ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Transcript

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται η κανονική κατανομή και τα χαρακτηριστικά της, αλλά και ποιοί είναι οι κύριοι λόγοι χρήσης της. Γίνεται εκτενής αναφορά στον πίνακα αθροιστικής κατανομής, στη στατιστική επαγωγή αλλά και μέθοδο της δειγματοληψίας. Ενώ τέλος, αναλύεται το Κεντρικό οριακό θεώρημα, αλλά και το διάστημα εμπιστοσύνης. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Κανονική Κατανομή και Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής. Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Στατιστική Επαγωγή. Δειγματοληψία. Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Διάστημα Εμπιστοσύνης. 5

6 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η πιο σημαντική κατανομή στη στατιστική είναι η κανονική κατανομή. Η Κανονική Κατανομή έχει τεράστια σημασία: Στη Στατιστική. Στην Οικονομετρία. Στη Δειγματοληψία. 6

7 Γενικά χαρακτηριστικά της Κανονικής Κατανομής (1 από 2) Συνάρτηση πιθανότητας της Κανονικής Κατανομής είναι η ακόλουθη:. μ = μέσος. σ = τυπική απόκλιση. π = 3,14. e = 2,71. f(x) 1 e 2 (x -μ)

8 Γενικά χαρακτηριστικά της Κανονικής Κατανομής (2 από 2) Μια μεταβλητή Χ που ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2 συμβολίζεται διεθνώς: Χ~Ν(μ, σ 2 ). Όλες οι κανονικές κατανομές, ανεξάρτητα από την τιμή που έχουν ο μέσος και η διακύμανση, έχουν τις ίδιες ιδιότητες και σχηματίζουν την ίδια βασική μορφή καμπάνας. Η μορφή της Κανονικής Καμπύλης έχει τη μορφή της καμπάνας, είναι μονοκόρυφη και συμμετρική. 8

9 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (1 από 7) Εικόνα 1: Κανονική Κατανομη. Πηγή: Διδάσκων (2015). 9

10 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (2 από 7) Υπάρχει ολόκληρη οικογένεια κανονικών κατανομών και η κάθε μια διαφέρει από τις άλλες στον μέσο και την τυπική απόκλιση. Εικόνα 2: Οικογένεια κανονικών κατανομών. Πηγή: Διδάσκων (2015). 10

11 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (3 από 7) Το εμβαδά κάτω από την Κανονική Καμπύλη από το - έως το + ισούται με τη μονάδα. Η Κανονική Καμπύλη είναι συμμετρική, δηλαδή G = 0. Ο Μέσος Αριθμητικός, η Διάμεσος και η επικρατούσα τιμή συμπίπτουν. Αποδεικνύεται ότι η Κανονική Καμπύλη έχει συντελεστή κύρτωσης Κ=3 (μεσόκυρτη). Οι συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης αποτελούν τα κριτήρια "κανονικότητας" μιας εμπειρικής κατανομής συχνοτήτων. 11

12 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (4 από 7) Για να διαπιστώσουμε αν μια εμπειρική κατανομή συχνοτήτων ακολουθεί την Κανονική Κατανομή: Υπολογίζουμε τα G και K. Αν βρούμε G 0 και K 3. Τότε λέμε ότι η εμπειρική κατανομή συχνοτήτων ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. 12

13 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (5 από 7) Στο υψηλότερο σημείο της κανονικής κατανομής αντιστοιχεί ο μέσος ο οποίος είναι και διάμεσος και επικρατούσα τιμή. Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική κατανομή. Οι ουρές από αριστερά και δεξιά θεωρητικά είναι ασύμπτωτες με τον οριζόντιο άξονα. Εικόνα 3: Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής. Πηγή: Διδάσκων (2015). 13

14 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (6 από 7) Ο οριζόντιος άξονας είναι η ευθεία των πραγματικών αριθμών. Το συνολικό εμβαδόν ανάμεσα στην κανονική καμπύλη και τον οριζόντιο άξονα είναι 1. Οι τιμές που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή είναι άπειρες και επομένως η πιθανότητα να πάρουμε μία συγκεκριμένη τιμή είναι 1 = 0 Αυτό που αναζητούμε λοιπόν είναι η πιθανότητα να είμαστε πάνω ή κάτω από μία συγκεκριμένη τιμή [P(X<α) P(X<α)] ή η πιθανότητα να είμαστε ανάμεσα σε δύο συγκεκριμένες τιμές [P(α<x<β)]. 14

15 Χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (7 από 7) Στην κανονική κατανομή αποδεικνύεται ότι στο διάστημα ± σ η καμπύλη περιλαμβάνει το 68% περίπου των περιπτώσεων. Στο διάστημα μεταξύ ± 2σ η καμπύλη περιλαμβάνει το 95,9% των περιπτώσεων. Στο διάστημα + 3σ το 99,7% των περιπτώσεων. Η Κανονική Καμπύλη, για τιμές της χ = ±3σ γύρω από το μέσο (μ) συγκλίνει ταχύτατα προς τον άξονα των Χ, αλλά είναι ασύμπτωτη με τον οριζόντιο άξονα. 15

