Παιχνίδια Αγοράς: Το παιχνίδι της Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ, ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Παιχνίδια Αγοράς: Το παιχνίδι της Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Επιβλέπων: Νικόλαος Τσάντας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Φεβρουάριος 2016

2 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα 2

3 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ, ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Παιχνίδια Αγοράς: Το παιχνίδι της Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Επιβλέπων: Νικόλαος Τσάντας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 15 η Φεβρουαρίου 2016 Νικόλαος Τσάντας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Κωνσταντίνος Πετρόπουλος Επίκουρος. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Ιωάννης Δημητρίου Λέκτορας Πανεπιστήμιου Πατρών Πάτρα, Φεβρουάριος

4 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα 2016 Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος 4

5 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Θεωρία Παιγνίων ανήκει στον τομέα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και αναπτύχθηκε μετά τον Β Παγκόσμιο πόλεμο. Η ανάγκη για ανάλυση και αξιολόγηση διαφορετικών δυνατοτήτων αποφάσεων, σύμφωνα με κάποιο κριτήριο, προκλήθηκε από την εμφάνιση των επιστημών οργάνωσης της παραγωγής και διοίκησης καθώς και από την ανάγκη ανάπτυξης ποσοτικών μεθόδων ανάλυσης σε πιο κλασσικές επιστήμες όπως τα Οικονομικά και οι Πολιτικές Επιστήμες. Η ανάπτυξη της Θεωρίας Παιγνίων προώθησε εφαρμογές στα θεωρητικά και εφαρμοσμένα οικονομικά, στη διοίκηση επιχειρήσεων, στην εφοδιαστική αλυσίδα, τομείς που απαιτούσαν εξέλιξη για να μπορέσουν να διαχειριστούν την γρήγορη ανάπτυξη και ενίσχυση του παγκόσμιου οικονομικού τομέα. Το πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας προσπαθεί να περιγράψει σε γενικές γραμμές τη φιλοσοφία της Θεωρίας Παιγνίων, τις βασικές αρχές των παιγνίων και επίσης δίνει τις σημαντικές διακρίσεις των παιγνίων. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στα πεπερασμένα παιχνίδια 2 παικτών μη μηδενικού αθροίσματος χωρίς συνεργασ ία, δίνονται χαρακτηριστικά παραδείγματα και αναλύονται οι τρόποι επίλυσης : Η γραφική μέθοδος επίλυσης μέσω Ανταποκρίσεων Βέλτιστης Στρατηγικής, που εφαρμόζεται κυρίως σε 2x2 δ.π.π. και η αλγοριθμική μέθοδος επίλυσης του αλγορίθμου Lemke-Howson. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στην κατηγορία παιγνίων «Παιχνίδια Αγοράς», δίνοντας τις βασικές έννοιες της Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας χωρίς συμμαχίες. Διατυπώνονται και αποδεικνύονται βασικά θεωρήματα ύπαρξης Σημείο υ Στρατηγικής Ισορροπίας και η σχέση του με το Σημείο Ανταγωνιστικής Ισορροπίας. 5

6 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά σε παιχνίδια συμμαχικής μορφής και ειδικά στα παιχνίδια με ωφέλεια που μπορεί να μεταφερθεί (TU-games). Επιπλέον, αναλύεται το παράδειγμα της Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας σε συμμαχική μορφή και επίσης αναφέρονται τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά παιχνίδια στα οποία, ως θεωρητικά μοντέλα, μπορεί να ανάγεται ένα πρόβλημα προς επίλυση. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Θεωρία Παιγνίων, Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία 6

7 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία ABSTRACT Game Theory belongs to the field of Applied Mathematics, which was developed after the World War II. The urgent need for analysis and evaluation of different possible decisions, according to specific criteria, was caused by the development of specific sciences, which are involved in the organization and management, as well as by the need of using developed quantitative methods of analysis at more classical sciences like Economics and Political Science. The growth of Game Theor y provided applications in theoretical and applied Economics, Business Management, Logistics. All of these applications were highly demanded in order the economic system to be able to handle a rapid growth. The first chapter of this work is trying to describe in general the concept of Game Theory, the basic principles of games and also gives the important classifications of the games. The second chapter refers to the 2 players finite games non-zero sum without cooperation. Characteristic examples are given and methods of solving are analyzed; The graphic method of solving through Responses o f Opt ima l St rat egic, which is usually used in 2x2 2- mat r ixgames, and the algorithmic method of solving through the Lemke- Howson algorithm. The third chapter focuses on the specific game called Market Games, giving the fundamentals of the Pure Barter Economy without cooperation. Basic theorems of the existence of the Balance Point Strategy and its relationship with the Competitive Equilibrium Point are mentioned and proved. Finally, the fourth chapter refers to games with cooperation and specific to games with transferable utility (TU-games). Furthermore, in this chapter the example of the Pure Barter Economy with cooperation is 7

8 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα analyzed as well as the common characteristic games to which, as theoretical models, a problem solver can be referred. KEY WORDS Game Theory, Pure Barter Economy 8

9 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT.. 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.. 9 Κεφάλαιο Σελίδα 1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Διακρίσεις Παιγνίων ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΠΑΙΓΝΙΑ 2-ΠΑΙΚΤΩΝ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΜΑΧΙΕΣ Γραφική μέθοδος επίλυσης μέσω «Ανταποκρίσεων Βέλτιστης Στρατηγικής» Αλγοριθμική μέθοδος επίλυσης διπινακοπαίχνιδου (δ.π.π.) Αλγόριθμος Lemke-Howson ΕΙΔΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΟΥ n-παικτων ΜΗ-ΜΗΔΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ: ΠΑΙΧΝΙΑΔΙΑ ΑΓΟΡΩΝ Βασικές Αρχές Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομίας ως παιχνίδι χωρίς συμμαχίες Παιγνιοθεωρητική γενίκευση της Ισορροπίας Walras Ύπαρξη Σημείου Στρατηγικής Ισορροπίας (ΣΣΙ) Σχέση Σημείου Στρατηγικής Ισορροπίας (ΣΣΙ) με Σημείο 9

10 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Ανταγωνιστικής Ισορροπίας (ΣΑΙ) ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΥΜΜΑΧΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χαρακτηριστική συνάρτηση TU-games Η Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία ως Παιχνίδι Συμμαχιών Διαμέριση και Κανονικοποίηση Κανονικοποίηση Παράδειγμα Το παιχνίδι της αποθάρρυνσης «Detente» Επουσιώδη παιχνίδια Άχρηστοι παίκτες Επίπεδες συμμαχίες Παιχνίδια που μπορούν να διασπασθούν Παιχνίδια Σταθερού Αθροίσματος Απλά παιχνίδια Ποσοστιαία παιχνίδια Συμμετρικά παιχνίδια..57 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 10

11 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία 1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Ας ξεκινήσουμε με την ανάλυση της λέξης Παίγνιο ή αλλιώς Παιχνίδι. Παιχνίδι είναι μια μορφή ανταγωνιστικής ψυχαγωγικής δραστηριότητας, ατομικής ή συλλογικής, που διεξάγεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες ή με συμφωνημένη διαδικασία, που σκοπεύει στην ηθική νίκη ή στο κέρδος, και που η έκβασή της εξαρτάται από την ευφυΐα, τη δεξιοτεχνία, τη σωματική δύναμη ή την τύχη του παίκτη ή των παικτών 1. Δηλαδή, στην ουσία όταν λέμε παιχνίδι εννοούμε την κατάσταση κατά την οποία δύο ή περισσότεροι παίκτες συμπεριφέρονται, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες και περιορισμούς που διέπουν το παιχνίδι, δημιουργώντας καταστάσεις ανταγωνιστικής αλληλεπίδρασης με σκοπό την νίκη (κέρδος, ηθική ανταμοιβή). Η Θεωρία Παιγνίων λοιπόν είναι η θεωρία η οποία αναλύει τις αλληλεπιδράσεις των παιχνιδιών και διερευνά τον τρόπο με τον οποίο παίρνονται οι αποφάσεις των παικτών που συμμετέχουν σε αυτό σε καταστάσεις σύγκρουσης και συνεργασίας. Ο κάθε παίκτης θεωρείται ως μια αυτόνομη μονάδα λήψης απόφασης με σκοπό την μεγιστοποίηση της προσωπικής του συνάρτησης ωφέλειας. Στην συνάρτηση ωφέλειας κάθε παίκτης εξαρτάται όχι μόνο από τις ενέργειες του παίκτη αυτού, αλλά και από τις ενέργειες των άλλων παικτών. Κάθε παίκτης προσπαθεί να χρησιμοποιήσει όλα τα μέσα που διαθέτει, για να εμποδίσει τον αντίπαλό του να αποκτήσει πλεονεκτήματα που θα περιορίσουν τα κέρδη του. Για να μπορέσει λοιπόν ο κάθε παίκτης να μεγιστοποιήσει την συνάρτηση ωφέλειας του θα πρέπει να καθορίσει τις στρατηγικές που θα ακολουθήσει. Προφανώς, η στρατηγική που ακολουθείται από κάθε παίκτη είναι άμεσα συνδεδεμένη με το αποτέλεσμα του παιχνιδιού. Στην περίπτωση που έχουμε «άριστη στρατηγική» όλων των παικτών, έχουμε και τη λύση του παιχνιδιού που ονομάζεται «Σημείο Ισορροπίας». Να σημειώσουμε εδώ ότι παίκτης μπορεί να είναι ένα πρόσωπο, μια επιχείρηση, μία οργάνωση, ένα κράτος ή ένας συνασπισμός. Επιπλέον, ως αντικείμενο έρευνας μπορούν να θεωρηθούν διάφορα προβλήματα πολιτικής, ψυχολογικής, κοινωνικής, οικονομικής μορφής. Η Θεωρία Παιγνίων μπορεί λοιπόν να θεωρηθεί σαν ένας κλάδος της Θεωρίας Αποφάσεων στον οποίο οι πιθανότητες των καταστάσεων και των στρατηγικών ενός παίχτη εξαρτώνται από το τι θα αποφασίσει να πράξει ο αντίπαλος παίχτης. Φυσικά, 1 Διαδικτυακό λεξικό «Greek Language" 11

