Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης
|
|
- Ἠλίας Βονόρτας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 5 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Στο κεφάλαιο περιέχεται μία συνοπτική επισκόπηση των γραμμικών Δ.Ε. ανώτερης τάξης, όπου επεκτείνονται με φυσικό και αναμενόμενο τρόπο οι μεθοδολογίες επίλυσης των γραμμικών Δ.Ε. δεύτερης τάξης που παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 4. Ομως, οι υπολογιστικές μέθοδοι επίλυσης είναι, όπως αναμένεται, αρκετά πιο περίπλοκες για Δ.Ε. ανώτερης τάξης. 5.1 Γενική θεωρία Θεωρούμε τη γραμμική Δ.Ε. τάξης n y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 1 (x)y +a 0 (x)y = f(x), (5.1.1) όπου a 0,a 1,...,a n 1,f : I R Rσυνεχείςσυναρτήσειςστοδιάστημα I,καθώςεπίσης και την αντίστοιχη ομογενή Δ.Ε. y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 1 (x)y +a 0 (x)y = 0. (5.1.2) Αρχικά, διατυπώνουμε την αρχή της υπέρθεσης για γραμμικές Δ.Ε. τάξης n, η οποία αποδεικνύεται όπως και η αντίστοιχη για Δ.Ε. δεύτερης τάξης(βλ. Λήμμα 4.1.1). Λήμμα5.1.1 Αν y 1,y 2,...,y n είναιλύσειςτηςομογενούςδ.ε.(5.1.2)στοδιάστημα I, τότε η συνάρτηση y = c 1 y 1 +c 2 y c n y n, όπου c 1,c 2,...,c n είναιαυθαίρετεςσταθερές,είναιεπίσηςλύσητης(5.1.2)στο I. 131
2 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ Το θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης για Π.Α.Τ. γραμμικών Δ.Ε. τάξης n διατυπώνεται ως εξής. Θεώρημα5.1.1 Γιακάθε x 0 I και y 0,y 1,...,y n 1 Rυπάρχειακριβώςμίαλύση y : I RτουΠ.Α.Τ. y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 1 (x)y +a 0 (x)y = f(x), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1. (5.1.3) Επίσης, υπενθυμίζουμε τις έννοιες της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας για n συναρτήσεις. Ορισμός5.1.1Οισυναρτήσεις y 1,y 2,...,y n : I R Rονομάζονταιγραμμικάεξαρτημένεςστοδιάστημα I ότανυπάρχουνσταθερές c 1,c 2,...,c n,όχιόλεςμηδέν,έτσι ώστε c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x) = 0, x I. (5.1.4) Οι συναρτήσεις ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες στο I όταν δεν είναι γραμμικά εξαρτημένες,δηλαδήότανγια nσταθερές c 1,c 2,...,c n ισχύει c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x) = 0, x I c 1 = c 2 = = c n = 0. (5.1.5) Στη συνέχεια, επεκτείνουμε τον ορισμό της έννοιας της ορίζουσας Wronksi. Ορισμός5.1.2 Εστωοι n 1φορέςπαραγωγίσιμεςσυναρτήσεις y 1,y 2,...,y n : I R R. Ησυνάρτηση W W(y 1,y 2,...,y n ) : I R,ηοποίαορίζεταιαπότην n n ορίζουσα y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1 (x) y 2 (x)... y n(x) W(x) :=..... (5.1.6). y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) ονομάζεταιορίζουσα Wronksiτων y 1,y 2,...,y n.
3 5.1. ΓΕΝΙΚ ΗΘΕΩΡ ΙΑ 133 Στο ακόλουθο θεώρημα, το οποίο επεκτείνει το Θεώρημα 4.1.5, συσχετίζονται η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων της ομογενούς Δ.Ε.(5.1.2), η ορίζουσα Wronksi των λύσεων αυτώνκαιηγενικήλύσητης(5.1.2). Θεώρημα5.1.2 Εστωότι y 1,y 2,...,y n είναι nλύσειςτηςομογενούςδ.ε.(5.1.2)στο διάστημα I. Τότε, οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι. 1. Κάθελύση yτηςδ.ε.(5.1.2)είναιγραμμικόςσυνδυασμόςτωνλύσεων y 1,y 2,...,y n στο I,δηλαδήυπάρχουν(μοναδικές)σταθερές c 1,c 2,...,c n,έτσιώστεναισχύει y(x) = c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x), x I. 2.Οι y 1,y 2,...,y n είναιγραμμικάανεξάρτητεςστο I. 3. Υπάρχει x 0 Iέτσιώστεητιμήτηςορίζουσας Wronski W των y 1,y 2,...,y n στο x 0 ναείναιδιάφορηαπότομηδέν,δηλαδή W(x 0 ) 0. 