ΠΡΟΩΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ. Συλλογή λυμένων ασκήσεων

Transcript

1 Συλλογή λυμένων ασκήσεων ΠΡΟΩΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ Οι εκφωνήσεις φτιάχτηκαν από τον Καθηγητή Γ. Πολίτη. Οι γραφικές λύσεις των ασκήσεων έγιναν από τον Δρα Ναυπηγό Mηχ. Mηχ. Β. Τσαρσιταλίδη. Reviion 1/10/015 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή... 3 Άσκηση 1 η Άσκηση η Άσκηση 3 η Άσκηση 4 η Άσκηση 5 η Άλυτη άσκηση 6 η Άλυτη άσκηση 7η Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β

3 1 Εισαγωγή Όπως έχει αναφερθεί στο μάθημα της Πρόωσης, η λύση οποιουδήποτε «βάσιμου» προβλήματος πρόωσης μπορεί να βρεθεί με χρήση του προγράμματος grid που σας έχει δοθεί το οποίο (αν χρησιμοποιηθεί και για διάφορες διαμέτρους έλικας) παρουσιάζει την ολότητα των «λύσεων πρόωσης» για δεδομένο πλοίο (δηλαδή δεδομένη χαρακτηριστική R V ) και δεδομένη (προεπιλεγμένη) συστηματική σειρά ελίκων. Ιστορικά, πριν την ανάπτυξη των Η/Υ, οι επιστήμονες Ναυπηγοί χρησιμοποιούσαν γραφικές μεθόδους για την λύση του μη-γραμμικού αλγεβρικού συστήματος, στο οποίο ανάγονται τα προβλήματα πρόωσης. Για την διευκόλυνση μάλιστα των επιστημόνων εκείνης της εποχής τα σχετικά προβλήματα είχαν παρουσιαστεί συστηματικά υπό μορφή πινάκων. Για παράδειγμα στην παράγραφο των σημειώσεων που σας έχουν δοθεί, παρουσιάζεται σχετικός πίνακας από το Γερμανικό εγχειρίδιο του W. Henchke, που φέρει την χρονολογία Επιπλέον ορισμένες ομάδες ειδικών προβλημάτων πρόωσης, όπως τα προβλήματα βελτιστοποίησης, είχαν ταξινομηθεί και, οι λύσεις-τους, παρουσιαστεί υπό μορφή διαγραμμάτων ή πολυωνύμων. Το σχετικό θέμα αναπτύσσεται σε έκταση σε εγχειρίδια της διεθνούς βιβλιογραφίας όπως το γνωστό P.N.A. αλλά και σε σειρά δημοσιευμένων εργασιών διαφόρων ερευνητών. Στις σελίδες που ακολουθούν παρουσιάζεται μια σειρά από αντιπροσωπευτικές ασκήσεις πρόωσης, λυμένες τόσο με τo πρόγραμμα «grid» όσο και με την παραδοσιακή (ιστορική) μεθοδολογία που βασίζεται σε γραφική λύση. Είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον (και άξιον προσοχής) ότι οι μεθοδολογίες γραφικής λύσης ανάγονται σχεδόν πάντα στα προβλήματα που περιγράφονται στους πίνακες 10,11 και 1, παράγραφος 4.1, των σημειώσεων του μαθήματος που σας έχουν δοθεί. Συνεπώς, για τη γραφική λύση ενός προβλήματος πρόωσης, αυτό που απαιτείται είναι να «αναγνωρίσει» ο σπουδαστής σε ποιο αντίστοιχο πρόβλημα των πινάκων 10,11 και 1 ανάγεται το υπό επίλυση πρόβλημα. Στις λυμένες ασκήσεις που ακολουθούν χρησιμοποιείται χωριστή αρίθμηση σχέσεων, σχημάτων και πινάκων για κάθε άσκηση. Στην περίπτωση που κάποια άσκηση αναφέρεται σε σχέση, σχήμα ή πίνακα άλλης άσκησης, αυτό δηλώνεται ειδικά. Για παράδειγμα η αναφορά «σχήμα» στην 3 η άσκηση, δηλώνει σχήμα εντός του κειμένου της 3 ης άσκησης. Αντιθέτως η αναφορά «σχήμα - ασκ. 1» δηλώνει αναφορά στο σχήμα της άσκησης 1, κ.λ.π. 3

4 Άσκηση 1 η Διπλέλικο πλοίο μήκους 150 m και βυθίσματος 6.5 m, έχει την ακόλουθη καμπύλη αντίστασης ρυμούλκησης (διορθωμένη για αντίσταση παρελκομένων και ανέμου): V ( kn ) R( kp ) EHP( PS) Το πλοίο είναι εφοδιασμένο με δύο τετράπτερες έλικες της σειράς Β, διαμέτρου D=4m, λόγου βήματος P/D=1.1 και λόγου εκτεταμένης επιφάνειας ΑΕ/Α0 =0.7 (δηλαδή έλικες Β4-70 με P/D=1.1). Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές της έλικας SHP N και V N (N: στροφές έλικας σε rpm, SHP: απαιτούμενη ισχύς κινητήρα σε PS) για την περιοχή των ταχυτήτων του ανωτέρω πίνακα. Να υπολογισθεί το ποσοστό σπηλαίωσης πίσω όψης της έλικας, με χρήση του διαγράμματος Βurrill, για ταχύτητα πλοίου 16 Knot. Το βύθισμα του άξονα της έλικας δίνεται ίσο με h=4.8 m. Δίνονται: t=0., w=0.8, nr=1.0, ns=0.98. Θερμοκρασία ύδατος : 15 0 C. Υπενθυμίζεται: 1Kw=1.341 HP (Αγγλικοί ίπποι), 1Kw=1.359 PS (Μετρικοί ίπποι), 1 knot= m/. Λύση: Παρατηρούμε ότι στο ανωτέρω πρόβλημα δίνεται πλήρως η γεωμετρία της έλικας (P/D=1.1, AE/A0=0.70, z=4), συνεπώς πρόκειται για ένα πρόβλημα συμπεριφοράς της προωστήριας εγκατάστασης (και όχι για πρόβλημα σχεδίασης). Χρήση του προγράμματος «grid»: Θα τρέξουμε το πρόγραμμα «grid» με τα ανωτέρω δεδομένα. Αν και χρειαζόμαστε μόνο την περίπτωση έλικας με P/D=1.1, και συνεπώς θα μπορούσαμε να τρέξουμε το πρόγραμμα μόνο για αυτό το βήμα, θα τρέξουμε το πρόγραμμα για μια περιοχή βημάτων: P/D=0.6, 0.7,,1.4. Βεβαίως για την λύση της συγκεκριμένης άσκησης θα χρησιμοποιηθεί μόνο η «χαρακτηριστική της έλικας» ( SHP n, V n ) που αφορά το P/D= Υπενθυμίζεται ότι: EHP( PS) = V ( m / ) R( kp) / 75 Όταν η θερμοκρασία ύδατος δεν δίνεται μπορούμε να την υποθέτουμε 15 0 C. 4

