Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM"

Transcript

1 Κεφάλαιο 7 Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM 7. Απόσπαση πόλων Ας υποθέσουµε ότι µια οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z() ενός κυκλώµατος RLCM, η οποία όπως είδαµε στο κεφάλαιο 2 είναι Θετική Πραγµατική (ΘΠ), µπορεί να γραφτεί ως άθροισµα δύο όρων δηλ. Z()=Z () + Z 2 () Η Z() µπορεί τότε να υλοποιηθεί ως εν σειρά σύνδεση των δύο επιµέρους όρων Z () και Z 2 (), όπως στο σχήµα 7.α. ΣΧΗΜΑ 7. Το αρχικό κύκλωµα µε αντίσταση Z(), είναι ισοδύναµο ως προς τους ακροδέκτες του µε την σύνδεση σε σειρά των Z () και Z 2 (). Αντίστοιχη κατάσταση ισοδυναµίας δείχνει και το σχήµα 7.β γιά την περίπτωση που η οδηγούσα συνάρτηση είναι αγωγιµότητα, που την θεωρούµε ως άθροισµα Y()=Y ()+Y 2 () και την υλοποιούµε ως παράλληλη σύνδεση των Υ () και Υ 2 (). Μιά τέτοια διάσπαση της οδηγούσας συνάρτησης ερµηνεύεται ως απόσπαση του τµήµατος Z () από την Z() (ή της Y () από την Y() ) γιά να παραµείνει η Z 2 ()=Z()-Z () ή Y 2 ()=Y()-Y (), η οποία ονοµάζεται αποµένουσα. Η σύνθεση ενός κυκλώµατος από µια οδηγούσα ΘΠ συνάρτηση Z() ή Y() στηρίζεται κατά κύριο λόγο στην διαδοχική απόσπαση πραγµατοποιήσιµων ΘΠ τµηµάτων της, κατά τέτοιο τρόπο που η αποµένουσες να είναι και αυτές ΘΠ και εποµένως πραγµατοποιήσιµες. Οι πόλοι της αρχικής οδηγούσας συνάρτησης επιλέγονται ως τα σηµεία αναφοράς των αποσπάσεων αυτών, όπως θα δόύµε στη συνέχεια. 7.. Απόσπαση πόλου στο µηδέν ( =0) Στην περίπτωση που η προς σύνθεση ΘΠ συνάρτηση έχει πόλο γιά =0, είναι της µορφής F()' N() D() ' a n n a n& n &...a a 0 ' a n n a n& n&...a a 0 b m m b m& m&...b (b m m& b m& m&2...b ) λείπει δηλ. ο σταθερός όρος b 0 στον παρονοµαστή. Φυσικά η διαφορά τάξης αριθµητή και παρονοµαστή n και m είναι το πολύ ίση µε την µονάδα, αφού η F() είναι ΘΠ. Η F() µπορεί λοιπόν να αναλυθεί ως εξής F()' k 0 δ n& n&...δ b m m& b m& m&2...b 'F ()F 2 () όπου k 0 είναι το υπόλοιπο του πόλου =0, που δίνεται από την σχέση: 7 -

2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ k 0 ' F() '0 ή k 0 ' N(0) d d D() /0 '0 σύµφωνα µε την θεωρία της ανάλυσης ρητής συνάρτησης σε µερικά κλάσµατα (βλέπε κεφάλαιο 2). Φυσικά η αποµένουσα συνάρτηση θα είναι F 2 () ' F() & k 0 Eίναι προφανές ότι ο βαθµός του αριθµητή του F 2 () θα είναι κατά ένα βαθµό µικρότερος από τον βαθµό του F(). Επίσης k 0 >0 αφού η F() είναι ΘΠ και τα υπόλοιπα των πόλων της στον jω-άξονα είναι θετικά (βλέπε ορισµό ΙΙ ΘΠ). Η F ()=k 0 / είναι λοιπόν ΘΠ. Θετική πραγµατική είναι επίσης και η αποµένουσα συνάρτηση F 2 () γιατί:. Οι πόλοι της είναι οι πόλοι της F(), πλην του =0 που αποσπάστηκε, άρα βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο και τον jω-άξονα. 2. Τα υπόλοιπα στους πόλους αυτούς είναι τα υπόλοιπα στους ίδιους πόλους της F(), άρα θετικά. 3. Re[F 2 (jω)]'re[f(jω)]!re k 0 αφού η F(jω) είναι ΘΠ. jω 'Re[F(jω)]$0 Στην περίπτωση λοιπόν που η F() έχει πόλο για =0, κατορθώσαµε να την διασπάσουµε σε δύο θετικά πραγµατικά µέρη, από τα οποία το ένα αντιστοιχεί στον πόλο =0 και το άλλο, η αποµένουσα F 2 (), έχει όλους τους υπόλοιπους, πλήν του =0, πόλους της F(). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =0 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πυκνωτή τιµής C=/k 0 σύµφωνα µε το σχήµα 7.2α. ΣΧΗΜΑ 7.2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητας Y(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =0 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πηνίου τιµής L=/k 0 σύµφωνα µε το σχήµα 7.2β. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7. Η ρητή συνάρτηση F()' ' k 0 F 2 () F()' όπου και εποµένως F 2 ()'F()& k 0 ' & 2 έχει πόλο =0 και µπορεί να εκφραστεί ως k 0 'F() '0 ' '...' () 2 /0 '0 ' 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίσταση Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένας πυκνωτής µε C=2 στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). 7-2

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Απόσπαση πόλου =0 από την Z() Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένας επαγωγέας µε L=2 παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 (). Απόσπαση πόλου =0 από την Y() 7..2 Απόσπαση πόλου στο άπειρο ( =4) Στην περίπτωση που η προς σύνθεση ΘΠ οδηγούσα συνάρτηση F() έχει πόλο γιά = 4, είναι της µορφής F() ' N() D() ' a n n a n& n&...a a 0 b m m b m& m&...b b 0 µε n>m. Επειδή όµως η F() είναι ΘΠ, όταν έχει πόλο στο άπειρο µπορεί µόνον να ισχύει n = m +, δηλ. η τάξη του αριθµητή είναι κατά µια µονάδα µεγαλύτερη αυτής του παρονοµαστή. Η F() µπορεί εποµένως να αναλυθεί ως εξής: F() ' k 4 c m m... c c 0 b m m b m& m&... b b 0 ' F () F 2 () όπου το k 4 είναι k 4 ' a n και ο αριθµητής του F 2 () είναι το µερικό υπόλοιπο της διαίρεσης N()/D(). Το b m k 4 µπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι είναι το υπόλοιπο του πόλου = 4, που δίνεται από την σχέση: k 4 ' lim F() 64 σύµφωνα µε την θεωρία της ανάλυσης ρητής συνάρτησης σε µερικά κλάσµατα του Heaviide. Φυσικά η αποµένουσα συνάρτηση θα είναι: F 2 ()'F()&k 4 Είναι προφανές ότι η τάξη του αριθµητή του F 2 () θα είναι ίση µε m (τάξη του παρονοµαστή της F()) και η αποµένουσα συνάρτηση θα αποτελείται από δύο πολυώνυµα τάξης m. Επίσης k 4 >0 αφού η F() είναι ΘΠ και τα υπόλοιπα των πόλων του jω-άξονα είναι θετικά (βλέπε ορισµό ΙΙ ΘΠ). Η F ()=k 4 είναι λοιπόν ΘΠ. Θετική πραγµατική είναι επίσης και η αποµένουσα συνάρτηση F 2 () γιατί:. Οι πόλοι της είναι οι πόλοι της F(), πλην του =4 που αποσπάστηκε, άρα βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο και τον jω-άξονα. 2. Τα υπόλοιπα στους πόλους αυτούς είναι τα υπόλοιπα στους ίδιους πόλους της F() άρα θετικά. 3. Re[F 2 (jω)] ' Re[F(jω)] & Re[jk 4 ω] ' Re[F(jω)] $ 0 Κατορθώσαµε εποµένως να διασπάσουµε την ΘΠ συνάρτηση F(), που είχε πόλο στο άπειρο, σε δύο θετικά πραγµατικά µέρη από τα οποία το ένα αντιστοιχεί στον πόλο = 4 και το άλλο, η αποµένουσα F 2 (), έχει τους υπόλοιπους, πλήν του =4, πόλους της F(). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =4 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πηνίου τιµής L=k 4 σύµφωνα µε το σχήµα 7.3α. Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση 7-3

