ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ D-ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ, ΚΟΡΕΣΜΕΝΩΝ, s 1 s 2 s 3 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΩΝ, ΟΤΑΝ s 1 =3, s 2 3, s 3 s 2 +1, ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (004), σελ. 5-4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ D-ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ, ΚΟΡΕΣΜΕΝΩΝ, s s s ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΩΝ, ΟΤΑΝ s =, s, s s +, ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Βασίλης Καραγιάννης, Χρόνης Μωυσιάδης Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Είναι γνωστό (Raktoe, Heayat, Fenerer, 98, σελίδα 8) ότι, για κάθε παραγοντικό πείραµα Eκτιµητικής τάξης III, υπάρχει ένας πίνακας σταθερών που µετασχηµατίζει τον πίνακα σχεδιασµού σ έναν 0- πίνακα U. Ο νέος πίνακας U, έχει άµεση σχέση µε τους συνδυασµούς των σταθµών των παραγόντων που αντιστοιχίζουµε στις πειραµατικές µονάδες. Στην εργασία αυτή, επεκτείνοντας τ αποτελέσµατα των Chatterjee και Narashan (00), δίνουµε για ένα s s κορεσµένο D-Βέλτιστο παραγοντικό πείραµα εκτιµητικής τάξης ΙΙΙ, τη µέγιστη τιµή της ορίζουσας του αντίστοιχου πίνακα U, για κάθε τιµή των s, s, χρησιµοποιώντας στοιχεία της Θεωρίας Γραφηµάτων. Επιπλέον, εφαρµόζοντας τα θεωρητικά αποτελέσµατα, κατασκευάζουµε όλους τους D-Βέλτιστους σχεδιασµούς µε, s s+.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά τις δυο τελευταίες δεκαετίες, υπάρχει ένα αµείωτο ενδιαφέρον από πλήθος ερευνητών (Mukerjee 986, 990, 99, Chatterjee 986, 99, 00 κ.α.) για την κατασκευή D-Βέλτιστων κορεσµένων σχεδιασµών εκτιµητικής τάξης III που αντιστοιχούν σε παραγοντικά πειράµατα µε δυο ή τρεις παράγοντες. Απώτερος στόχος αυτής της προσπάθειας είναι η εφαρµογή των αποτελεσµάτων στη µελέτη του γενικού s s... sp παραγοντικού πειράµατος, στο οποίο εµφανίζονται p παράγοντες µε s j j =,,.., p στάθµες ο καθένας αντίστοιχα. Ειδικότερα, έχουν µελετηθεί οι περιπτώσεις στις οποίες, s = (Mukerjee, Chatterjee και Sen, 986) για κάθε τιµή των s, s µεγαλύτερη ή ίση του, s = (Chatterjee και Mukerjee, 99) για κάθε τιµή των 5

2 s, s µεγαλύτερη ή ίση του και s = (Chatzopoylos και Machera, 00) για τις περιπτώσεις s 6, µε s s. Οι Chatterjee και Narashan (00), έδωσαν µια εναλλακτική απόδειξη για την περίπτωση s =, χρησιµοποιώντας στοιχεία της Θεωρίας Συζεύξεων (Matchng Theory). Στην εργασία αυτή, επεκτείνουµε τ αποτελέσµατα των προηγουµένων στην περίπτωση s =, χρησιµοποιώντας στοιχεία της Θεωρίας Γραφηµάτων. Αποδεικνύουµε έτσι, τη µέγιστη δυνατή τιµή της ορίζουσας για τον αντίστοιχο 0- πίνακα U, όταν s = και κατασκευάζουµε όλους τους D-Βέλτιστους σχεδιασµούς µε s = και s s+, s.