12 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα εκτός από τα παιχνίδια διασκέδασης, η Θεωρία Παιγνίων εφαρμόζεται και σε «παιχνίδια» οικονομίας, στρατηγικής, πολιτικής καθώς και στην εξελικτική βιολογία. Ο στόχος της είναι να μπορέσει να μοντελοποιήσει προβλήματα στρατηγικών και να δώσει την ή τις βέλτιστες στρατηγικές για τους παίκτες που παίρνουν μέρος στο παιχνίδι. 1.1 Διακρίσεις Παιγνίων Αναλόγως με τα κριτήρια και τους κανόνες που διέπουν ένα παιχνίδι, μπορούμε να τα κατηγοριοποιήσουμε. Ένα βασικό κριτήριο διαχωρισμού των παιγνίων είναι το πλήθος των παικτών (2-παικτών ή n- παικτών). Στα παιχνίδια 2 παικτών έχουν γίνει πολλές μελέτες ανάλυσής τους, κυρίως λόγω τη απλότητας που έχουν. Όσο αυξάνεται το πλήθος των παικτών αυξάνεται και η δυσκολία ανάλυσης και εύρεσης βέλτιστων στρατηγικών. Άλλος ένας σημαντικός διαχωρισμός είναι τα παίγνια τέλειας ή ελλιπούς πληροφόρησης. Σε ένα παιχνίδι τέλειας πληροφόρησης οι παίκτες, εκτός από τους κανόνες και τους περιορισμούς του παιχνιδιού, είναι σε θέση να γνωρίζουν ακριβώς και τις κινήσεις ή τις ενέργειες των άλλων παικτών. Αντιθέτως, στα παιχνίδια ελλιπούς πληροφόρησης, οι παίκτες δεν είναι πλήρως ενημερωμένοι για τις αποφάσεις και τις αντιδράσεις των αντιπάλων παικτών. Άλλη σημαντική κατηγορία είναι τα παιχνίδια Μηδενικού αθροίσματος (zero-sum) ή Μη-μηδενικού αθροίσματος (non-zero sum), δηλαδή παιχνίδια που ο παίκτης κερδίζει ακριβώς όσα χάνει ο αντίπαλός του (μηδενικού αθροίσματος) και τα παιχνίδια που τα ποσά που «χάνει ή κερδίζει» ο κάθε παίκτης είναι διαφορετικά (μη-μηδενικού αθροίσματος). Μεγάλη συνεισφορά στα πεπερασμένα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος έδωσε το θεώρημα Minimax του von Neumann και πλέον διαθέτουμε αριθμητικές τεχνικές επίλυσης (μέθοδος simplex), αφού η περιοχή αυτή είναι άμεσα συνδεδεμένη με τον Γραμμικό Προγραμματισμό. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος που έχουν έντονη εφαρμογή τόσο στα οικονομικά προβλήματα όσο και στα προβλήματα διοίκησης, προώθησης, εξέλιξης οργανισμών κλπ. 12

13 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία Επιπλέον, χρήσιμος είναι και ο διαχωρισμός των παιχνιδιών σε κανονικά (στρατηγικά) ή εκτεταμένης μορφής. Εδώ χρειάζεται μια παραπάνω ανάλυση μιας και από τις ονομασίες αυτές δεν είναι εύκολος ο διαχωρισμός. Κανονικό παίγνιο ονομάζεται το παιχνίδι που κάθε παίκτης επιλέγει τη στρατηγική που θα ακολουθήσει καθ όλη τη διάρκεια του παιχνιδιού μόνο μία φορά και αυτό θα γίνει στην αρχή του παιχνιδιού ταυτόχρονα με όλους τους άλλους παίκτες. Δηλαδή, ο κάθε ένας παίκτης δεν γνωρίζει τι πλάνο δράσεις έχει ακολουθήσει ο κάθε αντίπαλός του. Αντιθέτως, σε παιχνίδια εκτεταμένης μορφής οι παίκτες μπορούν να αλλάξουν το πλάνο δράσης τους ανάλογα με τις αποφάσεις και τις ενέργειες των υπολοίπων παικτών. Τέλος, ιδιαίτερη αξία έχει και ο διαχωρισμός των παιχνιδιών σε παιχνίδια με συνεργασία παικτών ή χωρίς. Παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον αυτός ο διαχωρισμός καθώς πολλές φορές στα παιχνίδια μη συνεργασίας παρατηρούμε ότι ενώ επιτυγχάνουμε το ατομικό βέλτιστο, παρατηρούμε όμως ότι υπάρχουν και άλλα σημεία τα οποία αποδίδουν εξίσου ή και καλύτερα αποτελέσματα αν συνεργαστούν οι παίκτες για το κοινό τους καλό. Σε όποια κατηγορία πάντως και να ανήκει κάποιο παιχνίδι θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω υποθέσεις: 1. Όλοι οι παίκτες είναι ορθολογιστές και για αυτό προσπαθούν να παίξουν στρατηγικές που προάγουν την καλύτερη προοπτική τους. Εδώ βέβαια μπαίνει και η ανθρώπινη ιδεολογία του κάθε παίκτη, που επηρεάζει την καλύτερη προοπτική του καθενός. 2. Όλοι οι παίκτες ξέρουν ότι οι άλλοι παίκτες είναι ορθολογιστές (Assumption of nth-order common knowledge of rationality with order, CKP) 3. Ισχύει η Αρχή της Κυρίαρχης Ενέργειας, δηλαδή αν μια στρατηγική είναι πιο ισχυρή από κάποια άλλη, τότε η πρώτη εξουδετερώνει την δεύτερη. 13

14 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα 14

15 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία 2. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΠΑΙΓΝΙΑ 2-ΠΑΙΚΤΩΝ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ Για να καταλάβουμε τι σημαίνει πεπερασμένα παιχνίδια 2 παικτών μη μηδενικού αθροίσματος ας δώσουμε ένα κλασσικό παράδειγμα. Η μάχη των δύο φύλων (battle of the sexes) «Ένα ζευγάρι θέλει να βγει το βράδυ. Ο άνδρας (παίκτης ΙΙ) θα ήθελε να πάει σε ταβέρνα, ενώ η γυναίκα (παίκτης Ι) προτιμά να πάνε cinema. Ας υποθέσουμε ότι, στην κάθε κλίμακα ωφελείας του κάθε ενός, η επιλογή του αξίζει 2 μονάδες, η επιλογή του άλλου 1 μονάδα και το αν μείνουν σπίτι 0. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι αν δεν συμφωνήσουν, τότε κανείς δεν θα βγει. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι οι παίκτες επιλέγουν ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, καθώς και ότι η απόφασή τους είναι οριστική». Εδώ έχουμε ένα διπινακοπαίχνιδο (δ.π.π.) (Α,Β) όπου οι πίνακες πληρωμής φαίνονται παρακάτω. Α(γυναίκα) = B(άνδρας) = Για την εύρεση των ΣΣΙ (Στρατηγικών Σημείων Ισορροπίας) του παιχνιδιού θα εργαστούμε με διαφορετικούς τρόπους. Οι τρόποι θα αναπτυχθούν στις επόμενες παραγράφους. 15

16 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα 2.1 Γραφική μέθοδος επίλυσης μέσω «Ανταποκρίσεων Βέλτιστης Στρατηγικής» Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιασθεί μια γραφική μέθοδος επίλυσης των δ.π.π. με πίνακες 2x2 μέσω «ανταποκρίσεων βέλτιστης στρατηγικής». Α(παίκτης Ι) = B (παίκτης ΙΙ) = ΙΙ Ορίζουμε τις μεικτές στρατηγικές (x, 1 - x) T (y, 1 - y) T. Οι αναμενόμενες πληρωμές των παικτών θα είναι: για τον παίκτη Ι και για τον παίκτη Γραφική ανάλυση Η πληρωμή του παίκτη Ι για x [0,1] αντιστοιχεί σε ένα ευθύγραμμο τμήμα, που η κλίση του και η τομή του με τον κατακόρυφο άξονα εξαρτάται από την μεικτή στρατηγική y του παίκτη ΙΙ με y [0,1]. Αν η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος είναι θετική, τότε το θα εμφανίζεται όταν x = 1, ενώ αν είναι αρνητική θα εμφανίζεται όταν x = 0 και τέλος αν η κλίση είναι 0 τότε x [0,1] η h I (x,y) μεγιστοποιείται. y 1 BR I (y) 0 1 x Εικόνα 1. Γράφημα βέλτιστης απάντησης με μεικτές στρατηγικές του παίκτη Ι στην στρατηγική y του παίκτη ΙΙ 16

