Παθητικά Φίλτρα. Κεφάλαιο ίθυρα κυκλώµατα

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Παθητικά Φίλτρα Από το 95 που οι Wagner και Campbell διατύπωσαν και παρουσίασαν την θεωρία των κυµατικών φίλτρων, η θεωρία και οι µέθοδοι σχεδίασης των παθητικών φίλτρων εξελίχτηκαν ραγδαία, µε αποτέλεσµα την δηµιουργία νέων αποτελεσµατικών µεθόδων σχεδίασης, οι οποίες αντικατέστησαν βαθµιαία την κλασσική θεωρία των αντιστάσεων ειδώλου του Zobel, που σε τελευταία ανάλυση και δυσνόητη ήταν και τα αποτελέσµατά της δεν ήταν ικανοποιητικά, ιδίως σε περιπτώσεις σχεδίασης φίλτρων υψηλής ακρίβειας. Γιά την σχεδίαση παθητικών φίλτρων χρησιµοποιείται σήµερα σχεδόν κατ αποκλειστικότητα η µέθοδος των ενεργών παραµέτρων (ή ακριβής µέθοδος ή πολυωνυµική µέθοδος) στην διαµόρφωση της οποίας έχουν συµβάλει, µεταξύ άλλων, και οι Norton, Bennett, Cauer, Guillemin, Darlington και Piloty. Η µέθοδος θεωρεί ότι ένα παθητικό δίθυρο κύκλωµα LC (το φίλτρο) παρεµβάλλεται µεταξύ πηγής και φορτίου εισάγοντας µια εξασθένηση παρεµβολής, που εξαρτάται από την συχνότητα. Το φίλτρο µε τις αντιστάσεις της πηγής µε αντίσταση και του φορτίου, θεωρείται ως µια ολότητα, η οποία προκειµένου να ικανοποιεί τις προδιαγραφές, το παραµβαλλόµενο δίθυρο LC πρέπει να έχει καθορισµένες παραµέτρους που υπολογίζονται από τις προδιαγραφές. Την παραπάνω µεθοδολογία θα αναπτύξουµε στα επόµενα, τόσο από την θεωρητική της πλευρά όσο και από την χρήσιµη γιά τον Ηλεκτρονικό Μηχανικό πλευρά, που θα του επιτρέψει, στηριζόµενος σε συστηµατοποιηµένες γνώσεις, να σχεδιάσει φίλτρα µε συγκεκριµένες προδιαγραφές. Η σχεδίαση παθητικών φίλτρων LC αποτελεί εξάλλου και την βάση πολλών µεθόδων σχεδίασης φίλτρων άλλων τεχνολογιών, όπως ενεργών-rc φίλτρων, ενεργών φίλτρων διακοπτόµενου πυκνωτή (switched capacitor active filters), MOS-C φίλτρων, ψηφιακών φίλτρων (digital filters) κ.λπ., µε µεθόδους προσοµοίωσης. Γιά τον λόγο αυτό η γνώση των µεθόδων σχεδίασης παθητικών φίλτρων LC αποτελεί βασική και απαραίτητη γνώση γιά την κατανόηση και σχεδίαση επιλεκτικών κυκλωµάτων σε οποιαδήποτε τεχνολογία. 8. ίθυρα κυκλώµατα Ενα κύκλωµα µε τέσσερις ακροδέκτες ενδιαφέροντος, οργανωµένους σε δύο ζεύγη, όπως στο σχήµα 8.β, λέγεται δίθυρο αν ισχύει η συνθήκη Brune: Ι = -Ι N και Ι = -Ι N οπότε οι ακροδέκτες -N και -N αποτελούν την θύρα και αντίστοιχα. Τα φίλτρα είναι δίθυρα κυκλώµατα, στα οποία η διέγερση εφαρµόζεται στη θύρα και η απόκριση εµφανίζεται στη θύρα. ΣΧΗΜΑ 8. Σε κάθε θύρα ορίζονται δύο µεταβλητές, το ρεύµα Ι i και η τάση V i για i=,. Τα µονόθυρα κυκλώµατα, όπως αυτό του σχήµατος 8.α, περιγράφονται από την σχέση ρεύµατος- 8-

2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ τάσεως V(s)=Z(s)I(s), η οποία είναι ανεξάρτητη από το που είναι συνδεµένα. Η µετασχηµατισµένη τους αντίσταση Z(s), δεν εξαρτάται παρά µόνον από το ίδιο το µονόθυρο. Ο δεύτερος τρόπος περιγραφής τους είναι η έκφραση του ρεύµατος συναρτήσει της τάσης I(s)=Y(s)V(s), όπου η Y(s) είναι η µετασχηµατισµένη τους αγωγιµότητα, που είναι το αντίστροφο της Z(s). Στα δίθυρα κυκλώµατα έχουµε δύο τάσεις και δύο ρεύµατα και αναζητούµε τον αναξάρτητο από το που είναι συνδεµένο το δίθυρο τρόπο περιγραφής τους, εκφράζοντας τις δύο µεταβλητές συναρτήσει των δύο άλλων. Υπάρχουν τρεις τρόποι περιγραφής ενός διθύρου. Κάθε τρόπος οδηγεί στον ορισµό δύο παραµέτρων του διθύρου συναρτήσει των δύο άλλων. Σε κάθε τρόπο περιγραφής, υπάρχει και ο αντίστροφος, γεγονός που ανεβάζει τον συνολικό αριθµό των περιγραφών σε εξη. Ολοι οι τρόποι περιγραφής του διθύρου είναι ισοδύναµοι, µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που η περιγρφή ενός αντιστάτη από την αντίστασή του ή την αγωγι- µότητά του είναι το ίδιο ακριβής και χρήσιµη. 8.. Περιγραφή µε την µήτρα Ζ Παράµετροι αντιστάσεων µε ανοιχτοκυκλώµατα Στην περίπτωση αυτή το δίθυρο περιγράφεται απο το σύστηµα V (s) z I (s) % z (s) (s) z I (s) % z (s) (8.α) ή σε µητρική µορφή V (s) (s) z z I (s) z z (s) ή V Z I (8.β) Γιά τις παραµέτρους z ij, ισχύει φυσικά ότι: z V I 0 z I 0 (8.) z I 0 z V I 0 Οι σχέσεις αυτές αποτελούν και τους "εξωτερικούς" ορισµούς των παραµέτρων z ij. Ο όρος "εξωτερικοί" υποδηλώνει ότι τα εµπλεκόµενα µεγέθη για τον ορισµό των παραµέτρων µπορούν να µετρηθούν στις θύρες του διθύρου, χωρίς να χρειάζονται εσωτερικές λεπτοµέρειες του κυκλώµατος. Η µήτρα Z ονοµάζεται µήτρα παραµέτρων αντιστάσεων µε ανοιχτοκυκλώµατα αφού τα στοιχεία της z ij έχουν διαστάσεις αντίστασης και υπολογίζονται θεωρώντας κάθε φορά ότι η µια θύρα είναι ανοικτή. Τόσο οι τάσεις όσο και τα ρεύµατα, είναι µετασχηµατισµένα κατά Laplace και εποµένως και οι παράµετροι z ij είναι συναρτήσεις του s. Οι παραπάνω εξισώσεις καθορίζουν το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ 8. Στα κυκλώµατα RLCM (δηλ. µε αντιστάσεις, πηνία, πυκνωτές και µετασχηµατιστές) και γενικά σε όλα τα αντιστρέψιµα (reciprocal) κυκλώµατα αποδεικνύεται ότι z =z. Παρατηρήστε επίσης ότι η παράµετρος z είναι η µετασχηµατισµένη (µιγαδική) αντίσταση εισόδου µε ανοιχτοκυκλωµένη την έξοδο και η z είναι η αντίσταση εξόδου µε ανοιχτοκυκλωµένη την είσοδο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. ΣΧΗΜΑ 8.3 Στο κύκλωµα του σχήµατος 8.3 είναι προφανές ότι µε ανοικτοκυκλωµένη την έξοδο z %R ενώ µε sc ΣΧΗΜΑ 8.4 ανοικτοκυκλωµένη την είσοδο z %R. Γιά τον υπολογισµό της z θεωρείται η θύρα sc ανοικτοκυκλωµένη ( =0) και έχουµε: z I I R I R αφού όλο το ρεύµα περνάει από την αντίσταση R και η τάση της είναι ίση µε την τάση της θύρας λόγω του ανοικτοκυκλώµατος. Αντίστοιχα, για τον υπολογισµό της z θεωρούµε ανοικτοκύκλωµα στην θύρα ( Ι =0), οπότε το ρεύµα Ι περνάει όλο από την αντίσταση: z V R R. Εποµένως οι παράµετροι αντίστασης µε ανοικτοκυκλώµατα είναι Z R% sc R R R% sc 8.. Περιγραφή µε την µήτρα Υ (Παράµετροι µιγαδικών αγωγιµοτήτων µε βραχυκυκλώµατα) Αντιστρέφοντας την προηγούµενη περιγραφή βρίσκουµε: 8-3

