Μέση τιμή - Διάμεσος

Transcript

1 Μέσ τιμή - Διάμεσος Ονομάζεται μέσ τιμή μιας μεταβλτής x και συμβολίζεται x το πλίκο του αθροίσματος όλων των τιμών τς μεταβλτής δια του πλήθους τους. Δλαδή: Όταν έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν με τιμές x 1, x 2, x ν για τ μεταβλτή x τότε: x= x + x x 1 2 ν ν Η μέσ τιμή είναι το «κέντρο ισορροπίας» των δεδομένων. Για να καταλάβουμε τ ϕυσική τς σμασία ας ϕανταστούμε μία αβαρή σανίδα πάνω στν οποία σκορπίζουμε ένα αριθμό ν ίδιων ϐαριδιών. Το σμείο στήριξς τς σανίδας (ώστε να ισορροπεί σε οριζόντια ϑέσ) είναι μέσ τιμή τς ϑέσς των ϐαριδίων πάνω στ σανίδα, όπως ϕαίνεται και στο Σχήμα: Για να βρούμε τ μέσ τιμή ομαδοποιμένς κατανομής: Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. Σελίδα 1

2 2 Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσς με τ συχνόττα τς κλάσς αυτής. Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα. Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων. Μέσ τιμή = χ 1 ν 1 +χ 2 ν χ κ ν κ ν 1 + ν ν κ Διάμεσος: Θεωρούμε τις παρατρήσεις t 1, t 2, t ν μιας μεταβλτής τις οποίες τοποθετούμε με αύξουσα σειρά. Ονομάζουμε διάμεσο των παρατρήσεων τ μεσαία παρατήρσ αν το πλήθος το παρατρήσεων είναι περιττό και το μέσο όρο των δύο μεσαίων παρατρήσεων αν το πλήθος των παρατρήσεων είναι άρτιο. Για παράδειγμα σε δείγμα τριών τιμών διάμεσος είναι δεύτερ μικρότερ τιμή και σε δείγμα τεσσάρων τιμών διάμεσος είναι ο μέσος όρος τς δεύτερς και τρίτς μικρότερς τιμής. Εφαρμογές Η επίδοσ ενός μαθτή σε πέντε μαθήματα είναι 12, 10, 16, 18, 14 α) Να βρείτε τν μέσ επίδοσ Λύσ α) Η μέσ επίδοσ είναι x = 14 = 70 = Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί έχουν μέσ τιμή 15. Να βρείτε τους αριθμούς και τ διάμεσό τους. Λύσ Αν x είναι ο ποιο μικρός άρτιος τότε οι ζτούμενοι αριθμοί θα είναι οι Σελίδα 2

3 3 x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8, x +10 Η μέσ τιμή τους είναι = x+ x+ 2+ x+ 4+ x+ 6+ x+ 8+ x = 6x x = 60 x = 10 Άρα οι αριθμοί είναι οι 10, 12, 14, 16, 18, 20 Επειδή το πλήθος των αριθμών είναι άρτιος αριθμός (6) και έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, διάμεσος αυτών είναι το μιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατρήσεων Δλαδή δ = = 15 2 Ένας επενδυτής επένδυσε το ίδιο ποσό χρμάτων σε 8 διαφορετικές μετοχές του χρματιστρίου. Κατά τ διάρκεια του προγούμενου έτους οι μετοχές είχαν τις παρακάτω εκατοστιαίες μεταβολές στν αξία τους : 5, 16, 10, 0, 27, 14, 20, 34. Να βρεθεί μέσ εκατοστιαία απόδοσ τς επένδυσς. Λύσ Είναι φανερό ότι μέσ εκατοστιαία απόδοσ τς επένδυσς ισούται με τν μέσ τιμή των παραπάνω μεταβολών. Οπότε x = = 66 = 8,25% 8 8 Σε μία κάλπ υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 20%, 30% και 40% αντίστοιχα. Μία άσπρ μπάλα ζυγίζει 10 gr, μία μαύρ 11gr, μία κόκκιν 12 gr και μία πράσιν 13 gr. Να βρείτε τ μέσ τιμή, και τ διάμεσο του βάρους για όλες τις μπάλες, αν ξέρουμε ότι μέσα στν κάλπ υπάρχουν α) 10 μπάλες, β) 20 μπάλες, γ) δε γνωρίζουμε πόσες μπάλες υπάρχουν στν κάλπ Σελίδα 3

4 4 Λύσ α) Όταν στν κάλπ υπάρχουν συνολικά 10 μπάλες, τότε με βάσ τις δοσμένες αναλογίες θα υπάρχουν μαύρες = άσπρ, = = κόκκινες, = πράσινες Με βάσ τα δοσμένα βάρ για κάθε μπάλα, μέσ τιμή του βάρους είναι xα = = = 12gr Οι παρατρήσεις διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά είναι οι 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13 Επειδή το πλήθος τους είναι άρτιος αριθμός, διάμεσός τους δ α θα είναι ίσ με το μιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατρήσεων, δλαδή τς 5 ς και τς 6 ς. β) Άρα 5 +6 δ = = α = gr Όταν οι μπάλες είναι 20, τότε εργαζόμενοι όπως προγουμένως βρίσκουμε ότι στν κάλπ υπάρχουν 2 άσπρες, 4 μαύρες, 6 κόκκινες και 8 πράσινες μπάλες, οπότε μέσ τιμή του βάρους είναι x β = Οι παρατρήσεις είναι οι = = 12gr. 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 διάμεσος δ β είναι ίσ με το μιάθροισμα των 10 ς και 11 ς παρατρήσεων, δλαδή δ β = = = 12 gr 2 2 γ) Αφού δεν ξέρουμε πόσες συνολικά μπάλες είναι στν κάλπ αλλά Σελίδα 4

5 5 ξέρουμε τα ποσοστά τους δλαδή τς σχετικές συχνόττες του κάθε είδους, θα βρούμε τν μέσ τιμή από τον τύπο με τα f i. Οι σχετικές συχνόττες των μπαλών με βάσ τα δοσμένα ποσοστά είναι οι fα = 0,10, fμ = 0,20, f κ = 0,30, fπ = 0,40 Άρα μέσ τιμή του βάρους είναι x γ = 10 0, , , ,4 = 1 + 2,2 + 3,6 + 5,2 = 12gr Διατάσσοντας τις μπάλες σε αύξουσα σειρά βάρους με βάσ τα δοσμένα ποσοστά, παρατρούμε ότι το 50% έχουν βάρος μικρότερο ή ίσο των 12 gr και το άλλο 50% έχουν βάρος μεγαλύτερο ή ίσο των 12 gr. Άρα διάμεσος και σ αυτή τν περίπτωσ είναι δ γ = 12 gr Σελίδα 5