17 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία Βέλτιστη απάντηση του παίκτη Ι: BR I (y) = Αντίστοιχα συλλογιζόμαστε και για τον παίκτη ΙΙ και βρίσκουμε το γράφημα καθώς και την βέλτιστη απάντηση BR IΙ (x) σε μεικτές στρατηγικές. y BR II (x) x Εικόνα 2. Γράφημα βέλτιστης απάντησης σε μεικτές στρατηγικές του παίκτη ΙΙ στην στρατηγική x του παίκτη Ι Βέλτιστη απάντηση του παίκτη II: BR II (x) = Η ταυτόχρονη απεικόνιση των δύο γραφημάτων δείχνει τα σημεία τομής τους (x0, y0), δηλαδή τα σημεία που ο παίκτης Ι απαντά βέλτιστα στον παίκτη ΙΙ και αντιστρόφως, συνεπώς τα σημεία τομής θα είναι και τα ζητούμενα ΣΣΙ σε μεικτές στρατηγικές. Αναλυτικότερα, οι μεικτές στρατηγικές που θα βρίσκονται σε ισορροπία θα είναι οι (x0, 1 - x0) Τ και (y0, 1 - y0) Τ. 17

18 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα y x Επομένως, στο παιχνίδι της μάχης των δύο φύλλων υπάρχουν 3 ΣΣΙ σε μεικτές στρατηγικές, τα οποία είναι: Πίνακας 1. ΣΣΙ σε μεικτές στρατηγικές όπου (h I (x0,y0), h II (x0,y0) ) (x0, 1 - x0) Τ (y0, 1 - y0) Τ h I (x 0,y 0) = (3y 0 1)x y 0 h II (x 0,y 0) = (3x 0 2)y 0 + 2(1 x 0) (0,1) (0,1) (1,0) (1,0) (1,0) (2,1) (2/3,1/3) (1/3,2/3) (2/3, 2/3) Όπως καταλαβαίνουμε κάθε 2x2 δ.π.π. μπορεί να λυθεί γραφικά, όμως αυτή η μέθοδος δεν είναι εφικτή για την επίλυση μεγαλύτερων δ.π.π.. Τι γίνεται λοιπόν στην περίπτωση που οι πίνακές του δ.π.π. είναι mxn; Η απάντηση μπορεί να δοθεί μέσα από αλγοριθμικές μεθόδους επίλυσης. 18

19 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία 2.2 Αλγοριθμική μέθοδος επίλυσης διπινακοπαίχνιδου (δ.π.π): Lemke - Howson. Μια σαφώς καλύτερη μέθοδος επίλυσης δ.π.π. που εξασφαλίζει την εύρεση ΣΣΙ σε δ.π.π. με διαστάσεις mxn είναι ο αλγόριθμος Lemke Howson. Ο αλγόριθμος, όπως υποδεικνύει και το όνομά του, προτάθηκε από τους C.E. Lemke και J.J. Howson το Το αρνητικό αυτού του αλγορίθμου είναι ότι δυστυχώς δεν εξασφαλίζει την εύρεση όλων των ΣΣΙ ενός δ.π.π. Παρακάτω θα παρουσιάσουμε μια πιο διαισθητική ανάλυση του αλγορίθμου (L.S. Shapley 1974) η οποία έχει απήχηση και σε άλλα παιγνιοθεωρητικά προβλήματα. Η αριθμητική προσέγγιση του αλγορίθμου αφορά την επίλυση ενός Γραμμικού Συμπληρωματικού Προβλήματος μέσω μιας διαδικασίας αντίστοιχης της μεθόδου simplex που έχουμε στα μηδενικού αθροίσματος παιχνίδια. Πριν αναλύσουμε την σκέψη του αλγορίθμου ας αναφέρουμε κάποιους βασικούς συμβολισμούς. Έστω δ.π.π. (Α,Β) όπου Α και Β είναι mxn πραγματικοί πίνακες. Το πλήθος του συνόλου των μεικτών στρατηγικών I του παίκτη Ι είναι το και αντίστοιχα το πλήθος του συνόλου μεικτών στρατηγικών του παίκτη ΙΙ είναι το S:= Σύνολο καθαρών στρατηγικών του παίκτη Ι := Σύνολο μεικτών στρατηγικών του παίκτη Ι Τ:= Σύνολο καθαρών στρατηγικών του παίκτη ΙΙ := Σύνολο μεικτών στρατηγικών του παίκτη ΙΙ Η σκέψη είναι απλή. Για κάθε μεικτή στρατηγική x=(x1, x2 xm), μας ενδιαφέρει: (α) οι καθαρές στρατηγικές i m} = S που παίζονται με πιθανότητα μηδέν, δηλ. xi = 0 από την μεικτή στρατηγική x και (β) οι καθαρές στρατηγικές j {m+1,m m+n} = T που αποτελούν βέλτιστη απάντηση του παίκτη ΙΙ στην μεικτή στρατηγική x. Το σύνολο όλων των i,j που ικανοποιούν τα (α) και (β), ονομάζονται «ταμπέλα» (label) της μεικτής στρατηγικής x. Για αποφυγή παρεξηγήσεων θεωρούμε ότι S= m} και Τ m+1,m m+n} n. 19

20 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Βήματα Αλγορίθμου: ΒΗΜΑ 1 ο : Εύρεση καθαρών στρατηγικών i,j τέτοιες ώστε xi = 0 και yj = 0 αντίστοιχα. ΒΗΜΑ 2 ο : Εύρεση συναρτήσεων πληρωμής για τις μεικτές στρατηγικές x και y Για την x: hj (x) = x T B.j για j=m+1, m Για την y: (y) = Ai. y για i m m+n BHMA 3 ο : Εύρεση ταμπελών Για την μεικτή στρατηγική x=(x1, x2 xm) έχουμε αντίστοιχη ταμπέλα LI (x) = {i S: xi = 0} U {j T: hj (x) = Για την μεικτή στρατηγική y=(x1, x2 xm) έχουμε αντίστοιχη ταμπέλα LII (y) = {j T: yj = 0} U {i S: ki (y) = BHMA 4 ο : Ταμπέλα στρατηγικής (x,y) L(x,y) = LI (x) U LII (y) Με αυτόν τον τρόπο καταφέρνουμε να χωρίσουμε τα και σε κυρτές κλειστές περιοχές που χαρακτηρίζονται από την ίδια ταμπέλα. Τα σύνολα των περιοχών αυτών χαρακτηρίζονται από τις ταμπέλες όλων των περιοχών στις οποίες ανήκουν. Σαν αποτέλεσμα της κατασκευής αυτής, η ταμπέλα μιας μεικτής στρατηγικής x (και αντίστοιχα y ) είναι το σύνολο των ταμπελών των περιοχών στις οποίες ανήκει το σημείο αυτό. Τώρα λοιπόν θα είμαστε σε θέση να βρούμε τα ΣΣΙ. Πρόταση 2.1 Μια στρατηγική κατάσταση (x,y) στο δ.π.π. (Α,Β) είναι ΣΣΙ τότε και μόνο τότε όταν έχει πλήρη ταμπέλα (δηλ, αν κάθε καθαρή στρατηγική κάθε παίκτη ανήκει ή στην LI (x) ή στην LIΙ (y) ή και στις δύο). Η σημαντική συμβολή του διαγράμματος αυτού είναι ότι ουσιαστικά είναι μια απόδειξη ύπαρξης ενός τουλάχιστον ΣΣΙ σε τέτοιου είδους παιχνίδια καθώς και ότι το πλήθος των ΣΣΙ είναι πάντα περιττό. Δυστυχώς, όπως αναφέραμε και στην αρχή, δεν εξασφαλίζει την εύρεση όλων των ΣΣΙ και δυστυχώς όταν max(m,n) 5, δεν είναι 20

21 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία εφικτή η εύρεση των ΣΣΙ γραφικά Αριθμητικός Αλγόριθμος Lemke-Howson Το κλειδί στον αριθμητικό αλγόριθμο είναι η σχέση επίλυσης ενός τέτοιου παιχνιδιού με την επίλυση του δυικού προβλήματος ενός ΠΓΠ (Πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού), δηλαδή η εύρεση μεικτής στρατηγικής του παίκτη Ι η οποία θα απαντάει βέλτιστα σε κάποια στρατηγική του παίκτη ΙΙ είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα (ΠΓΠ): max x T Ay κ α = 1 xi 0, i m ή κ α = 1 xi 0, i m Το δυικό του ΠΓΠ είναι το: Min u κ α Αι y u Πρόταση 2.2 Το ζεύγος διανυσμάτων (x,y), x και y αποτελεί ΣΣΙ του δ.π.π. (Α Β) όπου Α Β, είναι mxn πίνακες πραγματικών αριθμών, τότε και μόνο τότε όταν υπάρχει u και v τέτοια ώστε: x T Ay = u x T By = v κ.α. = 1 = 1 Αι.y u i x T B.j v j n xi i yj 0 i n 21