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ αγωγιµότητας Y(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =4 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πυκνωτή τιµής C=k 4 σύµφωνα µε το σχήµα 7.3β. ΣΧΗΜΑ 7.3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.2 Η ρητή συνάρτηση F()' έχει πόλο =4 (αφού η τάξη του αριθµητή είναι µεγαλύτερη από 2 αυτή του παρονοµαστή) και µπορεί να εκφραστεί ως F()' 'k 4 F 2 () όπου k 4 ' a n b m ' και εποµένως F 2 ()'F()&k 4 ' () &'...' 2 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίσταση Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένας επαγωγέας µε L= στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένας πυκνωτής µε C= παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 () Απόσπαση φανταστικού ζεύγους πόλων =±jω Στην περίπτωση που η ΘΠ οδηγούσα συνάρτηση F() έχει ένα συζυγές ζεύγος φανταστικών πόλων γιά = ±jω στον jω-άξονα, τότε είναι της µορφής: N() F() ' ' ( 2 ω 2 )D 2 () N() ( jω )( & jω )D 2 () που µπορεί να αναλυθεί σε µερικά κλάσµατα µε την µέθοδο των υπολοίπων ως εξής: k F() ' k & N 2 () & jω jω D 2 () 7-4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM όπου τα υπόλοιπα k και k - είναι ίσα και πραγµατικά αφού η F() είναι ΘΠ (βλέπε συνθήκη iii στον ορισµό ΙΙ των ΘΠ συναρτήσεων στο κεφάλαιο 2). Ο υπολογισµός των ίσων και πραγµατικών υπολοίπων γίνεται από τον τύπο του Heaviide: k ' k & ' ( & jω )F() ' jω ' ( jω )F() '&jω και εποµένως F() ' 2k 2 ω 2 N 2 () D 2 () ' F () F 2 () Η F () ' 2k είναι ΘΠ γιατί είναι ρητή συνάρτηση, το πραγµατικό µέρος της της F(jω) είναι µηδενικό 2 ω 2 και έχει πόλους στο κλειστό αριστερό -ηµιεπίπεδο. Γιά την F 2 () έχουµε: N() 2k F 2 () '! ' N() & 2k D 2 ( 2 ω 2 )D 2 () 2 ω 2 ( 2 ω 2 )D 2 για την οποία παρατηρούµε ότι: I. ο αριθµητής της F 2 () έχει κοινό παράγοντα το 2 ω 2, ο οποίος απλοποιείται µε τον ίδιο παράγοντα του παρονοµαστή γιατί αν αυτό δεν συνέβαινε, η F 2 () θα εξακολουθούσε να έχει πόλο για = ±jω, πράγµα άτοπο αφού ο πόλος αυτός έχει αποσπαστεί. Ο παρονοµαστής δηλ. της F 2 () είναι µετά την απλοποίηση ίσος µε το D 2 () II. Η αποµένουσα F 2 () είναι ΘΠ αφού:. εν εισήχθησαν νέοι πόλοι στην F 2 (), η οποία διατηρεί στον παρονοµαστή της D 2 () τους υπόλοιπους πόλους της F() 2. Τα υπόλοιπα στους πόλους του jω-άξονα δεν πειράχτηκαν. 3. Re[F 2 (jω)]=re[f(jω)] αφού Re[F (jω)]=0 και µε την απόσπαση δεν αφαιρέθηκε πργµατικό µέρος από την F(). Αν η F() παριστάνει οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(), η απόσπαση του φανταστικού ζεύγους πόλων αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός παράλληλου συντονιζόµενου κυκλώµατος όπως φαίνεται στο σχήµα 7.4α. Αν η F() παριστάνει οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Y(), η απόσπαση του φανταστικού ζεύγους πόλων αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός συντονιζόµενου κυκλώµατος σειράς όπως φαίνεται στο σχήµα 7.4β. Και στις δύο περιπτώσεις τα υπόλοιπα των πόλων k µαζί µε την συχνότητα ω του πόλου, καθορίζουν τις τιµές των στοιχείων των συντονιζόµενων κυκλωµάτων, έτσι που να συντονίζονται στην συχνότητα του πόλου ω. ΣΧΗΜΑ 7.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.3 Η ρητή συνάρτηση F()' ( 2 )( 2 ) έχει πόλους γιά = ±j και µπορεί εποµένως να εκφραστεί ως 7-5

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ F()' ( 2 )( 2 ) ' 2k 2 F 2 () όπου k '(&j@)f() 'j@ ' '...' (j@)( /0 2 ) 'j@ και εποµένως η αποµένουσα F 2 () θα είναι: F 2 ()'F()& 2k 2 ' ( 2 )( 2 ) & 2 2 '...' () 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένα παράλληλο συντονιζόµενο κύκλωµα µε L=2 και C=0.5, στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένα συντονιζόµενο κύκλωµα σειράς µε L= 0.5 και C=2, παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 () Μερική απόσπαση πόλου Στις αποσπάσεις πόλων που παρουσιάστηκαν µέχρι στιγµής, αποσπάται από το ανάπτυγµα της οδηγούσας συνάρτησης F() σε µερικά κλάσµατα το µέρος εκείνο που περιέχει τον ή τους αποσπόµενους πόλους του jω-άξονα (=0, =4 ή =±jω ). Τον αποσπόµενο όρο παριστάνουµε µε F () ώστε η αποµένουσα συνάρτηση να είναι F 2 ()=F()-F (). Κατά την µερική απόσπαση πόλου, αφαιρούµε κλάσµα kf () της F () από την F() οπότε η αποµένουσα συνάρτηση F 2 () είναι F 2 ()=F()-kF (). Αποδεικνύεται ότι η αποµένουσα συνάρτηση µετά την µερική απόσπαση πόλου (ή ζεύγους πόλων) είναι ΘΠ και διατηρεί τους πόλους της αρχικής µε διαφορετικά όµως µηδενικά. Γιά τον λόγο αυτό, η µερική απόσπαση πόλου λέγεται και µετατόπιση των µηδενικών (zero hift). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.4 Η ρητή ΘΠ συνάρτηση F()' έχει πόλο =4 (αφού η τάξη του αριθµητή είναι µεγαλύτερη από 2 αυτή του παρονοµαστή) και µπορεί να εκφραστεί ως F()' , όπου 2 'k 4 F 2 () k 4 ' a n ' b m Η πλήρης απόσπαση του πόλου γιά =4 έγινε στην εφαρµογή 7.2: F 2 ()'F()&k 4 ' () &'...' 2 2 Η µερική απόσπαση του πόλου µπορεί να γίνει αν αντί γιά k 4 χρησιµοποιήσουµε π.χ 0.5 k 4 οπότε η αποµένουσα θα είναι: 7-6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM F 2 ()'F()& 2 k 4 ' & 2 '...' 2 ( 2 33) 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασηw Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένας επαγωγέας µε L=/2 στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένας πυκνωτής µε C=/2 παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 (). Σηµειώνεται ότι η F 2 () είναι της ίδιας µορφής µε την F() αλλά µε µετατοπισµένα µηδενικά '0 και '& 3 ως προς αυτά της F() που είχε 2 ±j 3 '0 και '&±j Απόσπαση σταθεράς Οι οδηγούσες συναρτήσεις F(), ως ΘΠ συναρτήσεις έχουν πραγµατικό µέρος Re{F(jω)]$0 γιά κάθε ω πραγµατικό. Αν το πραγµατικό µέρος Re{F(jω)] δεν µηδενίζεται πουθενά αλλά έχει µιά ελάχιστη πεπερασµένη τιµή F ΜΙΝ γιά µια τιµή ω της συχνότητας ω, όπως γιά παράδειγµα στο σχήµα 7.5α, τότε µπορούµε να αφαιρέσουµε από την F() µια σταθερά F ο #F ΜΙΝ και η αποµένουσα F 2 ()=F()-F ο να είναι ΘΠ. ΣΧΗΜΑ 7.5α Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης, η απόσπαση της F ΜΙΝ αντιστοιχεί µε την απόσπαση ενός αντιστάτη αντίστασης R=F ΜΙΝ και η F() υλοποιείται ως εν σειρά σύνδεση του αντιστάτη αυτού µε την αποµένουσα συνάρτηση F()-R (σχήµα 7.5β). ΣΧΗΜΑ 7.5β Αν η F() είναι οδηγoύσα συνάρτηση αγωγιµότητας, η απόσπαση της F ΜΙΝ αντιστοιχεί µε την απόσπαση ενός αντιστάτη αγωγιµότητας G=F ΜΙΝ και η F() µπορεί να υλοποιηθεί ως παράλληλη σύνδεση της αγωγιµότητας αυτής µε την αποµένουσα συνάρτηση F()-G (Σχήµα 7.5γ). Φυσικά γιά να γίνει απόσπαση σταθεράς πρέπει πρώτα να ελεγχθεί η ύπαρξη της ελάχιστης τιµής F min ώστε να καθοριστεί η µέγιστη τιµή της F min, η οποία µπορεί να αποσπαστεί. 7.2 Ελάχιστες ΘΠ Συναρτήσεις Παρουσιάσαµε τις αποσπάσεις των πόλων γιά =0, =4 και =±jω από µιά οδηγούσα συνάρτηση. Με την διαδικασία αυτή γίνεται απόσπαση όλων των πόλων που βρίσκονται πάνω στον jω-άξονα µε αποτέλεσµα, η αποµένουσα συνάρτηση µετά από όλες τις αποσπάσεις, να µην έχει πόλους στον jω-άξονα. Αν αποσπά- 7-7

