ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Ανάλυση Ροής Φορτίου με Τεχνικές της Θεωρίας Γράφων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του MΑΝΤΖΙΑΡΗ ΑΓΗΣΙΛΑΟΥ Επιβλέπων : Δημήτριος Λαμπρίδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2013

2

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Ανάλυση Ροής Φορτίου με Τεχνικές της Θεωρίας Γράφων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του MΑΝΤΖΙΑΡΗ ΑΓΗΣΙΛΑΟΥ Επιβλέπων : Δημήτριος Λαμπρίδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 10 η Ιουλίου2013. (Υπογραφή) (Υπογραφή) (Υπογραφή) Δημήτριος Λαμπρίδης Γρηγόρης Παπαγιάννης Γεώργιος Ανδρέου Καθηγητής Α.Π.Θ. Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Λέκτορας Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2013

4 (Υπογραφή)... MΑΝΤΖΙΑΡΗ ΑΓΗΣΙΛΑΟΥ Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Α.Π.Θ All rights reserved.

5 Ευχαριστίες Με αυτή τη διπλωματική εργασία ουσιαστικά ολοκληρώνω ένα ακόμα σκαλοπάτι της ζωής μου. Για το λόγο αυτό νοιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω από καρδιάς, για άλλη μία φορά, τους γονείς μου και την αδερφή μου οι οποίοι με στηρίζουν σε κάθε διακύμανση του μονοπατιού μου και με γεμίζουν αισιοδοξία για τη συνέχιση της πορείας μου. Θα ήθελα ακόμα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στο κ. Λαμπρίδη που έντεχνα με καθοδήγησε στην ανάληψη αυτού του θέματος και στον κ. Σγούρα που μου αφιέρωνε χρόνο για να συζητάμε, μου καθάριζε το μυαλό όταν κολλούσε και με στήριζε ψυχολογικά όταν βάλτωνα στις δυσκολίες που μου παρουσιάζονταν. Σημαντικό ρόλο στη διεκπεραίωση του θέματος μου διαδραμάτισε και η συζήτηση μου με τον κ. Ατρέα, ο οποίος ως μαθηματικός με βοήθησε να οριοθετήσω μαθηματικά το πρόβλημα. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους συμφοιτητές μου και φίλους μου, που μαζί τους έμαθα να λειτουργώ μέσα σε ομάδες μελέτης και διασκέδασης.

6 ii

7 Περίληψη Στην διπλωματική αυτή εργασία μελετήθηκε το ζήτημα της ροής φορτίου σε δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, υψηλής και μέσης τάσης. Γενικά το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με επαναληπτικούς αλγόριθμους. Στόχος μας ήταν να αναπτύξουμε μεθόδους, των οποίων οι αναγκαίοι υπολογισμοί, να έχουν γραμμική εξάρτηση με τα στοιχεία του δικτύου. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκαν πιθανοτικές θεωρήσεις και μέθοδοι της θεωρίας γράφων. Στο πρώτο κεφάλαιο της μελέτης γίνεται η παρουσίαση του θέματος. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται το θεωρητικό υπόβαθρο στο οποίο στηρίχθηκαν οι διάφορες μέθοδοι επίλυσης που αναπτύχθηκαν. Τα δύο επόμενα κεφάλαια αποτελούν το κύριο μέρος της εργασίας. Συγκεκριμένα στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται η ροή φορτίου σε συστήματα που τα φορτία τους προσομοιώνονται με τις σύνθετες αντιστάσεις τους. Στην ανάλυση αυτή το ηλεκτρικό μοντέλο προσεγγίστηκε με πιθανοτικό τρόπο. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετήθηκαν τα φορτία σταθερής ισχύος. Παρουσιάστηκαν πέντε μεθοδολογίες επίλυσης αυτής της κατηγορίας προβλημάτων και συγκρίθηκαν τα αποτελέσματα τους. Στο πέμπτο κεφάλαιο καταγράφηκαν τα συμπεράσματα της μελέτης και αποτυπώθηκαν μερικές σκέψεις για μελλοντική έρευνα. Τέλος στο παράρτημα παρατίθενται οι μαθηματικές αποδείξεις όλων των τύπων που χρησιμοποιήθηκαν σε κάθε βήμα της μελέτης. Λέξεις Κλειδιά: Ανάλυση ροής φορτίου, δίκτυα υψηλής και μέσης τάσης, πιθανοτική και στοχαστική ροή φορτίου, τυχαίοι περίπατοι, πίνακες μετάβασης, γραμμική πολυπλοκότητα iii

8 iv

9 Πίνακας περιεχομένων 1 Εισαγωγή Το Δίκτυο Ηλεκτρικής Ενέργειας Παρουσίαση θέματος Θεωρητικό Υπόβαθρο Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Θεωρία Γράφων Φορτία Σταθερής Σύνθετης Αντίστασης Φορτία Σταθερής Ισχύος Περιγραφή Μαθηματική Επεξεργασία Επαλήθευση Πειραματική Ανάλυση Συμπεράσματα Προτάσεις Σύνοψη Συμπερασμάτων Προτάσεις για Επέκταση της Μελέτης Βιβλιογραφία Παράρτημα v

10

11 1 Εισαγωγή 1.1 Το Δίκτυο Ηλεκτρικής Ενέργειας Στη σύγχρονη κοινωνία, η ενέργεια εξελίσσεται σε μία από τις πιο βασικές ανάγκες του κάθε ανθρώπου. Αυτή η αυξανόμενη σημασίας της, οδήγησε στη στόχευση για αξιόπιστη και αδιάλειπτη παροχή της σε κάθε σημείο στο οποίο μπορεί να βρίσκεται ένας καταναλωτής. Συνεπώς δημιουργήθηκε ένα ενιαίο σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας, στο οποίο οι μονάδες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας οποιουδήποτε τύπου (θερμοηλεκτρικοί, πυρηνικοί, υδροηλεκτρικοί σταθμοί, φωτοβολταϊκά και αιολικά πάρκα) συνδέονται με τους καταναλωτές μέσω ενός γιγαντιαίου δικτύου μεταφοράς και διανομής το οποίο είναι υπερεθνικά διασυνδεδεμένο ώστε να εξασφαλίζεται η εισαγωγή και εξαγωγή ενέργειας μεταξύ των κρατών σε περιπτώσεις ανάγκης. Το συνολικό αυτό σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας αποτελείται από: τις μονάδες παραγωγής τις γραμμές μεταφοράς υψηλής και υπερυψηλής τάσης τους υποσταθμούς υποβιβασμού και ανύψωσης τάσης το δίκτυο διανομής μέσης και χαμηλής τάσης τους βιομηχανικούς και οικιακούς καταναλωτές 2

12 Λόγω του πολύ μεγάλου γεωγραφικού μεγέθους του συστήματος, η επίτευξη του στόχου του προϋποθέτει την τμηματοποίηση και τον συντονισμό της λειτουργίας του. Για τη διαχείριση λοιπόν του συστήματος προσδιορίζονται οι βασικοί του παράμετροι, οι γεννήτριες οι μετασχηματιστές οι γραμμές μεταφοράς τα φορτία συντονίζεται ο έλεγχος των γεννητριών και του δικτύου, λαμβάνονται υπόψη οι λειτουργικοί περιορισμοί και οι περιορισμοί φορτίου και καθορίζεται ο στόχος για ασφαλή και οικονομική διάθεση της ηλεκτρικής ενέργειας. Δυο βασικά κριτήρια της εύρυθμης λειτουργίας ενός Σ.Η.Ε. είναι : a) Η σταθερή συχνότητα Ισοζύγιο ενεργού ισχύος στο δίκτυο. b) Η σταθερή τάση Ισοζύγιο άεργου ισχύος στο δίκτυο. Για τους παραπάνω λόγους γίνεται αντιληπτό ότι είναι απαραίτητο να μπορούμε να υπολογίζουμε και να ελέγχουμε τις μεταβλητές κατάστασης του συστήματος μας. Ως μεταβλητές κατάστασης ορίζουμε τα βασικά μεγέθη που μας απασχολούν και αυτά είναι: Το μέτρο και η φάση της τάσης σε διάφορα σημεία του δικτύου για τον προσδιορισμό των ροών ενεργού και άεργου ισχύος Το μέτρο του ρεύματος για τον υπολογισμό των απωλειών ενεργού ισχύος και τις απαιτήσεις σε άεργο ισχύ των γραμμών. 1.2 Παρουσίαση θέματος Στη παρούσα διπλωματική εργασία η μελέτη εστιάστηκε στο γενικό θέμα της ανάλυσης της ροής φορτίου, η μεθοδολογία αντιμετώπισης του προβλήματος στηρίχθηκε στη θεωρία των γραφημάτων (θεωρία γράφων) και στόχευση της ήταν η συλλογή και η σύνθεση οποιουδήποτε θεωρητικού συμπεράσματος ή πειραματικής παρατήρησης που θα μπορούσε να οδηγήσει σε μία γραμμικοποιημένη σχέση μεταξύ των μεταβλητών εισόδου και εξόδου. 3

13 Με τον όρο ανάλυση ροής φορτίου αναφερόμαστε στον υπολογισμό κατά μέτρο και φάση των τάσεων, των ρευμάτων και των ροών ενεργού και άεργου ισχύος σε διάφορα σημεία του συστήματος κάτω από πραγματικές ή υποτιθέμενες συνθήκες λειτουργίας. Στη εργασία αυτή δεν διερευνήθηκαν μεταβατικά φαινόμενα κατά τη σύνδεση ή αποσύνδεση φορτίων ή κατά την εμφάνιση βραχυκυκλωμάτων αλλά το σύστημα παρατηρήθηκε στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Η ακριβής γνώση της ροής ισχύος είναι χρήσιμη κατά την καθημερινή λειτουργία του συστήματος για τον έλεγχο του ρυθμού παραγωγής και των μονάδων που χρειάζεται να συμμετέχουν κάθε στιγμή σε αυτήν για την κάλυψη της ζήτησης. Είναι όμως και απαραίτητη για την μελέτη της ανάπτυξης και της επέκτασης του συστήματος, διότι δίνει την εικόνα των επιπτώσεων που προκαλούνται κατά την ένταξη νέων μονάδων παραγωγής ή νέων φορτίων, κατά τη κατασκευή νέων γραμμών, προσδιορίζει τα κατάλληλα σημεία για τη τοποθέτηση πυκνωτών αντιστάθμισης, κ.α. Οι αλγόριθμοι ανάλυσης της ροής φορτίου είναι στην πλειονότητα τους επαναληπτικής φύσεως και προσεγγίζουν το πραγματικό αποτέλεσμα με κριτήριο την σύγκλιση των αποτελεσμάτων σε κάποια οριακή τιμή επιτυγχάνοντας ταυτόχρονα πολύ μικρά ποσοστά σφάλματος. Τα δίκτυα μεταφοράς επιλύονται με το ανά φάση ισοδύναμο τους καθώς αυτά παρουσιάζουν συμμετρία στη φόρτιση των φάσεων. Ενώ στα δίκτυα διανομής υπάρχει γενικά ασύμμετρη φόρτιση των γραμμών οπότε κρίνεται αναγκαία η καταγραφή της αλληλεξάρτησης μεταξύ των διαφορετικών φορτίσεων των γραμμών καθώς και του αντίκτυπου τους στο συνολικό δίκτυο. Στη μελέτη αυτή ασχοληθήκαμε κυρίως με το δίκτυο μεταφοράς της υψηλής τάσης και με το δίκτυο διανομής της μέσης και έγινε προσπάθεια για την απαλοιφή του παράγοντα ρεύματος από τους υπολογισμούς. Πιο συγκεκριμένα θεωρήσαμε ότι η γνώση των πτώσεων τάσης και των στροφών φάσης των κόμβων,σε σχέση με μία γνωστή τάση αναφοράς, του υπό μελέτη συστήματος μπορεί να μας παρέχει όλη την αναγκαία πληροφορία για τον υπολογισμό των ροών ισχύος και των απωλειών κατά μήκος των γραμμών. Συνεπώς καταστρώσαμε ένα πρόβλημα στο οποίο είναι γνωστά η τάση αναφοράς, τα χαρακτηριστικά των γραμμών του δικτύου και τα φορτία. Τα φορτία μπορούμε να τα κατατάξουμε σε τέσσερις κατηγορίες : α) Τα φορτία σταθερής σύνθετης αντίστασης β) Τα φορτία σταθερής ισχύος γ) Τα φορτία σταθερής έντασης δ) Τα μικτά φορτία Εμείς ασχοληθήκαμε με τις πρώτες δύο κατηγορίες φορτίων και καταλήξαμε σε δύο διαφορετικές μαθηματικές προσεγγίσεις έχοντας σαν κοινό κανόνα την θεωρία των γράφων. 4

14 Γενικά για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων, των οποίων η πολυπλοκότητα καθορίζεται από τον αριθμό των παραγόντων που επηρεάζουν τα αποτελέσματα, χρησιμοποιείται η λογική του μετασχηματισμού τους, που μπορεί να προσφέρει μία εναλλακτική οπτική γωνία τους προβλήματος η οποία να είναι πιο απλή στη επίλυση της ή να δίνει μία πολύ καλή προσέγγιση της ζητούμενης λύσης. Στην περίπτωσή μας αντιστοιχήσαμε το σύστημα μας με ένα γράφημα και πιο συγκεκριμένα με ένα γράφημα τύπου δέντρου, στο οποίο η ρίζα του είναι η τάση πηγή, τα κλαδιά του είναι οι γραμμές μεταφοράς σύνδεσης και τα φορτία του είναι τα φύλλα απολήξεις του δέντρου. Αυτό μας προσέφερε την δυνατότητα να έχουμε μια πιο εποπτική εικόνα του δικτύου και ταυτόχρονα μας έδωσε το έναυσμα να προσπαθήσουμε να συνδέσουμε έννοιες όπως μέγεθος κατανάλωσης και βάρος φύλλων, κλίση κλαδιού με διαφορά φάσης των τάσεων, μήκος αγωγού με ύψος δέντρου, μέγεθος απωλειών με διατομή κορμού. Ο στόχος της μελέτης είναι η εύρεση μίας λύσης, της ροής φορτίου, έστω και προσεγγιστικής που να δίνει γρήγορα αποτελέσματα των ροών ισχύος επί των γραμμών του δικτύου διότι οι υπολογισμοί αυτοί χρησιμοποιούνται από όργανα ελέγχου τα οποία συντονίζουν την παραγωγή ενέργειας και τα οποία θέλουμε να έχουν όσο το δυνατόν ταχύτερη απόκριση. Επιδιώξαμε την αυξημένη ταχύτητα της μεθόδου προσπαθώντας να συνδέσουμε με τρόπο προσεγγιστικά γραμμικό τα δεδομένα εισόδου με τις μεταβλητές εξόδου. 5

15 2 Θεωρητικό Υπόβαθρο 2.1 Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Το πρόβλημα της ροής φορτίου έχει γίνει αντικείμενο μελέτης πολλών επιστημόνων εδώ και πολλά χρόνια. Η φύση του προβλήματος είναι συνδυαστική διότι εκτός από γνώσεις γύρω από τα όρια ευστάθειας του συστήματος και τους λειτουργικούς περιορισμούς του, έχει και έντονο το μαθηματικό στοιχείο. Οι πρώτες μέθοδοι που αναπτύχθηκαν και εφαρμόστηκαν ήταν επαναληπτικής μορφής. Ξεκινάνε με μία αρχική εκτίμηση των αποτελεσμάτων και στη συνέχεια αφού ακολουθούνε έναν αλγόριθμο βημάτων και πράξεων καταλήγουνε σε νέες τιμές. Αυτές συγκρίνονται με τις αρχικές και στη συνέχεια εκτελείται η ίδια διαδικασία με εκτιμώμενες τιμές πλέον, τις νέες. Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν η διαφορά των συγκρινόμενων μεγεθών είναι πολύ μικρή, γεγονός που υποδηλώνει ότι υπάρχει μια σύγκλιση των αποτελεσμάτων. Πιο συγκεκριμένα οι εξισώσεις της ροής φορτίου μπορούν να γραφούν στη γενική μορφή: f(x)=0 Όπου: x : είναι το διάνυσμα κατάστασης f : είναι το σύστημα των εξισώσεων της ροής φορτίου Αναπτύσσουμε τη γενική μορφή και παίρνουμε: f 1 (x 1,x 2,x 3,...,x n )=0 6

