ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

Transcript

1

2 ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z 4 είναι ίσο με : Α. 4, Β. 4i, Γ. -4i, Δ. -4. Β. Να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών z, z - για τους οποίους ισχύει =. z - i ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f, με , < < 5 f () = 5 - (α + β ) n( e) + (α + )e, 5 Α. Να βρεθούν τα im f (), im f () Β. Να βρεθούν τα α, β IR, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο = 5. Γ. Για τις τιμές των α, β του ερωτήματος Β, να βρείτε το im f (). + ΘΕΜΑ 4 ο Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f (t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου t. Αν ο ρυθμός 8 μεταβολής της f (t) είναι -. t + α) Να βρείτε τη συνάρτηση f (t). β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωσή του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t = 8, υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t =, η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln,4). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΜΑΙΟΥ ΘΕΜΑ ο 5 + i (5 + i)( - i) - 5i + i + - i Α. α) z = = = = = - i. + i ( + i)( - i) δ) z 4 = ( - i) 4 = (( - i) ) = (-i) = - 4 Δ z - z - Β. = = z - = z - i. z - i z - i Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με Α (, ) και Β (, ), η διχοτόμος της γωνίας Oy, με εξίσωση y =. ΘΕΜΑ ο A. im f () = im ( ) = im f () = im (α +β ) n( e) + (α + )e = α + β + α Β. Για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο = 5, πρέπει im f () = im f () = f (5) δηλαδή α + β + α + = α + β + α + = (α + ) + β = α + = και β = Άρα α = - και β = , < < 5 Γ. Για α = - και β =, είναι f () = n( e), 5 im f () = im n( e) = +, διότι + + im ( e) = + και im n = ΘΕΜΑ 4 ο 8 [ n ] α) f (t) = - = 8 - = 8 (t + ) - t t + t + άρα f (t) = 8 n(t + ) - t + c Είναι f () = άρα c =. Επομένως f (t) = 8 n(t + ) - t, t t β) f (t) = - =, t. t + t + t + f (t) + - f (t) H συγκέντρωσή του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη όταν t =. γ) f (8) = 8 n(8 + ) - 8 = 8 n9-6 = 8 n - 6 = 6 n - 6 = 6( n - ) >, διότι n >. f () = 8 n( + ) - = 8 n - 8,4 - = 9, - <. Άρα τη χρονική στιγμή t = 8, υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t =, η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί.

4 ΙΟΥΝΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (, f ( )). A. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο. β. Αν η f δεν είναι συνεχής στο, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο. γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η f είναι συνεχής στο. B. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο. Στήλη Α (συναρτήσεις) Στήλη Β (εφαπτόμενες) α. f () =, =. y = - + π β. f () = ημ, = π. y = 4 + γ. f () =, =. y = 9-6 δ. f () =, = 4 4. y = δεν υπάρχει Θέμα ο Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [, ] και ισχύει f () >, για κάθε (, ). Αν f () = και f () = 4, να δείξετε ότι: α. η ευθεία y = τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (, ). 4 f + f + f + f β. υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ) = 4 γ. υπάρχει (, ), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M (, f ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = +. Θέμα 4 ο Τη χρονική στιγμή t = χορηγείται σ' έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση αt f (t) =, t, όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί t + β πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. α. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β. β. Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Θέμα ο Α. y - f ( ) = f ( ). ( - ) A. 6 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 8 Β. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό. Β. α -, β -, γ - 5, δ -. Θέμα ο α. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα στο (, ). ος τρόπος η f είναι συνεχής στο [, ] f () < < f () από Θ. ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) = ος τρόπος Έστω η συνάρτηση g, με g () = f () -. η g είναι συνεχής στο [, ], ως διαφορά συνεχών. g () = f () - = - = - < g () = f () - = 4 - = > από Θ. Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g ( ) = ή f ( ) - = ή f ( ) =. Είναι f () >, για κάθε (, ), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), άρα η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα στο (, ), δηλαδή η ευθεία y = τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (, ). β. Είναι f () >, για κάθε (, ), άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, ). f < < f () < f < f () < f < 4 () f < < f () < f < f () < f < 4 () f < < f () < f < f () < f < 4 () f < < f () < f < f () < f < (4) (+) 4 (), (), (), (4) 8 < f + f + f + f < f + f + f + f < < f + f + f + f f () < < f () 4 και επειδή η f είναι συνεχής στο [, ], από Θ. ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε 4 f + f + f + f f ( ) = 5. 4