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ σουµε και όλους τους πόλους του jω-άξονα από την, τότε θα προκύψει µια αποµένουσα F α (jω), η F() οποία δεν θα έχει ούτε πόλους ούτε µηδενικά πάνω στον jω-άξονα. Αν η F α (jω) ή η αντίστροφή της F a (jω) έχει σε µια συχνότητα ω ελάχιστο πραγµατικό µέρος, αυτό µπορεί να αποσπαστεί έτσι που να προκύπτει µια αποµένουσα της οποίας το πραγµατικό µέρος µηδενίζεται για ω και επιπροσθέτως δεν έχει πόλους ή µηδενικά στον jω-άξονα..τέτοιες συναρτήσεις, χωρίς πόλους και µηδενικά στον jω-άξονα και µε µια συχνότητα ω στην οποία µηδενίζεται το πραγµατικό τους µέρος, ονοµάζονται ελάχιστες ΘΠ, είναι θεµελιώδους σηµασίας γιά την σύνθεση κυκλωµάτων και ορίστηκαν γιά πρώτη φορά από τον Bode. ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΘΠ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Μια ρητή ΘΠ συνάρτηση F() ορίζεται ως ελάχιστη ΘΠ τότε και µόνο τότε αν: i) εν έχει πόλους ή µηδενικά στον jω-άξονα είναι δηλ. ο αριθµητής και ο παρονοµαστής αυστηρά Hurwitz πολυώνυµα. ii) Εχει πεπερασµένες θετικές τιµές γιά =0 και =4 iii) Το Re[F(jω)]=0 γιά µια τουλάχιστον τιµή ω 0 γιά την οποία Im[F(jω 0 )] να είναι µη µηδενικό. Από µια ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση και από την αντίστροφή της, δεν είναι δυνατή η απόσπαση πόλων του jω-άξονα και σταθεράς και στην ιδιότητα αυτή οφείλεται και η ονοµασία. Η ελαχιστοποίηση εποµένως µιάς ΘΠ συνάρτησης έγκειται στην απόσπαση όλων των πόλων του jω-άξονα της ίδιας και της αντίστροφής της ώστε να ικανοποιηθεί ο όρος i του ορισµού καθώς και της µέγιστης δυνατής σταθεράς ώστε να ικανοποιηθεί ο όρος (iii) του ορισµού. Με την απόσπαση των πόλων γιά =0 και =4, ικανοποιείται αυτόµατα και ο όρος (ii) του ορισµού. Την µεθοδολογία αυτή ακολουθούµε γενικά γιά την σύνθεση µιας ΘΠ οδηγούσας συνάρτησης έως ότου καταλήξουµε σε ελάχιστη ΘΠ αποµένουσα συνάρτηση, όπως θα δούµε στο επόµενο εξαντλητικό παράδειγµα. Σηµειώνεται ότι µπορεί κανείς να αρχίσει την απόσπαση πόλων του jω-άξονα από την F(), να συνεχίσει µε απόσπαση πόλων του jω-άξονα της και µετά να επανέλθει στην F(). Οπως θα δούµε, F() την σειρά επιβάλλουν οι σχέσεις που προκύπτουν. Φυσικά µε την απόσπαση των πόλων της F() και της F() ουσιαστικά συνθέτουµε το κύκλωµα έως ότου φτάσουµε σε µια αποµένουσα που είναι ελάχιστη ΘΠ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.5 Να ελαχιστοποιηθεί και συντεθεί η παρακάτω οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης: Z()' N() D() ' ( 2 4)( ) Στην εφαρµογή 2.32 του κεφαλαίου 2, έχει ελεγχθεί η Z() και έχει βρεθεί ότι είναι ΘΠ. Αν ο έλεγχος ΘΠ δεν γίνει και η Z() δεν είναι ΘΠ, τότε σε κάποιο στάδιο της ελαχιστοποίησης-σύνθεσης θα προκύψει ένα µη πραγµατοποιήσιµο µε RLCM κυκλώµατα στοιχείο, π.χ. ένας αρνητικός πυκνωτής. Η δεδοµένη πάντως συνάρτηση Z() έχει εµφανείς πόλους στον jω-άξονα γιά =0, =±j2 καθώς και γιά =4, αφού ο αριθµητής είναι µεγαλύτερης τάξης από τον παρονοµαστή. Η ύπαρξη και µόνον των πόλων αυτών στον jω-άξονα υποδεικνύει ότι η Z() δεν είναι ελάχιστη. Αποσπώντας τους προαναφερθέντες πόλους του jω-άξονα η εναποµένουσα συνάρτηση ίσως να είναι ελάχιστη. Ας τους αποσπάσουµε.. Απόσπαση του πόλου γιά =4 Z()=k 4 +Z 2 (), k 4 = και εποµένως Z 2 ()=Z()-. Κάνοντας την αφαίρεση βρίσκουµε ότι Z 2 () ' N () D() ' ( 2 4)( ) η οποία εξακολουθεί να έχει τον ίδιο παρονοµαστή µε την Z() όχι όµως και πόλο γιά =4 αφού αυτός αποσπάστηκε. Η απόσπαση αυτή αντιστοιχεί στην υλοποίηση µε την απόσπαση ενός πηνίου επαγωγής L = 7-8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM το οποίο συνδέεται στη σειρά µε την αποµένουσα Z 2 () όπως φαίνεται στο σχήµα 7.6α ΣΧΗΜΑ 7.6α 2. Απόσπαση του πόλου γιά =0 Η Z 2 () έχει ακόµα τον πόλο =0 που µπορούµε να αποσπάσουµε κατά τα γνωστά: Z 2 () ' k 0 Z 3 (), k 0 'Z() '0 ' 2 Z 3 () ' Z 2 ()& 2 ' ( 2 4)( ) Η απόσπαση του πόλου γιά =0 αντιστοιχεί στην σύνθεση µε την απόσπαση ενός πυκνωτή τιµής C =0.5, που συνδέεται στη σειρά µε την αποµένουσα Z 3 () σύµφωνα µε το σχήµα 7.6β. Σχήµα 7.6β Η αποµένουσα Z 3 () δεν έχει φυσικά τον πόλο στο 0 αλλά διατηρεί τους υπόλοιπους πόλους της Z 2 () µεταξύ των οποίων και γιά ±j2 που θα αποσπαστούν στη συνέχεια κατά τα γνωστά. 3. Απόσπαση ζεύγους πόλων γιά =±j2 Σύµφωνα µε αναπτύχθηκαν µέχρι τώρα, το φανταστικό συζυγές ζεύγος πόλων =±j2 µπορεί να αποσπαστεί ως εξής 2k Z 3 () ' 2 4 Z 4 () µε k ' ( & j2)z 3 () ' 'j2 2 και Z 4 ()'Z 3 ()& 2 4 ' ( 2 4)( ) όπου ο αριθµητής περιέχει τον όρο 2 +4, όπως µπορεί εύκολα να εξακριβωθεί από την διαίρεσή του µε τον όρο αυτό, η οποία θα αφήσει µηδενικό υπόλοιπο. Ετσι, ο όρος 2 +4 του αριθµητή θα απλοποιηθεί µε τον παρονοµαστή γιά να πάρουµε: Z 4 () ' Η παραπάνω απόσπαση του συζυγούς φανταστικού ζεύγους πόλων ερµηνεύεται κατά τα γνωστά ως απόσπαση ενός παράλληλου συντονιζόµενου κυκλώµατος µε L 2 =0.25 και C 2 =. Το παράλληλο αυτό συντονιζόµενο κύκλωµα εµφανίζεται φυσικά στη σειρά µε την αποµένουσα συνάρτηση Z 4 (), όπως στο σχήµα 7.6γ. ΣΧΗΜΑ 7.6γ Η Z 4 () µετά την απόσπαση των εµφανών πόλων της στον jω-άξονα, ίσως είναι ελάχιστη ΘΠ. Αν ήταν 7-9