16 Μία τυπική απόκλιση από το μέσο Εικόνα 4: Μία τυπική απόκλιση από το μέσο. Πηγή: Διδάσκων (2015). 16

17 Δύο τυπικές αποκλίσεις από το μέσο. Εικόνα 5: Δύο τυπικές αποκλίσεις από το μέσο. Πηγή: Διδάσκων (2015). 17

18 Τρεις τυπικές αποκλίσεις από το μέσο Εικόνα 6: Δύο τυπικές αποκλίσεις από το μέσο. Πηγή: Διδάσκων (2015). 18

19 Λόγοι για την χρησιμοποίηση της κανονικής κατανομής 1. Η ευκολία στην εφαρμογή της, δεδομένου και της εκτεταμένης βιβλιογραφίας. 2. Οι κατανομές πολλών μεταβλητών στην φύση ακολουθούν την κανονική (τουλάχιστον προσεγγιστικά), βάρος, ύψος, κλπ. 3. Η επαγωγική με βάση το κεντρικό οριακό θεώρημα έχει καταστήσει την κανονική κατανομή ως την πιο σημαντική, καθώς ανεξαρτήτως της κατανομής του γεννήτορα πληθυσμού όταν το δείγμα είναι μεγάλο δύναται η χρήση της κανονικής για την εξαγωγή των σχετικών συμπερασμάτων. 19

20 Πίνακες της κανονικής κατανομής Επειδή η κανονική καμπύλη εξαρτάται από τις δύο παραμέτρους μ και σ, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός διαφορετικών κανονικών καμπύλων. Όλοι οι τυποποιημένοι πίνακες της κανονικής κατανομής αφορούν την κατανομή με μ=0 και σ=1. Εάν μία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά δηλ. Χ~Ν (μ, σ 2 ), τότε για να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής, Ζ~Ν (0, 1). Πρέπει να αλλάξουμε την κλίμακα της Χ ώστε ο μέσος να ισούται με 0 και η διακύμανση 1. Η νέα μεταβλητή δίνεται από την σχέση: Z = (X-μ)/σ. 20

21 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (1 από 9) O πίνακας δίνει, για οποιαδήποτε τιμή της Ζ, το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μέχρι την τιμή Ζ. Tο εμβαδόν κάτω από την καμπύλη αντιπροσωπεύει την συνολική ή αθροιστική συχνότητα όλων των τάξεων μέχρι την τιμή Ζ. Η αθροιστική συχνότητα διαιρούμενη με το συνολικό δειγματικό μέγεθος παρέχει μια «αθροιστική σχετική συχνότητα». Πίνακας 1: Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Πηγή: Διδάσκων (2015). 21

22 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (2 από 9) Όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος, οριακά. Η «αθροιστική σχετική συχνότητα» καθίσταται η πιθανότητα με την οποία μία τυχαία επιλογή θα παίρνει τιμή μέχρι την τιμή Ζ. Για την τιμή Ζ = 0, το εμβαδόν είναι 0,5. Για την τιμή Ζ=3,9, ή οποιαδήποτε μεγαλύτερη τιμή, το εμβαδόν είναι 1. Πίνακας 2: Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Πηγή: Διδάσκων (2015). 22

23 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (3 από 9) Ζ~Ν (0, 1), δηλαδή μ=0 και σ2=1. Σύμφωνα με τον κανόνα: Πίνακας 3: Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Πηγή: Διδάσκων (2015). 23

24 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (4 από 9) H πιθανότητα με την οποία μία τιμή της Ζ βρίσκεται μεταξύ 3,9 και +3,9 είναι 1,00, διότι η καμπύλη ξεκινά κατ ουσία από το -3,9 και τελειώνει στο 3,9 περιλαμβάνει όλο το δειγματικό χώρο. Για την τιμή Ζ= 1,22, το εμβαδόν είναι 0,8888. δηλαδή P(Z 1,22) = 0,8888. Εάν όμως το ζητούμενο είναι P(Z>1,22), τότε: P(Z>1,22) =1- P(Z 1,22) = 1-0,8888. Πίνακας 4: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 24

25 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (5 από 9) Εάν το ζητούμενο είναι P(Z> - 1,22), τότε:. P(Z> - 1,22) =1- P(Z -1,22) = 1-(1- P(Z 1,22))= P(Z 1,22) = 0,8888. Εάν το ζητούμενο είναι P( - 1,22 Ζ 1,22), τότε μπορούμε P(Z 1,22) - P(Z -1,22) = = 0,8888 (1- P(Z 1,22))= 0, ,

26 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (6 από 9) Το ύψος των ανθρώπων ακολουθεί την κατανομή Χ~Ν(170, 36). Να βρεθεί η πιθανότητα ένας άνθρωπος να είναι πάνω από 180. Λύση. Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X>180). Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε: Πίνακας 5: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 26