5 Η γραφική παρουσίαση της λύσης του προγράμματος «grid» για τα δεδομένα της ανωτέρω άσκησης (και για όλα τα P/D) φαίνεται στο σχήμα 1. Τα αποτελέσματα του προγράμματος «grid» σε αριθμητική μορφή φαίνονται στο πίνακα 1. Η ζητούμενη χαρακτηριστική της έλικας SHP n, V n για P/D=1.1 φαίνεται μαρκαρισμένη με χαρακτήρες «bold-italic» στον πίνακα 1. Στα σχήματα, 3 έχουν πλοταριστεί οι χαρακτηριστικές της έλικας SHP n (σχήμα ) και V n(σχήμα 3) με τη βοήθεια του Excel. Για πληρότητα παραθέτουμε και ξεχωριστά (αμέσως μετά) το απόσπασμα του πίνακα 1 που αφορά τις ζητούμενες χαρακτηριστικές της έλικας SHP n V n για P/D=1.1:, P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Σχήμα 1. Γραφική παρουσίαση των αποτελεσμάτων του προγράμματος «grid» για το πλοίο (χαρακτηριστική R-V) της άσκησης 1. 5

6 ******** io - P/D (ισοβηματικές) ******** P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= 1.00 number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Πίνακας 1α. Αποτελέσματα του προγράμματος «grid» (ισοβηματικές) για το πλοίο (χαρακτηριστική R-V της άσκησης 1). 6

7 ******** io - V (ισοταχείς) ******** V (knot)= number of propeller= rpm P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C V (knot)= number of propeller= rpm P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C V (knot)= number of propeller= rpm P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C V (knot)= number of propeller= rpm P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Πίνακας 1β. Αποτελέσματα του προγράμματος «grid» (ισοταχείς) για το πλοίο (χαρακτηριστική R-V της άσκησης 1). 7

8 SHP RPM Σχήμα. Χαρακτηριστική της έλικας SHP n για το πλοίο της άσκησης 1. V(kn) 17,0 16,5 16,0 15,5 15,0 14,5 14,0 13,5 13,0 1,5 1, RPM Σχήμα 3. Χαρακτηριστική της έλικας V n για το πλοίο της άσκησης 1. Γραφική λύση του προβλήματος: Σημείωση: Για την κατανόηση της μεθοδολογίας γραφικής λύσης που ακολουθείται, ο σπουδαστής πρέπει να είναι καλά εξοικειωμένος με τη θεωρία της παραγράφου (13) (σελίδα 65) των σημειώσεων πρόωσης. Γνωρίζουμε την διάμετρο της έλικας D. Αν λοιπόν υποθέσουμε τιμή για την ταχύτητα, τότε η αντίσταση του πλοίου θα είναι γνωστή (από πίνακα R-V που δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης). Συνεπώς το πρόβλημα μας ανάγεται στην περίπτωση α/α 4 πίνακας 10 των σημειώσεων του μαθήματος (σελίδα 68 σημειώσεων). Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται το: 8

9 όπου: 4 kt T/( ρnd) T = = = CV ( ) (1) J ρv D ( V /( nd) ) V = V = V (1 w) (V σε m/, για μετατροπή 1kn=0,514 m/) () a T = R( V ) /{(1 t) nprop}, nprop = (αριθμός ελίκων) (3) S ΠΡΟΣΟΧΗ: Το T στη σχέση (1) αφορά την ώση ανά έλικα. Ακολούθως κατασκευάζουμε τον πίνακα: V (Knot) RV ( ) (Kp) V (m/) V T CV ( ) ,68 4, ,4 0, ,196 5, ,8 0, ,71 5, ,0 0, ,4 5, ,7 0,5188 Πίνακας. a Για κάθε ταχύτητα του πίνακα, ορίζεται μία τιμή της σταθεράς CV ( ), σχέση (1). Ακολούθως χαράσσω τις καμπύλες kt = CV ( ) J στο διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας B4.70, όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Για τη χάραξη χρησιμοποιούνται τα βοηθητικά σημεία όπως φαίνεται στον πίνακα 3. J k C V kn J t = ( = 13 ) kt, V 14 = kn k, V = 15kn k, V = 16kn 0,5 0, ,117 0,148 0, ,6 0, , , , ,7 0,3693 0,3769 0, ,5439 0,8 0, , , , ,9 0, , , ,4071 Πίνακας 3. Βοηθητικά σημεία για χάραξη των καμπυλών k = CV ( ) J t t t Αφού σχεδιαστούν οι καμπύλες kt = CV ( ) J, σχήμα 4, βρίσκονται τα σημεία τομήςτους με την καμπύλη του k t για P/D=1.1. Ακολούθως κινούμαστε κατακόρυφα, όπως φαίνεται στο σχήμα 4, προκειμένου να λάβουμε τα σημεία τομής (των κατακόρυφων γραμμών) με τον άξονα των J και την καμπύλη του k Q για το δεδομένο P/D=1.1. Από την τομή της κατακόρυφου γραμμής με τον άξονα των J διαβάζουμε την τιμή του J για αυτό το P/D. Αντιστοίχως από την τομή της κατακόρυφου γραμμής με την καμπύλη του k διαβάζουμε την τιμή του k για αυτό το P/D. Η διαδικασία αυτή Q Q 9

10 επαναλαμβάνεται τέσσερις φορές, όσες δηλαδή οι ταχύτητες απαιτείται υπολογισμός, σχήμα 4. V για τις οποίες Από την ανωτέρω διαδικασία προκύπτει ο κατωτέρω πίνακας: V (Knot) V (m/) V a J K t k Q η ,68 4,81 0,701 0,31 0,04 0, ,196 5,18 0,695 0,34 0,045 0, ,71 5,55 0,690 0,38 0,0431 0, ,4 5,9 0,680 0,44 0,0437 0,6 Πίνακας 4. Από τους ορισμούς των συντελεστών: V Q0 Q0 J =, kq =, η 5 R = (4) nd ρn D Q συνάγεται ότι: V n = (5) JD Q= kρnd η (6) Q 5 / R DHP = π nq (7) / S SHP = DHP η (8) Συνεπώς συμπληρώνεται ο ακόλουθος πίνακας (Σημείωση: το Τ το γνωρίζουμε από τον πίνακα και το συμπληρώνουμε εδώ βοηθητικά, προκειμένου να χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς σπηλαίωσης. Είναι βεβαίως φανερό ότι αν υπολογίζαμε το Τ μέσω του K στην ίδια τιμή θα καταλήγαμε): t VS(Knot) Ν (rp) T (kp) Q (kp*m) Ν (rpm) DHP(PS) SHP(PS) 13 1, ,4 1985,07 10, ,5 1903,6 14 1, , ,14 111,8 419,3 468,7 15, , ,74 10, ,7 3146,7 16, ,7 1749,43 130, ,5 4045,4 Πίνακας Σημείωση: Για τη μετατροπή της ισχύος από Kp*m/ σε PS : 1PS=75 Kp*m/ Όλα τα χρήσιμα δεδομένα βρίσκονται στην ομώνυμη παράγραφο των σημειώσεων, σελίδα

