ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #2: Ασαφή Σύνολα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #2: Ασαφή Σύνολα Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Βασικοί ορισμοί και ορολογία Συνάρτηση Συμμετοχής Διακριτό και Συνεχές ασαφές σύνολο Γλωσσικές μεταβολές και γλωσσικές τιμές Ιδιότητες ασαφούς συνόλου Συναρτήσεις Συμμετοχής Βασικές πράξεις με ασαφή σύνολα, Βασικές ταυτότητες με ασαφή σύνολα. Γενίκευση και επέκταση των τριών βασικών πράξεων, Γενίκευση του ασαφούς συμπληρώματος, Επιπλέον πράξεις με ασαφή σύνολα. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1) Βασικοί ορισμοί και ορολογία Συνάρτηση Συμμετοχής Διακριτό και Συνεχές ασαφές σύνολο Γλωσσικές μεταβολές και γλωσσικές τιμές Ιδιότητες ασαφούς συνόλου Συναρτήσεις Συμμετοχής 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2) Βασικές πράξεις με ασαφή σύνολα Παραδείγματα Βασικές ταυτότητες με ασαφή σύνολα Γενίκευση και επέκταση των τριών βασικών πράξεων Γενίκευση του ασαφούς συμπληρώματος Επιπλέον πράξεις με ασαφή σύνολα 6

7 Περιεχόμενα ενότητας (3) Παραδείγματα με Ασαφή Σύνολα Ασκήσεις 7

8 Βασικοί ορισμοί και ορολογία

9 Βασικοί ορισμοί και ορολογία (1) Η επέκταση ενός κλασικού συνόλου σε ασαφές σύνολο όσον αφορά τις συναρτήσεις συμμετοχής είναι συγκρίσιμη με την επέκταση του συνόλου των ακεραίων Ζ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R Έτσι η διαστολή του πεδίου τιμών της συνάρτησης συμμετοχής από το {0,1} στο [0,1] είναι ανάλογη με την επέκταση από το Ζ στο R Τα ασαφή σύνολα πρότειναν έναν εναλλακτικό τρόπο σε σχέση με τη θεωρία των πιθανοτήτων για τη μοντελοποίηση της αβεβαιότητας αμφισβητώντας την Αριστοτέλεια λογική. Με τα ασαφή σύνολα μπορούμε να επιτύχουμε: μοντελοποίηση της αβεβαιότητας και αναπαράσταση υποκειμενικής ανθρώπινης γνώσης. 9

10 Βασικοί ορισμοί και ορολογία (2) Εάν Χ (universe of discourse) είναι μια συλλογή αντικειμένων που καθορίζονται με τη μεταβλητή x, τότε ένα ασαφές σύνολο Α στο Χ ορίζεται από ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών: AA = {(xx, μμ AA (xx) xx XX)} όπου μμ AA (xx) ονομάζεται συνάρτηση συμμετοχής (membership function, MF) ) για το σύνολο Α. Το MF απεικονίζει σε κάθε στοιχείο του Χ έναν βαθμό ή τιμή συμμετοχής μεταξύ του 0 και του 1. 10

11 Συνάρτηση Συμμετοχής

12 Συνάρτηση Συμμετοχής (1) μμ ΑΑ Συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου AA είναι η συνάρτηση που δίνει το βαθμό συμμετοχής των στοιχείων του υπερσυνόλου αναφοράς, στο σύνολο Έστω το διακριτό υπερσύνολο αναφοράς Χ με στοιχεία x i. Αν το A ανήκει στο X, τότε αυτό αναπαρίσταται με ζευγάρια των στοιχείων και του αντίστοιχου βαθμού συμμετοχής τους στο σύνολο: A = μμ A (xx 1 ) + μμ A (xx 2 ) + xx 1 xx 2 Τα στοιχεία που έχουν βαθμό συμμετοχής 0, δεν είναι απαραίτητο να σημειώνονται. AA 12

13 Συνάρτηση Συμμετοχής (2) Το σύμβολο + στην παραπάνω εξίσωση, σημαίνει ένωση και όχι πρόσθεση, ενώ το κλάσμα, δε σημαίνει διαίρεση, απλώς χρησιμοποιείται για να προσδιορίζουμε σε ποιο στοιχείο του Χ, αντιστοιχεί ο κάθε βαθμός συμμετοχής. 13