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ I y V % y y V % y (8.3α) I y y V ή σε µητρική µορφή ή I Y V (8.3β) y y Η µήτρα Y λέγεται µήτρα αγωγιµοτήτων µε βραχυκυκλώµατα γιατί τα στοιχεία της µπορούν και υπολογίζονται θεωρώντας κάθε φορά ότι η µια θύρα είναι βραχυκυκλωµένη. Οι ορισµοί των παραµέτρων µιγαδικής αγωγιµότητας µε βραχυκυκλώµατα δίνονται παρακάτω. y I y V 0 V 0 (8.4) y V 0 y I V 0 Οι εξισώσεις 8.3 καθορίζουν το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος 8.5. ΣΧΗΜΑ 8.5 Στα κυκλώµατα RLCM και γενικά σε όλα τα αντιστρέψιµα (reciprocal) κυκλώµατα ισχύει y = y. Παρατηρήστε ότι η παράµετρος y είναι η µιγαδική αγωγιµότητα εισόδου µε βραχυκυκλωµένη την έξοδο και η y η αγωγιµότητα εξόδου µε βραχυκυκλωµένη την είσοδο. Σηµειώστε επίσης ότι γιά τις µήτρες Y και Z είναι αντίστροφες, δηλ. Y=Z - ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. Υπολογισµός των παραµέτρων y ij του κυκλώµατος της εφαρµογής 8.3 (σχήµα 8.3). Στο κύκλωµα του σχήµατος 8.3 είναι προφανές ότι µε βραχυκυκλωµένη την έξοδο η αγωγιµότητα εισόδου είναι: y sc % R src %, αφού ο πυκνωτής συνδέεται µε το βραχυκύκλωµα παράλληλα προς την αντίσταση. Με βραχυκυκλωµένη την είσοδο, έχουµε για την αγωγιµότητα εξόδου y R % sc src % ΣΧΗΜΑ 8.6 Γιά τον υπολογισµό της y = /V µε =0, έχουµε (ΝΡΚ σχήµα 8.6): (V & V) sc & VsC V R 8-4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ απ όπου βρίσκουµε V V sc R % sc % sc και εποµένως &VsC & V s C C R % sc % sc Από τον ορισµό του y προκύπτει ότι τελικά y V! s C C R % sc % sc Με αντίστοιχο τρόπο, βραχυκυκλώνοντας την είσοδο, βρίσκουµε ότι y! s C C R % sc % sc y 8..3 Περιγραφή µε την µήτρα Τ (Παράµετροι µετάδοσης ή αλυσίδας ή παράµετροι ABCD) Κατά την περιγραφή αυτή, το δίθυρο περιγράφοεται απο τις εξισώσεις V A & B I C & D (8.5α) ή σε µητρική µορφή V A B I C D & ή V I T & (8.5β) Οι εξωτερικοί ορισµοί των στοιχείων της µήτρας Τ δίνονται παρακάτω: A V 0 B & V 0 (8.6) C I 0 D & I 0 Η µήτρα Τ υπάρχει πάντα σε αντίθεση µε τις Ζ και Y που σε µερικές περιπτώσεις δεν υπάρχουν, πράγµα που σηµαίνει ότι τα αντίστοιχα κυκλώµατα δεν µπορούν να περιγραφούν από αυτές. Αποδεικνύεται ότι στα αντιστρέψιµα κυκλώµατα και εποµένως και στα RLCM ισχύει πάντα η ταυτότητα AD-BC=. Αν αντιστρέψει κανείς την περιγραφή και εκφράσει τα, συναρτήσει των V, I, θα οδηγηθεί σε έναν ακόµα τρόπο περιγραφής του διθύρου, τον αντίστροφο, ο οποίος όµως δεν χρησιµοποιείται ιδιαίτερα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.3 Να υπολογιστούν οι παράµετροι ABCD του διθύρου κυκλώµατος του σχ Με βραχυκυκλωµένη την θύρα (σχήµα 8.7), υπολογίζουµε τις παραµέτρους Β και D. ΣΧΗΜΑ

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Έχουµε από τον ΝΡΚ:, απ όπου βρίσκουµε: (V & V) sc & VsC V R V V sc R %sc %sc και εποµένως &VsC! V s C C R %sc %sc Από τον ορισµό του Β προκύπτει ότι τελικά B & V R % sc % sc s C C s(c % C )R % s RC C Για το D χρειαζόµαστε τις εκφράσεις των δύο ρευµάτων. Εχουµε ήδη βρεί ότι &VsC Ι % Ι V R από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι D & I % sc R sc R % sc R Για τον υπολογισµό των A και C, θεωρούµε ανοικτοκύκλωµα στην θύρα και διέγερση στη θύρα. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, η τάση του αντιστάτη R είναι η και όλο το ρεύµα Ι περνάει από αυτόν. Eποµένως έχουµε (V & ) sc, απ όπου προκύπτει ότι A V sc R % R sc R sc R Για το C έχουµε C I I I R R (Ελέγξτε αν AD-BC=, ελέγχοντας µε έτσι και την ορθότητα των αποτελεσµάτων.) 8..4 Περιγραφή µε την µήτρα h (Υβριδικές παράµετροι) Η περιγραφή του διθύρου µε τις ιβρυδικές παραµέτρους χρησιµοποιείται κυρίως στην ανάλυση κυκλωµάτων µε transistor. Κατά την περιγραφή αυτή το δίθυρο περιγράφεται απο τις εξισώσεις: V h I % h h I % h (8.7α) V h h I h h ή V h I (8.7β) Οι εξωτερικοί ορισµοί των στοιχείων της µήτρας h, των παραµέτρων h, δίνονται παρακάτω: 8-6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Οι σχέσεις 8.7 περιγραφής του διθύρου µε τις υβριδικές παραµέτρους, καθορίζουν το το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος 8.8. ΣΧΗΜΑ 8.8 Στα αντιστρέψιµα κυκλώµατα και τα RLCM (όχι στο transistor) αποδεικνύεται ότι ισχύει η ταυτότητα h V I V 0 h I V 0 h V I 0 h I 0 (8.8) h = -h Περιγραφή µε την µήτρα g (Αντίστροφες υβριδικές παράµετροι) Η περιγραφή του διθύρου µε τις αντίστροφες ιβρυδικές παραµέτρους χρησιµοποιείται κυρίως στην ανάλυση κυκλωµάτων µε transistor. Κατά την περιγραφή αυτή το δίθυρο περιγράφεται απο τις εξισώσεις I g V % g g V % g ή σε µητρική µορφή (8.9) I g g V g g ή I g V Οι εξωτερικοί ορισµοί των στοιχείων της µήτρας g δίνονται παρακάτω: g I V I 0 g V I 0 g I V 0 g V 0 (8.0) Οι εξισώσεις περιγραφής του διθύρου µε τις αντίστροφες υβριδικές παραµέτρους, καθορίζουν το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος 8.9. ΣΧΗΜΑ 8.9 Η µήτρα g είναι πάντα το αντίστροφο της h δηλ. g=h -. Στα αντιστρέψιµα κυκλώµατα RLCM (όχι στο transistor!) αποδεικνύεται ότι ισχύει η ταυτότητα g =-g. 8-7

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ 8. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΙΘΥΡΩΝ (Οι µήτρες στην ίδια σειρά είναι ισοδύναµες) x =x x -x x Z Y T h g Z z z z z y y & y y & y y y y A C C T C D C h h h h & h h h g & g g g g g g Y z z & z z & z z z z y y y y D B & B & T B A B h & h h h h h h g g g g & g g g T z z z z z z z & y y & y & y y & y y A B C D & h h & h h & h h & h g g g g g g g h z z z z & z z z y & y y y y y y B D & D & T D C D h h h h g g & g g & g g g g g z & z z z z z z y y y y & y y y C A A & T A B A h h & h h & h h h h g g g g 8..6 Ισοδυναµία παραµέτρων Αναφέρθηκε ήδη ότι όλες οι περιγραφές των δυθύρων είναι ισοδύναµες. Είναι λοιπόν φυσικό να υπάρχουν και σχέσεις µεταξύ τους. Γιά παράδειγµα η µήτρα Υ είναι η αντίστροφη της Ζ. Ολες όµως οι ισοδυναµίες δίνονται στον πίνακα 8. από τον οποίο µπορούµε να υπολογίζουµε όποιες παραµέτρους θέλουµε όταν έχουµε κάποιες άλλες. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.4 Για το εικονιζόµενο δίθυρο έχουµε βρεί ότι z sc %R z sc %R z z R 8-8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τις υβριδικές, ή οποιεσδήποτε άλλες παραµέτρους, από τον πίνακα. ισοδυναµίας παραµέτρων. Σύµφωνα µε τον πίνακα αυτό h h h h z z z z & z z z z z z & z z Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιµές των παραµέτρων z, βρίσκουµε τις υβρίδικές παραµέτρους h Ισοδυναµία διθύρων ύο δίθυρα κυκλώµατα ορίζονται ως ισοδύναµα αν έχουν ίσες οποιεσδήποτε παραµέτρους. Αν γιά παράδειγµα τα δίθυρα Ν και Ν έχουν ίσες παραµέτρους ABCD, είναι ισοδύναµα. Το ίδιο ισοδύναµα είναι αν έχουν ίσες τις υβριδικές ή άλλες παραµέτρους. Η ισοδυναµία αναφέρεται στους ακροδέκτες (θύρες) των κυκλωµάτων πράγµα που σηµαίνει ότι ένα κύκλωµα µπορεί να αντικατασταθεί µε το ισοδύναµό του χωρίς το υπόλοιπο σύστηµα, στο οποίο είναι συνδεµένο, να αντιληφθεί την αντικατάσταση. Ισοδύναµα Τ και Π Κάθε δίθυρο κύκλωµα έχει ένα ισοδύναµο τύπου-τ και ένα ισοδύναµο τύπου-π. Στο σχήµα 8.0α φαίνεται ένα αντιστρέψιµο δίθυρo κύκλωµα, που περιγράφεται µε τις παραµέτρους z και το ισοδύναµό του τύπου-τ µε: Z = z - z Z = z Z 3 = z - z. Αντίστοιχα, στο σχήµα 8.0β φαίνεται ένα αντιστρέψιµο δίθυρο κύκλωµα, που περιγράφεται µε τις παραµέτρους y και το ισοδύναµό του τύπου-π µε: Y = y + y Y = -y Y 3 = y + y. ΣΧΗΜΑ 8.0 Η απόδειξη και των δύο ισοδυναµιών έγκειται στον υπολογισµό των παραµέτρων των κυκλωµάτων τύπου-τ και Π µε την χρήση των ορισµών. Η ύπαρξη των ισοδυνάµων κυκλωµάτων τύπου-τ και Π γιά κάθε δίθυρο δεν σηµαίνει κατ ανάγκην ότι τα ισοδύναµα αυτά κυκλώµατα είναι πιό απλά, αφού η συνθετότητα των κλάδων τους εξαρτάται άµεσα από την συνθετότητα του αρχικού διθύρου. Πολλές φορές µάλιστα, τα ισοδύνα- µα τύπου-τ ή Π µπορεί να περιέχουν µη πραγµατοποιήσιµους µε RLCM κλάδους, όπως γιά παράδειγµα αρνητικά πηνία ή πυκνωτές. Αυτό σηµαίνει ότι τα ισοδύναµα Τ και Π ενός διθύρου υπάρχουν πάντοτε ως θεωρητικά κύκλωµατα (στο χαρτί) αλλά µπορεί να µην είναι πραγµατοποιήσιµα, µε τα συµβατικά τουλάχιστον στοιχεία RLCM. 8-9