16 f 2 (x 1,x 2,x 3,...,x n )=0 f n (x 1,x 2,x 3,...,x n )=0 Οι μη γραμμικές αυτές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με έναν επαναληπτικό αλγόριθμο (σύγκλισης) του οποίου η γενική μορφή είναι: όπου : x (ν+1) = x (v) + A(x (v) ) x (v) : είναι το διάνυσμα κατάστασης στη ν-οστή επανάληψη. Α : είναι ο αλγόριθμος που μετασχηματίζει ένα δεδομένο διάνυσμα κατάστασης Α(x (v) ) και πρέπει να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε να δίνει τη σωστή λύση x. x (v) στo Η διαδικασία τερματίζεται όταν ο παράγοντας A(x (v) ) γίνει πολύ μικρός, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε, με αρκετά μικρό σφάλμα, ότι η τελική τιμή των μεταβλητών κατάστασης συγκλίνει. X τελική =x (ν+1) = x (v) με A(x (v) ) 0 Μερικές από τις πιο γνωστές μεθόδους που έχουν χρησιμοποιήσει αυτή την αλγοριθμική σχέση είναι : Η μέθοδος των συντεταγμένων Η μέθοδος Gauss Seidel Η μέθοδος Newton Raphson Οι μέθοδοι Quasi Newton Οι παραπάνω μέθοδοι έχουν αποτελέσει αντικείμενο μελέτης και διδασκαλίας εδώ και πολλά χρόνια και έχουν αναλυθεί εκτενώς στη βιβλιογραφία οπότε δεν θα προχωρήσουμε σε πιο λεπτομερειακή παρουσίαση. Στις πιο σύγχρονες μελέτες γίνεται προσπάθεια να συνδεθεί το ηλεκτρικό μοντέλο με το μαθηματικό με την αντίστροφη διαδικασία. Δηλαδή, αντί να ακολουθείται ένας αλγόριθμος, που στο τέλος της κάθε επανάληψης του να ελέγχεται το ποσοστό του σφάλματος, να γίνει εξ αρχής μία εκτίμηση που να προσεγγίζει την ζητούμενη λύση σε τέτοιο βαθμό που να εξασφαλίζει μικρότερο αριθμό επαναλήψεων κατά την επίλυση, οδηγώντας έτσι σε αισθητή 7

17 μείωση του υπολογιστικού χρόνου. Αποτέλεσμα επιθυμητό διότι ο πιο διαδεδομένος αλγόριθμος επίλυσης (Newton-Raphson) αποδεικνύεται αρκετά αργός κατά την ανάλυση μεγάλων συστημάτων με πολλούς κόμβους και πολλά φορτία. Η ταχύτητα και η ακρίβεια των μεθόδων υπολογισμού των ροών ισχύος επί των γραμμών του δικτύου αποτελούν βασικά κριτήρια της καταλληλότητας τους. Διότι τα αποτελέσματα που εξάγουν χρησιμοποιούνται από εργαλεία ελέγχου της λειτουργίας των Σ.Η.Ε., τα οποία οφείλουν αφενός να είναι ευαίσθητα στις αλλαγές των φορτίων και αφετέρου να αποφαίνονται γρήγορα για τις αναγκαίες ρυθμίσεις που πρέπει να γίνουν ώστε να συμβαδίζει η παραγωγή με τη ζήτηση ενέργειας. Ο ρόλος τους, δηλαδή, είναι συντονιστικός, γεγονός που υποδηλώνει την σημασία τους στην εύρωστη λειτουργία του δικτύου και ο στόχος τους είναι η δημιουργία ενός συστήματος με ταχεία απόκριση στις μεταβολές, τόσο της εσωτερικής διαμόρφωσης (ζεύξη - απόζευξη γραμμών) όσο και της εξωτερικής παρεμβολής (βραχυκυκλώματα). Πάνω στην μεθοδολογία, του αρχικά εκτιμώμενου σφάλματος, χρησιμοποιούνται πιθανοτικές θεωρήσεις της κατανομής φορτίου, στατιστικά συμπεράσματα των απωλειών ενεργού ισχύος επί των γραμμών, μοντέλα ασαφούς λογικής (fuzzy logic) και αναπτύσσονται γενετικοί αλγόριθμοι. Παρακάτω θα περιγραφούν εν συντομία μερικοί από τους προτεινόμενους τρόπους που υπάρχουν στη βιβλιογραφία για την εναλλακτική επίλυση της ροής φορτίου. Για δίκτυα στα οποία γνωρίζουμε από, πειραματικά αποτελέσματα και θεωρητικές γνώσεις, ότι η πτώση τάσης επί των κόμβων τους είναι πολύ μικρές σε ποσοστό και η διαφορά φάσης τους σχεδόν μηδενική (υψηλή τάση) μπορούμε να ακολουθήσουμε το εξής μοντέλο επίλυσης. Καταγραφή των εξισώσεων της ροής φορτίου Για την ενεργό ισχύ στον κόμβο κ έχουμε: ( ) (1) Για την άεργο ισχύ στον κόμβο κ έχουμε: ( ) (2) Όπου: : Η ενεργός ισχύς που ρέει στον κόμβο k : Η άεργος ισχύς που ρέει στον κόμβο k 8

18 : Η τάση του υπό εξέταση κόμβου k : Η τάση του j κόμβου που συνδέεται με τον κόμβο k : Η αγωγιμότητα του κλάδου που συνδέει τους κόμβους k και j : Η αντίδραση του κλάδου που συνδέει τους κόμβους k και j Κάνουμε τις υποθέσεις [9]: ( ) 1 Και V 1 =V 2 =V 3 =... =V k 1.0 pu Οι οποίες σε πρακτικά συστήματα γενικά ισχύουν. Αναπτύσσοντας σε σειρές τα ( )και ) γύρω από το μηδέν : ( )= ( ) - ( ) +... ) = 1 - ( ) +... και παίρνοντας τον πρώτο όρο από κάθε σειρά μετατρέπουμε τις σχέσεις (1) και (2) στις: (1) (2) Και τελικά καταλήγουμε σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους για (m+l) κόμβους όπου πλέον οι μεταβλητές έχουν πάρει τη μορφή διανυσμάτων στηλών: (3) (4) Για την επίλυση των εξισώσεων αυτών αντικαθιστούμε αρχικά το από την (3) στην (4) και στη συνέχεια το από τη (4) στη (3). Οπότε προκύπτουν δύο εξισώσεις. Μία για το και μια για το. Οι εξισώσεις αυτές δίνουν την προσεγγιστική γραμμική λύση της ροής φορτίου και προκειμένου να κάνουμε τις διορθώσεις των τάσεων και των γωνιών παίρνουμε τις διαφορές μεταξύ των λύσεων που προέκυψαν. (5) 9

19 (6) Οι δύο αυτές εξισώσεις αποτελούν τις βασικές εξισώσεις της γρήγορης γραμμικής επίλυσης της ροής φορτίου. Υπολογίζοντας τα και υπολογίζουμε αντίστοιχα τα και με τα οποία μπορούμε να εκτιμήσουμε τις λύσεις που είχαν προκύψει από τη λύση του συστήματος (3) και (4). Η μεθοδολογία αυτή οδηγεί σε πιο γρήγορα αποτελέσματα από την ταχεία αποζευγμένη ροή φορτίου με σφάλμα της τάξης του 0.01 pu. Αλλά το μεγάλο πλεονέκτημα της είναι ότι θα μπορεί να λειτουργεί και σε περιπτώσεις που ο λόγος R/X γίνεται μεγαλύτερος της μονάδας, ενώ στην ταχεία αποζευγμένη μέθοδο γίνεται η υπόθεση ότι R<<B όπου R η αντίσταση γραμμής και B η εγκάρσια. Στη συνέχεια πάνω στις ίδιες υποθέσεις για το μέτρο και τη φάση των τάσεων των ζυγών σε πραγματικά συστήματα αναπτύχθηκε η λογική της προσέγγισης της λύσης με γραμμικό προγραμματισμό (Linear Programming Approximations for AC power flow LPAC models) [14]. Πιο συγκεκριμένα δημιουργήθηκαν οι εξής τρεις αλγόριθμοι για την επίλυση της ροής φορτίου σε τρία διαφορετικά σενάρια συστημάτων. 1. Το hot-start LPAC model. Η μέθοδος αυτή είναι κατάλληλη για γνωστές τοπολογίες δικτύων όπου οι τάσεις των ζυγών είναι σχετικά σταθερές και βασίζεται σε τρεις ιδέες. a) Στη θεώρηση ότι η τάση των ζυγών είναι αρκούντος κοντά στο 1.0 pu (0.8pu< <1.2 pu) b) Στη προσέγγιση του sin(x) με x c) Στη κυρτή προσέγγιση του cos (θ n -θ m ) στο διάστημα [-π/2, π/2] (συμβολισμός: cοs(θ n -θ m ) ) Ο αλγόριθμος αυτός δέχεται ως είσοδο τον αριθμό των ζυγών και των κλάδων του συστήματος, τις τάσεις των ζυγών και το διάστημα της κυρτής προσέγγισης του cos(θ n -θ m ) συνήθως [-π/3, π/3]. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της ροής φορτίου με την προσέγγιση του sin(x) έχουμε: cs (θ n -θ m ) - (θ n -θ m ) cs (θ n -θ m ) - (θ n -θ m ) επιτυγχάνει με ένα μικρό αριθμό επαναλήψεων να καταγράψει τη στροφή φάσης του υπό εξέταση ζυγού. Παρά την ταχύτητα όμως της μεθόδου ο αρχικός ορισμός των μέτρων των τάσεων περιορίζει πολύ το εύρος χρήσης της μεθόδου. 10

20 2. Το warm-start LPAC model Η μέθοδος αυτή βρίσκει εφαρμογή σε περιπτώσεις όπου μελετάται η αποκατάσταση της μόνιμης κατάστασης λειτουργίας μετά από κάποιο μεταβατικό φαινόμενο όπως βραχυκύκλωμα, ζεύξη ή απόζευξη φορτίου-μονάδα παραγωγής. Αυτή στηρίζεται σε δύο ιδέες: a) Η μεταβολή του μέτρου της τάσης των ζυγών λόγω του μεταβατικού είναι της τάξης του 0.1 pu και μόνο οι κοντινοί ζυγοί επηρεάζονται από αυτό. b) Η μεταβολή της άεργου ισχύος που, είναι άμεσα εξαρτώμενη της μεταβολής του μέτρου της τάσης, κυμαίνεται στα ίδια επίπεδα. 3. Το cold-start LPAC model Στο οποίο δεν είναι γνωστά τα μέτρα των τάσεων των ζυγών του συστήματος πλην της τάσης αναφοράς και των ελεγχόμενων με τάση ζυγών. Το μοντέλο αυτό χρησιμοποιείται για ερευνητικούς σκοπούς και κυρίως για τη μελέτη επέκτασης των δικτύων. Η διαφορά της με τις παραπάνω μεθόδους είναι ότι αναπτύσσει το cos(θ n -θ m ) σε σειρά Taylor και σε κάθε επανάληψη η μέθοδος υπολογίζει το άθροισμα της κυρτής προσέγγισης του cos(θ n -θ m ) μέχρι τη σύγκλιση του σε μία οριακή τιμή η οποία είναι και η ζητούμενη διαφορά φάσης του υπό εξέταση ζυγού με την αναφορά. Γύρω από την ίδια μεθοδολογία εξέτασης του προβλήματος αναπτύχθηκε η τεχνική της απλοποίησης των ζητούμενων τάσεων [4]. Και σε αυτή τη περίπτωση η βασική ιδέα είναι η μικρή απόκλιση που παρουσιάζουν τα μέτρα και οι φάσεις των τάσεων του δικτύου μεταφοράς σε σχέση με την δοσμένη αναφορά. Αυτή η θεώρηση που όπως σημειώσαμε είναι ρεαλιστική σε πρακτικές εφαρμογές μας επιτρέπει να αμελήσουμε το φανταστικό μέρος των διανυσματικών τάσεων που εξετάζουμε. Ουσιαστικά με την παραδοχή αυτή θεωρούμε ότι στο επίπεδο τάσης της μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας (υψηλή), η στροφή της φάσης των ζητούμενων διανυσμάτων είναι αμελητέα μπροστά στη μεταβολή του μέτρου τους. Προσέγγιση αρκετά ικανοποιητική διότι στην υψηλή τάση οι απώλειες ενεργού ισχύος είναι αρκετά μικρές συγκρινόμενες με τις απαιτήσεις των γραμμών σε άεργο ισχύ. Αυτό το στοιχείο σε συνδυασμό με την ευαισθησία της άεργου ισχύος από το μέτρο της τάσης οριοθετούν μία κατηγορία προβλημάτων όπου η προσπάθεια εστιάζεται στην αποτύπωση των αλλαγών μόνο στο πραγματικό μέρος του διανύσματος της τάσης. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν τα προβλήματα που μελετούν τις επιπτώσεις των μεταβατικών φαινομένων και κυρίως το θέμα της σύνδεσης και αποσύνδεσης γραμμών. Η προέκταση της λογικής αυτής είναι η προσέγγιση της μόνιμης κατάστασης λειτουργίας μέσω της 11

21 αξιολόγησης της διακύμανσης των μεταβολών που υφίστανται σε ένα σύστημα κάτω από διαδοχικές αλλαγές της τοπολογίας του. Η απόπειρα αυτή, της προσέγγισης του κυρίως προβλήματος μέσω της αποτύπωσης των μεταβολών σε επιμέρους υποπροβλήματα, εισήγαγε τις έννοιες του συνόλου και του υποσυνόλου και επισήμανε την σημασία της αξιολόγησης της διακύμανσης των τιμών των μεταβλητών κάτω από την στοχευμένη μεταβολή συγκεκριμένων παραμέτρων. Οι τρεις αυτοί όροι όμως ανήκουν στον κλάδο των πιθανοτήτων και της στατιστικής, σημείωση που αναπόφευκτα οδήγησε στην προσέγγιση του προβλήματος από μια σκοπιά πιθανοτική-στοχαστική. Η στοχαστική ροή φορτίου αντιμετωπίζει τα φορτία και την παραγωγή των μονάδων ως τυχαίες μεταβλητές, και ερευνά τον αντίκτυπο της αβεβαιότητας αυτής στην επί των γραμμών μεταφερόμενη ισχύ, σε τυχαίες χρονικές στιγμές [5, 10, 13]. Η πιθανοτική ροή φορτίου εξετάζει την επίδραση της αβεβαιότητας του φορτίου στην δυνατότητα ανταπόκρισης του δικτύου στις τυχαίες μεταβολές αλλά σε βάθος χρόνου. Για αυτό χρησιμοποιεί ως μέσο τη αθροιστική κατανομή του φορτίου (συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας probabilistic density function PDF ) στο χρόνο [11]. Το βασικό ερώτημα που τίθεται στην πιθανοτική θεώρηση είναι: Ποιος είναι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος κατάστρωσης της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας του φορτίου; Η δειγματοληψία των διανυσμάτων κατάστασης, οι ροές ισχύος των γραμμών ή και τα δύο σε συνδυασμό; Η μέθοδος του Monte Carlo [26, 28] σχηματίζει τη συνάρτηση PDF λαμβάνοντας επαναλαμβανόμενα τιμές από τις μεταβλητές κατάστασης, των οποίων την κατανομή πιθανότητας έχει ως δεδομένη, και εξάγει με τις κλασσικές εξισώσεις την ροή ισχύος επί των γραμμών. Το τελικό βήμα είναι να αποκτήσει την πιθανοτική περιγραφή του διανύσματος κατάστασης από την επαναλαμβανόμενη δειγματοληψία. Για να αποκτήσουν όμως νόημα αυτοί οι υπολογισμοί απαιτούνται πάρα πολλές επαναλήψεις γεγονός που καθιστά αυτή την μέθοδο λιγότερο ελκυστική. Ένα δεύτερο μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι ότι ενώ εξάγει ακριβή συμπεράσματα για θεωρητικά μοντέλα, έστω και με χρονοβόρο τρόπο, δεν ανταποκρίνεται στα πρακτικά συστήματα. Γι αυτό χρησιμοποιείται κυρίως ως μέτρο σύγκρισης στα θεωρητικά περιγεγραμμένα μοντέλα για την εκτίμηση της ακρίβειας τους. Για το λόγο αυτό αναπτύχθηκαν μοντέλα τα οποία κατά σύμβαση θεωρούσαν τις ροές ισχύος, μεταξύ τους ανεξάρτητες, και γραμμικά εξαρτημένες από τις μεταβλητές εισόδου. Με τον τρόπο αυτό στόχευαν στην απόδειξη μιας αμελητέας επιρροής, της μη γραμμικότητας των 12