4.Γιατηνορίζουσα Wronski Wτων y 1,y 2,...,y n ισχύει W(x) 0, x I. Σύμφωνα με το Θεώρημα 5.1.2, για τον προσδιορισμό όλων των λύσεων της ομογενούς Δ.Ε.(5.1.2)τάξηςn,χρειαζόμαστεnγραμμικάανεξάρτητεςλύσειςy 1,y 2,...,y n της(5.1.2), οπότε η γενική λύση της(5.1.2) είναι η οικογένεια των συναρτήσεων y = c 1 y 1 +c 2 y c n y n : I R, όπου c 1,c 2,...,c n είναι αυθαίρετες σταθερές. Στην προκειμένη περίπτωση, το σύνολο {y 1,y 2,...,y n }αναφέρεταιωςθεμελιώδεςσύνολολύσεωντης(5.1.2). Ενδεικτικά, επεξεργαζόμαστε συνοπτικά τα ακόλουθα δύο παραδείγματα. Παράδειγμα Βρείτε τη γενική λύση της Δ.Ε. y y 2y = 0, ηοποίαέχειωςτρειςλύσειςτιςσυναρτήσεις y 1 (x) = 1, y 2 (x) = e x και y 3 (x) = e 2x. Λύση.Ηορίζουσα Wronskiτων y 1, y 2 και y 3 είναι 1 e x e 2x W(x) = 0 e x 2e 2x 0 e x 4e 2x
4 134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ και ισχύει W(0) = = 6 0. Ετσι,σύμφωναμετοΘεώρημα5.1.2,οι y 1, y 2 και y 3 είναιγραμμικάανεξάρτητεςκαιη γενική λύση της Δ.Ε. είναι y(x) = c 1 +c 2 e x +c 3 e 2x, x R. Παράδειγμα Λύστε το Π.Α.Τ. y (4) y = 0, y(0) = 4, y (0) = 4, y (0) = 2, y (0) = 2, ανγνωρίζετεότιηδ.ε.έχειωςλύσειςτιςσυναρτήσεις y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e x, y 3 (x) = sinxκαι y 4 (x) = cosx. Λύση. Επαληθεύεται εύκολαότιοιλύσεις y 1,y 2,y 3 και y 4 τηςομογενούςδ.ε.είναι γραμμικά ανεξάρτητες και άρα η γενική λύση της είναι y(x) = c 1 e x +c 2 e x +c 3 sinx+c 4 cosx. Οι τιμές των σταθερών που χρειαζόμαστε αποτελούν λύση του συστήματος y(0) = c 1 +c 2 +c 4 = 4 y (0) = c 1 c 2 +c 3 = 4 y (0) = c 1 +c 2 c 4 = 2 y (0) = c 1 c 2 c 3 = 2, πουπροκύπτειαπότιςαρχικέςσυνθήκες.ηλύσηαυτούείναι c 1 = 1, c 2 = 2, c 3 = 3και c 4 = 1καιεπομένωςηλύσητουΠ.Α.Τ.είναι y(x) = e x +2e x 3sinx+cosx, x R. Στο ακόλουθο θεώρημα προσδιορίζεται, κατ³ επέκταση του Θεωρήματος 4.1.6, η γενική λύσητηςμηομογενούςδ.ε.(5.1.1)μετηβοήθειαμίαςμερικήςλύσηςαυτήςκαιτηςγενικής λύσης της ομογενούς Δ.Ε.(5.1.2).
5 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕ ΙΣΔ.Ε.ΜΕΣΤΑΘΕΡΟ ΥΣΣΥΝΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 135 Θεώρημα5.1.3 Αν y 1,y 2,...,y n είναι nγραμμικάανεξάρτητεςλύσειςτηςομογενούς Δ.Ε.(5.1.2)στο Iκαι y µ είναιμίαμερικήλύσητηςμηομογενούςδ.ε.(5.1.1)στο I,τότε γιακάθελύση yτης(5.1.1)υπάρχουνσταθερές c 1,c 2,...,c n έτσιώστεναισχύει y(x) = c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x)+y µ (x), x I. (5.1.7) Παράδειγμα Βρείτε τη γενική λύση της Δ.Ε. y y 2y = 2. Λύση. Στο Παράδειγμα έχουμε προσδιορίσει τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. y o (x) = c 1 +c 2 e x +c 3 e 2x Εξάλλου,όπωςεπαληθεύεταιεύκολα,ησυνάρτηση y µ (x) = xείναιμερικήλύσητης δοθείσας μη ομογενούς Δ.Ε. Ετσι, σύμφωνα με την(5.1.7), η ζητούμενη γενική λύση είναι y(x) = y o (x)+y µ (x) = c 1 +c 2 e x +c 3 e 2x x. 5.2 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μια Δ.Ε. της μορφής y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 1 y +a 0 y = 0, (5.2.1) όπου a 0,a 1,...,a n 1 R,λέγεταιομογενήςγραμμικήΔ.Ε.τάξης nμεσταθερούςσυντελεστές. Η μεθοδολογία επίλυσης της(5.2.1) είναι αντίστοιχη με εκείνη της γραμμικής Δ.Ε. δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές(4.2.1), η οποία αναλύεται στην Παράγραφο 4.2. Ομως, οι υπολογισμοί επίλυσης για την Δ.Ε. τάξης n είναι αρκετά περίπλοκοι. Αναζητούμελύσειςτηςμορφής y(x) = e λx,καιαντικαθιστώνταςστην(5.2.1),λαμβάνουμε e λx [λ n +a n 1 λ n a 1 λ+α 0 ] = 0,