10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Αυτό φυσικά δεν είναι κάτι καινούργιο. Η ύπαρξη ισοδυνάµων Τ και Π κυκλωµάτων, υποδηλώνει ουσιαστικά και την ισοδυναµία Τ και Π ή τον µετασχηµατισµό "αστέρα σε τρίγωνο". Οταν όµως διδάσκεται ο µετασχηµατισµός αυτός συνήθως δεν τονίζεται η παρατήρηση ότι ένας αστέρας έχει πάντα ένα ισοδύναµο τρίγωνο, το οποίο όµως µπορεί να µην είναι RLCM πραγµατοποιήσιµο. Ως επιβεβαίωση της παρατήρησης αυτής, µελετήστε το σχήµα 8., όπου γιά το εικονιζόµενο τύπου Τ κύκλωµα (α) υπάρχει το ισοδύναµο τύπου Π κύκλωµα (β). ΣΧΗΜΑ 8. Η πραγµατοποίησή του ισοδυνάµου Π, απαιτεί την χρήση ενός στοιχείου µε µετασχηµατισµένη αντίσταση της µορφής Z(s)=ks 3, που δεν είναι RLCM πραγµατοποιήσιµη, όπως θα δούµε σε επόµενο κεφάλαιο. Παρ όλα αυτά το ισοδύναµο τύπου Π υπάρχει τουλάχιστον στο χαρτί. Μπορεί εξάλλου το µη πραγµατοποιήσιµο στοιχείο να είναι πραγµατοποιήσιµο σε κάποια άλλη τεχνολογία, γιά παράδειγµα µε ενεργά κυκλώµατα. ΠΙΝΑΚΑΣ 8.: ΟΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΛΑ ΩΝ Ο πίνακας δίνει τις παραµέτρους z ij, y ij και ABCD των βασικών κλάδων z z y y A B z z y y C D ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΑ ΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ 0 0 ΣΕΙΡΑΣ (SERIES) ΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ Z & Z & Z Z Ζ 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΣ (SHUNT) Z Z Z Z ΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ 0 Z ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.5 Το δίθυρο του σχήµατος 8.α περιγράφεται µε τις παραµέτρους αντίστασης µε ανοιχτοκυκλώµατα ως εξής: V z I %z (L %L )I % L z I %z L I % (L %L ) Το δίθυρο (β) του ιδίου σχήµατος περιγράφεται µε τις αντίστοιχες παραµέτρους ως εξής: 8-0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ V ź I %ź L p I % M ź I %ź MI % L p ΣΧΗΜΑ 8. Για να είναι τα δύο δίθυρα ισοδύναµα πρέπει L p L %L ML L s L %L 3 Ο συντελεστής ζεύξης k θα είναι, k M L p L s L (L %L )(L %L 3 ) L L %L L %L L 3 %L L 3 # Εποµένως τα δύο δίθυρα του σχήµατος 8.3 είναι ισοδύναµα. ΣΧΗΜΑ Σύνδεση ιθύρων ύο δίθυρα µπορούν να συνδεθούν µε τρείς τρόπους: στη σειρά, παράλληλα και σε αλυσίδα. Στη σύνδεση σειράς, συνδέονται στη σειρά οι θύρες, όπως στο σχήµα 8.4α. Το δίθυρο που προκύπτει από την σύνδεση σειράς, έχει µήτρα παραµέτρων µιγαδικής αντίστασης µε ανοιχτοκυκλώµατα ίση µε το άθροισµα των αντίστοιχων µητρών των συνδεόµενων διθύρων. Αν δηλ. είναι Ζ και ZN οι µήτρες των παραµέτρων-z των συνδεοµένων στη σειρά κυκλωµάτων, η µήτρα παραµέτρων-z του διθύρου που προκύπτει είναι Z o =Ζ+ΖN. ΣΧΗΜΑ 8.4 ύο δίθυρα συνδέονται παράλληλα, συνδέοντας τις θύρες τους παράλληλα, όπως στο σχήµα 8.4β. Από την παράλληλη σύνδεση δύο διθύρων προκύπτει ένα συνολικό δίθυρο, του οποίου η µήτρα παραµέτρων µιγαδικής αγωγιµότητος µε βραχυκυκλώµατα ισούται µε το άθροισµα των αντιστοίχων µητρών των συνδεόµενων διθύρων. Αν δηλ. είναι Y και YN οι µήτρες των παραµέτρων-y των συνδεοµένων παράλληλα κυκλωµάτων, η µήτρα Y o του διθύρου που προκύπτει είναι Y o =Y+YN. Συνδέοντας την θύρα εξόδου ενός διθύρου µε την θύρα εισόδου ενός άλλου όπως στο σχήµα 8.5, 8-

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ προκύπτει ένα συνολικό δίθυρο. Η σύνδεση αυτή ονοµάζεται σύνδεση αλυσίδας ή αλυσωτή σύνδεση ή σύνδεση καταράκτη (cascade) ή και tandem. ΣΧΗΜΑ 8.5 Η σύνδεση αυτή είναι η πιό κοινή στα ηλεκτρονικά και πολλοί την αποκαλούν εσφαλµένα σύνδεση σειράς, που είναι όπως είδαµε κάτι τελείως διαφορετικό. Στη σύνδεση αλυσίδας, το συνολικό δίθυρο που προκύπτει έχει µήτρα Τ ο (ABCD), που ισούται µε το γινόµενο των αντίστοιχων µητρών των δύο συνδεοµένων διθύρων δηλ. Τ o = Τ Τ όπου Τ και Τ είναι οι µήτρες ABCD των συνδεοµένων διθύρων. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.6 ΣΧΗΜΑ 8.6 Το δίθυρο του σχήµατος 8.6 µπορεί κανείς να το δεί ως αλυσωτή σύνδεση των τριών επιµέρους απλών διθύρων. Η µήτρα ABCD του συνολικού κυκλώµατος θα είναι το γινόµενο των επιµέρους µητρών ABCD ενός παράλληλου πυκνωτή, ενός πηνίου σειράς και ενός άλλου παράλληλου πυκνωτή, σύµφωνα µε τον πίνακα 8. του κεφαλαίου αυτού που δίνει τις παραµέτρους των απλών κλάδων. A o B o C o D o 0 s s 0 0 s s % s s%(s %)s s % Από τον ορισµό της παραµέτρου Α, ως λόγου της τάσης εισόδου προς την τάση εξόδου µε ανοιχτοκυκλω- µένη έξοδο, είναι προφανές ότι παρέχεται η δυνατότητα εύκολου υπολογισµού της συνάρτησης µεταφοράς τάσης ενός κυκλώµατος, αν είναι γνωστές οι παράµετροι ABCD. ΣΧΗΜΑ 8.7 Η συνάρτηση µεταφοράς H(s)= (s)/e(s) για παράδειγµα του εικονιζόµενου στο σχήµα 8.7 διπλά τερµατισµένου διθύρου, είναι ίση µε /Α ο αν Α ο B o C o D o είναι οι παράµετροι µετάδοσης του συνολικού διθύρου που προκύπτει από την αλυσωτή σύνδεση της αντίστασης σειράς µε το δίθυρο και την παράλληλη αντίσταση φορτίου. Ο πολλαπλασιασµός των τριών µητρών δίνει την συνολική µήτρα µετάδοσης T 0 : 8-

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ T 0 A 0 B 0 C 0 D 0 A % B % C % D C % D D B % D Είναι προφανές ότι: H(s) (s) E(s) A o A % B % C % D 8..9 Χρήσιµες συναρτήσεις διθύρων Ενα δίθυρο χρησιµοποιείται για να επεξεργαστεί την διέργεση και να δώσει µια επιθυµητή απόκριση. Ετσι ένα δίθυρο έχει πάντα µια διέγερση στην µία θύρα, που µπορεί να είναι πηγή τάσης ή πηγή ρεύµατος (µε ή χωρίς απώλειες). Η άλλη θύρα µπορεί να είναι ανοιχτοκυκλωµένη, βραχυκυκλωµένη ή τερµατισµένη (φορτωµένη) µέ ένα φορτίο Ζ L που συνήθως είναι (ή προσεγγίζεται µε) ωµικό. Παρακάτω δίνονται δύο χρήσιµες συναρτήσεις του διθύρου χωρίς τερµατισµό. H v (s) E z z y y A (.4) H I (s) I z z y y D (.5) ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΣΤΗΝ ΕΞΟ Ο H v (s) E I E z H I (s) I z z % y z %Z %y y T %y C %D A %B (.6) (.7) ΙΠΛΑ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΕΝΟ H v (s) E E z z %z %z % (.8) y y %y %y % A %B%C %D Z IΝ V I z & z % z A % B C % D (.9) Z ΟUT z & z % z D % B C % A 8-3

