H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι για t=0 είναι v=0, οπότε η (2) δίνει: ) (3) m 1 - e- t/t

Transcript

1 Υλικό σηµείο µάζας m βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος στην θέση x= ιου άξονα Οx. Κάποια στιγµή επί του υλικού σηµείου εξασκείται δύναµη της µορφής: F = F e - t/t i όπου F, t θετικές και σταθερές ποσότητες και i το µοναδιαίο διά νυσµα του άξονα Οx. Να εκφράσετε την ταχύτητα και την µετατόπι ση του υλικού σηµείου σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις που θα βρείτε οδηγούν σε λογικά και αναµενόµε να αποτελέσµατα, όταν t ". ΛΥΣΗ: Eφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα παίρνουµε την σχέση: m dv = F e- t/t dv = F m e- t/t dv = F m e- t/t όπου v η ταχύτητά του κατά την τυχαία χρονική στιγµή t. Ολοκληρώνοντας την έχουµε: v = - F t m e- t/t + C H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι για t= είναι v=, οπότε η δίνει: = - F t m + C C = F t m Έτσι η σχέση παίρνει την µορφή: v = - F t m e- t/t + F t m v = F t m - e- t/t 3 Παρατηρούµε από την 3 ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή µηδέν σε µια οριακή τιµή F t /m την οποία λαµβάνει ασυµπωτικά. Αυτό είναι λογικό και αναµενόµενο αποτέλεσµα, διότι η δύναµη που προκαλεί την αύξηση της ταχύτητας συνεχώς φθίνει και τελικά

2 µηδενίζεται, οπότε το υλικό σηµείο παύει να επιταχύνεται και στην συνέχεια θα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά. Εξάλλου η σχέση 3 γράφεται: dx = F t m - e- t/t dx = F t m - F t m e- t/t 4 όπου x η µετατόπιση του υλικού σηµείου την χρονική στιγµή t. Ολοκληρώ νοντας την 4 παίρνουµε: x = F t m t + F t m e- t/t + C 5 Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι x=, οπότε η 5 δίνει: = + F t m + C C= - F t m Έτσι η 5 παίρνει την µορφή: x = F t m t + F t m e- t/t - F t m x = F t m t - F t m - e- t/t 6 Aπό την 6 προκύπτει ότι για t το x, γεγονός αναµενόµενο. P.M. fysikos Ένας δορύφόρος µάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από την Γη σε απόστση r από το κέντρο της και κάποια στιγµή λόγω εσωτερικής έκρηξης διασπάται σε δύο µάζες, εκ των οποίων η µία έχει µηδενική ταχύτητα και εκτελεί κατακόρυφη κίνη ση προς την Γη, ενώ η άλλη διαφεύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης. i Nα βρεθεί ποιος µπορεί να είναι ο λόγος των δύο µαζών. ii Nα βρεθεί η ελάχιστη ενέργεια που µπορεί να ελευθερωθεί κατά την έκρηξη. iii Nα βρεθεί η τελική ταχύτητα της µάζας που διαφεύγει. Δίνεται η µάζα Μ της Γης, η παγκόσµια σταθερά G της βαρύτητας και ότι στην περιοχή που κινείται ο δορυφόρος δεν υπάρχει ατµοσφαι ρικός αέρας. ΛΥΣΗ: i Πριν ο δορυφόρος εκραγεί δέχεται βαρυτική έλξη από την Γη που αποτελεί για τον δορυφόρο κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση:

3 GMm = mv r r v = GM r όπου v το σταθερό µέτρο της ταχύτητας περιφοράς του περί την Γη. Κατά τον πολύ µικρό χρόνο της έκρηξης του δορύφόρου η ώθηση της βαρυτικής έλξης τείνει στο µηδέν, που σηµαίνει ότι η ορµή του δορυφόρου λίγο πριν την έκρηξη είναι ίση µε την ορµή του συστήµατος των δύο θραυσµάτων αµέσως µετά την έκρηξη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: m v = m v + m v m v = m v Σχήµα όπου v η ταχύτητα αµέσως µετά την έκρηξη του θραύσµατος µάζας m που διαφευγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Όµως η µάζα m κίνειται ή επί παραβολικής τροχιάς, οπότε διαφεύγει οριακά από το πεδίο βαρύτητας ή κινεί ται επί υπερβολικής τροχιάς, οπότε φθάνει στο άπειρο έχοντας κάποια ταχύ τητα. Αυτό σηµαίνει ότι η µηχανική ενέργεια της µάζας m είναι µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός, δηλαδή ισχύει: m v - GMm r v GM r 3 Όµως από την έχουµε v =mv /m, οπότε η σχέση 3 γράφεται: m v m GM r m v m v m m m m m + m m m m - 4 ii H ενέργεια Ε που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη εµφανίζεται ως αυξηση της κινητικής ενέργειας των δύο θραυσµάτων σε σχέση µε την κινητική ενέρ γεια του δορυφόρου, δηλαδή ισχύει: E = m v - mv = m m v - mv m = mv m - " m