10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ελάχιστη θα έπρεπε τόσο οι πόλοι όσο και τα µηδενικά της να βρίσκονται στο ανοιχτό αριστερό -ηµιεπίπεδο (όχι στον jω-άξονα), πράγµα που σηµαίνει ότι τόσο ο αριθµητής όσο και ο παρονοµαστής θα έπρεπε να είναι αυστηρά Hurwitz πολυώνυµα. Εφαρµόζοντας το κριτήριο Routh γιά τον παρονοµαστή βρίσκουµε: ' Αφού ο παρονοµαστής είναι 4ης τάξης πολυώνυµο και έχουµε 4 θετικά µερικά υπόλοιπα, είναι αυστηρά Hurwitz. Το κριτήριο Routh γιά τον 4ης τάξης αριθµητή δίνει: ' 9( 2 ) 6( 2 ) ' 2 3 που τελειώνει πρόωρα χωρίς να δώσει 4 µερικά πηλίκα θετικά µη µηδενικά. Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµητής δεν είναι αυστηρά Hurwitz. Κατά τα γνωστά, ο όρος 2 + θα είναι κοινός παράγων του αριθµητή της Z 4 (). Πράγµατι: Z 4 () ' ( 2 )(6 2 69) από την οποία γίνεται πλέον σαφές ότι η Z 4 () έχει φανταστικό ζεύγος µηδενικών γιά =±j και εποµένως δεν είναι ελάχιστη. ΣΧΗΜΑ 7.6δ Η Y 4 ()' θα έχει εποµένως πόλο γιά =±j, ο οποίος µπορεί να αποσπαστεί. Z 4 () 4. Απόσπαση πόλων =±j από την Y 4 ()' Z 4 () Y 4 () ' 2k 2 Y 5 () µε k'(&j)y 4 () ' &63j 'j &26j ' 2 και Y 5 ()'Y 4 ()& 2 ' ( 2 )(6 2 69) ' που ερµηνεύεται κατά τα γνωστά όπως στο σχήµα 7.6ε µε C 3 = και L 3 =. ΣΧΗΜΑ 7.6ε Φτάσαµε λοιπόν σε ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση; Η Y 5 () δεν έχει πόλους ή µηδενικά στον jω-άξονα. Το ίδιο και η αντίστροφή της Z 5 ()=/Y 5 (). Μήπως όµως µπορούµε να αποσπάσουµε σταθερά από την Z 5 (); (Η 7-0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM χρήση της Z 5 () αντί της Y 5 () δεν επιβάλλεται από πουθενά αλλά γίνεται απλά γιά εξοικείωση). Γιά να απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό, πρέπει να µελετήσουµε το πραγµατικό µέρος της Z 5 (jω) και αν έχει ελάχιστη τιµή R min >0, να αποσπάσουµε µια σταθερά (αντίσταση) R=R min. Το πραγµατικό µέρος είναι: Re[Z 5 (jω)] ' Re 9 & 6ω2 j6ω & ω 2 jω ' 6ω4 & 9ω 2 9 ω 4 & ω 2 Το παραπάνω πραγµατικό µέρος είναι µονίµως θετικό (γιατί;). Ας δούµε λοιπόν αν υπάρχει ελάχιστη τιµή του πραγµατικού µέρους. Γιά να γίνει αυτό πρέπει να µελετήσουµε την παράγωγο της συνάρτησης Re[Z 5 (jω)]: d dω 2Re Z 5 (jω) ' 3ω4 &6ω 2 ' 3ω2 (ω 2 &2) (ω 4 &ω 2 ) 2 (ω 4 &ω 2 ) 2 Η παραπάνω παράγωγος µηδενίζεται γιά ω=0 και ω 2 =2, τιµές στις οποίες θα υπάρχουν ακρότατα (µέγιστο ή ελάχιστο). Ελέγχοντας και την 2η παράγωγο πιστοποιούµε ότι γιά ω=0 υπάρχει µέγιστο του πραγµατικού µέρους ενώ γιά ω' 2 υπάρχει ελάχιστο. Στις τιµές αυτές ω'0 και ω' 2 το πραγµατικό µέρος της Z 5 (jω) γίνεται αντίστοιχα 9 και 5 ενώ όταν το ω τείνει στο άπειρο, το πραγµατικό µέρος τείνει στο 6. Με τις ακραίες αυτές τιµές, είναι δυνατή η σχεδίαση της γραφικής παράστασης της Re[Z 5 (jω)] όπως έχουµε κάνει στο σχήµα 7.7. ΣΧΗΜΑ 7.7 Γίνεται σαφές ότι το πραγµατικό µέρος έχει ελάχιστη τιµή R min =5, πράγµα που σηµαίνει ότι µπορούµε να αποσπάσουµε την σταθερά R=5 ώστε το πραγµατικό µέρος της αποµένουσας να µηδενίζεται γιά ω 2 =2. Μετά την απόσπαση της αντίστασης R=5, αποµένει η Z 6 ()'Z 5 ()&5' Η απόσπαση της σταθεράςr=5 από την Ζ 5 () υλοποιείται στο σχήµα 7.8. ΣΧΗΜΑ 7.8 H Z 6 () δεν έχει πόλους ούτε µηδενικά στον jω-άξονα, το πραγµατικό της µέρος µηδενίζεται γιά µια τιµή ω ' 2 και έχει πεπερασµένες τιµές γιά =0 και =4, και εποµένως είναι ελάχιστη θετική πραγµατική.φτάνοντας σε ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση, δεν είναι δυνατή η συνέχιση της σύνθεσης µε αποσπάσεις πόλων στον jωάξονα και στη συνέχεια παρουσιάζεται µια από τις ειδικές µεθόδους, η µέθοδος Brune, που εφαρµόζονται για την σύνθεση ελαχίστων ΘΠ οδηγουσών συναρτήσεων. 7 -

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 7.3 Σύνθεση ελαχίστων ΘΠ οδηγουσών συναρτήσεων µε την µέθοδο Brune Οπως ήδη αναφέρθηκε η µέθοδος Brune χρησιµοποιείται για την σύνθεση κυκλωµάτων RLCM απο µια ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση αντίστασης η αγωγιµότητος. Εστω λοιπόν η Ζ(), ελάχιστη οδηγούσα συνάρτηση, που για =jω, το Re[Ζ(jω )]=0, όπως απαιτεί ο ορισµός των ελαχίστων συναρτήσεων. Τότε Ζ(jω ) = jx όπου Χ =Im[Z(jω )], δηλ. πραγµατικός αριθµός αφού το ω είναι ορισµένο. Σε περίπτωση που δίνεται η Y() η µέθοδος Brune αρχίζει απο την Ζ()=/Y(). Η συνέχεια της µεθόδου είναι λίγο διαφορετική για Χ >0 η Χ <0 και για το λόγο αυτό θα εξετάσουµε τις δυό περιπτώσεις ξεχωριστά Περίπτωση Χ <0 Στην περίπτωση αυτή η Ζ(jω )=jχ προσοµοιάζει προς ένα αρνητικό επαγωγέα επαγωγής L =X /ω <0 (σχήµα 7.9). ΣΧΗΜΑ 7.9 Φανταζόµαστε λοιπόν την Ζ() ως µια σύνδεση σειράς του αρνητικού επαγωγέα L και µιας αντίστασης Ζ 2 () δηλ. Z() ' X ω Z 2 () Y Z 2 () ' Z() & X ω Η Z 2 (), αφού προκύπτει από την Z() µε την προσθήκη µόνον φανταστικού µέρους, διατηρεί το πραγµατικό µέρος της ΘΠ συνάρτησης Z(), που είναι µονίµως θετικό και µηδενίζεται γιά = ± jω Z 2 (jω ) ' Z(jω ) & j X ω ω ' jx &jx ' 0 Η Ζ 2 () έχει εποµένως µηδενικό για =±jω. Επιπροσθέτως είναι ΘΠ ως άθροισµα δύο ΘΠ και έχει πόλο για =4 λόγω του όρου X /ω. Μπορούµε λοιπόν να κάνουµε δύο αποσπάσεις πόλων:. Απόσπαση του =±jω απο αγωγιµότητα Y 2 ()=/Z 2 (), που θα δώσει ένα συντονισµένο κύκλωµα σειράς παράλληλα µε την αποµένουσα Y 4 () που έχει µηδενικό για =4. 2. Απόσπαση του πόλου =4 απο την Ζ 4 ()=/Y 4 () Αποσπώντας το συζυγές ζεύγος πόλων =±jω βρίσκουµε Y 2 () ' Z 2 () ' 2k Y 2 ω 2 4 () όπου k το θετικό υπόλοιπο στον πόλο =+jω η =-jω. Η Y 4 () έχει παρονοµαστή µειωµένης κατά 2 τάξης έναντι του παρονοµαστού της Y 2 () και αφού η Ζ 2 () έχει πόλο για =4, η Υ 2 () και Y 4 () έχουν µηδενικό στην θέση αυτή. Η ερµηνεία της αποσπάσεως του ζεύγους πόλων στο =±jω δίνεται στο σχήµα 7.0γ. ΣΧΗΜΑ 7.0γ Βλέποντας τώρα την Ζ 4 ()=/Y 4 () µε πόλο =4, µπορούµε κατα τα γνωστά να τον αποσπάσουµε αποσπώντας ένα πηνίο. Η απόσπαση στηρίζεται στη σχέση: 7-2

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Z Ζ 4 ()=k 4 `+`Ζ 6 () όπου k 4 ' 4 () 'L 3 >0 /0 64 Η αποµένουσα Ζ 6 () = Ζ 4 ()-k 4 είναι κατά τα γνωστά ΘΠ συνάρτηση. Η απόσπαση του πόλου =4 αντιστοιχεί στο σχήµα 7.0δ ΣΧΗΜΑ 7.0δ Απο το σχήµα 7.0δ υπολογίζεται η Z() ως: Z() ' L L 2 C 2 L 3 Z 6 () Η Ζ 6 () δεν έχει πόλο για =4 (αφού έχει αποσπασθεί) και εποµένως για 6 4, η ποσότητα C για την Ζ() έχουµε: Z(64) 6 L ' L L 2 L L 3 L 2 L 3 L 2 L 3 L 2 L 3 Η Ζ() έχει αρχικά υποτεθεί ότι είναι ελάχιστη ΘΠ εποµένως έχει πεπερασµένη τιµή γιά =4, που σηµαίνει ότι στην παραπάνω έκφραση του ορίου θα πρέπει L L 2 L L 3 L 2 L 3 '0 (αν αυτό δεν ισχύει τότε το όριο δεν θα είναι πεπερασµένο, αφού η ποσότητα πολλαπλασιάζεται µε ). Το L 3 είναι θετικό αφού έχει προκύψει από απόσπαση πόλου ΘΠ συνάρτησης γιά =4 και από την παραπάνω σχέση βρίσκουµε ότι L 3 '& L L 2 L L 2 >0 6 L L 2 >0 Επίσης γιά το θετικό L 2 βρίσκουµε ότι L 2 '& L L 3 >0 6 L L 3 >0 L L 3 Η τελική Ζ 6 () µπορεί να είναι ελαχίστη οπότε η συνέχεια της σύνθεσης γίνεται µε την ίδια µέθοδο. Αν δεν είναι ελαχίστη, την κάνουµε ελαχίστη µε αποσπάσεις πόλων στον jω-άξονα και τυχόν σταθεράς και προχωρούµε. Στο κύκλωµα του σχήµατος 7.0δ, το οποίο επαναλαµβάνουµε στο 7.0ε, εµφανίζεται ένας αρνητικός επαγωγέας L, ο οποίος δεν είναι φυσικά πραγµατοποιήσιµος µε κυκλώµατα RLCM. Αν όµως χρησιµοποιηθεί η ισοδυναµία των κυκλωµάτων του σχήµατος 7.0ε (βλέπε εφαρµογή 8.5 στο κεφάλαιο 8), τότε το κύκλωµα µε τον µετασχηµατιστή είναι πραγµατοποιήσιµο µόνον εάν L p >0, L >0 και k' M #. L L p και ΣΧΗΜΑ 7.0ε 7-3