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Θεωρούµε ένα πείραµα µε τρεις παράγοντες F, F και F, οι οποίοι εµφανίζονται µε s, s και s στάθµες αντίστοιχα. Ακολουθώντας το συµβολισµό των Chatterjee και Narashan (00), το γραµµικό µοντέλο που εκτιµά το γενικό µέσο καθώς και τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων (κάθε αλληλεπίδραση θεωρείται αµελητέα), όταν κάθε δυνατή αγωγή εφαρµοστεί ακριβώς σε µια πειραµατική µονάδα έχει διάνυσµα µέσων τιµών και πίνακα διασπορών-συνδιασπορών που δίνονται από τις σχέσεις: E ( y) = Vθ, Dsp( y) = σ I, όπου, y το διάνυσµα των λεξικογραφικά διατεταγµένων παρατηρήσεων y στις οποίες εφαρµόζεται η αγωγή (,, ) µε j = 0,,..., sj, V ο u v πίνακας σχεδιασµού ( u= ss s και v= s+ s+ s ), σ η άγνωστη διασπορά των σφαλµάτων και θ= ( µ, β T, β T, β T ) T το διάνυσµα των άγνωστων παραµέτρων ( µ είναι ο γενικός µέσος ενώ το διάνυσµα β T j, j =,,, αντιστοιχεί σ ένα πλήρες σύνολο, s j ορθογωνίων αντιθέσεων του παράγοντα F j ). Είναι γνωστό ότι (Chatterjee και Mukerjee, 99), υπάρχει ένας µη ιδιάζων πίνακας µετασχηµατισµού H, τέτοιος ώστε V= UH. Ο πίνακας H είναι n n πίνακας σταθερών, ενώ o πίνακας U= [ X, X, X ] είναι u n υποπίνακας του πίνακα X, όπου: X= [, ε X, X, X ], ε= u, X = Is s s, X = s I s s, X = s s I s, p είναι ένα p διάνυσµα µε στοιχεία µονάδες και I p ο µοναδιαίος p p πίνακας, ενώ συµβολίζει το Kronecker γινόµενο πινάκων. Ο πίνακας προκύπτει από τον X, =, µε διαγραφή της τελευταίας στήλης. Στην εργασία µας θεωρούµε ότι s =. Έστω D το σύνολο των κορεσµένων σχεδιασµών (µε n= s+ s+, παρατηρήσεις) και V ο πίνακας σχεδιασµού. Τότε V = UH. Σύµφωνα µε τους Chatterjee και Narashan (00), ο πίνακας T T U ( A είναι ο ανάστροφος του A ) ικανοποιεί την ιδιότητα P µε =, δηλαδή είναι ένας n n, 0- X 6

3 πίνακας, τέτοιος ώστε, οι γραµµές του διαµερίζονται σε τρία σύνολα S, S και S, µε S = και κάθε στήλη του περιέχει το πολύ µία µονάδα σε κάθε ένα από τα σύνολα S, S και S ( G συµβολίζει είτε τον πληθυκό αριθµό του συνόλου G, είτε την ( ) απόλυτη τιµή του αριθµού G ). Θεωρούµε το σύνολο M, των µη ιδιαζόντων πινάκων που ικανοποιούν την προηγούµενη ιδιότητα. Για το πλήθος των γραµµών των συνόλων S και S θεωρούµε ότι S = και S = = + k µε k N. Επιπλέον, χωρίς να περιορίζουµε τη γενικότητα υποθέτουµε ότι. Έστω A = { a } j ένας πίνακας από το σύνολο ( M ). Στον A αντιστοιχίζουµε ένα διµερές γράφηµα r c G= ( V V, E), έτσι ώστε, κάθε γραµµή του ν αντιστοιχεί σ ένα στοιχείο του r c συνόλου V, κάθε στήλη του σ ένα στοιχείο του συνόλου V, ενώ η ακµή {, j} E υπάρχει αν και µόνο αν, a j =. Ο πίνακας A θα ονοµάζεται µη συµµετρικός πίνακας συνδέσεων του G (θα γράφουµε για συντοµία ΜΣΠΣ). Στο G ορίζουµε την επόµενη συνάρτηση χρωµατισµού c r, αν u S,στο γραφηµα συµβολιζουµε w, αν u S,στο γραφηµα συµβολιζουµε cu ( ) = b, αν u S,στο γραφηµα συµβολιζουµε c g, αν u V,στο γραφηµα συµβολιζουµε r c όπου u V V. Θα συµβολίζουµε τις κορυφές του γραφήµατος και τις αντίστοιχες γραµµές του πίνακα µε r, wj, b k, ενώ τις κορυφές και τις αντίστοιχες στήλες µε g (ορισµοί βασικών εννοιών της Θεωρίας Γραφηµάτων µπορούν να βρεθούν σε συγγράµµατα όπως των Bony και Murty, 976). Τέλεια σύζευξη F στο G θα ονοµάζουµε ένα σύνολο ακµών του, τέτοιο ώστε, κάθε κορυφή του G να είναι άκρο σε ακριβώς µια ακµή του F. Σε κάθε τέλεια σύζευξη F, αντιστοιχεί µονοσήµαντα µια µετάθεση pf των στοιχείων του συνόλου {,,..., n }, για την οποία ισχύουν, {, pf ( ) } F και a ( ) = (µε σηµειώνουµε πάντα κορυφή που αντιστοιχεί σε pf γραµµή του A και µε pf () κορυφή που αντιστοιχεί σε στήλη του). Τότε, κάθε άρτια µεταθέση p F µε a ( ) =, αντιστοιχεί σε µια µοναδική άρτια τέλεια σύζευξη, ενώ κάθε pf περιττή µεταθέση p F µε a p ( ) F =, σε µια µοναδική περιττή τέλεια σύζευξη. Ακολούθως, η τιµή της ορίζουσας του 0- πίνακα A (ορισµός Craer, et( A ) sgn( p ) = F p F () p F = n a ), ισούται µε τη διαφορά του πλήθους των περιττών από το πλήθος των άρτιων τέλειων συζεύξεων. Έτσι η εύρεση ενός πίνακα µε τη µέγιστη τιµή της ορίζουσας, ανάγεται στην κατασκευή ενός γραφήµατος στο οποίο η διαφορά του πλήθους των άρτιων από το πλήθος των περιττών τέλειων συζεύξεων γίνεται µέγιστη. Χρήσιµη για την κατασκευή αυτή είναι η έννοια της συµµετρικής διαφοράς F F των τέλειων συζεύξεων F, F (είναι ίση µ ένα σύνολο κύκλων 7

4 g g g7 g8 r` r r w w g 7 b w g g b g A7 = b b r Εικόνα Ένα γραφηµα µε ΜΣΠΣ τον πίνακα A 7. Στον πίνακα είναι σηµειωµένες οι µονάδες που αντιστοιχούν στις ακµές του P -µονοπατιού, [ r, g, b, g7, r ], (οι τελείες συµβολίζουν τα 0) rbr άρτιου µήκους). Οι Chatterjee και Narashan (00), απέδειξαν ότι, αν η συµµετρική διαφορά δυο τέλειων συζεύξεων είναι ακριβώς ένας κύκλος µήκους 0o4, τότε, η µια είναι περιττή και η άλλη άρτια (οι αντίστοιχοι όροι στην ορίζουσα είναι - και +, έτσι δεν συνεισφέρουν), ενώ αν η συµµετρική τους διαφορά είναι ακριβώς ένας κύκλος µήκους o4, τότε είναι, είτε και οι δυο περιττές είτε και οι δυο άρτιες. Η προηγούµενη πρόταση (θα την αναφέρουµε ως CN-Λήµµα) έπαιξε καθοριστικό ρόλο στη µελέτη µας. Προς διευκρύνιση των προηγουµένων εννοιών, ολοκληρώνουµε την παράγραφο µ ένα παράδειγµα. Παρουσιάζουµε ένα γράφηµα και τον αντίστοιχο ΜΣΠΣ, A 