4 E = GMm r m + m - " m = GMm r " m m m = Er 4 m GMm Er GMm - E GMm r - 5 iii Aς δεχθούµε ότι η µάζα m φθάνει στο άπειρο µε ταχύτητα v. Εφαρµόζον τας για την µάζα αυτή το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρ νουµε την σχέση: m v - GMm r = m v + v - GM r = v m v m - GM r = v " m + m m v - GM r = v + m " m GM r - GM r = v GM r v " + GM r GM r v " + GM r v " γεγονός που αναµενόταν και χωρίς υπολογισµούς. P.M. fysikos Ενα διαστηµόπλοιο κινείται στο αστρικό διάστη µα σε περιοχή όπου απουσιάζει κάθε βαρυτικό πεδίο, µε ταχύτητα v. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το δια στηµόπλοιο εισέρχεται εντός αστρικού νέφους και τότε τίθεται σε λειτουργία µε την βοήθεια αυτόµατου µηχανισµού σύστηµα εκτόξευ σης καυσαερίων µε κατεύθυνση αντίρροπη της κίνησής του. Τα καυ σαέρια αποβάλλονται µε σταθερή σχετική ταχύτητα v " ως προς το διαστηµόπλοιο και µε σταθερό ρυθµό dm/=µ, ενώ η αστρική σκόνη προβάλλει στην κίνηση του διαστηµόπλοιου αντίσταση A της µορφής: A = -µ v όπου v η ταχύτητα του διαστηµόπλοιου. i Eάν η αρχική µάζα του διαστηµόπλοιου είναι Μ, να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την ταχύτητά του. ii Eάν η µάζα του καύσιµου υλικού του διαστηµόπλοιου είναι Μ /, να βρεθεί η µετατόπισή του στο χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να εξαντληθούν τα καύσιµά του.

5 ΛΥΣΗ: i Κατά την κίνηση του διαστηµοπλοίου εντός του αστρικού νέφους αυτό αποτελεί σώµα από το οποίο εκκρέει µάζα, οπότε η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την µορφή: m d v = F " " - dm v όπου m η µάζα του διαστηµοπλοίου την στιγµή t που το εξετάζουµε, v η αντί στοιχη ταχύτητά του και F " η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που δέ Σχήµα χεται από το περιβάλλον του. Λαµβάνοντας ως θετική φορά την κατεύθυνση της αρχικής του ταχύτητας v η διανυσµατική σχέση µετατρέπεται σε σχέ ση αλγεβρικών τιµών της µορφής: m dv = -A - dm v " m dv = -µv - µv " m dv = -µ v + v " M - µt d v + v " = v + v " -µ M - µt d v + v " d v + v " = d M - µt v + v " M - µt = -µ v + v " Ολοκληρώνοντας την παίρνουµε: ln v + v " = ln M - µt + lnc v + v " = C M - µt 3 Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα υπολογιστεί από την αρχική συνθήκη κίνησης v=v, οπότε η 3 δίνει C=v +v σχ /Μ και εποµένως θα έχουµε: v + v " = v + v " M M - µt v = v + v " M M - µt - v " 4

6 ii H σχέση 4 γράφεται: dx = v + v " M M - µt η οποία µε ολοκλήρωση δίνει: - v " dx = v + v " M M - µt - v " x = v + v " M M t - µt - v " t + C 5 όπου x η µετατόπιση του διαστηµόπλοιου εντός του αστρικού νέφους σε χρόνο t. Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη κίνησης x=, οπότε η 5 δίνει C = και εποµένως γράφεται: x = v + v " M M t - µt - v " t 6 Ο χρόνος κίνησης t * του διαστηµόπλοιου µέχρις ότου εξαντληθούν τα κάυσιµά του είναι ίσος µε Μ /µ και εποµένως η αντίστοιχη µετατόπιση του x *, σύµ φωνα µε την 6 είναι: x * = v + v " M M M µ - µm M 8µ - v " µ x * = v + v " M 3M 8µ - M v " M - v " µ x * = 3M 8µ v + v " µ x * = 3M 8µ 3v - v " µε v > v " / 3 P.M. fysikos Ενα σώµα αφήνεται από ύψος h εκ του οριζοντίου εδάφους και κινούµενο εντός του ατµοσφαιρικού αέρα δέχεται από αυτόν δύναµη τριβής T αντίρροπη της ταχύτητάς του v, της οποίας το µέτρο ακολουθεί την σχέση: T = kv όπου k θετική και σταθερή ποσότητα. i Nα δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της µηχανικής ενέργειας Ε του σώµατος ικανοποιεί την σχέση: de/ = -kv 3

7 ii Nα βρείτε την ταχύτητα του σώµατος την στιγµή που φθάνει στο έδαφος. ΛΥΣΗ: i Eάν v είναι η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή t που η µετατό πισή του ως προς την αρχική του θέση Ο είναι y, τότε η αντίστοιχη µηχανική του ενέργεια Ε είναι: E = mv / + mgh - y όπου m η µάζα του σώµατος. Διαφορίζοντας την παίρνουµε: de = mvdv- mgdy de dv dy = mv - mg Σχήµα 3 Όµως το διαφορικό πηλίκο dy/ αποτελεί το µέτρο της ταχύτητας v και επο µένως η σχέση γράφεται: de dv de = mv - mgv = v m dv " - mg 3 Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, µε θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση Οy την προς τα κάτω, παίρνουµε την σχέση: m dv dv = mg - T m = mg - kv m dv - mg = -kv 4 Συνδυάζοντας τις 3 και 4 έχουµε την αποδεικτέα σχέση: de/ = -kv 3 5 ii Η δεύτερη εκ των σχέσεων 4 µετασχηµατίζεται ως εξής:

8 dv = g - kv m v dv dy = g - kv m d kv / m g - k/mv = kdy m dv dy dy = g - kv m d kv / m k/mdy = g - kv m d g - kv / m = - kdy g - k/mv m 6 Oλοκληρώνοντας την 6 παίρνουµε: ln g - kv " m = - ky m + C Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα βρεθεί από τις αρχικές συνθήκες v= και y=, οπότε η πιο πάνω σχέση δίνει C=lng µε αποτέλεσµα να γράφεται: ln g - kv " m = - ky m + lng 7 H 7 την στιγµή που το σώµα φθάνει στο έδαφος δίνει: ln g - kv A " m = - kh g - m + lng ln m g " kv A = - kh m - kv A mg = e-kh/m v A = όπου v A η ζητούµενη ταχύτητα. mg k - e-kh/m P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 4 ο δακτύλιος Δ έχει µάζα m και µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος λείου κυκλικού οδηγού ακτίνας R, ο οποίος είναι στερεωµένος µε το επίπεδό του κατακόρυ φο. To ελατή ριο θεωρείται ιδανικό µε φυσικό µήκος ίσο µε R/,, το άκρο του Ο είναι ακλόνητο σε απόσταση R/ από το κέντρο Κ του κυκλικού οδηγού, η δε σταθερά του k ικανοποιεί την σχέση k=mg/r, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. i Nα καθορίσετε για τις διάφορες τιµές της σταθεράς k του ελατη ρίου τις θέσεις και το είδος ισορροπίας του δακτυλίου.

9 ii Εάν ο δακτύλιος εκτραπεί πολύ λίγο από την ανώτατη θέση του Α να βρεθεί η µέγιστή ταχύτητα του, στην περίπτωση που είναι k=mg/r. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σύστηµα δακτύλιος-ελατήριο σε µια τυχαία θέση, όπου η επιβατική ακτίνα του δακτυλίου σχηµατίζει µε την κατακόρυφη ακτίνα ΚΒ του οδηγού γωνία φ. Στην θέση αυτή το µήκος L του ελατηρίου είναι: L = O + = R/ + R" + Rµ L = R 4 + R " + R " + R µ = R 5 + 4" H δυναµική ενέργεια Uφ του συστήµατος στην θέση αυτή είναι ίση µε την βαρυτική δυναµική ενέργεια του δακτυλίου συν την δυναµική ενέργεια ελαστι κής παραµόφφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ισχύει η σχέση: U = mgr - R" + kl / Σχήµα 4 Όµως η επιµήκυνση ΔL του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση είναι ίση µε L-R/, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: U = mgr - " + kl - R/ / U = mgr - " + kr " - Επειδή µεταξύ του δακτυλίου και του οδηγού δεν υπάρχει τριβή, στην θέση ισορροπίας του συστήµατος πρέπει η πρώτη παράγωγος της Uφ να µηδενίζε ται, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

10 du = d d d mgr - " + kr " - * = Όµως mgrµ" + kr 8 d d d d" 5 +4" - = d d 5 + 4" - = 3 6+4" - 5+4" = = - 4µ" + 4µ" + = " * + µ" 5 +4" * οπότε η 3 γράφεται: mgrµ" + kr 8-4µ" + 4µ" + = 5 +4" * + -,- mgr - kr -. * µ = 4 5+4" / Aπό την 4 προκύπτει ότι οι θέσεις ισορροπίας του δακτυλίου είναι φ=, φ=π και φ=φ, µε: mgr - kr - -mgr + kr = * = ή 5+4" kr 5+4" ή = - mg 5+4" kr 5 Για να καθορίσουµε το είδος ισορροπίας του συστήµατος εξετάζουµε την δεύτε ρη παράγωγο της Uφ, οπότε θα έχουµε: d U d = d,. -. mgr"µ + kr 8-4"µ + 4"µ / * = =mgr"- kr " + kr " 5+4" + µ 5+4" / 5 +4" *, +

11 d U =mgr"- kr " d + kr " 5+4" + µ + 5+4" 3 / + * = d U + = - mgr- kr - d,-. * 5 +4" / " + kr µ 5+4" 3 / 6 Για φ= προκύπτει: " d U d = " = mgr- kr - + * - 3, = R * mg- kr >, εφ όσον mg>kr/3 ή k<3mg/r. Tότε η συνάρτηση Uφ θα παρουσιάζει στην θέση φ= τοπικό ελάχιστο σχ. 5, που σηµαίνει ότι το σύστηµα στην θέση αυτή ισορροπεί ευσταθώς. Για φ=π προκύπτει: " d U d = = - mgr < δήλαδή στην θέση αυτή η συνάρτηση Uφ παρουσιάζει τοπικό µέγιστο σχ. 5, που σηµαίνει ότι το σύστηµα ισορροπεί ασταθώς. Για φ=φ προκύπτει: Σχήµα 5 Σχήµα 6 " d U " d = mgr- kr = + - -,. 5 +4* / * + kr µ 5+4* 5 3 / " d U " d = mgr- kr = -+ mg + * -./ kr +kr µ - mg + * -, kr, 3

12 " d U d = kr µ - mg, +. * kr - = 3 > εφ όσον -mg/kr> ή k>mg/r. Tότε η συνάρτηση Uφ θα παρουσιάζει στην θέση φ=φ τοπικό ελάχιστο σχ. 6, που σηµαίνει ότι το σύστηµα στην θέση αυτή ισορροπεί ευσταθώς. ii Όταν η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση µε mg/r k<3mg/r, τότε συµφωνα µε την προηγούµενη ανάλυση η θέση φ= είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του συστήµατος και η δυναµική του ενέργεια ελαχιστοποιείται όταν το σύστηµα βρεθεί στην θέση αυτή. Όµως κατά την κίνηση του δακτυλίου η µηχανική ενέρ γεια του συστήµατος διατηρείται και εποµένως στην θέση φ= η κινητική ενέρ γεια του δακτυλίου παίρνει την µεγαλύτερη τιµή της που σηµαίνει ότι ο δακτύλιος αποκτά την µεγαλύτερη ταχύτητα όταν βρεθεί στην κατώτερη θέση του Β. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως φ=π θέση ασταθούς ισορροπίας και θέσεως φ=, παίρνουµε την σχέση: mgr = mv max / + U min 4gR - U min /m = v max 7 Όµως από την σχέση έχουµε: U min = U = mgr - " + kr " - U min = kr = mgr οπότε η 7 γράφεται: v max = 4gR - mgr/m v max = 7gR / P.M fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 7 ο δακτύλιος Δ έχει µάζα m και µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος λείου κυκλικού οδηγού ακτίνας R, ο οποίος είναι στερεωµένος µε το επίπεδό του κατακόρυ φο. To ελατήριο θεωρείται ιδανικό µε φυσικό µήκος R/ και σταθερά k που ικανοποιεί την σχέση k=mg/r, όπου g η επιτάχυνση της βαρύ τητας. i Να βρείτε την διαφορική εξίσωση, της οποίας η λύση επιτρέπει να καθορισθεί η θέση του δακτυλίου σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii Nα δείξετε ότι για φ=π/3 ο δακτύλιος ισορροπεί ευσταθώς. Τι εί δους κίνηση θα εκτελέσει ο δακτύλιος αν αποµακρυνθεί λίγο από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του;