22 εξισώσεων της ροής, στη PDF και ως εκ τούτου τη χρήση της συνάρτησης αυτής για την επίλυση του προβλήματος μαζί με τα υπόλοιπα μαθηματικά εργαλεία της θεωρίας των πιθανοτήτων [15]. Μία εναλλακτική προσέγγιση που προτάθηκε ήταν η προσπάθεια επίλυσης στοχαστικών εξισώσεων της μορφής Α x = b Όπου: Α: είναι ο πίνακας αγωγιμοτήτων του δικτύου b: είναι το διάνυσμα των τυχαίων μεταβλητών εισόδου που αναπαριστούν φορτία σταθερού ρεύματος ή σταθερής ισχύος. Το ζήτημα εδώ εστιάζεται στην εξακρίβωση της τυχαίας φύσης του διανύσματος X δηλαδή των μεταβλητών εξόδου που είναι τα μέτρα και οι τάσεις των ζυγών του δικτύου [3]. Στη συνέχεια ακολούθησε η προσέγγιση της ζητούμενης λύσης των ροών οριοθετώντας την περιοχή στην οποία θα κυμαίνεται. Η κεντρική ιδέα αυτής της πρότασης είναι: αν πειραματικά εργαζόμενοι εφαρμόζαμε σε συστήματα, ιδανικά και πρακτικά σενάρια, θα καταλήγαμε σε ένα σύνολο αποτελεσμάτων των οποίων το εύρος θα κυμαίνονταν από τη βέλτιστη λύση του ιδανικού στη χειρότερη του πρακτικού. Η διακύμανση των αποτελεσμάτων αυτών έχει αισθητή και διακριτή επίδραση επί της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας του φορτίου. Διαμελίζοντας, λοιπόν τη συνάρτηση αυτή σε επιμέρους τμήματα, και παρατηρώντας την επίδραση των παραμέτρων που μεταβάλλουμε, στα υπό δοκιμή σενάρια, σε κάθε ένα από τα τμήματα αυτά, θα είχαμε ουσιαστικά δημιουργήσει ένα κριτήριο απ ευθείας σύγκλισης της ζητούμενης λύσης μας έχοντας απλά εξασφαλίσει να είναι οι τιμές εισόδου μέσα στο πεδίο ορισμού της πειραματικής μελέτης [8]. Τέλος το ενδιαφέρον επικεντρώθηκε στην εκτίμηση ενός διανύσματος αρχικής κατάστασης των μεταβλητών εξόδου το οποίο θα προσεγγίζει με όσο το δυνατόν καλύτερο τρόπο το ζητούμενο αποτέλεσμα. Έτσι επιδιώκεται η μείωση των επαναλήψεων των επαναληπτικών αλγορίθμων [6]. Στη παρούσα διπλωματική η επίλυση του προβλήματος εστιάστηκε στον έμμεσο προσδιορισμό των ροών ισχύος επί των γραμμών μέσω του υπολογισμού του μέτρου και της φάσης των τάσεων σε όλους τους ζυγούς του δικτύου. Για την υλοποίηση αυτής της σκέψης το δίκτυο αναπαρίσταται από ένα γράφο (δέντρο) ο οποίος επιλύεται βήμα-βήμα από την ρίζα πηγή του προς τα φύλλα-φορτία. Η ανάλυση των φορτίων σταθερής σύνθετης αντίστασης έγινε με πιθανοτικό τρόπο και ειδικά με 13

23 τη θεωρία των τυχαίων περιπάτων (random walks), ενώ η ανάλυση των φορτίων σταθερής ζήτησης ισχύος προσεγγίστηκε με τη λογική της αρχικής εκτίμησης του σφάλματος έχοντας καθορίσει τα όρια της αναμενόμενης λύσης. Στη συνέχεια θα παρατεθούν λίγα στοιχεία για τη θεωρία των γράφων ώστε να ολοκληρωθεί η περιγραφή του θεωρητικού περιβάλλοντος στο οποίο κινήθηκε η μελέτη για την εύρεση του μοντέλου αντιμετώπισης του προβλήματος. 2.2 Θεωρία Γράφων Η θεωρία των γραφημάτων (γράφων) είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που συμβάλλει στη σχηματική απεικόνιση των παραμέτρων ενός προβλήματος με τις σχέσεις που τα συνδέουν [27]. Γράφημα G είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος δύο ξένων μεταξύ τους συνόλων V 0 και E, G(V,E) Όπου: V : είναι το σύνολο των κορυφών (κόμβων) του γραφήματος Ε : είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των μη διατεταγμένων ζευγών του V ή των διατεταγμένων αν πρόκειται για προσανατολισμένο γράφημα. Τα στοιχεία του συνόλου Ε ονομάζονται πλευρές κλάδοι του γραφήματος. Οι κορυφές που ενώνονται από έναν ή περισσότερους κλάδους ονομάζονται γειτονικές. Ο κλάδος που ενώνει δύο κορυφές καλείται ως προσπίπτων ή διερχόμενος απ αυτές. Ο αριθμός V = V(G) ονομάζεται τάξη του γραφήματος. Για το μέγεθος m ενός γραφήματος ισχύει: 0 m ( ) = Για m=0 το γράφημα λέγεται κενό και για m=( ) πλήρες, τάξης n. Σε ένα τέτοιο γράφημα κάθε κορυφή του ενώνεται άμεσα με όλες τις υπόλοιπες. Ο αριθμός των κλάδων που διέρχονται από μία κορυφή v ενός γραφήματος G ονομάζεται βαθμός της κορυφής και συμβολίζεται με d(v) και ισχύει : 0 d(v) (. Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών ν i ενός γραφήματος ισούται με το διπλάσιο του αριθμού των κλάδων του e. 14

24 Σε ένα γράφημα G, μία πεπερασμένη ακολουθία στην οποία εναλλάσσονται κορυφές και κλάδοι, που αρχίζει και τελειώνει σε κορυφή και κάθε κλάδος της προσπίπτει στη κορυφή που έπεται και σε αυτή που προηγείται λέγεται δρόμος. Αν σε ένα δρόμο ενός γραφήματος κάθε κορυφή και κάθε κλάδος του εμφανίζονται μόνο μία φορά, αυτός λέγεται μονοπάτι. Αν το μονοπάτι αυτό έχει σαν άκρα την ίδια κορυφή τότε αυτό λέγεται κύκλος, ή βρόχος όπως στα ηλεκτρικά κυκλώματα. Ακόμα όταν για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει μονοπάτι που τις συνδέει τότε το γράφημα αυτό καλείται συνεκτικό. Το δέντρο λοιπόν είναι ένα συνεκτικό γράφημα χωρίς κύκλους. Τα δέντρα που μας απασχολούν εμάς είναι τα δέντρα με μία διακεκριμένη κορυφή (ρίζα) τα οποία είναι προσανατολισμένα, διότι όλοι οι κλάδοι τους έχουν κατεύθυνση από τη κορυφή προς τη ρίζα. Γι αυτό και αυτή η γραφική αναπαράσταση βρίσκει εφαρμογή στα δίκτυα μεταφοράς και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας γιατί ως ρίζες τους θεωρούνται οι υποσταθμοί παραγωγής και όλοι οι κλάδοι τους αντιστοιχούν στις γραμμές που κατευθύνονται στους κόμβους του συστήματος. Σχήμα 2.1: Δενδροειδής εικόνα του δικτύου 15

25 Αν σε κάθε κλάδο-ακμή ενός δέντρου (v i, v j ) ε Ε αντιστοιχίσουμε έναν αριθμό c ij τότε αυτό ονομάζεται βάρος του κλάδου και το γράφημα ονομάζεται γράφημα με βάρος στις ακμές. Αν αντιστοιχίσουμε σε κάθε κορυφή έναν αριθμό Ν i τότε έχουμε το γράφημα με βάρος στις κορυφές. Στην περίπτωση που έχουμε βάρη και στις ακμές αλλά και στις κορυφές έχουμε το γράφημα με βάρος το οποίο σε κάθε περίπτωση ονομάζεται δίκτυο. Τα βάρη αυτά μπορούν να υποδηλώνουν απόσταση, αντίσταση, ισχύ, συντελεστή ισχύος κ.α.. Γενικά δηλαδή αποτελούν παραμέτρους του συστήματος. Σχήμα 2.2: Γράφος με βάρη στις κορυφές (P, cos(φ)) και στους κλάδους (μήκος γραμμής l, λόγος στοιχείων γραμμής X/R ) Δίκτυο Με την χρήση των δέντρων επιδιώκουμε να αποκτήσουμε μία πιο εποπτική εικόνα του δικτύου, που θα μειώσει τη δυσκολία της ανάλυσης του καθώς μας προσφέρει μία εναλλακτική οπτική γωνία αντιμετώπισης του θέματος. Χαρακτηριστικό που μας προσφέρει ευελιξία και πλουραλισμό στον τρόπο σκέψης και στην αναζήτηση μεθόδων επίλυσης. 16

26 Ένα μεγάλο θέμα όμως των δέντρων είναι η μοντελοποίηση της αρίθμησης των κορυφών και των κλάδων του. Έχουν παρουσιασθεί αρκετές προτάσεις αρίθμησης και αναπτυχθεί αλγόριθμοι για την εύρεση της βέλτιστης. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε την πιο εύκολη στη χρήση η οποία περιγράφεται ως εξής: Έστω ένας περιπατητής ο οποίος ξεκινάει από τη ρίζα και επιδιώκει να αριθμήσει όλες τις κορυφές του δέντρου. Ο κανόνας της κίνησης του είναι αυτός του αριστερού χεριού. Ξεκινώντας αριθμεί τη ρίζα με το νούμερο μηδέν και στη συνέχεια παίρνει το αριστερότερο μονοπάτι της. Τον ίδιο κανόνα ακολουθεί σε κάθε κορυφή στην οποία και όταν φτάνει της δίνει τον αύξοντα αριθμό. Όταν καταλήγει σε κορυφή απόληξη επιστέφει στην προηγούμενη κορυφή και παίρνει το αμέσως δεξιότερο μονοπάτι απ αυτό που είχε πάρει αρχικά. Έτσι σταδιακά σαρώνεται όλο το δέντρο με μία ωρολογιακή κίνηση τόξου. Σχήμα 2.3: Φορά κίνησης τυχαίου περιπατητή για την αρίθμηση των κόμβων του δικτύου 17

27 3 Φορτία Σταθερής Σύνθετης Αντίστασης Το πρώτο είδος φορτίων που μας απασχόλησε ήταν τα φορτία σταθερής σύνθετης αντίστασης. Αυτή τη κατηγορία φορτίων τη προσεγγίσαμε με τη θεωρία των πιθανοτήτων και πιο συγκεκριμένα με τη θεωρία των τυχαίων περιπάτων (random walks). Παρακάτω θα παραθέσουμε μερικά στοιχεία για τη θεωρία αυτή και θα αποδείξουμε την σύνδεση της με τη θεωρία των ηλεκτρικών κυκλωμάτων [16, 17, 19-25]. Ένα παράδειγμα μίας τυχαίας διαδρομής μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Έστω ένας τυχαίος περιπατητής ο οποίος κινείται κατά μήκος μίας οδού με δύο ακραία σημεία το σπίτι του και ένα πάρκο. Το σημείο εκκίνησης του έστω ότι περιγράφεται με τη μεταβλητή x. Η διαδρομή του τερματίζεται όταν φτάσει σε ένα από τα δύο ακραία σημεία της οδού. Το πρόβλημα που θέτουμε είναι η εύρεση της πιθανότητας p(x) ο περιπατητής ο οποίος ξεκινάει από το σημείο x να φτάσει στο σπίτι του πριν φτάσει στο πάρκο. 18

28 Σχήμα 3.1: Απεικόνιση τυχαίου περιπάτου. Όπως θα αποδειχθεί η πιθανότητα αυτής της πορείας δεν ταυτίζεται με τη κλασσική πιθανότητα p(x) =. Ας παρουσιάσουμε το πρόβλημα σαν μία τυχαία διαδρομή σε ένα σύνολο ακεραίων Α={0,1,2,3,,Ν}. Ορίζουμε τη συνάρτηση p(x) ως την πιθανότητα να φτάσουμε στο σημείο Ν πριν το 0, η οποία ορίζεται στο σύνολο Α και έχει τρεις ιδιότητες. i. p(0)=0 ii. p(n)=1 iii. p(x)= p(x-1) + p(x+1) για x = 1,2,3,.., Ν-1 Οι πρώτες δύο ιδιότητες προκύπτουν από τη βασική μας θεώρηση ότι όταν φτάσουμε σε ένα από τα δύο ακραία σημεία της διαδρομής σταματάμε την κίνηση. Αν είμαστε στο σημείο 0 η πιθανότητα να φτάσουμε στο σημείο Ν πριν το 0 είναι μηδενική, ενώ αν βρισκόμαστε στο σημείο Ν η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1, αποτελεί δηλαδή το βέβαιο ενδεχόμενο. Η τρίτη ιδιότητα σημαίνει ότι, η πιθανότητα που ζητάμε ισούται με τον μέσο όρο των πιθανοτήτων που έχουμε να φτάσουμε στο επιθυμητό σημείο, από το σημείο στο οποίο θα βρεθούμε αμέσως μετά την εκκίνηση της πορείας μας. Δηλαδή αν ξεκινάμε από το x=2 η πιθανότητα που ζητάμε ισούται με: p(2)= p(1) + p(3). Σχήμα 3.2: Μετασχηματισμός του τυχαίου περιπάτου σε μαθηματικό πρόβλημα 19

29 Έστω τώρα, ότι αντί για ένα ευθύγραμμο αριθμημένο τμήμα έχουμε μία σειρά από αντιστάσεις (κατά μέτρο ίσες) στα δύο άκρα των οποίων υποβάλουμε μία τάση του 1 volt. Σχήμα 3.3: Παραλληλισμός του τυχαίου περίπατου με ένα κύκλωμα δύο ακροδεκτών Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε γειώσει τον κόμβο 0 και συνεπώς στο σημείο 5 έχουμε τάση 1volt. Αν είχαμε Ν το πλήθος κόμβων τότε θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι: i. u(0) = 0 ii. u(n) = 1 Το θέμα μας τώρα είναι να προσδιορίσουμε την τάση στα εσωτερικά σημεία του κυκλώματος μας. Από τον νόμο του Ohm γνωρίζουμε ότι αν δύο σημεία ενώνονται με μία αντίσταση τότε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση ισούται με: Άρα για τον τυχαίο κόμβο x τα ρεύματα που κατευθύνονται προς τους γειτονικούς (x+1) και (x-1) είναι : (1) (2) Όμως το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων κάθε χρονική στιγμή σε ένα κόμβο είναι μηδέν. Άρα: + = 0 => + = 0 => = 20

30 Καταλήξαμε λοιπόν σε μία σχέση που είναι όμοια με αυτήν που ορίσαμε για την πιθανότητα στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή η τάση του ζητούμενου κόμβου ισούται με το ημιάθροισμα των τάσεων των γειτονικών του. Αντιστοιχίζεται, επομένως, η πιθανότητα που έχει ένας τυχαίος περιπατητής να φτάσει σε ένα από τα δύο ακραία σημεία της διαδρομής του πριν το άλλο, με την πιθανότητα που έχει το ηλεκτρόνιο να φτάσει στο ένα από τα δύο ακραία σημεία του κυκλώματος που έχει τη μεγαλύτερη τάση. Αυτός είναι και ο αρχικός λόγος που κινηθήκαμε σε αυτή τη τροχιά μελέτης. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να οδηγηθούμε σε μία ανάλογη σχέση για ένα βροχοειδές κύκλωμα. Σχήμα 3.4: Βροχοειδές κύκλωμα Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε περισσότερα από ένα οριακά σημεία αλλά και πάλι καταλήγουμε στην σχέση: u(x,y) = Το πρόβλημα αυτό, όπως έχει μοντελοποιηθεί μπορεί να λυθεί με τους εξής τρόπους: Με επίλυση γραμμικών εξισώσεων: 21

31 Για R=1 Σε μορφή πινάκων αυτές οι γραμμικές εξισώσεις γίνονται: [ ] [ ] [ ] Είναι δηλαδή της μορφής: Ax=b=>x=A -1 b Η λύση τους είναι : x= [ ] Ο πίνακας Α στη θεωρία των αλυσίδων Markov [29],είναι ένας πίνακας μετάβασης. Αν παρατηρήσουμε καλύτερα τον πίνακα θα διαπιστώσουμε ότι τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα παίρνουν δύο τιμές: 0 αν οι κόμβοι στους οποίους αναφέρεται δεν συνδέονται αν οι κόμβοι συνδέονται μεταξύ τους Αυτό το κλάσμα στο παράδειγμα μας που έχουμε ίσες κατά μέτρο αντιστάσεις είναι το ίδιο σε κάθε ζευγάρι κόμβων που συνδέονται. Θα μπορούσαμε ακόμα να 22

32 παρατηρήσουμε από την εικόνα του κυκλώματος ότι το τυχαίο στοιχείο (x,y) του πίνακα Α ενδεχομένως να προκύπτει από την εξής αναλογία: Επειδή όμως ο πίνακας Α είναι ένα διάνυσμα το οποίο πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα τάσεων υποθέτουμε ότι ο λόγος αυτός δεν είναι λόγος αντιστάσεων αλλά αγωγιμοτήτων. Ας δούμε αν ισχύει η παρατήρηση αυτή σε ένα κύκλωμα με μη μοναδιαίες αντιστάσεις. Σχήμα 3.5: Βροχοειδές κύκλωμα Και σε αυτό το κύκλωμα ο νόμος του Ohm για κάθε σημείο x a,b είναι: Όπου: 23

33 Και: είναι η αγωγιμότητα του κλάδου Συνεπώς: ( ) Όπου: Και: που σημαίνει ότι σωστά είχαμε υποθέσει ότι οι λόγοι του πίνακα μετάβασης ήταν λόγοι αγωγιμοτήτων. Άρα : (1) Ή σε μορφή πίνακα : [ ] [ ] Και για το παράδειγμά μας με: [ ] [ ] Η λύση προκύπτει: [ ] [ ] [ ] Ας δούμε λίγο τώρα σχηματικά τι αναπαριστούν οι λόγοι: 24

34 Σχήμα 3.6: Σχηματική απεικόνιση των πιθανοτήτων μετάβασης του ρεύματος Αθροιστικά οι όροι αυτοί σε κάθε σημείο κόμβο είναι μονάδα. Πιθανοτικά ηλεκτρικά αυτό ερμηνεύεται ως εξής: Ο τυχαίος περιπατητής, που στα κυκλώματα είναι το ηλεκτρόνιο, όταν βρίσκεται σε ένα κόμβο η πιθανότητα που έχει να κινηθεί προς κάποιον γειτονικό του είναι μονάδα, αποτελεί δηλαδή το βέβαιο ενδεχόμενο. Κάθε ένας όμως από τους λόγους, για κάθε κλάδο που διέρχεται από το κόμβο στον οποίο βρίσκεται το ηλεκτρόνιο μας, αντιπροσωπεύει την πιθανότητα του ηλεκτρονίου να επιλέξει να κινηθεί προς τη συγκεκριμένη κατεύθυνση. Όσο μικρότερη είναι η αντίσταση του κλάδου ή όμοια όσο μεγαλύτερη είναι η αγωγιμότητα του τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα το τυχαίο ηλεκτρόνιο να κινηθεί προς το κλάδο αυτό. Πρόταση που συνδέει άμεσα πιθανότητες με ηλεκτρικά χαρακτηριστικά. Θα προχωρήσουμε τώρα ένα βήμα παρακάτω και θα ασχοληθούμε με κυκλώματα με σύνθετες αντιστάσεις και με εναλλασσόμενες τάσεις να δούμε αν μπορούμε να βγάλουμε κάποια αντιστοιχία [16-18]. 25

35 Στο παρακάτω σχήμα αναπαρίσταται ένα τμήμα ενός κυκλώματος. Σχήμα 3.7: Τμήμα δικτύου που οι γραμμές του παρουσιάζονται με τις σύνθετες αντιστάσεις τους Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff για το σημείο 0 λέει ότι: Όπου: n : το σύνολο των κλάδων που διέρχονται από το 0. ( ) Έστω: Άρα : Συνεπώς και πάλι η τάση του ζητούμενου κόμβου είναι γραμμικά εξαρτημένη από τις τάσεις των γειτονικών της κόμβων. Μάλιστα οι συντελεστές των τάσεων των 26

36 γειτονικών κόμβων έχουν και εδώ την ίδια μορφή με την DC ανάλυση που είχε γίνει στα προηγούμενα παραδείγματα. Συνεπώς μπορούμε να πούμε περιφραστικά ότι : Η τάση ενός κόμβου ισούται με το άθροισμα των γινομένων των πιθανοτήτων του ρεύματος ( του. ) να κινηθεί προς ένα γειτονικό κόμβο με την αντίστοιχη τάση (2) Επομένως, έχουμε καταλήξει στο ότι η αντιστοιχία πιθανοτήτων και λόγων αγωγιμοτήτων ισχύει και στη περίπτωση που το κύκλωμα μας έχει σύνθετες αντιστάσεις και οι τάσεις των κόμβων του εκφράζονται με στρεφόμενα διανύσματα. Αμέσως επόμενο βήμα είναι να προσπαθήσουμε να συνδέσουμε αυτό το συμπέρασμα μας με τα ακτινικά δίκτυα διανομής όπου γνωρίζουμε την τάση της πηγής, τις σύνθετες αντιστάσεις των γραμμών και τα φορτία. Τα φορτία με τα οποία ασχολούμαστε εδώ όπως έχουμε πει είναι αυτά που προσομοιώνονται με τις σύνθετες αντιστάσεις τους. Ουσιαστικά δηλαδή, είναι σαν να έχουμε ένα δίκτυο από σύνθετες αντιστάσεις (γραμμές και φορτία) και μία τάση αναφοράς και θέλουμε να βρούμε βήμα βήμα τις τάσεις όλων των κόμβων μέχρι και τα σημεία που είναι η κατανάλωση. Επειδή όμως ο στόχος μας είναι η βήμα προς βήμα επίλυση του κυκλώματος θα καταστρώσουμε τις γραμμικές σχέσεις των τάσεων των κόμβων που όπως δείξαμε παραπάνω είναι εύκολο να βρεθούν και να τις λύσουμε. Θα προσπαθήσουμε όμως να βγάλουμε και έναν τύπο ο οποίος να εφαρμόζεται σε κάθε κόμβο που έπεται μιας γνωστής τάσης και να δίνει αποτέλεσμα κατά μέτρο και φάση. Οι όροι του οποίου, θα αλλάζουν ανάλογα με την τοπολογία του δικτύου, δηλαδή με βάση το βάθος των κόμβων που έπονται του ζητούμενου. 27

37 Έστω ένα ακτινικό δίκτυο του παρακάτω σχήματος. Σχήμα 3.8: Δίκτυο Δέντρο βάθους 2 Οι τάσεις των κόμβων 2,3,4,5,6 είναι άγνωστες και σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση περιγράφονται από τις εξής γραμμικές εξισώσεις. (1) (2) (3) (4) (5) 28

38 Όπου : Και : Αντικαθιστώ τώρα τις εξισώσεις (3) και (4) στην (1) γράφοντας τώρα τους λόγους αγωγιμοτήτων με τη μορφή των πιθανοτήτων μετάβασης. Όμοια αντικαθιστώ την (5) στην (2) και παίρνω. (6) 29

39 (7) Συνεπώς μπορούμε να εξάγουμε ένα γενικό τύπο βασισμένο στις πιθανότητες (δηλαδή τους λόγους των αγωγιμοτήτων των γραμμών) που να μας δίνει την τάση κάθε κόμβου σε συνάρτηση με τον προηγούμενο του. Ένας τέτοιος τύπος μπορεί να περιγραφεί όπως παρακάτω: Σημείωση: Ο δείκτης υποδηλώνει τον αμέσως προηγούμενο κόμβο από τον i. Η αρίθμηση αυτή δεν ανταποκρίνεται στον τρόπο με τον οποίο έχουμε επιλέξει να αριθμούμε τα δέντρα μας. Αυτό σημαίνει ότι κάθε προηγούμενος κόμβος δεν θα έχει πάντα αριθμοδείκτη κατά ένα μικρότερο από τον ζητούμενο. Το αναφέρεται σε όλους τους παραγόμενους κλάδους του ζητούμενου. Το j δεικτοδοτεί επομένως όλους τους γειτονικούς κόμβους του ζητούμενου που είναι βάθους ύψους κατά ένα μεγαλύτεροι. Ο παραπάνω τύπος ισχύει για δίκτυα που το βάθος των κόμβων τους ισούται με 3. Για μεγαλύτερο βάθος, όπως θα δείξουμε παρακάτω, ο παρανομαστής της σχέσης μας αλλάζει. Θα παραθέσουμε στη συνέχεια ένα γενικότερο δίκτυο και θα κάνουμε και αριθμητική εφαρμογή για να εκτιμήσουμε το αποτέλεσμα. 30

40 Σχήμα 3.9: Δίκτυο με διαφορετικά βάθη υποδένρων Οι γραμμικές εξισώσεις των τάσεων των κόμβων προκύπτουν: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 31

41 Ο πίνακας μετάβασης του συστήματος μας προκύπτει: [ ] ή με τη μορφή των πιθανοτήτων [ ] Ο πίνακας αυτός έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Τα στοιχεία της διαγωνίου του παίρνουν την τιμή 1. Τα μη διαγώνια στοιχεία λαμβάνουν την τιμή 0, όταν οι αντίστοιχοι κόμβοι δεν συνδέονται, ή την πιθανότητα μετάβασης από τον κόμβο i στον j με αρνητικό πρόσημο όταν συνδέονται. Τα μη διαγώνια και ταυτόχρονα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με τον αριθμό των κλάδων του δικτύου. Εφόσον τα δίκτυα που μελετάμε είναι ακτινικά, που σημαίνει ότι δεν έχουμε βρόχους, ο πίνακας Α είναι ένας αραιός πίνακας. Τα περισσότερα στοιχεία του είναι μηδενικά. 32

42 Συνεπώς το σύστημα μας μπορεί να λυθεί ως εξής: Α => [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Τα δίκτυα όμως στη πράξη αποτελούνται από πάρα πολλούς κόμβους, γεγονός που αυξάνει πολύ το μέγεθος των πινάκων μετάβασης. Κατά συνέπεια αυξάνονται οι απαιτήσεις σε μνήμη των υπολογιστικών αλγορίθμων και ο υπολογιστικός χρόνος διότι απαιτείται η αντιστροφή του πίνακα μετάβασης για την εύρεση της λύσης. Έχουν αναπτυχθεί όμως αρκετές μέθοδοι συμπίεσης των αραιών πινάκων [30] χωρίς να χάνεται η απαραίτητη πληροφορία. Η μέθοδος αυτή δεν διαφέρει από τη κλασσική μέθοδο κόμβων [2], απλά περιέχει την αντιστοίχηση του λόγου των αγωγιμοτήτων με τις πιθανότητες μετάβασης. Έχουμε όμως δείξει και την ύπαρξη ενός τύπου του οποίου οι όροι αλλάζουν ανάλογα με την τοπολογία του δικτύου, ο οποίος υπολογίζει βήμα προς βήμα τις τάσεις όλων των ζυγών του δικτύου ξεκινώντας από τη ρίζα του (πηγή-αναφορά). Για να δούμε πως διαμορφώνεται ο τύπος θα εργαστούμε, και πάλι, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3),(4) στην (2) και τις (6),(7),(8) στην (5). Κάνοντας πράξεις καταλήγουμε στις εξής δύο εξισώσεις: 33

43 (9) (10) Συμπεράσματα: Και οι δύο τύποι στον αριθμητή τους έχουν τη πιθανότητα μετάβασης του ρεύματος από τον ζητούμενο κόμβο προς αυτόν που τον «παράγει». Ο παρανομαστής τους όμως διαφέρει αισθητά και μάλιστα φαίνεται ότι προστέθηκε ένας όρος της γενικής μορφής που είχαμε καταλήξει για ένα δίκτυο βάθους 2 ). Αν εστιάσουμε λίγο περισσότερο στα δύο υποδέντρα που σχηματίζονται από τον ζυγό ρίζα (βάθος 0) θα διαπιστώσουμε ότι το ένα (κόμβοι 2,3,4) είναι βάθους 2 ενώ το άλλο (κόμβοι 5,6,7,8) είναι βάθους 3. Αυτή και μόνο η παρατήρηση μας οδηγεί στην κατάστρωση ενός γενικού τύπου του οποίου ο παρανομαστής του μεταβάλλεται ανάλογα με το βάθος του υποδέντρου στο οποίο αναφέρεται. Επεξηγήσεις τύπου: Ο δείκτης (i-1) αναφέρεται στον κόμβο από τον οποίο προέρχεται ο ζητούμενος και δεν συμβαδίζει με την αρίθμηση του δέντρου. Ο αριθμός των αθροιστικών παραγόντων που εμφανίζονται στον τύπο ισούται με το βάθος του υποδέντρου που σχηματίζεται από τον υπό εξέταση κόμβο. Ο δείκτης n του πρώτου αθροίσματος δείχνει τον αριθμό των παραγόμενων κόμβων από τον κόμβο i (βάθους 1 του υποδέντρου). Ο δείκτης k του δεύτερου αθροίσματος δηλώνει τον αριθμό των κόμβων που παράγονται από κάθε έναν κόμβο «παιδί» του αρχικού. Δηλαδή τους κόμβους 2 ης γενιάς του αρχικού (βάθους 2 του υποδέντρου). Αντίστοιχα ο δείκτης l του τρίτου 34

44 αθροίσματος, τους κόμβους 3 ης γενιάς (βάθους 3 του υποδέντρου) και ούτω καθεξής Συμπεράσματα τύπου: Ο παράγοντας ουσιαστικά αντιπροσωπεύει την ποσοστιαία μεταβολή του μέτρου της τάσης του κόμβου που ζητάμε από αυτόν που προέρχεται. Η πτώση τάσης ανάμεσα σε δύο κόμβους είναι Αριθμητική εφαρμογή στο δίκτυο του Σχήματος 3.9 Τα στοιχεία των γραμμών είναι: Y 12 =3.128< o Y 23 =3.333< o Y 24 =2.5< o Y 15 =1.587< o Y 56 =1.048< o Y 67 =3.289< o Y 68 =2.237< o Τα φορτία είναι: Y φ3 =0.106< ο Y φ4 =0.061< o Y φ5 =0.085< o Y φ7 =0.098< o 35

45 Y φ8 =0.088< o α) Με χρήση του πίνακα μετάβασης: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Η αντιστροφή του πίνακα Α έγινε με το πρόγραμμα MATLAB 6.5 β) Με βήμα βήμα επίλυση: 36

46 γ) Με το πρόγραμμα NEPLAN 5.1 Σχήμα 3.10: Δίκτυο υψηλής τάσης με φορτία σταθερής σύνθετης αντίστασης προσομοιωμένο στο NEPLAN. 37

47 Τα συγκριτικά αποτελέσματα παρουσιάζονται στους παρακάτω πίνακες: Πίνακες 3.1: Συγκριτικοί πίνακες των τάσεων των ζυγών του δικτύου του σχήματος 3.9 Παρατηρούμε ότι οι διαφορές είναι πάρα πολύ μικρές τόσο στα μέτρα των τάσεων όσο και στις γωνίες τους. Το πρόγραμμα NEPLAN χρησιμοποιεί τον επαναληπτικό αλγόριθμο Newton Raphson ενώ εμείς επιτυγχάνουμε αποτελέσματα με πολύ μικρό σφάλμα είτε με την αντιστροφή του πίνακα μετάβασης είτε με την σταδιακή επίλυση με τη χρήση του τύπου που αναφέραμε παραπάνω. Ένα πλεονέκτημα του τύπου είναι ότι όσο προχωράμε από τη «ρίζα» προς τα φορτία του δικτύου - δέντρου ελαττώνεται η πολυπλοκότητα του και γίνεται πιο εύχρηστος λόγω της σταδιακής μείωσης του βάθους των υποδέντρων στα οποία προοδευτικά αναφερόμαστε. 38

48 Βρίσκοντας τα μέτρα και τις φάσεις των τάσεων σε όλους τους ζυγούς συστήματος μας, έχουμε όλη την αναγκαία πληροφορία που χρειαζόμαστε για την εύρεση των ισχύων των φορτίων και των απωλειών των γραμμών. Πιο συγκεκριμένα η ισχύς των φορτίων μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: Όμως Άρα: Οι απαιτήσεις σε άεργο ισχύ του φορτίου είναι: ή Οι απώλειες ενεργού ισχύος των γραμμών: Όμως : Άρα : ( ) Οι απαιτήσεις σε άεργο ισχύ των γραμμών είναι: => ή ( ) ή Σημείωση Οι όροι είναι διανυσματικά αθροίσματα για να περιλαμβάνουν και την επίδραση της στροφής της φάσης των διανυσμάτων των τάσεων στις ροές ισχύος. 39

49 Συγκριτικοί πίνακες υπολογισμού ροών ισχύος. Πίνακες 3.2: Συγκριτικοί πίνακες της βήμα βήμα επίλυσης και μετρήσεις από NEPLAN 40

50 Όπως παρατηρούμε οι διαφορές που προκύπτουν είναι πολύ μικρές και οφείλονται σε δύο λόγους: 1. Ως προς τις ισχύεις των φορτίων λόγω της προσέγγισης που κάνουμε στα μέτρα των φορτίων, των τάσεων και των συντελεστών ισχύος στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. 2. Ως προς τις απώλειες ενεργού ισχύος των γραμμών (ή τις απαιτήσεις σε άεργο ισχύ) λόγω της μικρής απόκλισης που παρουσιάζουν οι στροφές φάσης των τάσεων και οι οποίες και πάλι εξαρτώνται από τις μαθηματικές προσεγγίσεις που κάνουμε. Αν δηλαδή στρογγυλοποιούσαμε τα αποτελέσματα στο 3 ο δεκαδικό ψηφίο η απόκλιση θα ήταν ακόμα πιο μικρή. Τελικό αποτέλεσμα Πίνακας 3.2: Τελικά αποτελέσματα στο ζυγό τροφοδοσίας Συνολικό σφάλμα: Τα σφάλματα όπως βλέπουμε είναι μικρότερα από 1% οπότε είμαστε ικανοποιημένοι από την ακρίβεια της μεθόδου. Το πρόβλημα της μεθόδου είναι ότι θα υπολογίσει τα μέτρα και τις φάσεις των τάσεων του δικτύου, χωρίς να μπορεί να εντοπίσει την περίπτωση που το σύστημα δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή ο αλγόριθμος Newton Raphson δεν θα συνέκλινε. Για το λόγο αυτό πρέπει να προστεθεί κάποιο κριτήριο όπως για παράδειγμα ένα επιθυμητό όριο πτώσης τάσης, πέραν του οποίου το σύστημα θα θεωρούμε ότι γίνεται ασταθές. 41

51 4 Φορτία Σταθερής Ισχύος 4.1 Περιγραφή Στο κεφάλαιο αυτό θα μας απασχολήσουν τα φορτία σταθερής ισχύος. Τα φορτία αυτής της κατηγορίας απορροφούν σταθερή ενεργό ισχύ και έχουν συγκεκριμένο συντελεστή ισχύος [1]. Έστω λοιπόν, ένα δίκτυο μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας στο οποίο τα φορτία μας είναι της παραπάνω κατηγορίας. Σε αυτόν τον τύπο προβλημάτων τα δεδομένα μας είναι τα εξής: Η τάση αναφοράς (V<0 o ) Οι σύνθετες αντιστάσεις των γραμμών μεταφοράς Όπου: και Τα φορτία ( P,cos(φ) ) Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις ροές ισχύος από τον κόμβο αναφοράς προς τους υπόλοιπους κόμβους είναι: (1) 42

52 (2) Όπου: θ = η διαφορά φάσης μεταξύ των τάσεων Τα ζητούμενα του προβλήματος είναι το μέτρο και η φάση των τάσεων όλων των κόμβων του συστήματος. Με αυτά τα στοιχεία μπορούμε να υπολογίσουμε τις απώλειες ενεργού ισχύος επί των γραμμών και τις απαιτήσεις τους σε άεργο ισχύ. Έτσι έχουμε όλη την αναγκαία πληροφορία για να αποφανθούμε για την λειτουργία του συστήματος. Ο στόχος μας και σε αυτή τη περίπτωση είναι να αναπτύξουμε ένα μοντέλο βήμα προς βήμα επίλυσης του συστήματος. Ξεκινώντας δηλαδή από την τάση αναφοράς του δικτύου να υπολογίζουμε την τάση κάθε ζυγού που έπεται, σαρώνοντας δηλαδή το δέντρο σταδιακά από τη ρίζα προς τα φύλλα (φορτία) Μαθηματική Επεξεργασία Ως πρώτο βήμα θα εστιάσουμε σε ένα απλό σύστημα, στο οποίο η αναφορά μας συνδέεται με ένα ζυγό, από τον οποίο τροφοδοτείται ένα φορτίο. Σχήμα 4.1: Υποθετικό δίκτυο δύο ζυγών 43

53 Οι ισχείς στα δύο άκρα του συστήματος δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: Feeder Load (3) (5) (4) (6) Το ρεύμα που διαρρέει τον κλάδο είναι το ρεύμα που απορροφάει το φορτίο γι αυτό και είναι κοινό στις παραπάνω εξισώσεις. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας όμως γνωρίζουμε ότι: (7) (8) Όπου: (9) (10) Διαιρούμε κατά μέλη τις εξισώσεις (7) και (8): Αντικαθιστούμε στη συνέχεια στην (11) τις εξισώσεις (3),(4),(5),(6),(9),(10): Αντικαθιστούμε τώρα την εξίσωση (12) στις εξισώσεις της ροής φορτίου (1) και (2): Όπου : 44

54 Και: Μετά από πράξεις οι εξισώσεις της ροής ενεργού και άεργου ισχύος, από το άκρο αποστολής S στο άκρο της κατανάλωσης R, παίρνουν την εξής τελική μορφή: Όπου: κ 1 = λ 1 = κ 2 = ( ) λ 2 = ( ) Και : κ = κ 1 + κ 2 λ =λ 1 + λ 2 Ενώ: Α = Β = Γ = 45

55 Δ = Έχουμε καταφέρει λοιπόν να απομονώσουμε σε δύο εξισώσεις μόνο ένα άγνωστο, δηλαδή τη διαφορά φάσης μεταξύ των τάσεων αναφοράς και κατανάλωσης (θ), δεσμευμένη μέσα στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις (cos(2θ)και sin(2θ)). Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε ως προς ένα τριγωνομετρικό αριθμό αντικαθιστώντας την μία στην άλλη ή διαιρώντας τις κατά μέλη θα καταλήξουμε σε ταυτότητα. Γεγονός που υποδηλώνει ότι πρόκειται ουσιαστικά για μία εξίσωση μετασχηματισμένη σε δύο μορφές κατάλληλες για να δίνουν αποτέλεσμα για την ενεργό ισχύ (εξίσωση (13)) και την άεργο αντίστοιχα (εξίσωση (14)). Αν τώρα εστιάσουμε λίγο πιο προσεκτικά στις δύο αυτές εξισώσεις θα διαπιστώσουμε μία αντιστοιχία στους παράγοντες που την απαρτίζουν. Μία αντιστοιχία που απλοποιεί την διαδικασία υπολογισμού της και που επισημαίνει την εξάρτηση των παραγόντων Α,Β,Γ,Δ από τους κ,λ. Πιο συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι: Και : άρα οι εξισώσεις (13) και (14) μετατρέπονται στις: Όμως οι παράγοντες κ και λ συνδέονται με την ίδια σχέση που συνδέονται και τα P και Q: Οπότε η τελική μορφή που παίρνει η εξίσωση (19) είναι: 46

56 [ ] Δηλαδή όλοι οι όροι της ελέγχονται από τον παράγοντα λ = λ 1 + λ 2 = κtan(φ) Προχωράμε τώρα στο αμέσως επόμενο βήμα που είναι ο υπολογισμός της ζητούμενης γωνίας (θ). Θα αντικαταστήσουμε την εξίσωση (22) στην τριγωνομετρική ταυτότητα: Θέτουμε στην σχέση (22): Και αυτή γίνεται: Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την (24) στην (23) και κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην εξής δευτεροβάθμια εξίσωση: [ ] Η διακρίνουσα της προκύπτει: Και οι δύο λύσεις της είναι: 47

57 Διερεύνηση των λύσεων: Για να έχουμε πραγματική λύση στο σύστημα πρέπει η διακρίνουσα του να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Επομένως: ή (27) Η παραπάνω συνθήκη αποτελείται από τα εξής στοιχεία: Την ενεργό ισχύ P Το μέτρο της σύνθετης αντίστασης της γραμμής (z) Το τετράγωνο της τάσης αναφοράς ( ) Τους παράγοντες οι οποίοι είναι και αυτοί συναρτήσεις των στοιχείων της γραμμής και του συντελεστή ισχύος του φορτίου. Συνεπώς μπορούμε να μελετήσουμε τα όρια αντοχής του συστήματος για διάφορα σενάρια. Για παράδειγμα μπορούμε να ελέγξουμε για δεδομένη τάση αναφοράς και φορτίο τα χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει η γραμμή για να το τροφοδοτήσει. Ακόμα καλύτερα μπορούμε να υπολογίσουμε για δεδομένη αναφορά και γραμμή μεταφοράς μέχρι τι φορτίο μπορούμε να υποστηρίξουμε. Παρατήρηση Οι συντελεστές α και γ είναι της ίδιας τάξης μεγέθη. Αν καταχρηστικά θέταμε α γ τότε οι δύο λύσεις του συστήματος μας θα προέκυπταν: Όμως γνωρίζουμε ότι η γωνία φόρτισης της γραμμής, δηλαδή η διαφορά φάσης μεταξύ των τάσεων της τροφοδοσίας και της παραλαβής, για να ευσταθεί το σύστημα πρέπει να είναι μικρότερη των 40 ο ( ). Δηλαδή πρέπει το να είναι όσο πιο κοντά στη μονάδα. Συνεπώς από τις δύο λύσεις θα δεχόμαστε πάντα την : α) Αν θα σημαίνει ότι το διάνυσμα της τάσης που ζητάμε θα προηγείται του διανύσματος της τάσης αναφοράς. 48

58 β) Αν η ζητούμενη τάση θα έπεται κατά φάση της αναφοράς. Προχωρώντας ένα βήμα παρακάτω θα ελέγξουμε το πρόσημο του παράγοντα. Για: Ελέγχουμε χωριστά αριθμητή και παρανομαστή: Και εφόσον: θα ισχύει η ανίσωση για δηλαδή όταν η γωνία του συντελεστή ισχύος του φορτίου θα είναι μικρότερη από τη γωνία της σύνθετης αντίστασης της γραμμής. Αν τότε και Αλλιώς αν τότε και Οπότε πάντα θα ισχύει Η εκτενής μαθηματική απόδειξη όλης της παραπάνω μαθηματικής προσέγγισης παρατίθεται στο παράρτημα [Α] Επαλήθευση Θα προχωρήσουμε τώρα σε αριθμητική εφαρμογή σε ένα δίκτυο με μία τροφοδοσία και μία κατανάλωση. Θα μεταβάλλουμε κάθε φορά έναν από τους παράγοντες P, cos(φ), Zγραμμής. Θα παραθέτουμε τα αποτελέσματα σύμφωνα με την παραπάνω μαθηματική μεθοδολογία και θα τα συγκρίνουμε με το πρόγραμμα NEPLAN 5.1. Έστω το παρακάτω υποθετικό δίκτυο δύο ζυγών. 49

59 Τα δεδομένα μας λοιπόν είναι: Σχήμα 4.2: Δίκτυο δύο ζυγών Υπολογισμός: και Άρα περιμένουμε ο συντελεστής να είναι μεγαλύτερος του μηδενός: Και : Επομένως: 50

60 Επειδή όμως ο συντελεστής έπεται φάσης από την αναφορά: θα γνωρίζουμε ότι η τάση που ζητάμε θα Το μέτρο της τάσης θα το υπολογίσουμε από την εξίσωση (12) : Άρα Οι απώλειες επί της γραμμής θα υπολογιστούν με βάση τους τύπους που χρησιμοποιήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο: Τα αποτελέσματα από το NEPLAN 5.1 φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 4.3: Προσομοίωση του δικτύου δύο ζυγών στο NEPLAN 51

61 Τα αποτελέσματα μας βλέπουμε ότι έχουν πολύ μικρό σφάλμα και η εκτίμησή μας για τη θέση του διανύσματος της τάσης του ζυγού του φορτίου σε σχέση με το ζυγό αναφοράς είναι σωστή Πειραματική Ανάλυση Έστω τώρα ότι για το συγκεκριμένο δίκτυο θέλαμε να ελέγξουμε τι μέγεθος φορτίου μπορούμε να τροφοδοτήσουμε με τον ίδιο συντελεστή ισχύος. Όπως αναφέραμε παραπάνω η διακρίνουσα της εξίσωσης (25) είναι αυτή που καθορίζει τα όρια αντοχής του συστήματος μας. Για να έχουμε λύση στο σύστημα μας πρέπει να είναι : Άρα θα ελέγξουμε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου με μεταβλητή το δούμε σε ποιο σημείο του γίνεται αρνητικό. για να Η διακρίνουσα αυτού του τριωνύμου είναι: Και οι δύο λύσεις προκύπτουν: και Το πρόσημο του τριωνύμου θα είναι ετερόσημο του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου εντός των ριζών και επίσης ισχύει ότι. Τελικά η μεταβολή του προσήμου του τριωνύμου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 52

62 Σχήμα 4.4: Διακύμανση πρόσημου της διακρίνουσας για μεταβλητή ενεργό ισχύ Συμπέρασμα Από την παραπάνω διερεύνηση γίνεται φανερό ότι μπορούμε θεωρητικά να τροφοδοτήσουμε φορτίο ισχύος έως 15,34187 GW. Αν δοκιμάσουμε να επαληθεύσουμε το αποτέλεσμα με το πρόγραμμα NEPLAN 5.1 θα διαπιστώσουμε ότι για ισχύ 15 GW ο αλγόριθμος συγκλίνει μετά από 7 επαναλήψεις και η τάση του ζυγού που εξετάζουμε προκύπτει:. Με τη μεθοδολογία που αναπτύξαμε παραπάνω το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι:. Το σφάλμα είναι σχεδόν μηδενικό. Το σύστημα μας στη πράξη μπορεί και να μην είναι εφικτό διότι παρουσιάζει μεγάλη πτώση τάσης αλλά αυτό που εξετάζουμε σε αυτό το σημείο είναι η θεωρητική επίλυση του προβλήματος. Αν στη συνέχεια δοκιμάζαμε για ισχύ 16 GW θα παρατηρούσαμε ότι ο αλγόριθμος που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα μετά από 50 επαναλήψεις δεν θα συνέκλινε. Αντίθετα στη δικιά μας μαθηματική προσέγγιση η διακρίνουσα του τριωνύμου θα έβγαινε οπότε θα συμπεραίναμε ότι το σύστημα μας δεν έχει λύση. Αυτό είναι και ένα πλεονέκτημα της μεθόδου που έχουμε παρουσιάσει. Μπορεί δηλαδή να αποφανθεί εξ αρχής για την ύπαρξη λύσης ελέγχοντας απλά το πρόσημο της διακρίνουσας. Έστω ότι θέλουμε τώρα να δούμε την επίδραση του συντελεστή ισχύος του φορτίου στην ύπαρξη λύσης του συστήματος. Για να το ελέγξουμε θα κρατήσουμε σταθερή την ισχύ του και θα μεταβάλλουμε τον συντελεστή ισχύος του. 53

63 Από τον τρόπο που έχουμε αναλύσει το πρόβλημα γνωρίζουμε ότι οι συντελεστές της διακρίνουσας α και είναι μεγέθη άμεσα εξαρτώμενα. Διατηρώντας σταθερή την ισχύ του φορτίου και με δεδομένο ότι δεν αλλάζει η γραμμή και η τάση τροφοδοσίας ο παράγοντας παραμένει σταθερός και γενικά μικρότερος της μονάδας. Παρατήρηση που δηλώνει ότι όταν το α αυξάνεται και επειδή το γ θα τείνει στο α. Το σύστημα μας όμως δεν θα έχει λύση όταν Δ<0. Δηλαδή όταν. και λ 2 = ( ) Ο συντελεστής για συγκεκριμένη γραμμή όταν αλλάζει ο συντελεστή ισχύος έχει μικρή μεταβολή εξαιτίας της μορφής του. Ο παράγοντας όμως λ 2 έχει μεγάλη εξάρτηση από το συντελεστή ισχύος, διότι η γωνία φ εμφανίζεται μόνο στο παρανομαστή του και μάλιστα στο τετράγωνο. Όταν λοιπόν η γωνία αυξάνεται, η παράσταση μειώνεται, με συνέπεια να αυξάνεται ο παράγοντας λ 2. Άρα ο συντελεστής α αυξάνεται (κατ απόλυτο τιμή) αλλά η αύξηση του αυτή προκαλείται κατά κύριο λόγο από τον παράγοντα. Με αποτέλεσμα ο συντελεστής από κάποια γωνία και μετά να αυξάνεται με τρόπο που το τετράγωνο του να είναι μεγαλύτερο από το. Αντίθετα αν ο συντελεστής ισχύος του φορτίου βελτιώνεται, η παράσταση αυξάνεται και ο συντελεστής λ 2 μειώνεται. Συνεπώς η επίδραση του στην μεταβολή του α είναι συγκρίσιμη με τη μεταβολή που προκαλεί το. Και επειδή το είναι κατά κανόνα πολύ μικρότερο της μονάδας και μικρότερο του β δεν μπορεί να αυξήσει το γ με τρόπο που το τετράγωνο του να είναι μεγαλύτερο του. Συνεπώς όσο η γωνία του συντελεστή ισχύος πλησιάζει τη γωνία της σύνθετης αντίστασης της γραμμής το σύστημα οδηγείται σε αστάθεια και μάλιστα όσο μεγαλύτερο είναι το φορτίο τόσο μικρότερη δυνατότητα αύξησης έχει η γωνία φ. 54

64 Αυτό συμβαίνει λόγω της αύξησης της επίδρασης του παράγοντα στην αύξηση του συντελεστή γ. Για παράδειγμα στο υπό μελέτη σύστημα μας για ένα φορτίο 5 GW ο ελάχιστος δυνατός συντελεστής ισχύος που επιτρέπεται να έχει είναι cosφ=0,385 (φ=67,35 ο ) και η γραμμή έχει y=86,36 ο. Ενώ για ένα φορτίο 10 GW ο ελάχιστος δυνατός συντελεστής ισχύος του είναι cosφ=0,695 (φ=45,97 ο ) για την ίδια γωνία της γραμμής. Επίσης με την μείωση του συντελεστή ισχύος του φορτίου παρατηρείται, στο ζυγό στον οποίο συνδέεται, μείωση του μέτρου και μεγαλύτερη στροφή φάσης της τάσης του. Παρατήρηση λογική διότι όσο πιο «καλό» συντελεστή ισχύος έχουμε τόσο μικρότερες είναι οι απαιτήσεις του φορτίου σε άεργο ισχύ και συνεπώς το μέτρο της τάσης που είναι σε άμεση εξάρτηση με την άεργο ισχύ μεταβάλλεται σε μικρότερο ποσοστό σε σχέση με την αναφορά. Γεγονός που υποδεικνύει ότι η πηγή μπορεί πιο εύκολα να τροφοδοτήσει φορτία με μεγάλο συντελεστή ισχύος. Στους παρακάτω πίνακες φαίνεται η μεταβολή των συντελεστών α, β, γ, με την μείωση του συντελεστή ισχύος του φορτίου καθώς και της τάσης του υπό εξέταση ζυγού. Πίνακας 4.1: Μεταβολή των συντελεστών α,β,γ συναρτήσει του συντελεστή ισχύος για φορτίο 5GW Πίνακας 4.2: Μεταβολή των συντελεστών α,β,γ συναρτήσει του συντελεστή ισχύος για φορτίο 10 GW 55

65 Η παραπάνω ανάλυση έγινε ποιοτικά και πειραματικά διότι η προσπάθεια να επιλυθεί η ανίσωση ως προς την γωνία φ του συντελεστή ισχύος μαθηματικά είναι εγχείρημα ιδιαίτερα δύσκολο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την επίδραση της σύνθετης αντίστασης της γραμμής. Για συγκεκριμένο φορτίο θα μεταβάλλουμε τα στοιχεία της γραμμής (X, R, l ). Παρακάτω παραθέτουμε ένα πίνακα μετρήσεων για το υποθετικό δίκτυο μας, δυο ζυγών, στο οποίο έχουμε συνδεδεμένο ένα φορτίο 2 GW με cos(φ)=0,85 (φ=31,79 ο ). Πίνακας 4.3: Μεταβολή των συντελεστών α,β,γ συναρτήσει των στοιχείων της Παρατηρήσεις γραμμής 1. Στις μετρήσεις που έχουμε επισημάνει στον παρακάτω πίνακα διαπιστώνουμε ότι η τάση του υπό εξέταση ζυγού προηγείται σε φάση έναντι του ζυγού αναφοράς. Στις δύο αυτές περιπτώσεις ο συντελεστής β είναι αρνητικός. Η παρατήρηση αυτή είναι αναμενόμενη με βάση την ανάλυση που έχουμε κάνει για τη διακύμανση του προσήμου του συντελεστή. Συγκεκριμένα και στις δύο μετρήσεις η γωνία της σύνθετης αντίστασης της γραμμής είναι μικρότερη από τη γωνία τάσης ρεύματος (συντελεστή ισχύος) του φορτίου. Συνεπώς η παράσταση είναι μικρότερη του μηδενός όπως δείξαμε παραπάνω. Επίσης άρα ο αριθμητής του συντελεστή γ θα είναι μεγαλύτερος του μηδενός. Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όταν και 56

66 τότε το διάνυσμα της τάσης του ζυγού στον οποίο καταλήγει η συγκεκριμένη γραμμή θα προηγείται σε φάση σε σχέση με την αρχή της γραμμής. Ακόμα σε αυτήν την περίπτωση θα περιμένουμε μεγάλη πτώση τάσης. 2. Αν οι γωνίες «γραμμής και φορτίου» είναι περίπου ίσες θα έχουμε οριακά μηδενική στροφή φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης των δύο ζυγών. Ουσιαστικά λοιπόν σε αυτή τη περίπτωση τον κυρίαρχο ρόλο στη μεταφορά ισχύος παίζει το μέτρο της τάσης, το οποίο και μειώνεται σημαντικά σε σχέση με την αναφορά. 3. Όταν ο λόγος της γραμμής αυξάνεται, δηλαδή αυξάνεται η γωνία και γίνεται μεγαλύτερη της γωνίας φ του φορτίου, τότε το διάνυσμα της τάσης θα έπεται της αναφοράς. Όσο μεγαλύτερος θα είναι ο λόγος αυτός θα παρατηρείται μεγαλύτερη στροφή της φάσης αλλά όχι με αναλογική εξάρτηση. Ταυτόχρονα θα παρατηρούμε μείωση της πτώσης τάσης. Δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η αυτεπαγωγή της γραμμής συγκριτικά με την αντίστασή της τόσο πιο εύκολα μπορεί να τροφοδοτηθεί το φορτίο από τη πηγή διαμέσου της γραμμής. 4. Όταν όμως X>>R το σύστημα οδηγείται σε αστάθεια εξαιτίας της σημαντικής αύξησης των απαιτήσεων της γραμμής σε άεργο ισχύ και η ροή φορτίου δεν έχει λύση. 5. Επιπρόσθετα για ίδιους λόγους δύο γραμμών που τροφοδοτούν ίσα φορτία, παρατηρούμε μικρότερη πτώση μέτρου και μικρότερη στροφή του διανύσματος της τάσης στη γραμμή με μικρότερο μέτρο σύνθετης αντίστασης. Δηλαδή όσο πιο μικρό είναι το μέτρο της τόσο μικρότερη «αντίσταση» θέτει στη ροή του ρεύματος για την τροφοδοσία του φορτίου. 6. Τέλος το μήκος l της γραμμής έχει σχεδόν γραμμική επίδραση στο μέτρο και στη φάση της τάσης. Συμπέρασμα απολύτως λογικό διότι όσο πιο μακριά βρίσκεται το φορτίο που θέλουμε να τροφοδοτήσουμε τόσο μεγαλύτερη γραμμή χρειαζόμαστε (άρα μεγαλύτερο μέτρο σύνθετης αντίστασης) και συνεπώς τόσο μεγαλύτερη δυσκολία αντιμετωπίζει το ρεύμα που ρέει από τη πηγή προς τα φορτία. Γεγονός που αποτυπώνεται στη μεγάλη μεταβολή του διανύσματος της τάσης του ζυγού κατανάλωσης. Η επίδραση του μήκους της γραμμής γίνεται αντιληπτή μόνο από το συντελεστή γ. Συνεπώς μπορούμε να βρούμε εξ αρχής την μέγιστη δυνατή απόσταση στην οποία μπορούμε να τροφοδοτήσουμε ένα συγκεκριμένο φορτίο ελέγχοντας και πάλι το πρόσημο της διακρίνουσας : 57

67 Για, cos(φ)=0,85 και z =0.01+j0.314 Οι συντελεστές φαίνονται στο πίνακα: α=0,39919 και β=λ 1 =0,51036 Έχουμε το τριώνυμο: Οι δύο λύσεις του τριωνύμου είναι: Από τις οποίες μας ενδιαφέρει μόνο η θετική διότι αναφερόμαστε σε μήκος που είναι θετική ποσότητα. Άρα : Επειδή η διακρίνουσα μας διατηρεί θετικό πρόσημο εντός των ριζών της, όταν το μήκος γίνει μεγαλύτερο από 69,67 km τότε το σύστημα μας οδηγείται σε αστάθεια και δεν έχει λύση. Άρα το συγκεκριμένο δίκτυο μπορεί να τροφοδοτήσει το φορτίο των 2 GW μέχρι το οριακό μήκος των 69,67 km. 4.4 Ανάλυση Δικτύων Δέντρων Έως τώρα έχουμε παρουσιάσει το πρόβλημα της ροής φορτίου ανάμεσα σε δύο ζυγούς και αναλύσαμε τον τρόπο με το οποίο οι ανεξάρτητες μεταβλητές (P, cos(φ), X/R, l) επιδρούν στις μεταβλητές εξόδου (V<θ). Ο στόχος μας όμως είναι να προεκτείνουμε την μέθοδο αυτή σε δίκτυα δενδροειδούς δομής και να εξετάσουμε αν μπορούμε να οδηγηθούμε σε μία βήμα προς βήμα επίλυση τους. Έστω λοιπόν το παρακάτω δίκτυο. 58

68 Σχήμα 4.5: Σχηματική απεικόνιση δικτύου δέντρου με 7 φορτία Πρώτη προσέγγιση του προβλήματος Το δίκτυο δέντρο χωρίζεται σε δύο υποδέντρα (κόμβοι 1 και 4). Στους κόμβους του κάθε υποδέντρου συνδέονται φορτία. Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο των φορτίων που συνδέονται σε κάθε υποδέντρο είναι το φορτίο που βλέπει η πηγή για κάθε μία από τις διακλαδώσεις τις. Σ αυτή τη περίπτωση η πηγή αντιλαμβάνεται: στον ζυγό [1] φορτίο: στον ζυγό [2] φορτίο: Το δίκτυο μας συνεπώς μετατρέπεται στο παρακάτω: 59

69 Σχήμα 4.6:Μετατροπή του δικτύου με τη παραδοχή των αμελητέων απωλειών Τώρα κάθε ένας από τους δύο ζυγούς του συστήματος μπορεί να προσεγγιστεί με την μεθοδολογία που αναπτύξαμε πιο πάνω, καθότι ουσιαστικά πρόκειται για δύο ανεξάρτητα δίκτυα μίας πηγής και μίας κατανάλωσης. Στη συνέχεια αφού βρούμε την τάση των δύο ζυγών θα προχωρήσουμε στους επόμενους, θεωρώντας κάθε φορά ότι στον κόμβο που εξετάζουμε συνδέεται το σύνολο του φορτίων που βρίσκονται στο υποδέντρο που δημιουργείται από αυτόν. Με αυτόν τον τρόπο σαρώνουμε το δίκτυο από τον ζυγό αναφοράς προς τους καταληκτικούς ζυγούς του βήμα προς βήμα. Τα στοιχεία του δικτύου είναι: Η τάση του ζυγού αναφοράς: Οι σύνθετες αντιστάσεις των γραμμών μεταφοράς και τα φορτία του δικτύου μας είναι: Πίνακας 4.4: Σύνθετες αντιστάσεις γραμμών και φορτία του δικτύου του σχήματος

70 Ας ξεκινήσουμε από το υποδέντρο : Η συνολική ισχύς που φαίνεται στον ζυγό [1] και ο νέος συντελεστής ισχύος του είναι: ( ) Οι συντελεστές της μεθοδολογίας μας προκύπτουν: Εφόσον ο συντελεστής β πρόεκυψε μεγαλύτερος του μηδενός η τάση του ζυγού [1] θα έπεται φάσης σε σχέση με την τάση αναφοράς και η γωνία θ θα είναι: Άρα : Και: Στη συνέχεια προχωράμε με την ίδια τακτική για κάθε κόμβο του υποδέντρου. Τα αποτελέσματα και για τα δύο υποδέντρα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας 4.5: Υπολογισμός των παραγόντων α,β,γ για τους ζυγούς του σχήματος

71 Παρατήρηση Στη γραμμή που συνδέει τον ζυγό [4] με τον [6] παρατηρούμε ότι : συνεπώς ο συντελεστής β περιμένουμε να βγει μικρότερος του μηδενός και η τάση του ζυγού [6] να προηγείται σε φάση του ζυγού [4]. Παρατήρηση που επαληθεύεται και μαθηματικά διότι και Τα αποτελέσματα από το NEPLAN 5.1 για τις τάσεις των κόμβων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 4.6: Μετρήσεις από το NEPLAN Παρατηρούμε ότι στο υποδέντρο [0,1,2,3] οι τάσεις που έχουμε υπολογίσει με τη μεθοδολογία μας είναι κατά 2 KVμεγαλύτερες από τις τάσεις που έχουμε βρει με το πρόγραμμα. Επίσης οι στροφές φάσης των διανυσμάτων των τάσεων διαφέρουν κατά 0,5 ο των πραγματικών. Αντίθετα στο υποδέντρο [0,4,5,6] τα μέτρα και οι φάσεις των τάσεων σχεδόν ταυτίζονται. Πριν προσπαθήσουμε να το εξηγήσουμε θα παρουσιάσουμε τις απώλειες ισχύος επί των γραμμών και τις απαιτήσεις τους σε άεργο ισχύ. Πίνακας 4.7: Συγκριτικοί πίνακες απωλειών και απαιτήσεων σε άεργο ισχύ των γραμμών 62

72 Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα τα αποτελέσματα μας έχουν πολύ μικρό σφάλμα. Η απόκλιση που διαπιστώνουμε στις μετρήσεις στο υποδέντρο [0,1,2,3] οφείλεται στην αρχική μας θεώρηση. Εμείς θεωρήσαμε ότι ο ζυγός αναφοράς «βλέπει» στον κόμβο [1] φορτίο: Στην πραγματικότητα όμως το φορτίο είναι: και η συνολική άεργος ισχύς είναι: Άρα ο πραγματικός συντελεστής ισχύος του κόμβου [1] είναι: ( ) ή ( ) συνεπώς: και: Στις γραμμές μεταφοράς υψηλής τάσης γενικά ισχύει X>>R συνεπώς: και Άρα ο πραγματικός συντελεστής ισχύος του κόμβου είναι μικρότερος (επομένως μεγαλύτερη γωνία φ) σε σχέση με τον συντελεστή ισχύος που βρήκαμε εμείς θεωρώντας ότι το φορτίο στον κόμβο ισούται μόνο με το άθροισμα των αξιοποιήσιμων φορτίων. Στο υποδέντρο όμως [0,4,5,6] τα αποτελέσματα είναι ταυτόσημα. Αυτό οφείλεται στην ύπαρξη της γραμμής [4 6]. Ο κλάδος αυτός έχει : και 63

73 Ο πραγματικός συντελεστής ισχύος του κόμβου [4] είναι: ( ) στην θεώρηση μας πήραμε: ( ) Αυτή η πολύ μικρή διαφορά οφείλεται στους παράγοντες και που εμείς παραλείψαμε. Επειδή και και η αύξηση της συνολικής άεργου ισχύος δεν είναι πολύ μεγαλύτερη από την αύξηση που προκαλείται στη συνολική ενεργό λόγω των απωλειών επί των γραμμών. Δηλαδή ο αριθμητής της σχέσης μας δεν αυξάνεται δυσανάλογα σε σχέση με τον παρανομαστή και συνεπώς δεν αποτυπώνεται αυτή η παράλειψή μας στο αποτέλεσμα. Βέβαια δεν ισχύει το ίδιο στο υποδέντρο [0,1,2,3] που σε όλες τις γραμμές ο λόγος είναι μεγαλύτερος της μονάδας, με αποτέλεσμα το να αυξάνεται δυσανάλογα με το με ταυτόχρονη αύξηση της γωνίας φ που δεν μπορούμε να παρακολουθήσουμε με τη παραδοχή μας. Το γεγονός ότι στα αποτελέσματα μας δεν διαπιστώνουμε μεγάλη απόκλιση παρά τη θεωρητική απόδειξη της παράλειψης μας έχει να κάνει με τη φύση του δικτύου μεταφοράς υψηλής τάσης. Γενικά οι αγωγοί υψηλής τάσης έχουν μικρή ωμική αντίσταση και συνεπώς μικρές απώλειες. Εμείς στη μεθοδολογία μας χρησιμοποιούμε την ενεργό ισχύ η οποία λόγω της μικρής αύξησης που της προκαλούν οι απώλειες αλλάζει ανεπαίσθητα τα αποτελέσματα και κυρίως τις φάσεις των ζητούμενων τάσεων. Αντίθετα η αύξηση της άεργου ισχύος αποτυπώνεται στον συντελεστή ισχύος. Η θεώρηση μας καταλήγει κατά κανόνα σε καλύτερο συντελεστή ισχύος ανά κόμβο και συνεπώς μικρότερη συνολική άεργο ισχύ. Γεγονός που αποτυπώνεται στο μέτρο της τάσης το οποίο είναι «ευαίσθητο» στις αλλαγές της άεργου ισχύος. Γι αυτό και στη μεθοδολογία μας καταλήγουμε σε τάσεις κατά 2 KVμεγαλύτερες. Τα συμπεράσματα μας γίνονται περισσότερο εμφανή στη μελέτη ενός δικτύου διανομής μέσης τάσης. Έστω λοιπόν το παρακάτω δίκτυο: 64