11 Σχήμα 4. Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70. Οι τέσσερις καμπύλες kt = CV ( ) J για τις τέσσερις τιμές του V και ο γραφικός υπολογισμός των JV ( ) και kq( V ). Προσοχή, τέμνουμε με τις καμπύλες ελεύθερης ροής Kt J της έλικας για P/D=1.1. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα του πίνακα 5 με τα αντίστοιχα του πίνακα 1 (πρόγραμμα grid), φαίνεται ότι υπάρχει μία μικρή απόκλιση μεταξύ των τιμών ισχύος και στροφών που υπολογίστηκαν. Η απόκλιση αυτή δικαιολογείται από το σφάλμα ανάγνωσης των διαγραμμάτων kt, kq J που δεν μπορεί να έχει την ακρίβεια του πολυωνύμου για τα 4 k, k J που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα grid. t Q Για τον υπολογισμό του ποσοστού σπηλαίωσης με το διάγραμμα του Burrill, πρέπει να υπολογιστούν οι ακόλουθοι συντελεστές (βλέπε σελίδες σημειώσεων πρόωσης): 4 Υπενθυμίζετε ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου για τα kt, kq πρόωσης που σας έχουν δοθεί μαζί με κώδικα FORTRAN95 για την υλοποίηση του υπολογισμού. J περιλαμβάνονται στις σημειώσεις 11

12 όπου: σ p p p + ρgh p 0 v a v 0.7R = = (9) q0.7r q0.7r q T/ Ap τ c = (10) q 0.7R 0.7R 1 = ρvr (11) V = V + (0.7 π nd) (1) R A Για την ταχύτητα των 16 knot τα μεγέθη που εμφανίζονται στους ανωτέρω τύπους παίρνουν τις ακόλουθες τιμές: T= 30448,7 kp (ώση της έλικας, πίνακας 5), D=4 m (διάμετρος της έλικας), n=,176 rp (στροφές/ec της έλικας, πίνακας 5), h=4.8 m (απόσταση του άξονα της έλικας από την ελεύθερη επιφάνεια), A D o = π = π = 1.566m (επιφάνεια δίσκου της έλικας), A E A 0 = 0.7 (λόγος εκτεταμένης επιφάνειας έλικας), A A A m E E = o = = (εκτεταμένη επιφάνεια έλικας), A0 ( / ) ( / ) A A P D A P D p D E Ap ( ) = m (προβεβλημένη επιφάνεια της έλικας), pa = Kp m (ατμοσφαιρική πίεση), p 0 = kp v,15 (πίεση ατμοποίησης του ρευστού στους 15 0 C), m ρ = kp 4 (η πυκνότητα του ρευστού στους 15 0 C). m alt _ water,15 Αντικαθιστώντας τις ανωτέρω ποσότητες στις σχέσεις (9-1) λαμβάνομε: V = V + (0.7 π nd) = { V (1 w)} + (0.7 π nd) R A 1

13 m V = { V (1 w)} + (0.7 π nd) = (0.7 π.176 4) = ( ) q R 1 kp = ρv = = m 0.7R R p + ρgh p = = kp/m σ a v p p p + ρgh p v a v 0.7R = = = = q0.7r q0.7r T / Ap / τ c = = = 0.0 q R Τοποθετώντας το σημείο σ0.7r = 0,718 και τc = 0,0 στο διάγραμμα του Burrill (σελίδα 14 σημειώσεων πρόωσης) παρατηρούμε ότι βρίσκεται πολύ κοντά στη καμπύλη του.5% back cavitation. Συνεπώς το ζητούμενο ποσοστό σπηλαίωσης είναι.5%. 3 Άσκηση η Διπλέλικο πλοίο μήκους 150 m και βυθίσματος 6.5 m, έχει την ακόλουθη καμπύλη αντίστασης ρυμούλκησης 5 (διορθωμένη για αντίσταση παρελκομένων και ανέμου): V ( kn ) R( kp ) Αν, για λόγους ανοχών με τη γάστρα, η διάμετρος της κάθε έλικας επιλεγεί να είναι ίση με D=4 m, να υπολογιστεί το βέλτιστο βήμα της (κάθε) έλικας που θα δίνει στο πλοίο ταχύτητα 15 Knot. Ποιες θα είναι οι βέλτιστες στροφές της έλικας για την ταχύτητα αυτή; Αν ο πλοιοκτήτης έχει αποφασίσει να εφοδιάσει το πλοίο με δύο μεσόστροφους κινητήρες (δηλαδή ένας για κάθε έλικα) ονομαστικών στροφών Νnom=500 rpm έκαστος, τι μειωτήρες θα επιλέξετε προκειμένου η εγκατάσταση πρόωσης να λειτουργεί στο 5 Να σημειωθεί ότι στην άσκηση αυτή, καθώς και στις υπόλοιπες που ακολουθούν, χρησιμοποιείται η ίδια χαρακτηριστική R V (δηλαδή το ίδιο πλοίο), η ίδια διάμετρος της έλικας, οι ίδιοι συντελεστές αλληλεπίδρασης έλικας πλοίου και ο ίδιος βαθμός απόδοσης άξονα. Συνεπώς τα αποτελέσματα του σχήματος 1 και του πίνακα 1 της προηγούμενης (1 ης ) άσκησης ισχύουν και στην περίπτωση της άσκησης αυτής. 13

14 βέλτιστο σημείο-της; Ποια ισχύ θα προτείνατε για τους κινητήρες προκειμένου να επιτυγχάνουν την ταχύτητα των 15 knot με περιθώριο ισχύος 15%; Δίνεται ότι η έλικα είναι τύπου B4-70. Δίνεται επίσης ότι: t=0., w=0.8, nr=1.0, ns=0.98. Λύση: Παρατηρούμε ότι στο ανωτέρω πρόβλημα δίνεται η ταχύτητα του πλοίου και ζητείται το βέλτιστο βήμα. Δηλαδή το βήμα για το οποίο πετυχαίνεται η ταχύτητα του πλοίου (15 knot) με την ελάχιστη κατανάλωση ισχύος. Συνεπώς πρόκειται για πρόβλημα βέλτιστης σχεδίασης. Χρήση του προγράμματος «grid»: Στην άσκηση αυτή το πλοίο είναι το ίδιο με αυτό της 1 ης άσκησης (αφού δεν αλλάζουν τα χαρακτηριστικά R-V). Επιπλέον η διάμετρος της έλικας παραμένει η ίδια, καθώς και οι συντελεστές αλληλεπίδρασης έλικας-πλοίου και ο βαθμός απόδοσης άξονα. Συνεπώς η ολότητα των λύσεων περιγράφεται από το σχήμα 1-ασκ.1 και τον πίνακα 1- ασκ.1. Για τον υπολογισμό του βέλτιστου βήματος και των αντιστοίχων (βέλτιστων) στροφών της έλικας ελέγχουμε την ισοταχή για V = 15kn, του σχήματος 1-ασκ. 1. Για ευκολία η ισοταχής παρουσιάζεται στη συνέχεια σε αριθμητική μορφή (copy-pate από πίνακα 1- ασκ. 1): V (knot)= number of propeller= rpm P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Πίνακας 1 Με άμεση παρατήρηση στον πίνακα 1, το σημείο της ισοταχούς που απαιτεί την ελάχιστη ισχύ SHPmin (και συνεπώς έχει τον μέγιστο βαθμό απόδοσης της προωστήριας εγκατάστασης PCmax=0.66) αντιστοιχεί στο P/D =1. Οι αντίστοιχες βέλτιστες στροφές της έλικας είναι Νopt=19.6 rpm. Δεδομένου ότι οι ονομαστικές στροφές του κινητήρα δίδονται ίσες με Νnom=500 rpm, ο λόγος μείωσης του μειωτήρα που θα απαιτηθεί είναι: 500 r g = = 3.858: Προκειμένου ο κινητήρας που θα επιλεγεί να έχει περιθώριο ισχύος 15%, στις μέγιστες στροφές, θα πρέπει να έχει μέγιστη ισχύ: SHPmax=3118.9/0.85= PS. 14