14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 8. υϊκά κλιµακωτά κυκλώµατα Γιά κάθε κλάδο ενός κανονικοποιηµένου κλιµακωτού κυκλώµατος υπάρχει ο δυϊκός του σύµφωνα µε τον πίνακα δυϊκών κλάδων του σχήµατος 8.9. Η έννοια της δυϊκότητος έχει τις ρίζες της ουσιαστικά στην δυϊκότητα ρεύµατος-τάσεως, και αντίστασης-αγωγιµότητος. Ας µην ξεχνάµε ότι η σχέση που δίνει την τάση του πηνίου συναρτήσει του ρεύµατος, είναι της ίδιας µορφής µε αυτήν που δίνει το ρεύµα του πυκνωτή συναρτήσει της τάσης του. Οταν σε ένα κανονικοποιηµένο κλιµακωτό κύκλω- µα αντικαταστήσουµε όλους τους κλάδους του µε τους δυϊκούς τους, προκύπτει το δυϊκό κύκλωµα. Ενα παράδειγµα φαίνεται στο σχήµα 8.0. Γενικά, όταν το αρχικό κύκλωµα οδηγείται από πηγή τάσης, το δυϊκό του οδηγείται από πηγή ρεύµατος. Οτι ισχύει στο αρχικό γιά τις τάσεις, ισχύει στο δυϊκό γιά τα αντίστοιχα ρεύµατα. Ετσι αν στο αρχικό κύκλωµα 8.0α (s) G(s) στο δυϊκό 8.0β θα ισχύει E I ) (s) I(s) G(s) ΣΧΗΜΑ 8.9 ΣΧΗΜΑ 8.0 Αν στο δυϊκό κύκλωµα αντικαταστήσουµε την πηγή ρεύµατος µε την ισοδύναµή της πηγή τάσεως, όπως φαίνεται γιά παράδειγµα στο κύκλωµα του σχήµατος 8.0γ, τότε η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι 8-4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ G ) (s) V ) (s) E ) (s) G(s) Η ενεργός εξασθένηση A(ω)=0log(P max /P ) στο τροποποιηµένο δυϊκό του σχ. 8.0γ θα είναι η ίδια µε αυτή του αρχικού 8.0α, µόνον αν χρησιµοποιηθούν οι αντίστροφες τιµές των αντιστάσεων τερµατισµού (αποδείξτε το). Αν χρησιµοποιηθούν οι ίδιες αντιστάσεις, η ενεργός εξασθένηση στο κύκλωµα 8.0γ θα είναι A(ω)=A(ω)+0log[ / ]. Η δυϊκότητα αν και σαν έννοια ισχύει σε όλα τα κυκλώµατα, ο πίνακας δυϊκών κλάδων ισχύει µόνον γιά κανονικοποιηµένα κλιµακωτά στα οποία οι τιµές των στοιχείων είναι αδιάστατοι αριθµοί λόγω της κανονικοποίησης. Η ύπαρξη των δυϊκών κυκλωµάτων, ενισχύει την σχεδίαση κανονικοποιηµένων φίλτρων, αφού σχεδιάζοντας ένα, αποκτούµε άλλο ένα χωρίς κόπο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.7 Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος (α) µε = =, L =L 3 = και C =0.5. Μετά υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς του προσαρµοσµένου δυιϊκού του σχ. (γ), για να διαπιστώσετε αν είναι ίδιες. 8.3 Ισχύς και Προσαρµογή Ενα µονόθυρο κύκλωµα (κύκλωµα ακροδεκτών - ) συνδέεται µε τις προηγούµενες βαθµίδες του συστήµατος µέσω των δύο ακροδεκτών του, όπως στο σχήµα 8.. Η µελέτη του συστήµατος στην µόνιµη ηµιτονική κατάσταση (ΜΗΚ), δεν περιορίζει την γενικότητα αυτών που θα εκτεθούν. ΣΧΗΜΑ 8. Οι προηγούµενες βαθµίδες παριστάνονται συνήθως µε µια πηγή τάσης ή ρεύµατος (ισοδύναµο Thevenin ή Norton) µε εσωτερική αντίσταση Z S (jω), όπως γιά παράδειγµα στο σχήµα 8.β. Η συνολική µιγαδική ισχύς στους δύο ακροδέκτες, -, οι οποίοι παρουσιάζουν µιγαδική αντίσταση Z(jω) V(jω) I(jω) 8-5

16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ορίζεται από την σχέση: S(jω) (8.) V(jω)I ( (jω) Η S(jω) ως µιγαδική συνάρτηση έχει ένα πραγµατικό µέρος και ένα φανταστικό. S(jω) Re[S(jω)] % jim[s(jω)] P µ (ω) % jq(ω) Το πραγµατικό µέρος της µιγαδικής ισχύος παριστάνει την πραγµατική ισχύ που καταναλίσκεται από το µονόθυρο και ορίζεται ως η µέση πραγµατική ή καταναλισκόµενη ισχύς P µ (ω), ενώ το φανταστικό µέρος Q(ω) ορίζεται ως η άεργος ισχύς. Το ενδιαφέρον µέρος της ισχύος, που είναι και αυτό που καταναλίσκεται, είναι η µέση ισχύς P µ (ω). Τα δύο αυτά µέρη της ισχύος συµβολίζονται εδώ ως συναρτήσεις της συχνότητος γιατί εξαρτώνται από αυτήν. Οι Ηλεκτρολόγοι, για τους οποίους η συχνότητα είναι σχεδόν πάντα δεδοµένη (ω=π*50 rad/sec) αποφεύγουν τον συµβολισµό αυτό σε αντίθεση µε τους Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς το αντικείµενο των οποίων βασίζεται στο γεγονός ότι η συχνότητα δεν είναι σταθερή. Στο σχήµα 8.β, η ηµιτονική πηγή E(jω) µε εσωτερική αντίσταση Ζ S (jω), τροφοδοτεί το φορτίο, που είναι ένα µονόθυρο κύκλωµα µε µιγαδική αντίσταση εισόδου Z L (jω) = Z(jω): Z(jω)R(ω)%jX(ω)Z(ω)e jφ(ω) µε Z(ω) Z(jω) R(ω) %X(ω) και φ(ω)ëz(jω)tan & X(ω) R(ω) Υπενθυµίζεται ότι η γωνία φ(ω) της µιγαδικής αντίστασης Z(jω) είναι η διαφορά φάσης τάσης-ρεύµατος και ότι ο όρος cosφ(ω) ονοµάζεται συντελεστής ισχύος. Λόγω της εσωτερικής αντίστασης της πηγής, το µονόθυρο τελικά δεν τροφοδοτείτα από τάση E(jω) αλλά από τάση V(jω), η οποία έστω ότι είναι V(jω)=Ve jωt. Το µιγαδικό ρεύµα I(jω) θα είναι I(jω) V(jω) Z(jω) V(ω)e jωt Z(ω)e jφ(ω) V(ω) Z(ω) S(jω) V(jω) I ( (jω) e j(ωt& φ) Y και εποµένως η µιγαδική ισχύς υπολογίζεται από την 8. ότι είναι: V(ω)e jωt V(ω) I ( (jω) V(ω)!j(ωt &φ(ω)) e Z(ω) & j(ωt & φ(ω)) e Z(ω) V(ω) e jφ(ω) V(ω) Z(ω) Z(ω) cosφ(ω) % j µε προφανείς ορισµούς της µέσης και της αέργου ισχύος: P µ (ω) Q(ω) V(ω) Z(ω) cosφ(ω) V(ω) Z(ω) Re[Z(jω)] V(ω) Z(ω) sinφ(ω) V(ω) Z(ω) Im[Z(jω)] V(ω) Z(ω) sinφ(ω) (8.) Αν χρησιµοποιήσουµε για το µέτρο του ρεύµατος Ι(jω) την σχέση I(ω) I(jω) V(jω) Y I(ω) Z(jω) οι σχέσεις γιά την µέση και άεργο ισχύ γίνονται V Z(ω) 8-6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ P µ (ω) V(ω)I(ω)cosφ(ω) Q(ω) V(ω)I(ω)sinφ(ω) (8.3) Σηµειώνεται ότι αν αντί για το πλάτος χρησιµοποιηθούν οι τιµές RMS της τάσης και του ρεύµατος, τότε έχουµε P µ (ω) V RMS I RMS cosφ(ω) Q V RMS I RMS sinφ(ω) ΣΧΗΜΑ 8. Μια πηγή τάσης, εσωτερικής αντίστασης εν γένει Z S (jω), όταν τροφοδοτεί ένα φορτίο Z L (jω), όπως στο σχήµα 8., δηµιουργεί ένα ρεύµα E(jω) I(jω) Z s (jω) % Z L (jω) και εποµένως η τάση στους ακροδέκτες του φορτίου είναι Z V(jω) L (jω)e(jω) Z s (jω) % Z L (jω) Αν εκφράσουµε τα Z S (jω) και Z L (jω) µε το πραγµατικό και φανταστικό τους µέρος θα έχουµε: Z L (jω)z L (ω)e jφ(ω) (ω)%jx L (ω) και Z s (jω)z S (ω)e jφ S (ω) (ω)%jx s (ω) µε Z L (ω) Z L (jω) R L (ω)%x L (ω) και Z S (ω) Z S (jω) R S (ω)%x S (ω) (ω)z L (ω)cosφ(ω) (ω)z S (ω)cosφ S (ω) φ(ω)ëz L (jω)tan & X L (ω) (ω) X και φ S (ω)ëz S (jω)tan & S (ω) (ω) Η µέση καταναλισκόµενη ισχύς στο φορτίο θα είναι: 8-7