14 Συνάρτηση Συμμετοχής (3) Για παράδειγμα, εάν το σύνολο AA έχει ως στοιχεία δύο αριθμούς, έστω τον αριθμό 1 με βαθμό συμμετοχής και τον αριθμό 2 με μμ ΑΑ (2) = 0.4, τότε Αν το Χ είναι συνεχές τότε, το AA = {0.8/1+0.4/2} αναπαρίσταται ως: A = μμ ΑΑ (xx) ή A = μμ ΑΑ (xx) xx xx xx AA Το εδώ εκφράζει το σύνολο και δεν έχει την έννοια του ολοκληρώματος. Το S καλείται σύνολο στήριξης (support set) του συνόλου AA και είναι το σύνολο των x, του Χ για τα οποία ισχύει μμ ΑΑ (xx) > 0 ssssssssssssss(aa ) = {xx μμ ΑΑ (xx) > 0} ss μμ ΑΑ (1) =

15 Διακριτό και Συνεχές ασαφές σύνολο

16 Διακριτό και Συνεχές ασαφές σύνολο (1) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται ένα διακριτό σύνολο AA 1 = {0.1 xx xx xx xx xx xx xx 7 } Και ένα συνεχές A 2 με συνάρτηση συμμετοχής: 2 μμ A (xx) = ee xx 2 16

17 Διακριτό και Συνεχές ασαφές σύνολο (2) Διακριτό (A 1) και συνεχές (A 2) ασαφές σύνολο 17

18 Γλωσσικές μεταβολές και γλωσσικές τιμές

19 Γλωσσικές μεταβολές και γλωσσικές τιμές (1) Υποθέτουμε τη γλωσσική μεταβλητή Χ όπου Χ = θερμοκρασία. Η γλωσσική μεταβλητή Χ μπορεί να πάρει διαφορετικές γλωσσικές τιμές τις «Υψηλή», «μικρή». Δηλαδή η έκφραση «Η θερμοκρασία είναι μικρή» σημαίνει ότι έχουμε καταχωρίσει τη γλωσσική τιμή «μικρή» στην γλωσσική μεταβλητή «Θερμοκρασία». Επομένως μπορούμε να καθορίσουμε ασαφή σύνολα με ονόματα «Υψηλή Θερμοκρασία» (ΥΘ), «χαμηλή θερμοκρασία» (ΧΘ) και μμ ΥΥΥΥ (xx), μμ ΧΧΧΧ (xx) τα αντίστοιχα ασαφή σύνολα που καθορίζουν πλήρως τις αντίστοιχες γλωσσικές μεταβλητές. 19

20 Γλωσσικές μεταβολές και γλωσσικές τιμές (2) Σχήμα 9. Συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων «υψηλή θερμοκρασία» και «χαμηλή θερμοκρασία» 20

21 Ιδιότητες ασαφούς συνόλου

22 Ιδιότητες ασαφούς συνόλου (1) Η υποστήριξη (support) του ασαφούς συνόλου είναι ένα σύνολο σημείων x στο X τέτοια ώστε μ Α (x)>0, support(a )={x μ Α (x)>0} Ο πυρήνας (core) ενός ασαφούς συνόλου είναι το σύνολο όλων των σημείων x στο X έτσι ώστε μ Α (x)=1, core(a)={x μ Α (x)=0.5} Σ ένα ασαφές σύνολο του οποίου η υποστήριξη είναι ένα σημείο στο Χ με μ Α (x)=1 ονομάζεται ασαφές μονοσύνολο (fuzzy singleton). 22

23 Ιδιότητες ασαφούς συνόλου (2) Το μέτρο (cardinality) ή η πληθικότητα ενός ασαφούς συνόλου ορίζεται ως η ποσότητα A = μ Α (x) όπου U το υπερσύνολο αναφοράς x U A = A U Το σχετικό μέτρο ενός ασαφούς συνόλου ορίζεται ως η ποσότητα μ Α λx 1 + (1 λx 2 ) min(μ Α (x 1 ), μ Α (x 2 ) ) Ένα ασαφές σύνολο καλείται κυρτό, όταν και μόνον όταν Α α = {x U, μ Α (x) α} όπου 0 < α 1 α-cuts ή level sets: ένα α-cut είναι ένα σαφές σύνολο το οποίο περιέχει τα στοιχεία του ασαφούς συνόλου τουλάχιστον με βαθμό συμμετοχής α. Μια α-τομή ορίζεται ως εξής: 23

24 Ιδιότητες ασαφούς συνόλου (3) Παράδειγμα: Θεωρούμε ένα ασαφές σύνολο Α των «μικρών ακεραίων» Α = Τότε το 0.5-cut του Α είναι απλά ένα σαφές σύνολο Α α ={1,2,3,4}. Οι α-τομές προσφέρουν μια άλλη μέθοδο για την αναλυτική αναπαράσταση οποιοδήποτε ασαφούς συνόλου: μ Α (x) = U 0 < α 1 (α μ Α(x)) 24