14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Φυσικά L = L 2 +L 3 >0 αφου L 2 >0 και L 3 >0. Παραπάνω επίσης αποδείξαµε ότι L +L 2 >0 και εποµένως και L p >0. Αντικαθιστώντας στην έκφραση του συντελεστή ζεύξης k τις τιµές L p 'L L 2 L 'L 2 L 3 και M'L 2 βρίσκουµε: k' M L p L ' L 2 ' (L L 2 )(L 2 L 3 ) L 2 L L 2 L L 3 L 2 L 3 L 2 2 ' L 2 L 2 ' Eποµένως το κύκλωµα του σχήµατος 7.0ε µε τον µετασχηµατιστή είναι πραγµατοποιήσιµο. Σηµειώνεται ότι ιδανικοί µετασχηµατιστές µε συντελεστή ζεύξης k= υπάρχουν στην πράξη και λειτουργούν αξιόπιστα ακόµα και σε αρκετά υψηλές συχνότητες. Η διαδικασία σύνθεσης µέχρι την Ζ 6 () ονοµάζεται κύκλος Brune και οδηγεί στο κύκλωµα Brune µε τον µετασχηµατιστή (σχ. 7.) όπου η Ζ 6 () έχει αριθµητή και παρονοµαστή µε τάξη µειωµένη κατά 2 σε σχέση µε την Z(). ΣΧΗΜΑ 7. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.6 Επανερχόµασατε στην ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση Z() ' 2 4, που καταλήξαµε στην τελευταία 2 εφαρµογή. Θα εφαρµόσουµε την µέθοδο Brune για την πραγµατοποίησή της. Το Re[Z(jω)] µηδενίζεται για τις τιµές ω ' 2 και ω 2 '& 2. Η Z() για το την συχνότητα ω γίνεται Z(jω ) '&j 2 δηλ. X '& 2<0 Κατά τα προαναφερθέντα αποσπούµε απο την Ζ() ένα αρνητικό πηνίο επαγωγής L =- οπότε η αποµένουσα Ζ 2 () είναι Z 2 () ' Z() ' , που έχει εκ κατασκευής µηδενικό για =±jω και 2 πόλο =4. ΣΧΗΜΑ 7.2 Εποµένως µπορούµε να αποσπάσουµε απο την Y 2 ()=/Z 2 () το συζυγές ζεύγος φανταστικών πόλων ως εξής: 7-4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Y 2 () ' 2k 2 2 Y 3 () µε k ' ( j 2)Z() '&j 2 '...' 4 Y Y 3 () ' Y 2 () & ' 2( 2) Η Y 2 () είναι λοιπόν ένα συντονισµένο κύκλωµα σειράς (µε L= 2 και C=/4 ) παράλληλα µε µε την Ζ 3 =2+4 (σχ.7.2β) που υλοποιείται στο σχήµα 7.2γ και ισοδύναµα αυτό του 7.2δ Περίπτωση Χ >0 Στη συχνότητα ω, στην οποία µηδενίζεται το Re[Z (jω)], έχουµε ότι Ζ(jω )=jim[z(jω )] =jx. Φυσικά φαίνεται αυτονόητο ότι η ίδια διαδικασία που ακολουθήθηκε στην προηγούµενη περίπτωση µπορεί να ακολουθηθεί και στην περίπτωση X >0. Αν όµως θεωρήσουµε ένα πηνίο L =(X /ω )>0 εν σειρά µε την αποµένουσα Ζ 2 () = Ζ () - L, δεν ξέρουµε και δεν µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι αυτή θα είναι ΘΠ. Ετσι στρεφόµαστε πρός την Y()=/Z (), που είναι ελάχιστη ΘΠ αφού η Ζ() είναι ελάχιστη ΘΠ και για =jω Y(jω ) ' Re[Z(jω )] jim[z(jω )] ' '&j jx X Αυτό σηµαίνει ότι για =jω η Y () φαίνεται ως ένας αρνητικός πυκνωτής C '&, που είναι συνδεµέω X νος παράλληλα µε µια αγωγιµότητα Y 2 () η οποία είναι µηδέν για jω=±jω, όπως φαίνεται στο σχήµα 7.3α. ΣΧΗΜΑ 7.3α Η αγωγιµότηττα αυτή είναι φυσικά ίση µε Y 2 ()'Y()&C 'Y() (X >0) ω X και είναι ΘΠ ως άθροισµα ΘΠ συναρτήσεων. Η Y 2 () έχει µηδενικά για =±jω και πόλο γιά =4. Tα µηδενικά µπορούν να αποσπαστούν ως πόλοι της Z 2 ()=/Y 2 () κατά τα γνωστά δηλ.: Z 2 () ' Y 2 () ' 2k Z 2 ω 2 4 () όπως φαίνεται στο σχήµα 7.3β, όπου φυσικά τα L 2 και C 2 είναι θετικές ποσότητες αφού k >0 ως υπόλοιπο πόλου της ΘΠ Ζ 2 () στον jω-άξονα. ΣΧΗΜΑ 7.3β Επειδή η Y 2 () είχε πόλο στο =4, η Z 2 () και η Z 4 () θα έχουν µηδενικό γιά =4 που φυσικά µπορεί να αποσπαστεί ως πόλος της Y 4 () κατά τα γνωστά δηλ. Y 4 ()=k 4 +Y 6 () όπου k 4 θετικό αφού είναι υπόλοιπο σε πόλο της Y 4 () η οποία είναι ΘΠ. Αυτό αντιστοιχεί στο σχήµα 7.3γ στον πυκνωτή C 3 = k 4 >

16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η αποµένουσα Υ 6 () = Υ 4 ()-k 4 είναι κατά τα γνωστά ΘΠ συνάρτηση. Απο το σχήµα 7.3γ βρίσκουµε: Y () ' C C 2 C 3 Y 6 () L 2 Y (64) 6 C ΣΧΗΜΑ 7.3γ Η Υ 6 () δεν έχει πόλο για =4 (αφού έχει αποσπασθεί) και εποµένως αφού για 6 4, η ποσότητα για την Y () έχουµε: ' C C 2 C C 3 C 2 C 3 C 2 C 3 C 2 C 3 Η Y () έχει αρχικά υποτεθεί ότι είναι ελάχιστη ΘΠ εποµένως έχει πεπερασµένη τιµή γιά 64, που σηµαίνει ότι στην παραπάνω έκφραση του ορίου θα πρέπει η ποσότητα C C 2 + C C 3 + C 2 C 3 να είναι ίση µε µηδέν (αν δεν είναι τότε το όριο δεν θα είναι πεπερασµένο, αφού η ποσότητα πολλαπλασιάζεται µε ). εποµένως '0 Y C 3 '& C C 2 και C C C 2 C 3 C C 2 '& C C 3 2 C C 3 L Από την παραπάνω σχέση, επειδή τα C 2 και C 3 είναι θετικά, προκύπτει επίσης ότι C C 2 >0 και C C 3 >0 Το κύκλωµα που προέκυψε στην περίπτωση αυτή (σχήµα 7.3γ), περιλαµβάνει και έναν αρνητικό πυκνωτή C που δεν είναι πραγµατοποιήσιµο στοιχείο. Με την µετατροπή του κυκλώµατος-π σε ισοδύναµο τύπου-τ σύµφωνα µε το εδάφιο 8..7 του Κεφαλαίου 8, προκύπτει το ισοδύναµο τύπου-τ, το οποίο φαίνεται στο σχήµα 7.4β. ΣΧΗΜΑ 7.4 Επειδή εξακολουθεί να υπάρχει αρνητικό στοιχείο (το L 3), τα τρία πηνία σε διάταξη Τ, αντικαθίστανται µε έναν ιδανικό µετασχηµατιστή, σύµφωνα µε το σχήµα

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM ΣΧΗΜΑ 7.5 Φυσικά στο τελικό κύκλωµα πρέπει: L p >0, L >0, M>0 και ο συντελεστής ζεύξης να είναι: k' M L p L # Κάνοντας χρήση των τιµών που φαίνονται στο σχήµα 7.4 βρίσκουµε: L p ' C 2 C 3 C C 3 L 2 >0 L ' C C 2 C C 3 L 2 >0 M' C 2 C C 3 L 2 k 2 ' M 2 L )2 2 ' L p L (L ) L ) 2 )(L ) 2 L ) 3 ) '...' (αφού C C 2 C 2 C 3 C C 3 '0) Εποµένως και στην περίπτωση αυτή µε X >0, καταλήγουµε στο πραγµατοποιήσιµο κύκλωµα του Brune του σχήµατος µετά από κάθε κύκλο Brune. Τελικό συµπέρασµα Μια ΘΠ συνάρτηση µπορεί µε διαδοχικές αποσπάσεις των πόλων και των µηδενικών του jω-άξονα να συντεθεί έως ότου φτάσουµε σε µια αποµένουσα ΘΠ συνάρτηση, η οποία δεν θα έχει πλέον πόλους και µηδενικά στον jω-άξονα. Αν η ελάχιστη τιµή του πραγµατικού µέρους της αποµένουσας αυτής συνάρτησης για =jω έχει µια ελάχιστη τιµή στην συχνότητα ω, την αποσπούµε και η αποµένουσα είναι ελάχιστη ΘΠ. Αποδείξαµε στη συνέχεια ότι µια ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση και µπορεί να συντεθεί ως οδηγούσα συνάρτηση κυκλώµατος RLCM µε την µέθοδο Brune. Εποµένως συνολικά αποδείξαµε ότι κάθε θετική πραγµατική συνάρτηση µπορεί να πραγµατοποιηθεί ως οδηγούσα συνάρτηση κυκλώµατος RLCM. Σηµειώνεται ότι η µέθοδος Brune δεν είναι η µοναδική που συνθέτει µια οποιαδήποτε ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση. Ενδεικτικά αναφέρεται και η µέθοδος Bott-Duffin, η οποία δεν εµπλέκει µετασχηµατιστές οδηγεί όµως σε πολύ πιό πολύπλοκα κυκλώµατα RLC. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.7 Η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z() Z()' είναι ελάχιστη ΘΠ και το πραγµατικό µέρος της Re[Z(jω)] µηδενίζεται γιά ω =, συχνότητα στην οποία το Im[Z(jω )]=Χ =2. Επειδή το Χ =2 είναι θετικό, θα συνθέσουµε την 7-7