18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ P µ (ω) V(ω)I(ω)cosφ(ω) V(ω) (ω) Z L (ω) (8.4) µε V(ω) V(jω) I(ω) I(jω) Z L (ω) Z L (jω) και φ(ω)ëζ(jω) Με αυτές τις σχέσεις, η έκφραση γιά την µέση πραγµατική ισχύ του φορτίου γίνεται: P µ (ω) (ω)e (ω)% (ω)%j(x L (ω)%x s (ω)) (ω)e (ω)% (ω) % X L (ω)%x s (ω) Ενα σηµαντικό ερώτηµα είναι κάτω από ποιές συνθήκες φορτίου, δηλ. γιά ποιές τιµές των (ω) και X L (ω), η µέση ισχύς που καταναλίσκεται στο φορτίο γίνεται µέγιστη και πόση είναι η µέγιστη αυτή τιµή της ισχύος που µπορεί να δώσει µια πηγή µε τα συγκεκριµένα χαρακτηριστικά E, (ω) και X s (ω). Εύκολα παρατηρεί κανείς στην παραπάνω σχέση ότι για X L (ω)= -X s (ω), ο παρονοµαστής γίνεται ελάχιστος, αφού µηδενίζεται ο µη αρνητικός όρος που το περιέχει. Για X L (ω)= -X S (ω) η µέση ισχύς στο φορτίο γίνεται: (ω)e P µ (ω) (ω) % (ω) Τώρα µπορεί να υπολογιστεί για ποια τιµή του (ω) η παράσταση αυτή µεγιστοποιείται, υπολογίζοντας την τιµή του (ω) γιά την οποία µηδενίζεται η παράγωγος της µέσης ισχύος Ρ µ (ω) ως προς το (ω). Η παράγωγος αυτή υπολογίζεται ότι είναι: d d (ω) P µ (ω) E (ω) & (ω) (ω) % (ω) 3 Είναι προφανές ότι η παράγωγος µηδενίζεται όταν (ω)= (ω). Γιά την τιµή (ω)= (ω) η ισχύς γίνεται µέγιστη και ίση µε P max E 8 (ω) E RMS 4 (ω) (8.5) Αυτή είναι εποµένως η µέγιστη ισχύς που µπορεί να αποδώσει µια πηγή εσωτερικής αντίστασης εν γένει µιγαδικής Z s (jω)= (ω)+jx s (ω), κάτω από συνθήκες προσαρµογής δηλ. όταν "βλέπει" φορτίο Z L (jω)= (ω)+jx L (ω) µε (ω)= (ω) και X L (ω)= -X S (ω), όταν δηλαδή τελικά το φορτίο είναι συζυγές της αντίστασης της πηγής. Στην σχέση 8.5, αξίζει να υπογραµµιστεί η διαφορά στον παρονοµαστή, όταν χρησιµοποιείται το πλάτος Ε της τάσης της πηγής ή η ένεργός τιµή (RMS) της τάσης της πηγής. Η συνθήκη δηλ. Z L (jω)z ( S (jω) Re[Z L (jω)]re[z S (jω)] και Im[Z L (jω)]&im[z S (jω)] (8.6) υπό την οποία το φορτίο καταναλίσκει την µέγιστη ισχύ την οποία µπορεί να αποδώσει η πηγή, ονοµάζεται συνθήκη προσαρµογής πηγής-φορτίου και στην περίπτωση που ισχύει λέµε ότι το φορτίο προσαρµόζεται στην πηγή ή απλά ότι έχουµε προσαρµογή. Σηµειώνεται ότι τα πραγµατικά και τα φανταστικά µέρη των Z S (ω) και Z L (ω) είναι εν γένει συναρτήσεις της συχνότητος, όπως γίνεται σαφές στο σχήµα 8.3 και αυτός είναι ο λόγος γιά τον οποίο παρίστανται ως 8-8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (ω), (ω), X S (ω) και X L (ω). ω R L R %ω L R ΣΧΗΜΑ 8.3 Εποµένως, η συνθήκη προσαρµογής (ω)= (ω) και X L (ω)= -X S (ω) δεν είναι δυνατόν να ισχύει γιά όλες τις συχνότητες, εκτός αν το κύκλωµα περιλαµβάνει µόνον αντιστάτες. Στο κύκλωµα για παράδειγµα του σχήµατος 8.3, για να έχουµε προσαρµογή πρέπει και ωr L R %ω L ωc Από την πρώτη σχέση υπολογίζεται ότι ω o R R L (R &R ) Από την δεύτερη σχέση υπολογίζεται ότι ω o R L (R C &L ) Γιά να υπάρχει δηλ. προσαρµογή σε µια πραγµατική συχνότητα ω ο, θα πρέπει να ισχύουν και οι δύο σχέσεις και και εποµένως από την εξίσωσή τους προκύπτει η τελική συνθήκη προσαρµογής: του συγκεκριµένου κυκλώµατος: L R R C οπότε ω o 6 C µε R R C (R &R ) >R Αν όλα τα στοιχεία του κυκλώµατος έχουν δεδοµένες τιµές, απλά µπορεί να ελεγχθεί αν ικανοποιούνται οι συνθήκες προσαρµογής. Αν δίδονται µερικές τιµές των στοιχείων και χρειάζεται ο υπολογισµός των άλλων για να υπάρχει προσαρµογή, τότε για τον υπολογισµό αυτό θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν οι παραπάνω συνθήκες προσαρµογής. Παρατηρήστε ότι αν R = R υπάρχει προσαρµογή γιά ω=4. Αν τα R και R είναι δεδοµένα (π.χ. R = 000Ω και R = 000Ω), µπορούµε να επιλέξουµε τα υπόλοιπα στοιχεία ώστε να έχουµε προσαρµογή σε συγκεκριµένη συχνότητα (π.χ. f ο =0000 Hz). ω o π@0000 Y C.6nF Y L.5mH ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.8 Στο κύκλωµα του σχήµατος 8.4, η πηγή µε καθαρά ωµική εσωτερική αντίσταση βλέπει ως φορτίο το κύκλωµα [ // (/jωc) ]+jωl. 8-9

20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ α) Να υπολογιστούν τα L και C του κυκλώµατος ώστε υπάρχει προσαρµογή πηγής-φορτίου σε δεδοµένη συχνότητα ω ο. β) Να υπολογιστεί η συχνότητα προσαρµογής και τυχόν σχέση µεταξύ των παραµέτρων του κυκλώµατος ώστε να υπάρχει προσαρµογή. Z L (jω) ΣΧΗΜΑ 8.4 Το φορτίο που βλέπει η πηγή έχει µιγαδική αντίσταση (impedance) Z L (jω) %jω L&R L C(&ω LC) %ω R L C %ω R L C Γιά να υπάρχει προσαρµογή πηγής-φορτίου σε κάποια συχνότητα ω ο θα πρέπει φυσικά %ω ο R L C και α) Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζεται ότι: L&R L C(&ω ο LC) %ω ο R L C 0 C ω ο & R L και L C %ω ο R L C ω ο & Παρατηρούµε ότι για να είναι οι παραπάνω τιµές πραγµατικές θα πρέπει να ισχύει ότι >. β) Από τις δύο σχέσεις της συνθήκης προσαρµογής %ω ο R L C και L&R L C(&ω ο LC) %ω ο R L C 0 υπολογίζουµε το ω ο : ω ο & R L C και ω ο LC & R L C Οι δύο τιµές πρέπει να είναι ίσες, και από την εξίσωσή τους βρίσκουµε ότι L C Εποµένως γιά να υπάρχει συχνότητα προσαρµογής πρέπει L C ω ο ( & ) & L R L C και η συχνότητα αυτή θα είναι Φυσικά γιά να είναι η ω ο πραγµατική, θα πρέπει να ισχύει >. Γιά να επιβεβαιώσουµε τα αποτελέσµατα, θα πρέπει να αποδείξουµε ότι στο συγκεκριµένο κύκλωµα µε τις τιµές των στοιχείων που υπολογίσαµε, η µέση καταναλισκόµενη ισχύς στο φορτίο, στη συχνότητα ω ο, 8-0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ είναι ίση µε την µέγιστη ισχύ που µπορεί να αποδώσει η πηγή δηλ. ίση µε P max E. 8 Η µέση καταναλισκόµενη ισχύς στο φορτίο Z L (jω) θα είναι P µ V(jω) I(jω) V(jω) Z L (jω) Οµως V(jω) %Z L (jω) E(jω) Γιά ω=ω ο και L= C όπως υπολογίστηκαν: Z L (jω o ) και V(jω ο ) %Z L (jω o ) E(jω) E(jω) και τελικά P µ V(jω o ) Z L (jω o ) E 8 P MAX Η µέγιστη αυτή ισχύς της πηγής εισέρχεται στο φορτίο Z L (jω) και τελικά φτάνει στον αντιστάτη, αφού τα L και C είναι στοιχεία που δεν καταναλίσκουν ισχύ. 8.4 Οι ενεργές παράµετροι (παράµετροι µετάδοσης) Στό σχήµα 8.5α µια πηγή εσωτερικής αντίστασης συνδέεται απευθείας στο φορτίο. ΣΧΗΜΑ 8.5 Η µέγιστη ισχύς που µπορεί να αποδώσει η πηγή σύµφωνα µε την σχέση 8.5 είναι: P MAX E(jω) 8 ενώ η ισχύς που καταναλίσκει το φορτίο είναι P 0 0 (jω) R L ( % ) E(jω) 4 ( % ) P MAX Είναι προφανές ότι η καταναλισκόµενη ισχύς είναι ανάλογη της µέγιστης ισχύος µε συντελεστή αναλογίας που δεν εξαρτάται από την συχνότητα. Αν θέλουµε να ελέγχεται η καταναλισκόµενη στο φορτίο ισχύς µε έναν τρόπο που να εξαρτάται από την συχνότητα (π.χ. µεγάλο µέρος της P MAX να φτάνει και να καταναλίσκεται στο φορτίο στις χαµηλές συχνότητες ενώ στις υψηλές στο φορτίο να φτάνει ένα πολύ µικρό ποσοστό της P MAX ), πρέπει να παρεµβάλλουµε ένα κατάλληλο δίθυρο κύκλωµα, όπως έχουµε κάνει στο 8-

