Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3."

Λυσιμάχη Ζάρκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. 1. Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι αυτοπαθής αν και μόνον αν ο X είναι αυτοπαθής. Υπόδειξη: Θεωρήστε τις φυσιολοικές εμφυτεύσεις J 0 : X X και J 1 : X X. Αν ο X είναι αυτοπαθής, πάρτε x X, θεωρήστε το x = x J 0 και αποδείξτε ότι x = J 1 (x ). Αντιστρόφως, έστω ότι ο X είναι αυτοπαθής, ενώ ο X δεν είναι. Αποδείξτε ότι ο J 0 (X) είναι νήσιος κλειστός υπόχωρος του X και ότι υπάρχει μη-μηδενικό x X με x (J 0 (x)) = 0 ια κάθε x X. Καταλήξτε σε άτοπο. 2. Αν ο X είναι αυτοπαθής, αποδείξτε ότι ια κάθε x X υπάρχει x X με x = 1 και x (x) = x. 3. Έστω τοπολοικός χώρος (π.χ. μετρικός χώρος) A και B A. Το B ονομάζεται σύνολο πρώτης κατηορίας στον A αν υπάρχουν B n A με B = + n=1 B n ώστε κάθε cl(b n ) να έχει κενό εσωτερικό. Το B ονομάζεται σύνολο δεύτερης κατηορίας στον A αν δεν είναι σύνολο πρώτης κατηορίας στον A. [α] Αποδείξτε ότι κάθε πλήρης μετρικός χώρος είναι σύνολο δεύτερης κατηορίας στον εαυτό του. [β] Έστω χώρος με νόρμα X. (i) Αν το M είναι σύνολο δεύτερης κατηορίας στον X, F X και sup x F x (x) < + ια κάθε x M, αποδείξτε ότι sup x F x < +. (ii) Αν το M είναι σύνολο δεύτερης κατηορίας στον X, F X και sup x F x (x) < + ια κάθε x M, αποδείξτε ότι sup x F x < [α] Έστω 1 p < +, 1 p + 1 q = 1 και ακολουθία x = (x 1, x 2,...) στο F. Αν ια κάθε y = (y 1, y 2,...) l p η σειρά + k=1 x ky k συκλίνει, αποδείξτε ότι x l q. Υπόδειξη: Για κάθε n θεωρήστε το l n (l p ) με τύπο l n (y) = n k=1 x ky k ια κάθε y l p και υπολοίστε τη νόρμα του l n. [β] Έστω ακολουθία x = (x 1, x 2,...) στο F. Αν ια κάθε y = (y 1, y 2,...) c 0 η σειρά + k=1 x ky k συκλίνει, αποδείξτε ότι x l Έστω (Ω, Σ, µ) ένας χώρος μέτρου και μετρήσιμη f : Ω F. [α] Έστω 1 < p + και 1 p + 1 q = 1. Αν fg L1 ια κάθε g L p, αποδείξτε ότι f L q. [β] Έστω ότι το µ είναι σ-πεπερασμένο. Αν fg L 1 ια κάθε g L 1, αποδείξτε ότι f L. 6. Έστω χώρος Bnch X με νόρμα και μία βάση Schuder B = {b 1, b 2,...} του X. Θεωρούμε K = καθώς και { κ = (κ 1, κ 2,...) ακολουθία στο F η σειρά κ K = sup n n κ j b j ια κάθε κ K. } κ j b j συκλίνει στον X [α] Αποδείξτε ότι η K είναι νόρμα στον K και ότι ο K με τη νόρμα αυτή είναι χώρος Bnch. 1

2 [β] Θεωρούμε T : K X με τύπο T (κ) = κ j b j ια κάθε κ = (κ 1, κ 2,...) K. Αποδείξτε ότι υπάρχουν σταθερές c 1, c 2 με 0 < c 1 c 2 ώστε να ισχύει c 1 κ K T (κ) c 2 κ K ια κάθε κ K. [] Θεωρούμε και { L = λ = (λ 1, λ 2,...) η σειρά λ L = sup T (κ) 1 } κ j λ j συκλίνει ια κάθε κ K κ j λ j. Αποδείξτε ότι η L είναι νόρμα στον L και ότι L iso = X. 7. Έστω χώρος με νόρμα X και υπόχωρος L του X. Λέμε ότι ο L προσδιορίζει τη νόρμα του X αν υπάρχει c > 0 ώστε c x sup x (x) ια κάθε x X. x L, x 1 Τώρα έστω χώρος X με νόρμα και υπόχωρος L του X ο οποίος προσδιορίζει τη νόρμα του X. [α] Θέτουμε x = sup x (x) ια κάθε x X. x L, x 1 Αποδείξτε ότι η είναι νόρμα στον X ισοδύναμη με την. [β] Αν F X και sup x F x (x) < + ια κάθε x L, αποδείξτε ότι sup x F x < Έστω χώρος με νόρμα X. [α] Έστω cl L = X. Αν x (x n ) x (x) ια κάθε x L και sup n x n < +, αποδείξτε ότι x n x στον X. [β] Έστω cl L = X. Αν x n(x) x (x) ια κάθε x L και sup n x n < +, αποδείξτε ότι x n x στον X. 9. Αποδείξτε ότι e n 0 στους c, c0 και ότι η (e n ) δεν έχει ασθενές όριο στον l Έστω 1 < p < +. [α] Αποδείξτε ότι x n x στον l p αν και μόνο αν sup n x n p < + και x (m) n x (m) στο F ια κάθε m N. [β] Έστω x n x στον l p. Αποδείξτε ότι x n x αν και μόνο αν x n x. 11. (Schur) Αποδείξτε ότι x n x στον l 1 αν και μόνο αν x n x στον l Αν ο X είναι αυτοπαθής χώρος με νόρμα και ο Y είναι κλειστός υπόχωρος του X, αποδείξτε ότι ο X/Y είναι αυτοπαθής. 2

3 13. Έστω χώρος με νόρμα X. Η ακολουθία (x n ) στον X ονομάζεται ασθενώς συκλίνουσα αν το lim n + x (x n ) υπάρχει στο F ια κάθε x X. Ο X ονομάζεται ακολουθιακά ασθενώς πλήρης αν κάθε ασθενώς συκλίνουσα ακολουθία του X συκλίνει ασθενώς σε κάποιο στοιχείο του. Η ακολουθία (x n) στον X ονομάζεται ασθενώς- συκλίνουσα αν το lim n + x n(x) υπάρχει στο F ια κάθε x X. Ο X ονομάζεται ακολουθιακά ασθενώς- πλήρης αν κάθε ασθενώς- συκλίνουσα ακολουθία του X συκλίνει ασθενώς- σε κάποιο στοιχείο του. [α] Έστω συμπαής, Husdorff τοπολοικός χώρος (π.χ. συμπαής μετρικός χώρος) A και ακολουθία (f n ) στον C(A) η οποία συκλίνει κατά σημείο στο A σε μία f : A F η οποία δεν είναι συνεχής στο A. Αν sup n f n u < +, αποδείξτε ότι η (f n ) είναι ασθενώς συκλίνουσα στον C(A), αλλά ότι δε συκλίνει ασθενώς σε κανένα στοιχείο του C(A). [β] Αν ο X είναι αυτοπαθής χώρος με νόρμα, αποδείξτε ότι ο X είναι ακολουθιακά ασθενώς πλήρης. Υπόδειξη: Έστω ακολουθία (x n ) στον X ώστε το lim n + x (x n ) να υπάρχει στο F ια κάθε x X. Θέσατε x (x ) = lim n + x (x n ) και αποδείξτε ότι x X. [] Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι ακολουθιακά ασθενώς- πλήρης. 14. (Vitli-Hhn-Sks) [α] Έστω χώρος μέτρου (Ω, Σ, µ), ακολουθία μιαδικών μέτρων (λ n ) στην Σ και έστω ότι κάθε λ n είναι απολύτως συνεχές ως προς το µ και το lim n + λ n (A) υπάρχει στο F ια κάθε A Σ. Θέτουμε λ(a) = lim λ n(a) ια κάθε A Σ. n + Αποδείξτε ότι το λ είναι μιαδικό μέτρο στην Σ απολύτως συνεχές ως προς το µ. [β] Έστω μετρήσιμος χώρος (Ω, Σ), ακολουθία μιαδικών μέτρων (λ n ) στην Σ και έστω ότι το lim n + λ n (A) υπάρχει στο F ια κάθε A Σ. Θέτουμε λ(a) = Αποδείξτε ότι το λ είναι μιαδικό μέτρο στην Σ. lim λ n(a) ια κάθε A Σ. n Έστω χώρος μέτρου (Ω, Σ, µ) και ακολουθία (f n ) στον L 1. Αποδείξτε ότι η (f n ) συκλίνει ασθενώς σε στοιχείο του L 1 αν και μόνον αν sup n f n 1 < + και το lim n + A f n dµ υπάρχει στο F ια κάθε A Σ. Αποδείξτε ότι ο L 1 είναι ακολουθιακά ασθενώς πλήρης (δείτε την άσκηση 14 ια τον ορισμό). 16. Έστω χώρος μέτρου (Ω, Σ, µ) και f n f στον L 1. Αποδείξτε ότι f n f αν και μόνον αν f n f κατά μέτρο σε κάθε A Σ με µ(a) < [α] Έστω χώρος Bnch X,, b R με < b και f : [, b] X συνεχής στο [, b]. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό x X με την εξής ιδιότητα: ια κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε ια κάθε διαμέριση = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b με mx 1 j n t j t j 1 < δ και κάθε επιλοή σημείων ξ 1,..., ξ n με t j 1 ξ j t j ισχύει n f(ξ j )(t j t j 1 ) x < ϵ. Αυτό το x X ονομάζεται ολοκλήρωμα Riemnn της f και συμβολίζεται f(t) dt. [β] Έστω χώρος Bnch X,, b R με < b και f : [, b] X συνεχής στο [, b]. Παρατηρήστε ότι ια κάθε x X η συνάρτηση x f : [, b] F είναι συνεχής στο 3

4 [, b] με τιμές στο F και, επομένως, ορίζεται στο πλαίσιο του Απειροστικού Λοισμού το x (f(t)) dt. Αποδείξτε ότι x (f(t)) dt = x ( ) f(t) dt. [] Έστω χώρος Bnch X,, b, c R με < c < b, f, g : [, b] X συνεχείς στο [, b] και κ F. Αποδείξτε τις αναμενόμενες ιδιότητες: (f(t) + g(t)) dt = f(t) dt = c f(t) dt + f(t) dt + c f(t) dt, g(t) dt, κf(t) dt = κ t b f(t) dt, f(t) dt (b ) sup f(t). 18. Έστω χώρος Bnch X επί του C, ανοικτό υποσύνολο U του C και f : U X. Η f ονομάζεται ολόμορφη στο U αν υπάρχει g : U X ώστε f(z + h) f(z) lim C h 0 h = g(z) ια κάθε z U. Τότε η g ονομάζεται παράωος της f και συμβολίζεται f. Η f ονομάζεται ασθενώς ολόμορφη στο U αν η x f : U C είναι ολόμορφη στο U (με τη νωστή έννοια) ια κάθε x X. [α] Αποδείξτε ότι η f είναι ολόμορφη στο U αν και μόνο αν είναι ασθενώς ολόμορφη στο U και ότι τότε (x f) = x f ια κάθε x X. [β] Έστω κ C και f, g : U X και h : U C ολόμορφες στο U. (i) Αποδείξτε ότι οι κf, f + g και hg είναι ολόμορφες στο U. (ii) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο U και, επομένως, ορίζεται το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f(z) dz := f(z(t))z (t) dt ια κάθε καμπύλη στο U με παραμετρικοποίηση z : [, b] U, όπου η z είναι συνεχής στο [, b]. (Δείτε την άσκηση 18 ια τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemnn συνάρτησης με τιμές σε χώρο Bnch.) (iii) (Θεώρημα του Cuchy) Αν το U είναι απλά συνεκτικό ή, ενικότερα, αν η είναι ομόλοη του μηδενός ως προς το U (δηλαδή ισχύει ind(; ) = 0 ια κάθε C \ U), αποδείξτε ότι f(z) dz = 0. (iv) (Τύπος του Cuchy) Αν το U είναι απλά συνεκτικό ή, ενικότερα, αν η είναι ομόλοη του μηδενός ως προς το U, αποδείξτε ότι f(z 0 ) ind(; z 0 ) = 1 f(z) dz ια κάθε z 0 U. 2πi z z 0 (v) (Ανάπτυμα Tylor) Αποδείξτε ότι ια κάθε z 0 U υπάρχουν 0, 1,... X ώστε να ισχύει f(z) = k=1 k (z z 0 ) k ια κάθε z D(z 0 ; R), 4

5 όπου R = dist(z 0, C \ U). Αποδείξτε ότι k = f (k) (z 0 ) k! = 1 f(z) dz, 2πi C(z 0 ;r) (z z 0 ) k+1 όπου C(z 0 ; r) είναι η περιφέρεια κέντρου z 0 και ακτίνας r < R με την παραμετρικοποίηση z(t) = z 0 + re it, 0 t 2π. (vi) (Αρχή Μείστου) Αν υπάρχει z 0 U ώστε να ισχύει f(z) f(z 0 ) ια κάθε z U, αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή στη συνεκτική συνιστώσα του U η οποία περιέχει το z 0. (vii) (Θεώρημα του Liouville) Αν U = C και sup z C f(z) < +, αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή στο C. 5

Σχετικά έγγραφα

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση. Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 15, 19, 24 και 28 μέχρι

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση. Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 15, 19, 24 και 28 μέχρι Μεταπτυχιακή Μιαδική Ανάλυση Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, 5--20. Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 5, 9, 24 και 28 μέχρι 22--20.. Θεωρούμε τις καμπύλες (t) = t + it sin t και 2 (t) = t + it 2 sin t ια t (0, ] και