27 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (7 από 9) Σε έναν αυτοκινητόδρομο έχει όριο ταχύτητας 130 km/h και κάμερες οι οποίες καταγράφουν την ταχύτητα των διερχόμενων αυτοκινήτων. Εάν η ταχύτητα με την οποία περνούν τα αυτοκίνητα από μία κάμερα κατανέμεται με Χ~Ν(125, 100), να βρεθεί η πιθανότητα το επόμενο αυτοκίνητο να παραβιάσει το όριο ταχύτητας. Λύση: Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X>130). Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε: 27

28 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (8 από 9) Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε. Πίνακας 6: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 28

29 Πίνακας αθροιστικής κατανομής (9 από 9) Έστω Χ~Ν(10, 4), να βρεθεί η πιθανότητα P(4<X<12). Λύση. P(4<X<12) = 29

30 Άσκηση (1 από 2) Σε έναν αυτοκινητόδρομο έχει όριο ταχύτητας 130 km/h και κάμερες οι οποίες καταγράφουν την ταχύτητα των διερχόμενων αυτοκινήτων. Εάν η ταχύτητα με την οποία περνούν τα αυτοκίνητα από μία κάμερα κατανέμεται με Χ~Ν(125, 100), να βρεθεί η πιθανότητα το επόμενο αυτοκίνητο να κινείται με ταχύτητα ανάμεσα σε 110 και 130 km/h. Λύση. Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα: P(110< X<130). Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε:. 30

31 Άσκηση (2 από 2) Πίνακας 7: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 31

32 Στατιστική Επαγωγή (1 από 3) Ένα τεράστιο μέρος της έρευνας διενεργείται μέσω της ανάλυσης δειγμάτων προκειμένου να εξάγουμε συμπεράσματα για τον πληθυσμό. Αυτό φυσικά εμπεριέχει ένα βαθμό αβεβαιότητας. Πόσο μπορούμε να εμπιστευτούμε ότι ένα αποτέλεσμα που προκύπτει από το δείγμα είναι έγκυρο και για τον πληθυσμό. Οι τεχνικές της επαγωγικής στατιστικής μετρούν αυτή ακριβώς τη στατιστική αβεβαιότητα. Δύο είναι οι κυριότερες διαδικασίες της επαγωγικής στατιστικής: Η εκτίμηση. Ο έλεγχος υποθέσεων. 32

33 Στατιστική Επαγωγή (2 από 3) Εάν το δείγμα είναι καλό και αξιόπιστο τότε θα μας οδηγήσει σε σωστά συμπεράσματα για τον πληθυσμό. Εάν ο δείγμα είναι ακατάλληλο τότε θα βγάλουμε λανθασμένα συμπεράσματα. Ακόμα και εάν χρησιμοποιήσουμε τα πλέον εξεζητημένα και πολύπλοκα μεθοδολογικά εργαλεία. 33

34 Στατιστική Επαγωγή (3 από 3) Πολλές στατιστικές έρευνες έχουν αποτύχει παταγωδώς γιατί το δείγμα που επιλέχθηκε δεν ήταν καλό. Το μυστικό πίσω από την επιλογή του καλού δείγματος βρίσκεται στις λέξεις αντιπροσωπευτικό και τυχαίο. Η με συστηματικό τρόπο, είτε θετικό είτε αρνητικό, μονομερής αντιμετώπιση κάποιων ατόμων ή πραγμάτων ονομάζεται μεροληψία. 34

35 Δειγματοληψία (1 από 8) Η διαδικασία δημιουργίας ενός ή περισσοτέρων δειγμάτων λέγεται δειγματοληψία. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι δειγματοληψίας για τη συγκρότηση του τυχαίου δείγματος οι οποίες χρησιμοποιούνται κατά περίπτωση. 35

36 Δειγματοληψία (2 από 8) Στη τυχαία δειγματοληψία κάθε μέλος του πληθυσμού έχει μία μη μηδενική πιθανότητα. Όλα τα μέλη του πληθυσμού έχουν ίση πιθανότητα επιλογής στο δείγμα. Ενώ δεν υπάρχει επανάθεση, δηλαδή κάθε μέλος μπορεί να εμφανιστεί μόνο μία φορά στο δείγμα. Η πιθανότητα επιλογής ενός μέλους είναι ανεξάρτητη από την πιθανότητα επιλογής κάποιου άλλου μέλους. 36

37 Δειγματοληψία (3 από 8) Στη συστηματική τυχαία δειγματοληψία τα μέλη του πληθυσμού δεν έχουν ίση πιθανότητα επιλογής στο δείγμα. Η επιλογή ενός μέλους εξαρτάται από την επιλογή του προηγούμενου. Η επιλογή γίνεται ως εξής: Εάν θέλουμε δείγμα 100 από πληθυσμό 1000: Τότε παίρνουμε το πρώτο μέλος τυχαία από τη θέση 1 έως 10, π.χ. το νούμερο 7 και στη συνέχεια επιλέγουμε κάθε 10 ο επόμενο μέλος, το νούμερο 17, 27, 37, κλπ. 37

38 Δειγματοληψία (4 από 8) Στη στρωματοποιημένη τυχαία δειγματοληψία διαιρούμε τον πληθυσμό σε στρώματα. Ομάδες του πληθυσμού που έχουν ένα ή περισσότερα κοινά χαρακτηριστικά. Τα στρώματα πρέπει να είναι αμοιβαία αποκλειόμενα. Ένα άτομο μπορεί να ανήκει σε ένα μόνο στρώμα. Σε κάθε στρώμα κάνουμε απλή τυχαία δειγματοληψία. Συνήθως κάθε στρώμα έχει τόσα μέλη στο δείγμα όση είναι και η αναλογία στον πληθυσμό. 38

39 Δειγματοληψία (5 από 8) Για παράδειγμα, σε ένα γκάλοπ για τις εκλογές θα πρέπει να έχουμε στο δείγμα μας αναλογίες: Στο φύλο. Στις ηλικίες. Στο μορφωτικό επίπεδο. Στον τόπο κατοικίας κλπ. Ίδιες με το γενικό πληθυσμό. Εάν μια μεγάλη εταιρεία απασχολεί 50% αποφοίτους Λυκείου, 35% αποφοίτους ΑΕΙ και 15% με μεταπτυχιακό και πάρουμε δείγμα υπαλλήλων θα πρέπει να τηρηθεί η αναλογία αυτή. 39

40 Δειγματοληψία (6 από 8) Στη δειγματοληψία σωρού ο πληθυσμός διαιρείται σε υπο-πληθυσμούς (clusters). Το δείγμα προκύπτει από κάποιον υπο-πληθυσμό. Για παράδειγμα, για να πάρουμε δείγμα νοσηλευτών από όλα τα νοσοκομεία της χώρας. 40

41 Δειγματοληψία (7 από 8) Πρώτα παίρνουμε ένα δείγμα νοσοκομείων. Στη συνέχεια επιλέγουμε με κάποια μέθοδο νοσηλευτές μόνο από τα νοσοκομεία του δείγματος νοσοκομείων. Εάν κάνουμε έρευνα ανάμεσα σε καταναλωτές που ψωνίζουν σε ένα μεγάλο εμπορικό κέντρο. Μπορεί να πάρουμε ως δείγμα τυχαία κάποια καταστήματα και να περιλάβουμε μόνο τους πελάτες αυτών των καταστημάτων. 41

42 Δειγματοληψία (8 από 8) Κατανομή είναι η καταγραφή ή το διάγραμμα ή η συνάρτηση όλων των πιθανών τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Κατανομή πληθυσμού είναι η κατανομή της συχνότητας όλων των τιμών που λαμβάνει μια μεταβλητή σε ένα πληθυσμό (ή πιθανές τιμές). Κατανομή δείγματος μεγέθους n είναι η κατανομή της συχνότητας των τιμών ενός δείγματος μεγέθους n. 42

43 Κατανομή Δειγματοληψίας (1 από 15) Οι κατανομή των δειγματικών μέσων από όλα τα δυνατά δείγματα μεγέθους n ενός πληθυσμού μεγέθους Ν. Ο μέσος όρος των δειγματικών μέσων ή αλλιώς της νέας κατανομής των δειγματικών μέσων είναι: Ο μέσος όρος όλων των μέσων όρων των δειγμάτων που προκύπτουν από έναν πληθυσμό είναι ίσος με το μέσο όρο του πληθυσμού. 43

44 Κατανομή Δειγματοληψίας (2 από 15) Η διακύμανση της κατανομής δειγματοληψίας είναι: Επομένως, η τυπική απόκλιση του είναι: 44

45 Κατανομή Δειγματοληψίας (3 από 15) Η τυπική απόκλιση του μέσου εκφράζει τη μέση απόσταση του δειγματικού μέσου από το μέσο του πληθυσμού. Λέγεται τυπικό σφάλμα και συμβολίζεται με SE (από τις λέξεις Standard Error). Δηλαδή, 45

46 Κατανομή Δειγματοληψίας (4 από 15) Το τυπικό σφάλμα υπάρχει γιατί οι δειγματικοί μέσοι δεν συμπίπτουν με το μέσο του πληθυσμού. Το τυπικό σφάλμα δείχνει ποιος είναι ο μέσος όρος της απόκλισης των μέσων όρων των δειγμάτων από το μέσο του πληθυσμού. 46

47 Κατανομή Δειγματοληψίας (5 από 15) Όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος τόσο μειώνεται η τιμή του τυπικού σφάλματος. Τόσο πιο κοντά στον πραγματικό μέσο όρο του πληθυσμού θα είναι ο τυπικός δειγματικός μέσος. Αυτό είναι φυσικό, όσο πιο πολλά στοιχεία έχουμε (μεγάλο μέγεθος δείγματος), τόσο περισσότερο θα προσεγγίζουμε την πραγματική παράμετρο του πληθυσμού. 47

48 Κατανομή Δειγματοληψίας (6 από 15) Όσο μεγαλύτερο το δείγμα τόσο μεγαλύτερη η προσέγγιση του μέσου του πληθυσμού. Όμως, προσέξτε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι στον παρονομαστή του τυπικού σφάλματος σε τετραγωνική ρίζα. Έστω n=25. Ενώ n=100. Δηλαδή, χρειάστηκε να τετραπλασιάσουμε το δείγμα για να διπλασιάσουμε την ακρίβεια. Να μειώσουμε το τυπικό σφάλμα. 48

49 Κατανομή Δειγματοληψίας (7 από 15) H διακύμανση του δειγματικού μέσου γίνεται όλο και μικρότερη όσο μεγαλώνει το δείγμα: Όσο μικρότερη είναι η δειγματική διακύμανση. Τόσο μικρότερη θα είναι και η πιθανότητα να βρεθούμε μακριά από τον πραγματικό μέσο. Εικόνα 7: Κατανομή Δειγματοληψίας. Πηγή: Διδάσκων (2015). 49

50 Κατανομή Δειγματοληψίας (8 από 15) Σε πολλές έρευνες η αύξηση του μεγέθους του δείγματος είναι είτε πολύ δαπανηρή υπόθεση ή ακόμα και αδύνατη. Γιατί οι εταιρείες δημοσκοπήσεων δεν αυξάνουν το μέγεθος του δείγματος; Μα γιατί εάν η απόσταση των κομμάτων είναι 1%. Τότε θα πρέπει να κατεβεί το τυπικό σφάλμα πολύ κάτω από 1% για να είναι τα αποτελέσματα που δίνει το γκάλοπ αξιοποιήσιμα. Για να μικραίνει όμως τόσο πολύ το τυπικό σφάλμα θα πρέπει να αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος τόσο πολύ που καθίσταται απαγορευτικό από πλευράς κόστους. 50

51 Κατανομή Δειγματοληψίας Παράδειγμα. Έστω ότι : (9 από 15) Ο πληθυσμός Α είναι όλοι οι εισακτέοι στην Ανώτατη εκπαίδευση για το έτος Ο πληθυσμός Β είναι οι εισακτέοι στην Ιατρική Σχολή Αθηνών την ίδια χρονιά. Αναζητούμε το μέσο όρο της βαθμολογίας και παίρνουμε ένα δείγμα από τον κάθε πληθυσμό. 51

52 Κατανομή Δειγματοληψίας (10 από 15) Η μεταβλητότητα στους δύο πληθυσμούς είναι πολύ διαφορετική. Στον πληθυσμό Α η τυπική απόκλιση μπορεί να είναι ή μονάδες. Ενώ στον πληθυσμό Β, εάν υποθέσουμε ότι η βάση εισαγωγής στην Ιατρική Αθηνών είναι η τυπική απόκλιση είναι κάπου 150 μονάδες. 52

53 Κατανομή Δειγματοληψίας (11 από 15) Επομένως, δυο είναι οι παράγοντες που παίζουν ρόλο στην καλύτερη προσέγγιση της πραγματικής τιμής: 1. Το μέγεθος του δείγματος. 2. Η διασπορά του γεννήτορα πληθυσμού. 53

54 Κατανομή Δειγματοληψίας (12 από 15) Αν ο πληθυσμός από το οποίο πήραμε το δείγμα είναι πεπερασμένος, τότε η διακύμανση θα είναι: Παρόλα αυτά στις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιείται ο τύπος: 54

55 Κατανομή Δειγματοληψίας (13 από 15) Έστω ένας πληθυσμός με δεδομένα: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ο μέσος αυτού του πληθυσμού είναι: Η διακύμανση είναι: Παρακάτω εξάγουμε όλα τα δυνατά δείγματα (με επανατοποθέτηση) μεγέθους n=3. 55

56 Κατανομή Δειγματοληψίας (14 από 15) Πίνακας 8: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 56

57 Κατανομή Δειγματοληψίας (15 από 15) Πίνακας 9: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 57

58 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (1 από 12) Ανεξαρτήτως της κατανομής του γεννήτορα πληθυσμού, οι κατανομές των δειγματικών μέσων μεγέθους n>30 ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή. Η κατανομή του γεννήτορα πληθυσμού μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από την κανονική, δύναται να είναι ακόμη και διακριτή. Όσο μεγαλώνει το μέγεθος του δείγματος τόσο η κατανομή δειγματοληψίας προσεγγίζει καλύτερα την κανονική κατανομή. 58

59 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Ο μέσος της κατανομής των δειγματικών μέσων είναι ο μέσος του πληθυσμού: (2 από 12) Η τυπική απόκλιση είναι: Μπορούμε να τυποποιήσουμε την μεταβλητή του δειγματικού μέσου. 59

60 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (3 από 12) Εικόνα 8: Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Πηγή: Διδάσκων (2015). 60

61 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (4 από 12) Εικόνα 9: Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Πηγή: Διδάσκων (2015). 61

62 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (5 από 12) Παράδειγμα: Έστω ότι οι τιμές των κατοικιών σε μία πόλη κατανέμονται κανονικά με μέσο ευρώ και τυπική απόκλιση ευρώ. α) Παίρνουμε δείγμα 25 κατοικιών. Να υπολογιστεί η πιθανότητα η μέση τιμή του δείγματος να είναι μεγαλύτερη από ευρώ. Απάντηση: Η κατανομή του πληθυσμού είναι κανονική επομένως και το οποιοδήποτε δείγμα θα έχει κανονική κατανομή. α) Το τυπικό σφάλμα του μέσου θα είναι: 62

63 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (6 από 12) Αναζητούμε την πιθανότητα : Δηλαδή η πιθανότητα ο μέσος του δείγματος να είναι μεγαλύτερος από ευρώ είναι 10,56%. 63

64 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (7 από 12) Έστω ότι οι τιμές των κατοικιών σε μία πόλη κατανέμονται κανονικά με μέσο ευρώ και τυπική απόκλιση ευρώ. β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα η μέση τιμή του δείγματος των κατοικιών να είναι ανάμεσα σε και ευρώ, καθώς επίσης και η πιθανότητα η τιμή μιας κατοικίας να είναι ανάμεσα τα ίδια όρια. Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα: Θα πρέπει να βρούμε καταρχήν τις τιμές z: 64

65 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (8 από 12) Δηλαδή η πιθανότητα ο μέσος του δείγματος να είναι ανάμεσα σε και ευρώ είναι 78,88%. Θα υπολογίσουμε τώρα τις τιμές για μια μεμονωμένη παρατήρηση (κατοικία) δίχως τη χρήση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος. 65

66 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (9 από 12) Θα υπολογίσουμε τώρα τις τιμές για μια μεμονωμένη παρατήρηση (κατοικία) δίχως τη χρήση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος. 66

67 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (10 από 12) Δηλαδή η πιθανότητα η τιμή μιας κατοικίας να είναι ανάμεσα σε και ευρώ είναι 19,74%. Με άλλα λόγια είμαστε περισσότερο βέβαιοι ότι το διάστημα με περιλαμβάνει το δειγματικό μέσο, παρά μια μεμονωμένη τιμή. Εφόσον ο μέσος βρίσκεται στο εν λόγω διάστημα συμπεραίνουμε ότι: Ο δειγματικός μέσος προσεγγίζει καλύτερα το μέσο του πληθυσμού σε σχέση με μία μεμονωμένη τιμή της κατανομής. 67

68 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (11 από 12) Το μέσο εισόδημα στο Ηράκλειο είναι ευρώ με τυπική απόκλιση ευρώ. Η κατανομή του εισοδήματος είναι άγνωστη. α) Εάν πάρουμε ένα δείγμα 40 κατοίκων του Ηρακλείου ποια είναι η πιθανότητα το μέσο εισόδημα του δείγματος να είναι κάτω από ευρώ; Κάτω από ευρώ; β) Για το ίδιο δείγμα, ποια είναι η πιθανότητα το μέσο εισόδημα του δείγματος να είναι ανάμεσα σε και ευρώ; γ) Εάν πάρουμε δείγμα 80 ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα το μέσο εισόδημα του νέου δείγματος να είναι ανάμεσα σε και ευρώ; 68

69 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (12 από 12) Η κατανομή του πληθυσμού είναι άγνωστη, όμως το δείγμα είναι μεγαλύτερο από 30 άτομα και επομένως σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου μπορεί να προσεγγιστεί με την κανονική κατανομή. 69

70 Διάστημα Εμπιστοσύνης (1 από 14) Με τον όρο παράμετρος νοείται μια ποσότητα, ένας αριθμός, που χαρακτηρίζει έναν πληθυσμό. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση είναι παράμετροι: Είναι κάποια συγκεκριμένα νούμερα, που χαρακτηρίζουν έναν πληθυσμό. Ο μέσος μας δείχνει πού βρίσκεται το κέντρο του πληθυσμού. Ενώ η τυπική απόκλιση μας δείχνει ποια είναι η μέση απόσταση που έχουν από το μέσο τα μέλη του πληθυσμού. 70

71 Διάστημα Εμπιστοσύνης (2 από 14) Με τον όρο εκτιμητής (estimator) νοείται ένας κανόνας, μια διαδικασία εκτίμησης μιας άγνωστης παραμέτρου. Μία συνάρτηση τιμών ενός τυχαίου δείγματος. Η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της αντίστοιχης παραμέτρου στον πληθυσμό. Ο εκτιμητής είναι τυχαία μεταβλητή, με την έννοια ότι για κάθε δείγμα μπορεί να παράγει διαφορετικά αποτελέσματα. Η τιμή που παίρνει ο εκτιμητής σε κάποια συγκεκριμένη περίπτωση λέγεται εκτίμηση (estimation). 71

72 Διάστημα Εμπιστοσύνης (3 από 14) Ένας εκτιμητής μπορεί να δώσει μια καλή εκτίμηση. Μια τιμή για την παράμετρο η οποία δεν διαφέρει πολύ από την πραγματική τιμή του πληθυσμού. Ή μια κακή εκτίμηση. Δηλαδή μία τιμή που διαφέρει σημαντικά από την πραγματική τιμή του πληθυσμού. Η εκτίμηση λέγεται επίσης και στατιστική (statistic). Επίσης με τον όρο στατιστική μπορεί να εννοούμε το σύνολο των τεχνικών και των διαδικασιών που αφορούν στην ανάλυση δεδομένων, στην παρουσίαση των δεδομένων, στη διαδικασία λήψης αποφάσεων. 72

73 Διάστημα Εμπιστοσύνης (4 από 14) Ο αριθμός των ανεξάρτητων πληροφοριών για να εκτιμήσουμε μια παράμετρο λέγεται βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom). Σε γενικές γραμμές, οι βαθμοί ελευθερίας σε μια εκτίμηση είναι: Ο αριθμός των δεδομένων που περιέχονται στο δείγμα μείον τον αριθμό των εκτιμήσεων για παραμέτρους που υπολογίζονται σε ενδιάμεσα στάδια στη διαδικασία εκτίμησης της παραμέτρου. 73

74 Διάστημα Εμπιστοσύνης (5 από 14) Ένας άλλος τρόπος για να αντιληφθούμε την έννοια των βαθμών ελευθερίας είναι ο εξής: Ας υποθέσουμε ότι διαλέγουμε τέσσερα νούμερα τα οποία πρέπει να δίνουν άθροισμα 20. Τα τρία από τα νούμερα αυτά μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Όμως το τέταρτο θα πρέπει να είναι αυτό που αθροιζόμενο με τα άλλα θα δώσει αποτέλεσμα 20. Επομένως, είμαστε ελεύθεροι να επιλέξουμε τρία νούμερα, έχουμε τρεις βαθμούς ελευθερίας. 74

75 Διάστημα Εμπιστοσύνης (6 από 14) Η τιμή του εκτιμητή στο δείγμα ονομάζεται εκτίμηση σημείου (point estimation), ή σημειακή εκτίμηση. Για παράδειγμα, ο μέσος ενός δείγματος είναι μια εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού. Από ένα άλλο δείγμα μπορεί να προκύψει ένας άλλος δειγματικός μέσος, ο οποίος πιθανότατα θα διαφέρει από τον πρώτο. Γενικώς, οι απόλυτες διαφορές μεταξύ των εκτιμητών και των παραμέτρων του πληθυσμού ονομάζονται δειγματικά σφάλματα. Στην περίπτωση του δειγματικού μέσου το σφάλμα ορίζεται ως εξής: E x 75

76 Διάστημα Εμπιστοσύνης (7 από 14) Στην επαγωγική στατιστική δύναται να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος. Εφόσον εκτιμήσουμε ένα διάστημα στο οποίο θα βρίσκεται η πραγματική παράμετρος του πληθυσμού με ορισμένη πιθανότητα. Τα άκρα του διαστήματος δημιουργούν ένα διάστημα εμπιστοσύνης (confidence interval), μέσα στο οποίο είμαστε πεπεισμένοι ότι με πιθανότητα: Π.χ. 95% βρίσκεται η τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού. Όσο μεγαλύτερο το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης, τόσο μεγαλώνει η πιθανότητα η παράμετρος να βρίσκεται μέσα στο διάστημα. 76

77 Διάστημα Εμπιστοσύνης (8 από 14) Προσθέτοντας και αφαιρώντας τυπικά σφάλματα στην εκτίμηση της παραμέτρου. Π.χ. στο δειγματικό μέσο, δημιουργούμε διαστήματα τιμών τα οποία καλύπτουν την τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού. Είμαστε όμως 100% σίγουροι γι αυτό; 77

78 Διάστημα Εμπιστοσύνης (9 από 14) Για να είμαστε 100% σίγουροι ότι ο μέσος του πληθυσμού καλύπτεται από το διάστημα που έχουμε κατασκευάσει θα πρέπει το διάστημα αυτό να είναι ένα πολύ μεγάλο διάστημα. Με άλλα λόγια, θα πρέπει στο δειγματικό μέσο να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε έναν πολύ μεγάλο αριθμό. Ένα πολύ μεγάλο διάστημα μας είναι άχρηστο. Για παράδειγμα, το να πούμε ότι ένα κόμμα στις εκλογές θα πάρει 40% συν ή πλην 60%, δηλαδή ανάμεσα στο 0% και στο 100% προφανώς είναι μια άχρηστη πληροφορία. 78

79 Διάστημα Εμπιστοσύνης (10 από 14) Η μείωση του διαστήματος το οποίο καλύπτει την πραγματική τιμή του πληθυσμού δημιουργεί και μείωση του επιπέδου βεβαιότητας. Συχνά το επίπεδο βεβαιότητας προκαθορίζεται σε 90%, 95% ή 99% και δημιουργούνται έτσι τα ανάλογα διαστήματα εμπιστοσύνης. 79

80 Διάστημα Εμπιστοσύνης (11 από 14) Αν αφαιρέσουμε τη μονάδα από το επίπεδο βεβαιότητας, τότε προκύπτει το επίπεδο σημαντικότητας α. Πιθανότητα να διαπράξουμε λάθος. Εάν μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται κανονικά με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. 80

81 Διάστημα Εμπιστοσύνης (12 από 14) Γνωρίζουμε ότι σε μια τυπική κανονική κατανομή ισχύει: 81

82 Διάστημα Εμπιστοσύνης (13 από 14) Βλέποντας την κατανομή του δειγματικού μέσου μπορούμε να έχουμε συμπεράσματα για το τυχόν σφάλμα εκτίμησης. Χρησιμοποιώντας του πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, μπορεί να διαπιστωθεί ότι το 95 % των τιμών μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται μεταξύ (- 1,96, +1,96) τυπικών αποκλίσεων από το μέσο μ. 82

83 Διάστημα Εμπιστοσύνης (14 από 14) Άρα το 95 % των δειγματικών μέσων θα πρέπει να βρίσκεται μεταξύ +- 1,96 τυπικών αποκλίσεων από το μέσο μ. Αν εκτίνουμε τον δειγματικό μέσο +- 1,96 τυπικές αποκλίσεις τότε θα είμαστε κατά 95 % βέβαιοι ότι ο πραγματικός μέσος θα βρίσκεται σ αυτό το διάστημα. 83

84 Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1 από 6) α είναι το Επίπεδο Σημαντικότητας. Συμβολίζεται διεθνώς με το α. Είναι η πιθανότητα η τιμή του μέσου μ του πληθυσμού να βρίσκεται εκτός του παρακάτω διαστήματος. Με το γράμμα Ζ συμβολίζουμε τα όρια μιας τυποποιημένης κανονικής κατανομής. n α 2 n α 2 84

85 Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2 από 6) Εικόνα 10: Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου. Πηγή: Διδάσκων (2015). 85

86 Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (3 από 6) Διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού όταν το δείγμα είναι n> 30 και η σ 2 του πληθυσμού γνωστή. Παράδειγμα. Σε ένα τυχαίο δείγμα n=35 φοιτητών υπολογίσαμε το μέσο βάρος 75 κιλά. Αν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή και ίση με 8 κιλά, να εκτιμηθεί διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο βάρος του πληθυσμού με πιθανότητα 95 %. 86

87 Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (4 από 6) Πίνακας 10: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 87

88 Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (5 από 6) Διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού όταν το δείγμα είναι n> 30 και η σ 2 του πληθυσμού άγνωστη. Άσκηση. Η μέση τιμή σε ένα τυχαίο δείγμα 50 παρατηρήσεων είναι 20 και δειγματική τυπική απόκλιση 4. Να βρεθεί 90 % διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού. Να βρεθεί 95 % διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού. Να βρεθεί 99 % διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού. 88

89 Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (6 από 6) Πίνακας 11: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 89

90 Άσκηση (1 από 5) Σε ένα Σχολείο παίρνουμε δείγμα 40 μαθητών και καταγράφουμε μέσο όρο 4 ώρες διαβάσματος την ημέρα με τυπική απόκλιση 1 ώρα. Ποιό είναι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τις ώρες που διαβάζουν κατά μέσο όρο την ημέρα οι μαθητές όλου του Σχολείου; Ποιό είναι το 97% διάστημα εμπιστοσύνης; 90

91 Άσκηση (2 από 5) Εικόνα 11: Κατανομές. Πηγή: Διδάσκων (2015). 91

92 Άσκηση (3 από 5) Διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού ο οποίος ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέγεθος δείγματος n< 30 και σ 2 του πληθυσμού άγνωστη. Παράδειγμα: Σε ένα δείγμα μιας ποδοσφαιρικής ομάδας (της βασικής ενδεκάδας) καταγράφηκε η ηλικία των παικτών. Να βρεθεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το σύνολο των ομάδων του πρωταθλήματος. Πίνακας 12: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 92

93 Άσκηση (4 από 5) Πίνακας 13: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 93

94 Άσκηση (5 από 5) Πίνακας 13: Πίνακας Δεδομένων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 94

95 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Κοντέος Γεώργιος. «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 95

96 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 96

97 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 97

98 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες. Βιβλιογραφικές Πηγές. 98