18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Y()' γιά την οποία φυσικά ισχύει ότι Y(jω )'&j X και µπορεί να συντεθεί όπως στο παρακάτω σχήµα Η αγωγιµότητα Y 2 () είναι φυσικά ίση µε Y 2 ()'Y()&C 'Y() 2 ' και είναι ΘΠ ως άθροισµα ΘΠ συναρτήσεων. Η Y 2 () έχει εκ κατασκευής µηδενικά για =±jω =±j (ελέγξτε το!) και πόλο γιά =4 αφού ο αριθµητής είναι µεγαλύτερης τάξης από τον παρονοµαστή. Εποµένως η 4 Z 2 ()' έχει πόλους γιά =±jω =±j που µπορούν να αποσπαστούν κατά τα γνωστά δηλ.: Z 2 () ' 2k Z 2 ω 2 4 () µε k '(&j)z 2 ()* 'j '...' 2 όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα µε Z 4 ()'Z 2 ()& 2 '..' Επειδή η Y 2 () είχε πόλο στο =4, η Y 4 () =/Ζ 4 () = + τον διατηρεί και µπορεί να αποσπαστεί κατά τα γνωστά δηλ. Y 4 ()=k 4 +Y 6 () όπου k 4 = και Y 6 ()=. Αυτό αντιστοιχεί στο επόµενο σχήµα στον πυκνωτή C 3 =. Το κύκλωµα αυτό είναι ισοδύναµο µε το παρακάτω τύπου-π το οποίο έχει ακόµα ένα αρνητικό στοιχείο, που απορροφάται αν χρησιµοποιήσουµε για το Τ των επαγωγέων το ισοδύναµο µε µετασχηµατιστή, που φαίνεται παρακάτω. 7-8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM µε L p ' C 2 C 3 C C 3 L 2 '4 L ' C C 2 C C 3 L 2 ' M' C 2 C C 3 L 2 '2 7.4 Σύνθεση κυκλωµάτων LC Τα χωρίς απώλειες (lole) κυκλώµατα που αποτελούνται µόνο από επαγωγείς και πυκνωτές ονοµάζονται κυκλώµατα LC. Τα κυκλώµατα LC αποτελούν µια πολύ ενδιαφέρουσα και χρήσιµη κατηγορία κυκλωµάτων και προτιµώνται στη σύνθεση τόσο γιά την απουσία απωλειών όσο και γιά την ευκολία σχεδίασης τους σε σύγκριση µε άλλα κυκλώµατα Ιδιότητες των συναρτήσεων LC ΣΧΗΜΑ 7.6 Η οδηγούσα συνάρτηση Z() ενός LC µονοθύρου και φυσικά η αντίστροφός της Y()=/Z() είναι ρητές ΘΠ συναρτήσεις αφού η κατηγορία αυτή κυκλωµάτων εντάσσεται στην γενικότερη των RLCM, γιά την οποία απεδείχθη ότι οι οδηγούσες συναρτήσεις είναι ΘΠ. Οι γενικές σχέσεις.3 και.4 του κεφαλαίου, που δίνουν τις οδηγούσες συναρτήσεις, γίνονται στην περίπτωση των LC κυκλωµάτων: V Z() ' 0 () V M I () 2 0 () Y() ' 0 () ( M V () 2 ( 0 () αφού F 0 ()=0 λόγω της απουσίας αντιστάσεων. Αξίζει να υπενθυµίσουµε ότι αν και οι ποσότητες Ι () 2, V () 2, V 0 και M 0 είναι συναρτήσεις του, έχουν πάντα πραγµατικές τιµές µη αρνητικές γιά κάθε πραγµατικό ή µιγαδικό. Βάσει αυτής της παρατήρησης, αν η Z() έχει ένα µηδενικό γιά = 0, τότε V 0 ( 0 ) 0 M 0 ( 0 ) ' 0 Y 2 0 '& V 0 ( 0 ) 0 M 0 ( 0 ) που είναι αρνητική πραγµατική ποσότητα. Αυτό σηµαίνει ότι τα µηδενικά της Z() είναι φανταστικά συζυγή V ζεύγη της µορφής 0 ' ± j 0 ( 0 ) χωρίς δηλ. πραγµατικό µέρος και βρίσκονται πάνω στον jω- M 0 ( 0 ) ' ± jω 0 άξονα. Φυσικά, µηδενικά =0 και =4 µπορούν να παρουσιαστούν αλλά θα είναι απλά, αφού η Z() είναι ΘΠ. Απλά επίσης πρέπει να είναι και τα φανταστικά ζεύγη µηδενικών 0 =±jω 0. Είναι προφανές ότι και οι πόλοι της Z() θα είναι ή συζυγή φανταστικά ζεύγη p =±jω p πολλαπλότητος, ή απλοί πόλοι στο =0 ή =4, αφού οι πόλοι της Z() είναι µηδενικά της Y()=/Z(). Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι ο αριθµητής N() και ο παρονοµαστής D() οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης ή αγωγιµότητας κυκλώµατος LC είναι της µορφής 7-9

20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ F()'(jω )(&jω )(jω 2 )(&jω 2 )...(jω n )(&jω n ) '( 2 ω 2 )( 2 ω 2 2 )...( 2 ω 2 n ) όπου ο παράγοντας µπορεί να υπάρχει ή όχι δηλώνοντας ρίζα =0 (πόλος ή µηδενικό =0, ανάλογα αν πρόκειται γιά παρονοµαστή D() ή αριθµητή N()). Η παρουσία επίσης του κάνει το αντίστοιχο πολυώνυµο περιττό ενώ χωρίς το το πολυώνυµο είναι άρτιο. Από την γενική µορφή του Z() γιά =jω, δηλ. ωm Z(jω) ' j 0 I (jω) & V 0 2 ω I (jω) 2 συµπεραίνουµε ότι η Z(jω) είναι καθαρά φανταστική ποσότητα µε Re[Z(jω)]=0 γιά κάθε ω. Από την γενική µορφή των πολυωνύµων του αριθµητή και του παρονοµαστή µπορούµε εποµένως να πούµε ότι δεν µπορούν και τα δύο να είναι άρτια ή και τα δύο περιττά γιατί τότε το Z(jω) θα ήταν πραγµατικό, ενώ σύµφωνα µε τα παραπάνω πρέπει να είναι φανταστικό. Εποµένως στις οδηγούσες συναρτήσεις-lc, ή θα έχουµε άρτιο αριθµητή και περιττό παρονοµαστή ή περιττό αριθµητή και άρτιο παρονοµαστή. Αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η διαφορά των βαθµών των πολυωνύµων του αριθµητή και παρονοµαστή είναι ακριβώς ίση µε την µονάδα. Τελικά οι δύο πιθανές µορφές µιας οδηγούσας συνάρτησης LC είναι: F LC () ' ( 2 ω 2 z )( 2 ω 2 z2 )( 2 ω 2 z3 )... ( 2 ω 2 zn ) ( 2 ω 2 p )( 2 ω 2 p2 )( 2 ω 2 p3 )... ( 2 ω 2 pn ) ή F LC () ' ( 2 ω 2 z )( 2 ω 2 z2 )( 2 ω 2 z3 )... ( 2 ω 2 zn ) ( 2 ω 2 p )( 2 ω 2 p2 )( 2 ω 2 p3 )... ( 2 ω 2 pn ) από τις οποίες µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα ότι οι οδηγούσες συναρτήσεις LC είναι περιττές συναρτήσεις δηλ. F LC (-)=-F LC (). Οι οδηγούσες συναρτήσεις λοιπόν των κυκλωµάτων LC µπορούν να έχουν πόλους µόνον της µορφής =0 =4 και =±jω p, οπότε η ανάλυσή τους σε µερικά κλάσµατα είναι F LC () ' k 4 k 0 k k 2 k... n 2 ω 2 p 2 ω 2 p2 2 ω 2 pn όπου k 4 και k 0 τα υπόλοιπα στους πόλους =4 και =0 αντίστοιχα και k, k 2,... k n τα διπλάσια των υπολοίπων στους φανταστικούς πόλους. Προφανώς γιά =jω οι οδηγούσες συναρτήσεις LC έχουν µηδενικό πραγµατικό µέρος, όπως εξάλλου αναµένεται αφού είναι όπως αναλύθηκε παραπάνω, περιττές: F LC (jω) ' j k 4 ω & k 0 ω k ω k 2 ω k... n ω ' jx(ω) ω 2 p &ω2 ω 2 p2 &ω2 ω 2 pn &ω2 Η ποσότητα X(ω) ορίζεται ως η αντίδραση του κυκλώµατος αν η F LC () είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ LC () ή ως επιδεκτικότητα αν η F LC () είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ LC () και συµβολίζεται συνήθως µε Β(ω). Παίρνοντας την παράγωγο της αντίδρασης X(ω) ως προς ω, βρίσκουµε: dx(ω) dω ' k 4 k 0 ω k (ω 2 p ω2 )... $ 0 γιά ω < 4 2 (ω 2 p &ω2 ) 2 και dx(ω) dω 6 k 4 >0 όταν ω 64 Εποµένως η Χ(ω) είναι µονοτονικά αύξουσα συνάρτηση πράγµα που αποκαλύπτει, όσον αφορά τους πόλους και τα µηδενικά της, ότι αυτά εναλλάσσονται πάνω στον jω-άξονα δηλ. υπάρχει πάντα ένα µηδενικό (πόλος) ανάµεσα σε δύο πόλους (µηδενικά). Την γενική εικόνα της αντίδρασης Χ(ω) και της επιδεκτικότητας Β(ω) δίνει το σχήµα 7.7α ενώ στο 7.7β και 7.7γ φαίνεται πως παραβιάζεται η συνθήκη της θετικότητος της παραγώγου (και εποµένως η µονοτονικότητα της Χ(ω)) όταν φανταστούµε δύο συνεχόµενα µηδενικά ή πόλους. 7-20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM ΣΧΗΜΑ 7.7 ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ LC. Οι οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων LC είναι περιττές ΘΠ συναρτήσεις του και εκφράζονται ως λόγοι δύο πολυωνύµων, ενός πλήρους αρτίου και ενός πλήρους περιττού µε θετικούς συντελεστές. 2. Ο βαθµός αριθµητή και παρονοµαστή διαφέρουν ακριβώς κατά. 3. Η οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων LC έχουν πόλους και µηδενικά µόνον πάνω στον jω-άξονα. Γιά =0 και γιά =4 έχουν όπωσδήποτε απλό πόλο ή µηδενικό. 4. Οι πόλοι και τα µηδενικά των οδηγουσών συναρτήσεων LC εναλλάσσονται πάνω στον jω-άξονα. Οι παραπάνω ιδιότητες αποτελούν αναγκαίες µόνον συνθήκες γιά να είναι µιά ρητή ΘΠ συνάρτηση οδηγούσα συνάρτηση LC. Αν δηλ. µιά συνάρτηση δεν ικανοποιεί έναν από τους παραπάνω όρους, δεν είναι οδηγούσα συνάρτηση LC Η µέθοδος Foter Οι οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων LC αναλύονται σε µερικά κλάσµατα όπως φαίνεται παρακάτω: Z LC () ' k 4 k 0 k k 2 k... n 2 ω 2 p 2 ω 2 p2 2 ω 2 pn ή Y LC () ' k 4 k 0 k k 2 k... n 2 ω 2 p 2 ω 2 p2 2 ω 2 pn όπου όλα τα υπόλοιπα k των πόλων είναι µη αρνητικά αφού οι οδηγούσες συναρτήσεις είναι ΘΠ. Η αναλυµένη σε µερικά κλάσµατα οδηγούσα συνάρτηση υπαγορεύει και έναν τρόπο σύνθεσης υλοποιώντας κάθε µερικό κλάσµα χωριστά όπως φαίνεται στο σχήµα 7.8. ΣΧΗΜΑ