15 Γραφική λύση του προβλήματος: Έχουμε γνωστή την ταχύτητα και (συνεπώς) την αντίσταση του πλοίου. Επομένως το πρόβλημα μας ανάγεται στην περίπτωση α/α 4 του πίνακα 10 των σημειώσεων πρόωσης. Υπολογίζουμε το: όπου: 4 kt T/( ρnd) T = = = CV ( ) (1) J ρv D ( V /( nd) ) V = V = V (1 w) (V σε m/, για μετατροπή 1kn=0,514 m/) () a T = R( V ) /{(1 t) nprop}, nprop = (αριθμός ελίκων) (3) S V (Knot) RV ( ) (Kp) V (m/) V T CV ( ) ,71 5, ,0 0,4971 Πίνακας 1. a Κατόπιν λαμβάνονται τα σημεία της καμπύλης k C V knot J t = ( = 15 ) : J k t 0,0795 0,14 0,1789 0,435 0,3181 0,406 Πίνακας. Χαράζεται η καμπύλη Kt J του πίνακα, στο διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70, σχήμα 1. Ακολούθως τέμνουμε την kt = C( V = 15 kn) J με τις καμπύλες ελεύθερης ροής Kt J της έλικας για τα διάφορα P/D στην περιοχή P/D=0.5 έως 1.4. Για κάθε σημείο τομής (δηλαδή κάθε P/D) βρίσκεται το J και οι αντίστοιχες τιμές του k Q και του η 0. 15

16 . Σχήμα 1. Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70. Η καμπύλη k = C( V = 15 kn) J και ο γραφικός υπολογισμός των J( P/ D ) και k ( P/ D ). t Tέμνουμε με τις καμπύλες ελεύθερης ροής k C V kn J Kt J της έλικας με την t = ( = 15 ) για διάφορα P/D στην περιοχή 0.5 έως 1.4. Q Από το σχήμα 1 παρατηρούμε ότι ο μέγιστος βαθμός απόδοσης 6 ελεύθερης ροής της έλικας εμφανίζεται για P/D=1.0. Οι υπόλοιποι αδιάστατοι συντελεστές παίρνουν τις τιμές (διαβάζονται από το σχήμα 1): J=0.655, kt=0.08, kq= Με τα Jk, Q γνωστά τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται από τις σχέσεις: EHP 6 Υπενθυμίζεται η σχέση (σελίδα 84 σημειώσεων πρόωσης): PC.. = H 0 R SHP = η ηηη. Συνεπώς όταν οι συντελεστές αλληλεπίδρασης έλικας-πλοίου και ο βαθμός απόδοσης άξονα είναι σταθεροί (ανεξάρτητοι της ταχύτητας), όπως στην προκειμένη περίπτωση, τότε μεγιστοποίηση του βαθμού απόδοσης ελεύθερης ροής της έλικας η 0 ισοδυναμεί με μεγιστοποίηση του PC.. Στην περίπτωση μας η ταχύτητα του πλοίου είναι δεδομένη (15 knot). Συνεπώς η EHP είναι σταθερή. Άρα μεγιστοποίηση του PC.. συνεπάγεται ελαχιστοποίηση του SHP. 16

17 V (1 0.8) n = = =.16rp n =.16 60rpm = 19.6rpm JD Q = kqρn D / ηr = = kp m kp DHP = πnq = π = m 941 DHP = = PS SHP = DHP / ηs = = PS 0.98 Δεδομένου ότι οι ονομαστικές στροφές του κινητήρα δίδονται ίσες με Νnom=500rpm, ο λόγος μείωσης του μειωτήρα που θα απαιτηθεί είναι: 500 r g = = 3.858: Προκειμένου ο κινητήρας που θα επιλεγεί να έχει περιθώριο ισχύος 15% στις μέγιστες στροφές, θα πρέπει να έχει μέγιστη ισχύ: SHPmax=311.37/0.85=367. PS. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα του προγράμματος grid με τα ανωτέρω (γραφική λύση), φαίνεται ότι υπάρχει μικρή απόκλιση μεταξύ των τιμών ισχύος του προγράμματος grid και αυτών που υπολογίστηκαν με τη γραφική λύση. Η απόκλιση αυτή δικαιολογείται από το σφάλμα ανάγνωσης των διαγραμμάτων kt, kq J που δεν μπορεί να έχει την ακρίβεια του πολυωνύμου για k, k J που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα grid. t Q 4 Άσκηση 3 η Διπλέλικο πλοίο μήκους 150 m και βυθίσματος 6.5 m, έχει την ακόλουθη καμπύλη αντίστασης ρυμούλκησης (διορθωμένη για αντίσταση παρελκομένων και ανέμου): V ( kn ) R( kp ) Αν ο πλοιοκτήτης έχει αποφασίσει να εφοδιάσει το πλοίο με μεσόστροφους κινητήρες ονομαστικών στροφών Νnom=500 rpm και μειωτήρες με λόγο μείωσης rg=3.:1, να υπολογιστεί η διάμετρος και το αντίστοιχο βήμα της (κάθε) έλικας που θα δίνει στο πλοίο ταχύτητα 16 knot, δαπανώντας την ελάχιστη δυνατή ισχύ. Δίνεται ότι η έλικα είναι τύπου B4-70. Δίνεται επίσης ότι: t=0., w=0.8, nr=1.0, ns=

18 Λύση: Παρατηρούμε ότι στο ανωτέρω πρόβλημα δίνεται η ταχύτητα του πλοίου, καθώς και οι στροφές της έλικας (αφού δίνονται οι στροφές της μηχανής και ο λόγος μείωσης) και ζητείται η βέλτιστη διάμετρος και το αντίστοιχο βέλτιστο βήμα της έλικας, ώστε να επιτυγχάνεται ελάχιστη ισχύς. Συνεπώς πρόκειται για πρόβλημα βέλτιστης σχεδίασης. Χρήση του προγράμματος Η/Υ: Για την λύση της άσκησης αυτής με πρόγραμμα Η/Υ απαιτείται η δημιουργία παραλλαγής του κώδικα «grid», έτσι που να λύνει την μη γραμμική εξίσωση: V(1 w) P A R ( V) ρndk(,,, z) = + F nd D A t 4 E 0 T 0 1 ως προς D, για κάθε δεδομένο n. Η ανωτέρω εξίσωση παράγεται άμεσα από τις σχέσεις (144) και (146) των σημειώσεων πρόωσης που σας έχουν δοθεί. Να σημειωθεί ότι το πρόγραμμά «grid» (που σας έχει δοθεί) λύνει την ανωτέρω εξίσωση ως προς n για κάθε D. Ο ενδιαφερόμενος σπουδαστής θα μπορούσε να ασχοληθεί με την τροποποίηση του κώδικα «grid» ώστε να λύνει το πρόβλημα υπολογισμού του D, για κάθε δεδομένο n. Στο σχήμα 1 δίνονται με γραφικό τρόπο τα αποτελέσματα ενός τέτοιου κώδικα για Ν=156.rpm της άσκησής-μας. Στον πίνακα 1 δίνονται τα ίδια αποτελέσματα σε αριθμητική μορφή. Συγκρίνοντας το σχήμα 1 κατωτέρω με το αντίστοιχο σχήμα 1 της άσκησης 1, παρατηρούμε ότι οι «ισοβηματικές» και οι «ισοταχείς» καμπύλες έχουν την ίδια μορφολογία, παρόλο που στο σχήμα 1 κατωτέρω ο οριζόντιος άξονας έχει σαν μεταβλητή την διάμετρο της έλικας και όχι τις στροφές όπως το σχήμα 1 της 1 ης άσκησης. Από τα αποτελέσματα αυτά παρατηρούμε πως, στην ταχύτητα των 16 Kn, η ελάχιστη ισχύς που απαιτείται είναι περίπου 4000 PS και επιτυγχάνεται αν επιλέξουμε έλικα διαμέτρου D=4.138m και λόγου βήματος P/D=