22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ σχήµα 8.5β. Η καταναλισκόµενη στην περίπτωση αυτή ισχύς στο φορτίο είναι P (jω) (jω) P MAX P MAX (jω) 4 E(jω) P MAX Η P είναι φυσικά συνάρτηση του ω. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι P MAX P E(jω) Η ενεργός εξασθένηση Αναφερόµενοι στο σχήµα 8.5β, ορίζεται ως ενεργός εξασθένηση ή εξασθένηση µετάδοσης (effective ή transducer attenuation) η ποσότητα A(ω)0log P ΜΑΧ P 0log E(jω) (jω) (db) (8.7) όπου P η καταναλισκόµενη στο φορτίο ισχύς και P MAX η µέγιστη ισχύς της πηγής. Παρατηρήστε αρχικά ότι η ενεργός εξασθένηση µηδενίζεται εξ ορισµού όταν υπάρχει προσαρµογή πηγής και φορτίου (η πηγή "βλέπει" ως φορτίο το τερµατισµένο µε την δίθυρο), οπότε η πηγή αποδίδει λόγω προσαρµογής την µέγιστη ισχύ της στους ακροδέκτες εισόδου του διθύρου, το οποίο αν δεν έχει απώλειες, παραδίδει όλη η εισερχόµενη µέση ισχύ στο ωµικό φορτίο. Η συνάρτηση Τ(s) E(s) (s) (8.8) ονοµάζεται συνάρτηση µετάδοσης ενεργού ισχύος (στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία συναντάται ως transducer function). H T(s) είναι το αντίστροφο της συνάρτησης µεταφοράς H(s) (s) πολλαπλασι- E(s) ασµένο επί τον σταθερό όρο και ως και µε την βοήθειά της η ενεργός εξασθένηση µπορεί να εκφραστεί A(ω)0log T(jω) 0log P ΜΑΧ P 0log E(jω) (jω) (db) (8.9) Σηµειώνεται ότι όλα τα µεγέθη αναφέρονται στο σχήµα 8.5β ή 8.6 ΣΧΗΜΑ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8.4. Η ανακλόµενη ισχύς και ο συντελεστής ανάκλασης ρ(s) Αναφερόµενοι στο σχήµα 8.6, όπου µεταξύ της πηγής και του φορτίου έχει παρεµβληθεί ένα δίθυρο κύκλωµα, η πηγή δεν "βλέπει" την αλλά την αντίσταση εισόδου Z (s) του ωµικά τερµατισµένου µε την διθύρου. Η µέση ισχύς στην είσοδο του τερµατισµένου διθύρου, που αποτελεί το φορτίο της πηγής, θα είναι σύµφωνα µε την σχέση 8.3: P Ζ V(jω) I(jω) cosφ µε φ ËZ (jω) δηλαδή P Ζ Z / (jω)e(jω) E(jω) cosφ 0 Z (jω) % /0 /0 Z (jω) % R s /0 Η Z (jω) ως µιγαδική συνάρτηση µπορεί να γραφτεί συναρτήσει του πραγµατικού και φανταστικού της µέρους δηλ. Z (jω)=r +jx όπου φυσικά R =- Z (jω) - cosφ Υπενθυµίζεται ότι τα µεγέθη R, X, και φ είναι όλα συναρτήσεις του ω. Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση βρίσκουµε ότι η καταναλισκόµενη στους ακροδέκτες του τερµατισµένου µε διθύρου ισχύς είναι: P Ζ R E (8.0) R % % jx R E (R % ) % X όπου Ε είναι το µέτρο της τάσης της πηγής Ε=- Ε (jω) -. Η µέγιστη ισχύς που µπορεί να δώσει η πηγή υπό συνθήκες προσαρµογής υπολογιστηκε (σχέση 8.5) στα προηγούµενα ότι είναι: P ΜΑΧ E και η Ρ Ζ 8 είναι το πολύ ίση µε την Ρ ΜΑΧ µε αποτέλεσµα να µπορεί κανείς να φανταστεί ότι όταν δεν υπάρχει προσαρµογή, η µεν πηγή στέλνει την µέγιστη ισχύ, αλλά στο δίθυρο "εισέρχεται" µόνον η P Ζ και η υπόλοιπη ανακλάται πίσω στην πηγή. Αυτό παρίσταται εποπτικά στο επόµενο σχήµα 8.7. ΣΧΗΜΑ 8.7 Την διαφορά αυτή της µεγίστης ισχύος από την καταναλισκόµενη στο φορτίο (το τερµατισµένο δίθυρο), ονοµάζουµε ανακλόµενη ισχύ P a. Η ανακλόµενη ισχύς µπορεί να υπολογιστεί ως εξής, λαµβάνοντας υπόψη την σχέση 8.0: P a P MAX &P E R E & 8 (R % ) %X E 8 & 4 R (R % ) %X P a P MAX ( &R ) %X (R % ) %X P MAX /0 &Z (jω) P %Z (jω) MAX ρ(jω) /0 8-3

24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ όπου ρ(jω) P a P max / 0 & Z (jω) % Z (jω) /0 (8.) Η συνάρτηση ρ(s) που ικανοποιεί την ρ(s) sjω /0 & Z (jω) % Z (jω) /0 είναι ρ(s) ± & Z (s) % Z (s) (8.) και ορίζεται ως ο συντελεστής ανάκλασης του κυκλώµατος. Η εξάρτηση του συντελεστή ανάκλασης ρ(s) από την συχνότητα, προσδίδει στο κύκλωµα την ανάλογη επιλεκτικότητα, αφού σε µεν άλλες συχνότητες µπορεί να είναι µικρός, οπότε το µεγαλύτερο µέρος της ισχύος µπαίνει στο κύκλωµα και φτάνει στο φορτίο, και σε άλλες µεγάλος, οπότε το µεγαλύτερο µέρος της ισχύος ανακλάται πίσω στην πηγή Η συνάρτηση µετάδοσης Τ(s) και η χαρακτηριστική συνάρτηση K(s) Το παρεµβαλλόµενο δίθυρο είναι όπως θα εξηγηθεί παρακάτω, συνήθως κύκλωµα χωρίς απώλειες, δηλ. κύκλωµα που περιέχει µόνον στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας C, L και αµοιβαίες επαγωγές Μ. Τα κυκλώµατα LCM δεν καταναλίσκουν ισχύ και εποµένως όλη η ισχύς P Ζ στους ακροδέκτες εισόδου του διθύρου φτάνει τελικά στο ωµικό φορτίο. Η καταναλισκόµενη ισχύς στο ωµικό φορτίο συναρτήσει της τάσης του είναι: P όπου είναι το µέτρο της τάσης (jω) του αντιστάτη : = - (jω)-. Η περιγραφή των προδιαγραφών των φίλτρων γίνεται µε την χρήση της ενεργού εξασθένησης Α(ω) που ορίστηκε παραπάνω, σχέση 8.6 και 8.9 ως: A(ω) 0log P MAX P db όπου P MAX είναι η µέγιστη µέση ισχύς που µπορεί να δώσει η πηγή σε συνθήκες προσαρµογής και P η καταναλισκόµενη τελικά από το φορτίο µέση ισχύς. Η ενεργός εξασθένηση υπολογίστηκε τελικά ότι είναι: A(ω) 0 log E (db) ( είναι το πλάτος της τάσης του φορτίου και Ε το πλάτος της τάσης της πηγής) Η χρήση της ενεργού εξασθένησης παρουσιάζει µερικά πλεονεκτήµατα έναντι της χρήσης οποιασδήποτε 8-4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ άλλης εξασθένησης και κυρίως ότι για δίθυρα LCM χωρίς απώλειες, σε συχνότητες όπου υπάρχει προσαρµογή της πηγής στο φορτίο (τερµατισµένο µε την δίθυρο), η Α(ω) µηδενίζεται αφού P = P Z =P ΜΑΧ. Γιά την συνάρτηση µετάδοσης, που ορίστηκε στην σχέση 8.8 ως Τ(s) E(s) (s) αποδεικνύεται εύκολα ότι: T(jω) P max P P % P a P % P a P (8.3) Επειδή πρόκειται γιά παθητικά κυκλώµατα, η παραπάνω ποσότητα είναι πάντοτε µεγαλύτερη από την µονάδα και µπορούµε να την εκφράσουµε ως: T(jω) % K(jω) (8.4) όπου K(jω) P a P P a P ΜΑΧ P ΜΑΧ P ρ(jω) T(jω) (8.5) Η συνάρτηση K(s) ονοµάζεται χαρακτηριστική συνάρτηση του τερµατισµένου κυκλώµατος και δίνει το µέτρο της ισχύος που ανακλάται και δεν φτάνει στο φορτίο. Φυσικά από τα παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει ότι K(s) ρ(s)t(s) (8.6α) και T(s)T(& s) % K(s)K(& s) (8.6β) Σχέση T(s) και ρ(s) Από την σχέση 8.3 έχουµε ότι T(jω) P max P P max P max & P a & P a P max & ρ(jω) από την οποία τελικά προκύπτει: T(jω) και φυσικά ρ(jω) & (8.7) & ρ(jω) Τ(jω) Οι συναρτήσεις T(s), ρ(s) και Κ(s) είναι ρητές συναρτήσεις του s, δηλ. λόγοι πολυωνύµων του s και τις παριστάνουµε ως εξής: T(s) e(s) p(s) K(s) f(s) p(s) ρ(s) f(s) e(s) Αξίζει να σηµειωθεί ότι τα σηµεία µηδενισµού του p(s), δηλ. οι πόλοι της T(s) και K(s), οφείλονται σε µηδενισµό της τάσης εξόδου (βλέπε ορισµό της T(s)) οπότε η δεν παίρνει καθόλου ισχύ και η ανακλόµενη ισχύς είναι ίση µε την P ΜΑΧ. Γιά τον λόγο αυτό οι πόλοι της T(s) και K(s) λέγονται πόλοι εξασθένησης ή µηδενικά µετάδοσης (loss poles or transmission zeros). Τα µηδενικά της f(s) δηλ. τα 8-5

26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ µηδενικά του συντελεστή ανάκλασης, αντιστοιχούν σε συχνότητες κατά τις οποίες υπάρχει προσαρµογή και µέγιστη µετάδοση ισχύος και ονοµάζονται µηδενικά ανάκλασης ή σηµεία µηδενικής εξασθένησης. Από τα τρία πολυώνυµα, µόνον το e(s) είναι πολυώνυµο Hurwitz, ενώ για τα άλλα δεν υπάρχουν περιορισµοί για τις ρίζες τους. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.9 ΣΧΗΜΑ 8.8 Γιά το κύκλωµα του σχήµατος 8.8 βρίσκουµε εύκολα ότι (s) E(s) s % s % Από τον ορισµό της συνάρτησης µετάδοσης είναι προφανές ότι: T(s) E(s) (s) (s % s % ) Γιά τον υπολογισµό της K(s) χρησιµοποιούµε την σχέση 8.4: και την ταυτότητα T(jω) % K(jω) X(jω) X(s)X(&s) s jωοπότε: T(s)T(&s) % K(s)K(&s) Y K(s)K&s) T(s)T(&s) & Y K(s)K(&s) 4 (s % s % )(s & s % )&... 4 s 4 Y K(s) s Γιά τον υπολογισµό του συντελεστή ανάκλασης χρησιµοποιούµε την σχέση 8.6 K(s)=ρ(s)Τ(s) από την οποία Αν υπολογίζαµε την ρ(s) από την σχέση 8. ρ(s) K(s) Τ(s) s s % s % ρ(s) Z (s)& Z (s)% θα χρειαζόµαστε την έκφραση της Z (s), που υπολογίζεται ότι είναι: Z (s) s % s % s % Y ρ(s) Το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης υπολογίζεται ότι είναι: s s % s % 8-6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ T(jω /0 ( & ω ) % jω /0 ( & ω ) 4 % ω % ω4 4 Η ενεργός εξασθένηση υπολογίζεται ότι είναι A(ω) 0log T(jω) 0log % ω4 4 db και είναι µια αύξουσα συνάρτηση της συχνότητος ω, η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο σχήµα. 8.5 Η ιαδικασία Σύνθεσης Παθητικών Φίλτρων Οι προδιαγραφές για την σχεδίαση ενός παθητικού φίλτρου, εκτός από τις αντιστάσεις τερµατισµού, αφορούν συνήθως την σχέση πλάτους εισόδου-εξόδου, η οποία εκφράζεται µε ένα διάγραµµα κέρδους ή εξασθένησης. Γιά πολλούς λόγους, έχει καθιερωθεί για την περιγραφή των παθητικών φίλτρων η χρήση ενός διαγράµµατος ενεργού εξασθένησης, όπως αυτό του σχήµατος 8.9. ΣΧΗΜΑ 8.9 Η πρώτη δουλειά που πρέπει κανείς να κάνει γά να συνθέσει ένα φίλτρο από τις προδιαγραφές εξασθένησης, είναι να βρεί µια συνάρτηση Α(ω), η γραφική παράσταση της οποίας βρίσκεται µέσα στα όρια που ορίζονται. Η διαδικασία είναι η προσέγγιση και καταλήγει σε µια συνάρτηση Α(ω). Υπάρχουν φυσικά πολλές µέθοδοι για να βρεί κανείς µια κατάλληλη συνάρτηση αλλά αυτό δεν αρκεί. Η υπολογιζόµενη κατά το στάδιο της προσέγγισης συνάρτηση θα πρέπει να έχει ορισµένα χαρακτηριστικά, τα οποία αφ ενός επιβάλλονται από τις ιδιότητες των κυκλωµάτων και αφ ετέρου οδηγούν σε πραγµατοποιήσιµα κυκλώµατα. 8-7

28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Οι περιορισµοί αυτοί οδήγησαν σε ένα σύνολο αποδεκτών διαδικασιών προσέγγισης (Butterworth, Chebyshev, Cauer ή ελλειπτική, Bessel, κ.λπ.), οι οποίες οδηγούν σε συναρτήσεις ενεργού εξασθένησης, που είναι πραγµατοποιήσιµες. Ετσι ως προς την προσέγγιση, ο σχεδιαστής έχει µόνον να επιλέξει ποια από τις γνωστές θα χρησιµοποιήσει, λαµβάνοντας υπόψη του τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά τους. Οι βασικές προσεγγίσεις παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 3 για συναρτήσεις κέρδους και θα παρουσιαστούν αναλυτικά στο επόµενο κεφάλαιο για προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης παθητικών φίλτρων. Εχοντας από την προσέγγιση την Α(ω), έχουµε φυσικά και την *Τ(jω)* αφού από την 8.9 γνωρίζουµε ότι A(ω)0log T(jω). Από την 8.7 γνωρίζουµε επίσης και την *ρ(jω)* αφού T(jω) & ρ(jω) Y ρ(jω) & Τ(jω) Οταν εποµένως έχουµε την συνάρτηση Α(ω), είναι δυνατόν να υπολογιστούν οι συναρτήσεις T(s) και ρ(s) από τα T(jω) και ρ(jω) αντίστοιχα, σύµφωνα µε την µέθοδο που παρουσιάστηκε στο σχετικό εδάφιο.6 του κεφαλαίου, αφού η µεν T(s) έχει αριθµητή πολυώνυµο Hurwitz και η ρ(s) έχει το ίδιο πολυώνυµο στον παρονοµαστή. Εχοντας τις συναρτήσεις T(s) και ρ(s), είναι δυνατόν, όπως θα εκτεθεί στο εδάφιο που ακολουθεί, να υπολογίσουµε την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s), του τερµατισµένου µε διθύρου, η οποία µετά µπορεί να συντεθεί µε τις µεθόδους που παρουσιάστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο (Brune, Cauer, Foster) και συνδυασµούς τους. Το διάγραµµα που ακολουθεί δίνει συνοπτικά τη διαδικασία σύνθεσης ενός φίλτρου από τις προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης. ΣΧΗΜΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ Υπολογισµός της Z (s) από την T(s) ή την ρ(s) Επειδή στην σχεδίαση παθητικών φίλτρων πρώτα υπολογίζονται η συνάρτηση µετάδοσης Τ(s) και ο συντελεστής ανάκλασης ρ(s), πρέπει να µπορεί κανείς να υπολογίζει από τις συναρτήσεις αυτές την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s), η οποία µπορεί µετά να συντεθεί µε τις γνωστές µεθόδους σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων Υπολογισµός της Z (s) από τον συντελεστή ανάκλασης ρ(s) Η Z (jω) ως µιγαδική συνάρτηση µπορεί να γραφτεί συναρτήσει του πραγµατικού και φανταστικού της µέρους δηλ. Z (jω)=r +jx όπου φυσικά R =-Z (jω)-συνφ Στην περίπτωση που µας ενδιαφέρει, να είναι δηλ. το παρεµβαλλόµενο δίθυρο χωρίς απώλειες (π.χ. L, C), η µέση καταναλισκόµενη ισχύς Ρ Ζ στην Z είναι ίση µε την ισχύ Ρ που καταναλώνει το φορτίο, αφού το δίθυρο θεωρείται LC χωρίς απώλειες, και δίνεται από την 8.0: P Ζ (ω) P (ω) R (ω)e R (ω) % % jx (ω) R (ω)e R (ω) % R s % X (ω) Από τον ορισµό της T(jω) βρίσκουµε Επεδή όµως από την σχέση 8. T(jω) P max P (ω) (R (ω) % ) % X (ω) 4R P a (ω)p ΜΑΧ &P (ω) και P a (ω)p ΜΑΧ ρ(jω) βρίσκουµε τον συντελεστή ανάκλασης συναρτήσει της συνάρτησης µετάδοσης: ρ(jω) T(jω) & T(jω) & T(jω) και εποµένως ρ(jω) (R (ω)% ) %X (ω)&4 R (ω) ( &R (ω)) %X (ω) &Z (jω) (R (ω)% ) %X (ω) ( %R (ω)) %X (ω) %Z (jω) Η σχέση αυτή ικανοποιείται αν ρ(s) ±( & Z (s)) ±( % Z (s)) 8-9

30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Λύνοντας την εξίσωση για τα διάφορα πρόσηµα βρίσκουµε Z (s) & ρ(s) % ρ(s) ή Z (s) % ρ(s) & ρ(s) (8.8) Η Ζ (s), µε όποιον τρόπο από τους δύο και αν υπολογιστεί, µπορεί στη συνέχεια να συντεθεί µε τις γνωστές µεθόδους σύνθεσης µονόθυρων κυκλωµάτων. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.0 Γιά ένα φίλτρο που έχει ίσους τερµατισµούς = = έχει υπολογιστεί ότι η συνάρτηση µετάδοσης είναι Χρησιµοποιώντας την σχέση 8.7, υπολογίζεται ότι ρ(jω) & T(s) (s % s % ) T(jω) & /0 (&ω %jω) /0 & 4 4%ω 4 ω4 4%ω 4 ρ(s)ρ(&s) s 4 s 4 % 4 s 4 (s % s % )(s & s % ) και εποµένως (βλέπε εδάφιο.6): ρ(s) Τελικά από την 8.8 µε = βρίσκουµε Z (s) Z A (s) & ρ(s) % ρ(s) s % s % s % s s % s % ή Z (s) % ρ(s) & ρ(s) ή Z B (s) s % s % s % ΣΧΗΜΑ 8.3 Είναι προφανές ότι Z B (s) s % s % s % και το κύκλωµα είναι αυτό του σχήµατος 8.3. s % s % Γιά την σύνθεση της Z A (s) συνθέτουµε την 8-30

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Y A (s) Z A (s) (s) s % s % s % s % s % που είναι το κύκλωµα του σχήµατος ΣΧΗΜΑ Υπολογισµός της Z (s) από την T(s) µέσω των παραµέτρων ABCD Πριν αναπτύξουµε την σχετική µέθοδο, θα επαναλάβουµε µερικές σχέσεις από την θεωρία των διθύρων. ΣΧΗΜΑ 8.34 Γιά την συνάρτηση µεταφοράς του διπλά τερµατισµένου διθύρου υπολογίζεται ότι: H(s) (s) E(s) z R L z %z %z % A %B%C %D (8.9) και εποµένως T(s) E(s) (s) z %z %z % z A %B%C %D (8.9α) Ολες οι παράµετροι του διθύρου είναι φυσικά συναρτήσεις του s. Γιά την Ζ (s) έχουµε Z (s) V (s) I (s) z & z % z A % B C % D (8.30) Από τις προδιαγραφές ενός φίλτρου, µε την διαδικασία της προσέγγισης προσδιορίζεται σε πρώτη φάση η Α(ω) από την οποία στη συνέχεια υπολογίζεται η συνάρτηση µετάδοσης T(s) E(s) (s) που ικανοποιεί τις προδιαγραφές. Οταν πλέον έχουµε την συνάρτηση µετάδοσης T(s), είναι δυνατόν να υπολογιστούν οι παράµετροι ABCD ενός διθύρου κυκλώµατος χωρίς απώλειες (LCΜ), το οποίο µε τους τερµατισµούς του και να παρουσιάζει την συνάρτηση που έχει προκύψει από την προσέγγιση. Η διαδικασία υπολογισµού των παραµέτρων από την T(s) στηρίζεται στο ότι οι παράµετροι A και D των διθύρων LCΜ είναι άρτιες συναρτήσεις του s ενώ οι παράµετροι B και C είναι περιττές συναρτήσεις του s. Από την 8.9α παίρνουµε 8-3

32 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ T(s) (A % D ) % (B % C ) της οποίας το άρτιο και περιττό µέρος, T e και T o είναι προφανή: T e A % D (άρτιο) T o B % C (περιττό) (8.3) Γιά να υπολογιστούν οι παράµετροι ABCD δεν αρκούν οι παραπάνω δύο εξισώσεις. Χρειάζονται ακόµα δύο που µπορούν να αντληθούν από την χαρακτηριστική συνάρτηση K(s) γιά την οποία εύκολα υπολογίζεται, χρησιµοποιώντας τις σχέσεις 8.6 και 8., ότι: K(s)ρ(s)T(s) &Z (s) & A %B %Z (s) T(s) C %D A %D %B%C % A %B C %D και εποµένως µετά από τις σχετικές απλοποιήσεις K(s) (&A %D )%(&B%C ) Αν είχαµε χρησιµοποιήσει από την 8. την ρ(s) & & Z (s) % Z (s) τότε θα βρίσκαµε K(s) (A & D ) % (B & C ) τα µέρη της οποίας είναι και στην περίπτωση αυτή προφανή αφού τα A και D είναι άρτιες και τα B και C περιττές συναρτήσεις του s: K e A &D (άρτιο) K o B&C (περιττό) (8.3α) ή K e & A &D (άρτιο) K o & B&C (περιττό) (8.3β) Τώρα έχουµε τέσσερις εξισώσεις, (δύο από την 8.3 και δύο από την 8.3α ή 8.3β) και µπορούµε να προσδιορίσουµε τις τέσσερις παραµέτρους ABCD συναρτήσει των αρτίων και περιττών µερών των T(s) και K(s). Μετά από απλούς υπολογισµούς βρίσκουµε: A B C D (T e % K e ) (T o % K o ) (T o & K o ) (T e & K e ) (8.33α) A B C D (T e & K e ) (T o & K o ) (T o % K o ) (T e % K e ) (8.33β) Γνωρίζοντας τις παραµέτρους ABCD, σύµφωνα µε την σχέση 8.30, η αντίσταση εισόδου του τερµατισµένου στην έξοδο διθύρου είναι Z (s) A % B, η οποία µπορεί να συντεθεί κατά τα γνωστά. C % D 8-3

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. Γιά ένα φίλτρο που έχει ίσους τερµατισµούς = = έχει υπολογιστεί ότι η συνάρτηση µετάδοσης είναι T(s) (s % s % ) H K(s) υπολογίζεται εύκολα από την 8.6 (K(s)K(-s)=T(s)T(-s)-) ότι είναι K(s), οπότε µπαίνον- s τας µε T e (s %) T o s K e s K o 0 στην σχέση 8.33 βρίσκουµε: A B C D s % s s Εποµένως, αφού δίνεται ότι = βρίσκουµε ή A B C D s s s % Z (s) A % B C % D (s % ) % s s % s % s % s % s % s % Στη συγκεκριµένη περίπτωση το ζητούµενο φίλτρο είναι αυτό του σχήµατος ΣΧΗΜΑ 8.35 Αν χρησιµοποιήσουµε τις δεύτερες παραµέτρους ΑΒCD βρίσκουµε Z (s) A % B C % D % s s % s % s % s % που πραγµατοποιείται µε το εικονιζόµενο στο σχήµα 8.36 κύκλωµα που έχει Y A (s) Z (s) A % B C % D % s s % s % s % s % ΣΧΗΜΑ 8.36 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. Ενα κανονικοποιηµένο βαθυπερατό φίλτρο 3ης τάξης µε, φορτίο = και ενεργό εξασθένηση Α()=3 8-33

34 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ db, υπολογίστηκε ότι έχει A(ω)0log ( % ) 4 ( % ω 6 ). Προφανώς T(jω) ( % ) 4 ( % ω 6 ) Θα υπολογίσουµε την Z (s), πρώτα την µέσω του ρ(s) και µετά µέσω των παραµέτρων ABCD. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Z (s) ΜΕΣΩ ρ(s) Από την 8.7 βρίσκουµε ότι ρ(jω) & T(jω), από την οποία υπολογίζουµε ότι ρ(jω) & T(jω) k 6 % ω 6 µε k 3 & % ω 6 % ή k 3 & % Οι δύο τιµές του k, προκύπτουν από τον τετραγωνικό όρο ( -) που εµφανίζεται στους υπολογισµούς. Για να βρούµε την ρ(s) θα χρησιµοποιήσουµε την ρ(s)ρ(&s) ρ(jω) ω &s k 6 &s 6!s (s%k)(s&k)(s %ks%k )(s &ks%k ) 6 (s%)(s&)(s %s%)(s &s%) Γνωρίζοντας για τον συντελεστή ανάκλασης ότι ο παρονοµαστής του είναι πολυώνυµο Hurwitz και ότι δεν υπάρχει περιορισµός στον αριθµητή, µπορούµε να επιλέξουµε (βλέπε εδάφιο.6 στο Κεφάλαιο ) ρ (s) (s%k)(s &ks%k ) (s%)(s %s%) s 3 %k 3 (s%)(s %s%) s 3 %k 3 s 3 %s %s% ή ρ (s) (s%k)(s %ks%k ) (s%)(s %s%) s 3 %ks %k s%k 3 s 3 %ks %k s%k 3 (s%)(s %s%) s 3 %s %s% Για τον υπολογισµό της Z (s) θα χρησιµοποιήσουµε τον γνωστό τύπο: Z (s) & ρ(s) % ρ(s) ή Z (s) % ρ(s) & ρ(s) και για τις δύο επιλογές του συντελεστή ανάκλασης, για να βρούµε Z A (s) s % s % & k 3 s 3 % s % s % % k R 3 S Z B (s) s 3 % s % s % % k 3 s % s % & k 3 Z C (s) s ( & k) % s( & k ) % & k 3 s 3 % s ( % k) % s( % k ) % % k 3 Z D (s) s 3 % s ( % k) % s( % k ) % % k 3 s ( & k) % s( & k ) % & k 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Z (s) ΜΕΣΩ ABCD Εχουµε ότι 8-34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ T(s)T(&s) T(jω) ω &s ( % ) 4 ( % ω 6 ) /ω &s ( % ) 4 ( & s 6 ) Από την σχέση αυτή και λαµβάνοντας υπόψη ότι ο αριθµητής της T(s) είναι πολυώνυµο Hurwitz, αποδίδουµε τις ρίζες του αριστερού ηµιεπιπέδου στην T(s) και βρίσκουµε κατά τα γνωστά ότι T(s) % (s % )(s % s % ) % (s 3 % s % s % ) Το άρτιο και περιτό µέρος της T(s) είναι T e (s) % (s % s % ) T o (s) % (s 3 % s % ) Χρειαζόµαστε τώρα την χαρακτηριστική συνάρτηση K(s) την οποία θα υπολογίσουµε από την 8.4: K(jω) T(jω) & ( %) 4 ω 6 % & % ( %) 4 ω 6 %k 6 µε k 3 & % ή k 3 & % Εποµένως µπορούµε να γράψουµε K(s)K(&s) K(jω) ω &s ( % ) 4 (k 6 & s 6 ) K(s)K(&s) ( % ) 4 (s % k)(s & k)(s % ks % k )(s & ks % k ) Από την σχέση αυτή, λαµβάνοντας υπόψη ότι δεν υπάρχουν περιορισµοί για το πολυώνυµο του αριθµητή της K(s), µπορούµε να πάρουµε K (s) % (s % k)(s & ks % k ) % s 3 % k 3 ή K (s) % (s%k)(s %ks%k ) % s 3 %ks %k s%k 3 οπότε το άρτιο και περιττό µέρος της K (s) είναι: K e (s) % k 3 K o (s) % s 3 και για την δεύτερη επιλογή K (s): K e (s) % (ks % k 3 ) K o (s) % (s 3 % k s) 8-35

36 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Μπορούµε τώρα να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις 8.33 που δίνουν τις παραµέτρους ABCD συναρτήσει των αρτίων και περιττών µερών των T(s) και K(s) για να βρούµε για την πρώτη επιλογή K (s) από την 8.33α: A B C D (T e % K e ) (T o % K o ) (T o & K o ) (T e & K e ) A R % S (s %&k 3 ) B R % S s C % (s 3 %s) D % (s %%k 3 ) ή από την 8.33β: A B C D (T e & K e ) (T o & K o ) (T o % K o ) (T e % K e ) A % (s %%k 3 ) B R % S (s 3 %s) C % s D % (s %&k 3 ) Τελικά γιά την δεδοµένη τιµή = υπολογίζουµε ότι Z A (s) A % B C % D s % s % & k 3 s 3 % s % s % % k 3 ή µε τις δεύτερες από τις παραπάνω παραµέτρους ABCD Z B (s) A % B C % D R s 3 % s % s % % k 3 S s % s % & k 3 Αν χρησιµοποιήσουµε την δεύτερη επιλογή K (s), θα βρούµε µε τον ίδιο τρόπο Z C (s) s ( & k) % s( & k ) % & k 3 s 3 % s ( % k) % s( % k ) % % k 3 Z D (s) s 3 % s ( % k) % s( % k ) % % k 3 s ( & k) % s( & k ) % & k 3 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΗΣ Z (S) Και µε τους δύο τρόπους καταλήξαµε στις ίδιες σχέσεις για την Z (s) Z A (s) s % s % & k 3 s 3 % s % s % % k R 3 S ή Z B (s) s 3 % s % s % % k 3 s % s % & k 3 και Z C (s) s ( & k) % s( & k ) % & k 3 s 3 % s ( % k) % s( % k ) % % k