22 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα 22

23 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία 3. ΕΙΔΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΟΥ n-παικτων ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ: ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΑΓΟΡΩΝ Ένα από τα πιο γνωστά προβλήματα στην Οικονομία είναι το πρόβλημα Γενικής Ανταλλαγής (General Exchange) και των Σημείων Ισορροπίας που προκύπτουν. Θα ασχοληθούμε κυρίως με το γενικό μοντέλο του Walras που αφορά «ανταγωνιστικές» (competitive) εταιρείες. Οι ανταγωνιστικές εταιρείες υπόκεινται στον κανονισμό της μη επιρροής των τιμών στις οποίες πραγματοποιούνται οι συναλλαγές στην αγορά. Ο κανονισμός αυτός είναι ρεαλιστικός όταν οι παράγοντες της αγοράς είναι πολλοί και σχετικά μικρού μεγέθους. Δυστυχώς όμως οι περισσότερες αγορές, μέσα στα πλαίσια του υπάρχοντος καπιταλισμού, είναι με λίγους συναλλασσόμενους ή το μέγεθος των ανταγωνιστικών εταιρειών είναι δυσανάλογα μεγάλο, με αποτέλεσμα ο κανόναςυπόθεση των ανταγωνιστικών εταιρειών να μην ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Στα σύγχρονα Οικονομικά έχουν επιχειρηθεί δύο τροποποιήσεις γενικεύσεις του κλασσικού μοντέλου της Θεωρίας Παιγνίων ώστε να διορθωθεί η ανεπάρκειά του. Η πρώτη γενική κατεύθυνση του μοντέλου Walras στηρίχθηκε στην μοντελοποίηση μιας κλασσικής ανταλλακτικής οικονομίας ως ένα παιχνίδι με συμμαχική μορφή, όπου οι λύσεις που προκύπτουν μέσω του παιχνιδιού αυτού συμφωνούν με το Σημείο Ανταγωνιστικής Ισορροπίας (ΣΑΙ) της θεωρίας Walras όταν η αγορά είναι μεγάλη σε σχέση με το μέγεθος των παικτών, αλλά αυτό διαφοροποιείται αρκετά όταν αυτό δεν συμβαίνει. Σε αυτή την κατεύθυνση ασκήθηκε έντονη κριτική αφού η διαφοροποίηση αυτή αποκλείει την δυνατότητα σε ατομικούς παίκτες να επηρεάσουν τις τιμές στην αγορά. Η δεύτερη κατεύθυνση που ακολούθησε η ανταλλακτική οικονομία παρουσιάζεται σαν παιχνίδι χωρίς συνεργασία του οποίου αναζητάμε το ΣΣΙ. Μεγάλη και σημαντική προϋπόθεση στην περίπτωση αυτή είναι η ύπαρξη «χρήματος», η οποία δεν απαιτείται στο κλασσικό μοντέλο. Η θεωρία αυτή μεταχειρίζεται το χρήμα με εξαιρετική ευελιξία μέσω μια πολύ μεγάλης γκάμας μοντέλων η οποία δίνει την δυνατότητα ανάπτυξης μιας παιγνιοθεωρητικής μεθοδολογίας για την μελέτη του πραγματικού χρήματος και των χρηματο-οικονομικών θεσμών. Κύριοι υπεύθυνοι της γενίκευσης αυτή είναι οι L.S.Shapley και M. Shubilk, που παρουσίασαν την ανταλλακτική οικονομία ως ένα παιχνίδι σε κανονική μορφή, το οποίο κάτω από 23

24 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα προϋποθέσεις διαθέτει ΣΣΙ που συγκλίνει στο ΣΑΙ. 3.1 Βασικές Αρχές Καθαρά Ανταλλακτικής Οικονομίας Η καθαρά ανταλλακτική οικονομία είναι μια οικονομία αποκλειστικά καταναλωτών, δηλαδή αποκλείεται από το μοντέλο η παραγωγή νέων αγαθών (η γενίκευση μπορεί να βρεθεί σε οικονομικά βιβλία των H. Varia (1992), M. Shubik (1985)). Επιπλέον, οι παράγοντες της αγοράς χαρακτηρίζονται από τα αγαθά που ο κάθε ένας παρέχει αλλά και από τις προτιμήσεις του. Οι παράγοντες της αγοράς ανταλλάσουν μεταξύ τους αγαθά σύμφωνα με δεδομένους κανόνες και στόχο την βελτιστοποίηση της θέσης του. Στην οικονομία λοιπόν συμμετέχουν n παράγοντες και κυκλοφορούν m διαφορετικά αγαθά. Θα ακολουθήσουμε τους συμβολισμούς και ορολογία του L.S. Shapley (1982) που βρίσκονται εκτενώς στην βιβλιογραφία. Συμβολισμοί και ερμηνείες Ι(n) n} με n N σύνολο παραγόντων Ι(m) m} με m N σύνολο αγαθών Οι εκθέτες θα αναφέρονται σε παράγοντες της αγοράς και οι δείκτες σε αγαθά. Έτσι με συμβολίζουμε τον nm-διάστατο Ευκλείδειο χώρο nxm πινάκων πραγματικών αριθμών, δηλ = {x / x= ( : i Ι(n), j Ι(m) )}. Η ερμηνεία του κάθε στοιχείου του x δηλώνει μια κατανομή m ειδών αγαθών σε n συναλλασσόμενους (παράγοντες της αγοράς), δηλαδή το είναι η ποσότητα του αγαθού j που κατέχει ο i παράγοντας. Θα συμβολίσουμε με και τα υποσύνολα των και αντίστοιχα, που τα στοιχεία τους έχουν μη αρνητικές συντεταγμένες. Επίσης συμβολίσουμε με μπάρα τα αθροίσματα ως προς τους παράγοντες της αγοράς, δηλαδή = και εκφράζει την συνολική ποσότητα του αγαθού j που βρίσκεται στην αγορά. Ορίζουμε μια αρχική κατανομή αγαθών (initial allocation of goods) έναν πίνακα α, όπου α (α 1 α n ) με α i m. Το διάνυσμα α i παριστάνει την αρχική κατανομή αγαθών του i παράγοντα της αγοράς (initial endowment). Αντίστοιχα θα 24

25 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία έχουμε και το διάνυσμα = ( ) που θα εκφράζει την ποσότητα των αγαθών από κάθε είδος που υπάρχει στην αγορά και θα ονομάζεται «διάνυσμα της προσφοράς». Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οι συντεταγμένες του είναι θετικές, δηλαδή ότι κάθε αγαθό ανήκει σε τουλάχιστον ένα παράγοντα. Τέλος, κάθε παράγοντας της αγοράς i, I Ι(n) είναι εφοδιασμένος με μια συνάρτηση ωφέλειας u i : m, η οποία εκφράζει τις προτιμήσεις του κάθε παράγοντα πάνω στις διάφορες κατανομές των αγαθών. Μια καθαρά ανταλλακτική οικονομία καθορίζεται από το σύνολο παραγόντων της αγοράς, I(n), το σύνολο των ειδών των αγαθών, I(m), την αρχική κατανομή αγαθών α και τις συναρτήσεις ωφελείας u i, i I(n). Επίσης θα θεωρούμε ότι μια κατανομή αγαθών θα είναι εφικτή (feasible) εάν τα αγαθά αναδιανέμονται μεταξύ των παραγόντων αγοράς σύμφωνα με την αρχική κατανομή των αγαθών χωρίς να χάνονται κάποια από αυτά και χωρίς να δημιουργούνται νέα. Στο κλασσικό μοντέλο γενικής ανταλλαγής του Walras, οι συναλλαγές μεταξύ των παραγόντων της αγοράς πραγματοποιούνται σύμφωνα με δεδομένες τιμές για κάθε αγαθό, οι οποίες δεν μπορούν να επηρεαστούν από τους παράγοντες της αγοράς, δηλαδή μια ανταγωνιστική (competitive) οικονομία. Δίνουμε λοιπόν ένα διάνυσμα p = (p1,p2 pm) m, που κάθε συνιστώσα του εκφράζει την τιμή στην αγορά ανά μονάδα αγαθού j, επομένως ο πλούτος του i-παράγοντα της αγοράς θα είναι το άθροισμα, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο pα i. Το εσωτερικό αυτό γινόμενο εκφράζει την ανταλλακτική αξία των αγαθών του παράγοντα i. Συνοπτικά, το κλασσικό μοντέλο γενικής ανταλλαγής του Walras ασχολείται με την μεγιστοποίηση της συνάρτησης ωφελείας των παραγόντων της αγοράς που ανταλλάσουν αγαθά μεταξύ τους σύμφωνα με ένα δοσμένο διάνυσμα p, επομένως η λύση του δεν είναι τίποτα παραπάνω από την λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: Max κ.α. p = p (3.1) m 25