22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Φυσικά η µέθοδος αυτή δεν είναι τίποτα το διαφορετικό από διαδοχικές αποσπάσεις των πόλων της οδηγούσας συνάρτησης, που είναι όλοι πάνω στον jω-άξονα. Η µέθοδος αυτή σύνθεσης ονοµάζεται µέθοδος Foter και οδηγεί σε κανονικά κυκλώµατα δηλ. κυκλώµατα µε τόσα στοιχεία L και C όση είναι η τάξη της οδηγούσας συνάρτησης. Κάθε απόσπαση πόλου ελαττώνει τον βαθµό της αποµένουσας κατά αν ο αποσπόµενος πόλος είναι στο 0 ή το 4, ή κατά 2 αν πρόκειται γιά συζυγές φανταστικό ζεύγος πόλων. Παρακάτω δίνουµε ένα παράδειγµα σύνθεσης µε την µέθοδο Foter. ΕΦΑΡΜΟΓΗ.8 Z()' k ' 2 Z() ' /0 3 2 '& 6 Το κύκλωµα φαίνεται στο σχήµα 7.9α. ( 2 4) 2( 2 )( 2 9) ' k 2 k k 2 ' 2 9 Z() /0 2 '&9 3 4 Να συντεθεί κύκλωµα LC µε αντίσταση εισόδου Z() ' Η µέθοδος Foter στηρίζεται στην ανάπτυξη της Z() σε µερικά κλάσµατα στους πόλους της όπως εκτέθηκε παραπάνω. Γιά να την αναλύσουµε όµως σε µερικά κλάσµατα, χρειαζόµαστε τις ρίζες του παρονοµαστή, δηλ. τους πόλους. Λύνοντας την σχετική δευτεροβάθµια ως προς το 2 εξίσωση, βρίσκουµε ότι οι πόλοι είναι =±j και =±j3. Ετσι η Z() µπορεί να γραφτεί και να αναλυθεί, ως εξής: 3 ' 5 6 Y Z()' Αν συνθέσουµε την Y(), τότε έχουµε: ΣΧΗΜΑ 7.9 Y()' ' 2( 2 )( 2 9) 3 4 ( 2 4) Y() k 4 ' / 0 Y Y()'k 4 k 0 k 0 'Y() '0 '4.5 k ' '4'2 2 4 Y() /0 2 '&4 k 2 4 '7.5 και εποµένως Y() ' Το κυκλωµα που αντιστοιχεί στην παραπάνω σχέση, φαίνεται στο σχήµα 7.9β Οι µέθοδοι Cauer Οι µέθοδοι Cauer στηρίζεται στην απόσπαση πόλων =0 ή =4 από την οδηγούσα συνάρτηση LC την οποία όµως βλέπουµε διαδοχικά την µια ως αντίσταση και την άλλη ως αγωγιµότητα. Ετσι προκύπτουν κλάδοι σειράς και παράλληλοι κλάδοι σχηµατίζοντας κλιµακωτό (ladder) κύκλωµα όπως φαίνεται στο σχήµα

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM ΣΧΗΜΑ 7.20 Σύνθεση Cauer ( ιαδοχική απόσπαση πόλων γιά =4) Η σύνθεση Cauer ή πρώτη πραγµατοποίηση Cauer, ή στηρίζεται στην απόσπαση πόλων γιά =4. Ετσι αν η Z () έχει πόλο στο άπειρο (τάξη αριθµητή µεγαλύτερη από την τάξη του παρονοµαστή), µπορεί να αποσπαστεί δίνοντας έναν επαγωγέα µε L=k 4 στη σειρά µε την αποµένουσα Z 2 (): Z () = k 4 + Z 2 () (σχήµα 7.2β) Το k 4 είναι ο λόγος του συντελεστή µεγαλύτερης τάξης του αριθµητή προς τον συντελεστή µεγαλύτερης τάξης του παρονοµαστή. Aν η Z () δεν έχει πόλο στο άπειρο, επειδή η τάξη του αριθµητή είναι µικρότερη από την τάξη του παρονοµαστή, τον πόλο στο άπειρο θα έχει η Y () η οποία θα έχει το µεγαλύτερης τάξης πολυώνυµο στον αριθµητή. Ο πόλος αυτός γιά =4 thw Y () µπορεί να αποσπαστεί δίνοντας έναν πυκνωτή παράλληλα µε την αποµένουσα Y 2 (), η οποία εξακολουθεί να είναι LC.: Y ()=k 4 +Y 2 () (σχήµα 7.2α) Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται αποσπώντας κάθε φορά τον πόλο =4 από την κατάλληλη συνάρτηση αντίστασης ή αγωγιµότητος, έως ότου δεν υπάρχει πλέον αποµένουσα συνάρτηση για να συντεθεί. ΣΧΗΜΑ 7.2 H σύνθεση Cauer, όπως παρουσιάστηκε µε τις διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο, ισοδυναµεί µε την ανάλυση της οδηγούσας συνάρτησης µε την µεγαλύτερη τάξη στον αριθµητή σε συνεχές κλάσµα µε την διαίρεση του Ευκλείδη. Το συνεχές κλάσµα είναι της µορφής: Z()'k 4 'Z k 24 Y 2 k 34 Z k Y 4... ή Y()'k 4 'Y k 24 Z 2 k 34 Y 3 k Z