6 136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ οπότε πρέπει το λ να είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης λ n +a n 1 λ n a 1 λ+α 0 = 0, (5.2.2) της ομογενούς γραμμικής Δ.Ε.(5.2.1). Οι ρίζες της(5.2.2) καλούνται χαρακτηριστικές ρίζες, ενώ το πολυώνυμο n-οστού βαθμού p(λ) = λ n +a n 1 λ n a 1 λ+α 0 (5.2.3) καλείται το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της(5.2.1). Η γενική λύση της(5.2.1) προσδιορίζεται με τη βοήθεια των χαρακτηριστικών ριζών. Γνωρίζουμε από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας ότι το n-οστού βαθμού πολυώνυμο p(λ)έχει nρίζεςστο C. Ετσι,θαπρέπειναεξαντλήσουμεόλεςτιςπεριπτώσειςγιατις ρίζες, κάτι που είναι ουσιωδώς διαφορετικό από τη διαδικασία που ακολουθήσαμε για την επίλυση της Δ.Ε. δεύτερης τάξης(4.2.1), όπου ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών ριζών έγινε επιλύοντας μία πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Επίσης, σημειώνουμε ότι η εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του τρία γενικά είναι μία πολύπλοκη διαδικασία. Για αυτό το λόγο αποτελεί συνήθη πρακτική αρκετές φορές να γίνεται χρήση μαθηματικών πακέτων, όπως είναι π.χ. τα Mathematica, Matlab και Maple, για την εύρεση των χαρακτηριστικών ριζών της(5.2.2). Οπως στις Δ.Ε. δεύτερης τάξης, έτσι και εδώ διακρίνουμε πάλι για τις χαρακτηριστικές ρίζες τρεις περιπτώσεις: πραγματικές διακεκριμένες, επαναλαμβανόμενες και μιγαδικές(οι οποίες επίσης μπορεί να είναι επαναλαμβανόμενες). Ομως, υπάρχουν Δ.Ε. τάξης n οι οποίες περιλαμβάνουν και τις τρεις κατηγορίες χαρακτηριστικών ριζών, ενώ κάθε Δ.Ε. δεύτερης τάξης περιλαμβάνει μόνο μία από τρεις κατηγορίες. ΣύμφωναμετοΘεώρημα5.1.2,γιατηνεύρεσητηςγενικήςλύσηςτης(5.2.1),πρέπεινα προσδιορίσουμεέναθεμελιώδεςσύνολολύσεων {y 1,y 2,...,y n }της(5.2.1). Διακρίνουμε τώρα τις ακόλουθες τρεις κατηγορίες ως προς το είδος των χαρακτηριστικών ριζών της (5.2.2). I. Πραγματικές και διακεκριμένες χαρακτηριστικές ρίζες Εστω ότι η χαρακτηριστική εξίσωση(5.2.2) έχει k n απλές διακεκριμένες πραγματικές ρίζες λ 1,λ 2,...,λ k (δηλαδή λ 1 λ 2... λ k ).Τότε,οι kσυναρτήσεις y 1 (x) = e λ 1x,y 2 (x) = e λ 2x,...,y k (x) = e λ kx είναι στοιχεία ενός θεμελιώδους συνόλου λύσεων της(5.2.1). II. Πολλαπλές πραγματικές χαρακτηριστικές ρίζες Εστωότιη(5.2.2)έχειπραγματικήρίζα λ 0 μεαλγεβρικήπολλαπλότητα µ(δηλαδήο (λ λ 0 ) µ είναιπαράγονταςτουχαρακτηριστικούπολυωνύμου(5.2.3),ενώο(λ λ 0 ) µ+1 δεν είναι). Τότε, οι µ συναρτήσεις y 1 (x) = e λ 0x,y 2 (x) = xe λ 0x,...,y µ (x) = x µ 1 e λ 0x
7 5.2. ΟΜΟΓΕΝΕ ΙΣΔ.Ε.ΜΕΣΤΑΘΕΡΟ ΥΣΣΥΝΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 137 είναι στοιχεία ενός θεμελιώδους συνόλου λύσεων της(5.2.1). Αν µ = 1, οπότε η ρίζα λ 0 είναιαπλή,τότεαναγόμαστεστηνπερίπτωση Iκαιπροκύπτειότιμόνοησυνάρτηση y(x) = e λ 0x είναιστοιχείοενόςθεμελιώδουςσυνόλουλύσεων. III. Πολλαπλές συζυγείς μιγαδικές χαρακτηριστικές ρίζες Εστωότιη(5.2.2)έχεισυζυγείςμιγαδικέςρίζες λ 0 = α +iβκαι λ 0 = α iβμεαλγεβρική πολλαπλότητα µ η καθεμία. Τότε, από την περίπτωση II, ευρίσκουμε τις ακόλουθες 2µ μιγαδικές συναρτήσεις u 1 (x) = e λ 0x,u 2 (x) = xe λ 0x,...,u µ (x) = x µ 1 e λ 0x, u µ+1 (x) = e λ 0x,u µ+2 (x) = xe λ 0x,...,u 2µ (x) = x µ 1 e λ 0x, για τις οποίες επιπλέον ισχύει ότι u µ+1 (x) = u 1 (x),u µ+2 (x) = u 2 (x),...,u 2µ (x) = u µ (x). Για να βρούμε τις πραγματικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι στοιχεία ενός θεμελιώδους συνόλου λύσεων της(5.2.1), χρησιμοποιούμε, όπως και στην Παράγραφο 4.2, τον τύπο του Euler και λαμβάνουμε τελικά το ακόλουθο σύνολο των 2µ πραγματικών συναρτήσεων y 1 (x) = e αx cos(βx),y 2 (x) = xe αx cos(βx),...,y µ (x) = x µ 1 e αx cos(βx), y µ+1 (x) = e αx sin(βx),y µ+2 (x) = xe αx sin(βx),...,y 2µ (x) = x µ 1 e αx sin(βx). Και στις τρεις περιπτώσεις I, II και III η ορίζουσα Wronski των αντίστοιχων συναρτήσεων είναι διάφορη του μηδενός, και επομένως οι συναρτήσεις αυτές είναι πράγματι γραμμικά ανεξάρτητες. Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y 3y 2y = 0. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι λ 3 3λ 2 = 0 ή (λ+1) 2 (λ 2) = 0, πουέχειτηναπλή(µ = 1)ρίζα λ 1 = 2καιτηδιπλή(µ = 2)ρίζα λ 2 = 1. Επομένως, η γενική λύση της Δ.Ε. είναι y(x) = c 1 e x +c 2 xe x +c 3 e 2x.
8 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ Παράδειγμα Λύστε το Π.Α.Τ. y 3y y +3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της Δ.Ε. λ 3 3λ 2 λ+3 = 0 έχει τις διακεκριμένες πραγματικές ρίζες λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 3 καιέτσιηγενικήλύσητηςδ.ε.είναι y = c 1 e x +c 2 e x +c 3 e 3x. Εξάλλου, οι αρχικές συνθήκες οδηγούν στο ακόλουθο σύστημα c 1 +c 2 +c 3 = 1 c 1 +c 2 +3c 3 = 2 c 1 +c 2 +9c 3 = 3, τοοποίοέχειτηλύση c 1 = 1 4, c 2 = 1, c 3 = 1 4. Ετσι,ηλύσητουΠ.Α.Τείναι y = e x 4 +ex + e3x 4. Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y (4) 3y +3y y = 0. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση λ 4 3λ 3 +3λ 2 λ = λ(λ 1) 3 = 0 έχειτηναπλή(µ = 1)ρίζα λ 1 = 0καιτηντριπλή(µ = 3)ρίζα λ 2 = 1. Επομένως, η γενική λύση της Δ.Ε. είναι y(x) = c 1 +c 2 e x +c 3 xe x +c 4 x 2 e x = c 1 +(c 2 +c 3 x+c 4 x 2 )e x.
9 5.3. ΜΗΟΜΟΓΕΝΕ ΙΣΔ.Ε.ΜΕΣΤΑΘΕΡΟ ΥΣΣΥΝΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 139 Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y (4) 4y +8y 8y +4y = 0. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση λ 4 4λ 3 +8λ 2 8λ+4 = (λ 2 2λ+2) 2 = [(λ 1) 2 +1] 2 = 0 έχειτιςδιπλές(µ = 2)ρίζες λ 1 = 1+iκαι λ 2 = 1 i,καιεπομένωςηγενικήλύσητης Δ.Ε. είναι y(x) = c 1 e x cosx+c 2 xe x cosx+c 3 e x sinx+c 4 xe x sinx = (c 1 +c 2 x)e x cosx+(c 3 +c 4 x)e x sinx. 5.3 Μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές Η γενική μορφή της μη ομογενούς γραμμικής Δ.Ε. τάξης n με σταθερούς συντελεστές δίνεται από την y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 1 y +a 0 y = f(x), (5.3.1) όπου f : I R Rσυνεχήςσυνάρτησηστοδιάστημα I,ενώτηςαντίστοιχηςομογενούς Δ.Ε.απότην y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 1 y +a 0 y = 0. (5.3.2) ΑπότοΘεώρημα5.1.3,ηγενικήλύση yτηςμηομογενούςδ.ε.(5.3.1)είναιτοάθροισμα τηςγενικήςλύσης y o τηςαντίστοιχηςομογενούς(5.3.2)καιμιαςοποιασδήποτεμερικής λύσης y µ της(5.3.1). Γνωρίζουμεήδη,σύμφωναμετααναφερόμεναστηνΠαρ.5.2,να προσδιορίζουμετηγενικήλύση y o. Πρέπειεπομένωςναβρούμεμίαμερικήλύση y µ της (5.3.1). Για γραμμικές Δ.Ε δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, έχουμε δει ήδη στις Παραγράφους 4.3 και 4.7 τις μεθόδους των προσδιοριστέων συντελεστών και της μεταβολής παραμέτρωνπουοδηγούνστηνεύρεσητηςμερικήςλύσης y µ. Στηνπαρούσαπαράγραφο, θα περιγράψουμε συνοπτικά την εφαρμογή της μεθόδου των προσδιοριστεών συντελεστών για Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές τάξης n, καθώς η μέθοδος επεκτείνεται με φυσικό και αναμεμενόμενο τρόπο από Δ.Ε. δεύτερης τάξης σε Δ.Ε. τάξης n. Συνοπτική περιγραφή της εφαρμογής της μεθόδου μεταβολής των παραμέτρων θα ακολουθήσει στην επόμενη παράγραφο.
10 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ Θεωρούμε ότι η συνάρτηση δευτέρου μέλους f είναι ειδικής μορφής, δηλαδή μπορεί να είναι μία πολυωνυμική, μία εκθετική ή μία τριγωνομετρική συνάρτηση ή και γινόμενο αυτών. Στη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών αναζητούμε μία μερική λύση που περιέχει συντελεστές προς προσδιορισμό, οι οποίοι υπολογίζονται με αντικατάσταση στην(5.3.1). ΗμέθοδοςεφαρμόζεταιγιαΔ.Ε.τάξης nμετονίδιοτρόποπουεφαρμόζεταικαισεδ.ε. δεύτερης τάξης(βλ., ανάλογα με τη συνάρτηση f, τις περιπτώσεις I-VI της Παραγράφου 4.3). Το μόνο ίσως σημείο που θέλει κάποια προσοχή είναι ότι αν κάποιος όρος στην αναζητούμενη έκφρασητηςμερικήςλύσηςυπάρχειήδηστηλύση y o τηςομογενούςδ.ε.,τότεοόροςαυτός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με κάποια δύναμη του x, η οποία μπορεί να είναι μεγαλύτερη του δύο,διότιτώραηδ.ε.είναιτάξης n. Το ακόλουθο θεώρημα διατυπώνει τα συμπεράσματα για την έκφραση της μερικής λύσης y µ μηομογενούςγραμμικήςδ.ε.τάξης nμεσταθερούςσυντελεστές,όπουησυνάρτηση δευτέρου μέλους f είναι ειδικής μορφής. Θεώρημα5.3.1 ΕστωηΔ.Ε. nτάξης με y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 1 y +a 0 y = f, f(x) = P(x)e αx cos(βx)+q(x)e αx sin(βx), όπου α, β R, P, Qπολυώνυμαμέγιστουβαθμού k(ώστετουλάχιστονένααπόταδύονα έχει βαθμό ακριβώς k) και ν ο ελάχιστος μη αρνητικός ακέραιος τέτοιος ώστε η συνάρτηση y(x) = x ν e αx cos(βx) ή y(x) = x ν e αx sin(βx) να μην είναι λύση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. Τότε,μίαμερικήλύσητηςΔ.Ε.είναι y µ (x) = (d 1 x ν +...+d k x ν+k 1 )e αx cos(βx) +( d 1 x ν d k x ν+k 1 )e αx sin(βx), (5.3.3) όπουτουλάχιστονέναςαπότουςσυντελεστές d k και dk δενείναιμηδέν. Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y +3y y 3y = e 2x. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς είναι λ 3 +3λ 2 λ 3 = 0
11 5.3. ΜΗΟΜΟΓΕΝΕ ΙΣΔ.Ε.ΜΕΣΤΑΘΕΡΟ ΥΣΣΥΝΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 141 με ρίζες καιέτσιηγενικήλύσητηςομογενούςείναι λ 1 = 3, λ 2 = 1, λ 3 = 1 y o = c 1 e 3x +c 2 e x +c 3 e x. Επειδή f(x) = e 2x καιτο2δενείναιρίζατηςχαρακτηριστικήςεξίσωσηςτηςαντίστοιχης ομογενούςδ.ε.(βλ.περίπτωση II,Παραγράφος4.3), δηλαδήηe 2x δενείναιλύσητης ομογενούς Δ.Ε., αναζητούμε μερική λύση της μορφής y µ = Be 2x. Παραγωγίζοντας και αντικαθιστώντας αυτήν στη Δ.Ε., λαμβάνουμε οπότευπολογίζουμεότι B = 1 15,καιάρα 8Be 2x +12Be 2x 2Be 2x 3Be 2x = e 2x, Ετσι,ηγενικήλύσητηςΔ.Ε.δίνεταιαπό y µ = e2x 15. y = y o +y µ = c 1 e 3x +c 2 e x +c 3 e x + e2x 15. Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y y = 6e x +2x 3. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς είναι λ 3 1 = (λ 1)(λ 2 +λ+1) = 0 με ρίζες λ 1 = 1, λ 2 = i 2, λ 3 = λ 2 = i 2 καιέτσιηγενικήλύσητηςομογενούςείναι ( ) ( ) 3x 3x y o = c 1 e x +c 2 e x 2 cos +c 3 e x 2 sin. 2 2 Επειδή f(x) = 6e x +2x 3,θαδιαχωρίσουμετουςδύοόρους 6e x και 2x 3,σύμφωνα με όσα αναφέρονται στην περίπτωση VI της Παραγράφου 4.3(αρχή της υπέρθεσης). Για την
12 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ 6e x,επειδήτο1είναιαπλήρίζατηςχαρακτηριστικήςεξίσωσηςτηςαντίστοιχηςομογενούς Δ.Ε.(βλ.περίπτωση II,Παραγράφος4.3),αναζητούμεμερικήλύσητηςμορφής Axe x.για την 2x 3, αναζητούμε μερική λύση της μορφής Bx+ C(βλ. περίπτωση I, Παραγράφος 4.3). Ετσι, προκύπτει ότι y µ = Axe x +Bx+C. Παραγωγίζοντας, αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στη Δ.Ε. και εξισώνοντας τους συντελεστές των ομοιοβαθμίων όρων, υπολογίζουμε και άρα A = 2, B = 2, C = 3, y µ = 2xe x 2x+3, οπότετελικάηγενικήλύσητηςδ.ε.δίνεταιαπό ( ) ( ) 3x 3x y = y o +y µ = c 1 e x +c 2 e x 2 cos +c 3 e x 2 sin +2xe x 2x Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y 12y +48y 64y = 12 32e 8x +2e 4x. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς είναι λ 3 12λ 2 +48λ 64 = (λ 4) 3 = 0 καιέχειρίζατην λ = 4μεπολλαπλότητα µ = 3. Η γενική λύση της ομογενούς είναι y o = c 1 e 4x +c 2 xe 4x +c 3 x 2 e 4x. Επειδή f(x) = 12 32e 8x +2e 4x,αρχικάδιαχωρίζουμετουςτρειςόρους 12, 32e 8x και 2e 4x βάσειτηςαρχήςτηςυπέρθεσης(βλ.περίπτωση VI,Παράγραφος4.3). Ιδιαίτερη προσοχήχρειάζεταιοόρος 2e 4x,διότιτο4είναιτριπλήρίζατηςχαρακτηριστικήςεξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. Επεκτείνοντας για µ = 3 τα αναφερόμενα στην περίπτωση IIτηςΠαραγράφου4.3,αναζητούμεγιατονόροαυτόμερικήλύσητηςμορφής Cx 3 e 4x. Ετσι, έχουμε ότι y µ = A+Be 8x +Cx 3 e 4x. Παραγωγίζοντας και αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στη Δ.Ε., λαμβάνουμε 64A 1728Be 8x +6Ce 4x = 12 32e 8x +2e 4x,
13 5.3. ΜΗΟΜΟΓΕΝΕ ΙΣΔ.Ε.ΜΕΣΤΑΘΕΡΟ ΥΣΣΥΝΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 143 οπότε εξισώνοντας τους συντελεστές των ομοίων όρων, υπολογίζουμε επομένως και τελικά προκύπτει A = 3 16, B = 1 54, C = 1 3, y µ = e 8x 54 + x3 e 4x 3 y = y o +y µ = c 1 e 4x +c 2 xe 4x +c 3 x 2 e 4x e 8x 54 + x3 e 4x. 3 Παρατήρηση Η απλούστερη μη ομογενής γραμμική Δ.Ε. τάξης n με σταθερούς συντελεστές είναι y (n) = f(x), πουαντιστοιχείστην(5.3.1)για a n 1 =... = a 1 = a 0 = 0.Γιανατηλύσουμεκάνουμε n διαδοχικές ολοκληρώσεις, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα Λύστε τη Δ.Ε. y (2000) = e x. Λύση. Εκτελώντας αόριστες ολοκληρώσεις, έχουμε διαδιοχικά y (2000) dy = e x dx ή ή ή y 1999 = e x +c 1 y (1999) dy = e x +c 1 y 1998 = e x +c 1 x+c 2. Κατά αυτόν τον τρόπο, μετά από 2000 διαδοχικές ολοκληρώσεις ευρίσκουμε τη γενική λύση της Δ.Ε y(x) = e x c k + (2000 k)! x2000 k. k=1
14 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ 5.4 Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων Στην παράγραφο αυτή επεκτείνουμε σε Δ.Ε. τάξης n τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων, η οποία αναπτύχθηκε στην Παράγραφο 4.7 για τον προσδιορισμό της μερικής λύσης της μη ομογενούς γραμμικής Δ.Ε. δευτέρας τάξεως με(εν γένει) μεταβλητούς συντελεστές. Ετσι, θεωρούμετηδ.ε.τάξης n y (n) (x)+a n 1 (x)y (n 1) (x)+...+a 1 (x)y (x)+a 0 (x)y(x) = f(x), (5.4.1) όπου a 0,a 1,...,a n 1,f : I R Rσυνεχείςσυναρτήσεις. Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων χρησιμοποιεί τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. της(5.4.1) y (n) (x)+a n 1 (x)y (n 1) (x)+...+a 1 (x)y (x)+a 0 (x)y(x) = 0, (5.4.2) ούτως ώστε να ανάγει το πρόβλημα υπολογισμού της λύσης της(5.4.1) στον υπολογισμό n συγκεκριμένων ολοκληρωμάτων. Εστω y 1,y 2,...,y n γραμμικάανεξάρτητεςλύσειςτηςομογενουςδ.ε.(5.4.2),οπότεη γενική της λύση είναι y o = c 1 y 1 +c 2 y c n y n, (5.4.3) όπου c 1,c 2,...,c n αυθαίρετεςπραγματικέςσταθερές. Αντικαθιστούμεαυτέςτιςσταθερές στην(5.4.3)απόπροσδιοριστέεςσυναρτήσεις u 1 (x),u 2 (x),...,u n (x),καιαναζητούμεμία μερική λύση της μη ομογενούς Δ.Ε.(5.4.1) της μορφής y µ = u 1 (x)y 1 +u 2 (x)y u n (x)y n. (5.4.4) Γενικεύοντας τη διαδικασία που περιγράφηκε στην Παράγραφο 5.4 για Δ.Ε. δεύτερης τάξης, θεωρούμε τους ακόλουθους n 1 περιορισμούς y 1 u 1 +y 2 u y n u n = 0 y 1u 1 +y 2u y nu n = 0. (5.4.5) y (n 2) 1 u 1 +y(n 2) 2 u y(n 2) n u n = 0. Λαμβάνονταςυπόψητις(5.4.5),οιπαράγωγοιτης y µ παίρνουντημορφή y µ = y 1u 1 +y 2u y nu n y µ = y 1 u 1 +y 2 u y n u n y (n 1) µ = y (n 1) 1 u 1 +y (n 1) 2 u y (n 1) n u n.. (5.4.6)
15 5.4. Μ ΕΘΟΔΟΣΜΕΤΑΒΟΛ ΗΣΤΩΝΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ 145 Στη συνέχεια, παραγωγίζουμε άλλη μία φορά την τελευταία από τις(5.4.6), οπότε έχουμε y (n) µ = y (n) 1 u 1 +y (n) 2 u y (n) n u n +y (n 1) 1 u 1 +y (n 1) 2 u y (n 1) n u n. (5.4.7) Αντικαθιστώνταςτις(5.4.4),(5.4.6)και(5.4.7)στην(5.4.1)καιαφούοι y 1,y 2,...,y n είναι λύσεις της ομογενους Δ.Ε.(5.4.2), τελικά καταλήγουμε στην y (n 1) 1 u 1 +y (n 1) 2 u y (n 1) n u n = f. (5.4.8) Οι(5.4.5) και(5.4.8) αποτελούν ένα n n μη ομογενές γραμμικό αλγεβρικό σύστημα y 1 u 1 +y 2 u y n u n = 0 y 1 u 1 +y 2 u y n u n = 0 y (n 2) 1 u 1 +y (n 2) 2 u y (n 2) n u n = 0. (5.4.9) y (n 1) 1 u 1 +y(n 1) 2 u y(n 1) n u n = f, ωςπροςτις nάγνωστεςσυναρτήσεις u 1,u 2,...u n. Ηορίζουσατουσυστήματοςαυτούείναιηορίζουσα Wronskiτων y 1,y 2,...,y n καιάρα είναιδιάφορητουμηδενός,αφούοι y 1,y 2,...,y n είναιγραμμικάανεξάρτητεςλύσειςτης (5.4.2). Ετσι,τοσύστημα(5.4.9)έχειμοναδικήλύσηγιατιςσυναρτήσεις u 1,u 2,...u n, απότιςοποίεςμεαόριστηολοκλήρωσηευρίσκουμετις u 1,u 2,...u n καιτέλοςμετηβοήθεια της(5.4.4)προσδιορίζουμετημερικήλύση y µ. Το γεγονός ότι η ορίζουσα το συστήματος(5.4.9) είναι η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων y 1,y 2,...,y n βοηθάεικαιστηναπομνημόνευσητηςδομήςτουσυστήματοςαυτού (χωρίς να χρειάζεται να το παράγουμε κάθε φορά). Παράδειγμα Βρείτε τη γενική λύση της Δ.Ε. y 3y +2y = e2x 1+e x. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης έχει τις πραγματικές διακεκριμένες ρίζες λ 1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = 2, και, έτσι, η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι y o = c 1 +c 2 e x +c 3 e 2x.