26 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα Έστω ότι το πρόβλημα έχει λύση και η λύση είναι για κάθε. Η λύση θα εκφράζει την επιθυμία σε αγαθά του i-παράγοντα της αγοράς και προφανώς είναι συνάρτηση των p και α. Επειδή όμως η αρχική κατανομή των αγαθών α είναι σταθερή, η λύση συμβολίζεται και θα ονομάζεται συνάρτηση ζήτησης του i- παράγοντα της αγοράς. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το δεν είναι παιγνιοθεωρητική λύση, αλλά λύση n ανεξάρτητων προβλημάτων μεγιστοποίησης. Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα αν η βέλτιστη κατανομή των αγαθών στη λύση είναι δυνατόν να υλοποιηθεί για όλους τους παράγοντες της αγοράς. Αν η απάντηση είναι καταφατική, δηλαδή, τότε η αγορά μετά τις συναλλαγές των παραγόντων, θα οδηγηθεί στην κατανομή x* εκεί δηλαδή που ο κάθε παράγοντας μεγιστοποιεί την ωφέλειά του. Ορισμός 3.1 Για μια ανταγωνιστική καθαρά ανταλλακτική οικονομία με αρχική κατανομή αγαθών α, ονομάζουμε Σημείου Ανταγωνιστική Ισορροπίας (ΣΑΙ) ή Σημείο Ισορροπίας Walras ένα διάνυσμα τιμών p 0 για το οποίο ισχύει * (p 0 ). Και ερχόμαστε στο κρίσιμο ερώτημα της ύπαρξης του ΣΑΙ. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό θα πρέπει να εισάγουμε δύο ακόμα έννοιες, της υπερβάλλουσας ζήτησης και του επιθυμητού αγαθού. Ορίζουμε ως υπερβάλλουσα ζήτηση z(p) το διάνυσμα διαφορών z(p) = * -. Για κάθε διάνυσμα τιμών p, η ανταλλακτική αξία της υπερβάλλουσας ζήτησης είναι 0, pz(p) = 0 (Νόμος του Walras). Επιπλέον, ένα αγαθό j m ονομάζεται επιθυμητό εάν όποτε pj = 0 τότε και zj(p) > 0, δηλαδή ένα αγαθό είναι επιθυμητό εάν η υπερβάλλουσα ζήτησή του είναι θετική, οπότε θα είναι ελεύθερο. Θεώρημα 3.1 (Θεώρημα ύπαρξης ΣΑΙ) Εάν οι συναρτήσεις υπερβάλλουσας ζήτησης, είναι συνεχείς στο m και εάν όλα τα αγαθά είναι επιθυμητά, τότε υπάρχει p 0 m έτσι ώστε z(p 0 ) = 0, δηλαδή υπάρχει p 0 τέτοιο ώστε * =, οπότε το p 0 είναι ΣΑΙ. Απόδειξη Πρώτα τυποποιούμε το διάνυσμα p ώστε το τυποποιημένο πλέον διάνυσμα να ανήκει στο simplex, δηλ.. Οπότε η υπερβάλλουσα συνάρτηση ζήτησης z(p) =z διότι είναι ανεξάρτητη από την αρχική κατανομή αγαθών α και για τη 26

27 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (3.1) ισχύει x*(kp)=x*(p) για k>0. Άρα z = * - = * - = * - = z(p). Επιπλέον η συνάρτηση z θα είναι συνεχής στο. Από τον Νόμο του Walras ξέρουμε ότι για κάθε διάνυσμα τιμών p, η ανταλλακτική αξία της υπερβάλλουσας ζήτησης είναι 0, δηλαδή pz(p) = 0. Οπότε θα ισχύει επίσης. Τώρα λοιπόν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Κ-Κ-Μ με αποτέλεσμα να ισχύει και το θεώρημα αυτό που αποδεικνύουμε. Θεώρημα 3.2 Νόμος του Walras Για κάθε διάνυσμα τιμών p, η ανταλλακτική αξία της υπερβάλλουσας ζήτησης είναι 0, δηλαδή pz(p) = 0 Απόδειξη Αφού η αποτελεί εφικτή λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (3.1), θα έχουμε ότι, άρα. Θεώρημα 3.3 Κ-Κ-Μ Εάν το είναι ένα κανονικό σύστημα ταμπελών του ό. Δηλαδή, το θεώρημα Κ-Κ-Μ διαβεβαιώνει ότι για κάθε κανονικό σύστημα ταμπελών του υπάρχει x * έτσι ώστε L -1 (x * ) = N (δηλ. το x * έχει κανονική ταμπέλα). Το θεώρημα ΚΚΜ μέσα από τα μάτια της Οικονομικής θεωρίας είναι η Ύπαρξη διανύσματος τιμών που εξισώνουν προσφορά και ζήτηση σε μια αγορά εμπορευμάτων (Ύπαρξη Τιμών Ισορροπίας). Απόδειξη Έστω Ν n} το σύνολο των διαφορετικών ειδών αγαθών που διαπραγματεύονται σε μια αγορά εμπορευμάτων (π.χ. το 1 εκπροσωπεί σιτάρι, το 2 πετρέλαιο, κλπ). Θεωρούμε ότι το x = (x1, x2 xn) είναι το διάνυσμα τιμών των αγαθών 27

28 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα αυτών. Υποθέτουμε επίσης ότι οι τιμές είναι τυποποιημένες και αθροίζουν στο 1 καθώς και ότι είναι μη αρνητικές. Επομένως, το σύνολο των δυνατών τιμών είναι το. Έστω η fi(x) να αντιπροσωπεύει την υπερβάλλουσα προσφορά (πιθανόν να είναι αρνητική) του i-εμπορεύματος-αγαθού όταν οι τιμές κάθε εμπορεύματος δίνονται από το x. Αυτό σημαίνει ότι η fi(x) είναι η διαφορά της προσφοράς από τη ζήτηση του i- εμπορεύματος. Κάνουμε επιπλέον τις παρακάτω υποθέσεις για την υπερβάλλουσα προσφορά fi : (α) Η fi(x) είναι συνεχής συνάρτηση του x για κάθε i. (β) Για κάθε i και για κάθε x με xi = 0, θα ισχύει ότι η fi(x), δηλαδή κάθε ένα από τα αγαθά είναι επιθυμητό. (γ) Για κάθε x ισχύει, δηλαδή όσα λεφτά παίρνουν οι πωλητές τόσα λεφτά πληρώνουν οι αγοραστές κατά την εκκαθάριση. Για την ακρίβεια, η υπόθεση αυτή σημαίνει ότι κάτω από το διάνυσμα τιμών x, η συνολική χρηματική αποτίμηση των εμπορευμάτων που πωλούνται στην αγορά ισούται με τη συνολική χρηματική αποτίμηση των εμπορευμάτων που ζητούνται προς αγορά. Ορίζουμε τώρα L = {Li, i } κάλυμμα του ως εξής: Για i, :. Δηλαδή το αποτελείται από όλα τα διανύσματα τιμών τα οποία κάνουν την υπερβάλλουσα προσφορά του i-αγαθού να είναι η μεγαλύτερη ανάμεσα σε όλες τις υπερβάλλουσες προσφορές. Θεωρούμε τώρα συγκλίνουσα ακολουθία x k, k από σημεία του (για κάποιο i ) με. Αφού, συμπεραίνουμε ότι για κάθε k θα ισχύει Παίρνοντας όρια και λόγω της συνέχειας της συνάρτησης υπερβάλλουσας προσφοράς κάθε αγαθού (υπόθεση (α)), έχουμε ότι, δηλαδή, επομένως το είναι ένα κλειστό υποσύνολο του. Άρα το L αποτελεί ένα σύστημα ταμπελών simplex. Θα δείξουμε τώρα ότι το L είναι επίσης κανονικό σύστημα ταμπελών. Έστω και ας θεωρήσουμε επίσης, όπου η όψη του που παράγεται από το Μ Τότε και επομένως λόγω της υπόθεσης (β) θα έχουμε. Επίσης, για,η υπόθεση (γ) συνεπάγεται ότι. Επομένως θα υπάρχει έτσι ώστε. Άρα και το 28

29 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία με αποκτάται σε κάποιο δείκτη που ανήκει στο Μ. Αυτό σημαίνει ότι το, δηλαδή το σύστημα ταμπελών L είναι κανονικό. Εν κατακλείδι, από το θεώρημα K-K-M συνάγουμε την ύπαρξη διανύσματος τιμών x * με πλήρη ταμπέλα. Αλλά τότε, αφού κάθε συντεταγμένη του διανύσματος ( ) είναι μέγιστη, θα πρέπει και η υπόθεση (γ) για το x * θα δώσει που συνεπάγεται ότι αφού. Με άλλα λόγια, για το διάνυσμα τιμών x * η υπερβάλλουσα προσφορά κάθε αγαθού μηδενίζεται, δηλαδή το x * εξισώνει την προσφορά με τη ζήτηση. 3.2 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία ως Παιχνίδι Χωρίς Συμμαχίες Παιγνιοθεωρητική Γενίκευση της Ισορροπίας Walras Στην παράγραφο αυτή θα προσπαθήσουμε να βρούμε τη σύνδεση ανάμεσα στην κλασσική θεωρία, που θεωρεί μια ανταλλακτική οικονομία ως ανταγωνιστική, και την παιγνιοθεωρητική προσέγγιση, που θεωρεί μια ανταλλακτική οικονομία ως παιχνίδι χωρίς συνεργασία. Για την σύνδεση αυτή θα πρέπει να εισάγουμε ένα επιπλέον αγαθό (m+1) στα m είδη αγαθών το οποίο θα το αποκαλούμε «χρήμα». Επίσης ορίζουμε κανόνες ανταλλαγής που οδηγούν στην διαμόρφωση του μοντέλου ως παιχνιδιού σε κανονική μορφή. Συνεπώς, ως στρατηγική r i του παράγοντα της αγοράς i (παίκτης i) θεωρούμε το διάνυσμα r i = ( ) m που αντιπροσωπεύει τις εντολές αγοράς του παίκτη i. Οι συντεταγμένες αντιπροσωπεύουν την ποσότητα χρήματος (έμβασμα) που ο παίκτης i αποστέλλει στην αγορά για προμήθεια του αγαθού j. Να επισημάνουμε ότι οι «εντολές αγοράς» δεν αφορούν τη ποσότητα από κάθε αγαθό που επιθυμεί ο παίκτης, αλλά την ποσότητα χρήματος που αυτός στέλνει για την προμήθεια του αγαθού. Η ποσότητα που τελικά θα προμηθευτεί εξαρτάται από την τιμή που θα διαμορφωθεί. Επιπλέον εισάγουμε δύο βασικές υποθέσεις για λόγους απλούστευσης: 1. Απαιτούμε να ικανοποιείται ο περιορισμός της αγοράς «τοις μετρητοίς», η πίστωση απαγορεύεται, 2. Υποθέτουμε ότι οι εντολές αγοράς είναι χωρίς όρια, δηλαδή δεν γίνεται να μην 29