25 Συναρτήσεις Συμμετοχής

26 Περιγραφή συναρτήσεων συμμετοχής (1) Η δυνατότητα χρησιμοποίησης παραμετροποιημένων συναρτήσεων για τον καθορισμό συναρτήσεων συμμετοχής (Membership Function) είναι πολύ σημαντική στο σχεδιασμό προσαρμοζόμενων ασαφών συστημάτων (Adaptive Fuzzy Systems). 1. Τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής. Μια τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τρις παραμέτρους (a,b,c), οι οποίες ορίζουν τις τετμημένες των τριών γονιών (corner). Το β είναι η κορυφή του τριγώνου (apex of the triangle). xx aa tttttttttttttttt(xx, aa, bb, cc) = max (min bb aa cc xx,, 0) cc bb 26

27 Περιγραφή συναρτήσεων συμμετοχής (2) 2. Τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής. Μια τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τέσσερις παραμέτρους (a,b,c,d), οι οποίες ορίζουν τις τετμημένες των τεσσάρων γονιών (corner). xx aa tttttttttttttttttt(xx, aa, bb, cc, dd) = max (min bb aa dd xx, 1,, 0) dd cc Οι παραπάνω συναρτήσεις συμμετοχής χρησιμοποιούνται ευρέως σε πραγματικού χρόνου εφαρμογές εξαιτίας της υπολογιστικής τους απλότητας. Επειδή οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι ομαλές(smooth) στα σημεία καμπής (switching points) εισάγονται άλλοι τύποι συναρτήσεων συμμετοχής που είναι ομαλές και μη γραμμικές. 27

28 Γκαουζιανή συναρτήση συμμετοχής (1) 1. Γκαουζιανή συναρτήση συμμετοχής. Μια Gaussian συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από δύο παραμέτρους (σ,c). 2 gggggggggggggggg(xx; σσ; cc) = ee { (xx cc) σσ } όπου c αναπαριστά το κέντρο της συνάρτησης συμμετοχής και σ καθορίζει το εύρος της. Ένα παράδειγμα Gaussian συνάρτησης με c=0 και τυπική απόκλιση σ=0 28

29 Γκαουζιανή συναρτήση συμμετοχής (2) Gaussian or Radial Function Σχήμα 10. Gaussian συνάρτηση συμμετοχής Gaussian(x;0;0) yy = ee xx 2 29

30 Γενικευμένη Bell συνάρτηση συμμετοχής (1) Γενικευμένη Bell συνάρτηση συμμετοχής. Μια γενικευμένη Bell συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τρις παραμέτρους (a,b,c),όπου η παράμετρος b είναι συνήθως 1 θετική bbbbbbbb(xx; aa, bb, cc) = xx cc 1 + aa Στη συνάρτηση αυτή ρυθμίζοντας τις παραμέτρους α και c μεταβάλλονται το κέντρο και το εύρος της συνάρτησης συμμετοχής. Η παράμετρος b καθορίζει τις κλίσεις στα crossover points της καμπύλης. Ένα παράδειγμα bell με c=50, a=20 και b=4. 2bb 30

31 Γενικευμένη Bell συνάρτηση συμμετοχής (2) x=(0: 0.1: 100) y=1./(1+abs(x-50)/20).8) plot(x,y) saveas(1, c:\figure, eps ) Σχήμα 11. Γενικευμένη συνάρτηση συμμετοχής bell(x;a,4,50) 31

32 Σιγμοειδής συνάρτηση 1. Σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής. Μια σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από δύο παραμέτρους (a,c). Η παράμετρος α ρυθμίζει την κλίση στο crossover point x=c. Ένα παράδειγμα σιγμοειδούς συνάρτησης με c=0 και διαφορετικές τιμές κλίσεων α. συμμετοχής 1 ssssssssssssss(xx; aa, cc) = 1 + exp [ aa(xx cc)] Σχήμα12. Σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής sigmoid(x;a,0) με ποικίλες τιμές της παραμέτρου α. 32

33 Υπερκωνική (Hyperconic) συνάρτηση συμμετοχής 1. Υπερκωνική (Hyperconic) συνάρτηση συμμετοχής. Χρησιμοποιείται συχνά σε ασαφή συστήματα ελέγχου. Οι ασαφείς κανόνες που χρησιμοποιούν υπερκωνικές συναρτήσεις συμμετοχής έχουν μια τοπική επίπτωση, επειδή το σύνολο αναφοράς τους περιορίζεται σε μια κλειστή υπεσφαίρα (hyperball) ακτίνας r με κέντρο u. Η υπερκωνική συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τρείς παραμέτρους (a, u, r). uu hyyyyyyyyyyyyyyyyyy(xx; aa, uu, rr) = 1 xx rr 0 Η παράμετρος u καθορίζει το κέντρο της συνάρτησης και το ρ ορίζει το εύρος της. αα, ffffff xx uu rr, aa > 0 33

34 Πως καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις για να καθοριστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής. Η πρώτη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιηθεί η γνώση των εμπειρογνωμόνων για την προδιαγραφή της συνάρτησης συμμετοχής. Η δεύτερη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιηθούν δεδομένα από πολλούς αισθητήρες και να καθοριστούν είτε με νευρωνικά δίκτυα είτε με γενετικούς αλγορίθμους οι συναρτήσεις συμμετοχής. 34

35 Βασικές πράξεις με ασαφή σύνολα

36 Βασικές πράξεις με ασαφή σύνολα (1) Έχοντας υπερσύνολο αναφοράς το X με στοιχεία x και ΑΑ και ΒΒ να ανήκουν σε αυτό. Κενό σύνολο (empty set): Υπερσύνολο αναφοράς (universe): Ισοτιμία (identity ή equivalent): Υποσύνολο (subset): Ένωση (union): Τομή (intersection) Συμπλήρωμα (compement): μμ 0 μμ XX (xx) 1 ΑΑ = ΒΒ μμ AA (xx) = μμ BB (xx) x X ΑΑ ΒΒ μμ AA (xx) μμ BB (xx) x X μμ ΑΑ ΒΒ (xx) = max (μμ AA (xx), μμ BB (xx)) x X μμ ΑΑ ΒΒ (xx) = min (μμ AA (xx), μμ BB (xx)) x X μμ ΑΑ (xx) = 1 μμ AA (xx) 36

37 Παραδείγματα

38 Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε ένα διακριτό υπερσύνολο αναφοράς Χ με τους ακέραιους αριθμούς από το 1 έως και το 7, και δύο ασαφή σύνολα ΑΑ κκκκκκ ΒΒ που ανήκουν σε αυτό, όπου ΑΑ ={0/1+0.5/2+1/3+0.5/4+0/5} και ΒΒ ={0/3+0.6/4+1/5+0.6/6+0/7} Τότε: ΑΑ ΒΒ = {1/1+0.5/2+0/3+0.5/4+1/5}, = {1/3+0.4/4+0/5+0.4/6+1/7} ΑΑ ΒΒ ΑΑ ΒΒ = {0/1+0.5/2+1/3+0.6/4+1/5+0.6/6+0/7} = {0/1+0.5/2+0/3+0.5/4+0/5+0.5/6+0/7} 38

39 Παράδειγμα των τριών βασικών πράξεων με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής Σχήμα 13. Συμπλήρωμα, Ένωση και Τομή 39

40 Βασικές ταυτότητες με ασαφή σύνολα

41 Βασικές ταυτότητες με ασαφή σύνολα (1) Μεταθετική ιδιότητα (commutativity): AA BB = BB AA AA BB = BB AA Μοναδιαία ποσότητα (idempotency): AA AA = AA AA AA = AA Προσεταιριστική ιδιότητα (assosiativity): (AA BB ) CC = AA (BB CC ) (AA BB ) CC = AA (BB CC ) 41

42 Βασικές ταυτότητες με ασαφή σύνολα (2) Επιμεριστική ιδιότητα (distributivity): AA (BB CC ) = (AA BB ) (AA CC ) AA (BB CC ) = (AA BB ) (AA CC ) Νόμος απορρόφησης (absorption): AA (AA BB ) = AA AA (AA BB ) = AA Θεώρημα De Morgan (De Morgan s Law): (AA ) BB = AA BB (AA ) BB = AA BB 42

43 Γενίκευση και επέκταση των τριών βασικών πράξεων

44 Γενίκευση και επέκταση των τριών βασικών πράξεων (1) Γενίκευση της ασαφούς τομής (T-norm τελεστές) Λογικό γινόμενο Αλγεβρικό γινόμενο Φραγμένο γινόμενο mmmmmm[xx, yy] = xx yy xx yy xx yy = mmmmmm[00, xx + yy 11] Δραστικό γινόμενο xx iiii yy = 11 xx yy = yy iiii xx = iiii xx, yy < 11 44

45 Γενίκευση και επέκταση των τριών βασικών πράξεων (2) Γενίκευση της ασαφούς ένωσης (T-conorm τελεστές) Λογικό άθροισμα Αλγεβρικό άθροισμα Φραγμένο άθροισμα mmmmmm[xx, yy] = xx yy xx + yy xx yy xx yy = mmmmmm[11, xx + yy] Δραστικό άθροισμα xx iiii yy = 00 xx yy = yy iiii xx = iiii xx, yy < 11 45

46 Γενίκευση του ασαφούς συμπληρώματος

47 Γενίκευση του ασαφούς συμπληρώματος (1) 1 aa Συμπλήρωμα Sugeno NN ss(aa) = όπου ss ( 1, ) και το α 1 + ss aa παριστάνει την τιμή μιας συνάρτησης συμμετοχής. Εάν s=0 τότε προκύπτει το κλασσικό ασαφές συμπλήρωμα Συμπλήρωμα Yager NN ww(aa) = (1 aa ww ) 1 ww όπου ww (0, ). Εάν w=1 τότε προκύπτει το κλασσικό ασαφές συμπλήρωμα Ο τελεστής ασαφούς συμπληρώματος είναι μια συνεχής συνάρτηση Ν: [0,1] [0,1] η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω απαιτήσεις: Ν(0)=1 και Ν(1)=0, Ν(α) b if a bb όπου α και b είναι συναρτήσεις συμμετοχής κάποιων ασαφών συνόλων. Οι παραπάνω τελεστές ικανοποιούν την ιδιότητα της ενέλιξης (involution): N(N(a))=a 47

48 Γενίκευση του ασαφούς συμπληρώματος (2) Η συνάρτηση Ν μετασχηματίζει τη συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου A σε συνάρτηση συμμετοχής του συμπληρώματος. ΝΝ μμ ΑΑ (xx) = μμ ΑΑ (xx) 48

49 Επιπλέον πράξεις με ασαφή σύνολα

50 Επιπλέον πράξεις με ασαφή σύνολα (1) Έστω ένα υπερσύνολο αναφοράς U={1,2,3,4,5,6,7}, και δύο ασαφή σύνολα ΑΑ = και ΒΒ = Αλγεβρικό γινόμενο: Φραγμένο άθροισμα: ΑΑ ΒΒ = ΑΑ ΒΒ = Φραγμένο γινόμενο: Αλγεβρικό άθροισμα: ΑΑ ΒΒ = ΑΑ + ΒΒ =

51 Παραδείγματα με Ασαφή Σύνολα

52 Fuzzy Sets (1) U= , AA = Union Intersection Complement Product Bounded Sum AA BB = AA BB = AA = AAAA = ΑΑ ΒΒ = ΑΑ ΒΒ = 1 (μμ ΑΑ(xx) + μμ BB (xx)) xx 0.7, BB = : mmmmmm : mmmmmm 52

53 Fuzzy Sets (2) Cartesian Product UU 1 = UU 2 = UU 1 UU 2 = 0.6 (1,1) (1,2) + 1 (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 53

54 Ασκήσεις

55 Ασκήσεις στα ασαφή σύνολα (1) 1. Το ασαφές σύνολο Α έχει συνάρτηση συμμετοχής 1 bell(x, a, b, c) = μa(x) = xx cc 1 + aa 2aa Να δειχτεί ότι το ασαφές συμπλήρωμα του Α περιγράφεται από τη συνάρτηση συμμετοχής bell(x,a,-b,c) 2. Να δειχτεί ότι οι τελεστές του Sugeno και Yager ικανοποιούν το νόμο της ενέλιξης: Ν(Ν(α))=α 3. Έστω δύο ασαφή σύνολα Α και Β στο υπερσύνολο αναφοράς U. Να αποδειχθεί η σχέση Α + Β = Α Β + Α Β όπου ο τελεστής ορίζει την πληθικότητα του ασαφούς συνόλου. 4. Να αποδειχτεί ότι οι νόμοι του De Morgan ισχύουν και για τα ασαφή σύνολα, δηλαδή (AA BB) = AA BB, (AA BB) = AA BB 55

56 Ασκήσεις στα ασαφή σύνολα (2) 5. Έστω το υπερσύνολο αναφοράς U= και τα ασαφή σύνολα Α=0.8/3+1/5+0.6/6 και Β=0.7/3+1/4+0.5/6. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: 1. Α or B 2. A and B 3. AA BB 4. aa AA για α= Α α για α=2 6. (AA BB) = AA BB, (AA BB) = AA BB 7. AA AA 8. AA AA 56

57 Τέλος Ενότητας