16 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ Αναζητούμε μερική λύση της δοθείσας μη ομογενούς Δ.Ε. της μορφής y µ = u 1 (x)+u 2 (x)e x +u 3 (x)e 2x. Στην προκειμένη περίπτωση, το σύστημα(5.4.9) είναι το εξής u 1 +e x u 2 +e x u 3 = 0 e x u 2 +2e 2x u 3 = 0 καιθατολύσουμεμετονκανόνατου Cramer. e x u 2 +4e 2x u 3 = e2x 1+e x Η ορίζουσα του συστήματος είναι 1 e x e 2x 0 e x 2e 2x 0 e x 4e 2x = 2e 3x 0. και και Ετσι, έχουμε u 1 = e 3x 2 0 e x e 2x 0 e x 2e 2x e 2x 1+e x e x 4e 2x 1 0 e 2x u 2 = e 3x e 2x e 0 2x 1+e 4e 2x x 1 e x 0 u 3 = e 3x 2 0 e x 0 0 e x e2x 1+e x = 1 e 2x 21+e x = ex 1+e x = e x. και Στη συνέχεια, κάνουμε αόριστες ολοκληρώσεις και λαμβάνουμε u 1 = 1 2 e 2x 1+e xdx = 1 2 e x 1+e xex dx = 1 2 u 2 = v 1 dv = 1 v 2 (1+ex ) 1 2 ln(1+ex ) e x 1+e xdx = ln(1+ex )
17 5.5. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 147 και u 3 = e xdx = 1 2 e x 1+e xdx = 1 2 ln(1+e x ). Ετσι,ημερικήλύσητηςΔ.Ε.δίνεταιαπό y µ = 1 2 (1+ex ) 1 2 ln(1+ex ) e x ln(1+e x ) e2x 2 ln(1+e x ), ενώηγενικήτηςλύσηαπό y = C 1 +C 2 e x +c 3 e 2x ( ) 1 2 +ex ln(1+e x ) e2x 2 ln(1+e x ), όπουοπρώτοςόροςτης y µ ενσωματώθηκεστουςδύοπρώτουςόρουςτης y o,καιγιααυτό τολόγοχρησιμοποιήσαμεδύονέεςσταθερές C 1 και C Ασκήσεις Λύστε τις Δ.Ε. Άσκηση y (4) +16y = 0. Άσκηση y (4) +11y +18y +4y 8y = 0. Άσκηση y (4) +2y +y = 0. Άσκηση y (4) +3y 4y = 0. Άσκηση y +3y y 3y = 4cosx 8sinx 6x+1. Άσκηση y 4y = x+3cosx+e 2x.
18 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε.ΑΝ ΩΤΕΡΗΣΤ ΑΞΗΣ Άσκηση y 2y 21y 18y = 3+4e x. Λύστε τα Π.Α.Τ. Άσκηση y 5y 22y +56y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 4. Άσκηση y 3y 2y = 0, y(0) = 4, y (0) = 2, y (0) = 9. Άσκηση y +y +y +y = 1, y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0. Άσκηση y (4) +y 7y y +6y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 2, y (0) = 1. Άσκηση y (4) y = 0, y(0) = 7 2, y (0) = 4, y (0) = 5 2, y (0) = 2.
19 Βιβλιογραφία [1] J. Lebl, Differential Equations for Engineers, University of Illinois at Urbana- Champaign, [2] R. H. Martin, Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York, [3] B. E. Shapiro, Lecture Notes in Differential Equations, California State University, Northridge,
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +
Διαβάστε περισσότεραa (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0
Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler
Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler Η προηγούμενη μέθοδος αν και δεν έχει κανένα περιορισμό για το είδος συνάρτησης του μη ογενούς όρου, μπορεί να οδηγήσει σε πολύπλοκες ολοκληρώσεις, πολλές φορές
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότερα1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! ookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότερα10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ
Κεφάλαιο 5 Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη θεωρία όσο και με τη μεθοδολογία επίλυσης βαθμωτών γραμμικών ΔΕ 2ης και n-στής τάξης. Θα μελετήσουμε, ως επί το πλείστον, γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού
//04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραf (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c
Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :
Διαβάστε περισσότεραΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρέθυμνο 0 Φεβρουαρίου 05 Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ρεθύμνου A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραP m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 014 ΠΕΚ A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΘΕΜΑΤΑ: ΓΕΝΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4
Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες.............................
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε
Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε
Διαβάστε περισσότεραO n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας 1 1 Ακρότατα συνάρτησης Οι εντολές και Plot[x Cos[x],{x,0,20}] O ut[2 ]= FindMinimum[x Cos[x],{x,2}] {-3.28837,{x 3.42562}}
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει
Πειραματικό λύκειο Αναβρύτων Δρεκόλιας Δημήτρης Γ Λυκείου 2//2 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f(x) = 2e x x 2 + με πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις
Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότεραΘα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων
1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων}
Κεφάλαιο 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εννοια του Εργου { Εργο και Κινητική Ενέργεια, Εργο Μεταβλητής Δύναμης, Ισχύς} Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραh(t) δ(t+3) ( ) h(t)*δ(t)
f()* δ ( ) = f( ) x () = δ ( + 3) = 3 h () = u () u ( ) h()* δ ( + 3) = h ( + 3) = u ( + 3) u ( + 1) 1 h() * -3 δ(+3) ( ) h()*δ() 1-3 -1 MY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #6 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ακρότατα συνάρτησης FindMinimum[f,{x, x 0 }] :βρίσκει ένα τοπικό ελάχιστο της f, ξεκινώντας από το σημείο x=x 0. FindMinimum[f,{x, x0}, {y, y 0 }], ] : τοπικό
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,
Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................
Διαβάστε περισσότερα