24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Σύνθεση Cauer 2 ( ιαδοχική απόσπαση πόλων γιά =0) Η σύνθεση Cauer 2 βασίζεται στην απόσπαση πόλων στο =0 από διαδοχικές συναρτήσεις Z() ή Y(). Βάσει των ιδιοτήτων των LC οδηγουσών συναρτήσεων, υπάρχει πάντα πόλος ή µηδενικό γιά =0. Αν η προς σύνθεση συνάρτηση έχει πόλο γιά =0, αρχίζουµε µε αυτήν. Αν δεν έχει, οπότε θα έχει µηδενικό γιά =0, αρχίζουµε από την αντίστροφή της. Αν π.χ. η Z() έχει πόλο γιά =0, τότε Z() ' k 0 Z 2 () (πυκνωτής C' k 0 στη σειρά µε τηνζ 2 ()) Αν όµως η Z() έχει µηδενικό γιά =0, τότε η Y() θα έχει πόλο γιά =0 που µπορεί να αποσπαστεί ως Y() ' k 0 Y 2 () (επαγωγέας L' k 0 παράλληλα στην Υ 2 ()) Η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί και τελικά οδηγεί σε κλιµακωτό κύκλωµα της µορφής του σχήµατος ΣΧΗΜΑ 7.22 Η σύνθεση Cauer 2, µε συνεχή απόσπαση πόλων στο =0, οδηγεί σε µιά ανάλυση σε συνεχές κλάσµα στο µηδέν της µορφής: Z()' k 0 k 20 k 30 k 'Z Y 2 Z 3 Y 4 Z 5... ΕΦΑΡΜΟΓΗ.9 Να συντεθεί κατά Cauer και Cauer 2 η παρακάτω συνάρτηση LC Z()' Η Z() έχει πόλο γιά =4, ο οποίος αποσπόµενος δίνει την Z 2 () ως εξής: Z 2 ()'Z()&k 4 όπου k 4 ' 6 6 ' και εποµένως Z 2 ()' Η απόσπαση του πόλου =4 από την Z() σηµαίνει την απόσπαση ενός επαγωγέα L =k 4 = που εµφανίζεται στη σειρά µε την Z 2 (). Η Z 2 () δεν έχει πλέον πόλο γιά =4 αλλά τον έχει η Y 2 (), Υ 2 ()' από την οποία µπορεί να αποσπαστεί γιά να δώσει την Y 3 () ως εξής: 7-24

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Y 2 ()'k 4 Y 3 () όπου k 4 ' 6 3 '2 6Y 3 ()'Y 2 ()&2' Η απόσπαση του πόλου από την Y 2 () σηµαίνει την απόσπαση ενός πυκνωτή που εµφανίζεται παράλληλα µε την Υ 3 (), η οποία δεν έχει πλέον πόλο γιά =4. Τον πόλο αυτό τον έχει πλέον η Ζ 3 ()' Y 3 () ' O πόλος αυτός στο άπειρο µπορεί να αποσπαστεί από την Z 3 () και να δώσει την Z 4 (). Z 3 ()'k 4 Z 4 () όπου k 4 ' 3 '3 Z 4 ()'Z 2 3 ()&3' 2 2 Η Z 4 () δεν έχει πλέον πόλο γιά =4 αλλά τον έχει η Y 4 () Y 4 ()' Z 4 () ' Ο πόλος αυτός της Y 4 () γιά =4 αν αποσπαστεί δίνει την Y 5 (): Y 4 ()'k 4 Y 5 () όπου k 4 ' 2 6 Y 5 ()'Y 4 ()& 2 ' Η παραπάνω διαδικασία αντιστοιχεί στο σχήµα 7.23 που δίνει την σύνθεση Cauer της δοθείσης οδηγούσας συνάρτησης LC. ΣΧΗΜΑ 7.23 Η σύνθεση Cauer απλοποιείται σηµαντικά µε διαδοχικές διαιρέσεις που οδηγούν στο συνεχές κλάσµα Z() ' ' Z 2 Y 2 3 Z Y 4 Z 5 απ' όπου είναι σαφής η παραγωγή του κυκλώµατος του σχ Γιά την πραγµατοποίηση Cauer 2 χρειαζόµαστε πόλο στο =0 για να αρχίσουµε. Τον πόλο αυτό τον διαθέτει η Y() ' Z() ' Η απόσπαση του πόλου =0 από την Y() γίνεται ως εξής: Y() ' k 0 Y A2 () k 0 ' Y() ' 0 ' 5 Η απόσπαση εµφανίζει έναν επαγωγέα µε L=/k 0 =5 παράλληλα προς την Y A2 () η οποία είναι: Y A2 () ' Y() & 5 ' ( ) Η Y A2 () δεν έχει πλέον πόλο στο µηδέν, τον έχει όµως η Ζ A2 (), από την οποία και τον αποσπούµε. Απόσπαση πόλου =0 από την Z A2 ()=/Y A2 () 7-25

26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Z A3 () ' Z A2 () & k 0 k 0 ' Z 2 () ' 0 ' 0 3 Η απόσπαση αυτή δίνει έναν πυκνωτή C=3/0 στη σειρά µε την αποµένουσα Z Α3 (). Γιά την αποµένουσα Z Α3 () έχουµε: Z Α3 () ' Z Α2 () & 0 3 ' 5( ( ) Η Z Α3 () δεν έχει πόλο =0, αλλά η Y Α3 ()=/Z Α3 () έχει και τον αποσπούµε:: Y Α4 () ' Y Α3 () & k 02 k 02 ' Y Α3 () ' 0 ' δηλαδή επαγωγέας L=202/69 παράλληλα µε την Y Α4 (), οπότε η αποµένουσα Y Α4 () είναι: Y Α4 () ' Y Α3 () & ' ( ) Απόσπαση πόλου =0 από την Z Α4 ()=/Y Α4 (): Z Α5 () ' Z Α4 () & k 03 k 03 ' Z Α4 () ' 0 ' δηλ. αποσπάται πυκνωτής C=/ και αποµένει στη σειρά Z Α5 ()= δηλ. επαγωγέας L= Η παραπάνω διαδικασία αντιστοιχεί στο σχήµα ΣΧΗΜΑ 7.24 Η διαδικασία µπορεί να συντοµευτεί αναλύοντας την αρχική Y() σε συνεχές κλάσµα στο µηδέν µε συνεχείς διαιρέσεις ως εξής: δηλαδή Y() ' Y() ' Y Z 2 Y 3 Z 4 Y Από το συνεχές αυτό κλάσµα, µπορούν να αναγνωριστούν οι επιµέρους κλάδοι του σχήµατος

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC

Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC Κεφάλαιο 08 Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC 8. Προκαταρκτικά Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάστηκε µια µέθοδος σχεδίασης ενεργών φίλτρων, κατά την οποία από τις προδιαγραφές υπολογίζεται αρχικά, µε µια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSELTHOMSON 4. ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Η χρονική καθυστέρηση συµβαίνει κατά την µετάδοση σε διάφορα φυσικά µέσα και αποτελεί ένα βασικό στοιχείο στην επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Παράµετροι και περιγραφή διθύρων Περιγραφή µε την µήτρα g 538

9.1 Παράµετροι και περιγραφή διθύρων Περιγραφή µε την µήτρα g 538 Δίθυρα κυκλώµατα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Περιεχόµενα 9. Παράµετροι και περιγραφή διθύρων 530 9... Περιγραφή µε την µήτρα Ζ 53 9..2. Περιγραφή µε την µήτρα Υ 533 9..3. Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

(s) V Ιn. ΘΕΜΑ 1 1. Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του. του κυκλώµατος και χαρακτηρίστε το.

(s) V Ιn. ΘΕΜΑ 1 1. Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του. του κυκλώµατος και χαρακτηρίστε το. Θέµατα εξετάσεων Η/Ν Φίλτρων Σας προσφέρω τα περισσότερα θέµατα που έχουν τεθεί σε εξετάσεις τα τελευταία χρόνια ελπίζοντας ότι θα ασχοληθείτε µαζί τους κατά την προετοιµασία σας. Τα θέµατα δείχνουν το

Διαβάστε περισσότερα

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5) Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί. Περίοδος περιοδικού δεκαδικού αριθμού. Γραφή των περιοδικών δεκαδικών αριθμών. Δεκαδική μορφή ρητού :

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί. Περίοδος περιοδικού δεκαδικού αριθμού. Γραφή των περιοδικών δεκαδικών αριθμών. Δεκαδική μορφή ρητού : Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί Κάθε δεκαδικός αριθμός, ο οποίος έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία από ένα σημείο και μετά επαναλαμβάνονται ακριβώς τα ίδια, ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός. Πx.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Κυκλώµατα δύο ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Κυκλώµατα δύο ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Κυκλώµατα δύο ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας από το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργαρη Πρόβληµα Ένα κύκλωµα δύο ακροδεκτών αποτελείται από δύο στοιχεία δύο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ o A. Ρητή της μορφής (0/0), με παραγοντοποίηση εμφανίζουμε το (χ-χ ο ) σε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε και στη συνέχεια κάνουμε αντικατάσταση σε ό,τι έμεινε!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα δύο Ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας

Κυκλώματα δύο Ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα δύο Ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας Φώτης Πλέσσας fplea@inf.uth.gr Εισαγωγή (/2) Ένα κύκλωμα δύο ακροδεκτών διαθέτει μια θύρα, που είναι ταυτόχρονα είσοδος και έξοδος.

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑ -L-C ΣΕ ΣΕΙΡΑ Κύκλωµα που αποτελείται από ωµική αντίσταση,ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα ευτέρας 20 / 11 / 17

Μάθηµα ευτέρας 20 / 11 / 17 90 Μάθηµα ευτέρας 20 / / 7 5) ιανυσµατικά διαγράµµατα στην Η.Μ.Κ. Κατά την µελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Η.Μ.Κ. χρησιµοποιούνται πολύ συχνά τα λεγόµενα διανυσµατικά διαγράµµατα. Οι στρεφόµενοι µε την

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ)

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Η Ευκλείδεια διαίρεση 1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων H Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Από την προηγούμενη διάλεξη Στην ανάλυση πλεγμάτων, εφαρμόζουμε τον νόμο τάσης του Kirchhoff σε όλα τα πλέγματα του κυκλώματος. Τα ρεύμα σε ένα συγκεκριμένο πλέγμα εκφράζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα