ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL ΤΟΨΗΣ-ΓΙΩΤΗΣ ΙΑΣΟΝΑΣ ΦΑΡΑΚΟΣ Κ.
|
|
- Νέμεσις Αντωνοπούλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL ΤΟΨΗΣ-ΓΙΩΤΗΣ ΙΑΣΟΝΑΣ ΦΑΡΑΚΟΣ Κ.
2 Δ Ο Μ Η Τ Η Σ Υ Λ Η Σ : ΠΟΙΑ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ QM? ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ EPR ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL Η ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΘΕΩΡΙΩΝ ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ BELL ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Υ.Γ
3 J.. Bll
4 ΠΟΙΑ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ QM? ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Ο μη ντετερμινιστικός χαρακτήρας της QM, ο οποίος εκφράζεται κύρια μέσω της στατιστικής ερμηνείας της κυματοσυνάρτησης ψ>, είναι το αδύνατο σημείο της θεωρίας. Τα διάφορα «παράδοξα» που προέκυψαν (γάτα chrödingr, EPR, κβαντική μέτρηση, κ.τ.λ.) οδήγησαν πολλούς φυσικούς (π.χ. Einstin) στην αμφισβήτηση της πληρότητας, ή ακόμη και της ίδιας της θεωρίας. Το πρόβλημα είναι το εξής: Η ψ> δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα το αποτέλεσμα μίας μέτρησης, αλλά το ποσοστό συμετοχής όλων των πιθανών αποτελεσμάτων. Δηλαδή πριν πάρουμε τη μέτρηση δε γνωρίζουμε ακριβώς την τιμή του μετρούμενου μεγέθους, αλλά την πιθανότητα που έχει αυτό να πάρει κάθε μία από τις δυνατές τιμές του! Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα αν το σύστημα έχει από πριν την εξεταζόμενη ιδιότητα την οποία η μέτρηση μας αποκαλύπτει, ή αν η ίδια η διεργασία της μέτρησης επηρεάζει το σύστημα και από μόνη της «δημιουργεί» την ιδιότητα αυτή.
5 ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ: ΡΕΑΛΙΣΤΕΣ: Η QM είναι μία μη πλήρης περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας. Ακόμη και αν γνωρίζουμε τα πάντα που η QM μπορεί να μας πει για το σύστημα, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε όλα τα στοιχεία του. Συνεπώς θα πρέπει να υπάρχουν άλλες πληροφορίες εξωτερικές της QM οι οποίες είναι απαραίτητες μαζί με την ψ> για την πλήρη περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας. ΟΡΘΟΔΟΞΟΙ: Η διαδικασία της μέτρησης αναγκάζει το σύστημα να πάρει μία συγκεκριμένη τιμή, την ιδιοτιμή του. Η μέτρηση δηλαδή βοηθά το σύστημα να εμφανίσει μία συμπεριφορά η οποία πριν δεν υπήρχε (ο Bohr παρομοίωσε τη συμπεριφορα αυτή με εκείνη απρόβλεπτων εφήβων...). Ακόμη, αν επαναλάβουμε τη μέτρηση αμέσως μετά θα πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα, οπότε φτάνουμε στο συμπέρασμα ότι η ίδια η διαδικασία της μέτρησης αναγκάζει την κυματοσυνάρτηση να καταρρεύσει σε μία ιδιοσυνάρτηση κατά έναν μαγικό τρόπο. (Η ερμηνεία αυτή είναι γνωστή ως η ερμηνεία της ΣΧΟΛΗΣ ΤΗΣ ΚΟΠΕΝΧΑΓΗΣ) ΑΓΝΩΣΤΙΚΙΣΤΕΣ: Η πλειοψηφία των φυσικών. Αρνούνται να χάσουν το χρόνο τους ασχολούμενοι με τέτοιες μεταφυσικές ανησυχίες... Η διαμάχη των φυσικών πάνω σε αυτά τα ζητήματα ήταν και παραμένει μεγαλειώδης. Από τη μία η θεωρία αυτή δουλεύει τέλεια, από την άλλη όμως ο μη ντετερμινιστικός χαρακτήρας της είναι ιδιαίτερα ενοχλητικός.
6 ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ EPR ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ: Το 935 οι Einstin-Podolsky-Rosn διατύπωσαν το περίφημο παράδοξο EPR προσπαθώντας να δείξουν πως η ρεαλιστική θεώρηση είναι η μόνη συνεπής. Εδώ θα περιγραφεί μία απλοποιημένη εκδοχή του παραδόξου η οποία οφείλεται στον David Bohm: Ας θεωρήσουμε τη διάσπαση ενός πι-μεσονίου σε ένα - και ένα + : Θεωρώντας το πι-μεσόνιο σε ηρεμία, τότε το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ας υπολογίσουμε τώρα την κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου:
7 Έχουμε εδώ δύο σωματίδια με spin ½. Κάθε ένα μπορεί να έχει spin up ή spin down. Συμβολίζουμε τα spin up ως χ + (), χ + () και τα spin down ως χ - (), χ - () αντίστοιχα για τα σωματίδια και. Υπάρχουν λοιπόν συνολικά 4 πιθανές καταστάσεις: χ + () χ + () χ + () χ - () χ - () χ + () χ - () χ - () 0 όπου: χ + =, χ - = 0 Θα υπολογιστεί τώρα το spin του συστήματος. Είναι: () () Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι τα ιδιοδιανύσματα των, z, ± ικανοποιούν τις: z sm sm sm s s s m sm sm όπου επιλέξαμε τον z ως άξονα κβαντώσεως. s mm sm
8 Δρούμε με τον τελεστή z στο σύστημα στην κατάσταση χ χ : z z z z z m m m m Συνεπώς ο κβαντικός αριθμός του spin του συστήματος είναι m=m +m. Θα έχουμε λοιπόν για τις 4 αυτές καταστάσεις: : m : m : m : m 0 0 Τι γίνεται όμως εδώ; Εμείς περιμέναμε το m να αυξάνει κατά ακέραια βήματα από s έως s, αλλά εδώ υπάρχει μία επιπλέον κατάσταση με m=0. Ένας τρόπος να διαπιστώσουμε το τι συμβαίνει είναι να δράσουμε με τον - στην κατάσταση, όταν s=, οπότε έχουμε:
9 Δρώντας πάλι με τον ίδιο τελεστή στην κατάσταση που προέκυψε, παίρνουμε την νέα κατάσταση: Έτσι τελικά οι τρεις καταστάσεις που προέκυψαν με s= είναι: 0 s= (τριπλέτα) Μας έμεινε λοιπόν μία κατάσταση με m=0. Αυτή θα έχει spin s=0. Μία τέτοια κατάσταση είναι η εξής: 00 s=0 (μονή κατάσταση) Πράγματι εφαρμόζοντας τους - παίρνουμε αποτέλεσμα μηδέν: και + τελεστές στη μονή κατάσταση, 0
10 = 0 Πρέπει τώρα να δειχθει πως η μονή κατάσταση 0 0> είναι ιδιοδιάνυσμα του τελεστή με ιδιοτιμή μηδέν. Έχουμε: x y z όπου: x 0 0 y 0 i i 0 z 0 0 Έτσι λοιπόν προκύπτει: x x y i y i Είναι λοιπόν:
11 x i x i y 3 4 y z Εφαρμόζοντας λοιπόν τον στην 0 0> παίρνουμε: 4 z Αποδείξαμε λοπόν πως η singlt κατάσταση 0 0> του συστήματος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή με ιδιοτιμή μηδέν.
12 Μπορούμε τώρα να επανέλθουμε στο ιδεατό πείραμα που προτείνει ο Bohm. Το πι-μεσόνιο διασπάστηκε σε ηλεκτρόνιο και ποζιτρόνιο. Μας ενδιαφέρει η εξέταση της συμπεριφοράς του συστήματος + και -. Το πι-μεσόνιο αρχικά είχε spin μηδέν συνεπώς και το σύστημά μας θα έχει σπιν μηδέν. Όπως αποδείχθηκε πριν, το σύστημα πρέπει να βρίσκεται στη singlt κατάσταση. Οπότε η κυματοσυνάρτηση του συστήματος: Υποθέστε τώρα πως δύο παρατηρητές μετρούν ο ένας το σπιν του ηλεκτρονίου και ο άλλος το σπιν του ποζιτρονίου. Αν το σπιν του ηλεκτρονίου βρεθεί πάνω τότε το ποζιτρόνιο πρέπει να έχει σπιν κάτω και αντίστροφα. Η Κβαντομηχανική δεν μπορεί να μας πει ποιό συνδυασμό θα πάρουμε αλλά μας λέει ότι έχουμε 50% πιθανότητα να λάβουμε τον κάθε έναν, όπως προκύπτει από την ψ>.
13 Υποθέστε επίσης ότι απομακρύνουμε τους παρατηρητές 0 έτη φωτός τον κάθε έναν από το σημείο διάσπασης, έτσι που να είναι αδύνατη η επικοινωνία τους. Έστω ότι ο ένας μετρά σπιν πάνω για το ηλεκτρόνιο. Αυτόματα γνωρίζει πως ο άλλος παρατηρητής 0 έτη φωτός μακρυά θα πάρει σπιν κάτω για το ποζιτρόνιο. ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ: ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Τίποτα το περίεργο: Το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο είχαν όντως σπιν πάνω και κάτω αντίστοιχα από τη στιγμή που δημιουργήθηκαν. Όμως η Κβαντομηχανική ως μία μη πλήρης περιγραφή της πραγματικότητας δεν το γνώριζε και δεν μπορούσε να μας το πει. ΟΡΘΟΔΟΞΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Το σύστημα βρισκόταν σε μία υπέρθεση καταστάσεων σπιν πάνω και κάτω, δηλαδη κανένα σωματίδιο δεν είχε καλά καθορισμένο σπιν μέχρι να λάβει χώρα η μέτρηση. Κατά τη διαδικασία της μέτρησης επήλθε κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης σε μία ιδιοκατάσταση (π.χ. σπιν πάνω για το ηλεκτρόνιο) η οποία ακαριαία παρήγαγε το σπιν του ποζιτρονίου 0 έτη φωτός μακρυά. Οι EPR δεν μπορούσαν να συμβιβαστούν με αυτή την ιδέα της ακαριαίας δράσης από απόσταση. Καμία δράση δεν μπορεί να μεταφερθεί ταχύτερα από το φως (ΑΡΧΗ ΤΟΠΙΚΟΤΗΤΑΣ). Βασιζόμενοι σε αυτήν την αρχή υπερασπίζονταν τη ρεαλιστική εκδοχή: Το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο έχουν καλά καθορισμένα σπιν εξ αρχής ανεξάρτητα από το αν η Κβαντομηχανική μπορεί να τα υπολογίσει ή όχι.
14 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ας υποθέσουμε τώρα ότι όντως τα σωματίδιά μας έχουν καλά καθορισμένα σπιν εξ αρχής. Έστω ότι το ηλεκτρόνιο έχει σπιν πάνω και το ποζιτρόνιο σπιν κάτω. Τι γίνεται όμως όταν πάμε να υπολογίσουμε το σπιν του συστήματος ηλεκτρονίουποζιτρονίου; Όπως αναφέρθηκε πριν για την τριπλέτα και τη μονή κατάσταση: 00 s=0 (μονή κατάσταση) 0 Η κατάσταση του δικού μας συστήματος είναι η εξής: s= (τριπλέτα) Παρατηρούμε λοιπόν πως μας προέκυψε πλέον μία απροσδιοριστία ως προς το σπιν του συστήματος! Αυτό θα δίνεται από μία υπέρθεση τριπλέτας με τη μονή κατάσταση. Πάλι λοιπόν έχουμε πρόβλημα. Με το παράδειγμα αυτό θέλουμε να τονίσουμε το εξής: Η προσπάθεια του να καταστήσει κανείς την QM πλήρη μέσα από τον ίδιο της το φορμαλισμό και τις αρχές της είναι ιδιαίτερα δύσκολη, αν όχι αδύνατη. Η QM είναι από τα ίδια της τα θεμέλια μία μη ντετερμινιστική θεωρία και ίσως τα θεμέλιά της αυτά θα έπρεπε κανείς να εξετάσει στην προσπάθεια αποκατάστασης της φυσικής πραγματικότητας...
