον μερικών χιλιάδων αριθμών Απόσπασμα πίνακα τυχαίων αριθμών διαστάσεων 5x60 είναι ο Πίνακας Η εκλογή ενός -μελούς δείγματος από έναν Ν-μελή πληθυσμό με χρήση πίνακα τυχαίων αριθμών γίνεται με τον παρακάτω τρόπο: Αρχικά αντιστοιχίζουμε έναν αύξοντα αριθμό από το μέχρι το Ν σε καθεμία από τις μονάδες του πληθυσμού Έπειτα σημειώνουμε το πλήθος των στοιχείων του πληθάριθμου Ν του πληθυσμού Έστω ότι ο πληθάριθμος αυτός έχει λ ψηφία, λ,,3, Κληρώνουμε δύο ακέραιους αριθμούς, ο ένας μεταξύ των αριθμών,,3,,r ο άλλος μεταξύ των,,3,,m, όπου r m είναι αντίστοιχα ο αριθμός των γραμμών στηλών του διαθέσιμου πίνακα τυχαίων αριθμών Ειδικότερα για τον Πίνακα είναι r5 m60 Έστω ότι κληρώθηκαν οι ακέραιοι αριθμοί ν μ αντίστοιχα Βρίσκουμε το ψηφίο του πίνακα τυχαίων

3 αριθμών με συντεταγμένες (ν,μ) με πρώτο το ψηφίο αυτό σαρώνουμε τον πίνακα κατά γραμμές από αριστερά προς τα δεξιά (όπως διαβάζουμε Ελληνικά ή Λατινικά) καταγράφουμε τους ακέραιους λ-ψήφιους αριθμούς που προκύπτουν, ώσπου να παραχθούν τέτοιοι αριθμοί με λ-ψηφία, οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον Ν Όσοι είναι μεγαλύτεροι από τον Ν ή όσοι έχουν ήδη εκλεγεί εξαιρούνται Μόλις τελειώνουν τα ψηφία μιας γραμμής του πίνακα συνεχίζουμε στην άλλη γραμμή, αν φτάσουμε στο τελευταίο ψηφίο του πίνακα, θεωρούμε το πρώτο του ψηφίο επόμενο συνεχίζουμε χωρίς διακοπή Παρατήρηση: Εναλλακτικά μπορούμε να «διαβάσουμε» τον πίνακα από τα δεξιά προς τα αριστερά (όπως διαβάζουν οι Άραβες) Μπορούμε, επίσης, να σαρώσουμε τις γραμμές του πίνακα εναλλάξ ως προς την κατεύθυνση: τη μία γραμμή από τα αριστερά προς τα δεξιά την επόμενη αντίστροφα κοκ Αυτή η ανάγνωση ονομάζεται «ανάγνωση βουστροφηδόν» Μπορεί, επίσης, τον ρόλο των γραμμών του πίνακα των τυχαίων αριθμών να αναλάβουν οι στήλες του να εφαρμοστούν τα αντίστοιχα που αναφέρονται εδώ για τις γραμμές αα Πίνακας Περιέχει 500 τυχαίους αριθμούς Στη συνέχεια θα δοθεί ένα παράδειγμα εξαγωγής 7-μελούς δείγματος από πληθυσμό Π με Ν786 στοιχεία Παράδειγμα Δίνεται πληθυσμός Π με Ν786 άτομα ζητούμε να πάρουμε ένα δείγμα από αυτόν μεγέθους 7 ατόμων Να δημιουργηθεί το δείγμα ξεκινώντας από το στοιχείο του Πίνακα με συντεταγμένες (που κληρώθηκαν) τις (,43) Λύση Είναι λ3 Το στοιχείο του πίνακα με συντεταγμένες (,43) είναι το οι τριψήφιοι που προκύπτουν έως ότου εκλεγούν 7 διακεκριμένοι, διαφορετικοί αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 786 είναι οι εξής: Οι παραπάνω αριθμοί προέκυψαν από απλή ανάγνωση από τη θέση (,43) του πίνακα ανά τρία (λ3) ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά Όπως γίνεται φανερό, πρέπει να εξαιρεθούν οι αριθμοί οι μεγαλύτεροι του πληθικού αριθμού του πληθυσμού (Ν786), που εμφανίζονται υπογραμμισμένοι Επιπρόσθετα πρέπει να

4 εξαιρεθεί ο 345, όταν βγήκε για δεύτερη φορά (εμφανίζεται με πλαγιόμορφη γραφή στη δεύτερη ανεύρεσή του) Για να διευκολυνόμαστε στον έλεγχο των αριθμών που βγαίνουν στην αρχική φάση της επιλογής από τον πίνακα των τυχαίων αριθμών, είναι χρήσιμα τα φυλλογράμματα με ή ηγούμενα στοιχεία (στην παρούσα περίπτωση χρειάστηκε ένα τέτοιο ψηφίο) Φυλλόγραμμα ή φυλλογράφημα κατά το Λεξικό Στατιστικής Ορολογίας του Ελληνικού Στατιστικού Ινστιτούτου (stemadleafplot) είναι ειδικά στατιστικά διαγράμματα στα οποία παρουσιάζονται δεδομένα γραμμένα σε μορφή ακεραίων στο δεκαδικό σύστημα σε γραμμές ή στήλες με βάση το πρώτο (ή τα δύο πρώτα ψηφία) τους (στέλεχος, Stem) Γίνεται πολλές φορές πολλαπλασιασμός ή διαίρεση με δύναμη του 0, ώστε (διευκολυντικά) το στέλεχος να είναι το ακέραιο μέρος των δεδομένων, όπως θα προκύψουν (Τσάντας κά 999) Συνοψίζοντας, το δείγμα μας θα αποτελέσουν τα άτομα του πληθυσμού με αύξοντες αριθμούς τους επόμενους: Εναλλακτικά άλλος τρόπος να επιτύχουμε ένα 7-μελές δείγμα, σαν το παραπάνω, είναι ο εξής: Διαλέγουμε με κλήρωση 3 διαδοχικές στήλες του πίνακα Έστω ότι προέκυψαν οι στήλες,3,4 Μετά διαβάζουμε το περιεχόμενο της κάθε γραμμής του τρίστηλου υποπίνακα (που καθορίζεται από τις στήλες που κληρώθηκαν) ως τριψήφιο (αύξοντα) αριθμό, εξαιρώντας τους μεγαλύτερους του Ν786 το 000, που τυχόν προκύπτουν Αν εξαντληθεί το τρίστηλο τμήμα του πίνακα πριν την συμπλήρωση του 7-μελούς (γενικά -μελούς) δείγματος, τότε διαλέγουμε μία νέα τριάδα διαδοχικών στηλών (πχ 4,4,43) του πίνακα τυχαίων αριθμών εξακολουθούμε την ίδια διαδικασία Με τις προαναφερθείσες στήλες για 7 το δείγμα που προκύπτει από τον Πίνακα είναι αυτό που καθορίζεται από τους αύξοντες αριθμούς : Καλύτερη εικόνα έχουμε, αν δούμε τους αριθμούς με τη φυσική σειρά τους: ,700,709,7,779,785 Η διαδικασία συνεχίστηκε στη δεύτερη φάση με την εκλογή των στηλών 4,4,43 του πίνακα εξαιρέθηκαν οι άά που είναι μεγαλύτεροι από το Ν καθώς οι επαναλήψεις, όπως στην προηγούμενη διαδικασία του Παραδείγματος Σε περίπτωση που ο Ν είναι 4-ψήφιος, 5-ψήφιος κλπ χρησιμοποιούμε τετράστηλα, πεντάστηλα κλπ τμήματα του Πίνακα, πάντα επιλεγμένα με κλήρωση Ειδικά αν ο ο Ν Ν είναι είναι k-ψήφιος αρκετά μικρότερος του 0 k, τότε επιλέγουμε τον πρώτο από τους αριθμούς k k 0 0, 05 0, 050 k που είναι μεγαλύτερος του Ν, ανάλογα με το μέγεθος του Ν φυσικά Σε όσα ακολουθούν, ουθούν αυτός αυτός ο αριθμός ο αριθμός συμβοσυμβολίζεται με p Στη συνέχεια, αν η διαδικασία επιλογής άά από τον πίνακα των τυχαίων των τυχαίων αριθμών αριθμών δί δίνει αποτέλεσμα x>ν, θεωρούμε ότι στη θέση του x επιλέγεται ο άά y x(mod p), y< p Το παράδειγμα που ακολουθεί κάνει τα παραπάνω πιο σαφή: Παράδειγμα Σε έναν πληθυσμό μεγέθους Ν345 ατόμων να γίνει ΑΤΔ το δείγμα να είναι μεγέθους 5 ατόμων Να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας με δεδομένο ότι το σημείο εκκίνησης είναι το σημείο του πίνακα με συντεταγμένες (νμ)(4,9) Λύση Σε αυτό το παράδειγμα είναι λ4 Ν< p Άρα οι αριθμοί x που θα εξαχθούν από τον Πίνακα θα υποκαθίστανται από τους y x(mod500), όταν x>ν345, ενώ εξαιρούνται οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 345 οι αριθμοί που υ εεμφανίζονται δεύτερη φορά με οποιονδήποτε τρόπο Έτσι προκύπτει 40(5) 6986(986) 7774(074) 840(090) 3(3) 7956(0456) 704(04) 0545(0545) 980(30) 5669(0669) 0035(0035) 7090(090) 347(347) 4078(578) 00(00) 366(366) 7078(078) 0456(0456) 5856(0856) 6659(659) 04(04) 7495(495) 9034(534) 0(0) 585(085) 3694(94) 6770(770) 8898(398) Μία τοποθέτηση κατά αύξον μέγεθος των άά που προέκυψαν δίνει την παρακάτω πιο τακτοποιημένη μορφή στους άά των ατόμων του δείγματος: 0035, 00, 04, 074, 0456, 0545, 0669, 085, 0856, 090, 3, 94, 0, 366, 398, 5, 534, 578, 659, 770, 986, 04, 078, 090, 30

5 Σχολιάζοντας το παραπάνω αποτέλεσμα-δείγμα θα μπορούσαμε να αναφέρουμε μία απλούστερη παραλλαγή της τεχνικής που χρησιμοποιήθηκε στο παράδειγμα που πρέπει να αποφεύγεται, επειδή εισάγει μεροληψία (bas), τη λεγόμενη «μεροληψία υπολοίπου» Αυτή η «βολική» προς αποφυγή τεχνική βασίζεται στο γεγονός ότι παίρνουμε ως τελικούς αύξοντες αριθμούς των ατόμων που θα περιληφθούν στο δείγμα τους αριθμούς y x(mod), όπου x είναι οι αριθμοί που κληρώθηκαν αρχικά Ενώ είναι δυνατό να είναι x> είναι πάντα y<p< <Ειδικά αν κληρωθεί x000 0 (κ μηδενικά), τότε ορίζεται yp Η μεροληψία υπολοίπου έγκειται στο εξής Ο αριθμός Ν έχοντας κ ψηφία είναι μικρότερος του 0 κ Έστω κ ότι η διαίρεση 0 / δίνει πηλίκο π,,3 υπόλοιπο υ, τότε οι άά που είναι της μορφής,,3,,υ (το 0 λογίζεται ως ως Ντελ Ν τελικά) έχουν π+ δυνατότητες να εμφανιστούν στο δείγμα, ενώ οι άά της μορφής υ+, υ+,, Ν 0 έχουν π τέτοιες δυνατότητες (το 0 λογίζεται ως Ν τελικά) Αυτή είναι η μεροληψία προκύπτει υπολοίπου από προκύπτει το γεγονός από το όγεγονός ότι ουμε παίρνουμε υπόλοιπα υπόλοιπα (mod) (mod) όχι (modp), όπου είναι k k k k k k p {00,050,05 0 } Όταν είναι {00,050,05 0 }, τότε φυσικά μπορού- έχουμε να έχουμε άά του άά τύπου του τύπου y y x(mod) κ δεν υμε έχουμε μεροληψία μεροληψία Σημείωση: Σημειώνουμε ότι δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται ως πίνακες τυχαίων αριθμών κατάλογοι με αριθμούς των οποίων δεν γνωρίζουμε τη δομή ή για των οποίων τη συμπεριφορά βάσιμα αμφιβάλλουμε ως προς το τυχαίο, πχ τηλεφωνικοί κατάλογοι κλπ Αυτοί μπορεί να εισάγουν συστηματικά σφάλματα ή άλλα σφάλματα δύσκολα προσδιοριζόμενα Για παράδειγμα, ο τηλεφωνικός κατάλογος των εξαψήφιων αριθμών του ΟΤΕ της Θεσσαλονίκης (χωρίς το πρόθεμα 30) δεν έχει συστηματικά το ψηφίο στην πρώτη του στήλη, γιατί δεν αρχίζουν αριθμοί τηλεφώνου από το ένα Βασικοί Ορισμοί - Συμβολισμοί Στην παράγραφο αυτή δίνονται τα κυριότερα σύμβολα που θα χρησιμοποιήσουμε στη μελέτη των θεμάτων της ΑΤΔ καθώς οι ορισμοί των βασικότερων εννοιών εργαλείων για την απόδειξη προτάσεων Σε όλες, σχεδόν, τις περιπτώσεις συμβολίζουμε με Y ή Χ την τμ που «παρακολουθεί» καταγράφει τη «χαρακτηριστική ιδιότητα» των στοιχείων του πληθυσμού Π, την οποία μελετούμε, πχ οικογενειακό εισόδημα, ύψος, βάρος, περιεκτικότητα κλπ Στην παρακάτω παρουσίαση δίνεται αρχικά ο όρος μετά η αναλυτική του έκφραση, όπου αυτή χρειάζεται: Μέγεθος του Πληθυσμού: Ν () Μέγεθος του Δείγματος <, () Y Σύνολο (άθροισμα) του Πληθυσμού(*): Y (3) (*)Σύνολο (Άθροισμα) των τιμών νολο των (Άθροισμα) μελών του των πληθυσμού τιμών των στο μελών υπό του μελέτη πληθυ χαρακτηριστικό (τμυ) Σύνολο (άθροισμα) του Δείγματος(**):y y (4) (**)Σύνολο (Άθροισμα) των τιμών ύνολο των (Άθροισμα) μελών του των δείγματος τιμών των στο μελών υπό μελέτη του δείγ χαρακτηριστικό (τμ Υ) Mέση Τιμή του Πληθυσμού: Y Y Y (5) y Mέση Τιμή του Δείγματος: y y (6) Διασπορά του Πληθυσμού: S ( Y Y ) Διασπορά του Δείγματος: s ( y y ) Δειγματοληπτικό κλάσμα :f/ (7) (8) (9)

6 » του δε Σημειώνουμε εδώ ότι το σύμβολο f της σχέσης (9) για το δειγματοληπτικό κλάσμα είναι διαφορετικό εννοιολογικά από το σύμβολο f(y) της σππ μίας τμ Υ Η ποσότητα αναφέρεται συχνά στη βιβλιο- f γραφία με τον όρο «Παράγοντας Επέκτασης» ή «Συντελεστής Επέκτασης» του δείγματος δ δ (, ) (expaso or rasg or flato factor) Οι σχέσεις (7) (8) είναι δυνατό να γραφούν με την παρακάτω μορφή (0) (), αντίστοιχα (η απόδειξη είναι γνωστή από τη βιβλιογραφία πολύ εύκολη): S Y Y s y y (0) () Σημείωση: Παρατηρούμε ότι όσα σύμβολα αναφέρονται στον Πληθυσμό είναι γραμμένα με κεφαλαία γράμματα, ενώ όσα αναφέρονται στο δείγμα είναι γραμμένα με μικρά γράμματα του Λατινικού ή του Ελληνικού, σπανιότερα, Αλφαβήτου Σημαντικό είναι, επίσης, να σημειώσουμε ότι οι ποσότητες, f καθώς οι αναφερόμενες στον π πληθυσμό ποσότητες, Y, S, Y είναι σταθερές Σε αντίθεση με το προηγούμενο, οι ποσότητες y, s, y κά που αναφέρονται αποκλειστικά στο δείγμα είναι μεταβλητές Όλες οι παραπάνω ποσότητες αναφέρονται σε ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό των ατόμων του πληθυσμού (χαρακτηριστική ιδιότητα), που εκφράζεται με την τυχαία μεταβλητή Αν έχουμε περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κατάλληλους δείκτες με πολλή προσοχή για να αποφεύγονται συγχύσεις Ορισμός : Δίνεται πληθυσμός Π Σχηματίζουμε από αυτόν όλα τα δυνατά -μελή δείγματα χωρίς επανάθεση, δηλαδή σχηματίζουμε το σύνολο δ(,) Ορίζουμε για την κάθε μονάδα (άτομο στοιχείο, elemet) u Π,,,3,,Ν, ως «Στοιχειώδη Δειγματική Συνάρτηση» (ΣΔΣ) την παρακάτω τμ Ζ : με πεδίο ορισμού τοσύνολοδ ορισμού δ(,) τοσύνολοδ( Z δ (, ) {0,} όπου έχουμε τον μηχανισμό απεικόνισης Z δ(, ) δ αν μόνο αν u δ Z δ(, ) δ 0 αλλοιώς αδή η τμ Ζ, διατρέχει Δηλαδή, η τμ Ζ διατρέχει όλο το δ(,),,,3,,, κεκ με τιμές, αν το u έχει επιλεγεί στο διακεκριμένο δείγμα μεγέθους <, 0 σε διαφορετική περίπτωση Επομένως, πρόκειται για μια τμ που ακολουθεί Beroull κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας - - f Δηλαδή Ισχύει, δηλαδή, ισχύει ότι: ότι: Πόρισμα : Η «μάζα πιθανότητας» της τμ Z,,,3,,, είναι :, Z f ( Z ), Z 0 ()

7 Είναι φανερό ότι το πλήθος των συναρτήσεων Ζ είναι Ν Οι ΣΔΣ είναι χρήσιμα εργαλεία για την απόδειξη μερικών πολύ χρήσιμων θεωρημάτων σχετικών με τη συμπεριφορά των εκτιμητριών των διαφόρων παραμέτρων του πληθυσμού Θεώρημα : Οι ΣΔΣ των ατόμων u ενός πληθυσμού Π έχουν τις παρακάτω βασικές ιδιότητες : () () () EZ f,,,3,, VarZ f ( f ),,,3,, Cov(Z, Z ) f f ( ) ( ),,,3,, (3) (4) (5) Απόδειξη: () Mε βάση τον ορισμό της ΣΔΣ είναι - - ΕΖ P(Ζ ) f, σε όλα τα διότι, ανάμεσα σε όλα τα -μελή δείγματα του δ(,), που μπορούμε να πάρουμε από τον Ν-μελή Π, αυτά που περιέχουν τη μονάδα -μελή u (για συγκεκριμένο {,, 3,, }) είναι στον αριθμό () Επίσης, από τον ορισμό της διασποράς της της Ζ έχου έχουμε: VarΖ EZ ( EZ ) f f ( ), διότι είναι διότι Z είναι Z,,, 3,,, σύμφωνα με τον ορισμό () H συνδιασπορά είναι από τον ορισμό της : Cov ( X, Y ) E( X Y) ( EX )( EY) EXY EX EY Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι : Cov( Z, Z ) E( ZZ ) ( EZ)( EZ ) Αλλά είναι E( ZZ ) P( Z Z ) ( EZ ) ( EZ ) f ( ) ( ) (6) (7) (8)

8 Από τις σχέσεις (6), (7) (8) συμπεραίνουμε ότι: ( ) f f Cov( Z, Z ) ( ) ( ) ( ) Σημειώνουμε ότι στις σχέσεις (6) (7) οι οι δείκτες,,{ 3 },,,,, αλλά σε κάθε περίπτωση είναι Σχετικά με το πόρισμα (Κουνιάς κά 99 & Φαρμάκης, 00) 3 Εκτιμήτριες (συναρτήσεις) στην ΑΤΔ Στην παράγραφο αυτή θα προσπαθήσουμε να ορίσουμε να μελετήσουμε διάφορα είδη εκτιμητριών για τις ποσότητες της μέσης τιμής (Y ),, του αθροίσματος (Υ) της διασποράς (S ) μιας τμy που περιγράφει την αντίστοιχη «χαρακτηριστική ιδιότητα» των στοιχείων ενός πληθυσμού Π μεγέθους Ν Εργαζόμαστε πάντα με δείγμα (-τα) που προέρχεται (-ονται) από ΑΤΔ χωρίς επανάθεση, εκτός αν κάτι διαφορετικό δηλώνεται ρητά κάθε φορά Θα διατυπώσουμε θα αποδείξουμε στην αρχή κάποια βασικά θεωρήματα σχετικά με τις εκτιμήτριες της μέσης τιμής της διασποράς Θεώρημα Θεώρημα 3: Η εκτιμήτρια της σχέσης (6), δηλαδή η δειγματική μέση τιμή y y είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής μέσης τιμής Y, της τμ Υ Ισχύει δηλαδή Ey Ey Y (3) Απόδειξη: ος τρόπος: Είναι δ τυχαίο δείγμα που ανήκει στο δ(,) Ι το σύνολο των δεικτών των ατόμων που επιλέχτηκαν - καανήκουν στο δ δ(, ) Άρα έχουμε : y y Z Y I,,3,,, είναι η ΣΔΣ τη (3) όπου Ζ,,,3,,, είναι η ΣΔΣ της μονάδας u Π, οπότε είναι Ε y E( Y Z ) Y EZ Y Y Y ος τρόπος: Θεωρούμε όλα τα δείγματα ος τρόπος: μεγέθους Θεωρούμε από έναν όλα πληθυσμό τα δείγματαμεγέθους μεγέθους Ν που εκλέχτηκαν από έναν χωρίς πληθυσμό μεγέθο επανάθεση, δηλαδή όλα τα στοιχεία του επανάθεση, δ(,) δηλαδή όλα τα στοιχεία του δ(,) Έστω ότι αυτά είναι τα Έστω ότι αυτά είναι τα δ,δ,δ 3,,δ k,k, οι αντίστοιχες δειγματικές μέσες τιμές της τμ Υ (33) οι αντίστοιχες δειγματικές μέσες τιμές της τμ Υ y,,, 3,, y,,, 3,, Είναι δε, Είναι δε, k δε, k y ( 3 ) y + y + y + + y y ( y+ y δ (, + ) y3+ + y ) Ey δ (, ) Ey (34) όπου το σύμβολο όπου το σύμβολο εκτείνεται σε όλο το φάσμα των εκτείνεται σε όλο το φάσμα των δειγμάτων (33)Για να β δειγμάτων (33) Για να βρούμε την τιμή του αριθστην (34) αρκεί να προσδιορίσουμε σε πόσα δείγματα του δ(,) ανήκει η κάθε να Το πλήθος των δειγμάτων που περιέχουν τη μονάδα u,,,3,,ν είναι για τη συμπλήρωση των υπολοίπων - θέσεων, του υπό μελέτη συμπλ διατίθενται οι υπόλοιπες Ν- μονάδες του πληθυσμού Π Άρα είναι:

9 μητή στην (34), αρκεί να προσδιορίσουμε σε πόσα δείγματα του δ(,) ανήκει η κάθε ι η κάθε μονάδα μ u του πληθυσμού Π Το πλήθος των δειγμάτων που περιέχουν τη μονάδα u,,,3,,ν είναι, διότι u Π,,,3,,, για τη συμπλήρωση των υπολοίπων - θέσεων του υπό μελέτη συμπλήρωση -μελούς δείγματος διατίθενται νται οι υπόλοιπες υπόλοιπες Ν- Ν- μονάδες μονάδες του του πληθυσμού Π Άρα Π Άρα είναι: είναι: ( y+ y + y3+ + y) ( Y+ Y + Y3+ + Y) δ (, ) (35) Από Από (34) (34) (35) (35) συμπεραίνουμε ότι ότι : : ( Y + Y + Y3 + + Y ) Ey Y Y 3 ος τρόπος: Ο τρόπος απόδειξης που ακολουθεί δεν είναι παρά μία εκτενέστερη παρουσίαση του προηγούμενου τρόπου, με χρήση κάποιου σχήματος Στο σχήμα αυτό, που ακολουθεί, υπάρχει κατά βάση ένας πίνακας 3 3 Το κεντρικό μέρος του πίνακα αυτού αποτελείται από στοιχεία ίσα με ή 0 Το στην Z,,3,, του πληθυσμού Αυτό δηλώνεται με το σύμβολο που υποτίθεται ότι καταλαμβάνει όλο το (,) θέση σημαίνει ότι το -οστό άτομο ανήκει στο δείγμα δ δ(,), ενώ το 0 σημαίνει ότι δεν ανήκει, όπου του κεντρικού κελιού του πίνακα διάστασης,,3,,,,3,, Σε αυτό το μέρος, δηλαδή, του πίνακα βρίσκονται οι τιμές των ΣΔΣ για όλες τις μονάδες u,,,3,, του πληθυσμού Αυτό δηλώνεται με το σύμβολο Z που υποτίθεται ΑΘΡΟΙΣΜΑ ότι καταλαμβάνει όλο τον χώρο του κεντρικού κελιού του πίνακα διάστασης Υ Υ Y \ δ ΑΘΡΟΙΣΜΑ Υ Υ Υ Ν Y \ δ Z Υ Ν ΑΘΡΟΙΣΜΑ Πίνακας 3 ΑΘΡΟΙΣΜΑ Πίνακας 3 Στην επικεφαλής γραμμή ( η γραμμή του πίνακα) τα δείγματα δ,,,3,,, αντικαταστάθηκαν απ Στην επικεφαλής γραμμή ( η γραμμή του πίνακα) τα δείγματα δ,,,3,, αντικαταστάθηκαν δείκτες τους, για οικονομία χώρου από τους δείκτες τους για οικονομία χώρου Το σταθερό άθροισμα των στηλών του Πίνακα 3 υποδεικνύει ότι κάθε δείγμα περιέχει ακριβώς μονάδ Το σταθερό άθροισμα των στηλών του Πίνακα 3 υποδεικνύει ότι κάθε δείγμα περιέχει ακριβώς μονάδες του πληθυσμού Π πληθυσμού Π Το σταθερό Το άθροισμα σταθερό των άθροισμα γραμμών των του γραμμών Πίνακα του 3 Πίνακα σημαίνει 3 ότι σημαίνει κάθε μονάδα ότι κάθε του μονάδα Π συμμετέχει του Π συμμετέχει σε σε δείγματα, από τα που υπάρχουν συνολικά Αυτό φαίνεται από το διάνυσμα-στήλη που κατέχει δείγματα, από τα που υπάρχουν συνολικά Αυτό φαίνεται από το διάνυσμα-στήλη που κατέχει το τελ ς γραμ το τελευταίο κελί της δεύτερης γραμμής του πίνακα, όπου το Ν-διάστατο διάνυσμα-στήλη έχει όλα τα στοιχεία του στοιχεία του ίσα τη με μονάδα τη μονάδα Γίνεται πλέον φανερό ( με τη βοήθεια του Πίνακα 3) ότι : Z ( y + y + y3+ + y ) Y (36)

10 Γίνεται πλέον φανερό ( με τη βοήθεια του Πίνακα 3) ότι : ( y + y + y3+ + y ) Εξάλλου, ισχύει η σχέση: δ (, ) ( y + y + y + + y ) 3 Y (36) δ (, ) Ey (37) Θεωρούμε το περιεχόμενο του πρώτου κελιού της δεύτερης στήλης ως ένα αντί Ν-διάστατο να διάνυσμα-στήλη Y Y Y 3 Έτσι, αντί να προσθέσουμε όλα τα εσωτερικά γινόμενα του διανύσματος-στήλη με τις στήλες του διάνυ κύριου μέρους του πίνακα 3, πολλαπλασιάσαμε το ίδιο το διάνυσμα-στήλη με το επίσης διάνυσμα-στήλη των αθροισμάτων, που είναι στο τρίτο κελί της δεύτερης γραμμής του πίνακα, βρήκαμε με πιο άμεσο τρόπο την τιμή του αριθμητή της σχέσης (37) Το διάνυσμα-στήλη των αθροισμάτων (τρίτο κελί της δεύτερης γραμμής του πίνακα 3) γράφεται ήδη ως Ν, όπου το Ν συμβολίζει το Ν-διάστατο διάνυσμα-στήλη με όλα τα στοιχεία του ίσα με τη μονάδα Ο συνδυασμός των δύο σχέσεων (36) (37) δίνει το αποτέλεσμα ( y + y + y3 + + y ) Y δ (, ) Ey Y αποδεικνύει το θεώρημα Πόρισμα 3: Η εκτιμήτρια: σμα 3: Η Y y αμερόληπτη (38) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του αθροίσματος του πληθυσμού, Υ Απόδειξη: Είναι : Ε Y E y Ey Y Y Αποδείχτηκε ήδη ότι ισχύει Ε y Y Επίσης, θεωρούμε όλες τις δειγματικές μέσες τιμές της τμυ που τιμές συμβολίζεται με αντιστοιχούν στα δείγματα δ δ(,) ως τις τιμές μιας νέας τμ, που παίρνει Μ Ισχύει, δηλαδή: ναι δηλαδή: Ey EM Y φέρον είναι τώρα (39) Ενδιαφέρον είναι τώρα να βρούμε τη διασπορά της τμμ (δηλαδή τη διασπορά της y που έχει μέση τιμή τη μέση τιμή του πληθυσμού Y ) Είναι τιμή του σε κάθε πληθυσμού περίπτωση: ) Είνα VarM Vary E ( y Y ) οδείξουμε στη συνέχεια το πα (30) Θα αποδείξουμε στη συνέχεια το παρακάτω σημαντικό θεώρημα: Θεώρημα 3: Στην ΑΤΔ ισχύει Y

11 Όπου : VarM Vary E y Y S f : Απόδειξη: Θα αποδείξουμε αυτό το θεώρημα με δύο τρόπους: ος τρόπος: Είναι Vary Var( y) Var y Var Y Z ( ) (, ) Var Z Y + Cov Z Y Z Y A < ( ) ( ) (3) S ( Y Y ) f ειξη: Θα αποδείξουμε αυτό το θεώρημα μ (3) Είναι τώρα (Βλέπε Θεώρημα ) f( f) A Y VarZ + Y Y Cov Z Z f f Y Y Y (, ) ( ) < < f( f) f( f) A ( ) Y Y Y ( ) Y + Y Y < ήτοι Y Y ( ) ( ) f( f) A Y ( Y) f f f S Επειδή είναι Επειδή είναι A Vary, A Vary προκύπτει πλέον προκύπτει το πλέον το f Vary S f Vary S ος τρόπος: Επειδή κάθε άτομο του πληθυσμού Π συμμετέχει σε σταθερού πλήθους δείγματα του δ(,), η ποσότητα ος τρόπος : Επειδή κάθε άτομο του πληθυσμού Π συμμετέχει σε σταθερού πλήθους δείγματα του E( y + y + yποσότητα y ) E( y + y + y y ) είναι πολλαπλάσιο είναι του πολλαπλάσιο Y του Y Δηλαδή, ισχύει: ισχύει: Δηλαδή ισχύει: E( y + y + y3 + + y) a Y, a R E( y + y + y3 + + y) a Y, a R (33) ιστα (33) μάλιστα μάλιστα E( y + y + y3 + + y) Y, ήa f, (34) (34) επειδή στο πρώτο μέλος της (34) έχουμε προσθετέους, ενώ στο δεύτερο μέλος έχουμε Ν επειδή στο πρώτο Επίσης μέλος ισχύει της (34) για κάθε έχουμε δείγμαδ του προσθετέους, δ(,): ενώ στο δεύτερο μέλος έχουμε Ν Επίσης ισχύει για κάθε δείγμα δ του δ(,): ( y Y) ( y Y) Σκεπτόμενοι για την (35) το ίδιο όπως με την (34) σε (35) συνδυασμό με τ E ( y Y) ( Y Y) Με ανάλογες σκέψεις προκύπτει:

12 Σκεπτόμενοι για την (35) το ίδιο όπως με την (34) σε συνδυασμό με τη (33), έχουμε: ( y Y) ( y Y) (35) E ( y Y) ( Y Y) Σκεπτόμενοι για την (35) το ίδιο όπως με την (34) σε συνδυασμό με τη (33), έχουμε: (36) λογες σκέψεις προκύπτει: Με ανάλογες E λογες σκέψεις ( y σκέψεις Yπροκύπτει: ) προκύπτει: ( Y Y) (36) ( ) Με ανάλογες σκέψεις E προκύπτει: ( y Y) ( y Y) ( Y Y) ( Y Y) < ( ) ( ) < E οι προσθετέοι ( y στο πρώτο μέλος της (38) είναι (37) Y) ( y Y) επειδή οι προσθετέοι στο πρώτο μέλος της (38) ( είναι ) ( Y Y) ( Y Y) < (37) < επειδή ( οι ) προσθετέοι στο πρώτο μέλος της (38) είναι ( ) στο δεύτερο της μέλος είναι στο ( δεύτερο ) της μέλος είναι ( ) οπότε είναι το οπότε είναι ( τώρα ) το a ( )) a Υψώνουμε ( στο ) τετράγωνο τα δύο μέλη της (35) παίρνουμε τις μέσες τιμές αμφοτέρων των μελών της, Υψώνουμε οπότε προκύπτει: στο τετράγωνο τα δύο μέλη της (35) παίρνουμε τις μέσες τιμές αμφοτέρων των μελών της, οπότε προκύπτει: E( y Y) E ( y Y) + ( y Y) ( y Y) A < E ( y Y) E ( y Y) + ( y Y) ( y Y) A < ( ) A ( Y Y) + ( Y Y) ( Y Y) ( ( ) < A ( Y Y) + ( ) ( Y Y) ( Y Y) < ) A ( Y Y) + ( Y Y) ( Y Y) ( ) ( ) < A ( Y Y) + ή ( ) ( Y Y) ( Y Y) < ή ( ) ( ) A Y Y + Y Y ( ) ( ) A, επειδή για για κάθε κάθε Y Y + Y Y τυχαία μεταβλητή μεταβλητή Υ είναι είναι επειδή για κάθε τυχαία μεταβλητή Υ είναι ( Y Y) 0, έπεται ( Y Y) 0 ότι έπεται ότι ( ) A ( Y Y) ( ) ( ) Y Y f S από τη σχέση A E y Y ( ) f Vary E y Y S f Ήτοι έχουμε: Vary S E ( ) Θεώρημα 33: 33: Η εκτιμήτρια Η s, s που, που περιγράφεται από από τη τη σχέση σχέση (8), (8), δηλαδή η δειγματική η διασπορά, είναι είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της της πληθυσμιακής διασποράς S S,, της της τυχαίας μεταβλητής Υ, όπως αυτή δίνεται από τη από σχέση τη σχέση (7) (7) Ισχύει Ισχύει, δηλαδή δηλαδή, η σχέση: η σχέση: Es S (38) Απόδειξη: ος τρόπος: Είναι

13 7) Ισχύ Es S ξη: (38) Απόδειξη: ος τρόπος: Είναι ( ) Es E y y E Y Z y A EZ Ey Vary Ey A Y EZ Ey Y ( Vary ( Ey ) ) + f f A Y S + Y Y Y S ή ή f S A S f S S A S S μετά τις απλοποιήσεις προκύπτει μετά μετά τις A Es Sαπλοποιήσεις προκύπτει A Es S ος τρόπος: Είναι φανερό ότι ότι s ( y ) (( ) ( )) y y Y y Y A Επίσης, ισχύει για για κάθε τμ τμ Υ το το y άρα y ( y Y ) ( y Y ) ( y Y ) ( y Y ) ( y Y ) B Επίσης, ισχύει το το ( ) (( ) ( )) y y y Y y Y ( ) A ( ) ( ) ( ) A y Y + y Y ( y Y) ( y Y) ή ( ( ) ( A ) ) ( ( ) ( ( y ) ) ( Y + ( y Y ) B ( y Y) ( ( ) y Y) ( D ) ( ) A y Y + A y Y y Y B + y Y B y Y y DY y Y D Για τη δειγματική Για διασπορά τη δειγματική Για τη προκύπτει δειγματική διασπορά από διασπορά προκύπτει τα παραπάνω προκύπτει από τα παραπάνω από τα παραπάνω s D s s D D ήτοι ήτοι ήτοι s ( y Y) ( s s (39) ( y Y) ( y Y () y Y) ( y Y) (39) (39 (39) Είναι, επίσης, προφανή προφανή Είναι επίσης τα Είναι τα εξής, εξής προφανή επίσης βλέπε [βλέπε προφανή τα εξής, τις τις σχέσεις τα βλέπε σχέσεις εξής, (33), βλέπε (33), τις σχέσεις (34): (34)]: τις (33), σχέσεις (33), (34): (34): ( ) ( ) E y ( ) Y Y Y S E (30) ( ye Y) ( y Y) ( Y Y) ( Y Y) ( ) ( S ) S (30) (30 (30) { ( ) } ( ) ) E y Y y Y Vary f S S ( ) (3) E{ ( ye { Y) } y YE} ( y YE) ( y Y Vary ) ( Vary f ) ( S f ) S S S (3) (3 Από τις σχέσεις Από (39), τις σχέσεις Από (30) τις (39), σχέσεις (3) (39), (30) προκύπτει (30) (3) ότι (3) προκύπτει προκύπτει ότι ότι

14 Είναι επίσης προφανή τα εξής, βλέπε τις σχέσεις (33), (34): Είναι επίσης προφανή τα εξής, βλέπε τις σχέσεις (33), (34): E ( y Y) ( Y Y ( ) S (30) E ( y Y ) ( Y Y ) ( ) S (30) E{ ( y Y) } E( y Y) Vary ( f ) S S E{ ( y Y) } E( y Y) Vary ( f ) S S (3) E { ( y Y ) } E ( y Y ) Vary ( f ) S S (3) (3) Από τις σχέσεις Από (39), τις σχέσεις (30) (39), (3) (30) προκύπτει (3) ότι προκύπτει ότι Από Es τις σχέσεις (39), (30) ( ) S (3) S προκύπτει S ότι ( ) Es S S S ( ) Es S S S Πόρισμα 3: Η τυπική απόκλιση του δειγματικού μέσου y είναι: Πόρισμα 3: Η τυπική απόκλιση του δειγματικού μέσου y είναι: Πόρισμα 3: Η τυπική απόκλιση του δειγματικού f μέσου y είναι: σ y f S S σ f y S S (3) σ y S S ξη:άμεση συνέπεια του Θεωρήμα (3) (3) Απόδειξη:Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 33 Απόδειξη:Άμεση συνέπεια του του Θεωρήματος 33 Πόρισμα 33: Η Πόρισμα διασπορά 33: η τυπική Η διασπορά απόκλιση η του τυπική Αθροίσματος απόκλιση του πληθυσμού Αθροίσματος Y του είναι πληθυσμού αντίστοιχα: Y είναι αντίστοι Πόρισμα 33: Η διασπορά η τυπική απόκλιση του Αθροίσματος ˆ ( ˆ ) του πληθυσμού Y είναι αντίστοιχα: VarY E Y Y Vary S ( f ) (33) VarYˆ E ( Yˆ Y ) Vary S ( f ) (33) (33) f f σ Y f σs Y S S S (34) σ Y Y S S (34) (34) Απόδειξη: Άμεση Απόδειξη: Άμεση των Άμεση συνέπεια συνέπεια των 3 Θεωρημάτων αντίστοιχα αντίστοιχα Απόδειξη: Άμεση συνέπεια των Θεωρημάτων 3 33 αντίστοιχα Πόρισμα 34: Οι Πόρισμα εκτιμήτριες: Πόρισμα 34: 34: Οι εκτιμήτριες Οι Πόρισμα 34: Οι εκτιμήτριες s s ˆ f Vary f Vary ˆ s v ( y v )( y ) s y sy f s s (35) (35) Vary ˆ v ( y ) s y s (35) (35) ˆ s ˆ f VarY ˆ s f VarY v ( Yv) ( Y ) sy ˆ s Yˆ s s (36) (36) ˆ s f VarY ˆ v ( Y ) s ˆ Y s (36) είναι είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες των των Vary Vary VarY VarY αντίστοιχα (36) αντίστοιχα είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες των Vary VarY αντίστοιχα πόδειξη: Απόδειξη: Απόδειξη: Άμεση Άμεση Απόδειξη: Άμεση απόρροια Απόδειξη: απόρροια Άμεση Άμεση απόρροια απόρροια Απόδειξη: του Άμεση του απόρροια πορίσματος πορίσματος του του πορίσματος πορίσματος απόρροια Άμεση του απόρροια 3 πορίσματος 3 του πορίσματος 3 3 του του Απόδειξη: Άμεση απόρροια του πορίσματος Απόδειξη: του του 3 θεωρήματος πορίσματος θεωρήματος του του 3 Άμεση θεωρήματος θεωρήματος 3 του του απόρροια θεωρήματος 3 33, 33, του θεωρήματος δεδομένου 33, δεδομένου 33, θεωρήματος του 33, δεδομένου δεδομένου του πορίσματος θεωρήματος ότι δεδομένου 33, ότι οι οι οι ποσότητες ότι δεδομένου ποσότητες 33, δεδομένου 3 ότι οι ότι ποσότητες οι ποσότητες 33, δεδομένου οι, ότι του ποσότητες, ότι,,,, οι ποσότητες θεωρήματος οι f, f,,, f, f ποσότητες ότι οι οι ποσότητες,, 33, f,, δεδομέ f,,, ναι ι σταθερές σταθερές είναι είναι σταθερές σταθερές είναι σταθερές είναι Απόδειξη: σταθερές είναι Άμεση σταθερές απόρροια του, f είναι σταθερές είναι πορίσματος είναι σταθερές 3 του θεωρήματος 33, δεδομένου ότι οι ποσότητες,, f είναι σταθερές ημείωση: Σημείωση: Σημείωση: Οι Σημείωση: Οι παρακάτω παρακάτω Οι παρακάτω Οι παρακάτω Σημείωση: Οι εκτιμήτριες: Σημείωση: εκτιμήτριες: παρακάτω Οι εκτιμήτριες: εκτιμήτριες: Οι παρακάτω Οι εκτιμήτριες: Οι παρακάτω εκτιμήτριες: εκτιμήτριες: Σημείωση: Οι Οι παρακάτω εκτιμήτριες: Σημείωση: f f f Οι f παρακάτω f f εκτιμήτριες: ff ss f f y y s s sy s s (37) y s (37) sy ss s (37) y s y y s (37) y ss sy s (37) (37) (37) f s y s (37) (37) f f f f f f ff ss f f y s sy s s sy s s (38) y s (38) y y s s s (38) y s y y s (38) y s s y s (38) (38) (38) y f s y s των των τυπικών αποκλίσεων των τωνy y Y Y, (38) ν τυπικών τυπικών των των τυπικών των αποκλίσεων αποκλίσεων τυπικών τυπικών αποκλίσεων αποκλίσεων των τυπικών αποκλίσεων των των y τυπικών y αποκλίσεων των των Y y Y των, αποκλίσεων αντίστοιχα,,, y αντίστοιχα, y Y, Y των αντίστοιχα,, αντίστοιχα, Y y, δεν αντίστοιχα, των δεν Y είναι y είναι (38) αντίστοιχα,, δεν δεν είναι είναι αμερόληπτες εκτιμήτριε των τυπικών αποκλίσεων των y Y, δεν δεν αντίστοιχα, αμερόληπτες αμερόληπτες είναι Y είναι δεν αμερόληπτες αμερόληπτες,, αντίστοιχα, είναι δεν αμερόληπτες είναι εκτιμήτριες εκτιμήτριες εκτιμήτριες εκτιμήτριες δεν αμερόληπτες είναι εκτιμήτριες αμερόληπτες εκτιμήτριες εκτιμήτριες, αντίστοιχα, δεν είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες 4 4 Μέγεθος Μέγεθος 4 4 Μέγεθος 4 Μέγεθος Μέγεθος Δείγματος 4 Δείγματος Μέγεθος Δείγματος 4 Δείγματος στην στην Μέγεθος Δείγματος ΑΤΔ στην ΑΤΔ στην στην Δείγματος ΑΤΔ ΑΤΔ στην ΑΤΔ 4 4 ΑΤΔ στην Μέγεθος ΑΤΔ 4 Δείγματος στην ΑΤΔ Μέγεθος 4 Δείγματος Μέγεθος στην Δείγματος ΑΤΔ στην ΑΤΔ ο μέγεθος μέγεθος Το Το μέγεθος μέγεθος Το του του μέγεθος δείγματος, Το δείγματος, του του δείγματος, δείγματος, μέγεθος του Το, μέγεθος του δείγματος,,, του έχει έχει, δείγματος, μεγάλη του μεγάλη έχει, έχει, δείγματος,, μεγάλη έχει σημασία, έχει, σημασία, μεγάλη μεγάλη Το Το σημασία, σημασία, έχει, μέγεθος, μεγάλη για για έχει σημασία, τη τη τη για μεγάλη του σημασία, δημιουργία δημιουργία του για για τη τη δείγματος, για τη δημιουργία δημιουργία σημασία, τη δημιουργία για δημιουργία διαστημάτων διαστημάτων,, έχει διαστημάτων διαστημάτων για δημιουργία έχει μεγάλη διαστημάτων δημιουργία εμπιστοσύνης εμπιστοσύνης σημασία, εμπιστοσύνης εμπιστοσύνης διαστημάτων διαστημάτων εμπιστοσύνης των των για για τη των των εμπιστοσύνης δημιουργία πο- εμπιστοσύνης των των διαστ τω τ οσοτήτων ποσοτήτων ποσοτήτων οτήτων ποσοτήτων Y Y ποσοτήτων Y Το Y Y Y Y μέγεθος Θα Y Θα ποσοτήτων Y θεωρείται θεωρείται Θα Y Y του Θα Y Θα θεωρείται Θα δείγματος, θεωρείται Y Y μεγάλο Y θεωρείται μεγάλο Θα μεγάλο Y Y θεωρείται ένα ένα μεγάλο, Θα μεγάλο ποσοτήτων δείγμα έχει δείγμα ένα ένα θεωρείται ένα μεγάλο μεγάλη ένα δείγμα, αν αν δείγμα τουλάχιστο Y δείγμα τουλάχιστο μεγάλο Y αν σημασία, αν αν τουλάχιστο ένα τουλάχιστον δείγμα αν Y ένα Y Θα είναι Θα είναι για δείγμα αν θεωρείται τη τουλάχιστο είναι αν δημιουργία είναι είναι τουλάχιστο μεγάλο 30 είναι συγχρόνως 30 διαστημάτων 30 ένα ένα συγχρόνως συγχρόνως είναι δείγμα 30 συγχρόνως είναι αν εμπιστοσύνης αν είναι είναι είναι 30 συγχρόνως τουλάχιστο είναι συγχρόνως είναι είναι των είναι είν Για Για 30 αρκετά αρκετά 30 ποσοτήτων Για Για 30 αρκετά Για μεγάλες αρκετά 30 αρκετά Y μεγάλες Για τιμές 30 τιμές μεγάλες αρκετά μεγάλες Για του Y τιμές του τιμές Θα αρκετά πλήθους μεγάλες πλήθους τιμές του του θεωρείται πλήθους πλήθους μεγάλες του των τιμές των πλήθους στοιχείων στοιχείων μεγάλο των των στοιχείων στοιχείων του τιμές πλήθους των Για του Για ένα του του αρκετά στοιχείων πλήθους δείγμα Πληθυσμού, των Πληθυσμού, του του μεγάλες Πληθυσμού, Πληθυσμού, στοιχείων των αν του τουλάχιστο στοιχείων Πληθυσμού, Ν Ν τιμές (πχ (πχ Ν Πληθυσμού, Ν>000), Ν>000), του (πχ Ν (πχ είναι πλήθους Ν Ν>000), Ν>000), Πληθυσμού, (πχ αρκεί Ν αρκεί των Ν>000), Ν (πχ 30 των (πχ στοιχείων αρκεί αρκεί συγχρόνως αρκεί Ν Ν>000), (πχ Ν>000), του του αρκεί Πληθυσμού είναι αρκεί κ το 30μόνο 30μόνο το το 30μόνο αρκεί χωρίς χωρίς 30μόνο το 30μόνο να χωρίς να χωρίς υπάρχει το 30μόνο το υπάρχει χωρίς να υπάρχει να ανάγκη Για 30μόνο να χωρίς ανάγκη υπάρχει μόνο, υπάρχει αρκετά ανάγκη να χωρίς να ανάγκη υπάρχει εξεταστεί εξεταστεί μεγάλες ανάγκη εξεταστεί να εξεταστεί να να υπάρχει το ανάγκη το να τιμές εξεταστεί το το 30μόνο ανάγκη του να εξεταστεί πλήθους το να χωρίς το το εξεταστεί των να να υπάρχει 30 στοιχείων ανάγκη του 30 Πληθυσμού, να να εξεταστεί 30 Ν (πχ το το Ν>000), 30 αρκεί 30 Συνήθως Συνήθως Συνήθως Συνήθως έχουμε Συνήθως έχουμε το έχουμε Συνήθως την 30μόνο έχουμε την έχουμε υπόθεση υπόθεση την Συνήθως την χωρίς την έχουμε την υπόθεση να υπόθεση ότι ότι υπόθεση έχουμε υπάρχει την οι οι οι ότι τιμές υπόθεση τιμές οι ότι την οι ανάγκη τιμές οι ότι των τιμές των υπόθεση οι των τιμές Συνήθως ότι να τιμές yτων yεξεταστεί οι των ότι τιμές των y έχουμε των y οι οι Y yτων τιμές Y κατανέμονται το των κατανέμονται την την y Y των υπόθεση Y κατανέμονται Y των κατανέμονται y 30 κατανέμονται κανονικά Y ότι κανονικά των ότι κατανέμονται οι οι κανονικά Y (δηλαδή κανονικά τιμές (δηλαδή κατανέμονται (δηλαδή κανονικά των κατανέμονται των (δηλαδή (δηλαδή κανονικά y y (δηλαδή κανονικά των των (δηλαδή Y Y (δηλαδ καταν Συνήθως έχουμε την υπόθεση ότι οι τιμές των y των Y κατανέμονται ανέμονται τανέμονται κατανέμονται κατανέμονται με με με βάση κατανέμονται βάση με βάση με την την βάση κατανέμονται με καμπύλη καμπύλη βάση την την με καμπύλη καμπύλη την βάση του του καμπύλη την Gauss) βάση Gauss) του του καμπύλη Gauss) την του με με με Gauss) κατανέμονται κανονικά (δηλαδή κατανέμονται κέντρο καμπύλη Gauss) κέντρο του με κέντρο με Gauss) τις με τις κέντρο του μέσες κέντρο μέσες με με τις τις Gauss) με βάση μέσες τιμές κέντρο τιμές μέσες τις με την με την μέσες Y τιμές Y κέντρο τιμές καμπύλη τις μέσες τιμές Y τις Y αντίστοιχα αντίστοιχα του Y τιμές του μέσες Y Gauss) αντίστοιχα Y αντίστοιχα Y τιμές αντίστοιχα Η Η με υπόθεση με Y υπόθεση κέντρο αντίστοιχα Η υπόθεση Η υπόθεση μάλιστα Y Η τις αντίστοιχα τις υπόθεση μέσες Η υπόθεση τιμές Η υπόθεσ Y Y κακ άλιστα μάλιστα αυτή αυτή μάλιστα μάλιστα ενισχύεται αυτή ενισχύεται αυτή αυτή μάλιστα κατανέμονται ενισχύεται αυτή ενισχύεται, καθώς μάλιστα ενισχύεται καθώς αυτή καθώς το ενισχύεται το το καθώς με αυτή αυξάνει καθώς αυξάνει βάση το το ενισχύεται το αυξάνει καθώς την το αυξάνει Είναι Είναι καμπύλη αυξάνει το καθώς πάντως μάλιστα Είναι πάντως Είναι αυξάνει Είναι του πάντως αρκετά αρκετά αυτή πάντως αυτή Gauss) αυξάνει πάντως Είναι ενισχύεται αρκετά ασφαλές, ασφαλές, αρκετά πάντως με αρκετά Είναι κέντρο ασφαλές, ασφαλές, όταν καθώς πάντως αρκετά όταν ασφαλές, τις έχουμε έχουμε όταν το μέσες το αρκετά ασφαλές, όταν αυξάνει έχουμε όταν έχουμε τιμές ασφαλές, 30 έχουμε όταν 30 Είναι Y έχουμε 30 συγχρόνως όταν 30 πάντως Y 30 έχουμε συγχρόνως αντίστοιχα συγχρόνως αρκετά 30 συγχρόνως ασφαλές, συγχρόνως 30 Η υπόθεση συγχρόνω όταν όταν έχέ 30 30, να,, να 30 ισχυριστούμε,, 30 μάλιστα να, 30 ισχυριστούμε, να ισχυριστούμε,, να 30 αυτή, ότι να ότι ενισχύεται ισχύει ισχυριστούμε, 30 ισχύει, ότι ότι, να να ισχύει το ισχυριστούμε, ισχύει ότι «Κεντρικό «Κεντρικό καθώς ισχύει ότι «Κεντρικό το «Κεντρικό ισχύει Οριακό αυξάνει «Κεντρικό Οριακό ότι το ισχύει 30 Οριακό «Κεντρικό 30 Θεώρημα» Θεώρημα», Οριακό Είναι, το το Οριακό ισχυριστούμε, Θεώρημα» Θεώρημα» «Κεντρικό πάντως Οριακό (ΚΟΘ) Θεώρημα» (ΚΟΘ) αρκετά (ΚΟΘ) Οριακό Θεώρημα» (ΚΟΘ) ότι ότι άρα ισχύει ασφαλές, (ΚΟΘ) άρα Θεώρημα» είναι: είναι: άρα άρα το (ΚΟΘ) το «Κεντρικό όταν είναι: είναι: άρα (ΚΟΘ) έχουμε είναι: άρα Οριακό είναι: άρα 30 Θεώρημα» είναι: συγχρόνως (ΚΟΘ) κακ ( ( y y YY( ) y) ( y Y ( y ) Y 30 Y) (,) y να ισχυριστούμε, Y( )( y Y) ) ότι ισχύει το «Κεντρικό ( y( yyy Οριακό Θεώρημα» (ΚΟΘ) άρα είναι: : : (0,) (0,) : ) ) : (0,) ( y : (0,) Y (0,) : (0,) ) :: (0,) : : (0,) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) ss s ff s s f f sf ssf : f f (0,) ss f f (4)

15 Συνήθως έχουμε την υπόθεση ότι οι τιμές των y των Y κατανέμονται καν κατανέμονται με βάση την καμπύλη του Gauss) με κέντρο τις μέσες τιμές Y Y αντίστοι μάλιστα αυτή ενισχύεται καθώς το αυξάνει Είναι πάντως αρκετά ασφαλές, όταν έχουμε 30 μάλιστα αυτή 30, να ισχυριστούμε, ότι ισχύει το «Κεντρικό Οριακό Θεώρημα» (ΚΟΘ) άρα είναι: 30, να ισχυριστούμε ότι ισχύει ( y το Y) «Κεντρικό Οριακό Θεώρημα» (ΚΟΘ) άρα είναι: : (0,) (4) s f ( ) ( ) όπου το Ν(0,) συμβολίζει την «Τυποποιημένη Κανονική (ormal) Κατανομή» Συνθήκες που ευνοούν ενισχύουν την ισχύ της (4) είναι οι εξής τρεις: (4) όπου το Ν(0,) συμβολίζει την «Τυποποιημένη Κανονική (ormal) Κατανομή» Συνθήκες που ευνοούν ενισχύουν Η την τμ ισχύ Υ ακολουθεί της (4) κανονική είναι οι κατανομή, εξής τρεις: ( µ, σ ) Y (, S ) Η τμ Υ ακολουθεί κανονική κατανομή, Ν ( µ, σ ) Y (, S ) Ν συγχρόνως 30 συγχρόνως 30 Όταν ισχύει η (4), Όταν λοιπόν, ισχύει μπορούμε η (4) να λοιπόν, έχουμε μπορούμε τα εξής διαστήματα να έχουμε τα εμπιστοσύνης εξής διαστήματα 00(-α)% εμπιστοσύνης : 00(-α)% : Για τη Μέση Τιμή Y του Πληθυσμού (γενικά) Για τη Μέση Τιμή Y του Πληθυσμού (γενικά) f 00 ( a)% δε y ± ta/;; ʹ s f 00 ( a)% δε y ± ta/;; ʹ s (4) γάλα δείγματα ( 30 ) (4) ή για μεγάλα δείγματα ή για ( μεγάλα 30 ) δείγματα ( 30 ) f 00 ( a)% δε y ± za /ʹ s (43) (43) Για το άθροισμα του Για πληθυσμού, το άθροισμα το Υ, του έχουμε πληθυσμού, το Υ, έχουμε ) 00 ( a)% δε y ± ta/;; ʹ s ( ) 00 ( (44) a)% δε y ± t a/;; ( ʹ s ) ) 00 ( a)% (44) 00 ( a)% δε δε ( y ± ta/;; ʹ y t s a/;; ( s ) ) ( ) ( ) 00 ( a)% δε 00 ( 00 a)% ( δε a)% δε y ± y ± t00 a/;; ʹ ( sa)% δε t y ± t (44) a/;; ʹ a /;; sʹ s y ± t (44) a/;; ʹ s( ) 00 ( a)% δε ή για (44) ( 30 ) (44) ή αντίστοιχα για τα μεγάλου μεγέθους δείγματα (44) y± t a/;; ʹ s ( ) ( 00 ( a)% δε ή για τα ( 30 ) y ± t 30 ) a/;; ʹ s ή αντίστοιχα για τα μεγάλου μεγέθους ή για τα ή αντίστοιχα δείγματα για ( τα μεγάλου 30 ) μεγέθους ( 30 ) δείγματα ( 30 ) ή αντίστοιχα ή αντίστοιχα για τα για μεγάλου τα μεγάλου μεγέθους μεγέθους ή δείγματα αντίστοιχα δείγματα ( για 30 ( τα ) μεγάλου 30 ) μεγέθους δείγματα ( 30 ) ή αντίστοιχα για τα μεγάλου μεγέθους δείγματα ( ) 30 ) 00 ( a)% δε y ± za / s ( ) 00 ( (45) δε y ± ( ( z a / s ) ) 00 ( a)% 00 ( a)% δε y z (45) δε ( ) y ± za / s a / ( s ( ) ) ( ) 00 ( a)% δε 00 ( 00 a)% ( δε a)% δε y ± y ± z00 a / s( a)% δε z y ± (45) a / sz a / s y ± z (45) a / s( ) 00 ( a)% δε σχέσεις (4) (44) (45) Οι σχέσεις (4) (44) ισχύουν (45) για y ± z για a / s ( ) μικρά μικρά δείγματα ( ( 30 30) ) με με την 00 ( a)% δε την (45) προϋπόθεση ότι ότι ισχ Οι για μικρά y ± za / s ( 30 ) με την Οι σχέσεις (4) (44) ισχύουν Οι σχέσεις για (4) μικρά δείγματα Οι συνθήκη, (4) από από τις τις τρεις (44) τρεις που που προαναφέραμε για μικρά (44) ( ισχύουν 30 ) με για την μικρά προϋπόθεση δείγματα ότι ότι ( (κανονικότητα ( της 30 ισχύει 30η ) η με η η την π Οι σχέσεις Οι σχέσεις (4) (4) (44) (44) ισχύουν ισχύουν Οι για σχέσεις μικρά για μικρά δείγματα (4) δείγματα ( (44) ) κατανομής με την 30 ( ) ισχύουν με 30 την ) με προϋπόθεση για την μικρά προϋπόθεση της δείγματα της Υ) ότι Υ) ισχύει Οι ότι Οι ( ότι τιμές ισχύει η ισχύει η 30 του ) η με tη η a t / την η ;; προ συνθήκη, από από τις τις τρεις τρεις που που προαναφέραμε συνθήκη, από (κανονικότητα τις τρεις που της προαναφέραμε της κατανομής της της (κανονικότητα Υ) Υ) Οι Οι τιμές τιμές του της του tκατανομής a/ ;; συνθήκη, συνθήκη, από τις από από τρεις από τις τις από τις τρεις που πίνακα Studet της για τους - της Υ) Οι τιμές του t a/ ;; Η από που τρεις κατάλληλο που προαναφέραμε πίνακα κατανομής (κανονικότητα της Studet κατανομής της κατανομής για της τους Υ) της Οι - Υ) τιμές βαθμούς Οι του τιμές t a/ του ελευθερίας ;; προκύπτουν t a/ t a ;;/ ;; a/ ;; προκύπτουν προκύπτουν προκύπτουν της Υ) Οι τ συνθήκη, Οι από σχέσεις τις τρεις (4) που προαναφέραμε (44) ισχύουν (κανονικότητα για μικρά της δείγματα κατανομής ( Η τιμή της 30 ) Υ) με τιμή για Οι την τιμ π για τη από τη από από κατάλληλο από από κατάλληλο από κατάλληλο πίνακα κατάλληλο πίνακα σημαντικότητας πίνακα κατανομής πίνακα κατανομής κατανομής κατανομής (σσ) από συνθήκη, Studet (σσ) α κατάλληλο Studet από τις για Studet α είναι είναι για Studet τους συνήθως για για για τρεις πίνακα τους - τους τους τους που - στο στο βαθμούς πάνω - κατανομής προαναφέραμε - πάνω - βαθμούς βαθμούς περιθώριο ελευθερίας ελευθερίας Studet ελευθερίας (κανονικότητα του του πίνακα για Η πίνακα τιμή Η τους Η τιμή Η τιμή της Η κατανομής για τιμή για - τιμή κατανομής για τιμή τη τη βαθμούς για για στάθμη για τη τη της Studet Studet τη ελευθερίας στάθμη Υ) Οι τ είναι είναι γν (σσ) α είναι από κατάλληλο στο πάνω πίνακα κατανομής του Studet για τους - βαθμούς είναι τη στάθμη ελευθερίας σημαντικότητας (σσ) α είναι συνήθως γ σημαντικότητας σημαντικότητας (σσ) (σσ) ισχύει ισχύει α (σσ) είναι (σσ) α 0<α< 0<α< α είναι συνήθως α είναι είναι συνήθως Στις σημαντικότητας στο πάνω συνήθως Στις στο περισσότερες πάνω στο στο στο πάνω περιθώριο πάνω πάνω περιθώριο (σσ) περιθώριο α περιπτώσεις περιθώριο του του είναι του πίνακα του προτιμούμε πίνακα συνήθως πίνακα του πίνακα κατανομής κατανομής στο κατανομής το δε πάνω κατανομής Studet να να Studet είναι περιθώριο Studet είναι Studet 95%δε, είναι είναι του γνωστό είναι δηλαδή είναι δηλαδή γνωστό πίνακα είναι γνωστό ότι α005 κατανομής ότι ότι S Στις σημαντικότητας από κατάλληλο (σσ) πίνακα α είναι κατανομής το δε συνήθως είναι στο Studet πάνω περιθώριο για τους του - πίνακα βαθμούς γνωστό κατανομής α005 ελευθερίας ότι ότι Stu ισχύει 0<α< Στις περισσότερες ισχύει ότι ισχύει 0<α< ισχύει 0<α< Στις 0<α< περισσότερες Στις Στις περισσότερες ισχύει περιπτώσεις Το περιπτώσεις περιπτώσεις 0<α< του προτιμούμε προτιμούμε Στις προτιμούμε περισσότερες το δε, το δε το να το δε είναι δε να πολύ 95%δε, να περιπτώσεις να είναι 95%δε, είναι είναι από 95%δε, προτιμούμε δηλαδή δηλαδή δε, την δηλαδή α005 δηλαδή το α005 α005 α005 δε να είναι 95%δε, δηλ ισχύει σημαντικότητας 0<α< Στις (σσ) περισσότερες α είναι συνήθως περιπτώσεις στο προτιμούμε πάνω περιθώριο το δε του να πίνακα είναι Το μέγεθος του δείγματος,, επηρεάζεται πολύ από την επιθυμητή ακρίβεια με με την 95%δε, κατανομής την οποία δηλαδ S οποία εκτιμ Το μέγεθος Το Το του μέγεθος δείγματος, του του δείγματος,, επηρεάζεται ισχύει,, 0<α< επηρεάζεται Το πολύ μέγεθος Στις από πολύ περισσότερες πολύ του την από δείγματος, επιθυμητή από την την περιπτώσεις επιθυμητή, ακρίβεια, επηρεάζεται ακρίβεια με προτιμούμε την πολύ οποία με με την από το την εκτιμούμε οποία δε την οποία να επιθυμητή είναι εκτιμούμε τις 95%δε, ακρίβεια τις τις δηλ Το μέγεθος Το Το μέγεθος του διάφορες δείγματος, του του δείγματος, παραμέτρους, επηρεάζεται,, επηρεάζεται του του Το μέγεθος Πληθυσμού πολύ από πολύ του πολύ την Αν δείγματος, από Αν από επιθυμητή θέλουμε την την επιθυμητή, να να ακρίβεια επηρεάζεται εκτιμήσουμε ακρίβεια με την πολύ τη με οποία μέση με μέση από την την τιμή την εκτιμούμε οποία τιμή οποία επιθυμητή Y Y εκτιμούμε του του τις Πληθυσμού ακρίβεια τις τις με διάφορες παραμέτρους του του του Πληθυσμού μ διάφορες διάφορες παραμέτρους παραμέτρους επιτρεπτό του Πληθυσμού του του σφάλμα Πληθυσμού d, διάφορες Αν Αν Αν d, πρέπει Το Αν θέλουμε πρέπει Αν Αν να παραμέτρους μέγεθος θέλουμε να να θέλουμε να να του να του εκλέξουμε εκτιμήσουμε να να εκτιμήσουμε δείγματος, εκτιμήσουμε Πληθυσμού κατάλληλο τη μέση, τη επηρεάζεται τη μέση Αν μέση τη μέγεθος τη τιμή μέση μέση Y θέλουμε Y πολύ Y να του του τιμή δείγματος του τιμή Y Πληθυσμού του, εκτιμήσουμε του, Πληθυσμού που από Πληθυσμού που την επιθυμητή τη με με μέση μέγιστο με προσδιορίζεται μέγιστο με με μέγιστο από ακρίβεια τιμή από τις Y τις πα μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα d, d, πρέπει να διάφορες να εκλέξουμε παραμέτρους κατάλληλο του Πληθυσμού μέγεθος δείγματος Αν, θέλουμε που, που να εκτιμήσουμε από τις τη από μέση τιμή Y το επιτρεπτό σφάλμα επιτρεπτό επιτρεπτό σφάλμα σφάλμα d, πρέπει d, πρέπει σχέσεις, d, d, πρέπει να πρέπει την εκλέξουμε την να (46) να επιτρεπτό εκλέξουμε να (46) εκλέξουμε κατάλληλο κατάλληλο κυρίως σφάλμα κατάλληλο κυρίως μέγεθος την d, πρέπει την μέγεθος δείγματος (47) μέγεθος να (47) δείγματος δείγματος εκλέξουμε, κατάλληλο (υποτίθεται, που, προσδιορίζεται, που εδώ που προσδιορίζεται εδώ προσδιορίζεται αυτό μέγεθος αυτό από που που τις δείγματος από τις παρακάτω από ενδιαφέρει παρακάτω από τις τις παρακάτω, που αναμένε προσδ τις παρακάτω την σχέσεις, την (46) επιτρεπτό διάφορες κυρίως την σφάλμα παραμέτρους (47) d, πρέπει του να Πληθυσμού εδώ εκλέξουμε αυτό κατάλληλο Αν θέλουμε μέγεθος να εκτιμήσουμε δείγματος τη, μέση που στις προσδιο τιμή Y σχέσεις, την (46) κυρίως σχέσεις, σχέσεις, την (46) την την (46) περισσότερες (46) κυρίως κυρίως φορές, σχέσεις, την την φορές, (47) δηλαδή την (47) την δηλαδή την (47) (υποτίθεται (47) (46) (υποτίθεται 30): κυρίως εδώ την αυτό (47) που ενδιαφέρει (υποτίθεται εδώ αναμένεται αυτό που στις ενδιαφ σχέσεις, επιτρεπτό 30): την σφάλμα (46) (υποτίθεται d, πρέπει εδώ αυτό να εδώ εδώ εκλέξουμε που αυτό την αυτό ενδιαφέρει (47) που που κατάλληλο ενδιαφέρει (υποτίθεται μέγεθος αναμένεται εδώ αναμένεται δείγματος αυτό στις που, στις που στις ενδιαφέρ προσδ στις περισσότερες φορές, δηλαδή περισσότερες 30): φορές, δηλαδή περισσότερες περισσότερες φορές, φορές, δηλαδή φορές, δηλαδή 30): 30): περισσότερες σχέσεις, 30): την f φορές, (46) δηλαδή κυρίως 30): την (47) (υποτίθεται εδώ αυτό που ενδιαφ zf a / s f d (46) z fz f a / s περισσότερες d φορές, (46) a / z s a / s f z f d δηλαδή f 30): z a / s d d z (46) a / s f d (46) a / sz d (46) a / s d za / (46) f d z (46) a / d s d d + (47) d z a / s + (47) d d d d + d + z + s z a s (47) a za / s + d + (47) / για (47) (47) za z/ a s / s / z s Αντίστοιχα a / z d a s + για την την εκτίμηση του / z του a αθροίσματος Y, Y, του του Πληθυσμού, με με μέγιστο μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα d, d, είναι: Αντίστοιχα για για την την εκτίμηση του του / s + αθροίσματος Y, Y, του του Αντίστοιχα Πληθυσμού, με με μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα d, d, είναι: είναι: για την του για zτην a εκτίμηση του αθροίσματος Y, του Πληθυσμού, με μέγιστο επιτρεπτ Αντίστοιχα Αντίστοιχα για την για εκτίμηση την του αθροίσματος του Αντίστοιχα αθροίσματος Y, του με d, είναι: Y, του για / s Y, Πληθυσμού, την του εκτίμηση Πληθυσμού, με του μέγιστο (47) αθροίσματος με μέγιστο επιτρεπτό επιτρεπτό Y, του σφάλμα Πληθυσμού, σφάλμα d, είναι: d, με είναι: μέγιστο επιτρεπτό Αντίστοιχα, για την εκτίμηση του Αντίστοιχα αθροίσματος για Y, την του εκτίμηση Πληθυσμού, του αθροίσματος με μέγιστο επιτρεπτό Y, του Πληθυσμού, σφάλμα d, με είναι: μέγιστο επιτρεπτ d (48) d d (48) d d + (48) d d + + za/ s + d (48) + za/ s (48) (48) z s + d + az/ s z s Σε z a/ a/ s z s Σε νεώτερες d a/ + a/ z a/ s ανακοινώσεις είναι είναι z a/ δυνατό s να να + δούμε να να εισάγεται στις στις σχέσεις σχέσεις (47) (47) (48) (48) ο ο συμβ Σε Σε νεώτερες ανακοινώσεις είναι είναι Σε δυνατό νεώτερες να ανακοινώσεις δούμε z εισάγεται είναι στις δυνατό στις σχέσεις να δούμε (47) να εισάγεται (48) ο στις ο συμβολισμός σχέσεις (47) Σε νεώτερες Σε Σε νεώτερες ανακοινώσεις ανακοινώσεις dείναι είναι να δούμε a/ s στις (47) (48) ο d h d δυνατό είναι Σε δυνατό νεώτερες δούμε να δούμε ανακοινώσεις εισάγεται εισάγεται στις είναι σχέσεις στις δυνατό σχέσεις (47) να δούμε (47) να (48) εισάγεται (48) ο συμβολισμός στις ο (48) συμβολισμός σχέσεις (47) κ d Έχουμε δηλαδή την μορφή των (47) (48) που d h h d d Έχουμε h δηλαδή Έχουμε δηλαδή d αντίστοιχα την απλούστερη μορφή των (47) (48) που ακολουθούν: h s Σε την των που h h Έχουμε s sέχουμε δηλαδή δηλαδή αντίστοιχα s αντίστοιχα την απλούστερη μορφή των (47) (48) που ακολουθούν: αντίστοιχα h d νεώτερες ανακοινώσεις είναι δυνατό να δούμε να εισάγεται στις σχέσεις (47) Έχουμε δηλαδή αντίστοιχα την απλούστερη μορφή των (47) (48) που την hαπλούστερη την την d απλούστερη μορφή μορφή των μορφή (47) των (47) (48) που h f a των (47) (48) (48) που ακολουθούν: που ακολουθούν: s s s sέχουμε δηλαδή αντίστοιχα την απλούστερη μορφή των (47) (48) που α (,, ) + (49) h f h a h f h a za/ (, ) (,, ) + (49) h f h a h + za/ (49) (, f, ) h a h f h a s + (49) (,, ) h ( f,, h ) a h Έχουμε δηλαδή αντίστοιχα την απλούστερη + za (49) h (,, ) + f h a μορφή των (47) (48) που s (49) z/ a / (, ) h + f h a (,, ) zh a/ +