7 (Εικόνα ), για τον οποίο, S =, S = = 7 και S = = 8. Εύκολα µπορεί κάποιος να επαληθεύσει ότι et ( A 7 ) = 7. Η τιµή αυτή είναι η µέγιστη στο σύνολο ( ) M 7. Στο γράφηµα, σηµειώνονται µε έντονες ακµές τα µονοπάτια [ r, g, b, g 7, r ] και [ r, g, b, g8, r ]. Μονοπάτια όπως τα προηγούµενα, στα οποία η διαδοχή των κορυφών ακολουθεί τη συγκεκριµένη διάταξη των χρωµάτων και η εσωτερική b -κορυφή έχει βαθµό θα ονοµάζονται Prbr -µονοπάτια. Θα παρατηρήσουµε ότι, ανά δυο ενώνονται σ έναν κύκλο C 8 (ο δείκτης είναι το µήκος του). Ο κύκλος [ r, g, b, g7, r, g8, b, g, r ] στην Εικόνα, δηµιουργείται από τα δυο που έχουµε αναφέραµε. Η εύρεση του πλήθους αυτών των µονοπατιών παίζει καθοριστικό ρόλο στην τιµή της ορίζουσας του αντίστοιχου ΜΣΠΣ. Εφαρµόζοντας το CN-Λήµµα, στις τέλειες συζεύξεις που περιέχουν τις µη διαδοχικές ακµές αυτών των µονοπατιών, µπορούµε να δείξουµε ότι η µια είναι άρτια και η άλλη περιττή, εποµένως, δεν συνεισφέρουν στην τιµή της ορίζουσας. Αυτή η παρατήρηση αποτέλεσε τη βάση της µελέτης µας.. ΚΥΡΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στη συνέχεια, θα αναφέρουµε χωρίς απόδείξη τις βασικές Προτάσεις (Karaganns και Moyssas 004), οι οποίες µας οδηγούν στην κατασκευή των γραφηµάτων, µε ΜΣΠΣ τον 0- πίνακα U που αντιστοιχεί σ έναν βέλτιστο T 8

5 σχεδιασµό D. Τον προηγούµενο ΜΣΠΣ, συµβολίζουµε µε A ή A. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούµενη ενότητα ο A ικανοποιεί την ιδιότητα P για =, έτσι το αντίστοιχο γράφηµα περιέχει r -κορυφές τις r και r. Τους βαθµούς των κορυφών αυτών θα συµβολίζουµε µε eg( r ) και eg( r ) αντίστοιχα. Λήµµα.. Έστω A ένας µη ιδιάζων πίνακας του συνόλου M και G το γράφηµα που αντιστοιχεί σ αυτόν. Αν C4 = [ r, gu, bs, gt, r] είναι ένας κύκλος µήκους 4 στο G, τότε ισχύει: et( A ) = et( A ), ( ) όπου A M. Λήµµα.. Η ορίζουσα των πινάκων A είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του N. ( ) που ικανοποιούν την ιδιότητα P για =, Λήµµα.. Έστω A ένας µη ιδιάζων πίνακας του συνόλου M και G το γράφηµα που αντιστοιχεί σ αυτόν. Έστω ακόµη ότι eg( r) = n, eg( r) = n, ενώ n b είναι το πλήθος των Prbr -µονοπατιών. Τότε ισχύει: et( A ) nn n. b Στα επόµενα ο πίνακας A, συµβολίζει αυτόν που πετυχαίνει τη µέγιστη τιµή της ( ) ορίζουσας στο σύνολο M, ενώ επιπλέον ισχύει S =. Θεώρηµα.. Έστω A ( ), M ( ) ( ), λ λ+ ( ), λ λ (, ) ( λ + ), τότε: et A, αν = λ, ή et A + 4 +, αν = λ, ή et A, αν = λ +, µε λ. Στο επόµενο Θεώρηµα αποδεικνύεται ότι, η κατασκευή των πινάκων που πετυχαίνουν τα πρηγούµενα όρια είναι εφικτή. Θεώρηµα.. Έστω kv,, N. Τότε υπάρχει ένα γράφηµα G µε r -κορυφές, ( k+ + v+ ) w -κορυφές, ( k+ + v+ ) b -κορυφές και (k+ + v+ 5) g -κορυφές, τέτοιο ώστε, eg( r ) = v+ k+, eg( r ) = v+ + και nb = v+, όπου nb το πλήθος των -µονοπατιών. Αν A είναι ο ΜΣΠΣ του G, τότε: Prbr et( ) ( )( ) ( ) A = v+ k+ v+ + v+. ( ) 9

6 Επιπλέον, για κάθε λ, αν v = λ, = λ και k = λ, ο ΜΣΠΣ A λ,λ, πετυχαίνει τη µέγιστη τιµή για την ορίζουσα στο σύνολο M ( ) λ, αν v = λ και = k = λ, ο ΜΣΠΣ A λ,λ+ πετυχαίνει τη µέγιστη τιµή στο M ( ) λ, ενώ αν ( ) v= = k = λ, ο ΜΣΠΣ A πετυχαίνει τη µέγιστη τιµή στο M λ+. λ+,λ+ Έστω D, s, s+ p, το σύνολο των κορεσµένων σχεδιασµών εκτιµητικής τάξης III, για ένα πείραµα µε τρεις παράγοντες, που εµφανίζονται σε, s και s = s+ p µε p, στάθµες αντίστοιχα. Ένας D- βέλτιστος σχεδιασµός D, s, s+ p, δίνεται µε το επόµενο Θεώρηµα. Θεώρηµα.. Έστω D, s, s+ p ένας κορεσµένος D- Βέλτιστος σχεδιασµός εκτιµητικής τάξης III στο σύνολο D, s, s + p. Οι συνδιασµοί των σταθµών των παραγόντων που δίνουν τον για λ, είναι: (0,, ) (0 λ ), (0,λ, λ), (, λ, 0), (, +, ) (0 λ ), (, λ, λ+ ), (, +, ) (λ λ ), (, +, ) ( λ λ ), (,λ, ) (λ+ λ+ p ), αν s = λ, µε et ( U ) = λ( λ + ), (0,, ) (0 λ ), (0, λ, λ ), (, λ, 0), (, +, ) (0 λ ), (, λ, λ+ ), (, +, ) (λ λ ), (, +, ) ( λ λ), (, λ, ) (λ+ λ+ p), αν s = λ +, µε et ( U ) = λ + 4λ +, (0,, ) (0 λ), (0,λ+,λ+ ), (, λ +, 0), (, +, ) (0 λ ), (, λ, λ+ ), (, +, ) (λ+ λ), (, +, ) ( λ λ+ ), (,λ +, ) (λ+ λ+ p+ ), αν s λ = +, µε et ( ) ( ) U = λ +. Παράδειγµα.. Θα κατασκευάσουµε το γράφηµα που έχει ως ΜΣΠΣ έναν πίνακα ( ) που πετυχαίνει τη µέγιστη τιµή της ορίζουσας στο συνόλο M 8 και στη συνέχεια θα δώσουµε τις αγωγές του κορεσµένου D-Βέλτιστου σχεδιασµού εκτιµητικής τάξης III για ένα 9 παραγοντικό πείραµα. Για να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα., θα παρατηρήσουµε ότι, 8=, άρα λ =. Έτσι για τις τιµές των v, k,, eg( r ), eg( r ) και nb του Θεωρήµατος, ισχύουν, v = =, k =, = =, eg( r ) = + + = 7, eg( r ) = + + = 6 και n b = + =. Κατασκευάζουµε το γράφηµα ακολουθώντας τα επόµενα βήµατα: r r Εικόνα. 40

7 Βήµα. Στην περίπτωση αυτή αλλά και σε κάθε άλλη ξεκινάµε κατασκευάζοντας το γράφηµα G 0 της Εικόνας (σελίδα 6). Βήµα. Προσθέτουµε v =, -µονοπάτια επιπλέον και τις αντίστοιχες w -κορυφές, όπως δείχνει η Εικόνα. Prbr r Εικόνα r Βήµα. Προσθέτουµε k = µονοπάτια που ξεκινούν από την r και περιέχουν τις κορυφές των χρωµάτων που δείχνει η Εικόνα 4. Ένα από τα µονοπάτια είναι σχεδιασµένο µε έντονες ακµές. r Εικόνα 4 r Βήµα 4. Προσθέτουµε =, µονοπάτια που ξεκινούν από την r και περιέχουν τις κορυφές των χρωµάτων που δείχνει η Εικόνα 5, όπου ένα από αυτά είναι σχεδιασµένο µε έντονες ακµές. r Εικόνα 5. r Εύκολα µπορεί να