19 Σχήμα 1. Γραφική παρουσίαση των αποτελεσμάτων ισοταχών ισοβηματικών υπο σταθερές στροφές για το πλοίο (χαρακτηριστική R-V). Βλέπουμε, πως η ελάχιστη ισχύς στους 16 Kn επιτυγχάνεται για P/D=0.8 και D=4.138m 19

20 ******** io - P/D ******** P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= 1.00 number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C P/D= number of propeller= diam V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Πίνακας 1α. Πλέγμα «ισοβηματικών» καμπυλών υπό σταθερές στροφές για το πλοίο μας (χαρακτηριστική R-V). 0

21 ******** io - V (or io - pull) ******** V (knot)= number of propeller= diam P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C V (knot)= number of propeller= diam P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C V (knot)= number of propeller= diam P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C V (knot)= number of propeller= diam P/D T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Πίνακας 1β. Πλέγμα «ισοταχών» καμπυλών υπό σταθερές στροφές για το πλοίο μας (χαρακτηριστική R-V). 1

22 Γραφική λύση του προβλήματος: Έχουμε γνωστή την ταχύτητα (=16 Kn) και (συνεπώς) την αντίσταση. Επομένως το πρόβλημα μας ανάγεται στην περίπτωση α/α 4 του πίνακα 11 των σημειώσεων πρόωσης. Υπολογίζουμε το: όπου: n=500/3.=156.5rpm=.6rp 4 kt T /( ρn D ) Tn = = = CV ( ) (1) J ρv ( V /( nd) ) V = V = V (1 w) (V σε m/, για μετατροπή 1kn=0,514 m/) () a T = R( V ) /{(1 t) nprop}, nprop = (αριθμός ελίκων) (3) S Η αντίσταση διαιρείται με, για να βρεθεί το κομμάτι που αντιστοιχεί στην κάθε έλικα. VS(Knot) Re (Kp) VS(m/) Va T n C ,4 5, ,7,6 1,60059 Πίνακας. Κατόπιν λαμβάνονται τα σημεία της καμπύλης k CV J 4 t = ( ) : J k t 0,0409 0,1000 0,074 0,3843 0,6556 1,0501 Πίνακας 3. Χαράζεται η καμπύλη Kt J του πίνακα 3, στο διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70, σχήμα. Ακολούθως τέμνουμε με τις καμπύλες ελεύθερης ροής Kt J της 4 έλικας με την kt = C( V = 16 kn) J, για τα διάφορα P/D στην περιοχή 0.5 έως 1.4. Για κάθε σημείο τομής (δηλαδή κάθε P/D) βρίσκεται το J και οι αντίστοιχες τιμές του k Q και του η 0.

23 Σχήμα. Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70. Η καμπύλη : kt=c J 4 και ο γραφικός υπολογισμός των J( P/ D ) και k ( P/ D ). Προσοχή, τέμνουμε με τις καμπύλες ελεύθερης ροής Kt Q J της έλικας με την k C V kn J P/D στην περιοχή 0.5 έως t = ( = 16 ), για διάφορα Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ο μέγιστος βαθμός απόδοσης ελεύθερης ροής της έλικας εμφανίζεται για P/D=0.8. Οι υπόλοιποι αδιάστατοι συντελεστές παίρνουν τις τιμές (διαβάζονται από το σχήμα ): J=0.55, kt=0.145, kq=0.01. Με τα Jk, Q γνωστά τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται από τις σχέσεις: J = V /( nd) D = V /( nj ) = 4.16m P/ D= 0.8 P= 3.3m Q = kqρn D / ηr = = 1760kp m 1.0 DHP = πnq = π = kp m / ή DHP = / 75 = PS 3

24 3837 SHP = DHP / ηs = = PS 0.98 Η διαφορά μεταξύ της ανωτέρω τιμής της SHP και αυτής του πίνακα 1 (3999PS) οφείλεται στο λάθος που εισάγεται από τη γραφική λύση. 5 Άσκηση 4 η Διπλέλικο πλοίο μήκους 150 m και βυθίσματος 6.5 m, έχει την ακόλουθη καμπύλη αντίστασης ρυμούλκησης (διορθωμένη για αντίσταση παρελκομένων και ανέμου): V ( kn ) R( kp ) EHP( PS ) Αν ο πλοιοκτήτης έχει αποφασίσει να εφοδιάσει το πλοίο με δύο μεσόστροφους κινητήρες ονομαστικής ισχύος 4000 PS στις 500 rpm, να υπολογιστούν οι βέλτιστες στροφές της έλικας και το αντίστοιχο (βέλτιστο) βήμα της (κάθε) έλικας που θα δίνει στο πλοίο μέγιστη ταχύτητα. Ποια θα είναι η μέγιστη ταχύτητα που θα πηγαίνει το πλοίο και ποιος ο κατάλληλος μειωτήρας; Δίνεται ότι η έλικα είναι τύπου B4-70 με διάμετρο D=4m. Δίνεται επίσης ότι: t=0., w=0.8, nr=1.0, ns=0.98. Λύση: Παρατηρούμε ότι στο ανωτέρω πρόβλημα δίνεται η αντίσταση συναρτήσει της ταχύτητας του πλοίου, καθώς και η ισχύς του κινητήρα και ζητείται το βέλτιστο βήμα και οι αντίστοιχες στροφές, ώστε να επιτυγχάνεται η μέγιστη δυνατή ταχύτητα. Συνεπώς πρόκειται για πρόβλημα βέλτιστης σχεδίασης έλικας με δεδομένη ισχύ. Χρήση του προγράμματος «grid»: Στην άσκηση αυτή το πλοίο είναι το ίδιο με αυτό της 1 ης άσκησης (αφού δεν αλλάζουν τα χαρακτηριστικά R-V). Επί πλέον οι συντελεστές αλληλεπίδρασης έλικας-πλοίου και ο βαθμός απόδοσης άξονα είναι οι ίδιοι με αυτούς της 1 ης άσκησης. Συνεπώς η ολότητα των λύσεων του προβλήματος περιγράφεται από το σχήμα 1 και τον πίνακα 1 της 1 ης άσκησης. Για πληρότητα παραθέτουμε στη συνέχεια το σχήμα 1 της 1 ης άσκησης. Για την λύση του παρόντος προβλήματος χαράσσουμε στο σχήμα 1 οριζόντια γραμμή που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στη θέση SHP=4000 PS. Η γραμμή αυτή είναι εφαπτομένη (κατά προσέγγιση) στην ισοταχή V = 16kn, στο σημείο P/ D= 0.95, 4