6 γ. ος τρόπος η f είναι συνεχής στο [, ] η f είναι παρ/μη στο (, ) από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f () - f () f ( ) = = - ος τρόπος Έστω η συνάρτηση g, με g () = f () -. η g είναι συνεχής στο [, ], ως διαφορά συνεχών. η g είναι παρ/μη στο (, ), με g () = f () -. g () = f () - = g () = f () - = 4 - = από Θ. Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g ( ) = ή f ( ) - = ή f ( ) =. Άρα υπάρχει (, ), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M (, f ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = +. Θέμα 4 ο α. Η f είναι συνεχής στο [, + ) και παραγωγίσιμη στο [, + ) με αt αt αt αβ t f (t) = = = = t t β + t β + t + + β β β αβ t (αβ t) (β + t ) - αβ t (β + t ) f (t) = = β + t (β + t ) = = (β + t ) 4 αβ (β + t ) - αβ t t αβ + αβ t - αβ t (β + t ) 4 αβ - αβ t = (β + t ) Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης f είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται όταν t = 6, άρα f (6) = 5 και f (6) = (Θ. Fermat). 4 αβ - αβ 6 4 f (6) = = αβ - αβ 6 = (β + 6 ) α>, β> β> αβ (β - 6) = β - 6 = β = 6 β=6 αβ 6 α 6 6 f (6) = 5 = 5 = 5 α = 5 α = 5 β β. Η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, άρα f (t). α = 5 8t f (t) = β = t 8t 5t f (t) 6 + t 6 + t 5t 6 + t t - 5t t > β = 6 t + t -5t Άρα το φάρμακο δρα αποτελεσματικά από ώρες μέχρι και ώρες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο - + Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f () =, όπου α πραγματικός - α αριθμός. α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε η συνάρτηση f να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 4. β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (, ) να διέρχεται από το σημείο Α (-, ). γ. Αν α >, να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός (, ) τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη να είναι παράλληλη προς τον άξονα. ΘΕΜΑ 4 ο Σε έναν διαγωνισμό ενός Οργανισμού για την πρόσληψη προσωπικού, συγκεντρώθηκαν γραπτά υποψηφίων. Κάθε γραπτό διορθώνεται από δύο διαφορετικούς βαθμολογητές. Κάθε βαθμολογητής διορθώνει 4 φακέλους των 5 γραπτών την ημέρα. Για τη διόρθωση κάθε γραπτού ο βαθμολογητής αμείβεται με δραχμές. Τη διόρθωση συντονίζουν δύο επόπτες που αμείβονται με 4 δραχμές την ημέρα. Στο τέλος της διόρθωσης όλων των γραπτών, κάθε βαθμολογητής παίρνει επιπλέον ως επίδομα δραχμές ανεξάρτητα από τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκε. α) Να αποδείξετε ότι το κόστος Κ () σε χιλιάδες δραχμές για τη διόρθωση 6 όλων των γραπτών δίνεται από τη συνάρτηση K () = + + 4, όπου ο αριθμός των βαθμολογητών που απασχολούνται. β) Πόσοι πρέπει να είναι οι βαθμολογητές, ώστε το κόστος της διόρθωσης να είναι ελάχιστο; γ) Να βρείτε το ελάχιστο κόστος του ερωτήματος (β) και τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκαν οι βαθμολογητές για τη διόρθωση των γραπτών.

8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ ο α. D f = (-, α) (α, + ) και 4 D f άρα α = 4. β. Πρέπει λ εφαπτ. = λ ΑΜ = f (). - + ( - )( - α) - ( - + ) f () = = - α ( - α) - α - + α α + α - = = ( - α) ( - α) - α + α - α - f () = = = ( - α) (α - ) α - = α - λ ΑΜ = = = - + α = γ. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f ( ) =. f () = - α + α - = - α + α - = ( - α) Πρέπει Δ (-α) - 4 (α - ) 4α - α + 8 α - α + (α - )(α - ), που ι σχύει διότι α >. ΘΕΜΑ 4 ο α. γραπτά. φορές = βαθμολογήσεις κάθε πακέτο έχει 4 φακέλους. 5 γραπτά = γραπτά : = πακέτα βαθμολόγησης Κόστος βαθμολόγησης =. δρχ. = 4 δρχ = 4 χιλ. δρχ. () Επίδομα =. βαθμολογητές = δρχ. = χιλ. δρχ. () Η διόρθωση θα διαρκέσει πακέτα = μέρες () βαθμολογητές Οι δύο επόπτες θα πάρουν : δρχ. = δρχ. = χιλ. δρχ. (4) Από (), () και (4) έχουμε : 6 6 Κ () = = σε χιλ. δρχ., > β. Κ () = = - =, > 4 + Κ () - + Κ () Ελάχιστο κόστος για = 4 βαθμολογητές. γ. Ελάχιστο κόστος = Κ (4) = 48 χιλ. δρχ. Από τη σχέση (), για = 4 έχουμε ότι η διόρθωση των γραπτών θα γίνει σε 4 = 5 μέρες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. α. Να αποδείξετε ότι αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ. β. Αν f () < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f; Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). α. Η συνάρτηση f () = e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. π β. Η συνάρτηση f, με f () = -ημ + +, όπου, π ημ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. γ. Αν είναι f () = g () +, για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση h () = f () - g () είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για f () - e + την οποία ισχύει im = 5. ημ α. Να βρείτε το f (). β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =. γ. Αν h () = e -. f (), να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α (, f ()) και Β (, h ()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. ΘΕΜΑ 4 ο Η τιμή Ρ ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, t - 6 δίνεται από τον τύπο P (t) = t + 4 α. Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά. β. Να βρείτε το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται. γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη. δ. Να αποδείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να μπορεί να γίνει μικρότερη από την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά.

10 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α. α. ο θέμα θεωρίας σελίδα 5. β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Β. α. Λ, β. Σ, γ. Λ. ΘΕΜΑ ο α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με f () - e + κπ g () =, με κ Ζ. ημ Είναι f () = e - + g () ημ και im g () = 5. H f είναι συνεχής στο =, άρα im im f () = f () = e - + g () ημ = im(e - ) + im g () imημ = + 5 = β. im = im = im + g () - f () - f () e - + g () ημ e - ημ e - ημ = im + im g () im e - e ημ = + 5 =, διότι im = im = και im L'Hospital =. Άρα f () =. - h () - h () e f () - - f () γ. im = im = im e - - f () = im e im = f () = f (), άρα h () = f (). Επομένως οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α (, f ()) και Β (, h ()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. 84 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

11 ΘΕΜΑ 4 ο α. Ρ () = 4 + = 4 - = (t - 6) t + - (t - 6) t + t β. Ρ (t) = 4 + = 5 t t t + - t (t - 6) - t + t + = 4 = t + t t + t Ρ (t) > > - t + t + > 4 5 t απορρίπτεται - ± Δ = - 4 (-) 5 = 69 και t = = - 5 t 5 + P (t) + - P (t) H τιμή του προϊόντος αυξάνεται όταν < t < 5. γ. Η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη τη χρονική στιγμή t = 5. δ. H τιμή του προϊόντος μειώνεται όταν t > 5. t - 6 t - 6 t im Ρ (t) = im 4 + = 4 + = im im 5 t + t + t = 4 + im = 4 + = 4 > = P () + t

12 ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑ o A.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z. Να αποδείξετε ότι z z = z z. Α.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α. z = z z β. z = z γ. z = - z δ. z = z ε. i z = z Β.. Αν z = + 4i και z = + i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α Στήλη Β α. 4. z z β.. z γ. 5. z δ z ε i z στ. 5 ζ. Β.. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z =, να δείξετε ότι z =. z ΘΕΜΑ ο α, Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με τύπο f () = - - e, > - α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = -/9. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α (4, f (4)). γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον και τις ευθείες = και =. ΘΕΜΑ ο Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR, ισχύει ότι : f () + β f () + γ f() = για κάθε ΙR, όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β < γ. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () = στο ανοικτό διάστημα (, ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

13 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: i) f (), για κάθε ΙR ii) f () = - t f (t) dt, για κάθε ΙR. Έστω ακόμη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο g () = -, για κάθε ΙR. f () α. Να δείξετε ότι ισχύει f () = -f (). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. γ. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι f () = + im f () ημ. δ. Να βρείτε το όριο ( ) + ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Θέμα ο Α. ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 7 Α. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Β. - ζ, - γ, - α, 4 - δ, 5 - β. Β. z = z = zz = z =. z Θέμα ο α. Η f είναι συνεχής, άρα είναι και συνεχής στο =, άρα im f () = im f () = f () - + Είναι im f () = im α = 9α e - e im f () = im = im = L'Hospital + - f () = 9α Άρα 9α = - α = - / e β. f (4) = = - e 4 - Για > : f () = = - ( - ) = e ( - e ) ( - ) - ( - e ) ( - ) e ( - ) - ( - e ) ( - ) e (4 - ) - ( - e ) - e - ( - e) f (4) = = = - (4 - ). (ε) : y - f (4) = f (4) ( - 4) (ε) : y - ( - e) = -. ( - 4) (ε) : y - + e = (ε) : y = e.

14 γ. Για [, ] είναι f () = - 9 <, άρα 7 E = - f () d = - - d = d = = τ.μ Θέμα ο α. ος τρόπος Έστω ότι η παραγωγίσιμη f παρουσιάζει ακρότατο στο. Από Θ. Fermat είναι f ( ) =. [f () + β f () + γ f ()] = ( ) f (). f () + β f (). f () + γ. f () = και για = είναι : f ( ). f ( ) + β f ( ). f ( ) + γ. f ( ) = = Άτοπο διότι το τριώνυμο έχει Δ = - 56 <. Άρα η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β. Η λύση αυτή αποτελεί και ο τρόπο για το α ερώτημα. [f () + β f () + γ f ()] = ( ) f (). f () + β f (). f () + γ. f () = [f () + β f () + γ]. f () = Είναι f () + β f () + γ >, για κάθε IR, διότι είναι τριώνυμο ως προς f () με Δ = (β) γ = 4β - γ = 4 (β - γ) <, αφού β < γ. Είναι >, για κάθε IR, διότι είναι τριώνυμο ως προς με Δ = -56 < Άρα f () = >, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα. f () + β f () + γ (άρα η f δεν παρουσιάζει ακρότατα, για το α ερώτημα) γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = η g είναι συνεχής στο [, ], ως πολυωνυμική. g () = - < και g () = 4 >. Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), ώστε g ( ) =. Είναι f () + β f () + γ f () = g () και για = f ( ) + β f ( ) + γ f ( ) = g ( ) Είναι β < γ, f ( ). [f ( ) + β f ( ) + γ] = άρα γ >. f ( ) = ή f ( ) + β f ( ) + γ =. Άρα β < γ < 4γ Το f ( ) + β f ( ) + γ είναι τριώνυμο με Δ = β - 4γ <. β < 4γ Άρα f ( ) + β f ( ) + γ >, για κάθε IR. β - 4γ < Επομένως f ( ) = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το είναι μοναδικό. Άρα υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () = στο διάστημα (, ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

15 Θέμα 4 ο α. f () = - t f (t) dt = - t f (t) dt = - u f (u) du Θέτω t = u du = dt t = u =. t = u =. ( ) ( ) f () = - u f (u) du = - u f (u) du = - f () (α) - f () f () f () - = - = - = f() f() άρα η g είναι σταθερή στο IR. β. g () = - = γ. f () = - u f (u) du = - = f () g () = - = - =, και επειδή η g είναι σταθ είναι g () =, για κάθε IR ερή - =, για κάθε IR f () = +, για κάθε IR f () f () =, για κάθε IR. + δ. Είναι f () ημ = ημ ημ ημ im = im = im = im = im = im = Από κριτήριο παρεμβολής im ημ + =, + άρα im f () ημ =. + ( )

16 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o A.. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε : όλες οι συναρτήσεις της μορφής G () = F () + c, c IR είναι παράγουσες της f στο Δ και οποιαδήποτε άλλη παράγουσα της f στο Δ παίρνει τη μορφή G () = F () + c, c IR. Α.. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις, ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. β α. λf () d =... α β α [ ] β. f () + g () d =... β [ ] γ. λf () + μg () d =... α όπου λ, μ ΙR και f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β]. Β.. Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () = 6 + 4, IR και η γραφική της παράσταση στο σημείο Α (, ) έχει κλίση. Β.. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : π 4 α. (e + ) d, β. d, γ. (ημ + συν) d. ΘΕΜΑ o α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει z + 6 = 4 z +. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει z - = z - i. ΘΕΜΑ o + α, αν Δίνεται η συνάρτηση f () =, όπου α IR. - + ( - e ) n( - ), αν (, ] - + α. Να υπολογίσετε το όριο - e im. - β. Να βρείτε το α IR, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο =. γ. Για α = -, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. ΘΕΜΑ 4 o Έστω μια πραγματική συνάρτηση f συνεχής στο (,+ ) για την οποία tf (t) ισχύει f () = + dt, με >. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ). β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι + n f () =, >. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και = e. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o A.. 4 Ο θέμα θεωρίας σελίδα 7. β β β β β A.. α. λ f () d, β. f () d + g () d, γ. λ f () d + μ g () d. α α α α α f () = ( ) d f () = c = B.. f () = (6 + 4) d = c f () = A (, ) C f = c c = f () = Άρα f () = Β.. α. (e + ) d = e + = e + - ( + ) = e β. d = d = π π [ ] d = = = γ. (ημ + συν) d = -συν + ημ = 5. ΘΕΜΑ o α. z + 6 = 4 z + z + 6 = 6 z + (z + 6)(z + 6) = 6(z + )(z + ) zz + 6z + 6z + 56 = 6zz + 6z + 6z + 6-5zz = - 4 zz = 6 z = 6 z = 4 άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 4. β. Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με Α (, ) και Β (, ), η διχοτόμος της γωνίας Oy, με εξίσωση y =. ΘΕΜΑ o e e α. im = im =. - L'Hospital β. im f () = im( + α) = + α n( - ) + im f () = im ( - e ) n( - ) = im = L'Hospital im e e ( - e ) ( - e ) - e - e = im = - im im = - = ( - )e - e f () = + α Για να είναι η f συνεχής στο = πρέπει + α = α =

18 γ. Η f είναι συνεχής στο [, ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο παραγωγισίμων f () = + α = - f () = ( - e ) n = Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f (ξ) =, δηλαδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. ΘΕΜΑ 4 o tf (t) α. f () = + dt = + tf (t) dt, με >. () H f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις των παραγωγίσιμων f () =, f () = και f () = tf (t) dt. β. () f () = + tf (t) dt Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : ( ) f () = () + tf (t) dt f () + f () = + f () : f () + f () = f () + f () = [ f ()] = ( n) > n + c Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = n + c f () =, με > n + Για = είναι f () = c =, άρα f () =, με >. n + ( n + ) - ( n + ) () - ( n + ) - n γ. f () = = = = + f () + - f () n + Ολικό μέγιστο f () = = - + n + im f () = im = - () f (A) = (-, ] n + im f () = im = im = () + + L'Hospital + δ. Από () και () η C f έχει ασύμπτωτες τους άξονες και y y. f () > στο [, e] u = n και du = d e e n + ε. Ε = f () d = d = (u + )du = u = = e u = u = + u = + - = τ.μ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

19 ΜΑЇΟΣ ΘΕΜΑ o A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι β α f (t) dt = G (β) - G (α). Β.. Έστω η συνάρτηση f () = ημ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR και ισχύει f () = συν. Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μια μέγιστη τιμή. β. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και im f () =. δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR, τότε f () d = f () - f () d. im f () =, τότε ε. Αν im f () >, τότε f () > κοντά στο. ΘΕΜΑ ο Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός και f (ν) = i ν z, ν IN*. α. Να δείξετε ότι f () + f (8) + f () + f (8) =. ΘΕΜΑ ο Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το ΙR. Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι -. α. Να δείξετε ότι η g είναι -. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση g (f () + - ) = g (f () + - ) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. ΘΕΜΑ 4 ο α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι αν h () > g () για κάθε [α, β], τότε και h () d > g () d. β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ΙR συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις : f () - e -f () = -, ΙR και f () =. i) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. ii) Να δείξετε ότι < f () <. f (), για κάθε >. iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα, να δείξετε ότι < E < f (). 4 β α β α

20 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ Θέμα ο Α. 5 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 7. Β. ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα. Β. α. Λάθος, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Θέμα ο α. f () + f (8) + f () + f (8) = i z + i 8 z + i z + i 8 z = - i z + z + i z - z =. Θέμα ο α. g ( ) = g ( ) f (g ( )) = f (g ( )) και επειδή η fog είναι «-», είναι =. β. g (f () + - ) = g (f () + - ) και η g είναι «-», άρα f () + - = f () = - + =. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = - +. h () = ( - + ) = h () = h () Δ = (-, -) im h () = im ( - + ) = - h στο Δ - - h (Δ ) = (-, ) imh () = im( - + ) = - - h (Δ ) άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα ρ στο Δ = (-, -) και ρ < Δ = [-, ] h (-) = h στο Δ h (Δ ) = [-, ] h () = - h (Δ ) άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα ρ στο Δ = [-, ] Δ = (, + ) imh () = im( - + ) = - h στο Δ h (Δ ) = (-, + ) im h () = im ( - + ) = h (Δ ) άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα ρ στο Δ = (, + ) και ρ > Αρκεί να δείξουμε ότι ρ >. η h είναι συνεχής στο [, ] h () = και h () = - Από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) και επειδή ρ < και ρ > θα είναι ρ (, ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

21 Θέμα 4 ο β [ ] α. h () > g () h () - g () > άρα h () - g () d > β β β β h () d - g () d > h () d > g () d. α α α α α - f () - f () β. i. f () - e = ( - ) f () + e f ( ) = e + e + e f () - f () f () [ + e ] = f () = ή f () = - f () f () ii. oς τρόπος > f () Θα δείξω < f () < f () < < f () f () - f () < < f () - η f είναι συνεχής στο [, ] η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), f () - f () τέτοιο ώστε f (ξ) =. - f () e e f () = = = f () + e + e Άρα αρκεί να δείξουμε f () < f (ξ) < f (), με < ξ <. Δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. f () f () f () f () f () e + e - e + e e f () = = f () + e f () + e = = + e + e διότι f () >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. ος τρόπος f () f () f () f () e f () f () + e - e e f () e f () f () f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f () -. > f () e f () e - f () + e + e g () = f () - = - = >, για > f () ( ) f f () f () διότι > f () > f () f () > e > e e - > άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) g > g () > g () f () - > f () > ().

22 Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f () -. f (). h () = f () - f () -. f () = -. f (). f () f () f () f () f () e + e - e + e e f () = = f () f () + e + e = = + e + e διότι f () >. Άρα h () <, για >, δηλαδή η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). f () f () f () f () e f () + e - e e f () f () e f () h f () f ( ) > h () < h () f () - f () < f () < f () (). > Από () και () έχουμε : < f () <. f (), για κάθε >. iii. Είναι f (). f (), για κάθε, άρα f (), για κάθε και E = f () d. (α) 4 4 < f () d < f () d < E < E () [ ] (α) f () < f () f () d < f () d E < f () - () f () d E < f () - f () d E < f () - E E < f () E < f () (4) Aπό () και (4) έχουμε < E < f () 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). β α. Αν f () d, τότε κατ ανάγκη θα είναι f (), για κάθε [α, β]. α β. Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. δ. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και σημείο [α, β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει f ( ) =. ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και υπάρχει (α, β), τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει πάντα f (α). f (β) <. ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση e - e + f () =, IR. α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f -. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f - () = έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ o - f () d. - Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη στο IR, με τύπο - z - + z f () =, + z όπου z συγκεκριμένος μιγαδικός αριθμός z = α + βi, α, β IR με α. α. Να βρείτε τα όρια im f () και im f (). + - β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f, εάν z + > z -. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. ΘΕΜΑ 4 o Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη στο IR με δεύτερη συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις f ()f () + (f ()) = f ()f (), IR και f () = f () =. α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f. β. Αν η g είναι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το g (t) διάστημα [, ], να αποδείξετε ότι η εξίσωση - dt = + f (t) έχει μια μοναδική λύση στο διάστημα [, ].

24 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ. ΘΕΜΑ o e - (e - ) (e + ) - (e - )(e + ) α. f () = = e + (e + ) e(e + ) - e(e - ) e = = >, για κάθε IR. (e + ) (e + ) Η f είναι γν. αύξουσα στο IR, άρα και, δηλαδή αντιστρέψιμη. e - y = ye + y = e - y + = e - ye e + y + = e ( - y) e = - f (y) = + y - y + y = n - y n + y - y y y + y > ( + y)( - y) > - y - y > y < y < - < y < - + Άρα f () = n, (-, ) β. f () = n = - - = + = - =. = -u d = -du - - n - - = u = - = - u = + - u γ. I = f ()d = d = - du - n + u - n u - u = du = - n du = - I I = I = - u + u ΘΕΜΑ o - z - + z ( - z)( - z) - ( + z)( + z) α. f () = = + z + z - z - z + zz - - z - z - zz -(z + z) -4Re(z) = = = + z + z + z im f () = Re( z) -4Re(z) -4Re(z) im = im = im = z -4Re(z) -4Re(z) -4Re(z) im f () = im = im = im =. + z β. z + > z - z + > z - (z + )(z + ) > (z - )(z - ) zz + z + z + > zz - z - z + (z + z) > 4Re(z) > ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

25 z - - z f () = -4Re(z) = -4Re(z) = 4Re(z) + z + z + z ( ) ( ) - - z z + f () f () ( ) ( ) ( ) -4Re(z) - z 4zRe(z) Re(z) τοπ. μέγιστο f (- z ) = = = -z + z z z -4Re(z) z -4 z Re(z) Re(z) τοπ. ελάχιστο f ( z ) = = = - z + z z z ( ) γ. Δ = -, - z με f γν. αύξουσα -4Re(z) im f () = im = z Re(z) f (Δ f συνεχής ) =, Re(z) z im f () = f (- z ) = -z z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Δ = - z, z με f γν. φθίνουσα Re(z) f (- z ) = z Re(z) Re(z) f (Δ ) = -, Re(z) z z f ( z ) = - z f (Δ ), άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο Δ ( ) Δ = z, + με f γν. αύξουσα f συνεχής Re(z) im f () = f ( z ) = - z z Re(z) f (Δ ) = -, -4Re(z) z im f () = im = z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Re(z) Re(z) Επομένως f (A) = f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) = -, z z και η f () = έχει μοναδική ρίζα στο ΙR.

26 ΘΕΜΑ 4 o α. f ()f () + (f ()) = f ()f () [f ()f ()] = f ()f () Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου f ()f () = c e και για = έχουμε f (). f () = c =. Άρα f ()f () = e f ()f () = e [f ()] = (e ) Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. έχουμε f () = e + c και για = έχουμε f () = + c = c =. Επομένως f () = e. Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η f δεν έχει ρίζες, άρα από συνέπειες του Θ. Bolzano η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR και επειδή f () = > θα είναι f () >, για κάθε IR. Επομένως f () = e. g (t) β. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = - dt -. + f (t) g (t) Είναι h () = - - dt t + e H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g (t) h () = - < και h () = - dt> διότι : t + e g (t) () t t t e e e + e + e t + e + e () g (t) Από (), () () t + e g (t) g (t) Άρα - και - dt t t + e + e g (t) g (t) dt - dt dt t t + e + e g (t) - dt - h () > t + e άρα από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της h στο (, ). g (t) g (t) g () h () = - - dt = - dt = - t t + e + e + e g () g () Από την () έχουμε e + e h () h () >, για κάθε [, ] Άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, ], και η h () = έχει μοναδική ρίζα στο [, ]. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

27 ΜΑΪΟΣ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = -z. β. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f () > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. γ. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει f () d = f () + c, c IR. δ. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( ) =, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο. ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + βi, όπου α, β IR και w = z -iz + 4, όπου z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w) = α - β + 4 και Ιm(w) = β - α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = -, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = -. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = -, έχει το ελάχιστο μέτρο. ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f () = α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β. Να αποδείξετε ότι f (e ) f ( + ), για κάθε IR. γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, ) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f -. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f -, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση =. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α, β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α, β). Αν ισχύει f (α) = f (β) = και υπάρχουν αριθμοί γ (α, β), δ (α, β), έτσι ώστε f (γ) f (δ) <, να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f () = στο διάστημα (α, β). β. Υπάρχουν σημεία ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) < και f (ξ ) >. γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

28 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ o A. 6 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 8 Β. Θεωρία, σελίδα 5 Γ. α. ΣΩΣΤΟ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ ο α. w = z - i. z + 4 = (α + βi) - i (α - βi) + 4 = α + βi - αi - β + 4 = (α - β + 4) + (β - α). i άρα Re(w) = α - β + 4 και Im(w) = β - α β. = α - β + 4 και y = β - α (, y) (ε ) : y = - β - α = α - β β = α - άρα (α, β) (ε) : y = - γ. Από το Ο (, ) φέρνω ευθεία ε κάθετη στην ε την οποία τέμνει στο σημείο Κ. Είναι λ ε = άρα λ ε = - και (ε ) : y = -. y = - = y = - y = - άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο z = - i ΘΕΜΑ ο α. f () = >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. f () = + 6 =. ( + 6) - + f () - + f () Η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο (-, ], ενώ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο [, + ). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, άρα είναι και -, δηλαδή αντιστρέφεται. β. Μας ζητούν να δείξουμε ότι f (e ) f ( + ). Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, αρκεί να δείξουμε ότι e +, για κάθε IR. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = e - -, IR g () = e g () - + g () Η g παρουσιάζει ελάχιστο για =. g () g () e - - e +. γ. Είναι f () =, άρα η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο Ο (, ) είναι: y - =. ( - ) y = Από συμπέρασμα του σχολικού βιβλίου (σελίδα 55), οι C f και C f- είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

29 δ. Από τα παραπάνω προκύπτει το παρακάτω σχήμα C f Το ζητούμενο εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f -, την ευθεία = και τον άξονα λόγω συμμετρίας ισούται με το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, την ευθεία y = και τον άξονα y y E = [ - f ()] d = ( ) d = = = τ.μ. 6 4 ΘΕΜΑ 4 ο α. Είναι γ δ, διότι αν γ = δ τότε f (γ) = f (δ) και f (γ). f (δ) = [f (γ)] (άτοπο διότι f (γ). f (δ) < ) Έστω γ < δ f συνεχής στο [γ, δ] [α, β] f (γ). f (δ) < Από Θ. Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (γ, δ), τέτοιο ώστε f ( ) =. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f () = στο διάστημα (α, β). β. Έστω ότι f (γ) > και f (δ) <. f συνεχής στο [α, γ] f παραγωγίσιμη στο (α, γ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η (α, γ), τέτοιο ώστε f (γ) - f (α) f (η ) = > () γ - α f συνεχής στο [γ, ] f παραγωγίσιμη στο (γ, ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η ( γ, ), τέτοιο ώστε f ( ) - f (γ) f (η ) = < () - γ

30 f συνεχής στο [, δ] f παραγωγίσιμη στο (, δ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η (, δ), τέτοιο ώστε f (δ) - f ( ) f (η ) = < () δ - f συνεχής στο [δ, β] f παραγωγίσιμη στο (δ, β) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η 4 (δ, β), τέτοιο ώστε f (β) - f (δ) f (η 4) = > (4) β - δ f συνεχής στο [η, η ] f παραγωγίσιμη στο (η, η ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (η, η ) τέτοιο ώστε f (η ) - f (η ) f (ξ ) = < από () και () η - η f συνεχής στο [η, η 4 ] f παραγωγίσιμη στο (η, η 4 ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (η, η 4 ) τέτοιο ώστε f (η 4) - f (η ) f (ξ ) = > από () και (4) η - η 4 α γ δ β η η η η 4 γ. f συνεχής στο [ξ, ξ ] f (ξ ) < και f (ξ ) > από (β) ερώτημα Από Θ. Bolzano η f () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα ξ, που είναι θέση πιθανού σημείου καμπής. ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι ζητήθηκε ν αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f, είναι λανθασμένο διότι δεν μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ξ. Η διατύπωση έπρεπε να είναι : «γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.». ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

31 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F () + c, c ΙR, είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ, παίρνει τη μορφή G() = F () + c, c ΙR. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με Σωστό ή Λάθος. α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z - z z + z z + z β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (, β), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή : αν =, τότε f ( ) = f ( ). δ. Αν f, g είναι συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει : f () g () d = f () g () - f () g () d Γ. Πότε μία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; ΘΕΜΑ ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις : z = και Ιm(z). β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 4 w = z + κινείται z σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f () = + -. α. Να αποδείξετε ότι im f () =. + β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C f, όταν το τείνει στο -. γ. Να αποδείξετε ότι f () + + f () =. δ. Να αποδείξετε ότι d = n( + ). + ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις : f () = - f ( - ) και f (), για κάθε IR. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα. γ. Έστω η συνάρτηση f () g () =. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g f () στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45.

32 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ Θέμα ο Α. 4 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 7 Β. α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Λάθος, δ) Σωστό. y Γ. Θεωρία, σελίδα Θέμα ο α) Είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα που βρίσκονται στον άξονα ή πάνω από τον άξονα. 4 β) z = z = 4 zz = 4 z = z 4 y w = z + = ( z + z ) = Re(z) z Όπως φαίνεται στο σχήμα το πραγματικό μέρος του z, άρα και η εικόνα του w κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. B - O A Θέμα ο ( ) α. im f () = im + - = im ( ) ( + - )( + + ) > + - = im = im = im = f () + - β. im = im = im = im = im = - = λ - - < [ f () - λ ] = ( ) = ( + + ) ( + + )( + - ) im im im = = im - im = im = = β < Άρα η πλάγια ασύμπτωτη της C f, όταν το τείνει στο -, είναι η y = -. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

33 ( ) γ. f () = / + - = / - = = - f () + δ. Από (γ) ερώτημα έχουμε : f () = - f () - + f () άρα f () + + f () = f () = f () + f () =. + f () d = - d = - f () d = - f () + f () [ ] [ ] n n [ ] = - nf () - nf () = - n( - ) = n( - ) ( + ) = n = n = n( + ). - ( - )( + ) Θέμα 4 ο α. Η f είναι συνεχής στο IR και f (), για κάθε IR. Από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. Επομένως η f είναι γνησίως μονότονη. β. Είναι f () = - f ( - ), για κάθε IR. Για = έχουμε f () = - f () f () = f () =. Άρα το = είναι ρίζα της f () = και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα τη =. γ. Έστω ότι η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (, ). f ( Πρέπει g ( ) = ) = f ( ) =, άρα Α (, ) f ( ) f () - g () - g () f () f () f () im = im = im = im - - f () ( - ) - f () f () = im im = f () =, - f () f () διότι f () f () - f () im = im = f () και - - f συνεχής im = = f () im f () f () άρα g () = = εφ45, επομένως η εφαπτομένη της C g στο σημείο Α (, ), στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45. -

34 ΜΑΪΟΣ 4 ΘΕΜΑ o Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f ( ) =. Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. α. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. β. im f () =, αν και μόνο αν im f () = im f () =. + γ. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f. g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : (f. g) ( ) = f ( ). g ( ). δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε β α f (t) dt = G(β) - G(α). ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () =. ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα. β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση g () = e. f (), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR και f () = f (/) =. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ,,τέτοιο ώστε f (ξ) = -f (ξ). β. Εάν f () = -, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I (α) = g () d, α α IR. γ. Να βρείτε το όριο im Ι (α). α - ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: IR IR, τέτοια ώστε f () =. Αν για κάθε IR, ισχύει g () = z f (t) dt - z + ( - ), z = α + βi C, z με α, β IR*, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο IR και να βρείτε τη g. β. Να αποδείξετε ότι z = z + z. γ. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β να αποδείξετε ότι Re(z ) = - ½. δ. Αν επιπλέον f () = α >, f () = β και α > β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

35 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ 4 ΘΕΜΑ o A. ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 6 Β. Θεωρία, σελίδα Γ. α. ΣΩΣΤΟ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΛΑΘΟΣ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > άρα D f = (, + ) f () = ( n)' = ( )' n + ( n)' = n + = n + = ( n + ) > - f () = ( n+) = n+ = n = - = e = e e f'() f () Ολικό ελάχιστο f = n = n e = = e e e e e e β. f () = ( n + ) = ()' ( n + ) + ( n + )' = n + [ ] - f () = n + = n = - = e = e e + f () - + f () f = e e e e e άρα έχει σημείο καμπής Α, e e e γ. Στο διάστημα Δ =, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα e - + n imf () = im ( n) = im = im = L' Hospital + - f (Δ ) = -, e f = - e e e n = n e e e e = e = e

36 Στο διάστημα Δ =, + η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα e im f () = im ( n) = im im n = f (Δ ) = -, + f = - e e e Επομένως f (A) = f (Δ ) f (Δ ) = -, + e ΘΕΜΑ ο α. g () = (e. f()) = (e ). f () + e. f () = e (f () + f ()) η g είναι παραγωγίσιμη στο [, /] g () = g (/) = Από Θ. Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε g'(ξ) = e ξ (f (ξ) + f (ξ)) = f (ξ) + f (ξ) = f (ξ) = - f (ξ) ( ) α β. Ι(α) = g () d = e f () d = e ( - ) d α α α = e ( - ) d = e ( - ) - e ( - ) d α = - e (α - α ) - e (4 - ) d () α ( ) α e (4 - ) d = e (4 - ) d = e (4 - ) - e (4 - ) d α α α α α = - - e (4α - ) e () Από () και () έχουμε : α α α Ι(α) = - e (α - α) + + e (4α - ) + 4-4e α α α = - - e (4α - ) - 4e d = - - e (4α - ) - 4 e α = e (-α + α + 4α - - 4)+ 4 + α = e (-α + 7α - 7) α -α + 7α - 7 γ. im e (-α + 7α - 7) = im = α - α - -α L' Hospital e α α + 7 = im = α - -α - e L' Hospital -4 α = im = - 4 im e = α - -α e α - α Άρα imι(α) = 7 + im e (-α + 7α - 7) = 7 + = 7 α - α - α α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