επαληθευτεί ότι, ο ΜΣΠΣ του γραφήµατος της Εικόνας 5, δίνει απόλυτη τιµή της ορίζουσας ίση µε, et ( A 8) = ( + ) =, πετυχαίνοντας την αντίστοιχη του Θεωρήµατος.. Επιπλέον εφαρµόζοντας το θεώρηµα. για τον 9 D-βέλτιστο κορεσµένο σχεδιασµό ( s =, λ = ), οι αγωγές θα είναι: ( 0,, ) ( 0 5), ( 0,8,6 ), (,8, 0 ), (, +, ) ( 0 ), (,, 7 ), (, +, ) ( 6 7), (, +, ) ( 8) και (,8, ) ( 0 ). Σε περίπτωση που βρεθεί ( x y) µε x> y τότε δεν συµπεριλαµβάνουµε τις αντίστοιχες αγωγές στο σχεδιασµό. 4

8 ABSTRACT It s known (Raktoe, Heayat, Fenerer, 98) that, we ay transfor the esgn atrx of any factoral esgn of Resoluton III, to a 0- atrx U. That atrx s assocate wth the treatent cobnatons of the corresponng esgn. In ths paper, extenng the results of Chatterjee an Narashan 00, we obtan the upper boun of the value of the eternant of the atrx U, whch s assocate wth a s s saturate, D-optal factoral esgn of Resoluton III, by the use of Graph theory. Usng the theoretcal results, we also gve the esgns for s s +. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Aerson DA, Feerer WT (974) Representaton an constructon of an effect plans n ters of (0,)-atrces. Paper No. Bu-499-M n Meo Seres, Boetrcs Unt, Cornel Unversty, Ithaca, New York Brks D, Doge Y (99) Optal a b connecte esgns wth a+b observatons. J. Statst. Plann. Inference 8: Bony JA, Murty USR (976) Graph theory wth applcatons. Aercan Elsever, New York Chatterjee K, Narashan G (00) Graph-theoretc technques n D-optal esgn probles. J. Statst. Plann. Inference 0: Chatterjee K, Mukerjee R (99) D-optal saturate an effect plans for s s factorals. J. Cobn. Infor. Syste Sc. 8: 6- Chatzopoulos SA, Kolyva-Machera F (00) Soe D-optal saturate esgns for factorals (υποβλήθηκε για δηµοσίευση) Dey A, Mukerjee R (999) Fractonal Factoral Plans. John Wley, New York Lovasz L, Pluer M (986) Matchng Theory. Annals of Dscrete Matheatcs Vol. 9, North Hollan, Astera Mukerjee R, Chatterjee K, Sen M (986) D-optalty of a class of saturate aneffect plans an alle results. Statstcs 7: Mukergee R, Snha BK (990) Alost saturate D-optal an effect plans an alle results. Metrka 7: 0-07 Pesotan H, Raktoe B (988) On nvarance an ranozaton n factoral esgns wth applcatons to D-optal an effect esgns of the syetrcal factoral. J. Statst. Plann. Inference 9: 8-98 Raktoe BL, Feerer WT (970) Characterzaton of optal saturate an effect plans of the n factoral. Ann. Math. Statst. 4: 0-06 Raktoe BL, Heayat A, Feerer WT (98) Factoral Desgns John Wley, New York Karaganns V, Moyssas C (004) Constructon of D-optal s s s factoral esgns usng Graph theory (υποβλήθηκε για δηµοσίευση) 4