30 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα εκτελεστούν. Προφανώς η τιμή εκτέλεσής του διαμορφώνεται από την αγορά σύμφωνα με συγκεκριμένο μηχανισμό (εντολές αγοράς market ) Επίσης, το σύνολο των στρατηγικών του παίκτη i συμβολίζεται με S i = { r i m : } και είναι ή ένα m-διάστατο simplex στον m εάν ο i παίκτης διαθέτει χρήματα ( 0) ή το σημείο 0 εάν δεν έχει χρήματα ( =0). Το σύνολο δε των στρατηγικών καταστάσεων συμβολίζεται με S= και αποτελείται από nxm πίνακες r των οποίων οι γραμμές είναι οι στρατηγικές r i των παικτών και ικανοποιούν τον περιορισμό «τοις μετρητοίς». Ο μηχανισμός που διαμορφώνει την τιμή εκτέλεσης ορίζει 3 βήματα για την πληρωμή των παικτών για κάθε στρατηγική r S. ΒΗΜΑ 1: Καθορίζεται η «τιμή εκκαθάρισης» pj κάθε αγαθού στην αγορά μέσω της σχέσης j I(m), δηλαδή διαιρούμε το συνολικό ποσό χρημάτων που κατατίθενται για αγορά του αγαθού j με το συνολικό ποσό μονάδων του αγαθού j που διαθέτει η αγορά. ΒΗΜΑ 2: Υπολογίζουμε την τελική κατανομή των αγαθών στους παράγοντες της αγοράς μετά την διεξαγωγή των αγοραπωλησιών στις τιμές του προηγούμενου βήματος. Θεωρούμε όλα τα αγαθά της αρχικής κατανομής κάθε παίκτη να μπαίνουν στην αγορά προς πώληση (κλασσικό μοντέλο). Η τελική κατανομή z i = (, ) θα δίνεται από τις σχέσεις: = αν j I(m) και pj > 0 = 0 αν j I(m) και pj = 0 = - + ΒΗΜΑ 3: Ορίζουμε την πληρωμή κάθε παίκτη ως την ωφέλεια του παίκτη αυτού στην τελική κατανομή αγαθών, (r) = (z i ) i I(n). Προφανώς, η τελική κατανομή του παίκτη i εξαρτάται από την τιμή κάθε αγαθού, η οποία εξαρτάται από τις εντολές αγοράς όλων των παικτών, δηλαδή η πληρωμή του 30

31 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία παίκτη i εξαρτάται από τις στρατηγικές όλων των παικτών. Συνεπακόλουθα, η συνάρτηση h : S n με h(r) =(h 1 (r) h n (r)) ορίζει ένα παιχνίδι, ονομαζόμενο «παιχνίδι αγοράς σε κανονική μορφή» ή «στρατηγικό παιχνίδι αγοράς» και συμβολίζεται με Γ. 3.3 Ύπαρξη Σημείου Στρατηγικής Ισορροπίας (ΣΣΙ) Ας δούμε πως μεταφέρεται η έννοια του ΣΣΙ σε παιχνίδια κανονικής μορφής Σε κάθε παιχνίδι αγοράς σε κανονική μορφή η στρατηγική κατάσταση θα είναι ΣΣΙ εάν για κάθε παίκτη i I (n) ισχύει ότι = Πριν εισάγουμε το θεώρημα του Shapley για την ύπαρξη ΣΣΙ σε ένα στρατηγικό παιχνίδι αγοράς, θα πρέπει να διευκρινίσουμε την έννοια «ο παίκτης i επιθυμεί το αγαθό j» καθώς και ότι «ο παίκτης i διαθέτει χρήματα». Ορισμός 3.2 Θα λέμε ότι ένας παίκτης i επιθυμεί το αγαθό j, j I(m), εάν η συνάρτηση ωφελείας u i (x i ) είναι γνησίως αύξουσα ως προς τη μεταβλητή για κάθε τιμή των υπολοίπων μεταβλητών, l I(m+1) \ {j}. Ορισμός 3.3 Ο παίκτης i, i I(n) θα διαθέτει χρήματα εάν >0. Θεώρημα 3.4 Θεώρημα Ύπαρξης ΣΣΙ (Shapley, 1982) Εάν για κάθε παράγοντα της αγοράς i, i I(n) η συνάρτηση ωφέλειας u i είναι συνεχής, αύξουσα και κοίλη και εάν για κάθε αγαθό j I(m) υπάρχουν τουλάχιστον δύο παράγοντες της αγοράς οι οποίοι διαθέτουν χρήματα και επιθυμούν το αγαθό αυτό, τότε το στρατηγικό παιχνίδι αγοράς διαθέτει ΣΣΙ. Απόδειξη Ορίζουμε για κάθε μια συνάρτηση : μέσω των σχέσεων: Ο ορισμός της βοηθάει στο να φτιάξουμε μια πιο εύχρηστη μορφή για να την 31

32 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια. Προς το παρόν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το αντιστοιχεί στο, το αντιστοιχεί στο και η στη. Ορίζουμε επίσης : μέσω της Και εδώ παρατηρούμε ότι η αντιστοιχεί στην συνάρτηση πληρωμής. ΛΗΜΜΑ 1 Εάν η συνάρτηση ωφελείας είναι συνεχής πάνω στο, τότε η π ( γ) είναι συνεχής πάνω στο ( γ): γ j. Απόδειξη Από τη σχέση (3.3) η π είναι συνεχής αφού είναι σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. ΛΗΜΜΑ 2 Εάν η συνάρτηση ωφελείας είναι κοίλη και αύξουσα στο, τότε για κάθε γ η π ( γ) είναι κοίλη ως προς στο. Απόδειξη Πρώτα θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο (δηλαδή είναι κοίλη ως προς για κάθε γ) εξετάζοντας περιπτώσεις στη σχέση. Περίπτωση α: Σε αυτή την περίπτωση η δίνεται από την πρώτη περίπτωση της σχέσης (3.2) και επομένως είναι συνάρτηση δύο φορές διαφορίσιμη με συνεχείς μερικές παραγώγους. Ο πίνακας των παραγώγων δεύτερης τάξεως (Εσσιανός πίνακας) της είναι διαγώνιος με μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο το. Επομένως ο πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος (δηλ. οι ιδιοτιμές του είναι μηδενικές εκτός από μια που είναι αρνητική) και άρα στη περίπτωση α η είναι 32

33 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία κοίλη. Περίπτωση β: Τότε έχουμε η οποία είναι κοίλη συνάρτηση ως προς Περίπτωση γ: Τότε η δίνεται από την τρίτη περίπτωση της σχέσης (3.2) και αφού είναι αφφινική συνάρτηση (γραμμική συνάρτηση σε γραμμικούς χώρους με ιδιότητα f(λ + µ ) = λf + µf ) θα είναι και κοίλη. Βλέπουμε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση η συνάρτηση είναι κοίλη στο. Άρα και η διανυσματική συνάρτηση είναι κοίλη στο, επομένως για και θα ισχύει: ( ) Έχοντας υποθέσει ότι η συνάρτηση ωφελείας είναι αύξουσα συμπεραίνουμε ότι ( ) ( ( )) Επίσης, έχοντας υποθέσει ότι η συνάρτηση ωφελείας είναι κοίλη, θα ισχύει ( ( ) Από τις σχέσεις (3.3), (3.4) και (3.5) συμπεραίνουμε ότι ( ) Που σημαίνει ότι η είναι κοίλη στο. Επιστρέφοντας τώρα στο παιχνίδι της αγοράς σε κανονική μορφή, συνδυάζοντας τη σχέση (3.2) με τις παρακάτω σχέσεις 33

34 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα pj = j I(m), = αν j I(m) και pj > 0 = 0 αν j I(m) και pj = 0 = + μπορούμε εύκολα να επιβεβαιώσουμε ότι Και επομένως οι συναρτήσεις πληρωμής κάθε παίκτη θα ικανοποιούν την σχέση Υπό της συνθήκες του θεωρήματος Shapley και με τη χρήση του Λήμματος 2, συμπεραίνουμε ότι για η είναι κοίλη ως προς για κάθε επιλογή του. Όμως το είναι ανεξάρτητο του και συνάρτηση αποκλειστικά του. Επομένως για τη σχέση (3.6) καταλαβαίνουμε ότι για κάθε η είναι κοίλη ως προς. Επίσης ξέρουμε ότι τα σύνολα στρατηγικών,, είναι συμπαγή, κυρτά υποσύνολα Ευκλείδειων χώρων. Το μόνο που μας μένει είναι η να είναι συνεχής, οπότε μέσω του Nikaido-Isoda, το θεώρημα του Shapley θα ήταν μια εφαρμογή του θεωρήματος Nikaido-Isoda. Το Λήμμα 1 δεν μας δίνει πληροφορία για συνέχεια στις περιπτώσεις όπου όλοι οι παράγοντες της αγοράς αποφεύγουν να δώσουν εντολή αγοράς για κάποιο αγαθό. Για αυτή την περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε ένα τέχνασμα, την προσέγγιση της συνάρτησης h από συναρτήσεις ώστε να ικανοποιούν την υπόθεση συνέχειας του θεωρήματος Nikaido-Isoda. Για ε > 0 ορίζουμε παιγνίδι μέσω της Όπου με συμβολίζουμε το διάνυσμα ( ). Για να κατανοήσουμε το 34

35 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία τέχνασμα αυτό ας το προσεγγίσουμε διαισθητικά. Το παιχνίδι που ορίζεται μέσω της μπορούμε να το σκεφτούμε θεωρώντας ότι ένας επιπλέον (φανταστικός) παράγοντας προστέθηκε στο αρχικό παιχνίδι, ο οποίος καταθέτει ένα μικρό ποσό ε για κάθε αγορά αγαθού που δεν προσελκύει το ενδιαφέρον των άλλων παραγόντων («γύπας»). Με αυτόν τον τρόπο αποκλείεται η μυστηριώδης εξαφάνιση αγαθών από την οικονομία λόγω μηδενισμού της τιμής τους και έτσι εξαλείφονται οι ασυνέχειες του μοντέλου μας. ΛΗΜΜΑ 3 Εάν για κάθε παράγοντα της αγοράς η συνάρτηση ωφελείας είναι συνεχής, αύξουσα και κοίλη πάνω στο, τότε για κάθε ε το παιχνίδι διαθέτει ΣΣΙ σε καθαρές στρατηγικές. ΛΗΜΜΑ 4 Εάν για κάθε παράγοντα της αγοράς η συνάρτηση ωφελείας είναι συνεχής, αύξουσα και κοίλη πάνω στο, και εάν για κάποιο αγαθό υπάρχουν τουλάχιστον δύο παράγοντες της αγοράς οι οποίοι διαθέτουν χρήματα και επιθυμούν το αγαθό αυτό, τότε υπάρχει σταθερά ώστε Για κάθε ε και για κάθε στρατηγική κατάσταση η οποία είναι ΣΣΙ στο παιχνίδι. Τώρα είμαστε σε θέση να ολοκληρώσουμε την απόδειξη του θεωρήματος Shapley. Παρατηρούμε ότι: Έστω και έστω οποιαδήποτε ακολουθία ΣΣΙ των παιχνιδιών. Υπό τις υποθέσεις του Λήμματος 4, αφού η θετική σταθερά είναι ανεξάρτητη του ε (άρα και του ), θα ισχύει i. Έστω ακολουθία όπου είναι ΣΣΙ στο. Αφού το σύνολο των στρατηγικών καταστάσεων S είναι συμπαγές, η έχει μια συγκλίνουσα υποακολουθία. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι η ίδια η είναι συγκλίνουσα και έστω το όριο. Από τη παρατήρηση έχουμε Από το Λήμμα 1 συμπεραίνουμε ότι η είναι συνεχής σε μια περιοχή του Άρα 35

36 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα i Θα δείξουμε τώρα ότι η στρατηγική κατάσταση είναι ΣΣΙ του Γ. Έστω ότι όλοι οι υπόλοιποι εκτός του ά παίζουν στο Γ σύμφωνα με την και έστω η βέλτιστη απάντηση του. Από την κατασκευή μας, αφού η είναι ΣΣΙ στο, θα ισχύει Με χρήση της σχέσης (3.7) ξανά και επομένως της συνέχειας της στο ( ) παίρνουμε όρια στην σχέση (3.9). Χρησιμοποιώντας και την σχέση (3.8) έχουμε ότι Αλλά για την έχουμε υποθέσει ότι είναι η βέλτιστη απάντηση του στην στο παιχνίδι Γ. Άρα η σχέση (3.10) δείχνει ότι η στην. είναι βέλτιστη απάντηση του 3.4 Σχέση του Σημείου Στρατηγικής Ισορροπίας (ΣΣΙ) με το Σημείο Ανταγωνιστικής Ισορροπίας (ΣΑΙ) Ενδιαφέρον παρουσιάζει το ερώτημα αν οι τιμές που διαμορφώνονται στο ΣΣΙ προσεγγίζουν το ΣΑΙ όταν οι παράγοντες της αγοράς αυξάνονται. Με το ερώτημα αυτό έχουν ασχοληθεί οι Shapley&Shubik (1977), M. Shublik (1985) καθώς και οι P.Dubey&J.Geanakoplos (2003). Η περιοχή αναζήτησης αυτής θεωρείται ενδιαφέρουσα και σημαντική καθώς χρησιμοποιείται στην διερεύνηση της λειτουργίας του τυπωμένου μη αναστρέψιμου χαρτονομίσματος (fiat money) και των πιστωτικών ιδρυμάτων (πράγμα επίκαιρο λόγω συνεχής πιστωτικής επέκτασης). Η αύξηση των παραγόντων της αγοράς γίνεται με μια κλασική και συνήθης τεχνική για την μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς λύσεων, η αναπαραγωγή κλώνων (replication). Έστω λοιπόν ένα οικονομικό σύστημα το οποίο αντιπαραβάλλουμε με πολλά πανομοιότυπα αντίγραφά του και στη συνέχεια 36

37 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία καταργούμε τα σύνορα ανάμεσα στα συστήματα αυτά δημιουργώντας ένα ενιαίο σύστημα (ενιαία αγορά). Θεωρούμε ότι οι παράγοντες της αγοράς επιλέγονται από ένα σύνολο «τύπων», όπου από κάθε τύπο επιλέγεται ίσος αριθμός παραγόντων. Υποθέτουμε ότι όλοι οι παράγοντες του ίδιου τύπου έχουν πανομοιότυπες αρχικές κατανομές αγαθών και πανομοιότυπες συναρτήσεις ωφέλειας. Επιπλέον υποθέτουμε ότι κάθε ένας παράγοντας του ίδιου τύπου αποφασίζει ανεξάρτητα τις κινήσεις του, δηλαδή δεν υποθέτουμε ότι δύο παράγοντες του ίδιου τύπου θα κάνουν πανομοιότυπες επιλογές στρατηγικής. Το μοντέλο που έχουμε τώρα θεωρεί ότι η αγορά αποτελείται από Τ τύπους παραγόντων και ότι κάθε τύπος αντιπροσωπεύει k παράγοντες, άρα n=kt. Ομοιοτρόπως με τους αρχικούς συμβολισμούς θα έχουμε την αρχική κατανομή αγαθού j στον παράγοντα s του τύπου t (ανεξάρτητη του s), =, t I(T), s I(k), j I(m+1). Οι στρατηγικές θα είναι της μορφής ( ). Μπορούμε όμως να εξασφαλίσουμε ότι για κάθε τιμή του k θα υπάρχει ένα ΣΣΙ, όπου κάθε κλώνος ίδιου τύπου ακολουθεί την ίδια ακριβώς στρατηγική; Η απάντηση είναι καταφατική κάτω από τις υποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης ΣΣΙ του Shapley. Το θεώρημα Shapley μπορεί να διαμορφωθεί κατάλληλα για κλωνοποιημένες αγορές όπως αναγράφεται και παρακάτω. «Έστω ότι το σύνολο των παικτών Ι(n) διαμερίζεται σε σύνολα P1, P2 PT με την ιδιότητα α i1 α i2 και u i1 = u i2, οπότε οι παίκτες i1 και i2 ανήκουν στο ίδιο Pt, t I(T). Τότε κάτω από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Shapley, υπάρχει ΣΣΙ με την ιδιότητα r i1 = r i2 οπότε οι παίκτες i1 και i2 ανήκουν στο ίδιο Pt, t I(T).» Το επόμενο βήμα είναι να διατυπώσουμε τις αναγκαίες συνθήκες ύπαρξης συμμετρικού ΣΣΙ, που να ανήκει στο εσωτερικό του συνόλου στρατηγικών S i για κάθε i I(n), δηλαδή ποιες πρέπει να είναι οι συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιεί ένα ΣΣΙ για το οποίο να ισχύουν: α 37