37 ΘΕΜΑ 4 ο α. g () = z f (t) dt - z + ( - ) z Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο IR Η h () = z f (t) dt είναι παραγωγίσιμη στο IR Η t () = είναι παραγωγίσιμη στο IR Η φ () = z Η s () = z + z f (t) dt είναι παρ/μη στο ΙR ως σύνθεση των h και t ( - ) είναι παραγωγίσιμη στο IR ως πολυωνυμική Άρα η g είναι παρ/μη στο IR ως διαφορά των παρ/μων φ και s. g () = z f (t) dt - z + ( - ) z = z f (t) dt - z + ( - ) z = z f ( ) - z + z β. Παρατηρούμε ότι g () = z f (t) dt - z + z ( - ) = g (), για κάθε IR Άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο στο = και επειδή ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat, προκύπτει ότι g () =. g () = f () = z f () - z + = z = z +. z z γ. z z z = z + zz = z + z + zz = zz z z z z z zz z z = + + z + z + = z + z = - z z zz α τρόπος : Re(z ) = - Re(z ) = - ½ β τρόπος : z = (α+ βi) = α + αβi - β = (α - β )+ αβi (α+ βi) + (α - βi) = - α + αβi - β + α - αβi - β = - (α - β ) = - α - β = - ½ Re(z ) = -½ δ. Θα δείξουμε ότι β <. Είναι α - β = - ½ < (α - β) (α + β) <. Όμως α - β > διότι α > β, άρα α + β < β < - α <. Η f είναι συνεχής στο [, ] f () = α > και f () = β < Από Θ. Bolzano για την f στο διάστημα [, ] προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =.

38 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ o A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με Σωστό ή Λάθος. α. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. β. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. γ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες. δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. k ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε im f () = k im f (), εφόσον f () κοντά στο, με k ΙΝ και k. Γ. Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f: IR IR με f () = + m - 4-5, όπου m IR, m >. α. Να βρείτε τον m ώστε f (), για κάθε IR. β. Αν m =, να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. ΘΕΜΑ ο Δίνεται μια συνάρτηση f: [α, β] IR συνεχής στο διάστημα [α, β] με f () για κάθε [α, β] και μιγαδικός αριθμός z με Re(z), Ιm(z) και Re(z) > Im(z). Αν z + = f (α) και z + = f (β), να αποδείξετε ότι: z z α. z = β. f (β) < f (α) γ. η εξίσωση f (α) + f (β) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (-, ). ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, + ) IR τέτοια, ώστε f () = + f (t) dt. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ). β. Να αποδείξετε ότι f () = e - ( + ). γ. Να αποδείξετε ότι η f () έχει μοναδική ρίζα στο [, + ). δ. Να βρείτε τα όρια im f () και im f (). + - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

39 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ o A. 9 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 4 Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Γ. Θεωρία, σελίδα ΘΕΜΑ o α. Είναι f () f () f (). H f είναι παραγωγίσιμη στο IR, με f () = ( + m ) =. ln + m. lnm - 4. ln4-5. ln5 H f παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Από Θ. Fermat, f () = ln + lnm - ln4 - ln5 = ln + lnm = ln4 + ln5 lnm = ln m = m =. β. Για m =, είναι f () = f () E = f () d = f () d = ( ) d = = τ.μ. n n n4 n5 n n n4 n5 ΘΕΜΑ o α. z + = f (α) ΙR άρα z + = z + z + = z + z z z z zz + z = z z + z zz - z z + z - z = zz(z - z) - (z - z) = (z - z) (zz - ) = z - z = ή zz - = z = z ή zz = Im(z) z ΙR ή z = z = z =. f (β) + = f (α) άρα f (β) < f (α). β. z + = f (α) z + = f (α) z + + = f (α) z z z γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f (α) + f (β). η g είναι συνεχής στο [-, ] ως πολυωνυμική. g (-) = - f (α) + f (β) g () = f (α) + f (β) g (-). g () = [- f (α) + f (β)]. [f (α) + f (β)] = f (β) - f (α) < από (β) από Θ. Bolzano η g () = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (-, ).. z

40 ΘΕΜΑ 4 o α. f () = + f (t) dt = + f (u) du Θέτω t = u. Είναι dt = du. Όταν t = τότε u = Όταν t = τότε u = άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. β. f () = + f (u) du = + f () f () - f () = f () e - f () e = e f () e = e ( ) ( ) Άρα f () e = e d = -e d = - e - () -e = - e + e d = - e - e + c και e - e + c f () = f () = ce - e Για = είναι f () = + f (u) du = = () f () = ce = c - c = c = () f () = e f () = e - ( + ). γ. f () = e - > για >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + f () =, άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο [, + ) την =. δ. im f () = im (e - - ) = im e - = +, διότι im e = + και im im + + L' Hospital e + = = e e το im f () είναι κακώς ορισμένο διότι δεν υπάρχει διάστημα της μορφής (-, α), με α ΙR, που να ορίζεται η f, αφού D = [, + ). f () d ) ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι ζητήθηκε να υπολογιστεί ένα όριο που ήταν κακώς ορισμένο ήταν «περίεργο». Ίσως αγνοήθηκε ότι D f = [, + ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

41 ΜΑΪΟΣ 5 A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f (α) f (β), δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β), τέτοιος ώστε f ( ) = η. Α. Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της C f στο + ; Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με Σωστό ή Λάθος. α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f (α) < και υπάρχει ξ (α, β), ώστε f (ξ) =, τότε κατ ανάγκη f (β) >. β. Αν υπάρχει το im [ f () + g ()], τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα im f () και im g (). γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f - και C f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f -. δ. Αν im f () = και f () > κοντά στο, τότε im = +. f () ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι f (t) dt = f () - f (α), για κάθε ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει ( α ) Δ. στ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z, με z = z = z =. 9 α. Δείξτε ότι : z = z. z β. Δείξτε ότι ο αριθμός z + είναι πραγματικός. z z γ. Δείξτε ότι : z + z + z = z z + z z + z z. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f () = e λ, λ >. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λe. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ. Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε (λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y y, είναι Ε (λ) = e - λ. δ. Υπολογίστε το λ Ε (λ) im. + ημλ λ +