13 ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σύστηµα δακτύλιος-ελατήριο σε µια τυχαία θέση, όπου η επιβατική ακτίνα του δακτυλίου το σχηµατίζει µε τον πολικό άξονα Κy γωνία φ. Στην θέση αυτή ο δακτύλιος, δέχεται το βάρος του w το οποίο παρέχει εφαπτοµενική συνιστώσα w, την αντίδραση Q του λείου οδηγού η οποία έχει ακτινική διεύθυνση και την δύναµη F από το ελατήριο, η οποία παρέχει εφαπτοµενική συνιστώσα F. Εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την εφαπτοµενική διεύθυνση παίρνουµε την σχέση: m dv = w - F mr d = mg" - F" / mr d = mg" - kl" / Σχήµα 7 όπου v η γραµµική ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα του δακτυλίου κατά την στιγµή που τον εξετάζουµε. Όµως η επικήκυνση ΔL του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση είναι: L=O -R/ = R +R -R " -R/ = R -"-R/ L = R"µ - R = R * "µ - -, / +. οπότε η γράφεται: mr d = mg"µ - kr "µ -, + * -./ mr d = mg"µ *+ - mg R R, "µ - /. - *+

14 d = g R ", * +µ * - +µ * + /. - όπου d = g R - "µ, + * -./ d = g f 3 R f = - "µ, + * -./ µε <φ<π 4 Η 3 είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και δεν λύνε ται αναλύτικά, αλλά µε αριθµητική µέθοδο που χρησιµοποιεί κατάλληλο µαθη µατικό πρόγραµµα. ii Eξετάζοντας την δυναµική ενέργεια Uφ του συστήµατος παρατηρούµε ότι αυτή είναι ίση µε την βαρυτική δυναµική ενέργεια του δακτυλίου συν την δυ ναµική ενέργεια ελαστικής παραµόφφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ισχύει: U = -mg R - R" + kl / U = -mgr - " + mg, R R µ + - /. - *, U = mgr - + " + µ -. + * -. / 5 Επειδή µεταξύ του δακτυλίου και του οδηγού δεν υπάρχει τριβή, στις θέσεις ισορροπίας του συστήµατος πρέπει η πρώτη παράγωγος της Uφ να µηδενίζε ται, δηλαδή πρέπει να ισχύει: du d 5 = d, - + " + µ -. + * -. / = -µ" + µ " - *+ " = -µ" + 4µ " " * + - " + = * -µ" + µ" - " + = *

15 ", * +µ /. * - = 4 - Οι ρίζες της 4 είναι φ=π και φ=π/3 Για να καθορίσουµε το είδος ισορροπίας του συστήµατος εξετάζουµε την δεύτε ρη παράγωγο της Uφ, οπότε θα έχουµε: d U = mgr d d d "µ - * + = mgr + "µ + * από την οποία προκύπτουν: και " d U d " d U d =/3 = = mgr - +, +. = - mgr < * - = mgr +, +. = 3mgR > * - 4 δηλαδή στην θέση φ=π/3 το σύστηµα ισορροπεί ευσταθώς, ενώ στην θέση φ=π η ισορροπία του είναι ασταθής. Ας δεχθούµε ότι ο δακτύλιος υλικό εκτρέπεται ελάχιστα από την θέση ευστα θούς ισορροπίας του, ώστε η µεταβλήτη φ να εγκλωβίζεται σε µια περιοχή του π/3 πολύ µικρού εύρους ε ε, δηλαδή ισχύει φ-π/3 ε. Αναπτύσσοντας την συνάρτηση fφ κατά Taylor εντός της περιοχής αυτής παίρνουµε: f = f"/3+ df d f " f/3+ df d Όµως έχουµε: =/3 ="/3 - "/3 + d f d ="/3 - "/ /3 5 και f/3= g R " 6 - µ + = 3* " df d =/3 = - / - µ. - *+, =/3 = - - µ 6 - *+, / = οπότε η 5 γράφεται:

16 f = - - " / 3 8 = " 6 3 Συνδυάζοντας την 6 µε την διαφορική εξίσωση κίνησης 3 του δακτυλίου παίρνουµε την σχέση: d = - g R " d 3 + 3g 4R - " = 3 d x + 3g 4R x = d x + x = 7 όπου τέθηκε x=φ-π/3 και Ω =3g/4R. Η 7 είναι η χαρακτηριστική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής ταλάντωσης, που σηµαίνει ότι αν ο δακτύλιος εκτραπεί πολύ λίγο από την θέση ευταθούς ισορροπίας του θα εκτελέσει περί την θέση αυτή αρµονική ταλάντωση κυκλικής συχνότητας Ω. P.M fysikos Mικρό σφαιρίδιο µάζας m, µπορεί να ολισθαίνει κατα µήκος ενός λεπτού οδηγού που είναι στερεωµένος στο κατακό ρυφο επίπεδο Oxy το δε σχήµα του είναι παραβολικό και αντιστοιχεί στην συνάρτηση y=αx / µε x. Mεταξύ του σφαιριδίου και του οδη γού υπάρχει τριβή, µε συντελεστή τριβής ολίσθησης µ. Την στιγµή t= το σφαιρίδιο εκτοξεύεται µε οριζόντια ταχύτητα v από το κατώτατο σηµείο Ο του οδηγού και κινούµενο κατά µήκος αυτού ανέρχεται. i Nα δείξετε ότι κατά την άνοδο του σφαιριδίου η x-συντεταγµένη του ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: " x + x + µ d x + " dx = -g ii Χρησιµοποιώντας την παραπάνω διαφορική εξίσωση να δείξετε, ότι κατά την άνοδο του σφαιριδίου η x-συνιστώσα v x της ταχύτητάς του ικανοποιεί την σχέση: g + v x g + v = " e µ όπου φ η κλίση της παραβολικής τροχιάς στην θέση που βρίσκεται το σφαιρίδιο την στιγµή που το εξετάζουµε. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Το σφαιρίδιο κατά την άνοδό του δέχεται το βάρος του m g και την αντίδραση του οδηγού που αναλύεται στην τριβή ολίσθήσεως T µε κατεύθυνση αντίρροπη της ταχύτητάς του v και στην κάθετη αντίδραση N που κατευθύ

17 νεται προς το κοίλο µέρος της τροχιάς κάθετα προς το διάνυσµα της ταχύτητας v. Εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύ θυνση των αξόνων x και y παίρνουµε τις σχέσεις: Σχήµα 8 m d x =-Nµ"-T" m d y =N"-Tµ"-mg m d x =-Nµ"-µN" m d y =N"-µNµ"-mg d x = - N m d y = N m µ" + µ" " - µµ" - g d x = - N m d y + g = N m µ" + µ" " - µµ" Απαλοίφοντας το Ν µεταξύ των σχέσεων παίρνουµε: d x / d y / + g = - " + µ - µ" = x + µ µx - διότι ισχύει dy/dx = x = ". Eξάλλου παραγωγίζοντας δύο φορές ως προς τον χρόνο t την εξίσωση της παραβολικής τροχιάς y=αx / παίρνουµε: dy = x dx d y = x d x + " dx και η γράφεται: d x / xd x / + dx / + g = x + µ µx - d x µx - = x d x * * + " dx + + g- x + µ, -

18 d x " x + - µx " + dx x + µ = -g " x + d x x + µ + " dx = -g 3 ii Eάν v x είναι η x-συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου θα έχουµε: d x = dv x = dv x dx dx = v dv x x dx οπότε η 3 γράφεται: " x + x + µ v x dv x dx = - g + v x - v dv x x g + v = " x + µ x x dx 4 + Όµως από την αx=εφφ µε διαφόριση παίρνουµε: dx = d" = d µ, +. = + µ, * + - *. - d dx = " + d = x + d οπότε η 4 γράφεται: - v dv x x g + v = " x + µ x x + Oλοκληρώνοντας την 5 παίρνουµε: x + d - v dv x x g + v = " + µ * d 5 x v x dg + v x " = - + µ d g + v x " ln g + v " x g + v v = -µ - + *d ln g + v " x g + v = -µ + ln*+ ln, g + v " " /. x g + v * -. + = -µ+ " g + v x " g + v * = e, µ+ g + v x + g + v = " e µ P.M. fysikos