25 P N = 145rpm. Συνεπώς το βέλτιστο βήμα είναι: = 0.95 και οι αντίστοιχες στροφές D είναι N = 145rpm. Στο σημείο αυτό να σημειωθεί ότι, αν θέλουμε μεγαλύτερη opt ακρίβεια στα αποτελέσματα-μας, μπορούμε να «τρέξουμε» το πρόγραμμα «grid» με μεγαλύτερη πυκνότητα των ισοβηματικών γύρω από το σημείο P/ D= 0.95, n = 145rpm. Τα γραφικά αποτελέσματα ενός τέτοιου «τρεξίματος» φαίνονται στο σχήμα. Από το λεπτομερέστερο «τρέξιμο φαίνεται ότι τελικά η ταχύτητα-μας για την ισχύ αυτή θα είναι λίγο μεγαλύτερη των 16 Kn, χωρίς αλλαγή του βέλτιστου βήματος και των αντιστοίχων στροφών. opt Σχήμα 1. Γραφική παρουσίαση των αποτελεσμάτων του προγράμματος «grid» για το πλοίο (χαρακτηριστική R-V). 5

26 Σχήμα. Γραφική παρουσίαση των αποτελεσμάτων του προγράμματος «grid» για το πλοίο Πύκνωση ισοβηματικών στην περιοχή του βέλτιστου. Γραφική λύση του προβλήματος: Για την γραφική λύση του προβλήματος, υποθέτουμε τιμές για την ταχύτητα και υπολογίζουμε την ελάχιστη ισχύ κάθε φορά. Σημειώσατε ότι το πρόβλημα υπολογισμού της ελάχιστης ισχύος για δεδομένη ταχύτητα έχει επιλυθεί στην η άσκηση. Αν για δύο διαδοχικές ταχύτητες V 1 και V οι αντίστοιχες ελάχιστες ισχύς είναι SHPmin ( V 1) και SHPmin ( V ), τότε μία νέα τιμή V για ταχύτητα, μπορεί να υπολογιστεί με γραμμική παρεμβολή, ως ακολούθως: V V SHP min_ given SHPmin ( V ) = V V SHP ( V ) SHP ( V ) 1 min 1 min όπου στην περίπτωση της άσκησης: SHPmin_ = 4000PS. given 6

27 Υποθέτοντας λοιπόν μία αρχική τιμή για την ταχύτητα 7 το πρόβλημα μας ανάγεται στην περίπτωση α/α 4 του πίνακα 10 των σημειώσεων. Εργαζόμενοι όπως στην άσκηση, υπολογίζουμε το: 4 kt T/( ρnd) T J = = = CV ( ) ρv D ( V /( nd) ) όπου: V = V = V (1 w) (V σε m/, για μετατροπή 1kn=0,514 m/) a T = R( V ) /{(1 t) nprop}, nprop = (αριθμός ελίκων) S VS(Knot) Re (Kp) VS(m/) Va T C ,71 5, ,0 0, ,4 5, ,7 0,5188 Πίνακας 1. Κατόπιν λαμβάνονται τα σημεία των καμπυλών: J Kt(15kn) Kt(16kn) 0,5 0,148 0, ,6 0, , ,7 0, ,5439 0,8 0, , ,9 0, ,4073 Πίνακας Χαράζονται οι καμπύλες Kt J του πίνακα, στο διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70, σχήμα 3. Ακολούθως τέμνουμε την καμπύλη kt = C( V = 15 kn) J με τις καμπύλες ελεύθερης ροής Kt J της έλικας για τα διάφορα P/D, στην περιοχή 0.5 έως 1.4. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για την kt = C( V = 16 kn) J. Για κάθε σημείο τομής (δηλαδή κάθε P/D) βρίσκεται το J και οι αντίστοιχες τιμές του k Q και του η 0. 7 Για την εκτίμηση των ταχυτήτων εκκίνησης V1, V μπορούμε να εργαστούμε ως ακολούθως. Υποθέτουμε ότι μια εκτίμηση του «συντελεστή πρόωσης» είναι της τάξης του PC = Με την εκτίμηση αυτή η αναμενόμενη ισχύς ρυμούλκησης θα είναι EHP = nprop SHP PC EHP = = 4800PS (η ισχύς του κινητήρα δίδεται στην εκφώνηση ίση με 4000PS). Συγκρίνοντας με τις τιμές της EHP στον πίνακα της εκφώνησης της άσκησης, παρατηρούμε ότι οι ταχύτητες που πρέπει να επιλεγούν είναι μεταξύ των 15 και 16 knot. Συνεπώς επιλέγω V = 15 kn, V = 14kn 1 7

28 Σχήμα 3. Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70. Η καμπύλη : kt=c J και ο γραφικός υπολογισμός των J( P/ D ) και k ( P/ D ). Τέμνουμε την καμπύλη kt = C( V = 15 kn) J με τις καμπύλες ελεύθερης ροής Kt J της έλικας για τα διάφορα P/D στην περιοχή 0.5 έως 1.4. Q Παρατηρούμε πως η μέγιστη απόδοση επιτυγχάνεται στην περιοχή μεταξύ P/D=0.9 και P/D=1. Για την ευκολία της γραφικής λύσης επιλέγω P/D=1. Τότε: Για V=16kn: J=0.635, kt=0.09, kq= (1 0.8) J = V /( nd) n = V /( DJ ) = =.333 = rpm Q = kqρn D / ηr = = kp m 1.0 DHP = πnq = π = 9378 kp m / ή 8

29 DHP = 9378/ 75 = PS 3910 SHP = DHP / ηs = = 3990PS 0.98 Για V=15kn: J=0.63, kt=0.11, kq= n = = rpm SHP = 3405PS Οπότε: V V SHP SHP ( V ) SHP SHP ( V ) = V = V ( V V ) V V SHP ( V ) SHP ( V ) SHP ( V ) SHP ( V ) min_ given min min_ given min 1 1 min 1 min min 1 min V = 15 + (16 15) V = knot Δηλαδή η ζητούμενη μέγιστη ταχύτητα για την ισχύ των 4000PS θα είναι knot. Οι βέλτιστες στροφές μπορούν επίσης να υπολογιστούν με γραμμική παρεμβολή ως ακολούθως: n n SHP SHP ( V ) SHP SHP ( V ) = n= n ( n n ) n n SHP ( V ) SHP ( V ) SHP ( V ) SHP ( V ) min_ given min min_ given min 1 1 min 1 min min 1 min n = ( ) n = rpm Ο επιθυμητός λόγος μείωσης θα είναι συνεπώς: r g = = 3.568:

30 6 Άσκηση 5 η Διπλέλικο πλοίο μήκους 150 m και βυθίσματος 6.5 m, έχει την ακόλουθη καμπύλη αντίστασης ρυμούλκησης (διορθωμένη για αντίσταση παρελκομένων και ανέμου): V ( kn ) R( kp ) Ο πλοιοκτήτης έχει αποφασίσει να εφοδιάσει το πλοίο με δύο μεσόστροφους κινητήρες ονομαστικής ισχύος 4000 PS στις 500 rpm και με μειωτήρα με λόγο μείωσης rg=.9:1. Το πλοίο είναι εφοδιασμένο με έλικες Β4-70, διαμέτρου D=4. m και λόγου βήματος P/D=1.1 Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα που θα πάει το πλοίο με την ανωτέρω μηχανολογική εγκατάσταση. Δίνονται: t=0., w=0.8, nr=1.0, ns=0.98. Δίνεται επίσης ότι για στροφές μικρότερες των μεγίστων, το όριο επιτρεπόμενης λειτουργίας του κινητήρα χαρακτηρίζεται από σταθερή ροπή στον άξονά-του. Λύση: Παρατηρούμε ότι στο ανωτέρω πρόβλημα δίνεται πλήρως η γεωμετρία της έλικας ( P/ D= 1.1, AE / A0 = 0.70, z = 4), συνεπώς πρόκειται για ένα πρόβλημα συμπεριφοράς της προωστήριας εγκατάστασης (και όχι για πρόβλημα σχεδίασης). Μία έκφραση που μπερδεύει συνήθως τους σπουδαστές είναι το ότι στην εκφώνηση της άσκησης «ζητείται η μέγιστη ταχύτητα», γεγονός που συνήθως παραπέμπει σε πρόβλημα βελτιστοποίησης. Στην συγκεκριμένη όμως περίπτωση η γεωμετρία της έλικας έιναι πλήρως γνωστή και άρα δεν τίθεται θέμα βελτιστοποίησης. Η αναζήτηση της μέγιστης ταχύτητας, με δεδομένη την γεωμετρία της έλικας, παραπέμπει στην εξάντληση της διατιθέμενης ισχύος του κινητήρα. Με άλλα λόγια η έλικα θα πρέπει να λειτουργεί στο σημείο τομής της χαρακτηριστικής-της με το όριο λειτουργίας του κινητήρα. Με τις ανωτέρω διευκρινήσεις υπόψη, αυτό που χρειάζεται να βρούμε στην συγκεκριμένη άσκηση είναι η τομή της χαρακτηριστικής της έλικας SHP N με την χαρακτηριστική της μηχανής (η οποία στο διάγραμμα SHP N είναι ευθεία γραμμή με γνωστά τα σημεία 0,0 και 500/.9,4000 ). Χρήση του προγράμματος «grid»: Η γραφική παρουσίαση της λύσης του προγράμματος «grid» για τα δεδομένα της ανωτέρω άσκησης (και για όλα τα P/D) φαίνεται στο σχήμα 1-1 η άσκηση. Τα αποτελέσματα του προγράμματος «grid» σε αριθμητική μορφή φαίνονται στο πίνακα 1 1 η άσκηση. 30

31 Η χαρακτηριστική της έλικας SHP n, V n για P/D=1.1 δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα (απόσπασμα του πίνακα 1 1 ης άσκησης): P/D= number of propeller= rpm V (knot) T (kp) Q (kp*m) DHP (PS) SHP (PS) P.C Ακολούθως υπερθέτουμε στο σχήμα 1 της άσκησης 1 την χαρακτηριστική του ορίου λειτουργίας του κινητήρα. Προκύπτει έτσι το κατωτέρω σχήμα 1. Υπενθυμίζεται ότι, σύμφωνα με την εκφώνηση, η χαρακτηριστική αυτή είναι ευθεία γραμμή δια των σημείων (0,0) και (500/.9,4000). Σχήμα 1. Γραφική παρουσίαση των αποτελεσμάτων του προγράμματος «grid» για το πλοίο (χαρακτηριστική R-V) της άσκησης 5 μαζί με το όριο λειτουργίας του κινητήρα, για τον συγκεκριμένο μειωτήρα. Είναι τώρα εμφανές, σχήμα 1, ότι η χαρακτηριστική της έλικας με P/D=1.1 τέμνει το όριο λειτουργίας του κινητήρα στο σημείο: n = 115 rpm, SHP = 700PS. Το σημείο αυτό είναι αριστερά του σημείου των μεγίστων στροφών του κινητήρα. Συνεπώς η έλικα είναι «βαριά» για τον κινητήρα. Η αντίστοιχη ταχύτητα που θα πάει το πλοίο 31

32 είναι περίπου 14.3knot. Για λεπτομερέστερη συζήτηση του συγκεκριμένου θέματος παραπέμπουμε στην παράγραφο 3 (σελίδα 10) των σημειώσεων πρόωσης. Από το σχήμα 1 παρατηρούμε επίσης ότι υπάρχει μόνο ένα συγκεκριμένο βήμα έλικας ( P/ D 0.71) για το οποίο απορροφάται ολόκληρη η ισχύς του κινητήρα στις μέγιστες στροφές. Επίσης για βήμα έλικας <0.71 δεν απορροφάται (από την έλικα) η μέγιστη ισχύς του κινητήρα. Δηλαδή έλικες με P/ D< 0.71 εργάζονται με «περιθώριο ισχύος» (παράγραφο 3 των σημειώσεων πρόωσης). Γραφική λύση του προβλήματος: 1 η μέθοδος: Δεδομένου ότι γνωρίζω πλήρως τη γεωμετρία της έλικας, έχω ένα πρόβλημα συμπεριφοράς. Την γραφική λύση του προβλήματος αυτού την είδαμε στην άσκηση 1. Μπορώ λοιπόν να λύσω την παρούσα άσκηση υπολογίζοντας την χαρακτηριστική της έλικας και υπερθέτοντας-την στην χαρακτηριστική του ορίου λειτουργίας του κινητήρα κ.λ.π.. η μέθοδος: Η γραφική λύση των προβλημάτων πρόωσης δεν είναι μονοσήμαντη. Συνήθως υπάρχουν περισσότερες της μίας γραφικές επιλύσεις, με μία από αυτές να υπερτερεί ως προς την ελαχιστοποίηση των αριθμητικών υπολογισμών που απαιτεί. Για να γίνει αυτό κατανοητό θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια μία εναλλακτική μεθοδολογία υπολογισμού του σημείου τομής της χαρακτηριστικής της έλικας με το όριο του κινητήρα. Γενικώς το όριο του κινητήρα της άσκησής-μας χαρακτηρίζεται από δύο περιοχές. Στην πρώτη περιοχή (αριστερά των μεγίστων στροφών) η ροπή του κινητήρα είναι σταθερή και γνωστή: DHP π nq SHPn SHP = = Q = = ( kp m) n n π n 500 και οι στροφές είναι N = rpm. Στην δεύτερη περιοχή οι στροφές είναι.9 μέγιστες N = 17.41rpm αλλά η ροπή που απορροφά η έλικα μπορεί να λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή μικρότερη ή ίση από τη μέγιστη, δηλαδή: Q ( kp m) Στην γενική περίπτωση δεν γνωρίζουμε αν η χαρακτηριστική της έλικας θα τμήση το όριο του κινητήρα σε στροφές μικρότερες από τις μέγιστες (βαριά έλικα) ή στις μέγιστες με ροπή μικρότερη ή ίση της μέγιστης. Έτσι πρέπει να λυθούν δύο προβλήματα. Το ένα με δεδομένη ροπή και στροφές στο 500 διάστημα που χαρακτηρίζεται από την ανισότητα: N = rpm και το δεύτερο.9 με δεδομένες στροφές και ροπή σε διάστημα που χαρακτηρίζεται από την ανισότητα: Q ( kp m). Διαδικαστικά μπορεί να ξεκινήσουμε από τη λύση του 1 ου προβλήματος και αν το πρόβλημα δεν έχει λύση (δηλαδή δεν υπάρχει τομή των 3

33 καμπυλών) τότε προχωρούμε στη λύση του ου προβλήματος. Ακολούθως παρουσιάζονται οι λύσεις των υπόψη προβλημάτων. 500 (α) Πρόβλημα με δεδομένη ροπή και N = rpm :.9 Αν υποθέσουμε τιμές για τις στροφές N 17.41rpm, τότε με γνωστή τη (σταθερή) ηrq ροπή υπολογίζεται ο συντελεστής kq = για κάθε τιμή των στροφών. 5 ρnd Συμπληρώνεται έτσι ο ακόλουθος πίνακας: N( rpm ) n( rp ) Q( kp m) k Q 17,413, ,7 0, ,17, ,7 0, ,931, ,7 0,093 10,689, ,7 0, ,448 1, ,7 0,051 Πίνακας 1. Σχήμα. Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β4.70. Βρίσκοντας πού είναι το κάθε kq στην καμπύλη για το P/D=1.1 έχουμε και από ένα J και kt 33

34 Χαράσσουμε ακολούθως, στο διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας, οριζόντιες γραμμές για τις τιμές του k 8 Q της τελευταίας στήλης του πίνακα 1. Οι οριζόντιες αυτές γραμμές ορίζουν, επί της καμπύλης του k Q της έλικας με P/D=1.1, ισάριθμα σημεία, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από τα σημεία αυτά φέρω κατακόρυφες γραμμές, που ορίζουν ισάριθμο αριθμό σημείων στον άξονα των J και στην καμπύλη του k T (για το δεδομένο P/D=1.1), όπως κατασκευαστικά φαίνεται στο σχήμα. Ορίζεται έτσι ένα ζεύγος τιμών Jk για κάθε γραμμή του πίνακα 1. Από τα γνωστά Jk υπολογίζω:, T V JnD = = = nd 1 w V = V a= V (1 w ) J V JnD V T 4 T = R ( V S )/{(1 t ) } 4 k nprop T = T = k ( ) (1 ) 4 Tρn D R VS = ktρn D t nprop ρnd, T Σχηματίζεται έτσι ο παρακάτω πίνακας: N( rpm ) k Q J k T V( m/ ) R( kp ) V ( kn ) 17,413 0,0187 1,015 0,07 16, ,7 31,5 155,17 0,031 0,954 0,099 13, ,01 6,66 137,931 0,093 0,89 0,136 11, ,05,11 10,689 0,0383 0,78 0,193 8, ,66 16,95 103,448 0,051 0,578 0,85 5, ,75 10,77 Πίνακας Ο πίνακας ορίζει μια χαρακτηριστική R V που προέκυψε αποκλειστικά από το διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας, δηλαδή χωρίς να έχει ληφθεί υπόψη η χαρακτηριστική R V που δίνεται στην εκφώνηση. Η ζητούμενη λύση θα προκύψει από την τομή των δύο χαρακτηριστικών όπως φαίνεται στο σχήμα 3. 8 Προσέξτε ότι στα διαγράμματα ελεύθερης ροής της σειράς B, στον κατακόρυφο άξονα υπάρχει το 10k Q 34

35 R(kp) R (prop) R (hip) V (knot) Σχήμα 3. Παρατηρούμε ότι η μέγιστη ταχύτητα του πλοίου (βρισκόμαστε στο όριο λειτουργίας του κινητήρα) είναι λίγο μεγαλύτερη από τους 14 κόμβους. Γνωρίζοντας την ταχύτητα, οι στροφές της μηχανής μπορεί να βρεθούν με γραμμική παρεμβολή στον πίνακα. Στην περίπτωση που δεν τέμνονται οι δυο καμπύλες τότε πρέπει να προχωρήσουμε στη λύση του προβλήματος (β), δηλαδή δεδομένες στροφές N = 17.41rpm και ροπή σε διάστημα που χαρακτηρίζεται από την ανισότητα: Q ( kp m). Η επίλυση αυτού του προβλήματος είναι ακριβώς ίδια με την ανωτέρω με μόνη διαφορά ότι ο πίνακας 1 παίρνει την κατωτέρω μορφή: Q( kp m) N( rpm ) n( rp ) k Q 1691,7 17,413,874 0, ,5 17,413,874 0, ,4 17,413,874 0, , 17,413,874 0, ,0 17,413,874 0,0113 Πίνακας 1. 35

36 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 7 Άλυτη άσκηση 6 η Να λυθεί με την γραφική μέθοδο η 5 η άσκηση, αν ο λόγος βήματος της έλικας του πλοίου είναι P/D=0.6 (αντί του P/D=1.1). 8 Άλυτη άσκηση 7η Διπλέλικο ρυμουλκό σκάφος μήκους m και βυθίσματος 3.5 m, έχει την ακόλουθη καμπύλη αντίστασης ρυμούλκησης (διορθωμένη για αντίσταση παρελκομένων και ανέμου): V ( kn ) EHP( PS ) R( kp ) 6,06 3,3 559, 6,9 36,46 767,7 7,79 53, ,9 8,65 87,9 1480,8 9,5 19,47 198,9 10,39 31,77 353,9 11,5 49, ,8 1,1 817, ,5 1, , Ο πλοιοκτήτης έχει αποφασίσει να εφοδιάσει το ρυμουλκό με έλικες B4.70, διαμέτρου D=. m και με κύριες μηχανές ονομαστικών στροφών Νnom=1800 rpm. Ζητείται η επιλογή του «καταλληλότερου» βήματος της έλικας προκειμένου το σκάφος να επιτυγχάνει ταχύτητα ελεύθερης πλεύσης τουλάχιστον 11 kn και δύναμη στατικής έλξης τουλάχιστον tn. Αν το ζητούμενο περιθώριο ισχύος από τον πλοιοκτήτη είναι μηδενικό για την περίπτωση στατικής έλξης και 15% για την ελεύθερη πλεύση ποια θα είναι η απαιτούμενη ισχύς του κινητήρα και ποιος ο κατάλληλος μειωτήρας με την έλικα που επιλέξατε; Δίνονται: t=0.1, w=0.0, nr=1.01, ns=0.98 ανεξάρτητα της ταχύτητας και της κατάστασης έλξης. Υπόδειξη: Λύστε δύο ανεξάρτητα προβλήματα βελτιστοποίησης. Το πρώτο για στατική έλξη tn (ελάχιστη ισχύς) και το δεύτερο για ελεύθερη πλεύση με ταχύτητα 11kn (ελάχιστη ισχύς). Επιλέξτε βήμα έλικας μεταξύ των βέλτιστων βημάτων των δύο καταστάσεων. Με δεδομένη πλέον έλικα υπολογίστε τις απαιτήσεις σε ισχύ και στροφές για να επιτευχθούν οι στόχοι (11kn, tn) κ.λ.π. 36

37 9 Διάγραμμα ελεύθερης ροής της έλικας Β