ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνεχς συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της στο [α, ], τότε να δείξετε ότι t dt G Gα. α Μονάδες Β.. Έστω η συνάρτηση ηµ. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο ΙR και ισχύει συν. Μονάδες 8 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η συνάρτηση είναι ορισµένη στο [α,] και συνεχς στο α,], τότε η παίρνει πάντοτε στο [α,] µία µέγιστη τιµ. Μονάδα. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισµού της, είναι γνησίως µονότονη. Μονάδα γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο και lim, τότε lim. δ. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο ΙR, τότε ε. Αν lim >, d d. Μονάδα Μονάδα τότε > κοντά στο. Μονάδα

2 ΘΕΜΑ ο Έστω z ένας µιγαδικός αριθµός και ν i ν z, ν IN*. α. Να δείξετε ότι Αν z ρ και Argz θ, να δείξετε ότι Μονάδες 7 ρ γ. Αν z και Argz π π συν θ iηµ θ. Μονάδες 8 π, να ρεθεί το εµαδόν του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, z και. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Έστω οι συναρτσεις, g µε πεδίο ορισµού το ΙR. ίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είναι -. α. Να δείξετε ότι η g είναι -. Μονάδες 7. Να δείξετε ότι η εξίσωση: g - g - έχει ακριώς δύο θετικές και µία αρνητικ ρίζα. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο α. Έστω δύο συναρτσεις h, g συνεχείς στο [α, ]. Να αποδείξετε ότι αν h > g για κάθε [α, ], τότε και hd > gd. α α Μονάδες. ίνεται η παραγωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση, που ικανοποιεί τις σχέσεις:, ΙR και. ι Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της. ιι Να δείξετε ότι, Μονάδες 5 για κάθε >. Μονάδες ιιι Αν Ε είναι το εµαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφικ παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, να δείξετε ότι Μονάδες 6

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία. απόδειξη σελ. 5 σχολ. ιλίου. Β.. Θεωρία σελίδες - 5 σχολ. ιλίου Β.. α Λ Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο α. 8 8 i z i 8 z i z i 8 z i i z i z i 6 i z i 9 z - i z z - 6 i z - 9 z - i z z i z - z. z ρ, Argz θ. Για ν έχουµε: i z i 6 i z - 6 i z i z Επειδ ο µιγαδικός z έχει µέτρο ρ και πρωτεύον όρισµα θ, θα έχει την ακόλουθη τριγωνοµετρικ µορφ: z z συνθ i ηµθ ρ συνθ iηµθ Η τριγωνοµετρικ µορφ του µιγαδικού αριθµού i είναι: π π συν i ηµ Εποµένως ο µιγαδικός αριθµός i z γράφεται: π π συν i ηµ ηµθ π π ρ συν θ i ηµ θ π π ρ συν θ i ηµ θ [ ρ συνθ i ] γ. Σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα και για ρ, θ π έχουµε: z συν π iηµ π, iz.έτσι αν Α η εικόνα του z στο µιγαδικό επίπεδο, η εικόνα Β του iz προκύπτει από στροφ της διανυσµατικς ακτίνας Α του z κατά π.

4 Επειδ το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο µε µκη κάθετων πλευρών, θα έχει εµαδόν τετραγωνικές µονάδες. ΘΕΜΑ ο α. Επειδ η είναι συνάρτηση έχουµε ότι για κάθε g g o g o g, R µε g g έπεται Επειδ όµως η o g είναι - στο R προκύπτει από την ότι. Έτσι δείξαµε ότι:, R µε g g προκύπτει Άρα η g είναι -.. Έχουµε: Επειδ η g είναι - στο R, προκύπτει ότι: g g Θεωρούµε την συνάρτηση: h -, R H h είναι παραγωγίσιµη ως πολυωνυµικ µε: h' H µονοτονία της h φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

5 Η h στο διάστηµα [-, -] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzno, αφού: Η h συνεχς στο [-, -] ως πολυωνυµικ και h-h- - - Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε h. πειδ η h στο -, -] είναι γνησίως αύξουσα η παραπάνω ρίζα είναι µοναδικ στο -, -]. Έχουµε h και h -. Επειδ η h είναι συνεχς στο [, ] και hh - - προκύπτει ότι στο διάστηµα, η h έχει µια τουλάχιστον ρίζα. Επειδ ακόµα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [-, ], προκύπτει ότι η ρίζα αυτ είναι µοναδικ στο [-, ]. Έχουµε h - και h Επειδ η h είναι συνεχς στο [, ] και hh - - προκύπτει ότι στο διάστηµα, η h έχει µια τουλάχιστον ρίζα. Επειδ ακόµα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [,, προκύπτει ότι η ρίζα αυτ είναι µοναδικ στο [,. Επειδ: -, - είναι, είναι >, είναι > Έτσι η h έχει ακριώς δύο θετικές και µία αρνητικ ρίζα στο R. 5

6 ΘΕΜΑ ο α. Θεωρούµε τη συνάρτηση φ h - g [α, ] Η φ είναι συνεχς στο [α, ] ως διαφορά συνεχών συναρτσεων. Επειδ είναι h > g για κάθε [α,] προκύπτει ότι Φ > για κάθε [α,]. Σύµφωνα τώρα µε το θεώρηµα σελίδα σχολ. ιλίου έχουµε: d > φ - g h d g d. > h d > d gd > Άρα.i. Αφού η είναι παραγωγίσιµη στο R έχουµε: ' [ - ], αφού - για κάθε R Άρα ' µε R..ii. Επειδ είναι η ζητούµενη ανίσωση για > γράφεται: - '. Η στο [,] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ,: ' ξ. Τότε όµως αρκεί να δειχθεί ξ ξ 6

7 7 ξ, µε ξ. Έτσι αρκεί να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ]. Υπολογίζοντας την έχουµε: [ ] R. για κάθε ' ' ' > Άρα γνησίως αύξουσα στο R άρα και στο [,]..iii. Από.ii. είναι > > και επειδ η είναι συνεχς ως παραγωγίσιµη στο R άρα και στο [,], θα είναι d. Οι συναρτσεις,, είναι συνεχείς στο R, οπότε µε άση το ερώτηµα α από είναι: [ ] d d d d. Έτσι και Ε. Οπότε τελικά.