15 ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ: Οι EPR δεν αμφέβαλλαν για το ότι η Κβαντομηχανική ήτανε σωστή στα ζητήματα τα οποία έθιγε (εξάλλου δούλευε τέλεια). Αυτό το οποίο υποστήριζαν ήταν το ότι η QM είναι μία μη πλήρης περιγραφή της πραγματικότητας. Δεν αρκεί μόνο η κυματοσυνάρτηση ψ> για την πλήρη περιγραφή ενός φυσικού συστήματος αλλά απαιτείται προφανώς και κάποια άλλη ποσότητα λ. Αυτή μαζί με την ψ> θα δώσουν την πλήρη περιγραφή. Τις ποσότητες αυτές τις ονόμασαν λανθάνουσες παραμέτρους λ αφού μέχρι τότε δεν υπήρχε καμία ιδέα υπολογισμού ή μέτρησής τους. Ποιό όμως μπορεί να είναι το νόημα αυτών των κρυμμένων μεταβλητών ; Η λ θα μπορούσε να είναι ένα μέγεθος της φυσικής πραγματικότητας το οποίο αγνοούμε μέχρι τώρα. Συνεπώς αντιπροσωπεύεται από τον αντίστοιχο τελεστή στη θεωρία και η μέτρησή του θα δώσει την αντίστοιχη ιδιοτιμή. Η άγνοια αυτών των μεταβλητών οδηγεί στα διάφορα παράδοξα που προκύπτουν και καταρίπτει το ντετερμινιστικό χαρακτήρα της φύσης (πράγμα που ήταν εντελώς έξω από τη φιλοσοφία του Einstin για τη φύση). Από το 935 λοιπόν πολλές θεωρίες λανθανουσών παραμέτρων δημιουργήθηκαν με στόχο το να καταστήσουν πλήρη τη κβαντική θεωρία και να αποκαταστήσουν τη φυσική πραγματικότητα. Το 964 όμως ο J.. Bll με την εργασία του έθεσε ένα άδοξο τέλος σε κάθε τέτοια προσπάθεια: Κάθε θεωρία λανθανουσών παραμέτρων είναι ασυμβίβαστη με την Κβαντομηχανική
16 Η ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL Ο Bll πρότεινε μία γενίκευση του EPR/Bohm πειράματος: Αντί να βάλλουμε τους ανιχνευτές ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου στην ίδια διεύθυνση, μπορούμε να τους αφήσουμε να μετρούνε το σπιν σε ανεξάρτητες διευθύνσεις ο ένας από τον άλλον. Ας υποθέσουμε ότι ο Α μετράει το σπιν του ηλεκτρονίου στη διεύθυνση a και ο Β το σπιν του ποζιτρονίου στη διεύθυνση b. Ας θεωρήσουμε για απλότητα τα σπιν σε μονάδες του ħ/. Τότε ο κάθε ανιχνευτής δίνει την τιμή + για σπιν πάνω και - για σπιν κάτω στη διεύθυνση μέτρησης. Λαμβάνοντας ένα σετ πολλών μετρήσεων τα αποτελέσματά μας θα μπορούσαν να είναι: lctron positron product
17 Ο Bll πρότεινε τον υπολογισμό της μέσης τιμής του γινομένου (product) των σπιν, έστω P(a,b). Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τους ανιχνευτές παράλληλους. Τότε θα είναι: b = a. Το - έχει σπιν πάνω και το + σπιν κάτω οπότε το product θα είναι: P(a,b) = -. Αν οι ανιχνευτές είναι αντιπαράλληλοι (b = - a) τότε είναι: P(a,b) = +.
18 Ας υπολογίσουμε τον τελεστή του σπιν n σε τυχαία διεύθυνση n. Είναι: cos sin sin cos cos sin sin cos sin ˆ ˆ i i n z y x z z y y x x n n n n n n n n Αυτό που θέλουμε εμείς να υπολογίσουμε είναι η μέση τιμή του γινομένου των προβολών των σπιν του ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου στις διευθύνσεις a και b, όταν το σύστημά τους περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση ψ>. Θα έχουμε δηλαδή: b a b a Ας βρούμε τώρα ποιά είναι η πρόβλεψη της κβαντικής θεωρίας για το P(a,b) στην περίπτωση αυτή της ανεξάρτητης διεύθυνσης των ανιχνευτών κατά τη διενέργεια πολλών μετρήσεων: Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ:
19 Είναι λοιπόν: b a b a b a b a 0 cos sin sin cos cos sin sin cos i i i i i i sin cos 0 cos sin 0 4 Ταυτίζουμε τον z-άξονα με τη διεύθυνση a, οπότε θ θα είναι η γωνία μεταξύ του μοναδιαίου b και του z- άξονα και φ η γωνία της προβολής του b στο xyεπίπεδο με τον x-άξονα. Τα σωματίδια κινούνται στον y-άξονα.