38 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα γ Υποθέτοντας ότι οι κοίλες συναρτήσεις είναι διαφορίσιμες, η αναγκαία και ικανή συνθήκη α τάξεως για να είναι η βέλτιστη απάντηση του παίκτη ts είναι να ισχύει. Δηλαδή Δηλαδή ( ) Με χρήση του κανόνα αλυσίδας έχουμε Όμως Χρησιμοποιώντας τους παρακάτω συμβολισμούς στις σχέσεις (3.11), (3.12) για την τελική κατανομή αγαθ ν του παίκτη στο ΣΣ για την μερική παράγωγο Θα έχουμε: Για κάθε 38

39 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία Όπου ( ) είναι το διάνυσμα τιμών στο ΣΣΙ Με χρήση της συμμετρίας στο ΣΣΙ και παρατηρώντας ότι καταλήγουμε στην συνθήκη Δοθέντος ότι με το αγαθό m+1 (χρήμα) μετράμε την τιμή της μονάδας κάθε αγαθού j, δηλαδή η τιμή του αγαθού m+1 είναι 1, καταλήγουμε στην οριστική μορφή συνθήκης α τάξης για την ύπαρξη εσωτερικού συμμετρικού ΣΣΙ Η εξετάσουμε του αν το ΣΣΙ είναι και Σημείο Walras (ΣΑΙ) βασίζεται στο ότι όταν ο αριθμός κλώνων κάθε τύπου k η ακολουθία στρατηγικών των ΣΣΙ των k-κλωνοποιημένων παιχνιδιών διαθέτει οριακά σημεία στον χώρο των στρατηγικών καταστάσεων. Επιπλέον στοιχείο για την εξέταση είναι η κατανομή των αγαθών που είναι εφικτή και οι συναρτήσεις ωφέλειας που είναι κοίλες. Η σημαντικότητα αυτής της διαπίστωσης, δηλ ότι οι τιμές που διαμορφώνονται στο ΣΣΙ προσεγγίζουν το ΣΑΙ όταν οι παράγοντες της αγοράς αυξάνονται, μας δίνει την σύνδεση ανάμεσα στην κλασσική θεωρία και την παιγνιοθεωρητική προσέγγιση του. Θα μπορούσαμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι η παιγνιοθεωρητική προσέγγιση αποτελεί κατά μια έννοια γενίκευση της κλασσικής θεώρησης. Πρακτικά, διαπιστώνουμε πως καθώς η σημασία κάθε τύπου παίκτη μειώνεται (διαχέεται μέσα στους κλώνους του) οι τιμές στο ΣΣΙ τείνουν να γίνουν ανταγωνιστικές. Τα συμπεράσματα αυτά διατυπώνονται και αυστηρά στο παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.4 Κάτω από τις συνθήκες του θεωρήματος Shapley και με την επιπλέον υπόθεση ότι οι συναρτήσεις ωφέλειας είναι συνεχώς διαφορίσιμες, έστω 39

40 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα συμμετρικό ΣΣΙ για το παιχνίδι της κλωνοποιημένης αγοράς σε κανονική μορφή με ποσότητα k κλώνων από κάθε τύπο παίκτη και έστω το διάνυσμα τιμών των m αγαθών στο. Έστω οποιοδήποτε οριακό σημείο της και έστω το αντίστοιχο οριακό σημείο της και ας ορίσουμε ότι. Τότε οι m+1 τιμές ( ) αποτελούν σημείο Walras (ΣΑΙ) της αγοράς για κάθε τιμή του k. Με άλλα λόγια δηλαδή, για κάθε k υπάρχει μια τελική κατανομή για την οποία ισχύει, τέτοια ώστε για κάθε και για κάθε η να επιλύει το πρόβλημα κ.α. 40

41 Καθαρά Ανταλλακτική Οικονομία 4. ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΥΜΜΑΧΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Στην κανονική μορφή ένα παιχνίδι αναπαρίσταται μέσω συναρτήσεων πληρωμής κάθε παίκτη, έτσι η αναλυτική περιγραφή των στρατηγικών κάθε παίκτη είναι περιττή. Αυτό σημαίνει ότι οι στρατηγικές σταματούν να είναι χειροπιαστές οντότητες και το μόνο που αρκεί είναι η απαρίθμησή τους. Δυστυχώς όμως η κανονική μορφή δεν επιτρέπει την ανάλυση συμμαχιών που μπορούν να σχηματιστούν εάν είναι δυνατή η πραγματοποίηση συμφωνιών (υπογραφή συμβολαίων) μεταξύ παικτών ούτε επιτρέπει την εκτίμηση της «ισχύος» κάθε παίκτη, όπως μπορεί να προκύψει από τους κανόνες κάθε παιχνιδιού. Στην επίλυση τέτοιων παιχνιδιών ο Von Neumann επινόησε την έννοια της χαρακτηριστικής συνάρτηση, που εκφράζει το ποσό που μπορεί να εξασφαλίσει κάθε υποσύνολο παικτών(«συμμαχία») εάν αυτή γίνει με τους κανόνες του παιχνιδιού. Η χαρακτηριστική συνάρτηση εκτιμά την αξία κάθε συμμαχίας με κάποια τιμή που εκπροσωπεί το επίπεδο ασφαλείας της συμμαχίας. Φυσικά υποθέτουμε ότι για να εξασφαλιστεί αυτή η τιμή, τα μέλη της συμμαχίας συνεργάζονται πλήρως. Κατά την συνεργασία επιτρέπεται, προκειμένου να επιτύχει η συμμαχία το καλύτερο δυνατό, κάποια μέλη της να πέφτουν κάτω από το ατομικό τους επίπεδο ασφαλείας και κάποια άλλα να πετυχαίνουν δυσανάλογα υψηλές αποδόσεις. Επομένως για να έχει κίνητρο η συμμαχία να σχηματισθεί, απαιτείται (τουλάχιστον για αρχή) να μπορεί να μεταβιβασθεί ελεύθερα η ωφέλεια από μέλος σε μέλος, ώστε αυτοί που αρχικά θυσιάζονται να αποζημιώνονται από εκείνους που πετυχαίνουν δυσανάλογες αποδόσεις. Για να μπορέσει να υπάρχει αυτό, απαιτούνται δύο υποθέσεις: ΥΠΟΘΕΣΗ (Α): Οι μονάδες ωφέλειας είναι κοινές για όλους τους παίκτες, δηλαδή υπάρχει ένα κοινό μέτρο της αξίας του (δεχόμαστε λοιπόν την ύπαρξη κάποιου είδους χρήματος) ΥΠΟΘΕΣΗ (Β): «Υπερπροσθετικότητα» Οι μονάδες ωφέλειας μπορούν να κινούνται ελεύθερα ανάμεσα στα μέλη μιας συμμαχίας, δηλαδή αν η συμμαχία S s} μπορεί να επιτύχει πληρωμή 41

42 Μελισσαροπούλου Κ. Παναγιώτα ( ) τότε αυτή μπορεί να επιτύχει οποιαδήποτε πληρωμή ( ), αρκεί. Τα παιχνίδια που ικανοποιούν τις υποθέσεις αυτές ονομάζονται «παιχνίδια με ωφέλεια που μπορεί να μεταφερθεί» (Transferable utility games με συντομογραφία TUgames). Τα παιχνίδια αυτά έχουν συναντήσει κριτική από την Οικονομική Επιστήμη, για αυτό αναπτύχθηκε και η θεωρία των παιχνιδιών σε συμμαχική μορφή με ωφελεία που δεν μπορεί να μεταφερθεί (non transferable games με συντομογραφία NTUgames). Οι κεντρικές ιδέες των TU-games περνάνε και στα NTU-games. 4.1 Χαρακτηριστική συνάρτηση TU-games Έστω ένα σύνολο παικτών και το δυναμοσύνολό του. Ορισμός 4.1 Θα ονομάζουμε χαρακτηριστική συνάρτηση (characteristic function) κάθε συνάρτησης : που ικανοποιεί τις συνθήκες (α) (β) Εάν τότε Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνει μια τιμή σε κάθε υποσύνολο παικτών. Τα υποσύνολα αυτά ονομάζονται συμμαχίες (coalitions). Η τιμή που δίνει η χαρακτηριστική συνάρτηση την αντιλαμβανόμαστε σαν την «αξία» μιας συμμαχίας, οπότε η συνθήκη (α) εκφράζει τη σύμβαση ότι η αξία της κενής συμμαχίας είναι μηδέν και η συνθήκη (β) εκφράζει τη θεώρηση ότι όταν δύο ξένες μεταξύ τους ομάδες παικτών ενώσουν τις προσπάθειές τους, τότε μπορούν από κοινού να επιτύχουν τουλάχιστον το άθροισμα όσων θα πετύχαιναν αν η κάθε μια ομάδα έπαιζε χωριστά. Ορισμός 4.2 Εάν το σύνολο παικτών και είναι μια χαρακτηριστική συνάρτηση ορισμένη πάνω στο, η δομή θα ονομάζεται παιχνίδι με συμμαχική μορφή (game in coalitional form) ή παιχνίδι δοσμένο μέσω χαρακτηριστικής συνάρτησης. Το σύνολο όλων των παιχνιδιών σε συμμαχική μορφή που μπορεί να οριστούν για 42