74 Σχήμα 4.7: Δίκτυο μέσης τάσης προσομοιωμένο στο NEPLAN Η τάση αναφοράς μας είναι : Οι σύνθετες αντιστάσεις των γραμμών μεταφοράς και τα φορτία φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας 4.8: Φορτία και σύνθετες αντιστάσεις γραμμών του δικτύου του σχήματος

75 Τα αποτελέσματα της μεθόδου μας είναι: Ενώ από το πρόγραμμα προκύπτουν: Πίνακας 4.9: Τα αποτελέσματα της μεθόδου Πίνακας 4.10: Μετρήσεις από το NEPLAN Οι απώλειες ισχύος επί των γραμμών και οι απαιτήσεις τους σε άεργο ισχύ είναι: Πίνακας 4.11: Πίνακας απωλειών Οι υπολογισμοί μας σε αυτή τη περίπτωση έχουν μεγάλο σφάλμα σε σχέση με τις μετρήσεις από το πρόγραμμα, διότι η απόκλιση της τάξης του 1 KVστα 20 KV(τάση 66

76 αναφοράς) είναι πολύ μεγαλύτερη από την ίδια απόκλιση με τάση αναφοράς τα 400 KV. Το σφάλμα μας στη μέση τάση είναι επομένως μεγαλύτερο, διότι οι απώλειες ενεργού ισχύος δεν είναι αμελητέες συγκρινόμενες με τα φορτία. Στο υποδέντρο [0,7,8] οι υπολογισμοί μας είναι καλής ακρίβειας διότι το μεγαλύτερο μέρος του φορτίου του υποδέντρου συνδέεται στο κόμβο 7 και ο κόμβος 8 έχει ένα μικρό φορτίο του οποίου οι απώλειες είναι σχεδόν αμελητέες και γι αυτό δεν εισάγουν σφάλμα στη μέθοδο μας. Γι αυτό στις επόμενες δύο προσεγγίσεις μας θα ασχοληθούμε μόνο με το υποδέντρο [0,1,2,3,4,5,6] του οποίου τα φορτία είναι σε διάφορα βάθη και οι απώλειες που προσθέτουν είναι σημαντικές. Δεύτερη προσέγγιση Μία διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος είναι η σάρωση του δέντρου από τους καταληκτικούς κόμβους προς τον ζυγό αναφοράς. Με αυτόν τον τρόπο επιδιώκουμε να συμπεριλάβουμε τις απώλειες ενεργού ισχύος και τις απαιτήσεις σε άεργο ισχύ των γραμμών μεταφοράς. Σε αυτή τη αντιμετώπιση θεωρούμε ότι η πτώση τάσης που προκαλείται από τον ένα ζυγό στον επόμενο είναι ανεξάρτητη από την τάση του εκάστοτε ζυγού αναφοράς. Πιο συγκεκριμένα στο προηγούμενο παράδειγμα θα ξεκινήσουμε από τον κόμβο [4] τον οποίο και θα θεωρήσουμε ως αναφορά (20 KV)και θα βρούμε την πτώση τάσης των ζυγών [5] και [6], καθώς και τις απώλειες των γραμμών. Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε ένα κόμβο πιο κοντά στη ρίζα δηλαδή στον [3]. Θα τον θεωρήσουμε εκ νέου ως κόμβο αναφοράς και θα υπολογίσουμε την πτώση τάσης επί του ζυγού [4] και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσουμε στην πραγματική «ρίζα» του «δέντρου». Κάθε φορά όμως που θα προχωράμε ένα κόμβο πιο «πίσω» η ισχύς που θα «βλέπει» ο νέος ζυγός αναφοράς μας θα συμπεριλαμβάνει και τις απώλειες που έχουν υπολογιστεί στο προηγούμενο βήμα. [4] ->[6]: Με τη μεθοδολογία μας βρίσκουμε ότι: και 67

77 [4] -> [5]: και [3] -> [4]: Η αναφορά μας τώρα αντιλαμβάνεται στον ζυγό [4] φορτίο: ( ) Έτσι η τάση του ζυγού [4] και οι απώλειες επί της γραμμής προκύπτουν: [1] -> [3]: Με όμοιο τρόπο προκύπτουν: και [1] -> [2]: και [0] -> [1]: και και Παρακάτω παρατίθεται ένας συγκριτικός πίνακας των δύο προσεγγίσεων για το υποδέντρο [0,1,2,3,4,5,6]. 68

78 Πίνακας 4.12:Συγκριτικός πίνακας των δύο πρώτων προσεγγίσεων Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα της δεύτερης προσέγγισης όσο προχωρούμε προς τον ζυγό αναφοράς βελτιώνονται ως προς το μέτρο της τάσης αλλά η στροφή φάσης δεν μπορεί να παρακολουθήσει το πραγματικό αποτέλεσμα που παίρνουμε από το πρόγραμμα. Αντίθετα η 1 η προσέγγιση προσεγγίζει με καλύτερο τρόπο τη στροφή φάσης. Και οι δύο μέθοδοι όμως έχουν μεγάλο σφάλμα στα μέτρα των τάσεων των απομακρυσμένων από τη αναφορά μας κόμβων. Τρίτη Προσέγγιση Μία τρίτη λοιπόν προσέγγιση είναι ο συνδυασμός των δύο μεθόδων. Αρχικά θα σαρώσουμε το δέντρο από τους καταληκτικούς κόμβους προς τη αναφορά και στη συνέχεια θα ακολουθήσουμε την αντίστροφη πορεία. Στην πορεία, όμως, αυτή αλλάζει μόνο ο παράγοντας γ της μεθοδολογίας μας, διότι οι απώλειες των κλάδων και ο φαινόμενος συντελεστής ισχύος κάθε κόμβου έχουν υπολογιστεί κατά τη προς τη ρίζα σάρωση του δέντρου. Οι παράγοντες α, β είναι συναρτήσεις των στοιχείων της γραμμής και του συντελεστή ισχύος που παραμένουν σταθερά ενώ ο συντελεστής γ,που εξαρτάται από τη τάση, μεταβάλλεται. Συνεπώς η προς τα πίσω σάρωση θα μας δώσει τα αποτελέσματα της προηγούμενης προσέγγισης και στη συνέχεια θα βελτιώσουμε τους υπολογισμούς μας πηγαίνοντας προς το βάθος του δέντρου. 69

79 Πίνακας 4.13:Πίνακας αποτελεσμάτων της «πίσω μπρος» σάρωσης του δικτύου Μετά την δεύτερη σάρωση του δέντρου παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα μας προσεγγίζουν πολύ περισσότερο τις μετρήσεις από το πρόγραμμα. Και πάλι το σφάλμα μας οφείλεται στην αρχική παραδοχή μας. Στην προς τα πίσω σάρωση του δέντρου κάθε νέος κόμβος που εισάγεται στον υπολογισμό επιδρά στην πτώση τάσης των ζυγών που έπονται. Αυτή η αλλαγή στην πτώση τάσης συνεπάγεται και αλλαγή στις απώλειες. Εμείς θεωρήσαμε ότι η πτώση τάσης που προκαλείται ανάμεσα σε δύο ζυγούς είναι ανεξάρτητη από τη εκάστοτε τάση αναφοράς και θεωρήσαμε τις απώλειες σταθερές. Ουσιαστικά δηλαδή η προς τα πίσω σάρωση κάνει μία εκτίμηση απωλειών και η προς τα εμπρός δίνει τα αποτελέσματα των τάσεων των ζυγών. Η μέθοδος μειώνει αρκετά το σφάλμα μας στη μέση τάση γιατί εισάγει στους υπολογισμούς ένα μέρος των απωλειών. Συμπέρασμα που τη καθιστά κατάλληλη μέθοδο για την ανάλυση δικτύων υψηλής τάσης, διότι μία εκτίμηση των απωλειών στην υψηλή τάση, που ούτως η άλλως είναι μικρές συγκρινόμενες με τα φορτία, μειώνει ακόμα περισσότερο το σφάλμα των υπολογισμών μας. Τέταρτη Προσέγγιση Μία προσπάθεια να μειώσουμε ακόμα περισσότερο το σφάλμα των υπολογισμών μας στη μέση τάση μας οδήγησε στην κατάστρωση μίας μεθόδου επαναληπτικής φύσεως στην λογική της διπλής σάρωσης του δικτύου. Στην μέθοδο αυτή ξεκινάμε την ανάλυση πάλι από τους καταληκτικούς κόμβους του δικτύου και κάθε φορά που προσθέτουμε ένα κόμβο στη μελέτη μας διορθώνουμε τις τιμές των τάσεων και των απωλειών που είχαν προκύψει. Με τον τρόπο αυτό καταφέρνουμε να έχουμε μία πολύ καλή εκτίμηση των απωλειών όταν ξεκινάμε την τελευταία σάρωση του δέντρου από την αναφορά μας προς τα φορτία. Για το λόγο αυτό το σφάλμα των υπολογισμών μας 70

80 μειώνεται σημαντικά. Τα αποτελέσματα της μεθόδου αυτή στο υποδέντρο [0,1,2,3,4,5,6] του δικτύου μέσης τάσης παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 4.14: Συγκριτικός πίνακας της επαναληπτικής μεθόδου με το NEPLAN Παρατηρούμε ότι τα μέτρα των τάσεων προσεγγίζουν ακόμα περισσότερο τις μετρήσεις από το πρόγραμμα, αλλά παρουσιάζουν σφάλμα ως προς τις φάσεις τους. Γεγονός λογικό διότι οι φάσεις των τάσεων είναι σε άμεση εξάρτηση με την ενεργό ισχύ που μεταφέρεται. Συνεπώς στη μέση τάση που οι απώλειες δεν είναι αμελητέου μεγέθους μία μικρή μεταβολή τους επιδρά αισθητά στις φασικές γωνίες των τάσεων. Η μέθοδος αυτή όμως, αν και προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό το πραγματικό αποτέλεσμα, είναι επαναληπτικής μορφής. Συγκεκριμένα στο υποδέντρο [0,1,2,3,4,5,6] για την επίτευξη του αποτελέσματος χρειάστηκε να εφαρμόσουμε τη μεθοδολογία μας 22 φορές. Σχήμα 4.8: Απεικόνιση του αριθμού εφαρμογής της μεθόδου των δύο ζυγών σε δίκτυο 6 ζυγών 71

81 Αντιλαμβανόμαστε επομένως ότι σε δίκτυα με περισσότερους κόμβους και μεγαλύτερα βάθη ο αριθμός των σαρώσεων που πρέπει να κάνουμε αυξάνεται. Επίσης η αύξηση αυτή είναι εκθετικής μορφής σε αντίθεση με την προηγούμενη μέθοδο που έχουμε μία σάρωση προς τα πίσω και μία προς τα μπροστά που όσο και να μεγαλώσει το δίκτυο ο αριθμός των υπολογισμών που πρέπει να κάνουμε είναι:. Συνεπώς η πολυπλοκότητα της μεθόδου δεν έχει γραμμική σχέση με το μέγεθος του δικτύου και ως εκ τούτου δεν βρίσκεται εντός της αρχικής στόχευσης μας και δεν θα αναλυθεί παραπάνω, παρότι καταλήγει σε αποτελέσματα με αρκετά μικρότερο σφάλμα. Πέμπτη προσέγγιση Μία διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος στηρίζεται στην παραδοχή της ανεξαρτησίας των φορτίων. Στην προσέγγιση αυτή θεωρούμε ότι σε ένα δίκτυο η μεταβολή που προκαλεί κάθε φορτίο, στο μέτρο και στη φάση των τάσεων των κόμβων του, είτε είναι το μοναδικό που υπάρχει είτε συνυπάρχει μαζί με άλλα, είναι η ίδια. Έτσι η ανάλυση μας περιορίζεται στον υπολογισμό της επίδρασης κάθε φορτίου στο δίκτυο ξεχωριστά. Το τελικό αποτέλεσμα εξάγεται από την άθροιση των μετρήσεων που προκύπτουν από την επιμέρους μελέτη των φορτίων. Έστω λοιπόν το παρακάτω δίκτυο υψηλής τάσης: Σχήμα 4.9: Προσομοίωση δικτύου υψηλής τάσης στο NEPLAN 72

82 Στο δίκτυο αυτό θα εφαρμόσουμε τη μεθοδολογία μας για κάθε φορτίο ξεχωριστά. Στη συνέχεια θα καταγράψουμε τις διαφορές των φασικών γωνιών των τάσεων ανάμεσα στους γειτονικούς κόμβους. Μόλις ολοκληρώσουμε αυτή τη διαδικασία θα ξεκινήσουμε από την αναφορά και θα προσθέτουμε αλγεβρικά σε κάθε κόμβο τις διαφορές που έχουμε καταγράψει από το προηγούμενο βήμα μας. Έτσι στο τέλος θα καταλήξουμε να έχουμε βρει για όλους τους κόμβους τις φασικές γωνίες των τάσεων τους σε σχέση με την αναφορά. Για τα μέτρα τους θα αθροίσουμε τις ποσοστιαίες πτώσεις τάσης από κόμβο σε κόμβο. Οι σύνθετες αντιστάσεις των γραμμών και τα φορτία είναι: Πίνακας 4.15: Στοιχεία του δικτύου του σχήματος 4.9 Έστω λοιπόν ότι υπάρχει μόνο το φορτίο P 1 : Εφαρμόζουμε την μεθοδολογία μας και βρίσκουμε: Επομένως : Και η ποσοστιαία πτώση τάσης είναι: Έστω μόνο το P 2 : Τότε η σύνθετη αντίσταση της γραμμής που το συνδέει με την αναφορά είναι: και προκύπτει: Για να βρούμε τις τάσεις των ενδιάμεσων κόμβων εφαρμόζουμε τον τύπο που έχουμε βρει από το προηγούμενο κεφάλαιο με τις πιθανότητες μετάβασης: 73

83 Άρα: και Και : Με όμοιο τρόπο εργαζόμαστε για τα υπόλοιπα φορτία του δικτύου μας. Οι διαφορές των φασικών γωνιών που προκύπτουν παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 4.16:Πίνακας των διαφορών φάσης από ζυγό σε ζυγό για κάθε ένα φορτίο Οι φασικές γωνίες των τάσεων προκύπτουν : Πίνακας 4.17: Αθροιστικές στροφές φάσης Για τα μέτρα των τάσεων καταγράφουμε τις ποσοστιαίες πτώσης τάσης από κόμβο σε κόμβο. 74

84 Πίνακας 4.18: Πίνακας ποσοστιαίων πτώσεων τάσης από ζυγό σε ζυγό Τα μέτρα των τάσεων προκύπτουν: Πίνακας 4.19: Τελικά αποτελέσματα μέτρων τάσης Πίνακας 4.20: Συγκριτικός πίνακας αποτελεσμάτων Παρατηρούμε ότι έχουμε πολύ μικρό σφάλμα. Το σφάλμα αυτό προέρχεται από την αθροιστική επίδραση που έχουν τα φορτία στις τάσεις και στις απώλειες. Δηλαδή όταν τα φορτία εξυπηρετούνται ταυτόχρονα οι απώλειες που έχουν οι γραμμές είναι λίγο αυξημένες σε σχέση με τις αθροιστικές απώλειες που έχουμε όταν κάθε ένα φορτίο εξυπηρετείται ανεξάρτητα. Παρ όλα αυτά όμως το μεγαλύτερο μέρος τους έχει υπολογιστεί με τη μεθοδολογία μας, γι αυτό και το σφάλμα μας έχει μειωθεί αρκετά. Θα εφαρμόσουμε την μεθοδολογία αυτή στο πρώτο δίκτυο που αναλύσαμε με τη βήμα προς βήμα επίλυση για να τις συγκρίνουμε: 75

85 Πίνακας 4.21: Συγκριτικός πίνακας τάσεων Συμπεραίνουμε επομένως ότι τα αποτελέσματα μας βελτιώνονται από τη βήμα βήμα επίλυση και ως προς το μέτρο και ως προς τη φάση των τάσεων. Θα αξιολογήσουμε τώρα την ακρίβεια της μεθόδου και στο δίκτυο μέσης τάσης στο οποίο οι απώλειες έχουν μεγαλύτερη επίδραση στα αποτελέσματα. Πίνακας 4.22: Συγκριτικός πίνακας τάσεων Παρατηρούμε ότι η μέθοδος αυτή δεν είναι κατάλληλη για τη μέση τάση διότι η ταυτόχρονη αλληλεπίδραση των φορτίων στις απώλειες δεν προσεγγίζεται σε ικανοποιητικό βαθμό. Γενικά η μέθοδος της ανεξαρτησίας των φορτίων έχει το πλεονέκτημα της γραμμικής εξάρτησης των υπολογισμών σε σχέση με τα φορτία, διότι εφαρμόζουμε την μέθοδο υπολογισμού μας για κάθε ένα φορτίο ξεχωριστά ( ) και στο τέλος συνθέτουμε το αποτέλεσμα. Συγκριτικά λοιπόν με τη «πίσω μπρος» σάρωση του δέντρουείναι ταχύτερη. Η «πίσω-μπρος» σάρωση καταλήγει σε πολύ καλά αποτελέσματα στην υψηλή τάση αλλά προϋποθέτει την εφαρμογή της υπολογιστικής μεθόδου δύο φορές τον αριθμό των κλάδων του δικτύου. 76

86 Μειονέκτημα Η μέθοδος αυτή υπολογίζει τις πτώσεις τάσεις και τις φασικές γωνίες των ζυγών για κάθε ένα φορτίο. Αυτός ο τρόπος ανάλυσης του δικτύου εγκυμονεί τον κίνδυνο ενός μεγάλου σφάλματος. Μπορεί δηλαδή να υπάρχει λύση του προβλήματος της ροής φορτίου για κάθε ένα φορτίο ξεχωριστά όμως για το σύνολο των φορτίων ενδεχομένως να μην υπάρχει. Για να αποφύγουμε ένα τέτοιο σφάλμα θα εισάγουμε έναν έλεγχο στην αρχή της επεξεργασίας μας. Πριν ξεκινήσουμε τους υπολογισμούς θα ελέγχουμε την διακρίνουσα του συστήματος των δύο ζυγών σαν να συνδέονταν όλα τα φορτία του υποδέντρου στον αμέσως επόμενο από την αναφορά ζυγό. Αν είναι θετική θα είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει λύση και θα προχωρούμε στην επί μέρους ανάλυση. Σε αυτό το σημείο πλεονεκτεί η «πίσω μπρος» μέθοδος διότι μπορεί να εντοπίσει πιο φορτίο προκαλεί το πρόβλημα και να το υποδείξει ενώ με τον αρχικό έλεγχο απλά διαπιστώνουμε την μη ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα, χωρίς να μπορούμε να αποφανθούμε για το πιο φορτίο προκαλεί τη δυσλειτουργία στο σύστημα. 77

87 5 Συμπεράσματα Προτάσεις 5.1 Σύνοψη Συμπερασμάτων Στην μελέτη αυτή ασχοληθήκαμε με τα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας υψηλής και μέσης τάσης. Το πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπίσουμε ήταν η ροή ενεργού και άεργου ισχύος από ζυγό σε ζυγό του δικτύου για την εξυπηρέτηση διαφόρων φορτίων. Αναλύσαμε δίκτυα στα οποία τα φορτία που συνδέονται προσομοιώνονται είτε με τις σύνθετες αντιστάσεις τους, είτε με την ισχύ που ζητάνε. Στόχος μας ήταν να διερευνήσουμε αν μπορούμε να βρούμε μεθόδους να επιλύουμε τέτοιου είδους δίκτυα με μικρό σφάλμα χωρίς να χρησιμοποιούμε επαναληπτικούς αλγόριθμους. Για τα φορτία σταθερής σύνθετης αντίστασης κάναμε ένα παραλληλισμό των αγωγιμοτήτων των γραμμών με τις πιθανότητες μετάβασης του ρεύματος από ζυγό σε ζυγό. Καταστρώσαμε δύο μεθόδους επίλυσης. Η πρώτη ήταν με τη χρήση ενός πίνακα μετάβασης. Ο πίνακας μετάβασης, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων (όπου : ο αριθμός των ζυγών του δικτύου) που έχει ως στοιχεία του τις πιθανότητες μετάβασης. Οι πιθανότητες μετάβασης είναι οι λόγοι των πολικών εκφράσεων των αγωγιμοτήτων των γραμμών και των φορτίων του δικτύου. Η επίλυση του 78

88 προβλήματος προϋποθέτει την αντιστροφή του πίνακα και τον πολλαπλασιασμό του με ένα πίνακα στήλη. Η επίλυση αυτή αποδείχτηκε ότι βγάζει ακριβή αποτελέσματα αλλά δεν διερευνήθηκε το υπολογιστικό κόστος της σε χρόνο και χώρο. Η δεύτερη μέθοδος είναι μία προέκταση της πρώτης. Χρησιμοποιώντας τις γραμμικές εξισώσεις με τις οποίες φτιάξαμε τον πίνακα μετάβασης καταλήξαμε σε ένα τύπο του οποίου τα στοιχεία διαφοροποιούνται από ζυγό σε ζυγό και ανάλογα με το βάθος του δικτύου. Ο τύπος αυτός υπολογίζει την τάση σε κάθε ζυγό του δικτύου ξεκινώντας από την αναφορά. Ως είσοδο δέχεται τον αριθμό των ζυγών που συνδέονται στον υπό εξέταση ζυγό και το βάθος στο οποίο φτάνει το δίκτυο. Η εξάρτηση των επιμέρους παραγόντων του τύπου με τα δύο αυτά στοιχεία είναι αναλογική. Η πολυπλοκότητα του τύπου όσο πιο κοντά στην αναφορά βρισκόμαστε είναι μεγαλύτερη και όσο προχωράμε προς τα φορτία ελαττώνεται σημαντικά. Ο τύπος αυτός έχει το πλεονέκτημα ότι υπολογίζει βήμα-βήμα τις τάσεις του δικτύου με ακριβή τρόπο και χωρίς επαναλήψεις. Έχει όμως ένα μειονέκτημα. Δεν αντιλαμβάνεται πότε ένα δίκτυο δεν μπορεί να έχει λύση. Δηλαδή για οποιοδήποτε δίκτυο του δοθεί θα εξάγει τις τάσεις που πρέπει να έχουν οι ζυγοί του για να εξυπηρετούνται τα φορτία του. Επομένως, δεν εντοπίζει τις περιπτώσεις στις οποίες η μέθοδος Newton Raphson δεν συγκλίνει. Για το λόγο αυτό πρέπει να εισάγουμε ένα κριτήριο του επιτρεπτού ορίου πτώσης τάσης πέραν του οποίου θα αντιλαμβάνεται ο τύπος ότι οδηγούμαστε σε αστάθεια και θα διακόπτει τους υπολογισμούς. Για τα φορτία σταθερής ισχύος αναπτύξαμε μία μέθοδο υπολογισμού της τάσης και των ροών ενεργού και άεργου ισχύος σε ένα δίκτυο δύο ζυγών. Εξετάσαμε πως τα δεδομένα του δικτύου (τάση αναφοράς, είδος γραμμών μεταφοράς, μέγεθος φορτίων και συντελεστής ισχύος τους) επιδρούν στις μεταβλητές εξόδου μας που είναι οι τάσεις των ζυγών. Στη συνέχεια προσπαθήσαμε να προεκτείνουμε την ανάλυση μας σε δίκτυα δέντρα. Επιχειρήσαμε διάφορους τρόπους επίλυσης του προβλήματος, έχοντας ως στόχο να διατηρήσουμε μία γραμμική σχέση μεταξύ του αριθμού εφαρμογής της μεθοδολογίας των δύο ζυγών και τα στοιχεία των δικτύων δέντρων. Έτσι καταστρώσαμε πέντε προσεγγίσεις του προβλήματος. Στην πρώτη θεωρήσαμε, ότι στο πρώτο ζυγό που εξετάζουμε συνδέονται όλα τα φορτία που βρίσκονται στο υποδέντρο που ορίζει αυτός. Αμελήσαμε δηλαδή τις απώλειες όλων των γραμμών του υποδέντρου πλην της γραμμής που ενώνει τον υπό εξέταση ζυγό με τον προηγούμενο του. Με αυτό τον 79

89 τρόπο οδηγηθήκαμε σε αποτελέσματα για το μέτρο της τάσης, με σφάλμα από 0,5% έως 1% για την υψηλή τάση και για τη μέση από 8% έως 15%. Για τις φάσεις των τάσεων το σφάλμα κυμαίνεται και για τα δύο επίπεδα τάσεων κάτω από 2%. Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι το πρώτο που εντοπίζει είναι αν το σύστημα έχει λύση. Στην προσέγγιση αυτή όσοι είναι οι ζυγοί του συστήματος τόσες φορές πρέπει να εφαρμόσουμε τη μεθοδολογία των δύο ζυγών. Η πολυπλοκότητα της είναι:. Η επίλυση μας, επομένως, έχει γραμμική εξάρτηση με το μέγεθος του δικτύου. Το μειονέκτημα της είναι ότι στη μέση τάση η παραδοχή των μηδενικών απωλειών εισάγει μεγάλο σφάλμα. Στην δεύτερη σαρώσαμε τον δίκτυο μας από τα φορτία προς την αναφορά. Θεωρήσαμε δηλαδή ότι η πτώση τάσης και η στροφή φάσης από ζυγό σε ζυγό είναι ανεξάρτητη από την τάση αναφοράς. Με αυτόν τον τρόπο πετύχαμε να συμπεριλάβουμε στην μεθοδολογία μας ένα τμήμα των απωλειών. Το σφάλμα μας σε αυτή τη περίπτωση μειώθηκε ως προς τα μέτρα των τάσεων και στα δύο επίπεδα τάσης αλλά χάθηκε η δυνατότητα να παρακολουθήσουμε την μεταβολή των φασικών γωνιών. Η πολυπλοκότητα της μεθόδου αυτής είναι η ίδια, ισούται δηλαδή με τον αριθμό των κόμβων του δικτύου. Στην τρίτη προσέγγιση συνδυάσαμε τις δύο παραπάνω μεθόδους. Χρησιμοποιήσαμε την προς τα πίσω σάρωση για να εκτιμήσουμε τις απώλειες για κάθε γραμμή και στη συνέχεια την βήμα βήμα σάρωση της πρώτης μεθοδολογίας η οποία συμπεριλαμβάνει και τις εκτιμήσεις των απωλειών πλέον. Με αυτό τον τρόπο μειώσαμε το σφάλμα στην υψηλή τάση κάτω από 0,5% και στη μέση κάτω από 8%. Το σφάλμα γίνεται ακόμα μικρότερο όταν τα φορτία παρουσιάζουν μικρή διασπορά. Όταν δηλαδή τα μεγάλα φορτία συνδέονται κοντά στην αναφορά και όταν τα μεγέθη τους είναι παρόμοια. Η πολυπλοκότητα της μεθόδου είναι ά. Είναι δηλαδή δυο φορές περίπου πιο αργή από την βήμα βήμα επίλυση αλλά έχει μεγαλύτερη ακρίβεια. Είναι καταλληλότερη για την επίλυση δικτύων μέσης τάσης. Η τέταρτη προσέγγιση είναι προέκταση της τρίτης. Η διαφορά της είναι ότι δεν χρησιμοποιεί την παραδοχή της ανεξαρτησίας των πτώσεων τάσης από την τάση αναφοράς. Αυτό το πετυχαίνει βελτιώνοντας τις εκτιμήσεις των απωλειών. Κάθε φορά δηλαδή που αλλάζει ο ζυγός αναφοράς επαναπροσδιορίζονται οι απώλειες που είχαν υπολογιστεί στο προηγούμενο βήμα. Με αυτόν τον τρόπο όταν ξεκινάμε την βήμα βήμα επίλυση έχουμε προσεγγίσει πολύ καλύτερα τις πραγματικές απώλειες. Έτσι το σφάλμα μας 80

90 σε αυτή τη περίπτωση στην υψηλή τάση είναι σχεδόν μηδενικό ενώ στην μέση πέφτει κάτω από 4%. Το μειονέκτημα της είναι ο αριθμός των υπολογισμών που απαιτούνται, ο οποίος αυξάνεται εκθετικά σε συνάρτηση με το μέγεθος του δικτύου. Η πέμπτη προσέγγιση στηρίχθηκε στη παραδοχή της ανεξαρτησίας των επιδράσεων των φορτίων. Πιο συγκεκριμένα θεωρεί ότι το άθροισμα των επιδράσεων του κάθε φορτίου ξεχωριστά στις τάσεις των ζυγών του δικτύου ισούται με την επίδραση που έχει η ταυτόχρονη εξυπηρέτηση τους. Σε αυτή τη περίπτωση μελετάται κάθε φορτίο ξεχωριστά και στο τέλος αθροίζονται τα αποτελέσματα. Η τακτική αυτή απαιτεί αριθμό υπολογισμών ίσο με τον αριθμό των φορτίων που εξυπηρετεί το δίκτυο. Στην υψηλή τάση το σφάλμα της είναι κάτω από 0,2% και είναι πιο γρήγορη από όλες τις παραπάνω. Το πρόβλημα της είναι ότι ενώ γίνεται κάθε φορτίο ξεχωριστά να εξυπηρετείται δεν μπορεί να ελέγξει αν η ταυτόχρονη δράση των φορτίων οδηγεί σε αστάθεια. Για το λόγο αυτό προσθέτουμε έναν έλεγχο της διακρίνουσας του συστήματος δύο ζυγών, σαν να συνδέονταν όλα τα φορτία του υποδέντρου στον πλησιέστερο στην αναφορά ζυγό. Στη μέση τάση όμως δεν έχει την ίδια ακρίβεια διότι η ταυτόχρονη εξυπηρέτηση των φορτίων οδηγεί σε μεγαλύτερες απώλειες οι οποίες δεν εκτιμώνται σωστά με αυτόν τον τρόπο. Γενικά λοιπόν καταλήγουμε, ότι για την υψηλή τάση προτιμούμε την μέθοδο της ανεξαρτησίας των φορτίων η οποία είναι και γρήγορη και ακριβής ενώ για την μέση τάση προτιμούμε τη μέθοδο της «πίσω μπρος» σάρωσης χωρίς τις διορθώσεις η οποία είναι δύο φορές πιο αργή αλλά είναι πιο ακριβής. 5.2 Προτάσεις για Επέκταση της Μελέτης Για την επέκταση του θέματος προτείνονται τα εξής σημεία για τα φορτία σταθερής σύνθετης αντίστασης: Η μελέτη του υπολογιστικού κόστους της αντιστροφής του πίνακα μετάβασης. Ο πίνακας μετάβασης σε ακτινικά δίκτυα είναι ένας αραιός πίνακας. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν μέθοδοι συμπίεσης των αραιών πινάκων χωρίς να χάνεται η απαραίτητη πληροφορία. Χρειάζεται επομένως να γίνει μία εκτίμηση της ταχύτητας της μεθόδου και των απαιτήσεων της σε μνήμη για να αξιολογηθεί. 81

91 Για τον τύπο υπολογισμού ο οποίος δίνει αποτελέσματα σε οποιοδήποτε δίκτυο του δοθεί, χρειάζεται να ορισθεί ένα κριτήριο πτώσης τάσης πέραν του οποίου να αποφαίνεται ότι το πρόβλημα της ροής φορτίου δεν έχει λύση. Για τα φορτία σταθερής ισχύος η μελέτη μας κινήθηκε και σε ένα επίπεδο το οποίο δεν έχει παρουσιασθεί καθόλου στη παρούσα διπλωματική. Πιο συγκεκριμένα στην μελέτη της βήμα βήμα επίλυσης του δικτύου, μία σκέψη είναι να μπορέσει να εκτιμηθεί προσεγγιστικά ο συντελεστής ισχύος κάθε ζυγού συμπεριλαμβανομένων των απωλειών. Έστω λοιπόν ένα δίκτυο το οποίο φαίνεται στο παρακάτω σχήμα με τη μορφή γράφου με βάρη. Σχήμα 5.1: Γράφος με βάρη 82