20 Επίσης το bra της ψ> είναι: Συνεπώς: a b cos cos cos Μετρώντας σε μονάδες του ħ/, χρησιμοποιώντας δηλαδή τις μήτρες του Pauli, θα πάρουμε τα εξής: a b 4 cos cos cos Βρήκαμε λοιπόν την πρόβλεψη της κβαντικής θεωρίας για το P(a,b) και είναι: Ρ(a,b) = -cosθ Όμως αφού a b =cosθ παίρνουμε: P aˆ, bˆ aˆ bˆ
21 ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΘΕΩΡΙΩΝ ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ: Έχοντας δει τι δίνει η κβαντική θεωρία, μπορούμε να προχωρήσουμε στην εξέταση των θεωριών λανθανουσών παραμέτρων: Θεωρήστε ότι το σύστημά μας περιγράφεται πλήρως από τις κρυμμένες μεταβλητές λ. Τις λ παραμέτρους εμείς ούτε τις γνωρίζουμε, ούτε μπορούμε να τις μετρήσουμε, αλλά είναι αυτές οι οποίες αποκαθιστούν τη φυσική πραγματικότητα και καθιστούν πλήρη τη κβαντική θεωρία από τη μία διάσπαση στην επόμενη. Θεωρήστε ακόμη ότι το αποτέλεσμα της μέτρησης του σπιν του ηλεκτρονίου είναι ανεξάρτητο από τη διεύθυνση b του ανιχνευτή Β την οποία ο πειραματιστής καθορίζει λίγο πριν τη διενέργεια της μέτρησης του Α τόσο ώστε να είναι ήδη πολύ αργά για να φτάσει σήμα στον Α. Με τον τρόπο αυτό ικανοποιείται και η Αρχή της Τοπικότητας. Τότε λοιπόν θα υπάρχουν κάποιες συναρτήσεις Α(a,λ) που θα δίνει το αποτέλεσμα της μέτρησης του ηλεκτρονίου και Β(b,λ) για το ποζιτρόνιο. Προφανώς οι μόνες τιμές που μπορούν να πάρουνε θα είναι: Α(a,λ)=± Β(b,λ)=± Επίσης όταν οι ανιχνευτές είναι παράλληλοι (a=b) τότε: Α(a,λ)= - Β(a,λ) () () Τα παραπάνω ισχύουν για όλα τα λ.
22 Οι παράμετροι λ μπορούν να πάρουν διάφορες τιμές λ,λ,λ3,...,λn τις οποίες εμείς δεν γνωρίζουμε. Ακόμη σε κάθε μέτρηση το λ μπορεί να πάρει την ίδια ή διαφορετική τιμή. Παίρνοντας εμείς ένα σετ πολλών μετρήσεων ψάχνουμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων μας. Από το σετ αυτό των μετρήσεων φτιάχνουμε έναν πίνακα κατανομής των λ. Ένας τέτοιος πίνακας θα μπορούσε να είναι κάπως έτσι: Από εδώ πλέον, υπολογίζουμε τη συνάρτηση κατανομής ρ(λ) ή αλλιώς τη συνάρτηση βάρους ρ(λ) η οποία μας δείχνει το ποσοστό συμετοχής κάθε λ στην κατανομή (π.χ. το λ εμφανίστηκε 4 φορές, το λ 7 φορές κ.λ.π.). Είναι προφανές ότι αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: P ( aˆ, bˆ) ( ) A( aˆ, ) B( bˆ, ) d ρ(λ) 0 και ρ(λ)dλ = Η ζητούμενή μας μέση τιμή Ρ(a,b) θα δίνεται λοιπόν από την ολοκλήρωση πάνω σε όλα τα λ για το γινόμενο Α(a,λ)Β(b,λ). Θα έχουμε λοπόν: Όμως κάθε διαφορετική θεωρία λανθανουσών παραμέτρων προβλέπει και διαφορετικές τιμές για κάθε λ και συνεπώς δίνει διαφορετικές κατανομές ρ(λ). Θα πρέπει λοιπόν η όποια συζήτηση για τη ρ(λ) να τελειώσει εδώ αφού τα αποτελέσματά μας θέλουμε να καλύπτουν γενικά όλες τις τοπικές θεωρίες λανθανουσών παραμέτρων. (3) (4)
23 Από τις () και (4) τώρα μπορούμε να απαλείψουμε την Β: P ( aˆ, bˆ) ( ) A( aˆ, ) A( bˆ, ) d (5) Αν c είναι ένα άλλο μοναδιαίο διάνυσμα, τότε: P ( aˆ, cˆ) ( ) A( aˆ, ) A( cˆ, ) d Παίρνοντας τη διαφορά των Ρ(a,b) και Ρ(a,c) έχουμε: P( aˆ, bˆ) P( aˆ, cˆ) και επειδή Α(b,λ) = : ( ) A( aˆ, ) A( bˆ, ) ( ) A( aˆ, ) A( cˆ, ) d ˆ, bˆ P aˆ, cˆ ( ) A ˆ, A bˆ, A bˆ, A cˆ, d P a aˆ, Abˆ, A ˆ, Acˆ ( ) A, d ˆ, bˆ P aˆ, cˆ ( ) A ˆ, A bˆ, A bˆ, A cˆ, d P a ˆ, bˆ P aˆ, cˆ A ˆ, A bˆ, Ab ˆ, Acˆ, P a d
24 Όμως Α(a,λ)Α(b,λ) = οπότε παίρνουμε: aˆ, bˆ P aˆ, cˆ ( ) Ab ˆ, Acˆ P, d και επειδή: A bˆ, A cˆ, 0 ( ) προκύπτει ότι: aˆ, bˆ P aˆ, cˆ ( ) Ab ˆ, Acˆ P, Από τις (3) και (4) τώρα και εκτελώντας τις πράξεις: ˆ, bˆ Paˆ, cˆ ( ) d ( ) Ab ˆ, Acˆ, d P a P d aˆ, bˆ Paˆ, cˆ Pbˆ, cˆ Αυτή είναι η φημισμένη ανισότητα Bll. Η ισχύς της καλύπτει κάθε τοπική θεωρία λανθανουσών παραμέτρων αφού έχει αποδειχθεί για όλα τα λ ανεξαρτήτως της φύσης τους ή τιμής τους!
25 Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ BELL: Έχουμε υπολογίσει την πρόβλεψη της κβαντικής θεωρίας και των τοπικών θεωριών λανθανουσών παραμέτρων για την ποσότητα Ρ(a,b). Μπορούμε τώρα μέσα από μία απλή εφαρμογή να δείξουμε τη μη συμβιβαστότητα αυτών των δύο: Υποθέστε τρία διανύσματα a,b,c όπως στο σχήμα: Ας δούμε εδώ τι προβλέπεται από τη κβαντική θεωρία: P(a,b) = 0, P(a,c) = P(b,c) = Θέτοντας τις τιμές αυτές στην ανισότητα Bll θα πάρουμε: 0,707-0,707 = 0,93!!! Το συμπέρασμα εδώ είναι πλέον καθαρό: Καμία τοπική θεωρία λανθανουσών παραμέτρων δεν είναι συμβιβαστή με την QM. Το χτύπημα του Bll είναι τελειωτικό: Αν οι EPR είναι σωστοί τότε όχι μόνο η QM δεν είναι πλήρης αλλά είναι εντελώς λάθος! Αν όμως η QM είναι σωστή, τότε καμία θεωρία λανθανουσών παραμέτρων δεν θα μας σώσει από τη μη τοπικότητα! Ένα πείραμα θα μπορούσε ενδεχομένως να ξεκαθαρίσει το τοπίο.
26 ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ: Αρκετά πειράματα έγιναν τις δεκαετίες του 60 και 70 προσπαθώντας να εξετάσουν την ισχύ των ανισοτήτων του Bll. Το πιο σημαντικό από αυτά εκτελέστηκε το 98 από τους A. Aspct, P. Grangir και G. Rogr. Οι λεπτομέρειες του πειράματος αυτή τη στιγμή δεν μας ενδιαφέρουν τόσο όσο τα συμπεράσματα που προκύπτουν από αυτό. Εξάλλου στο πείραμα αυτό δεν έγινε χρήση διάσπασης πι-μεσονίου όπως προτείνεται στο ιδεατό EPR/Bohm, αλλά χρησιμοποιήθηκαν φωτόνια. Σημαντική πληροφορία εδώ είναι ότι για την κατοχύρωση της τοπικότητας οι δύο ανιχνευτές ρυθμιζόταν τυχαία τη στιγμή που τα φωτόνια βρισκόταν καθ οδόν, έτσι ώστε να μην μπορεί ο ένας να νιώσει τη ρύθμιση του άλλου. A. Aspct πειραματική διάταξη
27 Τα αποτελέσματα του πειράματος του Aspct, δε χωρούσαν καμία αμφιβολία: Υπήρχε απόλυτη συμφωνία με τις προβλέψεις της QM και μη συμβιβαστότητα με τις ανισότητες του Bll. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ: Τα αποτελέσματα αυτά, ήταν ένα σοκ για τη φυσική κοινότητα. Η απόδειξη της μη τοπικότητας ως ενδογενή ιδιότητα της φύσης ήταν ως τότε αδιανόητη. Βέβαια η μη τοπικότητα στη μορφή της ακαριαίας κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης ήταν ήδη προβλεπόμενη από τη σχολή της Κοπενχάγης (ορθόδοξη ερμηνεία), αλλά ακόμη τότε υπήρχε η ελπίδα ότι αυτή ήταν μία μη φυσιολογική συνέπεια του φορμαλισμού. Το πείραμα του A. Aspct δεν αφήνει τέτοια περιθώρια. Είναι πλέον ανάγκη να επανεξεταστεί η ερμηνεία της ακαριαίας δράσης από απόσταση. Οι ανισότητες του Bll και το πείραμα του Aspct, απέφεραν μία νίκη ουσιαστικά για το στρατόπεδο των ορθόδοξων αλλά δεν ξεκαθάρισαν το τοπίο όσον αφορά στην ίδια την QM. Δεν δείχθηκε η πληρότητα της θεωρίας αλλά η αδυναμία τοπικών θεωριών λανθανουσών παραμέτρων, που στηρίζονται στις αρχές της QM, να είναι συμβιβαστές με αυτή και να αποκαταστήσουν τη φυσική πραγματικότητα. Σε μη τοπικό επίπεδο οι ανισότητες του Bll δεν έχουν ισχύ. Ο μη ντετερμινιστικός χαρακτήρας της θεωρίας ακόμη ενοχλεί τη φιλοσοφία μας για τη φύση. Η ακαριαία κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης στη μορφή ακαριαίας δράσης από απόσταση εκπλήσσει. Κι όμως δουλεύει!
28 Υ.Γ: Νομίζω ότι μπορώ να πω με ασφάλεια ότι κανείς δεν καταλαβαίνει την Κβαντομηχανική Richard Fynman
29 Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α :. Γ. Ι. Ανδριτσόπουλος: Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική. Σ. Τραχανάς: Κβαντομηχανική ΙΙ 3. John Earman: Η φιλοσοφία των φυσικών επιστημών 4. J.. Bll: pakabl and unspakabl in quantum mchanics 5. David J. Griffiths: Introduction to quantum mchanics 6. J. T. Cushing: Φιλοσοφικές έννοιες στη Φυσική 7. J. T. Cushing & Ernan McMullin: Philosophical consquncs of quantum thory THE END
ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραSˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)
Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL. Παράδοξο EPR
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL Παράδοξο EPR Σύμφωνα με τις βασικές αρχές της κβαντομηχανικής κάθε φυσικό σύστημα εκφράζεται μέσω της περίφημης κυματοσυνάρτησης. Ωστόσο το υπό μελέτη σύστημα πριν να το μετρήσουμε βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότερα3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου
Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 15 Δεκ
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.
Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στροφορμής
Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης
Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικές Καταστάσεις
Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x
Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ
Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία
Διαβάστε περισσότερα(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ
Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΗ άλγεβρα της στροφορμής
Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli
Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής
Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Ν. Γιόκαρης,, (Κ.Ν.( Παπανικόλας) & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 2016 Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης 1 Stathis STILIARIS,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης
Διαβάστε περισσότεραΤανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική
Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο
Διαβάστε περισσότερα= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.
Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραS ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ
Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους
1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους Σκοποί της πέμπτης διάλεξης: 10.11.2011 Εξοικείωση με τους μετασχηματισμούς του Lorentz και τις διάφορες μορφές που μπορούν να πάρουν για την επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,
Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4
ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότερα16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει μια εφαρμογή για να γίνει πιο κατανοητός
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης
Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ. By Teamcprojectphysics
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ By Teamcprojectphysics ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κόσμος της Κβαντομηχανικής είναι περίεργος, γοητευτικός και μυστήριος. Η ονομασία όμως Κβαντομηχανική είναι αποκρουστική, βαρετή, μη ενδιαφέρουσα,
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΠαραμαγνητικός συντονισμός
Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη
Διαβάστε περισσότερα, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή
Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.
Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότερα5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ
Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία.
Σύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία. Η κβαντική θεωρία αναπτύχθηκε με τις ιδέες των ακόλουθων επιστημόνων: Κβάντωση της ενέργειας (Max Planck, 1900). Κυματική θεωρία της ύλης (De Broglie,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών
Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Αφού δοθεί ο ορισμός ολικής στροφορμής θα γίνει η συσχέτιση της βάσης ολικής στροφορμής (jm j) με τη βάση των επιμέρους στροφορμών (m 1m ). Οι συντελεστές
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραΣυντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης
Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης (Coefficient of restitution ή bounciness) Μία έννοια εξαιρετικά σημαντική για όσους φτιάχνουν ασκήσεις στις στιγμιαίες κρούσεις (με ορμές ή/και στροφορμές για την
Διαβάστε περισσότερα5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ
Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009
Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις
Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις 4. Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ˆ i e, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του
Διαβάστε περισσότεραΔύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1
Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο
Διαβάστε περισσότεραΑτομική και Μοριακή Φυσική
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘεμέλια & Προεκτάσεις της Θεωρίας του Bohm
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεμέλια & Προεκτάσεις της Θεωρίας του Bohm Κωνσταντίνος Χ. Βουκύδης Επιβλέπων: Αριστείδης Αραγεώργης,
Διαβάστε περισσότεραΕύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής
Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων
Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό, είναι τα εξής (Βαγιονάκης, 1996 Μοδινός, 1994 Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013
Διαβάστε περισσότεραΑπαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005
ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραΤο κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».
Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής
Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d
Διαβάστε περισσότεραΝα εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x).
Κεφάλαιο 2, άσκηση 1: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 2, β), Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση : Για να είναι
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1
Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 2η Πετρίδου Χαρά
Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 2η Πετρίδου Χαρά Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 10-Jan-11 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωµάτια
Διαβάστε περισσότεραμε Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΆρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,
Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (9/8/1) Θέμα 1: (1), (), (3), (4), όπου, (5),, (6), (7), (8), (9), όπου, (1), (11) ενέργεια [ ], όλες οι συνιστώσες της στροφορμής [ ], (1), (13), (κυματ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια
Κεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια το κεφάλαιο αυτό θα μιλήσουμε για δύο φωτόνια. Δύο φωτόνια που δεν διαχωρίζονται, και που έχουν φέρει πραγματική επανάσταση στην
Διαβάστε περισσότεραΘεμέλια και φιλοσοφικές πτυχές της ερμηνείας Bohm
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραfysikoblog.blogspot.com
fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15
Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι
Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Disclaimer: Οι δυο ασκήσεις ζητούν τις κυματοσυναρτήσεις, τις ενέργειες, τις τιμές (x 1 x 2 ) 2 των διαφόρων καταστάσεων και τη διόρθωση από διαταραχή, για μποζόνια
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότεραΤο σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.
Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )
Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Κ. Βελλίδης & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 018 Συντεταγμένες Κ. Βελλίδη (Στοιχειώδη Σωμάτια): Τομέας ΠΦΣΣ: β όροφος, 10-77-6946 ΙΕΣΕ: β όροφος,
Διαβάστε περισσότεραΗ Φυσική που δεν διδάσκεται
1 Η Φυσική που δεν διδάσκεται Δρ. Μιχάλης Καραδημητρίου Σύλλογος Φυσικών Κρήτης www.sfkritis.gr Αλήθεια τι είναι η «Φυσική» ; 2 Είναι ένα άσχημο μάθημα με τύπους και εξισώσεις;; ή μήπως είναι η επιστήμη
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»
Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης
ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Συναλλοίωτη Μορφή: οι Dirac γ Matrices Η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή χρησιμοποιώντας τις 4 Dirac γ matrices: Πολλαπλασιάζοντας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 19 ο, 25 Νοεµβρίου 2008 (9:00-11:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 2010 (9:00-11:00).
Μάθηµα 9 ο, 5 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 00 (9:00-:00). ΑΣΚΗΣΗ 9- Θεωρούµε φυσικά µεγέθη που περιγραφονται από τους τελεστές A, B, C και H (Χαµιλτονιανή). Γνωρίζουµε για τους τελεστές
Διαβάστε περισσότερα